MIMINF:Analiza matematyczna 1

Forma zajęć

Wykład (30 godzin) + ćwiczenia (30 godzin)

Opis

Podstawowe pojęcia i metody rachunku różniczkowego i całkowego funkcji jednej zmiennej. Kontynuacja - „Analiza matematyczna 2”.

Sylabus

Autorzy

• Paweł Strzelecki — Uniwersytet Warszawski, Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki, Instytut Matematyki
• Jerzy Tyszkiewicz — Uniwersytet Warszawski, Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki, Instytut Informatyki

Wymagania wstępne

• Znajomość matematyki w zakresie szkoły średniej.

Zawartość

• Zbiory liczbowe i funkcje:
  • podzbiory zbioru liczb rzeczywistych
  • zbiór liczb zespolonych
  • przegląd funkcji elementarnych
• Ciągi wektorowe i liczbowe:
  • odległość w ${\mathbb{ℝ}}^N$
  • granica; punkt skupienia; granice dolna i górna
  • granice niewłaściwe
  • liczba e
• Szeregi liczbowe:
  • warunek konieczny
  • szereg geometryczny; szereg harmoniczny
  • kryteria zbieżności
• Granica i ciągłość funkcji:
  • definicje Cauchy'ego i Heinego
  • własność Darboux
  • twierdzenie Weierstrassa o osiąganiu kresów przez funkcję ciągłą
  • granice niewłaściwe
• Pochodna:
  • interpretacja geometryczna i fizyczna
  • twierdzenia o pochodnych
  • symbole nieoznaczone; reguła de l'Hospitala
  • twierdzenie Rolle'a, twierdzenie Lagrange'a
  • monotoniczność
  • ekstrema
  • pochodne wyższych rzędów
  • wzór Taylora
  • wypukłość
  • badanie przebiegu zmienności funkcji
• Pierwotna (całka nieoznaczona):
  • metody całkowania
• Całka Riemanna funkcji jednej zmiennej:
  • interpretacja geometryczna; funkcje całkowalne w sensie Riemanna
  • podstawowe twierdzenie rachunku różniczkowego i całkowego (Newtona-Leibniza)
  • twierdzenie o zmianie zmiennych w całce Riemanna
  • długość krzywej
  • obliczanie pól powierzchni i objętości brył obrotowych

Literatura

1. W. Rudin, Podstawy analizy matematycznej, Państwowe Wydawnictwo Naukowe, Warszawa 1982.
2. W. Rudnicki, Wykłady z analizy matematycznej, Państwowe Wydawnictwo Naukowe, Warszawa 2001.
3. G.M. Fichtenholz, Rachunek różniczkowy i całkowy, tom I, II i III. Państwowe Wydawnictwo Naukowe, Warszawa 1978.
4. L. Drużkowski, Analiza matematyczna dla fizyków. I. Podstawy, Skrypt Uniwersytetu Jagiellońskiego, Kraków 1995.
5. L. Drużkowski, Analiza matematyczna dla fizyków. II. Wybrane zagadnienia, Skrypt Uniwersytetu Jagiellońskiego, Kraków 1997.
6. W. Krysicki, L. Włodarski, Analiza matematyczna w zadaniach, część I i II, Państwowe Wydawnictwo Naukowe, Warszawa 1986.
7. J. Banaś, S. Wędrychowicz, Zbiór zadań z analizy matematycznej, Wydawnictwo Naukowo-Techniczne, Warszawa 2001.