Analiza matematyczna 1/Test 9: Pochodna funkcji jednej zmiennej

Pochodna funkcji $f(x)=\frac{\sqrt{x+1}-\sqrt{x-1}}{\sqrt{x+1}+\sqrt{x-1}}$ w przedziale $(1,+\mathrm{\infty })$ jest równa

$f^{\prime }(x)=1-\frac{x}{\sqrt{x+1}\sqrt{x-1}}$ Dobrze

$f^{\prime }(x)=\frac{\sqrt{x-1}-\sqrt{x+1}}{\sqrt{x-1}+\sqrt{x+1}}$ Źle

$f^{\prime }(x)=1-\sqrt{1+\frac{1}{x^2-1}}$. Dobrze

Styczna do wykresu funkcji $f(x)=x\sin x$ w punkcie $(\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2})$ ma równanie

$y=x$ Dobrze

$y=(-\frac{\pi }{2}+1)x+\frac{{\pi }^2}{4}$ Źle

$y=x+\frac{\pi }{2}$. Źle

Funkcja

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle f(x)=\left \{\begin{array} {lll} x^3\sin (\frac 1x), \ \ \text{dla} \ \ x\neq 0, \\ 0, \ \ \text {dla} \ \ x=0, \end{array} }

jest ciągła Dobrze

ma pochodną w punkcie $x=0$ Dobrze

ma ciągłą pochodną w punkcie $x=0$. Dobrze

Równanie $x^e=k{e}^x$

nie ma rozwiązań dla $k\in (0,1)$ Źle

nie ma rozwiązań dla $k>1$ Dobrze

ma dwa rozwiązania dla $k=1$. Źle

Pochodna funkcji $f(x)=x^{e^x}$ jest równa

$f^{\prime }(x)=e^x{x}^{e^x-1}$ Źle

$f^{\prime }(x)=e^x{x}^{e^x}\ln x$ Źle

$f^{\prime }(x)=e^x{x}^{e^x-1}\frac{x\ln x+1}{x}$. Źle

Niech $x_0\in (a,b)$ i niech $f$ będzie funkcją ciągłą w przedziale $(a,b)$ taką, że istnieje granica

$\underset{t\to 0}{\lim }\frac{f(x_0+t)-f(x_0-t)}{t}=A.$

Wtedy

istnieje pochodna funkcji $f$ w punkcie $x_0$ i $f^{\prime }(x_0)=A$ Źle

jeśli istnieje pochodna funkcji $f$ w punkcie $x_0$, to $f^{\prime }(x_0)=A$ Źle

jeśli istnieje pochodna funkcji $f$ w punkcie $x_0$, to $f^{\prime }(x_0)=\frac{A}{2}$. Dobrze