Test GR4

121212121212121212121212121212121212121212121212121212121212

Test sprawdzający

Rozważmy funkcję $f:\mathbb{ℝ}⟶\mathbb{ℝ}$, określoną wzorem:

$f(x)=\{\begin{array}{rl}-x^2\ln |x|,& x\ne 0\\ 0,& x=0.\end{array}$

Wówczas:

nie istnieje wartość największa funkcji $f$. Źle

funkcja $f$ przyjmuje wartość największą w parzystej liczbie punktów. Dobrze

wartość największa funkcji $f$ jest równa $0$. Źle

wartość największa funkcji $f$ jest liczbą niewymierną. Dobrze

Załóżmy, że próbka prosta $X_1,\dots ,X_n$ pochodzi z rozkładu ciągłego

o gęstości:

$f(x)={\alpha }^{2}x{e}^{-\alpha x}{I}_{[0,\mathrm{\infty })}(x),$

gdzie $I_{[0,\mathrm{\infty })}$ oznacza funkcję charakterystyczną przedziału $[0,\mathrm{\infty })$, oraz że $T(X_1,\dots ,X_n)$ jest estymatorem największej wiarygodności parametru $\alpha$. Wtedy:

$S(X_1,\dots ,X_n)=\frac{2\sum _{i=1}^n{X}_i}{2n-1}$ jest w tym rozkładzie estymatorem największej wiarygodności wartości oczekiwanej. Dobrze

$\frac{nT}{n+1}$ jest estymatorem zgodnym parametru $\alpha$. Dobrze

$T(X_1,\dots ,X_n)=\frac{2n}{\sum _{i=1}^n{X}_i}$. Źle

$T(X_1,\dots ,X_n)=\frac{2n+1}{\sum _{i=1}^n{X}_i}$. Źle

Załóżmy, że prawdopodobieństwo zachorowania na pewną chorobę jest wprost proporcjonalne do wieku, ze współczynnikiem proporcjonalności $\theta >0$. Zbadano 20-elementowe próbki ludności w różnym wieku, otrzymując następujące wyniki: \begincenter

Uzupelnij tytul

Wiek || $10$ || $30$ || $80$

Liczba chorych || $1$ || $5$ || $9$

.

\endcenter Jeżeli $\hat{\theta }$ oznacza wyestymowaną, na podstawie powyższych danych, wartość nieznanego parametru $\theta$, przy użyciu metody największej wiarygodności, to:

$\theta >\frac{1}{80}$. Źle

$\theta =0.01$. Źle

$\theta \in (0.01,0.0125)$. Źle

żadne z powyższych. Dobrze

Estymatorem największej wiarygodności parametru\linebreak $\alpha <0$ w rozkładzie jednostajnym na odcinku $[\alpha ,0]$ jest:

$\max \{X_1,\dots ,X_n\}$. Źle

$\frac{n+1}{n}\min \{X_1,\dots ,X_n\}$. Źle

$2\overline{X}$. Źle

$\min \{X_1,\dots ,X_n\}$. Dobrze

Czterech koszykarzy amatorów ćwiczyło rzuty "za 3 punkty". Pierwszy z nich trafił za drugim razem, drugi -- za trzecim, trzeci -- za czwartym, zaś czwarty -- za pierwszym. Zakładając dla wszystkich graczy jednakową celność $p$, metodą największej wiarygodności wyznaczono estymator $\hat{p}$ nieznanej wartości $p$. Oceń prawdziwość poniższych zdań.

$\hat{p}<0.5$. Dobrze

$\hat{p}<0.4$. Źle

$\hat{p}=0.4$. Dobrze

$\hat{p}>\frac{2}{5}$. Źle

W celu oszacowania wartości przeciętnej $\hat{m}$ czasu bezawaryjnej pracy nowego systemu operacyjnego NIWUX 2006, przeznaczonego dla komputerów osobistych klasy PC, zainstalowano ten system na 10 losowo wybranych komputerach, a następnie (dla każdego z nich) zmierzono czas od momentu uruchomienia do momentu pierwszego "zawieszenia" systemu, otrzymując następujące wyniki (w godzinach):

$2.5,2,2.5,1.5,3.5,4,4.5,2,3,3.$

Jeżeli założymy, że czas bezawaryjnej pracy systemu NIWUX 2006 ma rozkład wykładniczy z parametrem $\lambda$, to, korzystając z metody największej wiarogodności, otrzymujemy:

$\hat{m}=2.9$. Źle

$\hat{\lambda }=\frac{10}{29}$, gdzie $\hat{\lambda }$ jest oceną parametru $\lambda$. Źle

$\hat{m}=\hat{\lambda }$, gdzie $\hat{\lambda }$ jest takie jak wyżej. Źle

$\hat{\lambda }\approx 0.35$, gdzie $\hat{\lambda }$ jest takie jak wyżej. Dobrze

131313131313131313131313131313131313131313131313131313131313

Test sprawdzający

Z jednej partii pewnego towaru wybrano losowo $50$ sztuk, z których dwie okazały się wadliwe. Niech $(a,b)$ będzie $95\mathrm{\%}$ przedziałem ufności dla frakcji elementów wadliwych w tej partii. Wówczas:

$b-a\in (0.1,0.11)$. Dobrze

$a\approx -0.1$. Źle

$a\approx -0.0143$, $b=0.1$. Źle

$|a-b|\le 0.1$. Źle

Załóżmy, że błąd pomiaru pewnego termometru elektronicznego ma rozkład normalny o wariancji $0.04^{\circ }$C. Ilu niezależnych pomiarów temperatury wystarczy dokonać, aby mieć $99\mathrm{\%}$ pewności, że średnia z otrzymanych wyników wskazuje faktyczną temperaturę, z błędem nie większym niż $0.01^{\circ }$C?

2 670. Dobrze

3 000. Dobrze

2 000. Źle

2 652. Źle

Do weryfikacji pewnej hipotezy ${\mathrm{H}}_0$ użyto statystyki testowej $U$, której rozkład, przy założeniu prawdziwości ${\mathrm{H}}_{\mathrm{0}}$, jest rozkładem Studenta o $10$ stopniach swobody, otrzymując $U\approx 1.812$ oraz wartość-$p$ w przybliżeniu równą $0.05$. Jaką postać mógł posiadać zbiór krytyczny $K$, którego użyto w tym teście?

$K=[-a,a]$. Źle

$K=(-\mathrm{\infty },-a]\cup [a,\mathrm{\infty })$. Źle

$K=[a,\mathrm{\infty })$. Dobrze

$K=(-\mathrm{\infty },a]$. Źle

Z pewnej populacji, w której iloraz inteligencji posiada rozkład $N(\mu ,10)$, wybrano losowo 10 000 osób, zbadano ich iloraz inteligencji otrzymując średnią 123.5, a następnie na poziomie istotności $\alpha =0.1$ przetestowano hipotezę $H_0:\mu =124$, przy alternatywie $H_1:\mu <124$. Oceń prawdziwość poniższych zdań.

Wynik testu sugerował odrzucenie $H_0$ na korzyść $H_1$. Dobrze

Nie byłoby podstaw do odrzucenia $H_0$, gdyby $\alpha$ było równe $\frac{1}{10000000}$. Dobrze

Wynik testu świadczył o tym, iż nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy $H_0$. Źle

Wartość-$p$ wyniosła w tym teście około $0,00000029$. Źle

Testujemy pewną hipotezę $H_0$, wykorzystując statystykę $T$ oraz zbiór krytyczny $K$. Które z poniższych wielkości oznaczają błąd drugiego rodzaju?

$P(T\notin K\mid H_0$ -- prawdziwa $)$. Źle

$P(T\notin K\mid H_0$ -- fałszywa $)$. Dobrze

$P(T\in K\mid H_0$ -- prawdziwa $)$. Źle

$1-P(T\in K\mid H_0$ -- fałszywa $)$. Dobrze

Pewna firma wypuszcza nowy produkt na rynek i chce sprawdzić, która z pięciu proponowanych nazw tego produktu (powiedzmy A, B, C, D lub E) najbardziej spodoba się klientom. Poproszono więc grupę losowo wybranych osób, aby wskazali najbardziej przypadającą im do gustu nazwę, otrzymując następujące wyniki: \begincenter

Uzupelnij tytul

A	B	C	D	E
35 || 45 || 40 || 50 || 30

\endcenter Oceń prawdziwość poniższych zdań.

Jeżeli testem zgodności ${\chi }^2$ weryfikujemy na poziomie istotności $\alpha =0.01$ hipotezę, że nazwy te podobają się w takim samym stopniu, to otrzymujemy wartość statystyki testowej równą $6.5$. Źle

Jeżeli testem zgodności ${\chi }^2$ weryfikujemy na poziomie istotności $\alpha =0.01$ hipotezę, że nazwy te podobają się w takim samym stopniu, to otrzymujemy zbiór krytyczny $K=(a,\mathrm{\infty })$, gdzie $a\approx 0.297$. Źle

Wynik testu zgodności ${\chi }^2$ na poziomie istotności $\alpha =0.075$ wskazuje na to, że nazwy te podobają się klientom w istotnie niejednakowym stopniu. Źle

Wynik testu zgodności ${\chi }^2$ na poziomie istotności $\alpha =0.05$ wskazuje na to, że nazwy te w jednakowym stopniu podobają się klientom. Dobrze

14141414141414141414141414141414141414141414141414141414141414

Test sprawdzający

Na bazie próbki prostej:

$-0.75,-0.03,-0.72,-0.6,$

pochodzącej z rozkładu jednostajnego na odcinku (-1,0), używając jednej z opisanych w tym module metod wyznaczono $4$-elementową próbkę losową z rozkładu o gęstości:

$f(x)=0,25{\mathrm{I}}_{[0,1]}+0,75{\mathrm{I}}_{(1,2]}.$

Spośród poniższych ciągów wybierz te, które mogły być wynikami działania tej procedury.

$1.96,1,-0.29,-0.13$. Dobrze

$1.67,0.12,-0.29,-0.13$. Źle

$1,0.12,1.63,1.47$. Źle

$1.47,1.63,0.12,1.67$. Dobrze

W których z poniższych przypadków, generator liczb pseudolosowych:

$X_{n+1}=a{X}_n+b(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}p),$

z pewnością nie da zadowalających rezultatów?

$a=b=p$. Dobrze

$b=0$, $a\ne p$. Źle

$b=0$, $X_0=p^2$ . Dobrze

$a\ne b$, $X_0>0$. Źle

Czy na bazie próbki prostej, pochodzącej z rozkładu $N(m,\sigma )$ ($m$ i $\sigma$ -- znane), można wyznaczyć próbkę liczb pseudolosowych z rozkładu jednostajnego na odcinku $(a,b)$ ($a$ i $b$ -- dowolne)?

Tak. Dobrze

Tak, ale tylko w przypadku, gdy $m=\sigma =1$. Źle

Tak, ale tylko w przypadku, gdy $a=0$ i $b=1$. Źle

Tak, ale tylko w przypadku, gdy $m=\sigma =b=1$ i $a=0$. Źle

Które z poniższych funkcji są jądrami?

$K(x)=\{\begin{array}{rl}|x|,& |x|<1\\ 0,& |x|\ge 1\end{array}$. Dobrze

$K(x)=\{\begin{array}{rl}|x-1|,& 0<x<2\\ 0,& x\le 0\text{<mrow data-mjx-texclass="ORD">lub</mrow>}x\ge 2\end{array}$. Źle

$K(x)=\frac{1}{2}\cos x\cdot I_{[-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}]}(x)$. Dobrze

$K(x)=\{\begin{array}{rl}\frac{1}{2},& |x|<2\\ 0,& |x|\ge 2\end{array}$. Źle

Estymatorem bootstrapowym wartości oczekiwanej (opartym na średniej z próbki) nieznanego rozkładu, wyznaczonym na podstawie 10 replikacji próbki:

$4,1,1,$

może być:

$0.535$. Źle

$2.275$. Dobrze

$4.12$. Źle

$2.271$. Źle

Dla próbki prostej:

$1,3,2,3,4,2,5,$

otrzymano, przy użyciu jądra trójkątnego, estymator jądrowy gęstości $\hat{f}$ taki, że $\hat{f}(2)=\frac{1}{4}$. Jaka szerokości pasma mogła zostać w tym przypadku zastosowana?

$\frac{6}{7}$. Źle

$\frac{8}{7}$. Źle

$2$. Dobrze

$0.1$. Źle