Test GR4

   \newtheorem{dal}Szablon:-1.1cm[chapter]
   \newtheorem{dak}[dal]Szablon:-0.1cm
   \newtheorem{zad}{Zadanie }[chapter]
   \newtheorem{zam}{Ćwiczenie}[chapter]
   \newtheorem{ptst}{Pytanie}[chapter]

\newcounter{mapleex}

333333333333333333333333333333333333333333

Test sprawdzający

<quiz>Niech $(\mathrm{\Omega },\mathrm{\Sigma },P)$ będzie dowolną przestrzenią probabilistyczną. Wówczas dla dowolnych zbiorów $A,B\subset \mathrm{\Sigma }$ takich, że $A\subset B$ zachodzi:

    $P(A\cup B)=P(A)+P(B)$? {N}
    $P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$? {T}
    $P(A\cap B)<P(B)$. {N}
    $P(A\setminus B)=0$. {T}

}

<quiz>Które z poniższych rodzin stanowią $\sigma$-algebry w zbiorze liczb naturalnych $\mathbb{\mathbb{N}}$?

    $\{\mathrm{\varnothing },2\mathbb{\mathbb{N}},\mathbb{\mathbb{N}}\setminus 2\mathbb{\mathbb{N}},\mathbb{\mathbb{N}}\}$, gdzie
   $2\mathbb{\mathbb{N}}$ oznacza zbiór liczb naturalnych parzystych. {T}
    $\{\mathrm{\varnothing },A_2,A_3,\mathbb{\mathbb{N}}\}$, gdzie
   $A_n$ oznacza zbiór liczb naturalnych podzielnych przez $n$. {N}
    $\bigcup _{n=10}^{\mathrm{\infty }}{𝒫}(\{0,1,2,\dots ,n\})$. {T}
    Rodzina co najmniej 10-elementowych podzbiorów  $\mathbb{\mathbb{N}}$. {N}

}

<quiz>Rzucono $100$ razy monetą. Oceń prawdziwość poniższych zdań.

    Orła wyrzucono co najmniej $50$ razy. {N}
    Nie jest możliwe, że za każdym razem otrzymano reszkę. {N}
    Prawdopodobieństwo otrzymania dokładnie 2 orłów jest równe prawdopodobieństwu
   otrzymania dokładnie 98 reszek. {T}
    Zdarzenie polegające na wyrzuceniu co najmniej 10 orłów lub co najwyżej 99 reszek jest zdarzeniem pewnym. {N}

}

<quiz>Rozważmy dowolnie ustaloną miarę $\mu$, określoną na $\sigma$-algebrze zbiorów borelowskich w przestrzeni ${\mathbb{ℝ}}^2$. Wówczas:

    $\mu$ jest miarą Lebesgue'a. {N}
    $\mu ({\mathbb{ℝ}}^2)=1$. {N}
    każde koło o promieniu 1 jest zbiorem $\mu$-mierzalnym. {T}
    jeżeli $\mu ((0,1)\times (0,1))>0$, to $\mu (A)>0$, gdzie $A$ jest kołem o środku w początku układu współrzędnych i promieniu $2$. {T}

}

<quiz>Trzy osoby wybierają spośród trzech różnych par rękawiczek po lewej i prawej rękawiczce. Prawdopodobieństwo tego, że żadna z nich nie dostała pary:

    jest większe od prawdopodobieństwa tego, że wszyscy otrzymali sparowane rękawiczki. {T}
    jest równe dokładnie $0.33$. {N}
    wynosi dokładnie $\frac{2}{3}$. {N}
    jest mniejsze niż $\frac{1}{2}$. {T}

}

<quiz>Które z poniższych zdań są prawdziwe?

    Jeżeli w 100 kolejnych rzutach monetą za każdym razem otrzymano orła, to w następnym
   rzucie prawdopodobieństwo wyrzucenia reszki jest większe niż prawdopodobieństwo wyrzucenia orła. {N}
    W każdej przestrzeni probabilistycznej $(\mathrm{\Omega },\mathrm{\Sigma },P)$ znajdziemy niepusty zbiór $A$ taki, że $P(A)=0$. {N}
    Każda nieskończona przestrzeń probabilistyczna zawiera niepuste zdarzenie o zerowym prawdopodobieństwie. {N}.
    Wśród 400 losowo wybranych osób znajdują się dwie, które obchodzą urodziny w tym samym dniu. {T}

}

44444444444444444444444444444444444444444

Test sprawdzający

<quiz>Dla dowolnych liczb naturalnych $r$ i $n$ takich, że $1\le n\le r$, prawdopodobieństwa zdarzeń elementarnych występujących w schematach losowania $n$ ze zbioru $r$-elementowego elementów, bez zwracania i ze zwracaniem:

    są zawsze różne od siebie. {N}
    są zawsze sobie równe. {N}
    są zawsze mniejsze niż $1$. {N}
    żadne z powyższych. {T}

}

<quiz>Niech $K\subset {\mathbb{ℝ}}^2$ będzie danym kwadratem o boku $1$ oraz niech $(K,\mathrm{\Sigma },P)$ będzie przestrzenią probabilistyczną występującą w definicji Uzupelnic dpg|. Wówczas:

    $P(A)=\mu (A)$ dla każdego $A\in \mathrm{\Sigma }$ ($\mu$ oznacza dwuwymiarową miarę Lebesgue'a). {T}
    $P(A)<\mu (A)$ dla pewnego $A\in \mathrm{\Sigma }$. {N}
    $P(O)=0$, gdzie $O$ jest okręgiem wpisanym w kwadrat $K$. {T}
    wnętrze kwadratu $K$  jest zdarzeniem pewnym. {T}

}

<quiz>Spośród 3 kul niebieskich i 4 kul czarnych losujemy 3 kule. Wówczas prawdopodobieństwo wylosowania co najmniej 2 kul niebieskich:

    jest większe w przypadku losowania bez zwracania. {N}
    jest mniejsze, w przypadku
   losowania ze zwracaniem, niż prawdopodobieństwo wylosowania dokładnie 2 kul czarnych. {N}
    jest w każdym przypadku mniejsze niż $\frac{1}{2}$. {N}
    jest większe, w przypadku
   losowania bez zwracania, niż prawdopodobieństwo wylosowania co najmniej 3 kul czarnych. {T}

}

<quiz>Maciek jest zapalonym kinomanem, uwielbiającym jednocześnie pływanie. Codziennie wieczorem wychodzi z domu, udając się na najbliższy przystanek autobusowy, gdzie dociera między godziną $19^{00}$ a $20^{00}$ (każdy moment jest jednakowo prawdopodobny). Z przystanku tego odjeżdżają autobusy linii $109$ i $110$, wg następującego rozkładu:

$109:19^{05},19^{30},19^{55},$ $110:19^{11},19^{36},20^{01}.$

Autobusem nr $109$ Maciek dojeżdża do swojego ulubionego kina, zaś autobusem nr $100$ -- do ulubionego basenu, przy czym zawsze wybiera ten, który nadjedzie jako pierwszy. Jeżeli $A$ oznacza zdarzenie polegające na tym, że Maciek w danym dniu znajdzie się w kinie (w przeciwnym razie będzie pływać w basenie), to zakładając bezwzględną punktualność autobusów:

    zdarzenia $A$ i $\mathrm{\Omega }\setminus A$ zachodzą z jednakowym prawdopodobieństwem, ponieważ
   w interesującym nas okresie czasu odjeżdża tyle samo autobusów linii $109$, co $110$. {N}
    zdarzenie $A$ jest mniej prawdopodobne niż zdarzenie przeciwne do $A$, ponieważ autobusy nr $109$
   odjeżdżają wcześniej, niż odpowiadające im autobusy nr $110$. {N}
    $P(A)>\frac{1}{2}$. {T}
    $P(A)<1-P(A)$. {N}

}

<quiz>Doświadczenie polega na rzucie monetą -- rzucamy nią tak długo, aż wypadnie orzeł. Niech ${\omega }_i$ oznacza zdarzenie, że za $i$-tym razem po raz pierwszy wypadł orzeł. Ocenić prawdziwość poniższych zdań.

    $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }P({\omega }_n)=0$. {T}
    $P({\omega }_n)=P({\omega }_{n+1}\cup {\omega }_{n+2}\cup {\omega }_{n+3}\cup \dots )$
   dla każdego $n\ge 1$. {T}
    $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}P({\omega }_n)=1$. {T}
    Zdarzenia ${\omega }_i$ są jednakowo prawdopodobne. {N}

}

<quiz>Eksperyment polega na wykonaniu 10 rzutów symetryczną kostką do gry, a więc jego wynikiem jest 10 elementowy ciąg. Eksperyment ten można traktować jako:

losowanie liczby naturalnej ze zbioru $\{1,\dots ,10^6\}$. {N}
losowanie ze zwracaniem sześciu spośród dziesięciu elementów. {N}
losowanie bez zwracania sześciu spośród dziesięciu elementów. {N}
losowanie bez zwracania dziesięciu spośród sześciu elementów. {N}

}

555555555555555555555555555555555555555555555555555555

Test sprawdzający

<quiz>Poznana definicja prawdopodobieństwa warunkowego\linebreak $P(W|Z)$ zakłada, że:

    oba zdarzenia $W$ i  $Z$ mają prawdopodobieństwa dodatnie. {N}
    przynajmniej jedno z tych zdarzeń ma prawdopodobieństwo dodatnie. {N}
    zdarzenie $Z$ ma prawdopodobieństwo dodatnie. {T}
    zdarzenie $W$ ma prawdopodobieństwo dodatnie. {N}

}

<quiz>Oceń prawdziwość poniższych zdań.

    Jeżeli dwa zdarzenia są niezależne, to zdarzenia te są rozłączne. {N}
    Jeżeli dwa zdarzenia są rozłączne, to zdarzenia te są zależne. {N}
    Jeżeli dwa zdarzenia są rozłączne, to zdarzenia te są niezależne. {N}
    Jeżeli $P(B|A)=P(A)$, to zdarzenia $A$ i $B$ są niezależne. {N}

}

<quiz>Rzucamy trzema kostkami do gry. Zdarzenie $A$ oznacza, że wśród uzyskanych oczek nie ma "szóstki", zaś zdarzenie $B$ -- że na co najmniej jednej kostce wypada "jedynka". Wtedy $P(A|B)$:

    równa się $\frac{61}{91}$. {T}
    równa się $\frac{127}{216}$. {N}
    jest mniejsze od $\frac{1}{2}$. {N}
    jest większe od $\frac{2}{3}$. {T}

}

<quiz>Trzy oddziały pewnej firmy produkują monitory komputerowe, które następnie są centralnie testowane: 40\% monitorów pochodzi z oddziału $A$, gdzie wadliwość wynosi 3\%, 30\% monitorów pochodzi z oddziału $B$,

gdzie wadliwość wynosi 1\%, zaś pozostałe monitory pochodzą z oddziału $C$, który ma 0\% wadliwości. Wiemy, że
losowo wybrany monitor przeszedł pozytywnie test. Jakie jest prawdopodobieństwo tego, że został on wyprodukowany w oddziale $C$?

    Około 3\%. {N}
    Ponad 30\%. {T}
    Więcej niż 50\%. {N}
    $\frac{60}{197}$. {T}

}

<quiz>Chcemy szybko rozpalić ognisko, lecz mamy do dyspozycji tylko trzy zapałki. Prawdopodobieństwo rozpalenia ogniska pojedynczą zapałką wynosi $0.4$, dwiema złączonymi zapałkami -- $0.6$, zaś trzema złączonymi zapałkami -- $0.8$. Jaką wybrać strategię?

    Używać pojedynczych zapałek. {N}
    Użyć najpierw jedną, a potem dwie złączone zapałki. {N}
    Użyć najpierw dwie złączone zapałki, a potem jedną zapałkę. {N}
    Użyć od razu trzy zapałki. {T}

}

<quiz>W schemacie Bernoulliego liczba doświadczeń wynosi 10, a prawdopodobieństwo sukcesu wynosi $0.2$. Które z poniższych zdarzeń jest najbardziej prawdopodobne?

    Uzyskanie 2 sukcesów. {N}
    Uzyskanie 3 sukcesów. {N}
    Uzyskanie mniej niż 2 sukcesów. {T}
    Uzyskanie więcej niż 5 sukcesów. {N}

}

66666666666666666666666666666666666666666666666666

Test sprawdzający

<quiz>Oceń prawdziwość poniższych zdań.

    Każdy rozkład prawdopodobieństwa ma dystrybuantę. {T}
    Każdy rozkład prawdopodobieństwa jest albo rozkładem dyskretnym albo rozkładem ciągłym. {N}
    Dystrybuanta rozkładu ciągłego jest funkcją ciągłą. {T}
    Dystrybuanta rozkładu dyskretnego nie jest funkcją ciągłą. {T}

}

<quiz>Wskaż rozkład wartości bezwzględnej różnicy liczby oczek przy rzucie dwiema kostkami:

    $x_i=1,2,3,4,5$; \ $p_i=\frac{16}{36},\frac{8}{36},\frac{6}{36},\frac{4}{36},\frac{2}{36}$. {N}
    $x_i=0,1,2,3,4,5$; \ $p_i=\frac{1}{6},\frac{10}{36},\frac{8}{36},\frac{6}{36},\frac{4}{36},\frac{2}{36}$. {T}
    $x_i=0,1,2,3,4,5$; \ $p_i=\frac{10}{6},\frac{6}{36},\frac{8}{36},\frac{6}{36},\frac{4}{36},\frac{2}{36}$. {N}
    $x_i=1,2,3,4,5,6$; \ $p_i=\frac{1}{6},\frac{10}{36},\frac{8}{36},\frac{6}{36},\frac{4}{36},\frac{2}{36}$. {N}

}

<quiz>Zmienna losowa $X$ ma gęstość:

$f(x)=\{\begin{array}{rl}0& \text{dla }x<0\\ x{e}^{-x}& \text{dla }x\ge 0.\\ \end{array}$

Oceń prawdziwość następujących zdań:

    $P(X>1)<\frac{1}{2}$. {N}
    $P(X=1)=\frac{2}{e^{-1}}$. {N}
    $P(X>1)>\frac{3}{4}$. {N}
    $P(X>-1)<1$. {N}

}

<quiz>Zmienna losowa $X$ ma rozkład jednostajny na odcinku $(-1,1)$. Wskaż gęstość rozkładu zmiennej losowej $X^2$:

    $f(x)=\{\begin{array}{rl}0& \text{dla }x\le -1\\ \frac{1}{2}{x}^2& \text{dla }-1<x<1\\ 0& \text{dla }x\ge 1\\ \end{array}.$ {N}
    $f(x)=\{\begin{array}{rl}0& \text{dla }x\le 0\\ \frac{1}{3}{x}^2& \text{dla }0<x<1\\ 0& \text{dla }x\ge 1\\ \end{array}.$ {N}
    $f(x)=\{\begin{array}{rl}0& \text{dla }x\le -1\\ \frac{1}{\sqrt{|x|}}& \text{dla }-1<x<1\\ 0& \text{dla }x\ge 1\\ \end{array}.$ {N}
    $f(x)=\{\begin{array}{rl}0& \text{dla }x\le 0\\ \frac{1}{2\sqrt{x}}& \text{dla }0<x<1\\ 0& \text{dla }x\ge 1\\ \end{array}.$ {T}

}

<quiz>Wyprodukowano dwie kostki do gry w ten sposób, że "szóstka" wypada z prawdopodobieństwem $0.1$, natomiast pozostałe

ścianki wypadają z jednakowym prawdopodobieństwem każda. Niech $X$ oraz $Y$ oznaczają liczby oczek otrzymanych w
rezultacie rzutu tymi kostkami. Oceń prawdziwość poniższych zdań.

    $P(X>Y)=P(X<Y)$. {T}
    $P(X=Y)=0.172$. {T}
    $P(X>Y)=0.414$. {T}
    $X$ oraz $Y$ są zależnymi zmiennymi losowymi. {N}

}

<quiz>Czy z niezależności zmiennych losowych $\xi$ oraz $\eta$ wynika, że:

    niezależne  są  zmienne losowe $\xi +\eta$ oraz $\xi -\eta$? {N}
    niezależne  są  zmienne losowe $3\xi$ oraz $-\eta$? {T}
    niezależne  są  zmienne losowe ${\xi }^2$ oraz ${\eta }^2$? {T}
    niezależne  są  zmienne losowe $\max (\xi ,\eta )$ oraz $\xi +\eta$? {N}

}

7777777777777777777777777777777777777777777777777

Test sprawdzający

<quiz>Niech $X$ oznacza liczbę oczek otrzymanych przy rzucie "fałszywą kostką", na której "szóstka"

wypada z prawdopodobieństwem $0.1$, natomiast pozostałe ścianki wypadają z jednakowym prawdopodobieństwem każda. Wtedy:

    $\mathbb{𝔼}(X)=3.2$. {N}
    ${\mathbb{𝔻}}^2(X)=6.25$. {N}
    średni błąd $X$ wynosi  $2.32$. {N}
    $q_{0.9}=6$. {N}

}

<quiz>Za prawo wyciągnięcia jednej karty z talii 52 kart płacimy $w$ zł, a otrzymujemy $a$ zł za wyciągnięcie asa,

15 zł za wyciągnięcie waleta, damy lub króla oraz $x$ zł za wyciągnięcie karty mającej $x$ oczek. Gra jest sprawiedliwa,
gdy:

    $a=5$, $w=8$. {T}
    $a=10$, $w=7$. {N}
    $a=100$, $w=15$. {N}
    nigdy nie jest sprawiedliwa. {N}

}

<quiz>Zmienna losowa $X$ ma gęstość:

$f(x)=\{\begin{array}{rl}0& \text{dla }x<0\\ x{e}^{-x}& \text{dla }x\ge 0.\\ \end{array}$

Oceń prawdziwość następujących zdań:

    $\mathbb{𝔼}(X)=2$. {T}
    ${\mathbb{𝔻}}^2(X)=2$. {T}
    średni błąd $X$ wynosi $8e^{-2}$. {T}
    $q_{0.5}\approx 1.68$. {T}

}

<quiz>Oceń prawdziwość poniższych zdań.

    Każda zmienna losowa ma skończoną wartość oczekiwaną. {N}
    Istnieją zmienne losowe, dla których nie istnieje skończona wartość oczekiwana. {T}
    Istnieje zmienna losowa, dla której wszystkie momenty centralne są równe zeru. {T}
    Wariancja sumy zmiennych losowych jest równa sumie wariancji tych zmiennych, pod warunkiem, że wariancje te istnieją
   i są skończone. {N}

}

<quiz>Wylosowano niezależnie od siebie cztery liczby, zgodnie z rozkładem jednostajnym na odcinku $(0,1)$, a następnie utworzono łamaną z odcinków o długościach równych tym liczbom. Niech $X$ będzie długością tej łamanej. Wtedy:

    $P(|X-2|>1)\le \frac{1}{3}$ {T}
    $P(|X-2|<\sqrt{3})\ge \frac{8}{9}$  {T}
    $P(|X-2|<2)\ge 1$  {T}
    $P(X=2)=0$  {T}

}

<quiz>Ile razy należy rzucić monetą symetryczną, żeby liczba otrzymanych orłów mieściła się w przedziale:

$(48\mathrm{\%}$ liczby rzutów $,52\mathrm{\%}$ liczby rzutów $),$

z prawdopodobieństwem $0.99$ lub większym?

    Co najmniej 1 000 000 razy. {N}
    Wystarczy rzucić 100 000 razy. {T}
    Dokładnie 4 250 razy. {N}
    Na przykład 62 500 razy. {T}

}

8888888888888888888888888888888888888888888888888888888

Test sprawdzający

<quiz>Z urny zawierającej $L_n$ niebieskich i $L_c$ czarnych kul losujemy $k$ kul. Niech $N$ oraz $C$ oznaczają liczbę uzyskanych niebieskich i czarnych kul. Wtedy:

    $N$ ma rozkład hipergeometryczny, gdy losowanie odbywa się ze zwracaniem. {N}
    wektor losowy  $(N,C)$ ma rozkład wielomianowy, gdy losowanie odbywa się ze zwracaniem. {T}
    $\mathbb{𝔼}(N)=\frac{k{L}_n}{L_n+L_c}$, gdy losowanie odbywa się bez zwracania. {T}
    $C$ ma w przybliżeniu rozkład Poissona, gdy w urnie jest dużo kul niebieskich w porównaniu z kulami czarnymi, a
       liczba losowań ze zwracaniem jest porównywalna z liczbą kul w urnie.  {T}

}

<quiz>Niech $X$ ma rozkład Poissona o parametrze $\lambda =4$. Wtedy:

    $P(X=0)\approx 0.018$. {T}
    $P(X\le 7)\approx 0.99$. {N}
    $P(X>4)\approx 0.37$. {T}
    $P(1<X\le 5)\approx 0.69$. {T}

}

<quiz>Średnia liczba stłuczek samochodowych w ciągu doby w pewnym mieście wynosi 10.5. Wskaż przedział $[a,b]$ taki, że w dniu jutrzejszym liczba stłuczek samochodowych w tym mieście będzie z prawdopodobieństwem co najmniej 0.9 zawierać się w tym

przedziale.

    $a=7$, $b=20$. {N}
    $a=0$, $b=14$. {N}
    $a=5$, $b=15$. {T}
    $a=6$, $b=16$. {T}

}

<quiz>Prawdopodobieństwo $q$ tego, że powtarzając rzut parą kostek otrzymamy parę "szóstek" w pierwszych dziesięciu rzutach jest:

    w przybliżeniu równe $0.35$. {N}
    w przybliżeniu równe $0.24$. {T}
    mniejsze niż $0.5$. {T}
    większe $0.5$. {N}

}

<quiz>Prawdopodobieństwo awarii serwera w studenckiej pracowni komputerowej w ciągu każdego dnia pracy wynosi $0.005$. Zakładając, że awarie są niezależne od siebie, ocenić jakie jest prawdopodobieństwo $Pr$ tego, że w trakcie 500 dni pracy serwera będą co

najmniej dwie awarie.

    $Pr>0.8$. {N}
    $Pr<0.5$. {N}
    $Pr\approx 0.4943$. {N}
    $Pr>0.7$. {T}

}

<quiz>Samolot znajduje rozbitka, na określonym akwenie, w czasie mającym rozkład wykładniczy o średniej wynoszącej 30 minut. Motorówka

ratunkowa znajduje rozbitka, na tym samym akwenie, w czasie mającym rozkład wykładniczy o średniej równej 2 godziny. Ile wynosi wartość
oczekiwana czasu poszukiwania rozbitka na tym akwenie, gdy samolot i motorówka działają niezależnie od siebie?

    24 minuty. {T}
    2.5 godziny. {N}
    20 minut. {N}
    12 minut. {N}

}

999999999999999999999999999999999999999999999999

Test sprawdzający

<quiz>Liczba $q\approx 3.5631$ jest kwantylem rzędu $p=0.9$ rozkładu normalnego $N(m,\sigma )$, gdy:

    $m=2$, $\sigma =1$. {N}
    funkcja $F(x)=\mathrm{\Phi }(\frac{x}{2}-0.5)$
   jest dystrybuantą rozkładu $N(m,\sigma )$. {T}
    $\mathrm{\Phi }(q)=p$. {N}
    ${\mathrm{\Phi }}_{m,\sigma }(1)=0.5$.  {T}

}

<quiz>Niech $X_1,X_2,\dots ,X_n$ będą zmiennymi losowymi o rozkładach $N(0,1),N(0,2),\dots ,N(0,n)$ oraz

niech:

$Y=X_1+\frac{X_2}{2}+\dots +\frac{X_n}{n}.$

Wówczas:

    $\mathbb{𝔼}(Y)=0$. {T}
    ${\mathbb{𝔻}}^2(Y)=n$. {N}
    $Y$ ma rozkład $N(0,\sqrt{n})$. {N}
    $Y$ ma rozkład $N(0,n)$. {N}

}

<quiz>Które z poniższych stwierdzeń można uznać za wnioski z centralnego twierdzenia granicznego?

    Wzrost mężczyzn w Polsce ma w przybliżeniu rozkład normalny. {N}
    Średni wzrost mężczyzn w Polsce ma w przybliżeniu rozkład normalny. {T}
    Liczba osób chorych na białaczkę ma w przybliżeniu rozkład normalny. {T}
    Częstość występowania białaczki w USA. ma w przybliżeniu rozkład normalny. {T}

}

<quiz>Częstość występowania pewnej choroby w Chinach wynosi 0.1\%. Jak liczną grupę Chińczyków wystarczy zebrać, aby mieć co najmniej 99\% pewności, że wśród nich są przynajmniej 2 osoby chore na tę chorobę?

    2 000 osób. {N}
    3 000 osób. {T}
    2 110 osób lub mniej. {N}
    2 106 osób. {N}

}

<quiz>Z pewnej (dużej) populacji, w której iloraz inteligencji posiada rozkład $N(124,10)$, wybrano losowo 10 000 osób. Niech $Pr$ oznacza prawdopodobieństwo tego, że średni iloraz inteligencji w wybranej grupie różni się o nie więcej niż 0.1 od średniej dla całej populacji. Wówczas:

    $Pr\approx 0.7$. {T}
    $Pr\in (0.6,0.7)$. {T}
    $Pr>0.7$. {N}
    $Pr\approx 0.5$. {N}

}

<quiz>Prawdopodobieństwo zarażenia się wirusem WZW B podczas pojedynczego badania endoskopowego wynosi 0.001. Oceń prawdziwość poniższych zdań.

    Prawdopodobieństwo tego, że po przebadaniu 1 000 000 osób okaże się, iż
       dokładnie jedna z nich została podczas tego badania zarażona wirusem WZW B jest bardzo bliskie zeru. {T}
    Po przebadaniu 1 000 osób, prawdopodobieństwo tego, że przynajmniej jedna z nich została
   zarażona wirusem WZW B wynosi około 50\%. {T}
    Po przebadaniu 1 000 osób, prawdopodobieństwo tego, że co najwyżej jedna z nich została
   zarażona wirusem WZW B wynosi około 50\%. {T}
    Bardziej prawdopodobne od zarażenia jest otrzymanie samych orłów w serii 10 rzutów monetą symetryczną. {N}

}

101010101010101010101010101010101010101010101010

Test sprawdzający

<quiz>W przykładzie Uzupelnic markov13| przestrzenią stanów jest:

    zbiór liczb całkowitych. {T}
    zbiór liczb rzeczywistych. {N}
    zbiór liczb naturalnych. {N}
    zbiór $\{-1,0,1\}$. {N}

}

<quiz>Niech ${\xi }_1,{\xi }_2,{\xi }_3,\dots$ oznaczają liczbę oczek uzyskanych w trakcie kolejnych rzutów kostką symetryczną.

Określmy:

$X_0=0$ oraz $X_i=X_{i-1}+{\xi }_i$ dla $i=1,2,3,\dots .$

Wtedy ciąg zmiennych losowych $\{X_i\}$ jest

łańcuchem Markowa, w którym:

    przestrzeń stanów $E$ jest zbiorem liczb naturalnych $0,1,2,\dots$ {T}
    $\mathbf{𝐩}(k,k)=0$ oraz $\mathbf{𝐩}(k,k+1)=\mathbf{𝐩}(k,k+6)$ dla każdego $k\in E$. {T}
    każde dwa stany się komunikują. {N}
    suma elementów w każdym wierszu macierzy przejścia $\mathbf{𝐏}$ jest równa 1. {T}

}

<quiz>Dany jest łańcuch Markowa o macierzy przejścia:

$\mathbf{𝐏}=\left[\begin{array}{cc}\frac{1}{2}& \frac{1}{2}\\ 1& 0\end{array}\right].$

Wtedy:

    łańcuch ten jest powracający. {T}
    łańcuch ten jest nieredukowalny. {T}
    łańcuch ten jest okresowy. {N}
    łańcuch ten jest ergodyczny, a rozkładem stacjonarnym jest wektor o współrzędnych $\frac{2}{3}$ i
       $\frac{1}{3}$. {T}

}

<quiz>Oceń prawdziwość poniższych zdań.

    Jeżeli ciąg $X_n$ jest łańcuchem Markowa na przestrzeni stanów $E\subset \mathbb{ℝ}$, to także ciąg
       $X_n^2$ jest łańcuchem Markowa  na przestrzeni stanów $E$. {N}
    Jeżeli przestrzeń stanów jest skończona, to łańcuch Markowa jest nieredukowalny. {N}
    Każdy łańcuch Markowa na skończonej przestrzeni stanów jest albo okresowy, albo ergodyczny. {N}
    Jeżeli wszystkie wyrazy macierzy przejścia $\mathbf{𝐏}$ pewnego łańcucha Markowa są dodatnie, to łańcuch ten
       jest nieredukowalny. {T}

}

<quiz>Niech $X_n$ będzie łańcuchem Markowa określonym w przykładzie Uzupelnic markov10| dla $k=3$. Wtedy:

    łańcuch $X_n$ ma skończony zbiór stanów. {T}
    łańcuch $X_n$ jest nieredukowalny. {T}
    łańcuch $X_n$ jest powracający. {T}
    łańcuch $X_n$ jest okresowy. {N}

}

<quiz>Niech $X_n$, $n=0,1,2,3,\dots$, będzie ciągiem niezależnych zmiennych losowych o tym samym rozkładzie $Q$.

Oceń prawdziwość poniższych zdań.

Ciąg $X_n$ jest łańcuchem Markowa o macierzy przejścia, która ma na przekątnej same jedynki. {N}
Jeżeli $Q$ jest rozkładem dyskretnym, to ciąg $X_n$ jest łańcuchem Markowa, a wszystkie wiersze
   macierzy przejścia są sobie równe. {T}
Jeżeli $Q$ jest rozkładem dyskretnym skoncentrowanym na zbiorze skończonym, to ciąg $X_n$ jest łańcuchem Markowa, a wszystkie
   kolumny macierzy przejścia są sobie równe. {N}
Ciąg $X_n$ nie jest łańcuchem Markowa (gdyż zmienne losowe są niezależne). {N}

}

111111111111111111111111111111111111111111111111

Test sprawdzający

<quiz> Rozważmy dwa następujące estymatory wartości oczekiwanej w rozkładzie

dwupunktowym

$(0,1,p)$

:

$S(X_1,\dots ,X_n)=\frac{n+1}{n}\overline{X}$ oraz $T(X_1,\dots ,X_n)=\frac{X_1+X_n}{2}.$

Wówczas:

    $S$ jest estymatorem zgodnym, zaś $T$-- asymptotycznie nieobciążonym. {T}
    $S$ nie jest ani estymatorem zgodnym, ani estymatorem nieobciążonym. {N}
    $S$ jest estymatorem zgodnym, zaś $T$-- obciążonym. {N}
    $T$ jest estymatorem zgodnym i nieobciążonym. {N}

}

<quiz>Z poniższych własności wybierz te, które posiada następujący estymator parametru $\alpha$ w rozkładzie jednostajnym na odcinku $(0,\alpha )$:

$T(X_1,\dots ,X_n)=(n+1)\min \{X_1,\dots ,X_n\}.$

    $T$ jest obciążony. {N}
    $T$ jest asymptotycznie nieobciążony. {T}
    $T$ jest obciążony i asymptotycznie nieobciążony. {N}
    $T$ jest nieobciążony. {T}

}

<quiz>Przeprowadzono $n$ prób Bernoulliego $X_1,\dots ,X_n$ , z jednakowym prawdopodobieństwem sukcesu $p$ każda. Co jest dobrym przybliżeniem parametru $p$?

    Liczba sukcesów podzielona przez liczbę "porażek". {N}
    $\frac{k}{n}$, gdzie $k$ oznacza liczbę sukcesów. {T}
    $\frac{n-k}{n}$, gdzie $k$ oznacza liczbę sukcesów. {N}
    $\sum \frac{X_i}{n}$. {N}

}

<quiz>Jeżeli estymator $S(X_1,\dots ,X_n)$ jest estymatorem zgodnym parametru $\theta$, to:

    $S(X_1,\dots ,X_n)\stackrel{s}{⟶}\theta$ (symbol
       $\stackrel{s}{⟶}$ został wprowadzony w uwadze Uzupelnic usz|). {T}
    $P\left(\{\omega \in \mathrm{\Omega }:\underset{n⟶\mathrm{\infty }}{\lim }\frac{S(X_1,\dots ,X_n)}{n}=\theta \}\right)=1$. {N}
    $P\left(\{\omega \in \mathrm{\Omega }:\underset{n⟶\mathrm{\infty }}{\lim }S(X_1,\dots ,X_n)=\theta \}\right)=1$. {T}
    $P\left(\{\omega \in \mathrm{\Omega }:\underset{n⟶\mathrm{\infty }}{\lim }S(X_1,\dots ,X_n)=0\}\right)=1$. {N}

}

<quiz>Próbka prosta:

$0,2,1,2,5,0,3,4,4,2$

pochodzi z rozkładu Poissona z parametrem $\lambda >0$. Które z poniższych liczb można uznać za dobre przybliżenia parametru $\lambda$?

    $3.0$. {N}
    $2.3$. {T}
    $3.1$. {N}
    $2.4$. {N}

}

<quiz>Wykonano 30 serii rzutów kostką do gry, przy czym każda seria kończyła się w momencie wyrzucenia pierwszej "szóstki", otrzymując następuje rezultaty (długości poszczególnych serii):

$2,9,3,8,4,3,5,7,7,8,10,4,12,4,5,6,17,2,9,4,3,2,5,2,1,5,5,6,8,14.$

Oceń prawdziwość poniższych zdań.

    Jest bardzo prawdopodobne, iż użyto "fałszywej" kostki. {N}
    Nie ma podstaw do stwierdzenia, że użyta kostka była "sfałszowana". {T}
    Na podstawie powyższych danych można wnioskować, iż prawdopodobieństwo
   wyrzucenia "szóstki" (za pomocą tej kostki) jest w przybliżeniu równe 0.5. {N}
    Jeżeli kostka była "sprawiedliwa", to  prawdopodobieństwo
   otrzymania powyższego wyniku jest mniejsze niż 1\%. {T}

}

121212121212121212121212121212121212121212121212121212121212

Test sprawdzający

<quiz>Rozważmy funkcję $f:\mathbb{ℝ}⟶\mathbb{ℝ}$, określoną wzorem:

$f(x)=\{\begin{array}{rl}-x^2\ln |x|,& x\ne 0\\ 0,& x=0.\end{array}$

Wówczas:

    nie istnieje wartość największa funkcji $f$. {N}
    funkcja $f$ przyjmuje wartość największą w parzystej liczbie punktów.  {T}
    wartość największa funkcji $f$ jest równa $0$. {N}
    wartość największa funkcji $f$ jest liczbą niewymierną. {T}

}

<quiz>Załóżmy, że próbka prosta $X_1,\dots ,X_n$ pochodzi z rozkładu ciągłego

o gęstości:

$f(x)={\alpha }^{2}x{e}^{-\alpha x}{I}_{[0,\mathrm{\infty })}(x),$

gdzie $I_{[0,\mathrm{\infty })}$ oznacza funkcję charakterystyczną przedziału $[0,\mathrm{\infty })$, oraz że $T(X_1,\dots ,X_n)$ jest estymatorem największej wiarygodności parametru $\alpha$. Wtedy:

    $S(X_1,\dots ,X_n)=\frac{2\sum _{i=1}^n{X}_i}{2n-1}$ jest w tym rozkładzie estymatorem największej wiarygodności
   wartości oczekiwanej. {T}
    $\frac{nT}{n+1}$ jest estymatorem zgodnym parametru $\alpha$. {T}
    $T(X_1,\dots ,X_n)=\frac{2n}{\sum _{i=1}^n{X}_i}$. {N}
    $T(X_1,\dots ,X_n)=\frac{2n+1}{\sum _{i=1}^n{X}_i}$. {N}

}

<quiz>Załóżmy, że prawdopodobieństwo zachorowania na pewną chorobę jest wprost proporcjonalne do wieku, ze współczynnikiem proporcjonalności $\theta >0$. Zbadano 20-elementowe próbki ludności w różnym wieku, otrzymując następujące wyniki: \begincenter

Uzupelnij tytul

Wiek || $10$ || $30$ || $80$

Liczba chorych || $1$ || $5$ || $9$

.

\endcenter Jeżeli $\hat{\theta }$ oznacza wyestymowaną, na podstawie powyższych danych, wartość nieznanego parametru $\theta$, przy użyciu metody największej wiarygodności, to:

    $\theta >\frac{1}{80}$. {N}
    $\theta =0.01$. {N}
    $\theta \in (0.01,0.0125)$. {N}
    żadne z powyższych. {T}

}

<quiz>Estymatorem największej wiarygodności parametru\linebreak $\alpha <0$ w rozkładzie jednostajnym na odcinku $[\alpha ,0]$ jest:

    $\max \{X_1,\dots ,X_n\}$. {N}
    $\frac{n+1}{n}\min \{X_1,\dots ,X_n\}$. {N}
    $2\overline{X}$. {N}
    $\min \{X_1,\dots ,X_n\}$. {T}

}

<quiz>Czterech koszykarzy amatorów ćwiczyło rzuty "za 3 punkty". Pierwszy z nich trafił za drugim razem, drugi -- za trzecim, trzeci -- za czwartym, zaś czwarty -- za pierwszym. Zakładając dla wszystkich graczy jednakową celność $p$, metodą największej wiarygodności wyznaczono estymator $\hat{p}$ nieznanej wartości $p$. Oceń prawdziwość poniższych zdań.

    $\hat{p}<0.5$. {T}
    $\hat{p}<0.4$. {N}
    $\hat{p}=0.4$. {T}
    $\hat{p}>\frac{2}{5}$. {N}

}

<quiz>W celu oszacowania wartości przeciętnej $\hat{m}$ czasu bezawaryjnej pracy nowego systemu operacyjnego NIWUX 2006, przeznaczonego dla komputerów osobistych klasy PC, zainstalowano ten system na 10 losowo wybranych komputerach, a następnie (dla każdego z nich) zmierzono czas od momentu uruchomienia do momentu pierwszego "zawieszenia" systemu, otrzymując następujące wyniki (w godzinach):

$2.5,2,2.5,1.5,3.5,4,4.5,2,3,3.$

Jeżeli założymy, że czas bezawaryjnej pracy systemu NIWUX 2006 ma rozkład wykładniczy z parametrem $\lambda$, to, korzystając z metody największej wiarogodności, otrzymujemy:

    $\hat{m}=2.9$. {N}
    $\hat{\lambda }=\frac{10}{29}$, gdzie $\hat{\lambda }$ jest oceną parametru $\lambda$. {N}
    $\hat{m}=\hat{\lambda }$, gdzie $\hat{\lambda }$ jest takie jak wyżej. {N}
    $\hat{\lambda }\approx 0.35$, gdzie $\hat{\lambda }$ jest takie jak wyżej. {T}

}

131313131313131313131313131313131313131313131313131313131313

Test sprawdzający

<quiz>Z jednej partii pewnego towaru wybrano losowo $50$ sztuk, z których dwie okazały się wadliwe. Niech $(a,b)$ będzie $95\mathrm{\%}$ przedziałem ufności dla frakcji elementów wadliwych w tej partii. Wówczas:

    $b-a\in (0.1,0.11)$. {T}
    $a\approx -0.1$. {N}
    $a\approx -0.0143$, $b=0.1$. {N}
    $|a-b|\le 0.1$.  {N}

}

<quiz>Załóżmy, że błąd pomiaru pewnego termometru elektronicznego ma rozkład normalny o wariancji $0.04^{\circ }$C. Ilu niezależnych pomiarów temperatury wystarczy dokonać, aby mieć $99\mathrm{\%}$ pewności, że średnia z otrzymanych wyników wskazuje faktyczną temperaturę, z błędem nie większym niż $0.01^{\circ }$C?

    2 670. {T}
    3 000. {T}
    2 000. {N}
    2 652. {N}

}

<quiz>Do weryfikacji pewnej hipotezy ${\mathrm{H}}_0$ użyto statystyki testowej $U$, której rozkład, przy założeniu prawdziwości ${\mathrm{H}}_{\mathrm{0}}$, jest rozkładem Studenta o $10$ stopniach swobody, otrzymując $U\approx 1.812$ oraz wartość-$p$ w przybliżeniu równą $0.05$. Jaką postać mógł posiadać zbiór krytyczny $K$, którego użyto w tym teście?

    $K=[-a,a]$. {N}
    $K=(-\mathrm{\infty },-a]\cup [a,\mathrm{\infty })$. {N}
    $K=[a,\mathrm{\infty })$. {T}
    $K=(-\mathrm{\infty },a]$. {N}

}

<quiz>Z pewnej populacji, w której iloraz inteligencji posiada rozkład $N(\mu ,10)$, wybrano losowo 10 000 osób, zbadano ich iloraz inteligencji otrzymując średnią 123.5, a następnie na poziomie istotności $\alpha =0.1$ przetestowano hipotezę $H_0:\mu =124$, przy alternatywie $H_1:\mu <124$. Oceń prawdziwość poniższych zdań.

    Wynik testu sugerował odrzucenie $H_0$ na korzyść $H_1$. {T}
    Nie byłoby podstaw do odrzucenia $H_0$, gdyby $\alpha$ było równe $\frac{1}{10000000}$. {T}
    Wynik testu świadczył o tym, iż nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy $H_0$. {N}
    Wartość-$p$ wyniosła w tym teście około $0,00000029$. {N}

}

<quiz>Testujemy pewną hipotezę $H_0$, wykorzystując statystykę $T$ oraz zbiór krytyczny $K$. Które z poniższych wielkości oznaczają błąd drugiego rodzaju?

    $P(T\notin K\mid H_0$ -- prawdziwa $)$. {N}
    $P(T\notin K\mid H_0$ -- fałszywa $)$. {T}
    $P(T\in K\mid H_0$ -- prawdziwa $)$. {N}
    $1-P(T\in K\mid H_0$ -- fałszywa $)$. {T}

}

<quiz>Pewna firma wypuszcza nowy produkt na rynek i chce sprawdzić, która z pięciu proponowanych nazw tego produktu (powiedzmy A, B, C, D lub E) najbardziej spodoba się klientom. Poproszono więc grupę losowo wybranych osób, aby wskazali najbardziej przypadającą im do gustu nazwę, otrzymując następujące wyniki: \begincenter

Uzupelnij tytul

A	B	C	D	E
35 || 45 || 40 || 50 || 30

\endcenter Oceń prawdziwość poniższych zdań.

    Jeżeli testem zgodności ${\chi }^2$ weryfikujemy na poziomie istotności
       $\alpha =0.01$ hipotezę, że nazwy te podobają się w takim samym
       stopniu, to otrzymujemy wartość statystyki testowej równą $6.5$. {N}
    Jeżeli testem zgodności ${\chi }^2$ weryfikujemy na poziomie istotności
       $\alpha =0.01$ hipotezę, że nazwy te podobają się w takim samym
       stopniu, to otrzymujemy zbiór krytyczny $K=(a,\mathrm{\infty })$, gdzie $a\approx 0.297$. {N}
    Wynik testu zgodności ${\chi }^2$ na poziomie istotności
       $\alpha =0.075$ wskazuje na to, że nazwy te podobają się klientom w istotnie niejednakowym stopniu. {N}
    Wynik testu zgodności ${\chi }^2$ na poziomie istotności
       $\alpha =0.05$ wskazuje na to, że nazwy te w jednakowym stopniu podobają się klientom. {T}

}

14141414141414141414141414141414141414141414141414141414141414

Test sprawdzający

<quiz>Na bazie próbki prostej:

$-0.75,-0.03,-0.72,-0.6,$

pochodzącej z rozkładu jednostajnego na odcinku (-1,0), używając jednej z opisanych w tym module metod wyznaczono $4$-elementową próbkę losową z rozkładu o gęstości:

$f(x)=0,25{\mathrm{I}}_{[0,1]}+0,75{\mathrm{I}}_{(1,2]}.$

Spośród poniższych ciągów wybierz te, które mogły być wynikami działania tej procedury.

    $1.96,1,-0.29,-0.13$. {T}
    $1.67,0.12,-0.29,-0.13$. {N}
    $1,0.12,1.63,1.47$. {N}
    $1.47,1.63,0.12,1.67$.  {T}

}

<quiz>W których z poniższych przypadków, generator liczb pseudolosowych:

$X_{n+1}=a{X}_n+b(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}p),$

z pewnością nie da zadowalających rezultatów?

    $a=b=p$. {T}
    $b=0$, $a\ne p$. {N}
    $b=0$, $X_0=p^2$ . {T}
    $a\ne b$, $X_0>0$. {N}

}

<quiz>Czy na bazie próbki prostej, pochodzącej z rozkładu $N(m,\sigma )$ ($m$ i $\sigma$ -- znane), można wyznaczyć próbkę liczb pseudolosowych z rozkładu jednostajnego na odcinku $(a,b)$ ($a$ i $b$ -- dowolne)?

    Tak. {T}
    Tak, ale tylko w przypadku, gdy $m=\sigma =1$. {N}
   Tak,  ale tylko w przypadku, gdy $a=0$ i $b=1$. {N}
   Tak,  ale tylko w przypadku, gdy $m=\sigma =b=1$ i $a=0$. {N}

}

<quiz>Które z poniższych funkcji są jądrami?

    $K(x)=\{\begin{array}{rl}|x|,& |x|<1\\ 0,& |x|\ge 1\end{array}$. {T}
    $K(x)=\{\begin{array}{rl}|x-1|,& 0<x<2\\ 0,& x\le 0\text{<mrow data-mjx-texclass="ORD">lub</mrow>}x\ge 2\end{array}$. {N}
    $K(x)=\frac{1}{2}\cos x\cdot I_{[-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}]}(x)$. {T}
    $K(x)=\{\begin{array}{rl}\frac{1}{2},& |x|<2\\ 0,& |x|\ge 2\end{array}$. {N}

}

<quiz>Estymatorem bootstrapowym wartości oczekiwanej (opartym na średniej z próbki) nieznanego rozkładu, wyznaczonym na podstawie 10 replikacji próbki:

$4,1,1,$

może być:

    $0.535$. {N}
    $2.275$. {T}
    $4.12$. {N}
    $2.271$. {N}

}

<quiz>Dla próbki prostej:

$1,3,2,3,4,2,5,$

otrzymano, przy użyciu jądra trójkątnego, estymator jądrowy gęstości $\hat{f}$ taki, że $\hat{f}(2)=\frac{1}{4}$. Jaka szerokości pasma mogła zostać w tym przypadku zastosowana?

    $\frac{6}{7}$. {N}
    $\frac{8}{7}$. {N}
    $2$. {T}
    $0.1$. {N}

}