Test GR4

1111111111111111111111111111111111111

Wstęp. Zbiory liczbowe. Test

Do każdego zadania podano trzy odpowiedzi, z których każda może być prawdziwa lub fałszywa. Można uzyskać jeden punkt wtedy i tylko wtedy, jeśli poprawnie zostaną wskazane wszystkie prawdziwe i fałszywe odpowiedzi.

Zadania

Liczba $\sqrt{3+2\sqrt{2}}-\sqrt{3-2\sqrt{2}}$

(1) jest dodatnia

(2) jest wymierna

(3) należy do trójkowego zbioru Cantora.

 Równanie $x^6-1=0$

(1) ma dwa rozwiązania w zbiorze liczb rzeczywistych

(2) ma sześć pierwiastków w zbiorze $\mathbb{ℂ}\setminus \mathbb{ℝ}$

(3) jest spełnione przez liczbę $\frac{\sqrt{2}}{2}+i\frac{\sqrt{2}}{2}$.

 Liczba $(\genfrac{}{}{0ex}{}{10}{4})$

(1) jest równa $(\genfrac{}{}{0ex}{}{5}{2})$

(2) jest równa $(\genfrac{}{}{0ex}{}{10}{6})$

(3) jest współczynnikiem $a$ jednomianu $a{x}^4$ w wielomianie $(x+2{)}^{10}$ (to znaczy: w wielomianie, który otrzymamy po podniesieniu wyrażenia $x+2$ do potęgi 10 i po redukcji wyrazów podobnych).

Zbiór liczb z przedziału $[0,1]$, których rozwinięcia

dziesiętne można zapisać bez użycia cyfr 3, 4, 5,

(1) nie zawiera żadnej liczby wymiernej

(2) jest równy trójkowemu zbiorowi Cantora

(3) jest przeliczalny.

 Suma nieskończonego szeregu geometrycznego:

$1-\frac{1}{3}+\frac{1}{9}-\frac{1}{27}+...$

(1) jest liczbą niewymierną

(2) należy do przedziału $[\frac{1}{2},\frac{3}{4})$

(3) nie należy do przedziału $(\frac{1}{\sqrt{3}},\frac{1}{\sqrt{2}})$.

 Jeśli $z=\sqrt{3}+i$, to

(1) $z^6=64$

(2) $\mathrm{\Re }(\frac{z}{2}{)}^{36}=1$

(3) $\mathrm{\Im }\overline{z}=-i$.

Odpowiedzi

Zadanie 1. tak, tak, nie

Zadanie 2. tak, nie, nie

Zadanie 3. nie, tak, nie

Zadanie 4. nie, nie, nie

Zadanie 5. nie, nie, tak

Zadanie 6. nie, tak, nie.

Ocena testu:

0-3 pkt -- ocena niedostateczna

4 pkt -- ocena dostateczna

5 pkt -- ocena dobra

6 pkt -- ocena bardzo dobra.

22222222222222222222222222222222222222

Funkcje elementarne. Test

Do każdego zadania podano trzy odpowiedzi, z których każda może być prawdziwa lub fałszywa. Można uzyskać jeden punkt wtedy i tylko wtedy, jeśli poprawnie zostaną wskazane wszystkie prawdziwe i fałszywe odpowiedzi.

Zadania

Funkcja Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\aligned”): {\displaystyle \displaystyle f(x)=\left\{\aligned \root{4}\of{x}&, \text{ dla } x\geq 0\\ -\root{4}\of{-x}&, \text{ dla } x<0\endaligned \right .}

a. jest funkcją odwrotną do funkcji $g(x)=x^4$

b. jest bijekcją zbioru $\mathbb{ℝ}$ na zbiór $\mathbb{ℝ}$

c. jest ściśle rosnąca.

Dana jest funkcja $f(x)=\ln (1+x)$.

a. Dziedziną $f$ jest przedział $(-1,+\mathrm{\infty })$.

b. Funkcja $f$ przyjmuje wartość zero wyłącznie dla argumentu $x=0$.

c. Rozwiązaniem równania $f(x)=1$ jest liczba $x=e-1$.

Dana jest funkcja $f(x)=\arcsin (2x)$.

a. Dziedziną $f$ jest przedział $[-\frac{\pi }{4},\frac{\pi }{4}]$.

b. Funkcja $f$ przyjmuje wartość największą dla argumentu $x=\frac{\pi }{4}$.

c. Rozwiązaniem równania $f(x)=-\frac{\pi }{6}$ jest liczba $x=-\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Dana jest funkcja $f(x)=2\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{g}\sqrt{x}$.

a. Dziedziną $f$ jest przedział $(-\mathrm{\infty },+\mathrm{\infty })$.

b. Zbiorem wartości funkcji $f$ jest przedział $[0,\pi )$

c. Rozwiązaniem równania $f(x)=\frac{\pi }{2}$ jest liczba $1$.

Dana jest funkcja $f(x)=\cos (\arcsin 2x)$.

a. Dziedziną $f$ jest przedział $[-\frac{1}{2},\frac{1}{2}]$.

b. Funkcja $f$ jest równa funkcji $x\mapsto \sqrt{1-2x^2}$

c. Równanie $f(x)=\frac{1}{2}$ spełniają dwie liczby $\frac{\sqrt{3}}{4}$ oraz $-\frac{\sqrt{3}}{4}$.

Dana jest funkcja $f(x)=\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{t}\mathrm{g}\mathrm{h}(-x)$.

a. Funkcja $f$ jest bijekcją przedziału $(-1,1)$ na zbiór $\mathbb{ℝ}$.

b. Funkcja $f$ jest ściśle rosnąca.

c. Równanie $f(x)=1$ spełnia liczba $x=\frac{1-e^2}{1+e^2}$.

Odpowiedzi

Zadanie 1. nie, tak, tak

Zadanie 2. tak, tak, tak

Zadanie 3. nie, nie, nie

Zadanie 4. nie, tak, tak

Zadanie 5. tak, nie, tak

Zadanie 6. tak, nie, tak.

Ocena testu:

0-3 pkt -- ocena niedostateczna

4 pkt -- ocena dostateczna

5 pkt -- ocena dobra

6 pkt -- ocena bardzo dobra.

9999999999999999999999999999999999999999999999999999999999

Pochodna funkcji jednej zmiennej. Test

Do każdego zadania podano trzy odpowiedzi, z których każda może być prawdziwa lub fałszywa. Można uzyskać jeden punkt wtedy i tylko wtedy, jeśli poprawnie zostaną wskazane wszystkie prawdziwe i fałszywe odpowiedzi.

Pochodna funkcji $f(x)=\frac{\sqrt{x+1}-\sqrt{x-1}}{\sqrt{x+1}+\sqrt{x-1}}$ w

przedziale $(1,+\mathrm{\infty })$ jest równa

 (1)

$f^{\prime }(x)=1-\frac{x}{\sqrt{x+1}\sqrt{x-1}}$

 (2)

$f^{\prime }(x)=\frac{\sqrt{x-1}-\sqrt{x+1}}{\sqrt{x-1}+\sqrt{x+1}}$

 (3)

$f^{\prime }(x)=1-\sqrt{1+\frac{1}{x^2-1}}$. tak, nie, tak

Styczna do wykresu funkcji

$f(x)=x\sin x$ w punkcie $(\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2})$ ma równanie

 (1)

$y=x$

 (2)

$y=(-\frac{\pi }{2}+1)x+\frac{{\pi }^2}{4}$

 (3)

$y=x+\frac{\pi }{2}$. tak, nie, nie

Funkcja

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\begincases”): {\displaystyle \displaystyle f(x)=\begincases &x^3\sin (\frac 1x), \ \ \text{dla} \ \ x\neq 0, \\ &0, \ \ \text {dla} \ \ x=0, \endcases }

 (1)

jest ciągła

 (2)

ma pochodną w punkcie $x=0$

 (1)

ma ciągłą pochodną w punkcie $x=0$. tak, tak, tak

Równanie $x^e=k{e}^x$

 (1)

nie ma rozwiązań dla $k\in (0,1)$

 (2)

nie ma rozwiązań dla $k>1$

 (3)

ma dwa rozwiązania dla $k=1$. nie, tak, nie

Pochodna funkcji $f(x)=x^{e^x}$ jest równa

 (1)

$f^{\prime }(x)=e^x{x}^{e^x-1}$

 (2)

$f^{\prime }(x)=e^x{x}^{e^x}\ln x$

 (3)

$f^{\prime }(x)=e^x{x}^{e^x-1}\frac{x\ln x+1}{x}$. nie, nie, nie

Niech $x_0\in (a,b)$ i niech $f$ będzie

funkcją ciągłą w przedziale $(a,b)$ taką, że istnieje granica

$\underset{t\to 0}{\lim }\frac{f(x_0+t)-f(x_0-t)}{t}=A.$

Wtedy

 (1)

istnieje pochodna funkcji $f$ w punkcie $x_0$ i $f^{\prime }(x_0)=A$

 (2)

jeśli istnieje pochodna funkcji $f$ w punkcie $x_0$, to $f^{\prime }(x_0)=A$

 (3)

jeśli istnieje pochodna funkcji $f$ w punkcie $x_0$, to $f^{\prime }(x_0)=\frac{A}{2}$. nie, nie, tak

Odpowiedzi:

Zadanie 1. tak, nie, tak

Zadanie 2. tak, nie, nie

Zadanie 3. tak, tak, tak

Zadanie 4. nie, tak, nie

Zadanie 5. nie, nie, nie

Zadanie 6. nie, nie, tak

Ocena testu:

0-3 pkt -- ocena niedostateczna

4 pkt -- ocena dostateczna

5 pkt -- ocena dobra

6 pkt -- ocena bardzo dobra.

10101010101010101010101010101010101010101010

Wzór Taylora. Ekstrema. Test

Do każdego zadania podano trzy odpowiedzi, z których każda może być prawdziwa lub fałszywa. Można uzyskać jeden punkt wtedy i tylko wtedy, jeśli poprawnie zostaną wskazane wszystkie prawdziwe i fałszywe odpowiedzi.

Funkcja $x\mapsto (5-x)\sqrt[3]{x^2}$


 (1)

ma dokładnie dwa punkty krytyczne

   

 (2)

nie ma ekstremum w punkcie $0$

   

 (3)

ma minimum w punkcie 2.

tak, nie, nie

Funkcja $x\to x+\ln (\sin x)$
 

 (1)

ma punkty krytyczne postaci $\frac{\pi }{4}+k\pi$, gdzie $k\in \mathbb{\mathbb{Z}}$

   

 (2)

ma tylko minima

   

 (3)

nie ma punktów krytycznych w przedziale $(\frac{5\pi }{2},3\pi )$.

 nie, nie, nie

Niech $f(x)=x^m(1-x{)}^n$ dla pewnych

liczb naturalnych $m,n$. Wtedy

 

 (1)

funkcja $f$ ma dokładnie trzy punkty krytyczne

   

 (2)

funkcja $f$ ma maksimum w pewnym punkcie leżącym w przedziale $(0,1)$

   

 (3)

funkcja $f$ może mieć dwa minima.

 nie, tak, tak

Liczba $\frac{\pi }{2}$ jest największą

wartością funkcji

 

 (1)

$x\mapsto x\arcsin x+\sqrt{1-x^2}$ w przedziale $[0,1]$

   

 (2)

$x\mapsto \mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{g}x+\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{c}\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{g}x$ w przedziale $[1,+\mathrm{\infty })$

   

 (3)

$x\mapsto (1-x)\arccos x$ w przedziale $[0,1]$.

 tak, tak, tak

Z prostokątnego arkusza blachy o

wymiarach $a\times b$ wycięto w każdym rogu kwadrat o boku $x$. Z pozostałej blachy utworzono otwarte prostopadłościenne pudełko o wysokości $x$. Wartość $x$ została tak dobrana, że pojemność pudełka jest maksymalna. Wtedy

 

 (1)

jeśli $a=3$ i $b=8$, to pojemność ta wynosi $\frac{200}{27}$

   

 (2)

jeśli $a=b$, to $x=\frac{a}{6}$

   

 (3)

jeśli $a$ i $b$ są całkowite, to $x$ jest wymierne.

 tak, tak, nie

Przykładem funkcji różniczkowalnej

dwukrotnie, która nie jest klasy $C^2$ jest funkcja

 

 (1)

$x\mapsto \{\begin{array}{ll}{x}^4\cos \frac{1}{x},& \mathrm{g}\mathrm{d}\mathrm{y}x\ne 0\\ 0,& \mathrm{g}\mathrm{d}\mathrm{y}x=0\end{array}$

   

 (2)

$x\mapsto \{\begin{array}{ll}-x^3,& \mathrm{g}\mathrm{d}\mathrm{y}x\ge 0\\ x^3,& \mathrm{g}\mathrm{d}\mathrm{y}x<0\end{array}$

   

 (3)

$x\mapsto \{\begin{array}{ll}x\sinh x,& \mathrm{g}\mathrm{d}\mathrm{y}x\ge 0\\ -x\sinh x,& \mathrm{g}\mathrm{d}\mathrm{y}x<0\end{array}$.

 tak, nie, tak

Odpowiedzi:

Zadanie Uzupelnic t.am1.c.10.010|. tak, nie, nie

Zadanie Uzupelnic t.am1.c.10.020|. nie, nie, nie

Zadanie Uzupelnic t.am1.c.10.030|. nie, tak, tak

Zadanie Uzupelnic t.am1.c.10.040|. tak, tak, tak

Zadanie Uzupelnic t.am1.c.10.050|. tak, tak, nie

Zadanie Uzupelnic t.am1.c.10.060|. tak, nie, tak.

Ocena testu:

0-3 pkt -- ocena niedostateczna

4 pkt -- ocena dostateczna

5 pkt -- ocena dobra

6 pkt -- ocena bardzo dobra.

111111111111111111111111111111111111111111111111111111

Twierdzenie de l'Hospitala. Równość asymptotyczna. Test

Do każdego zadania podano trzy odpowiedzi, z których każda może być prawdziwa lub fałszywa. Można uzyskać jeden punkt wtedy i tylko wtedy, jeśli poprawnie zostaną wskazane wszystkie prawdziwe i fałszywe odpowiedzi.

Symbolem nieoznaczonym jest


 (1)

$[+\mathrm{\infty }-\mathrm{\infty }]$

   

 (2)

$\left[1^{+\mathrm{\infty }}\right]$

   

 (3)

$\left[0^{-\mathrm{\infty }}\right]$.

tak, tak, nie

Granica $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{g}x}{x^3}$
 

 (1)

może być liczona za pomocą reguły de l'Hospitala

   

 (2)

jest równa granicy $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\frac{x^3}{1+x^2}-3x^2\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{g}x}{x^6}$

   

 (3)

jest równa 0. tak, nie, nie

Granica $\underset{x\to 0}{\lim }x\ln x$
 

 (1)

jest równa granicy $\underset{x\to 0}{\lim }(1\cdot \ln x+x\cdot \frac{1}{x})$

   

 (2)

jest równa granicy $\underset{x\to 0}{\lim }1\cdot \frac{1}{x}$

 (3)

jest równa 0.

nie, nie, tak

Granica $\underset{x\to 1}{\lim }\frac{\sqrt{1-x^m}}{\ln x}$
 

 (1)

istnieje dla dowolnej liczby rzeczywistej $m$

   

 (2)

jest równa $1$ dla $m=2$

   

 (3)

jest równa $0$ dla pewnego $m$.

 tak, nie, tak

Na mocy reguły de l'Hospitala

prawdziwa jest równość

 

 (1)

$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{5x^2+3x-2}{2x^2-7x+1}=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{10x+3}{4x-7}$

   

 (2)

$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{3x+\cos x}{2x-\sin x}=\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{3-\sin x}{2-\cos x}$

   

 (3)

$\underset{x\to 1}{\lim }\frac{\ln x}{x^2}=\underset{x\to 1}{\lim }\frac{\frac{1}{x}}{2x}$

   nie, nie, nie

Funkcja $f(x)=2x\arccos \frac{1}{x}$
 

 (1)

ma asymptotę pionową $x=0$

   

 (2)

ma asymptotę ukośną $y=\pi x-2$ w plus lub minus nieskończoności

   

 (3)

ma inną asymptotę ukośną w plus nieskończoności niż w minus nieskończoności.

 nie, tak, nie

Odpowiedzi:

Zadanie Uzupelnic t.am1.c.11.010|. tak, tak, nie

Zadanie Uzupelnic t.am1.c.11.020|. tak, nie, nie

Zadanie Uzupelnic t.am1.c.11.030|. nie, nie, tak

Zadanie Uzupelnic t.am1.c.11.040|. tak, nie, tak

Zadanie Uzupelnic t.am1.c.11.050|. nie, nie, nie

Zadanie Uzupelnic t.am1.c.11.060|. nie, tak, nie.

Ocena testu:

0-3 pkt -- ocena niedostateczna

4 pkt -- ocena dostateczna

5 pkt -- ocena dobra

6 pkt -- ocena bardzo dobra.

12121212121212121212121212121212121212121212121212121212

Wypukłość. Badanie funkcji jednej zmiennej. Test

Do każdego zadania podano trzy odpowiedzi, z których każda może być prawdziwa lub fałszywa. Można uzyskać jeden punkt wtedy i tylko wtedy, jeśli poprawnie zostaną wskazane wszystkie prawdziwe i fałszywe odpowiedzi.

Funkcja


 (1)

$x\mapsto \ln \frac{1}{x}$ jest wklęsła

   

 (2)

$x\mapsto \cosh x$ jest wypukła

   

 (3)

$x\mapsto \sqrt{1-x^2}$ jest wypukła.

nie, tak, nie

Funkcja $f$ jest dwukrotnie

różniczkowalna w pewnym przedziale $(0,+\mathrm{\infty })$. Wtedy:

 

 (1)

Jeśli $f$ jest wypukła, to $f^{\prime }$ jest rosnąca.

   

 (2)

Jeśli $f^{\prime }$ jest malejąca, to $f$ jest wklęsła.

   

 (3)

Jeśli $f^{″}(1)=0$, to $f$ ma w $1$ punkt przegięcia. tak, tak, nie

Funkcja $f(x)=x^3+12\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{g}x$ jest
 

 (1)

wypukła w przedziale $(1,+\mathrm{\infty })$

   

 (2)

wklęsła w przedziale $(-\mathrm{\infty },-1)$

   

 (3)

wypukła w przedziale $(-\frac{1}{2},\frac{1}{2})$.

 tak, tak, nie

Funkcja $x\mapsto x\arcsin (\cos x)$

jest wypukła w przedziale

 

 (1)

$(\frac{\pi }{2},\frac{3\pi }{2})$

   

 (2)

$(-\frac{\pi }{2},0)$

   

 (3)

$(5\pi ,6\pi )$.

 nie, tak, tak

Jeśli funkcja $f$ jest wypukła w

przedziale $(0,1)$, to

 

 (1)

funkcja $f^2(x)=(f(x){)}^2$ też jest wypukła w tym przedziale

   

 (2)

funkcja $f^3(x)=(f(x){)}^3$ też jest wypukła w tym przedziale

   

 (3)

funkcja $(0,1)\ni x\mapsto xf(x)$ też jest wypukła w tym przedziale.

   nie, nie, nie

Niech $x,y,z$ będą dowolnymi liczbami

z przedziału $(0,1)$. Prawdziwa jest nierówność

 

 (1)

$xyz\le \frac{(x+y+z{)}^3}{27}$

   

 (2)

$e^{\frac{2x+y}{3}}\le \frac{2}{3}(e^x+e^y)$

   

 (3)

$2\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{g}\frac{2x+y+z}{4}\le \mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{g}x+\frac{1}{2}(\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{g}y+\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{g}z)$.

tak, tak, tak