Test GR4

Test sprawdzający

333333333333333333333333333333333333333333333

Test sprawdzający

Niech $(\mathrm{\Omega },\mathrm{\Sigma },P)$ będzie dowolną przestrzenią probabilistyczną. Wówczas dla dowolnych zbiorów $A,B\subset \mathrm{\Sigma }$ takich, że $A\subset B$ zachodzi:

• $P(A\cup B)=P(A)+P(B)$? </wrongoption>
• $P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$? </rightoption>
• $P(A\cap B)<P(B)$. </wrongoption>
• $P(A\setminus B)=0$. </rightoption>

Które z poniższych rodzin stanowią $\sigma$-algebry w zbiorze liczb naturalnych $</wrongoption>$?

• $\{\mathrm{\varnothing },2</wrongoption>,</wrongoption>\setminus 2</wrongoption>,</wrongoption>\}$, gdzie

   $2</wrongoption>$ oznacza zbiór liczb naturalnych parzystych. </rightoption>

• $\{\mathrm{\varnothing },A_2,A_3,</wrongoption>\}$, gdzie

   $A_n$ oznacza zbiór liczb naturalnych podzielnych przez $n$. </wrongoption>

• Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\di”): {\displaystyle \displaystyle \di \bigcup_{n=10}^\infty{\cal P}(\{0,1,2,\ldots,n\})} . </rightoption>
• Rodzina co najmniej 10-elementowych podzbiorów $</wrongoption>$. </wrongoption>

Rzucono $100$ razy monetą. Oceń prawdziwość poniższych zdań.

• Orła wyrzucono co najmniej $50$ razy. </wrongoption>
• Nie jest możliwe, że za każdym razem otrzymano reszkę. </wrongoption>
• Prawdopodobieństwo otrzymania dokładnie 2 orłów jest równe prawdopodobieństwu

   otrzymania dokładnie 98 reszek. </rightoption>

• Zdarzenie polegające na wyrzuceniu co najmniej 10 orłów lub co najwyżej 99 reszek jest zdarzeniem pewnym. </wrongoption>

Rozważmy dowolnie ustaloną miarę $\mu$, określoną na Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\s”): {\displaystyle \displaystyle \s} -algebrze zbiorów borelowskich w przestrzeni Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\r”): {\displaystyle \displaystyle \r^2} . Wówczas:

• $\mu$ jest miarą Lebesgue'a. </wrongoption>
• Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\r”): {\displaystyle \displaystyle \mu(\r^2)=1} . </wrongoption>
• każde koło o promieniu 1 jest zbiorem $\mu$-mierzalnym. </rightoption>
• jeżeli $\mu ((0,1)\times (0,1))>0$, to $\mu (A)>0$, gdzie $A$ jest kołem o środku w początku układu współrzędnych i promieniu $2$. </rightoption>

Trzy osoby wybierają spośród trzech różnych par rękawiczek po lewej i prawej rękawiczce. Prawdopodobieństwo tego, że żadna z nich nie dostała pary:

• jest większe od prawdopodobieństwa tego, że wszyscy otrzymali sparowane rękawiczki. </rightoption>
• jest równe dokładnie $0.33$. </wrongoption>
• wynosi dokładnie $\frac{2}{3}$. </wrongoption>
• jest mniejsze niż $\frac{1}{2}$. </rightoption>

{Które z poniższych zdań są prawdziwe?

• Jeżeli w 100 kolejnych rzutach monetą za każdym razem otrzymano orła, to w następnym

   rzucie prawdopodobieństwo wyrzucenia reszki jest większe niż prawdopodobieństwo wyrzucenia orła. </wrongoption>

• W każdej przestrzeni probabilistycznej $(\mathrm{\Omega },\mathrm{\Sigma },P)$ znajdziemy niepusty zbiór $A$ taki, że $P(A)=0$. </wrongoption>
• Każda nieskończona przestrzeń probabilistyczna zawiera niepuste zdarzenie o zerowym prawdopodobieństwie. </wrongoption>.
• Wśród 400 losowo wybranych osób znajdują się dwie, które obchodzą urodziny w tym samym dniu. </rightoption>

44444444444444444444444444444444444444444444444444

Test sprawdzający

Dla dowolnych liczb naturalnych $r$ i $n$ takich, że $1\le n\le r$, prawdopodobieństwa zdarzeń elementarnych występujących w schematach losowania $n$ ze zbioru $r$-elementowego elementów, bez zwracania i ze zwracaniem:

• są zawsze różne od siebie. </wrongoption>
• są zawsze sobie równe. </wrongoption>
• są zawsze mniejsze niż $1$. </wrongoption>
• żadne z powyższych. </rightoption>

Niech $K\subset {\mathbb{ℝ}}^2$ będzie danym kwadratem o boku $1$ oraz niech $(K,\mathrm{\Sigma },P)$ będzie przestrzenią probabilistyczną występującą w definicji Uzupelnic dpg|. Wówczas:

• $P(A)=\mu (A)$ dla każdego $A\in \mathrm{\Sigma }$ ($\mu$ oznacza dwuwymiarową miarę Lebesgue'a). </rightoption>
• $P(A)<\mu (A)$ dla pewnego $A\in \mathrm{\Sigma }$. </wrongoption>
• $P(O)=0$, gdzie $O$ jest okręgiem wpisanym w kwadrat $K$. </rightoption>
• wnętrze kwadratu $K$ jest zdarzeniem pewnym. </rightoption>

Spośród 3 kul niebieskich i 4 kul czarnych losujemy 3 kule. Wówczas prawdopodobieństwo wylosowania co najmniej 2 kul niebieskich:

• jest większe w przypadku losowania bez zwracania. </wrongoption>
• jest mniejsze, w przypadku

   losowania ze zwracaniem, niż prawdopodobieństwo wylosowania dokładnie 2 kul czarnych. </wrongoption>

• jest w każdym przypadku mniejsze niż Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\di”): {\displaystyle \displaystyle \di \frac{1}{2}} . </wrongoption>
• jest większe, w przypadku

   losowania bez zwracania, niż prawdopodobieństwo wylosowania co najmniej 3 kul czarnych. </rightoption>

Maciek jest zapalonym kinomanem, uwielbiającym jednocześnie pływanie. Codziennie wieczorem wychodzi z domu, udając się na najbliższy przystanek autobusowy, gdzie dociera między godziną $19^{00}$ a $20^{00}$ (każdy moment jest jednakowo prawdopodobny). Z przystanku tego odjeżdżają autobusy linii $109$ i $110$, wg następującego rozkładu:

$109:19^{05},19^{30},19^{55},$ $110:19^{11},19^{36},20^{01}.$

Autobusem nr $109$ Maciek dojeżdża do swojego ulubionego kina, zaś autobusem nr $100$ -- do ulubionego basenu, przy czym zawsze wybiera ten, który nadjedzie jako pierwszy. Jeżeli $A$ oznacza zdarzenie polegające na tym, że Maciek w danym dniu znajdzie się w kinie (w przeciwnym razie będzie pływać w basenie), to zakładając bezwzględną punktualność autobusów:

• zdarzenia $A$ i $\mathrm{\Omega }\setminus A$ zachodzą z jednakowym prawdopodobieństwem, ponieważ

   w interesującym nas okresie czasu odjeżdża tyle samo autobusów linii $109$, co $110$. </wrongoption>

• zdarzenie $A$ jest mniej prawdopodobne niż zdarzenie przeciwne do $A$, ponieważ autobusy nr $109$

   odjeżdżają wcześniej, niż odpowiadające im autobusy nr $110$. </wrongoption>

• Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\di”): {\displaystyle \displaystyle \di P(A)>\frac{1}{2}} . </rightoption>
• $P(A)<1-P(A)$. </wrongoption>

Doświadczenie polega na rzucie monetą -- rzucamy nią tak długo, aż wypadnie orzeł. Niech ${\omega }_i$ oznacza zdarzenie, że za $i$-tym razem po raz pierwszy wypadł orzeł. Ocenić prawdziwość poniższych zdań.

• Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\di”): {\displaystyle \displaystyle \di \lim_{n\rightarrow \infty} P(\omega_</wrongoption>)=0} . </rightoption>
• $P({\omega }_{<}/wrongoption>)=P({\omega }_{n+1}\cup {\omega }_{n+2}\cup {\omega }_{n+3}\cup \dots )$

   dla każdego $n\ge 1$. </rightoption>

• Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\di”): {\displaystyle \displaystyle \di \sum_{n=1}^\infty P(\omega_</wrongoption>)=1} . </rightoption>
• Zdarzenia ${\omega }_i$ są jednakowo prawdopodobne. </wrongoption>

Eksperyment polega na wykonaniu 10 rzutów symetryczną kostką do gry, a więc jego wynikiem jest 10 elementowy ciąg. Eksperyment ten można traktować jako:

• losowanie liczby naturalnej ze zbioru $\{1,\dots ,10^6\}$. </wrongoption>
• losowanie ze zwracaniem sześciu spośród dziesięciu elementów. </wrongoption>
• losowanie bez zwracania sześciu spośród dziesięciu elementów. </wrongoption>
• losowanie bez zwracania dziesięciu spośród sześciu elementów. </wrongoption>

555555555555555555555555555555555555555555555555

Test sprawdzający

Poznana definicja prawdopodobieństwa warunkowego $P(W|Z)$ zakłada, że:

• oba zdarzenia $W$ i $Z$ mają prawdopodobieństwa dodatnie. </wrongoption>
• przynajmniej jedno z tych zdarzeń ma prawdopodobieństwo dodatnie. </wrongoption>
• zdarzenie $Z$ ma prawdopodobieństwo dodatnie. </rightoption>
• zdarzenie $W$ ma prawdopodobieństwo dodatnie. </wrongoption>

Oceń prawdziwość poniższych zdań.

• Jeżeli dwa zdarzenia są niezależne, to zdarzenia te są rozłączne. </wrongoption>
• Jeżeli dwa zdarzenia są rozłączne, to zdarzenia te są zależne. </wrongoption>
• Jeżeli dwa zdarzenia są rozłączne, to zdarzenia te są niezależne. </wrongoption>
• Jeżeli $P(B|A)=P(A)$, to zdarzenia $A$ i $B$ są niezależne. </wrongoption>

Rzucamy trzema kostkami do gry. Zdarzenie $A$ oznacza, że wśród uzyskanych oczek nie ma "szóstki", zaś zdarzenie $B$ -- że na co najmniej jednej kostce wypada "jedynka". Wtedy $P(A|B)$:

• równa się Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\di”): {\displaystyle \displaystyle \di \frac{61}{91}} . </rightoption>
• równa się Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\di”): {\displaystyle \displaystyle \di \frac{127}{216}} . </wrongoption>
• jest mniejsze od Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\di”): {\displaystyle \displaystyle \di \frac{1}{2}} . </wrongoption>
• jest większe od Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\di”): {\displaystyle \displaystyle \di \frac{2}{3}} . </rightoption>

Trzy oddziały pewnej firmy produkują monitory komputerowe, które następnie są centralnie testowane: 40 monitorów pochodzi z oddziału $A$, gdzie wadliwość wynosi 3, 30 monitorów pochodzi z oddziału $B$,

gdzie wadliwość wynosi 1, zaś pozostałe monitory pochodzą z oddziału $C$, który ma 0 wadliwości. Wiemy, że
losowo wybrany monitor przeszedł pozytywnie test. Jakie jest prawdopodobieństwo tego, że został on wyprodukowany w oddziale $C$?

• Około 3. </wrongoption>
• Ponad 30. </rightoption>
• Więcej niż 50. </wrongoption>
• Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\di”): {\displaystyle \displaystyle \di \frac{60}{197}} . </rightoption>

Chcemy szybko rozpalić ognisko, lecz mamy do dyspozycji tylko trzy zapałki. Prawdopodobieństwo rozpalenia ogniska pojedynczą zapałką wynosi $0.4$, dwiema złączonymi zapałkami -- $0.6$, zaś trzema złączonymi zapałkami -- $0.8$. Jaką wybrać strategię?

• Używać pojedynczych zapałek. </wrongoption>
• Użyć najpierw jedną, a potem dwie złączone zapałki. </wrongoption>
• Użyć najpierw dwie złączone zapałki, a potem jedną zapałkę. </wrongoption>
• Użyć od razu trzy zapałki. </rightoption>

W schemacie Bernoulliego liczba doświadczeń wynosi 10, a prawdopodobieństwo sukcesu wynosi $0.2$. Które z poniższych zdarzeń jest najbardziej prawdopodobne?

• Uzyskanie 2 sukcesów. </wrongoption>
• Uzyskanie 3 sukcesów. </wrongoption>
• Uzyskanie mniej niż 2 sukcesów. </rightoption>
• Uzyskanie więcej niż 5 sukcesów. </wrongoption>

66666666666666666666666666666666666666666666

Test sprawdzający

Oceń prawdziwość poniższych zdań.

• Każdy rozkład prawdopodobieństwa ma dystrybuantę. </rightoption>
• Każdy rozkład prawdopodobieństwa jest albo rozkładem dyskretnym albo rozkładem ciągłym. </wrongoption>
• Dystrybuanta rozkładu ciągłego jest funkcją ciągłą. </rightoption>
• Dystrybuanta rozkładu dyskretnego nie jest funkcją ciągłą. </rightoption>

Wskaż rozkład wartości bezwzględnej różnicy liczby oczek przy rzucie dwiema kostkami:

• $x_i=1,2,3,4,5$; Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\di”): {\displaystyle \displaystyle \di p_i=\frac{16}{36},\frac{8}{36},\frac{6}{36},\frac{4}{36},\frac{2}{36}} . </wrongoption>
• $x_i=0,1,2,3,4,5$; Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\di”): {\displaystyle \displaystyle \di p_i=\frac{1}{6},\frac{10}{36},\frac{8}{36},\frac{6}{36},\frac{4}{36},\frac{2}{36}} . </rightoption>
• $x_i=0,1,2,3,4,5$; Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\di”): {\displaystyle \displaystyle \di p_i=\frac{10}{6},\frac{6}{36},\frac{8}{36},\frac{6}{36},\frac{4}{36},\frac{2}{36}} . </wrongoption>
• $x_i=1,2,3,4,5,6$; Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\di”): {\displaystyle \displaystyle \di p_i=\frac{1}{6},\frac{10}{36},\frac{8}{36},\frac{6}{36},\frac{4}{36},\frac{2}{36}} . </wrongoption>

Zmienna losowa $X$ ma gęstość:

$f(x)=\{\begin{array}{rl}0& \text{dla }x<0\\ x{e}^{-x}& \text{dla }x\ge 0.\\ \end{array}$

Oceń prawdziwość następujących zdań:

• Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\di”): {\displaystyle \displaystyle \di P(X > 1) < \frac{1}{2}} . </wrongoption>
• Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\di”): {\displaystyle \displaystyle \di P(X = 1) = \frac{2}{e^{-1}}} . </wrongoption>
• Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\di”): {\displaystyle \displaystyle \di P(X > 1) > \frac{3}{4}} . </wrongoption>
• $P(X>-1)<1$. </wrongoption>

Zmienna losowa $X$ ma rozkład jednostajny na odcinku $(-1,1)$. Wskaż gęstość rozkładu zmiennej losowej $X^2$:

• Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\di”): {\displaystyle \displaystyle \di f(x) = \left\{\begin{array} {rl} 0 & \hbox{dla } x \le -1 \\ \frac{1}{2}x^2 & \hbox{dla } -1 < x < 1 \\ 0 & \hbox{dla } x \ge 1 \\ \end{array} .\right. } </wrongoption>
• Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\dif”): {\displaystyle \displaystyle \dif(x) = \left\{\begin{array} {rl} 0 & \hbox{dla } x \le 0 \\ \frac{1}{3}x^2 & \hbox{dla }0 < x < 1 \\ 0 & \hbox{dla } x \ge 1 \\ \end{array} .\right. } </wrongoption>
• Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\di”): {\displaystyle \displaystyle \di f(x) = \left\{\begin{array} {rl} 0 & \hbox{dla } x \le -1 \\ \frac{1}{\sqrt{|x|}} & \hbox{dla } -1 < x < 1 \\ 0 & \hbox{dla } x \ge 1 \\ \end{array} .\right. } </wrongoption>
• Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\di”): {\displaystyle \displaystyle \di f(x) = \left\{\begin{array} {rl} 0 & \hbox{dla } x \le 0 \\ \frac{1}{2\sqrt{x}} & \hbox{dla } 0 < x < 1 \\ 0 & \hbox{dla } x \ge 1 \\ \end{array} .\right. } </rightoption>

Wyprodukowano dwie kostki do gry w ten sposób, że "szóstka" wypada z prawdopodobieństwem $0.1$, natomiast pozostałe

ścianki wypadają z jednakowym prawdopodobieństwem każda. Niech $X$ oraz $Y$ oznaczają liczby oczek otrzymanych w
rezultacie rzutu tymi kostkami. Oceń prawdziwość poniższych zdań.

• $P(X>Y)=P(X<Y)$. </rightoption>
• $P(X=Y)=0.172$. </rightoption>
• $P(X>Y)=0.414$. </rightoption>
• $X$ oraz $Y$ są zależnymi zmiennymi losowymi. </wrongoption>

Czy z niezależności zmiennych losowych $\xi$ oraz $\eta$ wynika, że:

• niezależne są zmienne losowe $\xi +\eta$ oraz $\xi -\eta$? </wrongoption>
• niezależne są zmienne losowe $3\xi$ oraz $-\eta$? </rightoption>
• niezależne są zmienne losowe ${\xi }^2$ oraz ${\eta }^2$? </rightoption>
• niezależne są zmienne losowe $\max (\xi ,\eta )$ oraz $\xi +\eta$? </wrongoption>

777777777777777777

Test sprawdzający

Niech $X$ oznacza liczbę oczek otrzymanych przy rzucie "fałszywą kostką", na której "szóstka"

wypada z prawdopodobieństwem $0.1$, natomiast pozostałe ścianki wypadają z jednakowym prawdopodobieństwem każda. Wtedy:

• Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\E”): {\displaystyle \displaystyle \E(X) = 3.2} . </wrongoption>
• Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\D”): {\displaystyle \displaystyle \D (X) = 6.25} . </wrongoption>
• średni błąd $X$ wynosi $2.32$. </wrongoption>
• $q_{0.9}=6$. </wrongoption>

Za prawo wyciągnięcia jednej karty z talii 52 kart płacimy $w$ zł, a otrzymujemy $a$ zł za wyciągnięcie asa,

15 zł za wyciągnięcie waleta, damy lub króla oraz $x$ zł za wyciągnięcie karty mającej $x$ oczek. Gra jest sprawiedliwa,
gdy:

• $a=5$, $w=8$. </rightoption>
• $a=10$, $w=7$. </wrongoption>
• $a=100$, $w=15$. </wrongoption>
• nigdy nie jest sprawiedliwa. </wrongoption>

Zmienna losowa $X$ ma gęstość:

$f(x)=\{\begin{array}{rl}0& \text{dla }x<0\\ x{e}^{-x}& \text{dla }x\ge 0.\\ \end{array}$

Oceń prawdziwość następujących zdań:

• Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\E”): {\displaystyle \displaystyle \E(X) = 2} . </rightoption>
• Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\D”): {\displaystyle \displaystyle \D (X) = 2} . </rightoption>
• średni błąd $X$ wynosi $8e^{-2}$. </rightoption>
• $q_{0.5}\approx 1.68$. </rightoption>

Oceń prawdziwość poniższych zdań.

• Każda zmienna losowa ma skończoną wartość oczekiwaną. </wrongoption>
• Istnieją zmienne losowe, dla których nie istnieje skończona wartość oczekiwana. </rightoption>
• Istnieje zmienna losowa, dla której wszystkie momenty centralne są równe zeru. </rightoption>
• Wariancja sumy zmiennych losowych jest równa sumie wariancji tych zmiennych, pod warunkiem, że wariancje te istnieją

   i są skończone. </wrongoption>

Wylosowano niezależnie od siebie cztery liczby, zgodnie z rozkładem jednostajnym na odcinku $(0,1)$, a następnie utworzono łamaną z odcinków o długościach równych tym liczbom. Niech $X$ będzie długością tej łamanej. Wtedy:

• $P(|X-2|>1)\le \frac{1}{3}$ </rightoption>
• $P(|X-2|<\sqrt{3})\ge \frac{8}{9}$ </rightoption>
• $P(|X-2|<2)\ge 1$ </rightoption>
• $P(X=2)=0$ </rightoption>

Ile razy należy rzucić monetą symetryczną, żeby liczba otrzymanych orłów mieściła się w przedziale:

$(48\mathrm{\%}$ liczby rzutów $,52\mathrm{\%}$ liczby rzutów $),$

z prawdopodobieństwem $0.99$ lub większym?

• Co najmniej 1 000 000 razy. </wrongoption>
• Wystarczy rzucić 100 000 razy. </rightoption>
• Dokładnie 4 250 razy. </wrongoption>
• Na przykład 62 500 razy. </rightoption>

88888888888888888888888888888888888888888

Test sprawdzający

Z urny zawierającej $L_n$ niebieskich i $L_c$ czarnych kul losujemy $k$ kul. Niech $N$ oraz $C$ oznaczają liczbę uzyskanych niebieskich i czarnych kul. Wtedy:

• $N$ ma rozkład hipergeometryczny, gdy losowanie odbywa się ze zwracaniem. </wrongoption>
• wektor losowy $(N,C)$ ma rozkład wielomianowy, gdy losowanie odbywa się ze zwracaniem. </rightoption>
• Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\E”): {\displaystyle \displaystyle \E(N) = \frac{kL_n}{L_n+L_c}} , gdy losowanie odbywa się bez zwracania. </rightoption>
• $C$ ma w przybliżeniu rozkład Poissona, gdy w urnie jest dużo kul niebieskich w porównaniu z kulami czarnymi, a

       liczba losowań ze zwracaniem jest porównywalna z liczbą kul w urnie.  </rightoption>

Niech $X$ ma rozkład Poissona o parametrze $\lambda =4$. Wtedy:

• $P(X=0)\approx 0.018$. </rightoption>
• $P(X\le 7)\approx 0.99$. </wrongoption>
• $P(X>4)\approx 0.37$. </rightoption>
• $P(1<X\le 5)\approx 0.69$. </rightoption>

Średnia liczba stłuczek samochodowych w ciągu doby w pewnym mieście wynosi 10.5. Wskaż przedział $[a,b]$ taki, że w dniu jutrzejszym liczba stłuczek samochodowych w tym mieście będzie z prawdopodobieństwem co najmniej 0.9 zawierać się w tym

przedziale.

• $a=7$, $b=20$. </wrongoption>
• $a=0$, $b=14$. </wrongoption>
• $a=5$, $b=15$. </rightoption>
• $a=6$, $b=16$. </rightoption>

Prawdopodobieństwo $q$ tego, że powtarzając rzut parą kostek otrzymamy parę "szóstek" w pierwszych dziesięciu rzutach jest:

• w przybliżeniu równe $0.35$. </wrongoption>
• w przybliżeniu równe $0.24$. </rightoption>
• mniejsze niż $0.5$. </rightoption>
• większe $0.5$. </wrongoption>

Prawdopodobieństwo awarii serwera w studenckiej pracowni komputerowej w ciągu każdego dnia pracy wynosi $0.005$. Zakładając, że awarie są niezależne od siebie, ocenić jakie jest prawdopodobieństwo $Pr$ tego, że w trakcie 500 dni pracy serwera będą co

najmniej dwie awarie.

• $Pr>0.8$. </wrongoption>
• $Pr<0.5$. </wrongoption>
• $Pr\approx 0.4943$. </wrongoption>
• $Pr>0.7$. </rightoption>

Samolot znajduje rozbitka, na określonym akwenie, w czasie mającym rozkład wykładniczy o średniej wynoszącej 30 minut. Motorówka

ratunkowa znajduje rozbitka, na tym samym akwenie, w czasie mającym rozkład wykładniczy o średniej równej 2 godziny. Ile wynosi wartość
oczekiwana czasu poszukiwania rozbitka na tym akwenie, gdy samolot i motorówka działają niezależnie od siebie?

• 24 minuty. </rightoption>
• 2.5 godziny. </wrongoption>
• 20 minut. </wrongoption>
• 12 minut. </wrongoption>

999999999999999999999999999999999999999999999

Test sprawdzający

Liczba $q\approx 3.5631$ jest kwantylem rzędu $p=0.9$ rozkładu normalnego $N(m,\sigma )$, gdy:

• $m=2$, $\sigma =1$. </wrongoption>
• funkcja $F(x)=\mathrm{\Phi }(\frac{x}{2}-0.5)$

   jest dystrybuantą rozkładu $N(m,\sigma )$. </rightoption>

• $\mathrm{\Phi }(q)=p$. </wrongoption>
• ${\mathrm{\Phi }}_{m,\sigma }(1)=0.5$. </rightoption>

Niech $X_1,X_2,\dots ,X_n$ będą zmiennymi losowymi o rozkładach $N(0,1),N(0,2),\dots ,N(0,n)$ oraz

niech:

$Y=X_1+\frac{X_2}{2}+\dots +\frac{X_n}{<}/wrongoption>.$

Wówczas:

• Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\E”): {\displaystyle \displaystyle \E(Y)=0} . </rightoption>
• Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\D”): {\displaystyle \displaystyle \D(Y)=n} . </wrongoption>
• $Y$ ma rozkład $N(0,\sqrt{<}/wrongoption>)$. </wrongoption>
• $Y$ ma rozkład $N(0,n)$. </wrongoption>

Które z poniższych stwierdzeń można uznać za wnioski z centralnego twierdzenia granicznego?

• Wzrost mężczyzn w Polsce ma w przybliżeniu rozkład normalny. </wrongoption>
• Średni wzrost mężczyzn w Polsce ma w przybliżeniu rozkład normalny. </rightoption>
• Liczba osób chorych na białaczkę ma w przybliżeniu rozkład normalny. </rightoption>
• Częstość występowania białaczki w USA. ma w przybliżeniu rozkład normalny. </rightoption>

Częstość występowania pewnej choroby w Chinach wynosi 0.1. Jak liczną grupę Chińczyków wystarczy zebrać, aby mieć co najmniej 99 pewności, że wśród nich są przynajmniej 2 osoby chore na tę chorobę?

• 2 000 osób. </wrongoption>
• 3 000 osób. </rightoption>
• 2 110 osób lub mniej. </wrongoption>
• 2 106 osób. </wrongoption>

Z pewnej (dużej) populacji, w której iloraz inteligencji posiada rozkład $N(124,10)$, wybrano losowo 10 000 osób. Niech $Pr$ oznacza prawdopodobieństwo tego, że średni iloraz inteligencji w wybranej grupie różni się o nie więcej niż 0.1 od średniej dla całej populacji. Wówczas:

• $Pr\approx 0.7$. </rightoption>
• $Pr\in (0.6,0.7)$. </rightoption>
• $Pr>0.7$. </wrongoption>
• $Pr\approx 0.5$. </wrongoption>

Prawdopodobieństwo zarażenia się wirusem WZW B podczas pojedynczego badania endoskopowego wynosi 0.001. Oceń prawdziwość poniższych zdań.

• Prawdopodobieństwo tego, że po przebadaniu 1 000 000 osób okaże się, iż

       dokładnie jedna z nich została podczas tego badania zarażona wirusem WZW B jest bardzo bliskie zeru. </rightoption>

• Po przebadaniu 1 000 osób, prawdopodobieństwo tego, że przynajmniej jedna z nich została

   zarażona wirusem WZW B wynosi około 50. </rightoption>

• Po przebadaniu 1 000 osób, prawdopodobieństwo tego, że co najwyżej jedna z nich została

   zarażona wirusem WZW B wynosi około 50. </rightoption>

• Bardziej prawdopodobne od zarażenia jest otrzymanie samych orłów w serii 10 rzutów monetą symetryczną. </wrongoption>

10101010101010101010101010101010101010

Test sprawdzający

W przykładzie Uzupelnic markov13| przestrzenią stanów jest:

• zbiór liczb całkowitych. </rightoption>
• zbiór liczb rzeczywistych. </wrongoption>
• zbiór liczb naturalnych. </wrongoption>
• zbiór $\{-1,0,1\}$. </wrongoption>

Niech ${\xi }_1,{\xi }_2,{\xi }_3,\dots$ oznaczają liczbę oczek uzyskanych w trakcie kolejnych rzutów kostką symetryczną.

Określmy:

$X_0=0$ oraz $X_i=X_{i-1}+{\xi }_i$ dla $i=1,2,3,\dots .$

Wtedy ciąg zmiennych losowych $\{X_i\}$ jest

łańcuchem Markowa, w którym:

• przestrzeń stanów $E$ jest zbiorem liczb naturalnych $0,1,2,\dots$ </rightoption>
• Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\p”): {\displaystyle \displaystyle \p(k,k) = 0} oraz Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\p”): {\displaystyle \displaystyle \p(k,k+1) = \p(k,k+6)} dla każdego $k\in E$. </rightoption>
• każde dwa stany się komunikują. </wrongoption>
• suma elementów w każdym wierszu macierzy przejścia $\P$ jest równa 1. </rightoption>

Dany jest łańcuch Markowa o macierzy przejścia:

$\P =\left[\begin{array}{cc}\frac{1}{2}& \frac{1}{2}\\ 1& 0\end{array}\right].$

Wtedy:

• łańcuch ten jest powracający. </rightoption>
• łańcuch ten jest nieredukowalny. </rightoption>
• łańcuch ten jest okresowy. </wrongoption>
• łańcuch ten jest ergodyczny, a rozkładem stacjonarnym jest wektor o współrzędnych $\frac{2}{3}$ i

       $\frac{1}{3}$. </rightoption>

Oceń prawdziwość poniższych zdań.

• Jeżeli ciąg $X_n$ jest łańcuchem Markowa na przestrzeni stanów Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\r”): {\displaystyle \displaystyle E \subset \r} , to także ciąg

       $X_n^2$ jest łańcuchem Markowa  na przestrzeni stanów $E$. </wrongoption>

• Jeżeli przestrzeń stanów jest skończona, to łańcuch Markowa jest nieredukowalny. </wrongoption>
• Każdy łańcuch Markowa na skończonej przestrzeni stanów jest albo okresowy, albo ergodyczny. </wrongoption>
• Jeżeli wszystkie wyrazy macierzy przejścia $\P$ pewnego łańcucha Markowa są dodatnie, to łańcuch ten

       jest nieredukowalny. </rightoption>

Niech $X_n$ będzie łańcuchem Markowa określonym w przykładzie Uzupelnic markov10| dla $k=3$. Wtedy:

• łańcuch $X_n$ ma skończony zbiór stanów. </rightoption>
• łańcuch $X_n$ jest nieredukowalny. </rightoption>
• łańcuch $X_n$ jest powracający. </rightoption>
• łańcuch $X_n$ jest okresowy. </wrongoption>

Niech $X_n$, $n=0,1,2,3,\dots$, będzie ciągiem niezależnych zmiennych losowych o tym samym rozkładzie $Q$.

Oceń prawdziwość poniższych zdań.

• Ciąg $X_n$ jest łańcuchem Markowa o macierzy przejścia, która ma na przekątnej same jedynki. </wrongoption>
• Jeżeli $Q$ jest rozkładem dyskretnym, to ciąg $X_n$ jest łańcuchem Markowa, a wszystkie wiersze

   macierzy przejścia są sobie równe. </rightoption>

• Jeżeli $Q$ jest rozkładem dyskretnym skoncentrowanym na zbiorze skończonym, to ciąg $X_n$ jest łańcuchem Markowa, a wszystkie

   kolumny macierzy przejścia są sobie równe. </wrongoption>

• Ciąg $X_n$ nie jest łańcuchem Markowa (gdyż zmienne losowe są niezależne). </wrongoption>

111111111111111111111111111111111111111111

Test sprawdzający

Rozważmy dwa następujące estymatory wartości oczekiwanej w rozkładzie

dwupunktowym

$(0,1,p)$

:

$S(X_1,\dots ,X_n)=\frac{n+1}{<}/wrongoption>\overline{X}$ oraz $T(X_1,\dots ,X_n)=\frac{X_1+X_n}{2}.$

Wówczas:

• $S$ jest estymatorem zgodnym, zaś $T$-- asymptotycznie nieobciążonym. </rightoption>
• $S$ nie jest ani estymatorem zgodnym, ani estymatorem nieobciążonym. </wrongoption>
• $S$ jest estymatorem zgodnym, zaś $T$-- obciążonym. </wrongoption>
• $T$ jest estymatorem zgodnym i nieobciążonym. </wrongoption>

Z poniższych własności wybierz te, które posiada następujący estymator parametru $\alpha$ w rozkładzie jednostajnym na odcinku $(0,\alpha )$:

$T(X_1,\dots ,X_n)=(n+1)\min \{X_1,\dots ,X_n\}.$

• $T$ jest obciążony. </wrongoption>
• $T$ jest asymptotycznie nieobciążony. </rightoption>
• $T$ jest obciążony i asymptotycznie nieobciążony. </wrongoption>
• $T$ jest nieobciążony. </rightoption>

Przeprowadzono $n$ prób Bernoulliego Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\Xn”): {\displaystyle \displaystyle \Xn} , z jednakowym prawdopodobieństwem sukcesu $p$ każda. Co jest dobrym przybliżeniem parametru $p$?

• Liczba sukcesów podzielona przez liczbę "porażek". </wrongoption>
• $\frac{k}{<}/wrongoption>$, gdzie $k$ oznacza liczbę sukcesów. </rightoption>
• $\frac{n-k}{<}/wrongoption>$, gdzie $k$ oznacza liczbę sukcesów. </wrongoption>
• Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\di”): {\displaystyle \displaystyle \di \sum \frac{X_i}</wrongoption>} . </wrongoption>

Jeżeli estymator $S(X_1,\dots ,X_n)$ jest estymatorem zgodnym parametru $\theta$, to:

• Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\di”): {\displaystyle \displaystyle \di S(X_1,\ldots,X_n)\stackrel{s}{\str}\theta} (symbol

       Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\str”): {\displaystyle \displaystyle \stackrel{s}{\str}}
 został wprowadzony w uwadze Uzupelnic usz|). </rightoption>

• Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\di”): {\displaystyle \displaystyle \di P\left(\left\{\omega \in \Omega: \lim_{n\to \infty}\frac{S(X_1,\ldots,X_n)}</wrongoption> = \theta\right\}\right) =1 } . </wrongoption>
• Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\di”): {\displaystyle \displaystyle \di P\left(\left\{\omega \in \Omega: \lim_{n\to \infty}S(X_1,\ldots,X_n) = \theta\right\}\right) =1 } . </rightoption>
• Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\di”): {\displaystyle \displaystyle \di P\left(\left\{\omega \in \Omega: \lim_{n\to \infty}S(X_1,\ldots,X_n) = 0\right\}\right) =1 } . </wrongoption>

Próbka prosta:

$0,2,1,2,5,0,3,4,4,2$

pochodzi z rozkładu Poissona z parametrem $\lambda >0$. Które z poniższych liczb można uznać za dobre przybliżenia parametru $\lambda$?

• $3.0$. </wrongoption>
• $2.3$. </rightoption>
• $3.1$. </wrongoption>
• $2.4$. </wrongoption>

Wykonano 30 serii rzutów kostką do gry, przy czym każda seria kończyła się w momencie wyrzucenia pierwszej "szóstki", otrzymując następuje rezultaty (długości poszczególnych serii):

$2,9,3,8,4,3,5,7,7,8,10,4,12,4,5,6,17,2,9,4,3,2,5,2,1,5,5,6,8,14.$

Oceń prawdziwość poniższych zdań.

• Jest bardzo prawdopodobne, iż użyto "fałszywej" kostki. </wrongoption>
• Nie ma podstaw do stwierdzenia, że użyta kostka była "sfałszowana". </rightoption>
• Na podstawie powyższych danych można wnioskować, iż prawdopodobieństwo

   wyrzucenia "szóstki" (za pomocą tej kostki) jest w przybliżeniu równe 0.5. </wrongoption>

• Jeżeli kostka była "sprawiedliwa", to prawdopodobieństwo

   otrzymania powyższego wyniku jest mniejsze niż 1. </rightoption>

12121212121212121212121212121212121212121212

Test sprawdzający

Rozważmy funkcję Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\r”): {\displaystyle \displaystyle f\colon \r\str \r} , określoną wzorem:

$f(x)=\{\begin{array}{rl}-x^2\ln |x|,& x\ne 0\\ 0,& x=0.\end{array}$

Wówczas:

• nie istnieje wartość największa funkcji $f$. </wrongoption>
• funkcja $f$ przyjmuje wartość największą w parzystej liczbie punktów. </rightoption>
• wartość największa funkcji $f$ jest równa $0$. </wrongoption>
• wartość największa funkcji $f$ jest liczbą niewymierną. </rightoption>

Załóżmy, że próbka prosta $X_1,\dots ,X_n$ pochodzi z rozkładu ciągłego

o gęstości:

$f(x)={\alpha }^{2}x{e}^{-\alpha x}{I}_{[0,\mathrm{\infty })}(x),$

gdzie $I_{[0,\mathrm{\infty })}$ oznacza funkcję charakterystyczną przedziału $[0,\mathrm{\infty })$, oraz że $T(X_1,\dots ,X_n)$ jest estymatorem największej wiarygodności parametru $\alpha$. Wtedy:

• $S(X_1,\dots ,X_n)=\frac{2\sum _{i=1}^n{X}_i}{2n-1}$ jest w tym rozkładzie estymatorem największej wiarygodności

   wartości oczekiwanej. </rightoption>

• $\frac{nT}{n+1}$ jest estymatorem zgodnym parametru $\alpha$. </rightoption>
• Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\di”): {\displaystyle \displaystyle \di T(X_1,\ldots,X_n)=\frac{2n}{\sum_{i=1}^n X_i}} . </wrongoption>
• Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\di”): {\displaystyle \displaystyle \di T(X_1,\ldots,X_n)=\frac{2n+1}{\sum_{i=1}^n X_i}} . </wrongoption>

Załóżmy, że prawdopodobieństwo zachorowania na pewną chorobę jest wprost proporcjonalne do wieku, ze współczynnikiem proporcjonalności $\theta >0$. Zbadano 20-elementowe próbki ludności w różnym wieku, otrzymując następujące wyniki:

Uzupelnij tytul

Wiek || $10$ || $30$ || $80$

Liczba chorych || $1$ || $5$ || $9$

.

Jeżeli $\hat{\theta }$ oznacza wyestymowaną, na podstawie powyższych danych, wartość nieznanego parametru $\theta$, przy użyciu metody największej wiarygodności, to:

• $\theta >\frac{1}{80}$. </wrongoption>
• $\theta =0.01$. </wrongoption>
• $\theta \in (0.01,0.0125)$. </wrongoption>
• żadne z powyższych. </rightoption>

Estymatorem największej wiarygodności parametru $\alpha <0$ w rozkładzie jednostajnym na odcinku $[\alpha ,0]$ jest:

• $\max \{X_1,\dots ,X_n\}$. </wrongoption>
• $\frac{n+1}{<}/wrongoption>\min \{X_1,\dots ,X_n\}$. </wrongoption>
• $2\overline{X}$. </wrongoption>
• $\min \{X_1,\dots ,X_n\}$. </rightoption>

Czterech koszykarzy amatorów ćwiczyło rzuty "za 3 punkty". Pierwszy z nich trafił za drugim razem, drugi -- za trzecim, trzeci -- za czwartym, zaś czwarty -- za pierwszym. Zakładając dla wszystkich graczy jednakową celność $p$, metodą największej wiarygodności wyznaczono estymator $\hat{p}$ nieznanej wartości $p$. Oceń prawdziwość poniższych zdań.

• $\hat{p}<0.5$. </rightoption>
• $\hat{p}<0.4$. </wrongoption>
• $\hat{p}=0.4$. </rightoption>
• $\hat{p}>\frac{2}{5}$. </wrongoption>

W celu oszacowania wartości przeciętnej $\hat{m}$ czasu bezawaryjnej pracy nowego systemu operacyjnego NIWUX 2006, przeznaczonego dla komputerów osobistych klasy PC, zainstalowano ten system na 10 losowo wybranych komputerach, a następnie (dla każdego z nich) zmierzono czas od momentu uruchomienia do momentu pierwszego "zawieszenia" systemu, otrzymując następujące wyniki (w godzinach):

$2.5,2,2.5,1.5,3.5,4,4.5,2,3,3.$

Jeżeli założymy, że czas bezawaryjnej pracy systemu NIWUX 2006 ma rozkład wykładniczy z parametrem $\lambda$, to, korzystając z metody największej wiarogodności, otrzymujemy:

• $\hat{m}=2.9$. </wrongoption>
• Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\di”): {\displaystyle \displaystyle \di \hat{\lambda}=\frac{10}{29}} , gdzie $\hat{\lambda }$ jest oceną parametru $\lambda$. </wrongoption>
• $\hat{m}=\hat{\lambda }$, gdzie $\hat{\lambda }$ jest takie jak wyżej. </wrongoption>
• Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\di”): {\displaystyle \displaystyle \di \hat{\lambda}\approx 0.35} , gdzie $\hat{\lambda }$ jest takie jak wyżej. </rightoption>

1313131313131313131313131313131313131313131313131313131313

Test sprawdzający

Z jednej partii pewnego towaru wybrano losowo $50$ sztuk, z których dwie okazały się wadliwe. Niech $(a,b)$ będzie $95\mathrm{\%}$ przedziałem ufności dla frakcji elementów wadliwych w tej partii. Wówczas:

• $b-a\in (0.1,0.11)$. </rightoption>
• $a\approx -0.1$. </wrongoption>
• $a\approx -0.0143$, $b=0.1$. </wrongoption>
• $|a-b|\le 0.1$. </wrongoption>

Załóżmy, że błąd pomiaru pewnego termometru elektronicznego ma rozkład normalny o wariancji $0.04^{\circ }$C. Ilu niezależnych pomiarów temperatury wystarczy dokonać, aby mieć $99\mathrm{\%}$ pewności, że średnia z otrzymanych wyników wskazuje faktyczną temperaturę, z błędem nie większym niż $0.01^{\circ }$C?

• 2 670. </rightoption>
• 3 000. </rightoption>
• 2 000. </wrongoption>
• 2 652. </wrongoption>

Do weryfikacji pewnej hipotezy ${\mathrm{H}}_0$ użyto statystyki testowej $U$, której rozkład, przy założeniu prawdziwości ${\mathrm{H}}_{\mathrm{0}}$, jest rozkładem Studenta o $10$ stopniach swobody, otrzymując $U\approx 1.812$ oraz wartość-$p$ w przybliżeniu równą $0.05$. Jaką postać mógł posiadać zbiór krytyczny $K$, którego użyto w tym teście?

• $K=[-a,a]$. </wrongoption>
• $K=(-\mathrm{\infty },-a]\cup [a,\mathrm{\infty })$. </wrongoption>
• $K=[a,\mathrm{\infty })$. </rightoption>
• $K=(-\mathrm{\infty },a]$. </wrongoption>

Z pewnej populacji, w której iloraz inteligencji posiada rozkład $N(\mu ,10)$, wybrano losowo 10 000 osób, zbadano ich iloraz inteligencji otrzymując średnią 123.5, a następnie na poziomie istotności $\alpha =0.1$ przetestowano hipotezę $H_0:\mu =124$, przy alternatywie $H_1:\mu <124$. Oceń prawdziwość poniższych zdań.

• Wynik testu sugerował odrzucenie $H_0$ na korzyść $H_1$. </rightoption>
• Nie byłoby podstaw do odrzucenia $H_0$, gdyby $\alpha$ było równe $\frac{1}{10000000}$. </rightoption>
• Wynik testu świadczył o tym, iż nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy $H_0$. </wrongoption>
• Wartość-$p$ wyniosła w tym teście około $0,00000029$. </wrongoption>

Testujemy pewną hipotezę $H_0$, wykorzystując statystykę $T$ oraz zbiór krytyczny $K$. Które z poniższych wielkości oznaczają błąd drugiego rodzaju?

• $P(T\notin K\mid H_0$ -- prawdziwa $)$. </wrongoption>
• $P(T\notin K\mid H_0$ -- fałszywa $)$. </rightoption>
• $P(T\in K\mid H_0$ -- prawdziwa $)$. </wrongoption>
• $1-P(T\in K\mid H_0$ -- fałszywa $)$. </rightoption>

Pewna firma wypuszcza nowy produkt na rynek i chce sprawdzić, która z pięciu proponowanych nazw tego produktu (powiedzmy A, B, C, D lub E) najbardziej spodoba się klientom. Poproszono więc grupę losowo wybranych osób, aby wskazali najbardziej przypadającą im do gustu nazwę, otrzymując następujące wyniki:

Uzupelnij tytul

A	B	C	D	E
35 || 45 || 40 || 50 || 30

Oceń prawdziwość poniższych zdań.

• Jeżeli testem zgodności ${\chi }^2$ weryfikujemy na poziomie istotności

       $\alpha =0.01$ hipotezę, że nazwy te podobają się w takim samym
       stopniu, to otrzymujemy wartość statystyki testowej równą $6.5$. </wrongoption>

• Jeżeli testem zgodności ${\chi }^2$ weryfikujemy na poziomie istotności

       $\alpha =0.01$ hipotezę, że nazwy te podobają się w takim samym
       stopniu, to otrzymujemy zbiór krytyczny $K=(a,\mathrm{\infty })$, gdzie $a\approx 0.297$. </wrongoption>

• Wynik testu zgodności ${\chi }^2$ na poziomie istotności

       $\alpha =0.075$ wskazuje na to, że nazwy te podobają się klientom w istotnie niejednakowym stopniu. </wrongoption>

• Wynik testu zgodności ${\chi }^2$ na poziomie istotności

       $\alpha =0.05$ wskazuje na to, że nazwy te w jednakowym stopniu podobają się klientom. </rightoption>

141414141414141414141414141414141414

Test sprawdzający

Na bazie próbki prostej:

$-0.75,-0.03,-0.72,-0.6,$

pochodzącej z rozkładu jednostajnego na odcinku (-1,0), używając jednej z opisanych w tym module metod wyznaczono $4$-elementową próbkę losową z rozkładu o gęstości:

$f(x)=0,25{\mathrm{I}}_{[0,1]}+0,75{\mathrm{I}}_{(1,2]}.$

Spośród poniższych ciągów wybierz te, które mogły być wynikami działania tej procedury.

• $1.96,1,-0.29,-0.13$. </rightoption>
• $1.67,0.12,-0.29,-0.13$. </wrongoption>
• $1,0.12,1.63,1.47$. </wrongoption>
• $1.47,1.63,0.12,1.67$. </rightoption>

W których z poniższych przypadków, generator liczb pseudolosowych:

$X_{n+1}=a{X}_n+b(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}p),$

z pewnością nie da zadowalających rezultatów?

• $a=b=p$. </rightoption>
• $b=0$, $a\ne p$. </wrongoption>
• $b=0$, $X_0=p^2$ . </rightoption>
• $a\ne b$, $X_0>0$. </wrongoption>

Czy na bazie próbki prostej, pochodzącej z rozkładu $N(m,\sigma )$ ($m$ i $\sigma$ -- znane), można wyznaczyć próbkę liczb pseudolosowych z rozkładu jednostajnego na odcinku $(a,b)$ ($a$ i $b$ -- dowolne)?

• Tak. </rightoption>
• Tak, ale tylko w przypadku, gdy $m=\sigma =1$. </wrongoption>
• Tak, ale tylko w przypadku, gdy $a=0$ i $b=1$. </wrongoption>
• Tak, ale tylko w przypadku, gdy $m=\sigma =b=1$ i $a=0$. </wrongoption>

Które z poniższych funkcji są jądrami?

• Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\di”): {\displaystyle \displaystyle \di K(x) = \left\{\begin{array} {rl} |x|, & |x| < 1\\ 0, & |x| \ge 1 \end{array} \right. } . </rightoption>
• Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\di”): {\displaystyle \displaystyle \di K(x) = \left\{\begin{array} {rl} |x-1|, & 0<x< 2\\ 0, & x\leq 0 \textrm{ lub } x\geq 2 \end{array} \right. } . </wrongoption>
• Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\di”): {\displaystyle \displaystyle \di K(x)=\frac{1}{2}\cos{x}\cdot I_{[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]}(x)} . </rightoption>
• Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\di”): {\displaystyle \displaystyle \di K(x) = \left\{\begin{array} {rl} \frac{1}{2}, & |x| < 2\\ 0, & |x| \ge 2 \end{array} \right. } . </wrongoption>

Estymatorem bootstrapowym wartości oczekiwanej (opartym na średniej z próbki) nieznanego rozkładu, wyznaczonym na podstawie 10 replikacji próbki:

$4,1,1,$

może być:

• $0.535$. </wrongoption>
• $2.275$. </rightoption>
• $4.12$. </wrongoption>
• $2.271$. </wrongoption>

Dla próbki prostej:

$1,3,2,3,4,2,5,$

otrzymano, przy użyciu jądra trójkątnego, estymator jądrowy gęstości $\hat{f}$ taki, że $\hat{f}(2)=\frac{1}{4}$. Jaka szerokości pasma mogła zostać w tym przypadku zastosowana?

• Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\di”): {\displaystyle \displaystyle \di \frac{6}{7}} . </wrongoption>
• Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\di”): {\displaystyle \displaystyle \di \frac{8}{7}} . </wrongoption>
• $2$. </rightoption>
• $0.1$. </wrongoption>