TTS Moduł 3

Wykład

---

---

• PROWADNICE TEM

• Właściwości prowadnic TEM

Można wykazać, że zależności pól w prowadnicy TEM od zmiennej z są identyczne jak dla fali płaskiej w przestrzeni nieograniczonej. Podobnie możemy uzyskać równanie falowe określające wektory $E_T$ lub $H_T$ w postaci. Oznacza to, że wektory pól $E$ i $H$ są do siebie prostopadłe i prostopadłe do kierunku propagacji $z$.]

$\gamma =\sqrt{j\omega \mu (\sigma +j\omega \epsilon )}=\alpha +j\beta$

(3-1)

Dodatkowo, relacje między wektorami pól elektrycznego i magnetycznego obowiązują dla prowadnic TEM, czyli

$E_T=Z_f{H}_T\times i_z$ $H_T=\frac{1}{Z_f}{i}_z\times E_T$

(3-2)

oraz spełniona jest poniższa relacja

$Z_f=Z_w=\sqrt{\frac{j\omega \mu }{\sigma +j\omega \epsilon }}$

(3-3)

Zasadnicza różnica między cechami pół fali płaskiej w ośrodku nieograniczonym i pól w linii TEM jest związana z tym, że pola w ośrodku nieograniczonym nie zależą od zmiennych w płaszczyźnie prostopadłej do kierunku rozchodzenia się fali, natomiast w prowadnicy TEM, w której muszą być spełnione określone warunki brzegowe na powierzchni przewodników linii, pola na ogół zależą od tych zmiennych.

Warto zapamiętać, że prowadnicę falową charakteryzują dwa parametry: współczynnik propagacji $\gamma$ oraz impedancja charakterystyczna $Z_0$. Pierwszy z tych parametrów jest wielkością polową, której obliczenie wiąże się w ogólności z rozwiązaniem równań Maxwella. Drugi jest wielkością obwodową, wyznaczaną z zastosowaniem definicji (3-4):

$Z_0=\frac{U}{I}$

(3-4)

w której $U$ i $I$ są amplitudami napięcia i prądu fali poruszającej się w jedną stronę.

Definicja $Z_0$ jest przydatna przy analizie obwodów zawierających prowadnice falowe i elementy reprezentowane przez układy zastępcze o stałych skupionych.

• Linia współosiowa

Najpopularniejszą prowadnicą w rodzinie TEM jest linia współosiowa o promieniach $a$ i $b$ ($a>b$), w której przestrzeń między przewodem wewnętrznym i zewnętrznym wypełniona jest małostratnym dielektrykiem o przenikalności względnej ${\epsilon }_r$ – rys.3.1. Impedancja charakterystyczna linii współosiowej obliczana jest z zależności:

$Z_0[\mathrm{\Omega }]=\frac{138}{\sqrt{{\epsilon }_r}}log\frac{b}{a}$

(3-5)

Rys.3.1. Przekrój poprzeczny linii współosiowej .

Zależność (3-5) wskazuje, że impedancja charakterystyczna linii współosiowej zależy od stosunku promieni przewodów i właściwości ośrodka wypełniającego prowadnicę.

Linia współosiowa, albo koncentryczna jest szeroko stosowana w systemach pomiarowych, a rozpowszechnionym w aparaturze standardem jest linia o impedancji $Z_0=50\mathrm{\Omega }$. Linie współosiowe pracują do 60 GHz.

Tłumienie linii współosiowej jest najmniejsze dla $Z_0=75\mathrm{\Omega }$, ten standard przyjęto w telekomunikacji (m.in. sieci telewizji kablowej).

• Linia dwuprzewodowa

Na rys.3.2 przedstawiono strukturę innej linii TEM, a mianowicie linii dwuprzewodowej. Przewody zanurzone są w dielektryku o przenikalności ${\epsilon }_r$. Polowe wielkości charakteryzujące falę TEM dla tej prowadnicy są identyczne jak dla linii współosiowej. Impedancję charakterystyczną linii dwuprzewodowej określa zależność:

$Z_0[\mathrm{\Omega }]=\frac{276}{\sqrt{{\epsilon }_r}}log\frac{s}{a}$

(3-6)

Linia dwuprzewodowa jest z historycznego punktu widzenia pierwszą linią długą, dla której znaleziono rozwiązanie falowe. Stosowana jest jeszcze w sieciach telewizyjnych i telefonicznych w postaci tzw. skrętki.

Rys.3.2. Przekroje poprzeczne przykładowych prowadnic TEM: linii dwuprzewodowej (a) i symetrycznej linii paskowej (b).

• Symetryczna linia paskowa

Strukturę symetrycznej linii paskowej pokazano na rys.3.2b. Impedancję charakterystyczną tej linii oblicza się ze wzoru:

$Z_0[\mathrm{\Omega }]=\frac{30\pi }{\sqrt{{\epsilon }_r}}\frac{b}{w+0,441b}$

(3-7)

Symetryczna linia paskowa stosowana w konstrukcjach niektórych przyrządów, jak sprzęgacze, filtry, itp..

• FALOWÓD PROSTOKĄTNY

Zgodnie z pokazaną na rys.3.3 strukturą falowód prostokątny jest prowadnicą falową, w której nie występują dwa niezależne przewody, a więc nie może się rozchodzić fala elektromagnetyczna typu TEM.

Mogą natomiast, przy spełnieniu pewnych warunków rozchodzić mody TE (E) lub TM (H). Dla każdego z modów konfiguracja pól E i H jest inna. Można udowodnić, że dla każdego modu można określić częstotliwość graniczną, poniżej której dany mod nie może zostać wzbudzony.

Rys.3.3 Struktura i wymiary falowodu prostokątnego

Każdy z modów określony jest wskaźnikami „m” i „n”. Wartość częstotliwości granicznej zależy od wartości „m” i „n”, od rozmiarów a i b falowodu, oraz od wartości przenikalności elektrycznej materiału wypełniającego falowód. W miarę wzrostu częstotliwości wzbudzają się kolejne mody $T{E}_{m,n}$ i $T{M}_{m,n}$. Mod o najniższej częstotliwości granicznej nazywany jest podstawowym. Modem podstawowym w falowodzie prostokątnym jest TE10. Dla niego wartość długości fali granicznej (jest to długość fali w wolnej przestrzeni dla częstotliwości granicznej) wynosi:

${\lambda }_{gTE10}=2a$

(3-8)

W Tabeli 3.1 zestawiono wartości częstotliwości granicznych dla kilku pierwszych modów, dla falowodu skonstruowanego do pracy w pasmie $3cm$, bez wypełnienia dielektrykiem.

Tabela 3.1: Pierwsze mody falowodu na pasmo X, o wymiarach: $a=2,286cm$, $b=1,016cm$.

MOD	$T{E}_{10}$	$T{E}_{20}$	$T{E}_{01}$	$T{E}_{11}T{M}_{11}$
Częstotliwość graniczna $f_g[GHz]$	$6,562$	$13,123$	$14,764$	$16,156$

Rozkład pola elektrycznego i magnetycznego dla modu $T{E}_{10}$ pokazano na rys.3.4.

Rys.3.4. Linie sił pola elektrycznego E i magnetycznego H dla modu podstawowego

Pasmo pracy falowodu prostokątnego zawiera się między częstotliwością graniczą modu podstawowego i częstotliwością graniczną kolejnego modu, z pewnymi marginesami.

Prędkości: fazowa $v_f$ i grupowa $v_g$ oraz długość fali ${\lambda }_f$ są, dla tej samej $f$ różne i różne dla różnych modów. Oznaczamy: prędkość $v$ i długość $\lambda$ dla fali płaskiej w wolnej przestrzeni wypełnionej ośrodkiem o ${\epsilon }_r{\epsilon }_0$ i ${\mu }_r{\mu }_0$.

$v=\frac{c}{\sqrt{{\mu }_r{\epsilon }_r}};\lambda =\frac{{\lambda }_0}{\sqrt{{\mu }_r{\epsilon }_r}}$

(3-9)

Dla falowodów prędkość fazowa i długość fali w falowodzie opisują następujące zależności:

$v_f=\frac{\omega }{\beta }=\frac{v}{\sqrt{1-(f_{gmn}/f{)}^2}}$ $v_g=v\sqrt{1-(f_{gmn}/f{)}^2}=\frac{1}{d\beta /d\omega }$

(3-10)

Długość fali $\lambda$ w falowodzie jest większa, niż w wolnej przestrzeni i gdy częstotliwość zbliża się do częstotliwości granicznej długość fali rośnie do nieskończoności.

${\lambda }_f=\frac{\lambda }{\sqrt{1-(f_{gmn}/f{)}^2}}$

(3-11)

Między prędkościami fazową i grupową istnieje związek (3-12):

$v_g{v}_f=v^2$

(3-12)

Na rys.3.5 pokazano zależności $v_f(f/f_g)$ i $v_g(f/f_g)$. Gdy częstotliwość zbliża się do wartości granicznej, to prędkość fazowa rośnie do nieskończoności, prędkość grupowa maleje do zera i ustaje przepływ energii. Poniżej częstotliwości granicznej dany mod nie może zostać wzbudzony.

Rys.3.5. Prędkości fazowa i grupowa w falowodzie

Straty mocy w ściankach metalowych powodują, że falowody wykazują stosunkowo duże tłumienie mocy sygnału. Aby je zmniejszyć falowody prostokątne wykonywane są z miedzi, mosiądzu, aluminium, często są srebrzone i złocone.

• FALOWÓD CYLINDRYCZNY

Falowód cylindryczny jest metalową rurą, najczęściej powietrzną, co pokazuje rys.3.6a. W falowodzie cylindrycznym można także wzbudzić nieskończenie wiele modów $T{E}_{m,n}$ i $T{M}_{m,n}$.

Wartość częstotliwości granicznej $f_{gmn}$ związana jest z wartościami:

• dla modów $T{M}_{nm}$ z m-tym pierwiastkiem funkcji Bessela $J_n(x)=0$,
• dla modów $T{E}_{nm}$ z m-tym pierwiastkiem pochodnych tych funkcji $J_n^{\text{'}}(x)=0$.

Obecność funkcji Bessela wynika z rozwiązania równań Maxwella dla falowodu cylindrycznego.

Modem podstawowym falowodu cylindrycznego jest mod $T{E}_{11}$. Długość fali odpowiadającej częstotliwości granicznej dla tego modu równa jest:

${\lambda }_{cTE11}=3,412a$

(3-13)

Rys.3.6. Falowód cylindryczny. a) Wymiary falowodu cylindrycznego. b) Oś z częstotliwościami kolejnych modów.

Kolejny mod, który się wzbudzi, to $T{M}_{01}$, a następnie $T{E}_{21}$. tak więc pasmo pracy falowodu cylindrycznego jest niewielkie, co ogranicza zakres zastosowań. Falowody te stosowane są w konstrukcjach niektórych rezonatorów i filtrów, ze względu na ich duże dobrocie (będzie o tym mowa w jednym z dalszych wykładów).

• PROWADNICE MIKROFALOWYCH UKŁADÓW SCALONYCH

• Linia mikropaskowa

Rozwój technologii układów scalonych, planarnych z samej natury, zmusił konstruktorów do opracowania nowej rodziny prowadnic falowych, które można stosować zarówno w hybrydowych jak i monolitycznych układach scalonych. Najpopularniejszym rozwiązaniem jest linia mikropaskowa, której strukturę pokazano na rys.3.7a. Płaska, o odpowiednio dobranej grubości h warstwa dielektryka pokrywana jest obustronnie metalem. Warstwa metalizacji jest z jednej strony pozostawiona w całości, natomiast z drugiej strony pozostawione są tylko wąskie ścieżki metalizacji o odpowiednio dobranej szerokości $w$.

Linia mikropaskowa nazywana jest linią quasi-TEM, ponieważ fala EM porusza się w ośrodkach o 2 różnych prędkościach. Linia wykazują niewielka dyspersję.

Rys.3.7. Prowadnice planarne. a) Linia mikropaskowa b). Linia koplanarna c). Linia paskowa koplanarna.

Impedancja charakterystyczna linii mikropaskowej jest funkcją grubości warstwy $h$, szerokości paska metalizacji w oraz przenikalności elektrycznej ${\epsilon }_r$ dielektryka oddzielającego pasek od metalizacji „ziemi”.

Do zależności na prędkość i długość fali wprowadza się efektywną przenikalność ${\epsilon }_{eff}$, której wartość leży między ${\epsilon }_r$ podłoża a ${\epsilon }_0$ powietrza. Odpowiednie zależności można znaleźć w dostępnej literaturze.

Zakres częstotliwości pracy linii mikropaskowej jest szeroki, od prądu stałego DC do 30 GHz dla układów hybrydowych, i do 500 GHz dla układów monolitycznych.

• Linie koplanarne

Niedogodnością struktury linii mikropaskowej jest konieczność wykonywania otworów w warstwie dielektryka zwierających pasek z warstwą metalizacji. Jest to szczególnie kłopotliwe w przypadku realizacji monolitycznych układów scalonych. Niedogodności tej nie ma całkowicie planarna struktura linii koplanarnej pokazana na rys.3.7b. W niektórych rozwiązaniach stosowane także dwuprzewodowe linie planarne – rys.3.7c.

Impedancje charakterystyczne $Z_0$ zależy od ${\epsilon }_r$ podłoża i wymiarów linii i mogą być dobierane w szerokich granicach: dla linii mikropaskowej $20...100\mathrm{\Omega }$, dla linii koplanarnej $25...150\mathrm{\Omega }$, a dla linii dwuprzewodowej koplanarnej $45...220\mathrm{\Omega }$.

Dla potrzeb technologii mikrofalowych układów scalonych opracowano techniki wytwarzania planarnych rezystorów, kondensatorów, cewek indukcyjnych, a także diod i tranzystorów. W scalonych układach hybrydowych MIC elementy te montuje się na powierzchni układu, łączą je z paskami prowadnic falowych. W monolitycznych układach scalonych MMIC wszystkie elementy wykonuje się w procesach technologicznych na podłożu krzemu, albo arsenku galu.

• Podłoża linii planarnych

Jak wspomniano wyżej parametry linii planarnej, takie jak impedancja charakterystyczna, długość fali, straty zależą od rodzaju użytego dielektryka. Zestawienie typowych dielektryków i ich najważniejsze parametry zestawiono w Tabeli 3.2.

Tabela 3.2. Zestawienie właściwości podłoży prowadnic planarnych

Tabela 3.1: Pierwsze mody falowodu na pasmo X, o wymiarach: $a=2,286cm$, $b=1,016cm$.

Podłoże	${\epsilon }_r$	$tg\delta$	Zastosowania
$A{l}_2{O}_3$ - ceramika alundowa	9,6	0,0001	MIC
$Si{O}_2$ - kwarc	3,8	0,00006	MIC
Teflon	2,1	0,00015	MIC
$GaAs$ - arsenek galu	12,5 - 13	0,002	MMIC
$Si$ - krzem	11,2	0,004	MMIC

Pytania sprawdzające

(jeśli potrafisz na nie odpowiedzieć, to znaczy, że opanowałeś/aś materiał wykładu)

1. Wymień i scharakteryzuj najważniejsze parametry prowadnicy falowej.
2. Przypomnij sobie jakie mody mogą rozchodzić się w falowodach i scharakteryzuj je.
3. Co to jest dyspersja, w jakich warunkach i dlaczego dyspersja utrudnia transmisję sygnału.
4. Przeanalizuj przyczyny powstawania strat przy transmisji mocy prowadnicami falowymi.
5. Na czym polega efekt naskórkowości?
6. Opisz kolejno prowadnice typu TEM.
7. Narysuj konfigurację pól E i H dla modu podstawowego i naszkicuj kierunki przepływu prądów w ściankach falowodu prostokątnego.
8. Dlaczego nie stosujemy falowodów prostokątnych, dla których stosunek a/b=1?
9. W jakim pasmie częstotliwości może pracować falowód prostokątny?
10. W jakim pasmie może pracować falowód cylindryczny?
11. Jak uzasadnisz fakt, że obwodem zastępczym odcinka falowodu prostokątnego jest odcinek linii dwuprzewodowej?
12. Jak zbudowana jest i jakie ma właściwości prowadnica mikropaskowa?
13. Jak zbudowana jest i jakie ma właściwości linia koplanarna?
14. Jakie są obszary zastosowań linii współosiowej, linii mikropaskowej i falowodu prostokątnego? Aby to uzasadnić porównaj parametry wymienionych typów prowadnic.
15. Wymień argumenty przemawiające za rozwojem technologii i konstrukcji Mikrofalowych Monolitycznych Układów Scalonych na krzemie i arsenku galu.

---

Słownik

• Częstotliwość graniczna - częstotliwość powyżej której może się propagować fala w falowodzie. Poniżej tej częstotliwości fala jest silnie tłumiona.
• Zestawienie typów fal:
  • Fala typu TEM - wektory pola E i H leżą w płaszczyźnie prostopadłej do kierunku propagacji.
  • Fala typu TE (zwana też H) - pole E posiada składowe tylko w płaszczyźnie prostopadłej do kierunku propagacji. Pole H posiada składowe w kierunku propagacji fali.
  • Fala typu TM (zwana też E) - pole H posiada składowe tylko w płaszczyźnie prostopadłej do kierunku propagacji. Pole E posiada składowe w kierunku propagacji fali.
  • Fala typu EH - zarówno pole E jak i pole H tej fali posiadają składowe w kierunku propagacji.
• Linie TEM:
  • Linia współosiowa.
  • Linia dwuprzewodowa.
  • Symetryczna linia paskowa.
• Linie Quasi-TEM:
  • Niesymetryczna linia paskowa:
  • Linia koplanarna (falowód koplanarny).
  • Linia koplanarna paskowa.
• Linie falowodowe:
  • Falowód prostokątny. Mod podstawowy typu $T{E}_{10}(H10)$.
  • Falowód kołowy (cylindryczny). Mod podstawowy typu $T{E}_{11}(H11)$.
• Mod (rodzaj) podstawowy dla danego falowodu - to mod fali o najmniejszej częstotliwości granicznej.

---

Bibliografia

1. Bogdan Galwas. Miernictwo mikrofalowe, Wydawnictwa Komunikacji i Łączności, Warszawa, 1985, Rozdział 1, 2 i 3.
2. Tadeusz Morawski, Wojciech Gwarek. Pola i fale elektromagnetyczne, Wydawnictwa Naukowo-Techniczne, Warszawa, 1998, Rozdział 1 do 8.
3. Janusz Dobrowolski. Technika wielkich częstotliwości, Oficyna Wydawnicza Politechniki Warszawskiej, Warszawa, 1998 Rozdział 1 i 3.
4. Stanisław Rosłoniec. Liniowe obwody mikrofalowe, Wydawnictwa Komunikacji i Łączności, Warszawa, 1999, Rozdział 2.

---