TTS Moduł 5

Wykład

Moduł 5 poświęcony jest opisaniu zjawisk zachodzących w linii długiej w procesie propagacji fali. Wprowadzimy dużo nowych pojęć i definicji, które będą wykorzystywane w dalszych wykładach i ćwiczeniach. Poznanie ich i przyswojenie pozwoli zrozumieć materiał następnych jednostek. Poza tym pozwoli zrozumieć działanie złożonych układów i systemów.

---

Lista pojęć, z którymi zapoznamy się w tym wykładzie i których znaczenie powinniśmy zrozumieć, jest długa. Zaczniemy od prezentacji równań opisujących zjawiska propagacji fali, potem opiszemy rozwiązania tych równań, fale rozchodzące się w układzie: generator-linia długa-obciążenie. Wprowadzimy pojęcia współczynnika odbicia i omówimy warunki dopasowania w rozumieniu impedancyjnym i energetycznym. Omówimy zjawisko fali stojącej i wprowadzimy pojęcie transformacji impedancji. Wreszcie wprowadzimy pojęcie dopasowania i omówimy jak projektować obwody dopasowujące.

---

Zacznijmy od uwagi o tym, jaką linię nazywamy „długą”. Linię będziemy traktowali jako długą, gdy jej fizyczna długość będzie porównywalna z długością fali propagowanego przez nią sygnału. Tak więc dla fali o długości 100 cm (300 MHz) „długą” będzie kabel koncentryczny o fizycznej długości 10 cm, a dla fali o długości 3 mm (100 GHz) „długą” będzie połączenie między elementami układu scalonego wykonanego na arsenku galu o długości fizycznej $100\mu m$. Rozwój techniki radiowej to opanowanie kolejno fal długich, średnich, krótkich i UKF. Rozwój techniki radarowej to opanowanie kolejnych zakresów mikrofal, od fal decymetrowych, poprzez fale centymetrowe do milimetrowych i submilimetrowych. Granice pasma zwanego mikrofalowym nie są dokładnie precyzowane i przyjmowane są umownie. Zwykle przyjmujemy, że mikrofale, to zakres częstotliwości fal elektromagnetycznych, rozciągający się od 300 MHz do około 1000 GHz. Poniżej wymieniono cztery cechy charakterystyczne zakresu mikrofal. Rozmiary mikrofalowych elementów i obwodów są porównywalne do długości fal. Czas propagacji porównywalny lub wielokrotnie dłuższy od okresu drgań. W zakresie częstotliwości mikrofalowych mamy do czynienia z efektem naskórkowości. Podstawowym pomiarem zakresu mikrofal jest pomiar mocy. Na rysunku pokazano podział podstawowego zakresu częstotliwości pasma mikrofalowego na podpasma, które mają swoje tradycyjne, literowe oznaczenia. Pasmo fal decymetrowych to oznaczane jest przez L, pasmo 3 cm oznaczane jest przez X, itd.

---

Przeanalizowana zostanie prosta i często spotykana w praktyce struktura prowadnicy falowej, jaką jest linia dwuprzewodowa – patrz rysunek. Przewody tej linii są wykonane z dobrze przewodzącego metalu i „zanurzone” w materiale dielektrycznym. Żaden z tych materiałów nie jest idealnym przewodnikiem, czy też dielektrykiem. Znaczenie użytego przymiotnika „długa” zostanie wyjaśnione dalej. Celem analizy jest opisanie procesu zmian napięcia i prądu wzdłuż takiego obwodu, gdyż łatwo przewidzieć, że wywołaniu przyrostu napięcia na jednym końcu opisywanej linii nie towarzyszy natychmiastowe pojawienie się identycznego przyrostu na drugim końcu. Przyjmujemy, że propagacja zachodzi w jednym tylko wymiarze z, wzdłuż linii długiej. Problem: Jak propagują się zmiany napięcia u(t,z) i prądu i(t,z) wzdłuż linii długiej?

---

Rozpatrzymy elementarny czwórnik utworzony przez odcinek linii długiej o długości $\mathrm{\Delta }z$ pokazany na poprzednim rysunku. Obwód zastępczy takiego czwórnika pokazano na rysunki. W obwodzie tym wprowadzono następujące oznaczenia: $R[\mathrm{\Omega }/m]$ - rezystancja na jednostkę długości. $L[H/m]$ - indukcyjność na jednostkę długości. $G[S/m]$ - przewodność na jednostkę długości. $C[F/m]$ - pojemność na jednostkę długości.

---

Zmienne u(z,t) i i(z,t) opisane są wyprowadzonym przez Kelvina równaniami różniczkowymi, zwanymi równaniami telegrafistów. Równania te poznamy w prostej formie, gdyż wyprowadzimy je i rozwiążemy dla prostych i najczęściej spotykanych przypadków, zgodnych z przyjętymi Założeniami 1 i 2. Założenie 1: u i i są harmonicznymi funkcjami czasu - wielkości te są sinusoidalnymi funkcjami czasu o pulsacji $\omega$. Założenie 2: Linia jest jednorodna, Z i Y nie zmieniają się z odległością. Założenie 2 oznacza, że linia nie zmienia swoich wymiarów, średnica przewodów a, ich odległość b oraz przenikalność $\epsilon$ dielektryka otaczającego przewody pozostają stałe i niezależne od z. Końcowy rezultat przekształceń ma postać równań telegrafistów, albo równań linii długiej: Jak widać, zespolone amplitudy prądu U(z) i I(z) jednorodnej linii długiej związane są prostymi równaniami różniczkowymi ze stałą $\gamma$ zwaną stałą propagacji. Stała propagacji $\gamma$ reprezentuje parametry linii długiej, rozmiary przewodów, parametry ośrodka dielektrycznego. Przypomnijmy jeszcze, że identyczny kształt równań uzyskujemy z równań Maxwella dla pól E i H. Równania te, opisane w JL 1, zwane są równaniami falowymi.

---

Równania telegrafistów są równaniami różniczkowymi. Ta postać równań różniczkowych ma znaną i prostą postać rozwiązań. Rozwiązanie jest dwuczłonowe, składniki z indeksem „1” reprezentują falę rozchodzącą się wzdłuż osi z, składniki z indeksem „2” reprezentują falę rozchodzącą się w przeciwną stronę, niż kierunek osi z. Pamiętamy prostą i oczywistą interpretację rozwiązań: $U_1,I_1$ - stałe całkowania – zespolone amplitudy napięcia i prądu fali rozchodzącej się w kierunku z, jest to fala postępująca. $U_2,I_2$ - stałe całkowania - zespolone amplitudy napięcia i prądu fali rozchodzącej się w kierunku przeciwnym do z, nazywamy ją falą odbitą, albo wtórną. Pamiętamy: Dla każdego typu prowadnicy falowej, w której propagowany jest jeden mod fali, można przyjąć obwód zastępczy w postaci linii dwuprzewodowej. W każdym takim przypadku rozwiązanie równania linii długiej mają postać przedstawioną na rysunku i ich interpretacja jest identyczna.

---

Gdy mówimy o propagacji fali, to powinniśmy wyznaczyć tłumienie fali, długość fali i prędkości rozchodzenia. Wprowadzona i występująca w rozwiązaniach stała propagacji $\gamma$ jest bardzo ważnym parametrem zjawiska propagacji fali. Stała propagacji jest wielkością zespoloną i można zapisać ją w postaci sumy $\alpha +j\beta$. Interpretacja fizyczna obu składników jest oczywista: Część rzeczywista $\alpha$ stałej propagacji $\gamma$ nazywana jest stałą tłumienia. Stała tłumienia $\alpha (Np/m)$ decyduje o szybkości strat mocy fali biegnącej wzdłuż linii. Część urojona $\beta$ stałej propagacji $\gamma$ nazywana jest stałą fazowa. Stała fazowa $\beta (rad/m)$ decyduje o szybkości zmian fazy fali biegnącej wzdłuż linii, a tym samym o długości fali $\lambda$. Aby znaleźć, jak $\alpha$ i $\beta$ zależą od parametrów R,G,L i C obwodu zastępczego z poprzedniego rysunku wracamy do podstawowych zależności opisujących stałą propagacji $\gamma$ zależności od impedancji Z i admitancji Y.

---

Gdy mówimy o prędkości propagacji fali musimy wyróżnić prędkość fazową i prędkość grupową. Prędkość fazowa $v_f$ propagowanej fali jest prędkością z jaką przesuwa się płaszczyzna stałej fazy. Prędkość $v_f$ związana jest z wartością stałej fazowej $\beta$: Prędkość grupowa $v_g$ propagowanej fali jest prędkością przepływu energii. Przypomnienie: W prowadnicach falowych typu TEM prędkości fazowa i grupowa są sobie równe. W falowodach prostokątnych i cylindrycznych, w których propagowane są mody TE albo TM, prędkości fazowa i grupowa różnią się. Zespolone amplitudy napięcia U(z) i prądu I(z) opisane są podanymi wcześniej zależnościami. Stosunki zespolonych amplitud napięcia i prądu dla obu propagowanych fal są sobie równe z dokładnością do znaku i nazwane impedancją charakterystyczną $Z_0$ . Wartość impedancji charakterystycznej jest bardzo ważnym parametrem prowadnicy falowej. Impedancja charakterystyczna $Z_0$ jest funkcją rozmiarów prowadnicy i parametrów ośrodka. Dla prowadnicy bezstratnej $Z_0$ jest rzeczywiste. Dla prowadnicy z małymi stratami przyjmuje się także, że z dobrym przybliżeniem $Z_0$ jest rzeczywiste.

---

Powracamy do układu generator – prowadnica – obciążenie. Napiszemy najpierw rozwiązania równań linii długiej z nowymi oznaczeniami. Oznaczymy przez: $U_P,I_P$ - zespolone amplitudy napięcia i prądu fali pierwotnej, padającej. $U_W,I_W$ - zespolone amplitudy napięcia i prądu fali odbitej, wtórnej. Odległość l liczona jest teraz od końca linii w stronę generatora, podczas gdy z liczona była od generatora w stronę obciążenia.

---

Obciążenie reprezentowane jest przez impedancję $Z_L$. Wartość amplitudy $U_W$ napięcia fali odbitej zależy nie tylko od $Z_L$, ale także od wartości impedancji charakterystycznej $Z_0$. Gdy $Z_L=Z_0$, w prowadnicy nie pojawi się fala odbita; obciążenie jest dopasowane do impedancji charakterystycznej prowadnicy falowej, obciążenie jest bezodbiciowe. Zdefiniowany został bardzo ważny parametr określający związek między falą odbitą i padającą. Współczynnik odbicia $\mathrm{\Gamma }$ jest miarą stosunku zespolonych amplitud fali odbitej do padającej. Definiujemy go następująco: Współczynnik odbicia ${\mathrm{\Gamma }}_L$ - podobnie jak $Z_L$ lub $Y_L$ - jest parametrem charakteryzującym jednowrotnik/obciążenie umieszczone na końcu linii, inaczej mówiąc, jest on zespoloną miarą niedopasowania obciążenia do impedancji charakterystycznej $Z_0$.

---

Współczynnik odbicia $\mathrm{\Gamma }(l)$ zależy od wartości ${\mathrm{\Gamma }}_L$ na końcu linii oraz od odległości l od końca linii. Zależność ta ma przedstawioną postać, nazywaną równaniem transformacji współczynnika odbicia. Ilustracja procesu transformacji współczynnika $\mathrm{\Gamma }$ pokazana jest na rysunku. Wskaz $\mathrm{\Gamma }$ wiruje zgodnie ze wskazówkami zegara. Dla linii ze stratami długość wskazu $|\mathrm{\Gamma }|$ maleje wykładniczo z odległością, dla linii bezstratnej $|\mathrm{\Gamma }|=const.$

---

Przypadek 1: Mówimy, że umieszczony na końcu prowadnicy jednowrotnik, nazywany też obciążeniem, jest dopasowany do impedancji charakterystycznej tej prowadnicy jeżeli ${\mathrm{\Gamma }}_L=0$ . Stan dopasowania powstanie, gdy $Z_L=Z_0$ . Przypadek 2: Stan pełnego odbicia mocy powstaje wtedy, gdy $|{\mathrm{\Gamma }}_L|=1$ i amplitudy obu fal: padającej i odbitej są sobie równe. Pełne odbicie mocy ma miejsce, gdy obciążenie jest czystą reaktancją $Z_L=j{X}_L$ . Wartość reaktancji $X_L$ ma wpływ na argument współczynnika odbicia, jego moduł równy jest 1. Przypadek 3: Najczęściej impedancja obciążenia obok części urojonej ma część rzeczywistą, przy czym $R_L>0$ . Wtedy część mocy ($|I_L{|}^2{R}_L/2$) fali padającej zostaje pochłonięta przez obciążenie i amplituda fali odbitej jest zawsze mniejsza od amplitudy fali padającej, a modył współczynnika odbicia $|{\mathrm{\Gamma }}_L|<1$. Przypadek 4: Gdy amplituda fali odbitej jest większa od amplitudy fali padającej, mamy do czynienia ze wzmocnieniem mocy, z obciążeniem aktywnym. W modelu impedancyjnym obciążenie takie reprezentowane jest przez impedancję z ujemną rezystancją. Gdy $|{\mathrm{\Gamma }}_L|>1$ , wtedy $R_L<0$ .

---

W tym punkcie wprowadzimy odpowiednie formuły opisujące rozkład napięcia wzdłuż linii długiej. Wykorzystamy zależności opisujące współczynnik odbicia $\mathrm{\Gamma }(l)$ aby określić wartości amplitud napięcia i prądu na linii. Zauważmy, że na końcu linii napięcie $U_L$ jest proporcjonalne do $(1+{\mathrm{\Gamma }}_L)$ a prąd $I_L$ jest proporcjonalny do $(1-{\mathrm{\Gamma }}_L)$ . Wskazy napięcia $U_L$ i prądu $I_L$ co pokazano na rysunku. Kąt fazowy ${\mathrm{\Phi }}_L$ między $U_L$ i prądu $I_L$ zależy od impedancji obciążenia: Gdy impedancja obciążenia jest rzeczywista prąd i napięcie są w fazie.

---

Przykład przebiegu $|U(l)|$ pokazano na rysunku. Ponieważ przyjęto założenie bezstratności linii, to wszystkie maksymalne i minimalne wartości napięcia są sobie równe. Wnioski: Napięcie $|U(l)|$ określone wzdłuż linii długiej jest okresową funkcją odległości o okresie równym połowie długości fali $\lambda /2$, co oznacza, że: odległość między kolejnymi maksimami, lub minimami równa jest $\lambda /2$, odległość między maksimum a minimum równa jest $\lambda /4$. W przypadku, gdy $|\mathrm{\Gamma }|=1$ amplitudy fali padającej i odbitej są sobie równe i mamy do czynienia z czystą falą stojącą. Jak widać wartości napięć i prądów okresowo osiągają wartości maksymalne i spadają do zera, przy czym maksymalnej wartości napięcia towarzyszy zero wartości prądu i na odwrót. Kolejne zera oddalone są o pół fali. Ważnym parametrem opisującym rozkład napięcia na linii i tym samym stan dopasowania obciążenia do impedancji charakterystycznej $Z_0$ jest współczynnik fali stojącej. Zgodnie z definicją współczynnik fali stojącej $\rho$ jest stosunkiem maksymalnej i minimalnej wartości modułu napięcia na linii. Współczynnik fali stojącej, często oznaczany jako WFS, jest liczbą rzeczywistą, co oznacza, iż daje nam tylko jedną informację o jednowrotniku/obciążeniu. Pamiętajmy, że współczynnik odbicia $\mathrm{\Gamma }$ daje – jako liczba zespolona – dwie informacje o obciążeniu. Przypadek 1: Na końcu prowadnicy umieszczono rezystancję $R_L>Z_0$ . Współczynnik fali stojącej dla takiego obciążenia obliczamy prosto jako $\rho =R_L/Z_0$ . Przypadek 2: Na końcu prowadnicy umieszczono rezystancję $R_L<Z_0$ . Współczynnik fali stojącej dla takiego obciążenia obliczamy prosto jako $\rho =R_L/Z_0$ .

---

Kolejny raz wracamy do prostego obwodu generator – linia długa – obciążenie. Układ ten powtórnie pokazano na rysunku, jednakże z użyciem nieco innych oznaczeń elementów. Celem rozważań jest określenie mocy występujących w tym prostym układzie. Wyznaczymy: moce fal pierwotnej i odbitej, moc wydzieloną w obciążeniu, maksymalną moc, którą może dostarczyć generator, warunek, przy którym to może nastąpić. Rozważania będą prowadzone przy następujących oznaczeniach i założeniach: generator reprezentowany parametrami źródła $E_G$ i $Z_G$, prowadnica falowa jest jednorodna i bezstratna, opisana przez: $Z_0$ i $\beta l=2\pi l/\lambda$: obciążenie/jednowrotnik charakteryzowany jest przez $Z_L$ , $Y_L$ bądź ${\mathrm{\Gamma }}_L$ Ponadto przyjmiemy, że w prowadnicy rozchodzą się fale o amplitudach $U_w$ i $U_p$.

---

Jako punkt wyjścia przyjmiemy warunki dopasowanego obciążenia. W obwodzie płynie fala pierwotna do obciążenia i nie ma fali odbitej. Napięcie na zaciskach obciążenia jest łatwe do określenia. Można teraz znaleźć moc $P_L$ wydzieloną w obciążeniu. Moc wydzielona w obciążeniu jest mocą niesioną przez falę pierwotną, nie ma fali odbitej, czyli moc fali pierwotnej opisana jest wzorem na $P_{+}$ . Przez analogię znajdujemy zależność na moc fali odbitej $P_{-}$ .

---

Obciążenie jest niedopasowane i część mocy $P_{+}$ niesionej przez falę pierwotną/padającą zostaje odbita i jako moc $P_{-}$ wędruje w stronę generatora. Oznaczając przez $P_L$ moc wydzieloną w jednowrotniku można napisać oczywisty bilans mocy $P_{+}=P_L+P_{-}$ Można teraz połączyć ze sobą moce: padającą i wydzieloną w obciążeniu ze współczynnikiem odbicia. Jak widać argument współczynnika odbicia nie ma wpływu na bilans mocy. Do powyższej zależności można dopisać dwie kolejne: Stosunek mocy $P_{-}$ odbitej do padającej $P_{+}$ jest zależny tylko od modułu współczynnika odbicia, co oznacza, że znajomość współczynnika fali stojącej WFS pozwala określić stosunki wszystkich trzech mocy.

---

W tym punkcie przyjmiemy założenie, że generator i obciążenie są niedopasowane do impedancji charakterystycznej $Z_0$ prowadnicy falowej. Jest to przypadek ogólny i często spotykany. Jak widać z otrzymanych zależności odległość między generatorem a obciążeniem wpływa w istotny sposób na wartość amplitudy $|a_L|$ fali, jaka ustali się na skutek odbić od obciążenia i generatora. Moc $P_{+}$ niesiona przez falę zmieni się w jeszcze szerszych granicach, gdyż z kwadratem modułu amplitudy napięcia. $P_{GO}$ jest mocą niesioną przez falę pierwotną w warunkach dopasowania: W zależności powyższej $P_{+}$ jest > lub < od $P_{GO}$; stosunek maksymalnej do minimalnej mocy może zmieniać się w szerokich granicach.

---

Rozważymy następujący problem: bezstratna linia długa zasilana jest przez generator niedopasowany, dla którego $|{\mathrm{\Gamma }}_G|>0$. Jak dobrać warunki obciążenia generatora, to znaczy jak dobrać $|{\mathrm{\Gamma }}_L|$ i długość linii, aby w obciążeniu wydzieliła się maksymalna moc? Moc w $P_L$ wydzielona w obciążeniu jest maksymalna, gdy spełniony jest przedstawiony na rysunku warunek. Warunek ten nazywamy warunkiem dopasowania energetycznego. Oznacza on, że współczynnik odbicia „widziany” przez generator w jego wrotach wyjściowych powinien być równy sprzężonej wartości jego własnego współczynnika odbicia. W warunkach dopasowania energetycznego moc $P_{GA}$ wydzielona w umieszczonym na końcu prowadnicy jednowrotniku jest maksymalna i nazywana mocą dysponowaną generatora (ang. available power). Znamy teraz dopasowanie dwojakiego rodzaju: dopasowanie impedancji obciążenia $Z_L$ do impedancji charakterystycznej $Z_0$ prowadnicy falowej, co jest równoznaczne warunkowi bezodbiciowości, dopasowanie impedancji obciążenia $Z_L$ do impedancji wewnętrznej generatora $Z_G$, co jest warunkiem dopasowania energetycznego. Powinniśmy umieć odróżniać opisane warunki dopasowania i w odpowiednich warunkach je wykorzystać.

---

Odpowiemy teraz na pytanie, jak zmieni się impedancja $Z_L$ przez dodanie odcinka prowadnicy falowej o odpowiedniej długości $l$ i przez dobór jej impedancji charakterystycznej $Z_0$. Rozwiązanie tego problemu oznacza, że impedancję $Z_L$ i odcinek prowadnicy $l$,$Z_0$ zastąpimy teraz impedancją $Z(l)$ o takiej wartości, że rozkłady prądów i napięć na lewo od płaszczyzny $l$ nie ulegną zmianie. Aby rozwiązać postawiony problem należy wyznaczyć wartości napięcia $U(l)$ i prądu i $I(l)$ w płaszczyźnie odległej o $l$ od końca. Jeśli to się uda zrobić, to odcinek prowadnicy o długości $l$ i impedancji charakterystycznej $Z_0$ oraz impedancję $Z_L$ można zastąpić impedancją $Z(l)$. Przyjmiemy, że znamy wartość współczynnika odbicia na końcu linii ${\mathrm{\Gamma }}_L(Z_L)$, a linia jest bezstratna, to znaczy stała propagacji zapisze się jako $\gamma =j\beta$. Wykorzystano znaną z teorii liczb zespolonych tożsamość $e^{jx}=cosx+jsinx$ . Po przekształceniach otrzymujemy równanie transformacji impedancji z tangensami. Analizując otrzymane wyrażenie dochodzimy do kilku wniosków: Impedancja $Z(l)$ jest funkcją aż 3 zmiennych: $Z_L$ , $Z_0$ , $\beta l$ . Impedancja $Z(l)$ jest okresową funkcją odległości, $Z(l)=Z(l+\lambda /2)$, a okresem jest pół fali $\lambda /2$. Zależność wskazuje na bardzo interesujące właściwości linii długiej, umożliwiające komponowanie żądanych parametrów obwodów.

---

Przypadek 1: Linia długa jest zakończona impedancją $Z_L=Z_0$. W takim przypadku $Z(l)=Z_0$. Wniosek: W każdym punkcie linii impedancja ma tą samą wartość. Przypadek 2: Obliczymy impedancję w odległości równej wielokrotności pół fali $l=n\lambda /2$ od obciążenia. Łatwo zauważyć, że $Z(l=n\lambda /2)=Z_L$ , impedancja okresowo przyjmuje taką wartość, jaką ma no końcu linii. Wniosek: Linia o długości $n\lambda /2$ jest - z punktu widzenia transformacji impedancji - przezroczysta. Przypadek 3: Obliczymy impedancję w odległości równej ćwierć fali $l=\lambda /4$ od obciążenia. Linia o długości $l=(2n-1)\lambda /4$ ma specjalne właściwości i dlatego nazywana jest transformatorem ćwierćfalowym. Wnioski: Transformator ćwierćfalowy jest inwerterem impedancji. Zamienia on duże (małe) wartości rezystancji na rezystancje małe (duże). Transformator ćwierćfalowy zamienia impedancje obciążenia o charakterze indukcyjnym (pojemnościowym) na impedancje wejściowe pojemnościowe (indukcyjne). Jeśli obciążeniem linii jest obwód rezonansu szeregowego, to impedancja wejściowa zachowuje się jak dla obwodu rezonansu równoległego, i vice versa.

---

Przypadek 4: W ogólnym przypadku obciążenia linii impedancją $Z_L=R_L+j{X}_L$ , gdy $R_L>0$ , to współczynnik odbicia równy jest wtedy $\mathrm{\Gamma }=|{\mathrm{\Gamma }}_L|exp(j{\mathrm{\Psi }}_L)$ , przy czym $|{\mathrm{\Gamma }}_L|<1$. W miarę odsuwania się od obciążenia zmienia się $Arg\left\{\mathrm{\Gamma }\right\}$. Gdy odsuniemy się na odległość $l_1$ , to napięcie $U(l_1)$ i prąd $I(l_1)$ są w fazie. Oznacza to, że impedancja $Z(l_1)$ jest czysto rzeczywista. Podobnie, gdy odsuniemy się na odległość $l_2$, sytuacja powtarza się i także wtedy napięcie $U(l_2)$ i prąd $I(l_2)$ są w fazie. Oba miejsca $l_1$ i $l_2$ oddalone są od siebie o ćwierć długości fali $\lambda /4$. Oba te przypadki mogą być wykorzystane przy projektowaniu obwodów dopasowujących.

---

Przypadek 5: Rozważamy efekty zachodzące w linii długiej zwartej na końcu. Oznacza to, że: $Z_L=0$ i ${\mathrm{\Gamma }}_L=-1$ Impedancja wejściowa linii zwartej na końcu jest w każdym miejscu czystą reaktancją. Kąt fazowy między prądem $I(l)$ i napięciem $U(l)$ jest cały czas równy $90^{\circ }$ , jednakże co ćwierć fali zmienia się jego znak. Dlatego $X(l)$ ma dla pewnych zakresów $l$ charakter indukcyjny, dla innych pojemnościowy. Dla zakresów częstotliwości w sąsiedztwie $\beta l=(2n-1)\pi /2$ (nieparzysta liczba ćwiartek fali) linia zwarta na końcu zachowuje się jak obwód rezonansu równoległego. Dla zakresów częstotliwości w sąsiedztwie $\beta l=n\pi$ (wielokrotność połowy fali) linia zwarta na końcu zachowuje się jak obwód rezonansu szeregowego. Przypadek 6: Impedancja wejściowa linii rozwartej na końcu zapisuje się podobną zależnością. Charakter zmian impedancji jak dla linii zwartej, tylko przesunięty o $\lambda /4$ . W zależności od $l$ linia raz jest pojemnością, raz indukcyjnością.

---

W zakresach wysokich częstotliwości pojęcie dwójnika, elementu dwuzaciskowego zastępujemy jednowrotnikiem. Postępujemy tak, gdyż w wielu przypadkach nie potrafimy w strukturze fizycznej elementu mikrofalowego wyodrębnić zacisków (co jest "zaciskiem" w falowodzie cylindrycznym?). Łatwiej określić położenie płaszczyzny odniesienia (zwykle prostopadłej do płaszczyzny propagacji fali), zwanej także wrotami, względem której określamy właściwości elementu. Podobnie wprowadzamy i używamy pojęcia dwuwrotnika raczej niż czwórnika. W tym przypadku zamiast dwu par zacisków pojawiają się płaszczyzny odniesienia ($T_1$ i $T_2$). Na rysunku pokazano dwuwrotniki mikrofalowy jako element obwodu połączony z dwiema często różnymi prowadnicami mikrofalowymi o impedancjach charakterystycznych Z01 i Z02. W jednorodnych prowadnicach prowadzących do obszaru nieciągłości wybrano dwie płaszczyzny odniesienia $T_1$ i $T_2$. W płaszczyznach tych określono zespolone amplitudy prądów $I_1$ , $I_2$ oraz napięć $U_1$ , $U_2$. Przyjmiemy, że opisywany dwuwrotnik jest liniowy, obowiązuje prawo Ohma. Dwuwrotnik może zawierać elementy aktywne, diody, tranzystory. Jest on wtedy liniowy w zakresie małych amplitud sygnałów.

---

Macierze: impedancyjna, admitancyjna i łańcuchowa są powszechnie stosowane w teorii obwodów o stałych skupionych. Można je także stosować jako formy właściwości obwodów o stałych rozłożonych, pamiętając jednak o tym, że występujące w nich impedancje (admitancje) nie mają odpowiedników w elementach przedstawionego obwodu. Jest tak z dwu zasadniczych powodów: Pojawiające się impedancje będą określone jako stosunki pewnych unormowanych napięć i prądów. Normowanie to może być przeprowadzone w rozmaity sposób. Dla każdego ze sposobów otrzymuje się inne wartości impedancji. Wartości impedancji zależą od doboru płaszczyzn odniesienia; przesunięcie tych płaszczyzn zmienia otrzymane wyniki. Wyrazy macierzy [Z] są impedancjami, a macierzy [Y] są admitancjami. Znając macierz [Z] można obliczyć wyrazy macierzy [Y] i na odwrót. Warunki bezstratności dwuwrotników: impedancje macierzy [Z] są reaktancjami, admitancje macierzy [Y] są susceptancjami, wyrazy macierzy [A]: $A_{12}$ i $A_{21}$ są urojone, $A_{11}$ i $A_{22}$ są rzeczywiste. Macierze [Z], [Y], itp., stosowane w teorii obwodów o stałych skupionych są stosowane dla obwodów wysokich częstotliwości.

---

Typową dla techniki mikrofalowej formą opisu własności wielowrotników są macierze rozproszenia. Wynika to z następujących przyczyn: współczynniki macierzy rozproszenia mają prostą interpretację fizyczną, są bezpośrednio związane z takimi parametrami, jak rozkłady napięć i prądów czy też moce fal rozchodzących się w prowadnicach dołączonych do dwuwrotnika, współczynniki macierzy rozproszenia można łatwo i bezpośrednio (w przeciwieństwie np. do impedancji) zmierzyć. Macierz rozproszenia zostanie zdefiniowana dla dwuwrotnika, analogicznie definiowana jest dla wielowrotnika. Nowe wielkości $a_1$ , $a_2$ , $b_1$ i $b_2$ nazywane są znormalizowanymi amplitudami fal,

---

Amplitudy $b_1$ i $b_2$ związane są z amplitudami $a_1$ i $a_2$ równaniami definicyjnymi, opisującymi macierz rozproszenia. Równania można zapisać w postaci macierzowej Cztery współczynniki $S_{11}...S_{22}$ tworzą macierz rozproszenia [S]. Współczynniki macierzy [S] nazywane są współczynnikami rozproszenia. $S_{11}$ i $S_{22}$ nazywane są reflektancjami, bo opisują efekty odbić, $S_{12}$ i $S_{21}$ nazywane są transmitancje, bo opisują transmisję sygnału przez dwuwrotnik. Współczynniki macierzy rozproszenia mają prostą interpretacja fizyczną. $S_{11}$ jest współczynnikiem odbicia widzianym w tych warunkach w płaszczyźnie $T_1$, co tłumaczy nazwę współczynnika: reflektancja. Ponadto $S_{11}$ pozwala obliczyć moc odbitą od dwuwrotnika. Współczynnik $S_{12}$ –transmitancja - pozwala obliczyć część mocy, która przejdzie do obciążenia umieszczonego we wrotach wyjściowych. W podobny sposób, przyjmując, że $a_1=0$, można znaleźć, że współczynnik odbicia widziany we wrotach wyjściowych równy jest $S_{22}$, a $S_{12}$ określa transmisję mocy do wrót wejściowych.

---

Ważną właściwością pewnej klasy dwuwrotników jest ich odwracalność. Dwuwrotnik jest odwracalny, jeżeli $S_{12}=S_{21}$ , co oznacza, że transmisja sygnałów zachodzi w identyczny sposób w obie strony. Kolejną ważną grupą w klasie dwuwrotników odwracalnych są dwuwrotniki bezstratne. Aby wyjaśnić znaczenie pojęcia bezstratności przyjmijmy, że $P_{2+}=0$, do dwuwrotnika doprowadzono moc $P_{1+}$, i że żadna część mocy padającej $P_{1+}$ nie została pochłonięta. Bilans mocy przybiera teraz prostą postać. W praktyce spotykamy dwuwrotniki, które nazywamy symetrycznymi. Zwykle ich struktura i wymiary wskazują na symetrię fizyczną. W sensie mikrofalowym warunek symetrii zapisuje się współczynnikami macierzy rozproszenia jako: $S_{11}=S_{22}$ . Podsumujmy powyższe wywody określając liczbę niezależnych parametrów opisujących jednoznacznie właściwości dwuwrotnika. W ogólnym przypadku dwuwrotnik opisany jest 4 liczbami zespolonymi, a więc 8 parametrami. W szczególnych przypadkach liczba niezależnych parametrów maleje.

---

Z wykładów przedmiotu Teoria obwodów wiemy, że znajomość impedancji macierzy [Z] i admitancji macierzy [Y] dwuwrotnika umożliwia skonstruowanie uniwersalnych obwodów zastępczych typu T i $\pi$. Obwody takie pokazano na rysunku. W ogólnym przypadku, gdy dwuwrotniki są nieodwracalne, w ich obwodach zastępczych muszą występować źródła prądowe lub napięciowe: w obwodach typu T - źródło napięciowe sterowane prądem wejściowym $I_1$, w obwodach typu $\pi$ - źródło prądowe sterowane napięciem wejściowym $U_1$. Impedancje występujące w obwodzie zwykle nie mają interpretacji fizycznej i nie są związane z fizycznymi składnikami elementu opisanego obwodem zastępczym. W przypadku dwuwrotników odwracalnych źródła znikają i obwody zastępcze upraszczają się. Dla dwuwrotników odwracalnych i bezstratnych wszystkie występujące impedancje są reaktancjami, a admitancje susceptancjami.

---

W matematycznym opisie efektów propagowania fal w prowadnicach falowych dwa równania są szczególnie ważne: równanie transformacji współczynnika odbicia, równanie transformacji impedancji. Równanie transformacji impedancji zawiera tangensy i dawno temu, gdy komputery nie były powszechnie stosowane rozwiązanie równania z tangensami przysparzało nieco problemów. Opracowano wtedy konstrukcję wykresu Smith’a i sposoby jego wykorzystania. Przedstawimy je w tym wykładzie i nauczymy się nim posługiwać. Współczesne komputery osobiste z łatwością obliczają zadania z transformacją impedancji. Jednakże wykres Smith’a jest dobrym narzędziem ilustracji rozmaitych operacji, w tym projektowania obwodów dopasowujących. Krokiem wstępnym jest wprowadzenie pojęcia impedancji i admitancji znormalizowanych. Normalizacja impedancji, czy też admitancji odbywa się w stosunku do impedancji charakterystycznej prowadnicy falowej $Z_0$ . Impedancje/admitancje znormalizowane $z_L$ i $y_L$ (używana jest także nazwa: zredukowane) są wielkościami bezwymiarowymi. Używając wprowadzonych wielkości można współczynnik odbicia ${\mathrm{\Gamma }}_L$ zapisać teraz następującą zależnością: Zrozumienie natury wykresu Smith’a będzie łatwiejsze po zapoznaniu się z własnościami odwzorowania homograficznego. Odwzorowaniem homograficznym nazywamy przyporządkowanie punktom na płaszczyźnie zespolonej z punktów na płaszczyźnie zespolonej w, opisane funkcją homograficzną. Podstawowe własności odwzorowania homograficznego: odwzorowanie homograficzne w(z) jest wzajemnie jednoznaczne, okrąg na płaszczyźnie z transformuje się na okrąg na płaszczyźnie w (prosta jest szczególnym przypadkiem okręgu), zachowana zostaje ortogonalność okręgów.

---

Wykres Smith’a powstaje przez przetransformowanie siatki prostych r=const. i x=const. z płaszczyzny impedancji z na płaszczyznę współczynnika odbicia $\mathrm{\Gamma }$. Prosta r=const. na płaszczyźnie z transformuje się na płaszczyznę $\mathrm{\Gamma }$ jako okrąg o promieniu 1/(r+1) i środku [r/(r+1),0]. Rodzina prostych r=const. z prawej półpłaszczyzny r>0 tworzy po transformacji na płaszczyznę $\mathrm{\Gamma }$ rodzinę okręgów pokazaną na rysunku. Prosta x=const. transformuje się na okrąg o promieniu 1/|x| i środku leżącym w punkcie o współrzędnych [1,1/x]. Rodzina półprostych x=const. z prawej półpłaszczyzny r>0 tworzy po transformacji na płaszczyznę $\mathrm{\Gamma }$ rodzinę łuków pokazaną na rysunku. Obie rodziny okręgów są względem siebie ortogonalne. Jeżeli transformację ograniczyć do prawej półpłaszczyzny $r\ge 0$, to otrzymuje się wykres Smitha. Można też przetransformować z płaszczyzny admitancji y proste g=const. i b=const. na odpowiednie okręgi na płaszczyźnie $\mathrm{\Gamma }$ . Otrzymuje się identyczną, siatkę współrzędnych, ale obróconą o $180^{\circ }$ . Punkty prawej półpłaszczyzny z transformują się do wnętrza okręgu o promieniu 1, punkty lewej półpłaszczyzny transformują się do zewnętrza okręgu.

---

Na rysunku pokazano wykres Smith’a z ilustracją operacji szeregowego dodawania reaktancji i rezystancji oraz równoległego dodawania konduktancji susceptancji. Punktem startu operacji jest obwód oznaczony jako „A” z impedancją $z_L=r_L+j{x}_L$ . Są to wielkości bezwymiarowe, zredukowane w stosunku do impedancji charakterystycznej $Z_0$. Pierwsza operacja polega na znalezieniu punktu na wykresie Smith’a odpowiadającemu impedancji obwodu „A”. Znajdujemy go na przecięciu okręgu $r_L=const.$ z łukiem $x_L=const.$ . W obwodzie „B” dodajemy do admitancji $y_A=y_L=1/z_L$ równolegle włączoną koduktancję $g_R$. Po dodaniu konduktancji $g_R$ przesuniemy się po łuku $b_A=const.$ (dodawanie konduktancji nie zmienia wartości susceptancji) do punktu B na okręgu $g_B=const.$ , dla którego spełniony jest warunek $g_B-g_A=g_R$ . W obwodzie „C” dodajemy do admitancji $y_A$ równolegle włączoną susceptancję $b_R$ . Po dodaniu susceptancji $b_R$ przesuniemy się po okręgu gA=const. (dodawanie susceptancji nie zmienia wartości konduktancji) do punktu C znalezionym na łuku $b_C=const.$ , dla którego spełniony jest warunek $b_C-b_A=b_R$ . W obwodzie na rysunku D dodajemy do impedancji $z_A$ szeregowo włączoną reaktancję $x_S$ . Po dodaniu reaktancji $x_S$ przesuniemy się z punktu A po okręgu $r_A=const.$ (dodawanie reaktancji nie zmienia wartości rezystancji) do punktu D na łuku $x_D=const.$ , dla którego spełniony jest warunek $x_D-x_A=x_S$ . Dla obwodu pokazanego na rysunku E dodajemy do impedancji $z_A$ szeregowo włączoną rezystancję $r_S$ . Po dodaniu rezystancji $r_S$ przesuniemy się z punktu A po łuku $x_A=const.$ (dodawanie rezystancji nie zmienia wartości reaktancji) do punktu E na okręgu $r_E=const.$ , dla którego spełniony jest warunek $r_E-r_A=r_S$ .

---

Prześledzimy krok po kroku znalezienie punktu na wykresie Smith’a odpowiadającego impedancji czteroelementowego obwodu pokazanego na rysunku. Wartości elementów obwodu podane są w omach, pikofaradach i mikrohenrach, trzeba więc dla określonej częstotliwości obliczyć wartości reaktancji i susceptancji, a następnie zredukować je w stosunku do impedancji charakterystycznej $Z_0$. Pierwszy krok to znalezienie punktu impedancji $z^{(1)}$, odpowiadającego równolegle połączonym elementom $R$ i $L_1$. Posługujemy się siatką współrzędnych admitancyjnych i znajdujemy punkt $z^{(1)}$ na przecięciu okręgu stałej konduktancji $Z_0/R$ i susceptancji Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle –Z_0/{\omega L_1}\,} . Korzystamy teraz ze współrzędnych impedancyjnych, dodajemy do reaktancji $z^{(1)}$ reaktancję Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle –1/{\omega C_S Z_0}\,} i poruszając się po okręgu stałej rezystancji docieramy do punktu $z^{(2)}$. Powracamy do współrzędnych admitancyjnych, gdyż indukcyjność $L_2$ włączona jest równolegle. Obliczmy zredukowaną susceptancję Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle –Z_0/{\omega L_2}\,} i dodajemy ją do susceptancji $b^{(2)}$ przesuwając się po okręgu stałej konduktancji do punktu $z^{(3)}$ . Wartość składowych impedancji $z^{(3)}$ odczytujemy z siatki współrzędnych impedancyjnych.

---

Na rysunku pokazano wykres Smith’a z ilustracją operacji transformacji impedancji wzdłuż jednorodnej prowadnicy falowej. Pamiętamy, że siatka współrzędnych impedancyjnych i admitancyjnych umieszczona jest na płaszczyźnie współczynnika odbicia. Operacja transformacji polega na transformacji współczynnika odbicia, co oznacza, że w miarę odsuwania się od obciążenia linii punkt przesuwa się po okręgu $|\mathrm{\Gamma }|=const.$, w kierunku „do generatora” (zgodnie ze wskazówkami zegara). Pierwszy etap operacji polega na znalezieniu punktu $L$ na wykresie Smith’a odpowiadającemu impedancji $z_L$ . Znajdujemy go na przecięciu okręgu $r_L=const.$ z łukiem $x_L=const.$ Następnie kreślimy okrąg o promieniu OL i środku w punkcie O. Odsuwając się od końca linii o odległość $l_1$ docieramy do punktu I, w którym rezystancja $r_I=1$r_I=1\,</math>. Następnie docieramy do punktu R na osi $x_R=0$, dalej do punktu K, w którym ponownie $r_K=1$ . W kolejnych interesujących punktach odnotowujemy, że $g_M=1$ , $b_S=0$ i $g_N=1$. Po odsunięciu się o pół fali wracamy do punktu L.

---

Na rysunku pokazano wykres Smith’a z ilustracją operacji transformacji impedancji wzdłuż jednorodnej prowadnicy falowej, której impedancja charakterystyczna $Z_{0t}$ jest różna do $Z_0$Z0. Na końcu linii umieszczona jest impedancja $Z_L=R_L$ , gdyż dla uproszczenia przyjmiemy, że jest czysto rzeczywista. Obliczamy odpowiadający tej impedancji współczynnik odbicia ${\mathrm{\Gamma }}_L$ w stosunku do impedancji charakterystycznej $Z_0$, gdyż linią odniesienia jest właśnie linia o tej $Z_0$. Wartości $\mathrm{\Gamma }(\theta )$ leżą na okręgu, którego rozmiary i położenie zależą od stosunku n wartości impedancji charakterystycznych. Środek każdego z okręgów leży na głównej średnicy wykresu Smitha, natomiast jego rozmiary zależą od wartości n. Po oddaleniu się o ćwierć fali $(l=\lambda /4)$ od końca linii współczynnik odbicia staje się rzeczywisty. Jeśli przyjmiemy wartość n=1, to w trakcie transformacji poruszamy się po okręgu $|\mathrm{\Gamma }|=const.$ – przypadek a. Gdy przyjmiemy n<1, to początkowo wartość $|\mathrm{\Gamma }|$ rośnie – przypadki b i c.

---

Problem dopasowania, to stworzenie warunków, w których moc fali biegnącej do jednowrotnika wydzieli się w nim w całości. Rozwiążemy ten problem umieszczając między jednowrotnikiem a prowadnicą falową specjalnie dobrany bezstratny dwuwrotnik, co pokazuje rysunek. Pokazano na nim prowadnicę falową (tor mikrofalowy) o impedancji charakterystycznej $Z_0$ zakończona jest jednowrotnikiem opisanym: impedancją $Z_L$ , admitancją $Y_L=1/Y_L$ , $Z_L\ne Z_0$ ; impedancją zredukowaną $z_L=Z_L/Z_0$ , admitancją zredukowaną $y_L=Y_L/Y_0$ , współczynnikiem odbicia ${\mathrm{\Gamma }}_L$ . Rola bezstratnego obwodu dopasowującego polega stworzeniu warunków, w których cała moc biegnąca od generatora wydzieli się w obciążeniu.

---

Przeanalizujemy możliwości znalezienia obwodu dopasowującego, gdy obiektem dopasowania jest impedancja $Z_L$ o charakterze indukcyjnym, której zredukowana wartość równa jest $z_L$ . Opiszemy kolejno działanie 4 prostych, dwuelementowych obwodów dopasowujących. Punkt L odpowiadający impedancji $z_L$ leży na przecięciu okręgu $r_L=const.$ i łuku $x_L=const.$ W operacji dopasowania przesuwamy się - dodając rozmaite reaktancje i susceptancje - po siatce współrzędnych wykresu Smith’a z punktu L do punktu O, środka układu współrzędnych, gdyż w punkcie O współczynnik odbicia $\mathrm{\Gamma }$ równy jest 0. Jest wiele rozwiązań problemu dopasowania. Na rysunku pokazano dwa z możliwych obwodów dopasowujących. Obwody „A” i „B” zaczynają się pojemnością szeregową $C_S$ tak dobraną, aby reaktancja $x_S(C_S)$ przesunęła impedancję do punktu „A” lub do punktu „B”, oba na okręgu g=1. W punkcie „A” susceptancja $b_A<1$, w punkcie „B” susceptancja $b_B>1$. Proces dopasowania kończy się kompensacją tej susceptancji przez dodaną susceptancję równoległą $b_R$, pojemnościową w przypadku „A”, indukcyjną w przypadku „B”.

---

Procesy dopasowania realizowane pokazanymi na rysunku obwodami „C” i „D” zaczynają się pojemnością równoległą $C_R$ tak dobraną, aby susceptancja $b_R(C_R)$ przesunęła impedancję do punktu „C” lub do punktu „D”, oba na okręgu r=1. W punkcie „C” reaktancja $x_C>1$, w punkcie „D” reaktancja $x_D<1$. Proces dopasowania kończy się kompensacją tej reaktancji przez dodaną reaktancję szeregową $x_S$ , pojemnościową w przypadku „C”, indukcyjną w przypadku „D”.

---

Technologia planarna wykonania kondensatorów C i indukcyjności L pozwala na ich prace nawet w pasmie fal milimetrowych. Wprawdzie ich obwód zastępczy jest dość złożony, co utrudnia obliczenia, ale obwody dopasowujące wykorzystujące te elementy mogą być realizowane. Z poprzedniego wykładu wiemy, że proste w realizacji odcinki prowadnic falowych zwartych lub rozwartych na końcu mogą tworzyć elementy zachowujące się jak pojemność, lub indukcyjność. Można także wykorzystać je jako elementy transformujące dopasowywaną impedancje do stanu, w którym dopasowanie może być prostszym zabiegiem. Rozpoczniemy od przypomnienia operacji transformacji. Impedancja $z_L$ transformuje się wzdłuż prowadnicy zgodnie z równaniem transformacji impedancji, co pokazano na rysunku.

---

Po odsunięcia się od obciążenia o odległość $l_I$ znaleźliśmy się w punkcie „I”, w którym $r_I=1$ . Teraz po skompensowaniu reaktancji $x_I>0$ możemy znaleźć się w punkcie O. Obwód pokazany jako I1 realizuje kompensację przez dodanie szeregowej, ujemnej reaktancji (pojemnościowej) $x_S(C_S)$. Obwód pokazany jako I2 realizuje kompensację przez dodanie szeregowej reaktancji zrealizowanej w postaci odcinka prowadnicy falowej o długości $l_Z$ zwartej na końcu. Reaktancje taką możemy obliczyć z odpowiedniego wzoru. Obwód pokazany jako I3 realizuje kompensację przez dodanie szeregowej reaktancji zrealizowanej w postaci odcinka prowadnicy falowej o długości $l_R$ rozwartej na końcu. Zauważmy, że obwody I2 i I3 zrealizowane są całkowicie z odcinków linii długiej. W ćwiczeniach poświęconych dopasowaniu opiszemy inne obwody dopasowujące.

---

Po studiach wykładu powinniśmy zdawać sobie sprawę czym charakteryzuje się zakres częstotliwości mikrofalowych. W wielkim skrócie możemy powiedzieć: Rozmiary mikrofalowych elementów i obwodów są porównywalne do długości fal, na których pracują, Czas propagacji porównywalny lub wielokrotnie dłuższy od okresu drgań, W zakresie częstotliwości mikrofalowych mamy do czynienia z efektem naskórkowości, Podstawowym pomiarem zakresu mikrofal jest pomiar mocy. Z wymienionych wyżej cech możemy wnioskować, że nie istnieje dokładnie określona częstotliwość graniczna, powyżej której znajdziemy się w zakresie mikrofal. Patrząc historycznie można powiedzieć, że pasmo fal elektromagnetycznych było opanowywane, „atakowane” z dwóch stron: pasm fal radiowych i pasm optycznych. Rozwój techniki radiowej oznaczał opanowanie kolejno fal długich, średnich, krótkich i UKF. Rozwój techniki radarowej to kolejne opanowanie fal decymetrowych, następnie poprzez fale centymetrowe do milimetrowych i submilimetrowych.

---

Ćwiczenia

Zadanie 5.1.

W jednorodnej i bezstratnej linii długiej o impedancji charakterystycznej $Z_0$ umieszczono dwie impedancje $Z_1=R_1+j{X}_1$ oraz $Z_2=R_2+j{X}_2$, oddzielone od siebie odcinkiem linii długiej o długości elektrycznej $l/\lambda$, w sposób pokazany na rysunku a). Moc fali padającej na ten układ wynosi $P_{+1}$. Podaj sposób i drogę obliczenia mocy $P_1$ i $P_2$ wydzielonych w impedancjach $Z_1$ i $Z_2$ oraz mocy $P_{-1}$, $P_{+2}$ i $P_{-2}$ rozchodzących się prowadnicach falowych.

	Rys. Ilustracja do zadania 5.1. a) Pełny obwód zadania.

Rozwiązanie:

Rozwiązując Zadanie 5.1 miejmy na uwadze oznaczenia podane na rysunku b) i c).

Rys. Ilustracja do zadania 5.1. b) Impedancja $Z_2$ przetransformowana do płaszczyzny b-b. c) Impedancja $Z_{a-a}$ widziana w płaszczyźnie a-a.

Zadanie rozwiążemy znajdując zależności, które pozwolą obliczyć żądane wielkości w oparciu o dane wejściowe, jednakże bez obliczeń konkretnych wartości mocy i współczynników odbicia. Przypomnimy najpierw podstawowe zależności podane na wykładzie, z których skorzystamy.

Oto one:

• Zależność do wyznaczenia współczynnika odbicia:

$\mathrm{\Gamma }(l=0)\equiv {\mathrm{\Gamma }}_L=\frac{U_w}{U_p}=\frac{Z_L-Z_0}{Z_L+Z_0}=\frac{Y_0-Y_L}{Y_0+Y_L}$

• Zależności do obliczenia napięcia i prądu:

$U(l)=U_{+}[1+\mathrm{\Gamma }(l)]=U_p{e}^{j\beta l}(1+{\mathrm{\Gamma }}_L{e}^{-j2\beta l})$

$I(l)=I_{+}[1-\mathrm{\Gamma }(l)]=\frac{U_p}{Z_0}{e}^{j\beta l}(1-{\mathrm{\Gamma }}_L{e}^{-j2\beta l})$

• Zależność wiążąca moc fali z amplitudami napięć tych fal:

$P_{+}=\frac{|U_p{|}^2}{2Z_0}=\frac{|a_L{|}^2}{2}$ ;

• Wreszcie równanie wykorzystane do obliczenia transformacji impedancji:

$Z(l)=Z_0\frac{Z_L+j{Z}_{0}tg\beta l}{Z_0+j{Z}_{L}tg\beta l}$

Aby wyznaczyć moce $P_1$ i $P_2$ wydzielone w rezystancjach impedancji $Z_1$ i $Z_2$ należy w obwodzie z rysunku b) wyznaczyć napięcie $U_{a-a}$ i prąd $I_{a-a}$. Kolejność obliczeń może być następująca:

• Transformujemy impedancję $Z_2$ do płaszczyzny b-b korzystając ze wzoru i otrzymujemy impedancję $Z_{b-b}$:

$Z_{b-b}=Z_0\frac{Z_2+j{Z}_{0}tg\mathrm{\Theta }}{Z_0+j{Z}_{L}tg\mathrm{\Theta }}=R_{b-b}+j{X}_{b-b}$ ; gdzie $\mathrm{\Theta }=\frac{2\pi l}{\lambda }$ ;

• Obliczamy teraz impedancję $Z_{a-a}$ w płaszczyźnie a-a:

$Z_{a-a}=Z_1+Z_{b-b}$ ;

• Z zależności (2-25) obliczamy współczynnik odbicia ${\mathrm{\Gamma }}_{a-a}$ :

${\mathrm{\Gamma }}_{a-a}=\frac{Z_{a-a}-Z_0}{Z_{a-a}+Z_0}$ ;

• Napięcie $|U_{a-a}|$ na impedancji $Z_{a-a}$ obliczamy korzystając z zależności (2-29) i (2-45):

$|U_{a-a}|=|U_p||1+{\mathrm{\Gamma }}_{a-a}|=|U_p|\frac{2Z_0}{|Z_{a-a}+Z_0|}$ ; gdzie $|U_p|=\sqrt{2Z_0{P}_{+}}$

• Teraz obliczamy prąd $I_{a-a}$ :

$|I_{a-a}|=\frac{|U_{a-a}|}{|Z_1+Z_{b-b}|}=\frac{2Z_0|U_p|}{|Z_1+Z_{b-b}{|}^2}$ ;

• Zauważmy teraz, że moc wydzielona na impedancji $Z_{b-b}$ jest szukaną mocą $P_2$ wydzieloną na impedancji $Z_2$. O wartościach mocy $P_1$ i $P_2$ decydują wartości rezystancji $R_1$ i $R_{b-b}$:

$P_1=\frac{R_1|I_{a-a}{|}^2}{2}$ ; oraz $P_2=\frac{R_{b-b}|I_{a-a}{|}^2}{2}$ ;

• Obliczenie mocy odbitej $P_{-1}$ jest proste:

$P_{-1}=|{\mathrm{\Gamma }}_{a-a}{|}^2{P}_{+1}$ ;

• Nieco trudniejszym problemem jest wyznaczenie mocy $P_{+2}$ i $P_{-2}$ fal rozchodzących się w prowadnicy o długości $l$ , na końcu której umieszczona jest impedancja $Z_2$. Punktem wyjścia jest znajomość mocy $P_2$ wydzielonej w $Z_2$. Znając $Z_2$ możemy wyznaczyć współczynnik odbicia ${\mathrm{\Gamma }}_2$:

${\mathrm{\Gamma }}_2=\frac{Z_2-Z_0}{Z_2+Z_0}$ ;

• Poziom mocy $P_{+2}$ musi być taki, aby po odbiciu części $P_{-2}$ tej mocy w impedancji $Z_2$ wydzieliło się tyle, co powinno, czyli $P_2$. Napiszemy teraz proste związki:

$P_{+2}=P_2+P_{-2}$ ; oraz $\frac{P_{-2}}{P_{+2}}=|{\mathrm{\Gamma }}_2{|}^2$ ; czyli $P_{+2}=\frac{P_2}{1-|{\mathrm{\Gamma }}_2{|}^2}$ ; i $P_{-2}=\frac{P_2|{\mathrm{\Gamma }}_2{|}^2}{1-|{\mathrm{\Gamma }}_2{|}^2}$ ;

Zasadniczo zadanie zostało rozwiązane, gdyż znaleziono drogę do obliczenia wszystkich szukanych wielkości mocy: $P_1$ , $P_2$ , $P_{-1}$ , $P_{+2}$ i $P_{-2}$. Wyprowadzenie końcowych formuł jest proste, no a w ewentualnych obliczeniach pomoże komputer.

---

Zadanie 5.2.

Wyznaczyć macierz rozproszenia odcinka bezstratnej prowadnicy falowej o długości elektrycznej $\beta l=\mathrm{\Theta }$, patrz rysunek.

Rysunek do zadania 5.2.
Wskazówka: Punktem wyjścia mogą być równania definicyjne macierzy [S]

Rozwiązanie:

Przypomnijmy równania definicyjne macierzy $[S]$ :

$b_1=S_{11}{a}_1+S_{12}{a}_2$ ;

$b_2=S_{21}{a}_1+S_{22}{a}_2$ ;

Nasz dwuwrotnik jest bezstratny i symetryczny. Płynie stąd wniosek, że: $S_{22}=S_{11}=0$, a także: $|S_{12}|=|S_{21}|=1$.

Obliczenie rozpoczynamy od wyznaczenia $S_{11}$. W tym celu w płaszczyźnie $T_2$ umieścimy bezodbiciowe obciążenie o impedancji $Z_0$. Cała moc fali padającej na obciążenie zostaje pochłonięta. Tak więc nie tylko $a_2=0$ , ale i $b_1=0$. To znaczy, że $S_{11}=0$.

Ostatnie z równań nie może być wykorzystane do wyznaczenia ${\varphi }_{12}=Arg\{S_{12}\}$, jednakże łatwo zauważyć, że w dyskutowanym przez nas przypadku:

$b_2=a_1{e}^{-j\beta l}$ ;

Szukana macierz wygląda więc następująco:

$[S]=\left[\begin{array}{cc}0& e^{-j\mathrm{\Theta }}\\ e^{-j\mathrm{\Theta }}& 0\end{array}\right]$ ;

---

Zadanie 5.3

Do toru prowadnicy falowej wprowadzono impedancję $Z$. Wyznaczyć macierz rozproszenia tak powstałego dwuwrotnika – patrz rysunek, jeżeli impedancja charakterystyczna prowadnicy równa jest $Z_0$.

Rysunek do Zadania 5.3.

Rozwiązanie:

Poszukamy macierzy rozproszenia dla impedancji z włączonej szeregowo do toru.

Rozpoczynamy od wyznaczenia $S_{11}$. Wykorzystamy równania definicyjne:

$b_1=S_{11}{a}_1+S_{12}{a}_2$ ;

$b_2=S_{21}{a}_1+S_{22}{a}_2$ ;

Będziemy operowali impedancjami zredukowanymi. W płaszczyźnie $T_2$ umieścimy bezodbiciowe obciążenie o impedancji zredukowanej $z_L=1$.

Rysunek do rozwiązania Zadania 5.3.

Tak więc na końcu linii umieszczona jest admitancja $z_k=z+1$. Ponieważ $a_2=0$, to:

$b_1=S_{11}{a}_1$ ;

$b_2=S_{21}{a}_1$ ;

Zgodnie z definicją współczynnik odbicia $\mathrm{\Gamma }$ widziany w płaszczyźnie $T_1$ jest poszukiwanym współczynnikiem $S_{11}$:

$S_{11}=\mathrm{\Gamma }=\frac{b}{a}=\frac{z_k-1}{z_k+1}=\frac{z}{z+2}$ ;

Prześledźmy poniższe rozumowanie.

Aby obliczyć wartość współczynnika $S_{12}$ trzeba znaleźć stosunek amplitud $b_2/a_1$. Wartość $b_2$ znajdziemy prosto, jeżeli zauważymy, że amplituda fali na bezodbiciowym obciążeniu $z_L=1$ równa jest właśnie $b_2$ jeżeli to $z_L$ umieścić we wrotach wyjściowych.

Z drugiej strony fala o amplitudzie $a_1$ pada na obciążenie $z+1$, na którym powstanie napięcie $a_1(1+\mathrm{\Gamma })$. Przez obciążenie $(z+1)$ popłynie prąd $i$:

$i=\frac{a_1(1+\mathrm{\Gamma })}{z+1}=\frac{2a_1(z+1)}{(z+2)(z+1)}=\frac{2a_1}{z+2}$ ;

Na impedancji $z_L=1$ powstanie napięcie o amplitudzie $b_2$:

$b_2=i{z}_L=\frac{2a_1}{z+2}$ ;

$S_{21}=S_{12}=\frac{b_2}{a_1}=\frac{2}{z+2}$ ;

Ostatecznie otrzymujemy:

$[S]=\left[\begin{array}{cc}\frac{z}{z+2}& \frac{2}{z+2}\\ \frac{2}{z+2}& \frac{z}{z+2}\end{array}\right]$ ;

---

Zadanie 5.4

Na rysunku pokazano na wykresie Smith’a drogę r-A-B-0 dopasowania rezystancji $r>1$. Jaki obwód realizuje takie dopasowanie? Napisz równanie, które musi być spełnione, aby spełniony był warunek dopasowania.
Ilustracja do problemu 5.4

Rozwiązanie:

Obiektem dopasowania jest rezystancja $r>1$, punkt początkowy $r$ drogi leży na osi $x=0$. Odcinek drogi $r-A$ odbywa się po okręgu $r=const.$, a reaktancja impedancji w punkcie $A$ ma charakter indukcyjny. Tak więc pierwszym elementem dodanym do $r$ jest szeregowa indukcyjność $L_{S1}$ .

$z_A=r+j{x}_{LS1}$ ; Odcinek A-B drogi odbywa się po okręgu $g=const.$, a przy tym susceptancja rośnie. Oznacza to, że dołączona została równoległa pojemność $C_R$. Jej wartość została dobrana tak, aby znaleźć się na okręgu $r=1$. $z_B=\frac{1}{y_B}=\frac{1}{\frac{1}{z_A}+j{x}_{CR}}$ ; $Re\{z_B\}=1$ ;
	Rozwiązanie problemu 5.4

Ostatni odcinek drogi prowadzi po okręgu $r=const.$ a reaktancja impedancji $z_B$ rośnie od wartości ujemnych do 0. Oznacza to, że dodano szeregową indukcyjność oznaczoną na rysunku jako $L_{S2}$.

$z_B+j{x}_{LS1}=1$ ;

---

---

Pytania sprawdzające

(jeśli potrafisz na nie odpowiedzieć, to znaczy, że opanowałeś/aś materiał wykładu)

1. Napisz rozwiązanie równania telegrafistów i opisz występujące w nim wielkości.
2. Podaj definicje prędkości fazowej i grupowej oraz impedancji charakterystycznej.
3. Jak umieszczona na końcu linii długiej impedancja wpływa na rozkład napięcia i prądu?
4. Zdefiniuj współczynnik odbicia i opisz sposób jego transformacji wzdłuż linii długiej.
5. Narysuj rozkład napięcia i prądu wzdłuż linii długiej dla różnych przypadków jej obciążenia.
6. Zdefiniuj współczynnik fali stojącej i odpowiedz jakie przyjmuje wartości dla różnych przypadków obciążenia linii długiej.
7. Opisz działanie układu generator – linia długa – obciążenie:
8. Generator jest dopasowany = 0 i wysyła w stronę obciążenia moc 1W. Jaka maksymalna moc wydzieli się w obciążeniu i w jakich warunkach.
9. Generator nie jest dopasowany i ${\mathrm{\Gamma }}_L=j0,7$ i wysyła w stronę obciążenia moc 1W. Jaka maksymalna moc wydzieli się w obciążeniu i w jakich warunkach
10. Jakie wartości impedancji możesz zrealizować za pomocą odcinka linii długiej zwartej na końcu?
11. To samo uzasadnij dla linii rozwartej na końcu.
12. Zdefiniuj macierz rozproszenia $[S]$ dwuwrotnika.
13. Zapisz związki między wyrazami macierzy $[S]$ dwuwrotnika bezstratnego.
14. Jak i w jakich warunkach liczba niezależnych parametrów opisujących dwuwrotnik redukuje się z ośmiu do dwóch.?
15. Czy znając wyrazy macierzy $[S]$ dwuwrotnika możesz obliczyć wyrazy macierzy $[Z]$? Naszkicuj tą drogę.
16. Jak transformuje się współczynnik odbicia obciążenia przez dwuwrotnik?
17. Jak współczynniki macierzy rozproszenia zmieniają się przy zmianie położenia płaszczyzn odniesienia?
18. Jak z płaszczyzny $Z$ linie $R=const.$ i $X=const.$ transformują się na płaszczyznę $\mathrm{\Gamma }$? W jakie miejsca transformują się zwarcie, rozwarcie i dopasowanie?
19. Obciążenie ma impedancję $z=2+j$. Kóre z opisanych 18 obwodów mogą ją dopasować.
20. To samo dla admitancji $y=1+j2$.
21. Do impedancji Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle z=0,5–j} dołączono odcinek linii długiej jako pierwszy element obwodu dopasowującego. Posługując się wykresem Smitha opisz 6 kolejnych możliwości dopasowania, które powstają w miarę oddalania się od obciążenia.
22. Zdefiniuj macierz rozproszenia $[S]$ dwuwrotnika.
23. Zapisz związki między wyrazami macierzy $[S]$ dwuwrotnika bezstratnego.
24. Jak transformuje się współczynnik odbicia obciążenia przez dwuwrotnik?

Zadania problemowe

Zadanie 5.1.

Bezstratna linia długa o impedancji charakterystycznej $Z_0=50\mathrm{\Omega }$ zasilana jest przez dopasowany generator ($Z_G=Z_0$). Elektryczna długość linii dla $f=500MHz$ wynosi $2\lambda$. Linia obciążona jest rezystancją $R_L=200\mathrm{\Omega }$ - patrz rysunek.

Rys. Ilustracja do zadania 5.1.

Częstotliwość $f$ generatora zmienia się płynnie z 500 MHz do 1000 MHz, przy czym moc fali wypływającej z generatora jest stała i wynosi $P_{+}=1W$. Naszkicuj przebieg $|U_W(f)|$, czyli zależność modułu amplitudy napięcia na wyjściu generatora od częstotliwości.

---

Zadanie 5.2.

W jednorodnej i bezstratnej linii długiej o impedancji charakterystycznej $Z_0=50\mathrm{\Omega }$ umieszczono szeregowo rezystor o rezystancji $R=150\mathrm{\Omega }$ , a za nim ruchomy zwieracz (zwarcie, którego położenie może zmieniać się) - patrz rysunek.

Rys. Ilustracja do Zadania 5.2.

Wyznacz odległość $l_Z/\lambda$ zwarcia od rezystora, dla której w tak utworzonym jednowrotniku wydzieli się maksimum mocy $P_{+}=1W$ fali padającej na niego i oblicz tą część mocy.

Czy istnieje takie położenie zwieracza, dla którego cała moc $P_{+}$ odbija się? Uzasadnij to.

---

Zadanie 5.3.

Linię długą o impedancji charakterystycznej $Z_{01}=50\mathrm{\Omega }$ połączono z impedancją $Z_L=150\mathrm{\Omega }$ za pomocą odcinka linii o impedancji charakterystycznej $Z_{02}=75\mathrm{\Omega }$ i długości $l$ – patrz rysunek.

Rys. Ilustracja do Zadania 5.3.

Moc fali padającej na ten układ wynosi $P_{+}=1W$. Podaj sposób obliczenia mocy PL wydzielonej w impedancji $Z_L$ i oblicz jej wartość dla przypadków, gdy $l/\lambda =1/4,2/4i3/4$. Dla pierwszego z przypadków oblicz także moce $P_{+2}$ i $P_{-2}$.

---

Zadanie 5.4.

W jednorodnej i bezstratnej linii długiej o impedancji charakterystycznej Z0=50 umieszczono obwód złożony z 2 rezystorów, a za nim ruchomy zwieracz (zwarcie, którego położenie może zmieniać się) - patrz rysunek.

Wyznacz odległości $l_Z/\lambda$ zwarcia od rezystora, dla których w tak utworzonym jednowrotniku wydzieli się:

• maksimum mocy,
• minimum mocy

i oblicz wartości tych mocy.

Rys. Ilustracja do Zadania 5.4.

---

Zadanie 5.5.

Dana jest macierz rozproszenia odwracalnego, bezstratnego i symetrycznego dwuwrotnika.

$[S]=\left[\begin{array}{cc}{S}_{11}& S_{12}\\ S_{12}& S_{11}\end{array}\right]$ ;

przy czym współczynniki $S_{11}$ i $S_{12}$ związane są sobą dodatkowymi zależnościami i w rezultacie znajomość $S_{11}=|S_{11}|exp(j{\varphi }_{11})$ pozwala jednoznacznie opisać zachowanie dwuwrotnika. Właściwości dwuwrotnika można też opisać prostym symetrycznym obwodem zastępczym pokazanym na rysunku. Obwód ten opisany jest dwoma parametrami: długością elektryczną $\beta l$ odcinków i susceptancją $jB$. Wyprowadź związki między $\beta l$ i $jB$ a parametrami $|S_{11}|$ i ${\varphi }_{11}$.

Rys. Ilustracja do Zadania 5.5.

---

Zadanie 5.6.

Dana jest macierz rozproszenia odwracalnego, bezstratnego i symetrycznego dwuwrotnika.

$[S]=\left[\begin{array}{cc}{S}_{11}& S_{12}\\ S_{12}& S_{11}\end{array}\right]$ ;

przy czym współczynniki $S_{11}$ i $S_{12}$ związane są sobą dodatkowymi zależnościami i w rezultacie znajomość $S_{11}=|S_{11}|exp(j{\varphi }_{11})$ pozwala jednoznacznie opisać zachowanie dwuwrotnika. Właściwości dwuwrotnika można też opisać prostym symetrycznym obwodem zastępczym pokazanym na rys.1. Obwód ten opisany jest dwoma parametrami: długością elektryczną $\beta l$ odcinków i reaktancją $jB$. Wyprowadź związki między $\beta l$ i $jX$ a parametrami $|S_{11}|$ i ${\varphi }_{11}$.

Rys. Ilustracja do Zadania 5.6.

---

Zadanie 5.7.

Na rysunku pokazano na wykresie Smith’a 3 drogi dopasowania admitancji y. Każdy obwód dopasowujący jest trójelementowy.

Trzy drogi dopasowania admitancji y: y-A-B-0, y-C-D-0, y-E-F-0

Odtwórz te obwody i dla każdego z nich napisz odpowiednie równania opisujące drogę do dopasowania. Czy wartości elementów tych obwodów można jednoznacznie wyznaczyć?

---

Zadanie 5.8.

Na rysunku pokazano na wykresie Smith’a 3 drogi dopasowania admitancji y. Każdy obwód dopasowujący jest trójelementowy.

Trzy drogi dopasowania impedancji z: z-A-B-0, z-C-D-0, z-E-F-0

Odtwórz te obwody i opisz krótko ich działanie.

Uwaga: Obwody są trójelementowe i mogą zawierać rezystancje i konduktancje.

---

Słownik

• Dopasowanie energetyczne - dopasowanie impedancji obciążenia tak aby uzyskać maksimum mocy w nim wydzielanej.
• Dopasowanie (bezodbiciowość) - stworzenie warunków, w których moc fali biegnącej do jednowrotnika wydzieli się w nim w całości, rozwiązywane zwykle przez umieszczenie między jednowrotnikiem a prowadnicą falową specjalnie dobranego bezstratnego dwuwrotnika.
• Fala padająca - Fala biegnąca w kierunku osi z (w kierunku układu, dwuwrotnika, obciążenia itp).
• Fala odbita - fala biegnąca w przeciwnym kierunku.
• Impedancja charakterystyczna $Z_0$ - stosunek amplitud napięcia i prądu fali padającej i odbitej. $Z_0$ jest funkcją parametrów przewodnika i dielektryka linii.
• Moc dysponowana generatora - maksymalna moc jaką może dostarczyć generator do obciążenia. Taką moc można uzyskać w warunkach dopasowania energetycznego
• Odwzorowaniem homograficzne - przyporządkowanie punktom na płaszczyźnie zespolonej z punktów na płaszczyźnie zespolonej w, opisane funkcją homograficzną.
• Prędkość fazowa fali - prędkość z jaką przesuwa się płaszczyzna stałej fazy fali.
• Prędkość grupowa fali - jest prędkością przepływu energii.
• Równania telegrafistów - równania różniczkowe opisujące zmiany zespolonej amplitudy napięcia i prądu wzdłuż linii długiej.
• Równanie transformacji impedancji - Równanie opisujące zmiany wartości impedancji (admitancji) wzdłuż linii długiej.
• Stała propagacji $\gamma$ jest funkcją parametrów przewodnika i dielektryka linii. Wartość $\gamma$ decyduje o szybkości zmian parametrów fali wzdłuż tej linii.
• Stała tłumienia $\alpha$ część rzeczywista stałej propagacji, decyduje o szybkości strat mocy fali biegnącej wzdłuż linii
• Stała fazowa $\beta$ część urojona stałej propagacji, decyduje o szybkości zmian fazy fali biegnącej wzdłuż linii.
• Straty odbicia - jest to logarytmiczna miara modułu współczynnika odbicia.
• Transformator ćwierćfalowy - Jest to linia o długości $L=\lambda /4$. stanowiącej inwerter impedancji – zamienia duże wartości impedancji na małe i odwrotnie
• Współczynnik fali stojącej - stosunek maksymalnej do minimalnej wartości modułu napięcia w linii.
• Współczynnik odbicia - określa związek między falą padającą i odbitą. Jest to stosunek zespolonych amplitud fali odbitej do padającej.
• Wykres Smith’a powstaje przez przetransformowanie siatki prostych $r=const.$ i $x=const.$ z płaszczyzny impedancji z na płaszczyznę współczynnika odbicia $\mathrm{\Gamma }$.
• Znormalizowane impedancje i admitancje – stosunki impedancji, czy też admitancji i impedancji/admitancji charakterystycznej prowadnicy falowej.

---

Bibliografia

1. Bogdan Galwas. Miernictwo mikrofalowe, Wydawnictwa Komunikacji i Łączności, Warszawa, 1985, Rozdział 1.
2. Bogdan Galwas. Mikrofalowe generatory i wzmacniacze tranzystorowe, Wydawnictwa Komunikacji i Łączności, Warszawa, 1991, Rozdział 1.
3. Janusz Dobrowolski. Technika wielkich częstotliwości, Oficyna Wydawnicza Politechniki Warszawskiej, Warszawa, 1998.
4. Stanisław Rosłoniec. Liniowe obwody mikrofalowe, Wydawnictwa Komunikacji i Łączności, Warszawa, 1999, Rozdział 4.

---