Wstęp do programowania / Ćwiczenia 2

To są ćwiczenia z rekurencji.

Zadanie 1 (Labirynt)

Czy istnieje ścieżka miedzy wskazanymi punktami (i1,j1) i (i2,j2) w labiryncie reprezentowanym przez prostokątną tablicę liczb całkowitych o rozmiarze M×N, zawierającą zera (ściana) i jedynki (droga)? Zakładamy, że nie można przechodzić z pola na pole po skosie (np. z (2,5) na (3,6)), a tylko w czterech podstawowych kierunkach (np. z (2,5) na (3,5), (2,4) itd.)

Wskazówka 1

Właściwą funkcję rekurencyjną szukającą drogi zamknij w funkcji-otoczce, która poza wywołaniem funkcji rekurencyjnej sprawdzi poprawność argumentów, przygotuje i/lub posprząta tablicę z labiryntem, zinterpretuje wynik funkcji rekurencyjnej itp. oraz będzie przechowywać dane wspólne dla wszystkich wywołań funkcji rekurencyjnej.

Rozwiązanie 1

function Labirynt(M,N:integer; var A:array[1..M,1..N] of integer; i1,j1,i2,j2:integer):boolean;
// M,N >= 1
// A zawiera 0 (ściana) i 1 (droga)

  function szukaj(i,j:integer):boolean;
  // 1 <= i <= M
  // 1 <= j <= N
  var jest:boolean;
  begin
    if (i=i2) and (j=j2) then 
      jest:=true 
    else begin
      jest:=false;
      if A[i,j]>0 then begin
        A[i,j]:=-1;
        if i>1 then jest:=szukaj(i-1,j);
        if not jest and (i<M) then jest:=szukaj(i+1,j);
        if not jest and (j>1) then jest:=szukaj(i,j-1);
        if not jest and (j<N) then jest:=szukaj(i,j+1);
      end
    end;
    szukaj:=jest
  end; // szukaj
  
var i,j:integer;
begin // Labirynt
  if not((1<=i1) and (i1<=M) and (1<=j1) and (j1<=N) and
    (1<=i2) and (i2<=M) and (1<=j2) and (j2<=N)) then
    Labirynt:=false
  else
  begin
    Labirynt:=szukaj(i1,j1);  
    for i:=1 to M do 
      for j:=1 to N do 
        if A[i,j]=-1 then A[i,j]:=1
  end
end; // Labirynt

Koszt czasowy: liniowy względem rozmiaru A (czyli M×N)

Koszt pamięciowy: liniowy względem rozmiaru A

Opis: Przeszukujemy wgłąb tablicę zaznaczając odwiedzone pola poprzez ustawienie ich wartości na -1. Dzięki temu nie zapętlimy się, ani nie przetwarzamy wielokrotnie tych samych pól.

Dyskusja: Funkcja 'Labirynt' jest otoczką, która sprawdza poprawność parametrów, wywołuje właściwą funkcję rekurencyjną 'szukaj' oraz sprząta po niej zaznaczenia w tablicy A.

Wewnętrzna funkcja rekurencyjna 'szukaj' ma za zadanie znaleźć ścieżkę z punktu (i,j) do punktu (i2,j2) po niezaznaczonych polach w tablicy A. Korzysta ona z kilku nazw zadeklarowanych przez otoczkę (M, N, A, i2, j2), dlatego nie są one parametrami wywołania funkcji 'szukaj'.

Funkcja 'szukaj':

1. sprawdza czy punkt (i,j) nie jest poszukiwanym końcem (w tym przypadku zwraca true),
2. sprawdza czy punkt (i,j) nie jest ścianą lub punktem odwiedzonym wcześniej (w tym przypadku zwraca false),
3. zaznacza punkt (i,j) jako odwiedzony
4. próbuje szukać drogi z punktów sąsiednich dla punktu (i,j), o ile sąsiedzi Ci istnieją.

Zauważ, że testy 1 i 2, mogłyby być wykonane przed każdym wywołaniem funkcji 'szukaj' w punkcie 4 (oraz w otoczce) zamiast na jej początku, jednak prowadziłoby to do wielokrotnego pisania bardzo podobnych fragmentów programu, co łatwo prowadzi do błędów. Oczywiście nie zmniejszyłoby to złożoności czasowej i pamięciowej.

Podobnie, jak testy 1 i 2, testy istnienia sąsiadów (i>1), (i<M) itp. w punkcie 4 mogłyby być wykonane na początku funkcji 'szukaj' (wtedy nie zakładalibyśmy, że (i,j) jest poprawnym punktem w tablicy), ale nie mając wiedzy w którą stronę ostatnio poszliśmy, musielibyśmy dla sprawdzić pełną poprawność obu współrzędnych (i,j), czyli w sumie sprawdzalibyśmy 4 warunki. W aktualnej wersji sprawdzamy tylko 1 warunek.

Poprawność rozwiązania: Oczywiste jest, że jeśli funkcja 'Labirynt' da wynik true, to ścieżka z (i1,j1) do (i2,j2) istnieje. Mniej oczywiste jest, że jeśli funkcja da wynik false, to ścieżka na pewno nie istnieje.

Aby przeprowadzić dowód przez sprzeczność, załóżmy, że funkcja 'szukaj' wywołana w funkcji 'Labirynt' dała wynik false, a ścieżka z (i1,j1) do (i2,j2) istnieje. W takim razie A[i1,j1]=-1 a A[i2,j2]=1. Wynika z tego, że ścieżka z (i1,j1) do (i2,j2) w którymś miejścu opuszcza zaznaczoną część tablicy, czyli istnieją dwa sąsiednie pola (i,j) i (i',j') na tej ścieżce, takie że A[i,j]=-1, A[i',j']=1. Z tego wynika, że funkcja szukaj została (w czasie działania programu) wywołana z parametrami (i,j), ale nie została wywołana z parametrami (i',j'). Jest to niemożliwe, bo pola te sąsiadują ze sobą i wywołanie dla (i,j) wywołałoby rekurencyjnie 'szukaj' dla (i',j').

Pytanko 1:

Ile razy maksymalnie może być wywołana funkcja 'szukaj' dla tego samego punktu?

Pytanko 2:

Jak przerobić przedstawione rozwiązanie na program wypisujący na ekran ścieżkę pomiędzy punktami (i1,j1) i (i2,j2), o ile taka ścieżka istnieje. Czy wypisana ścieżka będzie najkrótsza z możliwych ?

Pytanko 3: (trudniejsze)

Co by się stało, gdybyśmy usuwali zaznaczenie wychodząc z funkcji 'szukaj'? Czy program dalej by działał? Jeśli tak, to jaką by miał złożoność?

Odpowiedź:

Program dalej by działał, ale miałby wykładniczą złożoność czasową zamiast liniowej (złożoność pamięciowa pozostałaby liniowa). W tej wersji program wielokrotnie przeszukiwałby sąsiadów pól, o których już z wcześniejszych obliczeń wiadomo, że nie da się z nich dojść do punktu końcowego.

Dla ciekawskich:

Rozwiązanie przedstawione powyżej polega na przeszukiwaniu wgłąb grafu reprezentującego labirynt. Inne, równie dobre rozwiązanie polega na przeszukiwaniu tego grafu wszerz, zwanego również metodą płonącego lasu. Wymaga ono użycia struktury danych -- kolejki. Rozwiązanie to łatwo przerobić na program wypisujący najkrótszą ścieżkę pomiędzy punktami (i1,j1) i (i2,j2), o ile taka ścieżka istnieje.

Zadanie 2 (Z górki na pazurki)

W tablicy liczb całkowitych o rozmiarze M×N zapisana jest mapa gór (każdy punkt ma podaną dodatnią wysokość). Sprawdzić, czy da się przejść z punktu startowego (i1,j1) do docelowego (i2,j2) idąc:

• tylko w dół lub po płaskim
• tylko w dół

Tak jak w poprzednim zadaniu poruszać się można tylko w czterech kierunkach podstawowych, nie po przekątnej.

Wskazówka 1

Zadanie to należy rozwiązywać tak jak poprzednie. Jedyną różnicą jest to jak należy decydować czy z danego pola można przejść do sąsiedniego: oprócz zaznaczenia trzeba wziąć pod uwagę różnicę wysokości.

Rozwiązanie 1

function Zjazd1(M,N:integer; var A:array[1..M,1..N] of integer; i1,j1,i2,j2:integer):boolean;
// M,N >= 1
// A zawiera liczby > 0

  function szukaj(h,i,j:integer):boolean;
  // 0 < h
  // 1 <= i <= M
  // 1 <= j <= N
  var jest:boolean;
    hpom:integer;
  begin
    jest:=false;
    if (A[i,j]>0) and (h>A[i,j]) begin // h>=A[i,j] w wariancie II
      if (i=i2) and (j=j2) then 
        jest:=true 
      else begin
        hpom:=A[i,j];
        A[i,j]:=-A[i,j];
        if i>1 then jest:=szukaj(hpom,i-1,j);
        if not jest and (i<M) then jest:=szukaj(hpom,i+1,j);
        if not jest and (j>1) then jest:=szukaj(hpom,i,j-1);
        if not jest and (j<N) then jest:=szukaj(hpom,i,j+1);
      end
    end;
    szukaj:=jest
  end; // szukaj
  
var i,j:integer;
begin // Zjazd1
  if not((1<=i1) and (i1<=M) and (1<=j1) and (j1<=N) and
    (1<=i2) and (i2<=M) and (1<=j2) and (j2<=N)) then
    Zajzd:=false
  else
  begin
    Zjazd:=szukaj(A[i1,j1]+1,i1,j1); // wystarczy szukaj(A[i1,j1],i1,j1) w wariancie II
    for i:=1 to M do 
      for j:=1 to N do 
        if A[i,j]<0 then A[i,j]:=-A[i,j]
  end
end; // Zjazd1

Koszt czasowy: liniowy względem rozmiaru A (czyli M×N)

Koszt pamięciowy: liniowy względem rozmiaru A

Opis: Podobnie jak w poprzednim zadaniu, przeszukujemy tablicę wgłąb, jednak przechodzimy tylko do tych pól sąsiednich, które mają mniejszą (odpowiednio: mniejszą lub równą) wysokość.

Dyskusja: Tak jak w rozwiązaniu poprzedniego zadania, istnienie sąsiada na planszy badamy przed wywołaniem rekurencyjnym, a poprawność przejścia na początku wywołania. Służy nam do tego dodatkowy parametr 'h', który oznacza wysokość poprzedniego pola. Dlatego pierwsze wywołanie funkcji 'szukaj' ma pierwszy parametr A[i1,j1]+1 (w wariancie I). Uwaga! Funkcja ta nie zadziała, jeśli A[i1,j1]=MaxInt (czyli maksymalnej możliwej wartości typu integer). Poniżej przedstawione jest rozwiązanie bez tego mankamentu.

Rozwiązanie 2

function Zjazd2(M,N:integer; var A:array[1..M,1..N] of integer; i1,j1,i2,j2:integer):boolean;
// M,N >= 1
// A zawiera liczby > 0

  function wdol(h,i,j:integer):boolean;
  // sprawdza czy pole (i,j) nie jest zaznaczone i
  // czy przejscie z pola o wysokosci h na pole (i,j) jest rzeczywiscie w dół
  // 1 <= i <= M
  // 1 <= j <= N
  begin
    wdol:=(A[i,j]>0) and (h>A[i,j]) // h>=A[i,j] w wariancie II
  end; //wdol

  function szukaj(i,j:integer):boolean;
  // 1 <= i <= M
  // 1 <= j <= N
  var jest:boolean;
    hpom:integer;
  begin
    if (i=i2) and (j=j2) then 
      jest:=true 
    else begin
      jest:=false;
      hpom:=A[i,j];
      A[i,j]:=-hpom;
      if i>1 then if wdol(hpom,i-1,j) then jest:=szukaj(i-1,j);
      if not jest and (i<M) then if wdol(hpom,i+1,j) then jest:=szukaj(i+1,j);
      if not jest and (j>1) then if wdol(hpom,i,j-1) then jest:=szukaj(i,j-1);
      if not jest and (j<N) then if wdol(hpom,i,j+1) then jest:=szukaj(i,j+1);
    end;
    szukaj:=jest
  end; // szukaj
  
var i,j:integer;
begin // Zjazd2
  if not((1<=i1) and (i1<=M) and (1<=j1) and (j1<=N) and
    (1<=i2) and (i2<=M) and (1<=j2) and (j2<=N)) then
    Zajzd:=false
  else
  begin
    Zjazd:=szukaj(i1,j1); 
    for i:=1 to M do 
      for j:=1 to N do 
        if A[i,j]<0 then A[i,j]:=-A[i,j]
  end
end; // Zjazd2

Koszt czasowy: liniowy względem rozmiaru A (czyli M×N)

Koszt pamięciowy: liniowy względem rozmiaru A

Opis: Rozwiązanie jest bardzo podobne do poprzedniego. Różnica polega na przeniesieniu kodu z początku funkcji 'szukaj' do osobnej funkcji 'wdol'. Funkcja ta jest używana jako test dopuszczający do rekurencyjnego wywołania funkcji 'szukaj'.

Zadanie 3 (Wieże Hanoi z ograniczeniami)

Na wykładzie były wieże Hanoi. Ciekawa modyfikacja tego zadania polega na zabronieniu ruchów pomiędzy niektórymi pałeczkami, np. z pierwszej na drugą. Zapisać procedurę realizującą to zadanie przy zabronionych niektórych ruchach.

Wskazówka 1

• Dozwolone ruchy najlepiej reprezentować w tablicy typu TDozwRuchow = array[1..3, 1..3] of boolean, (przekątna nie ma znaczenia).
• Zastanów się, jaki warunek musi być spełniony przez tablicę dozwolonych ruchów, aby zadanie miało rozwiązanie.
• Użyj funkcji-otoczki do wstępnego sprawdzenia czy istnieje rozwiązanie oraz do pamiętania tablicy dozwolonych ruchów w czasie działania funkcji rekurencyjnej.

Rozwiązanie 1

type Paleczki = 1..3;

procedure Hanoi(Ile: integer; Skad, Dokad: Paleczki; Dozw: TDozwRuchow);

  procedure Rob(Skad, Dokad, Pom: Paleczki; Ile: Integer);
  // Pom jest zawsze rowne 6-Skad-Dokad, ale z parametrem jest czytelniej
  begin
    if Ile > 0 then
      if Dozw[Skad, Dokad] then begin
        Rob(Skad, Pom, Dokad, Ile-1);
        Przenies(Skad,Dokad);
        Rob(Pom, Dokad, Skad, Ile-1);
      end
      else begin
        Rob(Skad, Dokad, Pom, Ile-1);
        Przenies(Skad, Pom);
        Rob(Dokad, Skad, Pom, Ile-1);
        Przenies(Pom, Dokad);
        Rob(Skad, Dokad, Pom, Ile-1);
      end
  end; //Rob

  function CzyDaSie(Skad, Dokad, Pom: Paleczki):boolean
  begin
    if not Dozw[Skad, Dokad] and not (Dozw[Skad, Pom] and Dozw[Pom, Dokad]) then begin
      writeln('Nie da sie przełożyć krążka z ',Skad,' na ',Pom);
      CzyDaSie:=false
    end
    else
      CzyDaSie:=false
  end // CzyDaSie     

var ok:boolean
begin // Hanoi
  ok:=true;
  for i:=1 to 2 do for j:=i+1 to 3 do
    ok:=ok and CzyDaSie(i,j,6-i-j) and CzyDaSie(j,i,6-i-j);
  if ok then Rob(Skad,Dokad,6-Skad-Dokad,Ile);
end; // Hanoi

Koszt czasowy: wykładniczy ze względu na Ile

Koszt pamięciowy: liniowy ze względu na Ile

Omówienie: Zauważ, że dużo łatwiej jest rozwiązać to zadanie sformułowane w sposób ogólny, niż gdy powie się, że zabroniony jest konkretny ruch (np. 1 → 2).

Pytanko 1

Jaki przypadek jest najgorszy i ile trzeba wykonać wtedy ruchów?

Odpowiedź

Najgorszy przypadek, to taki, gdy przerwane jest połączenie Skąd-Dokąd w obie strony. Wtedy trzeba wykonać $3^{Ile}-1$ ruchów)

Zadanie 4 (Ustawianie hetmanów)

Napisz procedurę znajdująca wszystkie takie rozstawienia 8 hetmanów na szachownicy, by żadne dwa hetmany się nie atakowały.

Wskazówka 1

W tablicach logicznych pamiętamy zajętość kolumn i obu rodzajówprzekątnych, kolejnego hetmana ustawiamy w kolejnym wierszu jeśli sięda, jeśli nie wracamy.

Rozwiązanie jest ładnie opisane w dużym Wirthcie, str. 155-160.

Oczywiście lepiej uogólnić na N hetmanów na szachownicy N×N.

Rozwiązanie 1

Zadanie 5 (Mnożenie wielomianów)

Dane są dwie tablice (array[0..N-1] of real) reprezentujące dwa wielomiany stopnia N-1. Należy obliczyć iloczyn tych wielomianów metodą dziel-i-zwyciężaj. Zakładamy, że N jest potęgą dwójki.

Wskazówka 1

Zamiast rozwiązania naiwnego wymajającego $n^2$ mnożeń zróbmy trochę lepsze (aczkolwiek nie najlepsze) polegające na podzieleniu wielomianów na dwie części. Cały pomysł polega na spostrzeżeniu, że jeśli zadane wielomiany $p(x)$ i $q(x)$ podzielimy na dolna i górną część
$p(x)=p_l(x)+p_h(x)*x^{N/2}$ i analogicznie $q(x)=q_l(x)+q_h(x)*x^{N/2}$, to ich iloczyn można zapisać tak:
$p(x)*q(x)=r_l(x)+(r_m(x)-r_l(x)-r_h(x))*x^{n/2}+r_h(x)*x^N$, gdzie
$r_l(x)=p_l(x)*q_l(x)$
$r_h(x)=p_h(x)*q_h(x)$
$r_m(x)=(p_h(x)+p_l(x))*(q_h(x)+q_l(x))$
Czyli potrzebujemy 3 mnożeń o połowę mniejszych wielomianów. W sumie uzyskamy liczbę mnożeń rzędu $n^{lg3}$. Szczególy można znaleźć w Sedgewick Algorithms in C++, str. 527-530.

Uwagi ogólne:

• zwróćmy uwagę na kolejność wyliczania wyrażeń logicznych: standard Pascala jej nie definiuje, zatem AND może być liczony tak, ze najpierw liczy sie _oba_ argumenty a dopiero potem podaje wynik (nie można zakładać krótkiego liczenia od lewej do prawej). Przy wywołaniach rekurencyjnych to ważne szczególnie, bo nie chodzi tylko (czy aż) o poprawność (if (i>1) and (tab[i]<>x) jest błędem) ale o efektywność (if droga(i-1,j) or droga(i+1,j) or ... jest nieefektywne).
• podkreślmy wagę procedur otoczek: pozwalają użytkownikowi i nam widzieć nasze procedury z takimi parametrami jakie są potrzebne.

Zadanie 6 (Parser)

Dla zadanej poniżej gramatyki języka programowania (będącego uproszczoną wersją Pascala) napisz metodą zejść rekurencyjnych zestaw procedur weryfikujących poprawność programów zapisanych w tym języku. Należy sprawdzić poprawność programu względem podanej gramatyki oraz czy wszystkie zmienne występujące w programie są zadeklarowane i czy wszystkie zadeklarowane zmienne są użyte. Można założyć, że w całym programie nie wystąpi więcej niż Z zmiennych. W przypadku napotkania błędu należy wypisać stosowny komunikat i zakończyć działanie. Należy założyć istnienie procedury GetSym(Symbol), która daje kolejny symbol (identyfikator, liczbę, operator (:=,<,>,<=,>=,=,<>), separator (;, ., (, ) ) z wejścia.

Gramatyka: W opisie gramatyki występują następujące symbole:

<nieterminal>
terminal
{ coś }	wielokrotne (być może 0-krotne) wystąpienie cosia
→	rozdziela lewą część produkcji od prawej
|	rozdziela poszczególne produkcje

Jest to trochę rozszerzona (o nawiasy klamrowe { } ) gramatyka bezkontekstowa.

<program>	→	<deklaracja> begin <ciąg instrukcji> end .
<ciąg instrukcji>	→	<instrukcja> { ; <instrukcja> }
<deklaracja>	→	var <zmienna> { , <zmienna> } ;
<instrukcja>	→	while <warunek> do <instrukcja>
		| if <warunek> then <instrukcja> else <instrukcja>
		| begin <ciąg instrukcji> end
		| <zmienna> := <wyrażenie>
<warunek>	→	<składnik> {or <składnik>}
<składnik>	→	<czynnik> {and <czynnik>}
<czynnik>	→	true | false | not <czynnik> | <wyrażenie> <oprel> <wyrażenie> | ( <warunek> )
<wyrażenie>	→	<zmienna> | <liczba>
<oprel>	→	< | <= | > | >= | <> | =
<zmienna>	→	ciąg liter
<liczba>	→	ciąg cyfr

Wskazówka 1

W tym zadaniu chodzi o przećwiczenie metody zejść rekurencyjnych (była na wykładzie). Niestety na razie nie mamy dostatecznie ciekawych typów danych, żeby móc zapamiętać strukturę danych programu (i np. po tem go wykonywać). Tym nie mniej zadanie jest pouczające. Typ danych który ma być wymyślony to rekord z wariantami. Można uatrakcyjnić to zadanie każąc sprawdzać, czy każda użyta zmienna była wcześniej zadeklarowana i czy nie była deklarowana kilkakrotnie (tablica napisów).