Analiza matematyczna 1/Wykład 1: Zbiory liczbowe

Zbiory liczbowe

Rozpoczynamy od przeglądu najważniejszych pojęć i twierdzeń, które są omawiane w szkole średniej lub w ramach innych przedmiotów objętych programem studiów (logika i teoria mnogości, algebra liniowa z geometrią analityczną, matematyka dyskretna).

Oznaczenia zbiorów liczbowych

Przypomnijmy powszechnie stosowane oznaczenia zbiorów liczbowych.

Zbiór $\mathbb{\mathbb{N}}=\{1,2,3,\dots \}$ nazywamy zbiorem liczb naturalnych lub zbiorem liczb całkowitych dodatnich.

Zbiór ${\mathbb{\mathbb{N}}}_0=\{0,1,2,3,\dots \}=\mathbb{\mathbb{N}}\cup \{0\}$ nazywamy zbiorem liczb całkowitych nieujemnych. Wielu nazywa ten zbiór także zbiorem liczb naturalnych. Na ogół nie prowadzi to do nieporozumień.

Z kolei zbiór $\mathbb{\mathbb{Z}}=\{\dots ,-3,-2,-1,0,1,2,3,\dots \}$ nazywamy zbiorem liczb całkowitych.

Zbiór $\mathbb{\mathbb{Q}}=\{\frac{p}{q}:p\in \mathbb{\mathbb{Z}},q\in \mathbb{\mathbb{N}}\}$, czyli zbiór ułamków o całkowitym liczniku i naturalnym mianowniku, nazywamy zbiorem liczb wymiernych.

Literą $\mathbb{ℝ}$ będziemy oznaczać zbiór liczb rzeczywistych, a literą $\mathbb{ℂ}$ -- zbiór liczb zespolonych.

Przedziały. Kresy

Definicja 1.1.

Rozszerzonym zbiorem liczb rzeczywistych $\overline{\mathbb{ℝ}}=========$ nazywamy zbiór liczb rzeczywistych z dołączonymi elementami plus nieskończoność $+\mathrm{\infty }$ oraz minus nieskończoność $-\mathrm{\infty }$ tak, że w zbiorze liczb rzeczywistych zachowany jest naturalny porządek zadany przez relację nierówności, natomiast element plus nieskończoność następuje po każdej liczbie rzeczywistej, a element minus nieskończoność poprzedza dowolną liczbę rzeczywistą.

=========

Definicja 1.2.

Niech $a$, $b$ będą dowolnymi elementami zbioru $\overline{\mathbb{ℝ}}=========$. Jeśli $a<b,$ to każdy ze zbiorów:

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\begin{array}”): {\displaystyle \begin{array}{rll} \displaystyle [a, b]&:=&\{x\in \overline{\mathbb{R}}=========:a\leq x\leq b\} \\ (a, b)&:=&\{x\in \overline{\mathbb{R}}=========:a< x<b \} \\ \left[a, b)&:=&\{x\in \overline{\mathbb{R}}=========:a \leq x<b \} \\ (a, b]&:=&\{x\in \overline{\mathbb{R}}=========:a< x\leq b \} \end{array}}

nazywamy przedziałem o końcach $a$, $b$, przedziałem - odpowiednio - domkniętym, otwartym, lewostronnie domkniętym, prawostronnie domkniętym.

=========

Niech $A$ będzie dowolnym niepustym podzbiorem zbioru $\overline{\mathbb{ℝ}}=========$.

Definicja 1.3.

Ograniczeniem górnym zbioru $A$ nazywamy dowolny element zbioru $\overline{\mathbb{ℝ}}=========$ nie mniejszy od dowolnego elementu zbioru $A$.

=========

Definicja 1.4.

Ograniczeniem dolnym zbioru $A$ nazywamy dowolny element zbioru $\overline{\mathbb{ℝ}}=========$ nie większy od dowolnego elementu zbioru $A$.

=========

Definicja 1.5.

Najmniejsze ograniczenie górne zbioru $A\subset \overline{\mathbb{ℝ}}=========$ nazywamy kresem górnym zbioru $A$ (lub: supremum zbioru $A$) i oznaczamy symbolem $\sup A$.

=========

Definicja 1.6.

Największe ograniczenie dolne zbioru $A\subset \overline{\mathbb{ℝ}}=========$ nazywamy kresem dolnym zbioru $A$ (lub: infimum zbioru $A$) i oznaczamy symbolem $\inf A$.

=========

Ciąg arytmetyczny. Ciąg geometryczny

Definicja 1.7.

Ciąg o wyrazach $a_n=a_0+nr,$ gdzie $n=0,1,2,3,\dots$ nazywamy ciągiem arytmetycznym o początkowym wyrazie $a_0$ i różnicy $r.$

=========

Definicja 1.8.

Niech $a_0\ne 0$ i $q\ne 0.$ Ciąg o wyrazach $a_n=a_0{q}^n$, gdzie $n=0,1,2,3,...$ nazwyamy ciągiem geometrycznym o początkowym wyrazie $a_0$ i ilorazie $q$.

=========

Przypomnijmy, że

Uwaga 1.9.

Jeśli $a_n$ jest ciągiem arytmetycznym o początkowym wyrazie $a_0$ i różnicy $r$, to

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle a_0 +a_1 +a_2 +\ldots+a_n=\frac{n+1}{2}(a_0+a_n ) \ =\ \frac{n+1}{2}(2a_0+nr). }

=========

Uwaga 1.10.

Dla dowolnej liczby rzeczywistej $q\ne 1$ i dowolnej liczby naturalnej $n=1,2,3,\dots$ zachodzi równość

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle 1+q+q^2+\ldots +q^n \ =\ \frac{1-q^{n+1}}========={1-q}. }

(Jeśli $q=1$, mamy oczywistą równość $1+q+q^2+\dots +q^n=1+1+1+\dots +1=n+1.$)

=========

Wniosek 1.11.

Jeśli $a_n$ jest ciągiem geometrycznym o początkowym wyrazie $a_0$ i ilorazie $q\ne 1$, to

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle a_0 +a_1 +a_2+\ldots +a_n \ =\ a_0 \frac{1-q^{n+1}}========={1-q}. }

=========

Przykład 1.12.

Rozważmy zbiór $S:=\{1+q+q^2+\dots +q^n,n=1,2,3,\dots \}$ skończonych sum kolejnych wyrazów ciągu geometrycznego o pierwszym wyrazie $1$ i nieujemnym ilorazie $q$. Zauważmy, że jeśli $0\le q<1$, to

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle 1+q+q^2+\ldots +q^n \ =\ \frac{1}{1-q}-\frac{q^{n+1}}========={1-q}< \frac{1}{1-q}, }

gdyż $\frac{q^{n+1}}{=}========1-q>0$. Stąd zarówno liczba $\frac{1}{1-q}$ jak i każda liczba większa od niej są ograniczeniami górnymi zbioru $S$. Najmniejszym z ograniczeń górnych zbioru $S$ jest liczba $\frac{1}{1-q}$, gdyż wartość ułamka $\frac{q^{n+1}}{=}========1-q$ może być dowolnie mała i bliska zeru dla dużych liczb naturalnych $n$. Jeśli natomiast iloraz $q\ge 1$, to jedynym ograniczeniem górnym każdej z sum $1+q+q^2+\dots +q^n\ge 1+1+1+\dots +1=n+1$ jest plus nieskończoność. Wówczas też kresem górnym zbioru sum $S$ jest plus nieskończoność.

=========

Do rozważań dotyczących ciągów i nieskończonych sum składników (szeregów) powrócimy w kolejnych modułach.

Odnotujmy jednak jeszcze następującą uwagę.

Uwaga 1.13.

Jeśli $|q|<1$, to suma nieskończenie wielu składników $q^n$, $n=0,1,2,3,\dots ,$ jest równa $\frac{1}{1-q}$, co zapisujemy: $1+q+q^2+\dots +q^n+\dots =\frac{1}{1-q}.$

=========

Liczby wymierne

Przykład 1.14.

Już w szkole podstawowej dowiedzieliśmy się, że

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle 0,(3) \ =\ 0,33333\ldots \ =\ \frac{1}{3}. }

Zwróćmy uwagę, że okresowe rozwinięcie dziesiętne $0,33333\dots$ wyraża nieskończoną sumę składników

$\begin{array}{lll}0+\frac{3}{10^1}+\frac{3}{10^2}+\frac{3}{10^3}+\frac{3}{10^4}+\dots & =& \frac{3}{10}(1+\frac{1}{10}+\frac{1}{10^2}+\frac{1}{10^3}+\dots )\\ & =& \frac{3}{10}\cdot \frac{1}{1-\frac{1}{10}}==========\frac{1}{3}.\end{array}$

=========

Przykład 1.15.

Przypomnijmy jeszcze szkolny sposób zamiany ułamka okresowego na iloraz dwóch liczb całkowitych. Rozważmy na przykład liczbę

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle a \ =\ 78,(1016)=78,10161016101610161016\ldots , }

która wyraża sumę nieskończonej liczby składników

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle a \ =\ 78+\frac{1016}{10^4}+\frac{1016}{10^8}+\frac{1016}{10^{12}}=========+\ldots. }

Zauważmy też, że różnica

$\begin{array}{lll}10000a-a& =& 781016,1016101610161016\dots -78,1016101610161016\dots \\ & =& 780938,0000000000000000\dots \end{array}$

jest liczbą całkowitą. Stąd $a=\frac{780938}{9999}$ jest liczbą wymierną.

=========

Rozumując podobnie jak w powyższym przykładzie można wykazać ogólnie, że

Uwaga 1.16.

Liczba rzeczywista jest liczbą wymierną wtedy i tylko wtedy, gdy ma okresowe rozwinięcie dziesiętne.

=========

Przykład 1.17.

Liczba

$0,12345678910111213141516171819202122\dots ,$

w której rozwinięciu dziesiętnym znajdują się kolejno cyfry wyrażające następujące po sobie liczby naturalne, nie jest wymierna, gdyż nie ma okresowego rozwinięcia dziesiętnego.

=========

Iloczyn kartezjański. Współrzędne biegunowe

Niech $A$ i $B$ będą dowolnymi niepustymi zbiorami.

Definicja 1.18.

Iloczynem kartezjańskim $A\times B$ zbiorów $A$ i $B$ nazywamy zbiór par uporządkowanych $(a,b)$ takich, że $a\in A$ i $b\in B$, tj. $A\times B:=\{(a,b):a\in A,b\in B\}.$

=========

<flash>file=am1w01.0010.swf|width=330|height=330</flash>

<div.thumbcaption>am1w01.0010.swf

Przypomnijmy, że dowolny punkt w prostokątnym kartezjańskim układzie współrzędnych można jednoznacznie przedstawić za pomocą pary liczb rzeczywistych $(x,y)$.

Niech $r=\sqrt{x^2+y^2}$ będzie odległością punktu $(x,y)$ od początku układu współrzędnych. Jeśli $r>0$, niech $\phi$ będzie kątem (skierowanym), jaki tworzą dodatnia półoś osi odciętych (tj.dodatnia półoś osi $OX$) z promieniem wodzącym punktu $(x,y)$. Równość $r=0$ jednoznacznie przedstawia początek układu współrzędnych, można przyjąć w tym przypadku, że $\phi$ jest dowolną liczbą.

Zauważmy, że $x=r\cos \phi$ oraz $y=r\sin \phi$.

Definicja 1.19.

Parę liczb $(r,\phi )$, gdzie $r\ge 0$ oraz $0\le \phi <2\pi$, nazywamy współrzędnymi biegunowymi punktu $(x,y)=(r\cos \phi ,r\sin \phi )$.

=========

Uwaga 1.20.

Niech dane będą liczby rzeczywiste $x$ oraz $y$.

Układ równań


Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\aligned”): {\displaystyle \displaystyle \left\{\aligned x=r\cos\varphi\\y=r\sin\varphi\endaligned\right . }

z niewiadomymi $r$, $\phi$ spełnia dokładnie jeden promień $r=\sqrt{x^2+y^2}$ oraz nieskończona liczba różnych kątów postaci $\phi +2k\pi ,$ gdzie $\phi$ jest kątem między dodatnią półosią odciętych a promieniem wodzącym punktu $(x,y)$, zaś $k$ jest dowolną liczbą całkowitą.

=========

Liczby zespolone

Definicja 1.21.

W iloczynie kartezjańskim ${\mathbb{ℝ}}^2:=\mathbb{ℝ}\times \mathbb{ℝ}$ definiujemy sumę oraz iloczyn par $z_1=(x_1,y_1)$ oraz $z_2=(x_2,y_2)$ następująco

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\aligned”): {\displaystyle \displaystyle \aligned z_1 + z_2&=(x_1 +x_2 ,\ y_1 + y_2)\\ z_1 z_2&=(x_1 x_2 -y_1 y_2,\ x_1 y_2 + x_2 y_1). \endaligned }

=========

Definicja 1.22.

Zbiór par liczb rzeczywistych z dodawaniem i mnożeniem określonym w powyższej definicji, nazywamy zbiorem liczb zespolonych
i oznaczamy literą $\mathbb{ℂ}.$

=========

Uwaga 1.23.

a) Suma i iloczyn liczb zespolonych jest liczbą zespoloną.
b) Dodawanie i mnożenie liczb zespolonych są działaniami łącznymi i przemiennymi, tzn.

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\aligned”): {\displaystyle \displaystyle \aligned z+w &= w+z \\ z w &= w z\\ z+(u+w) &= (z+u)+w \\ z(uw) &= (zu)w \endaligned }

dla dowolnych liczb zespolonych $z,u,w.$
c) Mnożenie liczb zespolonych jest rozdzielne względem dodawania, tzn.

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle z (u+w) \ =\ z u +z w }

dla dowolnych liczb zespolonych $z,u$ oraz $w.$

=========

<flash>file=file=Am1w01.0020.swf|width=345|height=330</flash>

<div.thumbcaption>Am1w01.0020

Definicja 1.24.

Jeśli $z=(x,y)$ jest liczbą zespoloną, to pierwszy element $x$ pary $(x,y)$ nazywamy częścią rzeczywistą liczby $z$ i oznaczamy symbolem $\mathrm{\Re }z$ (lub $\text{<mrow data-mjx-texclass="ORD">Re</mrow>}z$), a drugi element tej pary - częścią urojoną liczby $z$ i oznaczamy $\mathrm{\Im }z$ (lub $\text{<mrow data-mjx-texclass="ORD">Im</mrow>}z$).

=========

Zauważmy, że każdej liczbie zespolonej $z$ odpowiada dokładnie jeden punkt $(\mathrm{\Re }z,\mathrm{\Im }z)$ w prostokątnym układzie współrzędnych. Tradycyjnie mówimy więc o płaszczyźnie zespolonej $\mathbb{ℂ}.$ Oś odciętych na płaszczyźnie $\mathbb{ℂ}$ nazywamy osią rzeczywistą, a oś rzędnych - osią urojoną.

Definicja 1.25.

Jednostką urojoną nazywamy liczbę zespoloną $i=(0,1)$.

=========

Uwaga 1.26.

a) Każdą liczbę zespoloną $z$ można zapisać w postaci sumy $z=\mathrm{\Re }z+\mathrm{\Im }zi.$
b) Kwadrat jednostki urojonej wynosi $-1$, gdyż $i^2=(0,1)(0,1)=(-1,0)=-1+0i=-1$
c) Jeśli $z_1=x_1+y_{1}i$ oraz $z_2=x_2+y_{2}i$, to sumę i iloczyn liczb $z_1,z_2$ możemy wyznaczyć tak, jak zwykliśmy przekształcać wyrażenia algebraiczne, traktując jednostkę urojoną $i$ jak parametr i pamiętać, że $i^2=-1$. Mamy więc

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\aligned”): {\displaystyle \displaystyle \aligned z_1+z_2&=(x_1 + y_1 i)+( x_2+ y_2 i)\\&=(x_1+x_2)+(y_1+y_2)i\\&=(x_1+x_2,\ y_1+y_2) \endaligned }

oraz

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\aligned”): {\displaystyle \displaystyle \aligned z_1 z_2&=(x_1 + y_1 i)( x_2+ y_2 i)\\ &=x_1 x_2+(x_1 y_2 +x_2 y_1)i +y_1 y_2 i^2 \\ &=(x_1 x_2 - y_1 y_2)+ (x_1y_2 +x_2 y_1)i\\ &=( x_1 x_2 - y_1 y_2, \ x_1 y_2 +x_2y_1).\endaligned }

=========

Uwaga 1.27.

Dowolną liczbę zespoloną $z=x+iy$ możemy przedstawić w postaci trygonometrycznej $z=r(\cos \phi ,\sin \phi )=r(\cos \phi +i\sin \phi )$, gdzie $r=\sqrt{x^2+y^2}$, a $\phi$ jest dowolnym kątem takim, że

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\aligned”): {\displaystyle \displaystyle \left\{\aligned x&=r\cos\varphi \\ y&=r\sin\varphi\endaligned\right. }

Wiemy, że kątów takich jest nieskończenie wiele.

=========

Definicja 1.28.

Jeśli $z=x+iy=r(\cos \phi +i\sin \phi )$, to liczbę $r:=\sqrt{x^2+y^2}$ nazywamy modułem liczby zespolonej $z$ i oznaczamy $|z|$, a każdy z kątów $\phi$ takich, że zachodzą równości Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\varphiy”): {\displaystyle \displaystyle x=r\cos\varphiy=r\sin\varphi} nazywamy argumentem liczby $z$ i oznaczamy $\text{<mrow data-mjx-texclass="ORD">arg</mrow>}z$. Najmniejszy nieujemny argument liczby zespolonej $z$ nazywamy argumentem głównym tej liczby i oznaczamy $\text{<mrow data-mjx-texclass="ORD">Arg</mrow>}z$.

=========

Wyrażenie $\cos \phi +i\sin \phi$ będziemy

<flash>file=Am1w01.0030.swf|width=334|height=330</flash>

<div.thumbcaption>Am1w01.0030.swf

krótko notować w postaci wykładniczej $e^{i\phi }$ lub $\exp (i\phi ),$ pomijając na razie zasadność użycia symbolu funkcji wykładniczej w tej notacji.

Odtąd liczbę zespoloną o module $r$ i argumencie $\phi$ będziemy zapisywać w postaci trygonometrycznej $z=r(\cos \phi +i\sin \phi )$ lub wykładniczej $z=r{e}^{i\phi }.$

Definicja 1.29.

Sprzężeniem liczby zespolonej $z=x+iy$ nazywamy liczbę $\bar{z}=x-iy$.

=========

Uwaga 1.30.

a) Liczba $\overline{z}=x-iy$ jest obrazem liczby $z=x+iy$ w symetrii względem osi rzeczywistej.
b) Dla dowolnej liczby $z$ zachodzi równość: $z\overline{z}=|z{|}^2.$
c) Jeśli $z=r{e}^{i\phi },$ to $\overline{z}=r{e}^{i(-\phi )}.$
d) Jeśli $z_1=r_1{e}^{i{\phi }_1}$ oraz $z_2=r_2{e}^{i{\phi }_2},$ to $z_1{z}_2=r_1{r}_2{e}^{i({\phi }_1+{\phi }_2)},$ to znaczy moduł iloczynu liczb $z_1,z_2$ jest iloczynem modułów $|z_1|=r_1$ i $|z_2|=r_2$ tych liczb, a argument iloczynu liczb zespolonych jest sumą ich argumentów.

=========

Dowód

Uwagi a), b), c) wynikają bezpośrednio z definicji sprzężenia i interpretacji geometrycznej liczb zespolonych. Zauważmy, że

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\aligned”): {\displaystyle \displaystyle \aligned r_1 e^{i\varphi_1} r_2 e^{i\varphi_2}&=r_1(\cos\varphi_1+i\sin\varphi_1) r_2(\cos\varphi_2+i\sin\varphi_2)\\&=r_1 r_2[(\cos\varphi_1\cos\varphi_2-\sin\varphi_1\sin\varphi_2)+i(\sin\varphi_1\cos\varphi_2+\cos\varphi_1\sin\varphi_2)]\\ &= r_1 r_2 (\cos(\varphi_1+\varphi_2)+i\sin(\varphi_1+\varphi_2))\\&=r_1 r_2 e^{i(\varphi_1+\varphi_2)}.\endaligned }

=========

Z punktu d) powyższej uwagi wynika następujące twierdzenie.

Twierdzenie 1.31.[wzór de Moivre'a]

Dla dowolnej liczby zespolonej $z=r(\cos \phi +i\sin \phi )$ i dowolnej liczby naturalnej $n=1,2,3,\dots$ zachodzi równość:

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle z^n \ =\ r^n(\cos n\varphi+i\sin n\varphi), }

którą można również wyrazić w postaci wykładniczej:

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle (re^{i\varphi})^n \ =\ r^n e^{i n \varphi}. }

=========

Zanotujmy jeszcze nastepujący

<flashwrap>file=am1w01.0050.swf|size=small</flashwrap>

<div.thumbcaption>am1w01.0050

Wniosek 1.32.

Jeśli $w=r(\cos \phi +i\sin \phi )\ne 0$ jest dowolną liczbą zespoloną różną od zera, zaś $n=1,2,3,\dots$ -- dowolną liczbą naturalną, to równanie $z^n=w$ spełnia dokładnie $n$ liczb zespolonych $z_0,z_1,z_2,\dots ,z_{n-1}$

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle z_k \ =\ \root{k}\of{r}\bigg(\cos\frac{\varphi+2k\pi}{n}+i\sin\frac{\varphi+2k\pi}{n}\bigg), }

gdzie $k\in \{0,1,2,\dots ,n-1\}.$.

=========

Dowód [Szkic]

Korzystając ze wzoru de Moivre'a stwierdzamy, że $z_k^n=w,$ a więc każda z liczb $z_k$ spełnia dane równanie. Zauważmy ponadto, że gdybyśmy nie ograniczyli zakresu parametru $k$ do zbioru liczb całkowitych nieujemnych od $0$ do $n-1$, to i tak nie otrzymalibyśmy więcej pierwiastków danego równania, gdyż $z_k=z_{k+n}$ ze względu na okresowość funkcji sinus i cosinus.

=========

Uwaga 1.33

Każdy z pierwiastków równania $z^n=w$ leży na okręgu o środku w punkcie $0$ i promieniu Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\root”): {\displaystyle \displaystyle \root{n}\of{|w|}.} Argument pierwiastka $z_0$ jest
$n$-tą częścią argumentu liczby $w$, a każdy kolejny pierwiastek ma argument o $\frac{2\pi }{n}$ większy od poprzedniego, tzn.

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\aligned”): {\displaystyle \displaystyle \aligned \textrm{Arg} z_0 &=\frac{1}{n}\textrm{Arg} w\\ \textrm{Arg} z_{k+1}&=\textrm{Arg} z_{k}+\frac{2\pi}{n}, \textrm{ dla } k=0,1,2,\ldots , n-2.\endaligned }

=========

Definicja 1.34.

Każdy z pierwiastków równania $z^n=w$ nazywamy pierwiastkiem algebraicznym stopnia $n$ z liczby $w.$

=========

Przykład 1.35.

Każda z liczb

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\aligned”): {\displaystyle \displaystyle \aligned z_0 &= e^{i\frac{\pi}{4}}=========&=&\cos\frac{\pi}{4}+i\sin\frac{\pi}{4}&=&+\frac{\sqrt{2}}========={2}+i\frac{\sqrt{2}}========={2}\\ z_1 &= e^{i(\frac{\pi}{4}+\frac{\pi}{2})}&=&\cos\frac{3\pi}{4}+i\sin\frac{3\pi}{4}&=&-\frac{\sqrt{2}}========={2}+i\frac{\sqrt{2}}========={2}\\ z_2 &= e^{i(\frac{\pi}{4}+2\frac{\pi}{2})}&=&\cos\frac{5\pi}{4}+i\sin\frac{5\pi}{4}&=&-\frac{\sqrt{2}}========={2}-i\frac{\sqrt{2}}========={2}\\ z_3 &= e^{i(\frac{\pi}{4}+3\frac{\pi}{2})}&=&\cos\frac{7\pi}{4}+i\sin\frac{7\pi}{4}&=&+\frac{\sqrt{2}}========={2}-i\frac{\sqrt{2}}========={2}\endaligned }

jest pierwiastkiem równania $z^4+1=0.$

=========

Przykład 1.36.

Zastosujmy twierdzenie de Moivre'a do wyznaczenia sum

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\aligned”): {\displaystyle \displaystyle \aligned 1+\cos\varphi+\cos 2\varphi+\ldots +\cos n\varphi\\ 0+\sin\varphi+\sin 2\varphi+\ldots +\sin n\varphi.\endaligned }

Niech

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle z \ =\ e^{i\varphi}=\cos\varphi+i\sin\varphi. }

Zauważmy, że - na mocy twierdzenia de Moivre'a - mamy

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \Re z^k \ =\ \cos k \varphi \quad \} oraz Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \quad \Im z^k \ =\ \sin k \varphi \quad\} dla dowolnej liczby $k=1,2,3,\dots .$

Stąd

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\aligned”): {\displaystyle \displaystyle \aligned &1+\cos\varphi+\cos 2\varphi+\ldots +\cos n\varphi&=&\Re(1+z+z^2+\ldots +z^n)\\ &0+\sin\varphi+\sin 2\varphi+\ldots +\sin n\varphi&=&\Im(1+z+z^2+\ldots +z^n). \endaligned }

Dla $z=e^{i\phi }\ne 0$ mamy

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\aligned”): {\displaystyle \displaystyle \aligned 1+z+z^2+\ldots +z^n&=\frac{z^{n+1}-1}{z-1} =\frac{e^{i(n+1)\varphi}-1}{e^{i\varphi}-1}= \frac{e^{i(n+1)\varphi}-1}{e^{i\varphi}-1}\cdot\frac{e^{-i\varphi}-1}{e^{-i\varphi}-1}\\ &=\frac{e^{in\varphi}-e^{i(n+1)\varphi}-e^{-i\varphi}+1}{2-e^{i\varphi}-e^{-i\varphi}}=========\\ &=\frac{\cos n\varphi-\cos(n+1)\varphi-\cos\varphi+1}{2(1-\cos{\varphi})}+i\frac{\sin n\varphi-\sin(n+1)\varphi+\sin\varphi+0}{2(1-\cos{\varphi})}\endaligned }

Stąd - korzystając ze znanych wzorów na różnicę sinusów, odpowiednio: cosinusów - dostajemy

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\aligned”): {\displaystyle \displaystyle \aligned 1+\cos\varphi+\cos 2\varphi+\ldots +\cos n\varphi&=\frac{\big(\cos n\varphi-\cos(n+1)\varphi\big)+(-\cos\varphi+1)}{2(1-\cos{\varphi})}\\ &=\frac{-2\sin\frac{2n\varphi+\varphi}{2}\sin\frac{n\varphi-n\varphi-\varphi}{2}+2\sin^2\frac{\varphi}{2}}========={4\sin^2\frac{\varphi}{2}}========= \\ &=\frac{\sin(n+\frac{1}{2})\varphi+\sin\frac{\varphi}{2}}========={2\sin\frac{\varphi}{2}}=========, \textrm{ o ile } \sin\frac{\varphi}{2}\neq 0,\endaligned }

oraz

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\aligned”): {\displaystyle \displaystyle \aligned 0+\sin\varphi+\sin 2\varphi+\ldots +\sin n\varphi&=\frac{\big(\sin n\varphi-\sin(n+1)\varphi\big)+\sin\varphi}{2(1-\cos{\varphi})}\\ &=\frac{2\cos\frac{2n\varphi+\varphi}{2}\sin\frac{n\varphi-n\varphi-\varphi}{2}+2\sin\frac{\varphi}{2}\cos\frac{\varphi}{2}}========={4\sin^2\frac{\varphi}{2}}========= \\ &=\frac{-\cos(n+\frac{1}{2})\varphi+\cos\frac{\varphi}{2}}========={2\sin\frac{\varphi}{2}}=========, \textrm{ o ile } \sin\frac{\varphi}{2}\neq 0.\endaligned }

=========

Ponieważ dla dowolnej liczby rzeczywistej $t$ zachodzi nierówność: $|\cos t|\le 1$, $|\sin t|\le 1$, więc

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\aligned”): {\displaystyle \displaystyle \aligned &\left|\sin\left(n+\frac{1}{2}\right)\varphi+\sin\frac{\varphi}{2}\right|\leq 2\\ &\left|\cos\left(n+\frac{1}{2}\right)\varphi-\sin\frac{\varphi}{2}\right|\leq 2. \endaligned }

Wykazaliśmy w ten sposób

Wniosek 1.37.

Dla dowolnej liczby naturalnej $n$ i dowolnych liczb rzeczywistych $0<\phi <2\pi$ mamy następujące ograniczenie sum

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\aligned”): {\displaystyle \displaystyle \aligned &|1+\cos\varphi+\cos 2\varphi+\ldots +\cos n\varphi|&\leq \frac{1}{|\sin\frac{\varphi}{2}|} \\ &| 0+\sin\varphi+\sin 2\varphi+\ldots +\sin n\varphi|&\leq \frac{1}{|\sin\frac{\varphi}{2}|}.\endaligned }

=========

Zauważmy, że wartość ułamka $\frac{1}{|\sin \frac{\phi }{2}|}$ nie zależy od liczby $n$ składników wchodzących w skład powyższych sum cosinusów i sinusów, co stanowi istotę tego oszacowania. Wykorzystamy tę informację badając zbieżność szeregów w ramach kolejnych modułów.

Dwumian Newtona

Blaise Pascal (1623-1662)
Zobacz biografię

Definicja 1.38.

Niech $n\ge k$ będą dowolnymi nieujemnymi liczbami całkowitymi. Symbolem Newtona $n$ po $k$ nazywamy wyrażenie

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \binom{n}{k} \ =\ \frac{n!}{(n-k)!k!}, }

gdzie symbolem $n!$ oznaczamy silnię liczby $n$ określoną rekurencyjnie: $0!=1$ oraz $n!=(n-1)!n$ dla $n\ge 1$.

=========

Przypomnijmy, że

Uwaga 1.39.

a) Dla $n=0,1,2,\dots$ zachodzą równości: $(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{0})=1$ oraz $(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{1})=n$.
b) Dla $n>k$ zachodzi równość $(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})+(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k+1})=(\genfrac{}{}{0ex}{}{n+1}{k+1})$.

=========

Równość ta pozwala na wyznaczać wartość $(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})$ zgodnie z regułą nazywaną trójkątem Pascala:

$(\genfrac{}{}{0ex}{}{0}{0})$ $(\genfrac{}{}{0ex}{}{1}{0})(\genfrac{}{}{0ex}{}{1}{1})$ $(\genfrac{}{}{0ex}{}{2}{0})(\genfrac{}{}{0ex}{}{2}{1})(\genfrac{}{}{0ex}{}{2}{2})$ $(\genfrac{}{}{0ex}{}{3}{0})(\genfrac{}{}{0ex}{}{3}{1})(\genfrac{}{}{0ex}{}{3}{2})(\genfrac{}{}{0ex}{}{3}{3})$ $(\genfrac{}{}{0ex}{}{4}{0})(\genfrac{}{}{0ex}{}{4}{1})(\genfrac{}{}{0ex}{}{4}{2})(\genfrac{}{}{0ex}{}{4}{3})(\genfrac{}{}{0ex}{}{4}{4})$ $(\genfrac{}{}{0ex}{}{5}{0})(\genfrac{}{}{0ex}{}{5}{1})(\genfrac{}{}{0ex}{}{5}{2})(\genfrac{}{}{0ex}{}{5}{3})(\genfrac{}{}{0ex}{}{5}{4})(\genfrac{}{}{0ex}{}{5}{5})$ $(\genfrac{}{}{0ex}{}{6}{0})(\genfrac{}{}{0ex}{}{6}{1})(\genfrac{}{}{0ex}{}{6}{2})(\genfrac{}{}{0ex}{}{6}{3})(\genfrac{}{}{0ex}{}{6}{4})(\genfrac{}{}{0ex}{}{6}{5})(\genfrac{}{}{0ex}{}{6}{6})$ $(\genfrac{}{}{0ex}{}{7}{0})(\genfrac{}{}{0ex}{}{7}{1})(\genfrac{}{}{0ex}{}{7}{2})(\genfrac{}{}{0ex}{}{7}{3})(\genfrac{}{}{0ex}{}{7}{4})(\genfrac{}{}{0ex}{}{7}{5})(\genfrac{}{}{0ex}{}{7}{6})(\genfrac{}{}{0ex}{}{7}{7})$ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Mianowicie - zgodnie z równością $(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})+(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k+1})=(\genfrac{}{}{0ex}{}{n+1}{k+1})$ wartość symbolu Newtona $(\genfrac{}{}{0ex}{}{n+1}{k+1})$ jest sumą dwóch symboli $(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})$ oraz $(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k+1})$, które znajdują się bezpośrednio nad symbolem $(\genfrac{}{}{0ex}{}{n+1}{k+1})$ w powyższym trójkącie. Reguła ta staje się bardziej czytelna, jeśli zastąpimy symbole $(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})$ odpowiadającymi im liczbami naturalnymi:

$1$

$11$

$121$

$1331$

$14641$

$15101051$

$1615201561$

$172135352171$ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Przypomnijmy, że symbole Newtona $(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})$ stanowią współczynniki rozwinięcia wyrażenia $(a+b{)}^n$ zgodnie ze wzorem
dwumianowym Newtona.

Twierdzenie 1.40.

Dla dowolnej liczby naturalnej $n=1,2,3,\dots$ i dowolnych liczb $a$ i $b$ zachodzi równość

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\aligned”): {\displaystyle \displaystyle \aligned (a+b)^n&=\sum_{k=0}^n \binom{n}{k}a^{n-k} b^{k}\\ &=\binom{n}{0}a^{n}b^{0}+\binom{n}{1}a^{n-1}b^{1}+\binom{n}{2}a^{n-2}b^{2}+\ldots +\binom{n}{n-1}a^{1}b^{n-1}\binom{n}{n}a^{0}b^{n}.\endaligned }

=========

Zauważmy, że dla $n=2,3$ wzór Newtona ma postać

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\aligned”): {\displaystyle \displaystyle \aligned (a+b)^2&=a^2+2ab+b^2\\ (a-b)^2&=a^2-2ab+b^2\\ (a+b)^3&=a^3+3a^b+3ab^2+b^3\\ (a-b)^3&=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3.\endaligned }

Wzory te pamiętamy ze szkoły pod nazwą wzorów skróconego mnożenia.

Przykład 1.41.

Trójkąt Pascala możemy na przykład wykorzystać do efektywnego wyznaczenia rozwinięcia sumy

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\aligned”): {\displaystyle \displaystyle \aligned(a+b)^7=&\sum_{k=0}^{7}\binom{7}{k}a^{7-k}b^k\\ =& \binom{7}{0}a^{7}b^0+\binom{7}{1}a^{7-1}b^1+\binom{7}{2}a^{7-2}b^2+\ldots +\binom{7}{6}a^{7-6}b^6+\binom{7}{7}a^{7-7}b^7\\=&a^7 +7a^6 b+21 a^5 b^2 +35 a^4 b^3 +35 a^3 b^4 +21a^2 b^5 +7 ab^6+b^7.\endaligned }

=========

Funkcje różnowartościowe. Równoliczność

Niech $f:X\mapsto Y$ będzie dowolną funkcją określoną na zbiorze $X$ o wartościach w zbiorze $Y.$ Przypomnijmy kilka pojęć z teorii mnogości.

Definicja 1.42.

Funkcję $f:X\mapsto Y$ nazywamy iniekcją zbioru $X$ w zbiór $Y$, jeśli jest różnowartościowa, to znaczy, że dla dowolnych elementów $x,y\in X$ z równości $f(x)=f(y)$ wynika, że $x=y.$

=========

Definicja 1.43.

Funkcję $f:X\mapsto Y$ nazywamy suriekcją zbioru $X$ na zbiór $Y$, jeśli każdy element zbioru $Y$ jest wartością funkcji $f,$ to znaczy, że dla dowolnego elementu $y\in Y$ istnieje element $x\in X$ taki, że $y=f(x).$

=========

Definicja 1.44.

Funkcję $f:X\mapsto Y$ nazywamy bijekcją zbioru $X$ na zbiór $Y$, jeśli jest iniekcją i suriekcją.

=========

Definicja 1.45.

Mówimy, że zbiory $X,Y$ są równoliczne, jeśli istnieje bijekcja zbioru $X$ na zbiór $Y$. Mówimy też wtedy, że zbiory $X$, $Y$ są tej samej mocy, co zapisujemy krótko $\text{card}X=\text{card}Y$ lub $\mathrm{\#}X=\mathrm{\#}Y$. Jeśli zbiór zawiera skończoną liczbę elementów równą $n$ (innymi słowy: jeśli jest równoliczny ze zbiorem $\{1,2,3,\dots ,n\}$), to mówimy, że jest zbiorem mocy $n$, co zapisujemy $\text{card}A=n$ lub $\mathrm{\#}A=n$.

=========

Przykład 1.46.

a) Można wykazać, że zbiór liczb naturalnych jest równoliczny ze zbiorem liczb całkowitych i ze zbiorem liczb wymiernych.
b) Również każdy nieskończony podzbiór zbioru liczb naturalnych (na przykład zbiór liczb parzystych, zbiór liczb nieparzystych, zbiór liczb pierwszych) jest równoliczny z całym zbiorem liczb naturalnych.

=========

Definicja 1.47.

Zbiór $A$ równoliczny ze zbiorem liczb naturalnych nazywamy zbiorem przeliczalnym. Mówimy też, że moc zbioru przeliczalnego $A$ jest równa alef zero, co zapisujemy $cardA={\mathrm{\aleph }}_0$ lub $\mathrm{\#}A={\mathrm{\aleph }}_0$.

=========

Definicja 1.48.

Zbiór nieskończony, który nie jest równoliczny ze zbiorem liczb naturalnych, nazywamy zbiorem nieprzeliczalnym.

=========

Twierdzenie 1.49.

Zbiór liczb rzeczywistych nie jest równoliczny ze zbiorem liczb naturalnych.

=========

Przykład 1.50.

a) Jeśli $a<b$ są dowolnymi elementami zbioru $\overline{\mathbb{ℝ}}=========$, to każdy z przedziałów $[a,b],(a,b],[a,b),(a,b),$ jest równoliczny ze zbiorem liczb rzeczywistych.
b) Co więcej, można również wykazać, że zbiór punktów płaszczyzny ${\mathbb{ℝ}}^2=\mathbb{ℝ}\times \mathbb{ℝ}$ jest równoliczny ze zbiorem liczb rzeczywistych.

=========

Definicja 1.51.

Zbiór $A$ równoliczny ze zbiorem liczb rzeczywistych nazywamy zbiorem mocy continuum, co zapisujemy $cardA=c$ lub $\mathrm{\#}A=c.$

=========

Przykład 1.52.

Niech

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle a \ =\ (0,a_1\ a_2\ a_3 \ \ldots)_3 \ =\ 0+\frac{a_1}{3}+\frac{a_2}{9}+\frac{a_3}{27}+\ldots, }

gdzie $a_i\in \{0,1,2\}$, będzie ciągiem cyfr rozwinięcia w systemie trójkowym (tj. pozycyjnym systemie o podstawie 3) liczby z przedziału $[0,1]$. Rozważmy kolejno zbiory

$\begin{array}{rll}{C}_0& =& [0,1]\\ C_1& =& \{a\in C_0:a_1\ne 1\}\\ C_2& =& \{a\in C_1:a_2\ne 1\}\\ C_3& =& \{a\in C_2:a_3\ne 1\}\\ ⋮& =& ⋮\\ C_{n+1}& =& \{a\in C_n:a_{n+1}\ne 1\}\end{array}$

i tak dalej. Zauważmy, że

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle C_1 \ =\ \bigg[\frac{0}{3},\frac{1}{3}\bigg]\cup\bigg[\frac{2}{3},\frac{3}{3}\bigg]\subset C_0 }

to zbiór liczb z przedziału $[0,1]$, które w rozwinięciu trójkowym nie mają cyfry 1 na pierwszym miejscu po przecinku, zaś

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle C_2 \ =\ \bigg[\frac{0}{9},\frac{1}{9}\bigg]\cup\bigg[\frac{2}{9},\frac{3}{9}\bigg] \cup \bigg[\frac{6}{9},\frac{7}{9}\bigg]\cup\bigg[\frac{8}{9},\frac{9}{9}\bigg]\subset C_1 }

to zbiór liczb z przedziału $[0,1]$, które w rozwinięciu trójkowym nie mają cyfry 1 ani na pierwszym, ani na drugim miejscu po przecinku, a ogólnie

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle C_{n} \ =\ \{a\in C_{n-1} : a_{n} \neq 1\} \ \subset\ C_{n-1},\quad n>1, }

to zbiór liczb z przedziału $[0,1]$, które w rozwinięciu trójkowym nie mają cyfry 1 po przecinku na żadnym z miejsc od pierwszego aż do
$n$-tego włącznie.

Zauważmy, że liczbę $\frac{1}{3}$ można zapisać w systemie trójkowym jako $(0,10000\dots {)}_3$ bądź też bez użycia cyfry $1$ za pomocą trójkowego ułamka okresowego: $(0,02222\dots {)}_3$. Podobnie $\frac{1}{9}=0,010000\dots =(0,0022222\dots {)}_3$. Stąd liczby $\frac{1}{3}$, $\frac{1}{9}$,... ., należą do zbiorów $C_1,C_2,\dots$, pomimo że ich ich zapis trójkowy zawiera cyfrę 1. Można je bowiem zapisać również nie używając jedynki.

Z definicji zbiorów $C_i$ wynika, że

$\dots \subset C_{n+1}\subset C_n\subset \dots \subset C_2\subset C_1\subset C_0.$

Georg Ferdinand Ludwig Philipp Cantor (1845-1918)
Zobacz biografię

Dowodzi się (zob. twierdzenie Cantora o zstępującym ciągu zbiorów domkniętych w przestrzeni zupełnej), że część wspólna $C_0\cap C_1\cap C_2\cap C_3\cap \dots$ nieskończenie wielu zbiorów $C_n$ jest zbiorem niepustym. Zbiór ten zawiera tylko te liczby z przedziału $[0,1]$, które można zapisać w systemie trójkowym bez użycia cyfry 1.

=========

Definicja 1.53.

Zbiór

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle C \ =\ \left\{a=(0, a_1\ a_2\ a_3 \ \ldots)_{3}=\frac{a_1}{3}+\frac{a_2}{9}+\frac{a_3}{27}+\ldots , a_i\in \{0,2\} \right\} }

tych liczb z przedziału $[0,1]$, które w systemie trójkowym da się zapisać bez użycia cyfry 1, nazywamy trójkowym zbiorem Cantora.

=========

Uwaga 1.54.

Zbiór Cantora jest równoliczny ze zbiorem wszystkich nieskończonych ciągów o wyrazach w zbiorze dwuwartościowym: $\{0,2\}$. Jest więc nieprzeliczalny.

=========