PF Moduł 9

Wprowadzenie Wszelkie substancje z punktu widzenia mikroskopowego mają budowę "ziarnistą". Składnikami ich są atomy bądź cząsteczki, których wzajemne oddziaływania określają własności makroskopowe substancji jak ciśnienie lub temperatura oraz stan skupienia: stały, ciekły lub gazowy. Ogromna liczba cząsteczek, z jaką zwykle mamy do czynienia uniemożliwia stosowanie do opisu ich ruchu równań Newtona w takim sensie, jak się to czyni w mechanice. W jednym centymetrze sześciennym gazu mieści się w warunkach normalnych około $10^{19}$ cząsteczek, które zderzają się ze sobą oraz ze ściankami naczynia. Do opisu ich ruchu stosuje się metody statystyczne, a wielkości makroskopowe charakteryzuje się poprzez uśrednione wartości wielkości mikroskopowych takich jak prędkości cząsteczek czy energie ich wzajemnego oddziaływania.

---

Czym jest ciśnienie gazu z mikroskopowego punktu widzenia? Ścianki naczynia zawierającego pewną porcję gazu uderzane są ustawicznie przez cząsteczki będące w chaotycznym ruchu. Wyznaczmy przekaz pędu przy takich zderzeniach. Dla uproszczenia przyjmijmy, że naczynie ma kształt sześcianu o długości ścianek równej $l$ .

---

W układzie współrzędnych prostokątnych rozważamy sprężyste zderzenie cząsteczki gazu, o wektorze prędkości $v$, ze ścianką naczynia prostopadłą do osi $X$. Prędkość cząsteczki zapiszemy w postaci wektora $\overrightarrow{v}=(v_x,v_y,v_z)$ Po odbiciu się od ścianki naczynia cząsteczka porusza się z prędkością $v^{\prime }$. W wyniku sprężystego zderzenia cząsteczki ze ścianką prostopadłą do osi $X$ zmieni znak tylko składowa prędkości wzdłuż tej osi, czyli będzie ${v^{\prime }}_x=-v_x$ , ${v^{\prime }}_y=-v_y$ , ${v^{\prime }}_z=-v_z$ Dalsze nasze rozważania dotyczyć będą tylko kierunku $X$ , stosować będziemy zapis skalarny.

---

Zmiana składowej pędu wzdłuż osi $X$ będzie różnicą pomiędzy pędem po i przed zderzeniem (Pęd oznaczamy tu dużą literą $P$ , bowiem małą litera oznaczać będziemy ciśnienie.) $\mathrm{\Delta }{P}_x=-m\cdot v_x-(m\cdot v_x)=-2m\cdot v_x$ Pęd przekazany ściance będzie odwrotnego znaku, a więc wyniesie $2m\cdot v_x$ .

---

Czas przelotu cząsteczki przez kostkę wynosi $t=l/v_x$ , zaś przelot w obie strony trwać będzie dwa razy dłużej; $\mathrm{\Delta }t=2\cdot l/v_x$ . Częstość $\nu$ uderzeń o ściankę, czyli liczba uderzeń w jednostce czasu będzie odwrotnością czasu przelotu cząsteczki w dwie strony, czyli $\nu =1/\mathrm{\Delta }t=v_x/(2\cdot l)$ . Pęd przekazany ściance w jednostce czasu równy będzie pędowi przekazanemu w jednym uderzeniu pomnożonemu przez liczbę uderzeń w jednostce czasu. $\frac{\mathrm{\Delta }{P}_x}{\mathrm{\Delta }t}=\frac{v_x}{2\cdot l}\cdot 2\cdot m\cdot v_x=\frac{m\cdot {v^2}_x}{l}$

---

Z drugiej zasady dynamiki wiemy, że $\mathrm{\Delta }P/\mathrm{\Delta }t=F$ . Pamiętamy też, że ciśnienie jest stosunkiem siły do powierzchni, na którą siła działa. Powierzchnia ta jest w naszym przypadku równa kwadratowi boku ścianki. Ciśnienie będące skutkiem uderzeń jednej cząsteczki w ściankę wynosi, więc $p=F/S=F/l^2$ . Sumując przyczynki od wszystkich uderzających w ściankę cząsteczek otrzymujemy wyrażenie na ciśnienie gazu działające na ściankę Założyliśmy tu, że wszystkie cząsteczki w liczbie $N$ mają tę samą masę $m$ . Długość ścianki w trzeciej potędze zamieniliśmy objętością sześcianu $V$ . Iloczyn masy cząsteczki m przez liczbę cząsteczek $N$ jest masą gazu w naczyniu, zaś podzielony przez objętość $V$ jest gęstością gazu, którą oznaczyliśmy symbolem $\rho$ . Symbol $⟨{v^2}_x⟩$ oznacza wartość średnią kwadratu składowej wektora prędkości wzdłuż osi $X$ .

---

Biorąc pod uwagę, że kwadrat wektora równy jest sumie kwadratów jego składowych ${\overrightarrow{v}}^2=v^2={v^2}_x+{v^2}_y+{v^2}_z$ i pamiętając, że wszystkie kierunki wektora prędkości są tak samo prawdopodobne oraz, że ruchy w każdym kierunku są niezależne - możemy zamienić wartość średnią kwadratu składowej przez wartość średnią kwadratu wektora prędkości, czyli $⟨{v^2}_x⟩=\frac{1}{3}⟨v^2⟩$ Ostatecznie otrzymujemy wzór wyrażający związek pomiędzy mikroskopowymi (średnia prędkość cząsteczek) i makroskopowymi (ciśnienie i gęstość) własnościami gazu $p=\frac{1}{3}\cdot \frac{m\cdot N}{V}\cdot ⟨v^2⟩=\frac{1}{3}\cdot \rho \cdot ⟨v^2⟩$ W naszych rozważaniach nie uwzględnialiśmy zderzeń pomiędzy cząsteczkami. Zwróćmy jednak uwagę, że w zderzeniach sprężystych jest zachowany pęd oraz energia kinetyczna, a więc przy dużej liczbie zderzających się cząsteczek zderzenia te nie będą wpływać na wartość średnią pędu przekazywanego ściankom naczynia. Wybraliśmy także regularny (sześcienny) kształt naczynia. W warunkach równowagi ciśnienie wywierane na wszystkie ścianki o dowolnym kształcie a także wewnątrz naczynia jest jednakowe, o czym wiemy z prawa Pascala. Rozważania nasze mają, więc ogólny charakter.

---

Dla znalezienia związku pomiędzy makroskopową i mikroskopową interpretacją temperatury pomnóżmy lewą i prawą stronę równania opisującego ciśnienie gazu przez objętość naczynia $V$ i porównajmy to wyrażenie z równaniem stanu gazu doskonałego $p\cdot V=\frac{1}{3}\cdot \rho ⟨v^2⟩\cdot V=\frac{1}{3}\cdot \begin{array}{c}{n}_M\cdot M\\ \overbrace{\rho \cdot V}\end{array}\cdot ⟨v^2⟩$ We wzorze tym iloczyn gęstości i objętości jest po prostu masą gazu, którą następnie wyraziliśmy w molach oznaczając przez $M$ jego masę molową.

---

Teraz masę gazu wyraziliśmy w molach, oznaczając przez $M$ jego masę molową. Mnożąc stronami przez $3/2$ i dzieląc przez liczbę Avogadro otrzymujemy $\frac{1}{2}\cdot \begin{array}{c}{m}_0\\ \overbrace{\frac{M}{N_A}}\end{array}\cdot ⟨v^2⟩=\frac{3}{2}\cdot \begin{array}{c}k\\ \overbrace{\frac{R}{N_A}}\end{array}\cdot T$ Zauważamy przy tym, że masa molowa podzielona przez liczbę Avogadro to po prostu masa jednej cząsteczki $m_0$ . Iloraz stałej gazowej i liczby Avogadro, to stała Boltzmanna $k$ . Stała ta ma sens stałej gazowej odniesionej do jednej cząsteczki. Jak zobaczymy, stała ta odgrywa fundamentalna rolę w fizyce. Wykorzystując wprowadzone oznaczenia możemy przepisać ostatnie równanie w postaci $\frac{1}{2}\cdot m_0\cdot ⟨v^2⟩=⟨\frac{1}{2}\cdot m_0\cdot v^2⟩=\frac{3}{2}\cdot k\cdot T$ Wyrażenie po lewej stronie jest wielkością mikroskopową - średnią energią kinetyczną chaotycznego ruchu cząsteczek gazu przypadającą na jedną cząsteczkę; wyrażenie po prawej stronie jest proporcjonalne do wielkości makroskopowej - temperatury bezwzględnej ciała. Stwierdzamy, więc temperatura jest miarą średniej energii kinetycznej chaotycznego ruchu cząsteczek.

---

Średnia wartość kwadratu prędkości wynosi $⟨v^2⟩=\frac{3\cdot k\cdot T}{m_0}$ Na tej podstawie możemy określić tzw. średnią prędkość kwadratową definiując ją jako Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle v_{śr. kw.}=\sqrt{\left\langle v^2\right\rangle}=\sqrt{\left\langle v^2\right\rangle=\frac{3\cdot k\cdot T}{m_0}}}