Analiza matematyczna 2/Wykład 8: Ekstrema funkcji wielu zmiennych

Ekstrema funkcji wielu zmiennych.

Dowodzimy wzoru Taylora dla funkcji wielu zmiennych. Jego konsekwencją jest warunek wystarczający istnienia ekstremum. Pokazujemy szereg przykładów prowadzących do zastosowania wykazanego warunku wystarczającego oraz takich, w których nie jest to niezbędne.

Wzór Taylora dla funkcji wielu zmiennych

Niech $f:X\mapsto Y$ będzie funkcją klasy $C^{m+1}$ określoną na otwartym podzbiorze $U$ przestrzeni Banacha $X$ o wartościach w przestrzeni Banacha $Y$. Podobnie jak w przypadku funkcji jednej zmiennej rzeczywistej zachodzi następujące

Twierdzenie

(twierdzenie Taylora) Dla dowolnych

punktów $a$ oraz $a+h$ zbioru $U$ takich, że odcinek Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \{a+th, \ t\in [0,1]\}\subset U,}

zachodzi równość

$f(a+h)=f(a)+d_{a}f(h)+\frac{1}{2!}{d}_a^{2}f(h,h)+\frac{1}{3!}{d}_a^{3}f(h,h,h)+\dots +\frac{1}{m!}{d}_a^{m}f\underset{m\text{ wektorów }h}{\underbrace{(h,h,\dots ,h)}}+R_{m}f(a,h),$ gdzie $\Vert R_{m}f(a,b){\Vert }_y\le \frac{1}{(m+1)!}\sup \{|d_{a+th}^{m+1}(h,h,\dots ,h)|,t\in [0,1]\}.$

Definicja

Funkcję Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\aligned”): {\displaystyle \displaystyle \aligned X\in h\mapsto T_a^m f(h) &= f(a)+d_a f(h)+\frac{1}{2!}d^2 _a f(h,h)+\dots+\frac{1}{m!}d^m _a f\underbrace{(h, h, \dots, h)}_{m \text{ razy }}\\&= \sum_{k=0}^m \frac{1}{k!}d^k_a\underbrace{(h, h, \dots, h)}_{k \text{ razy }}\in Y\endaligned }

nazywamy wielomianem Taylora rzędu $m$ funkcji $f$ o środku w punkcie

$a$.

Uwaga

Zauważmy, że jeśli $X={\mathbb{ℝ}}^n$ i $Y=\mathbb{ℝ}$, to wielomian Taylora funkcji $f:{\mathbb{ℝ}}^n\mapsto \mathbb{ℝ}$ rzędu $m$ o środku w punkcie $a$ można wyrazić za pomocą pochodnych cząstkowych funkcji $f$ w następujący sposób:

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\aligned”): {\displaystyle \displaystyle \aligned T_a^m f(h)&=\sum_{k=0}^m \frac{1}{k!}\sum_{|\alpha|=k}\binom{k}{\alpha}\frac{\partial^k}{\partial x^\alpha}f(a)h^\alpha \\&=\sum_{k=0}^m \sum_{|\alpha|=k}\frac{1}{\alpha!}\frac{\partial^k}{\partial x^\alpha}f(a)h^\alpha \\&= \sum_{|\alpha|\leq m}\frac{1}{\alpha!}\frac{\partial^{|\alpha|}}{\partial x^\alpha}f(a)h^\alpha ,\endaligned }

gdzie $\alpha =({\alpha }_1,{\alpha }_2,\dots ,{\alpha }_n)\in {\mathbb{\mathbb{N}}}_0^n$ jest $n$-wskaźnikiem o długości $|\alpha |={\alpha }_1+{\alpha }_2+\dots +{\alpha }_n$. (Oznaczenia: $\alpha !$, $h^{\alpha }$, $\frac{{\partial }^k}{\partial x^{\alpha }}$ wprowadziliśmy przy omawianiu różniczek wyższego rzędu). W szczególnym (ale bardzo często spotykanym) przypadku funkcji $f:{\mathbb{ℝ}}^2\ni (x_1,x_2)\mapsto f(x_1,x_2)\in \mathbb{ℝ}$ dwóch zmiennych $x_1,x_2$ wielomian Taylora o środku w punkcie $a=(a_1,a_2)\in {\mathbb{ℝ}}^2$ przyjmuje postać

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\aligned”): {\displaystyle \displaystyle \aligned T_a ^m f(h)&=\sum_{k=0}^m \sum_{\alpha_1+\alpha_2=k} \frac{1}{\alpha_1 !\alpha_2 !}\frac{\partial^k f(a)}{\partial x_1^{\alpha_1}\partial x_2^{\alpha_2}}h_1^{\alpha_1}h_2^{\alpha_2}\\&=\sum_{\alpha_1+\alpha_2\leq m} \frac{1}{\alpha_1 !\alpha_2 !}\frac{\partial^{\alpha_1+\alpha_2} f(a)}{\partial x_1^{\alpha_1}\partial x_2^{\alpha_2}}h_1^{\alpha_1}h_2^{\alpha_2},\endaligned }

gdzie $h=(h_1,h_2)\in {\mathbb{ℝ}}^2$.

Dowód

Twierdzenie Taylora wykażemy w szczególnym przypadku, gdy $f:X\supset U\mapsto \mathbb{ℝ}$ jest funkcją o wartościach rzeczywistych, określoną na otwartym podzbiorze $U$ przestrzeni Banacha $X$. Niech -- zgodnie z założeniem -- $a$ oraz $a+h$ będą takimi

punktami zbioru $U$, że odcinek $\{a+th,0\le t\le 1\}\subset U$. Rozważmy funkcję $g:(0-ϵ,1+ϵ)\ni t\mapsto f(a+th)\in \mathbb{ℝ}$

określoną w pewnym otoczeniu otwartym odcinka $[0,1]$. Funkcja $g$ jest w tym zbiorze klasy $C^{m+1}$, gdyż $f$ jest tej klasy w otoczeniu odcinka $\{a+th,0\le t\le 1\}\subset U$. Ponadto z twierdzenia o różniczkowaniu złożenia funkcji mamy dla dowolnej liczby $0\le t\le 1$ równość

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \frac{d^k}{dt^k}g(0)=d^k_a f\circ \underbrace{(d_0 (a+th), d_0 (a+th), \dots, d_0 (a+th))}_{k \text{ razy}} =d^k_a f\underbrace{(h, h, \dots, h)}_{k \text{ razy}}.}

Ze twierdzenia Taylora dla funkcji jednej zmiennej $g$ oraz z powyższej równości mamy

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\aligned”): {\displaystyle \displaystyle \aligned f(a+h)=&g(0+1)\\&=g(0)+g'(0)1+\frac{1}{2!}g''(0)1^2+\dots+\frac{1}{m!}g^{(m)}(0)1^m+\frac{1}{(m+1)!}g^{(m+1)}(0+\theta \cdot 1)1^{m+1}\\&=f(a)+d_a f(h)+\frac{1}{2!}d^2_a f(h,h)+\dots+\frac{1}{m!}d^m_a f(h,h,\dots, h)+\frac{1}{(m+1)!}d^{m+1}_{a+\theta h} f(h,h,\dots, h, h),\endaligned }

gdzie $\theta \in (0,1)$ jest pewnym punktem pośrednim. Stąd mamy też oszacowanie reszty we wzorze Taylora:

$|R_{m}f(a,h)|=|\frac{1}{(m+1)!}{d}_{a+\theta h}^{m+1}f(h,h,\dots ,h,h|\le \frac{1}{(m+1)!}\sup \{|d_{a+\theta h}^{m+1}f(h,h,\dots ,h,h)|,0\le \theta \le 1\}.$

Ekstrema funkcji wielu zmiennych

Pamiętamy, że dowolna przestrzeń unormowana $X$ jest przestrzenią metryczną z metryką $d(x,y)=\Vert x-y\Vert$ zadaną przez normę $\Vert \cdot \Vert$ przestrzeni $X$. Stąd też definicja ekstremum funkcji $f:X\mapsto \mathbb{ℝ}$ o wartościach rzeczywistych określonej na przestrzeni unormowanej jest taka sama jak w przypadku przestrzeni metrycznej, czyli funkcja $f$ przyjmuje w punkcie $a\in \mathrm{d}\mathrm{o}\mathrm{m}f$ minimum lokalne (odpowiednio: maksimum lokalne, ścisłe minimum lokalne, ścisłe maksimum lokalne), jeśli istnieje liczba $\delta >0$ taka, że zachodzą odpowiednio implikacje:

$d(x,a)<\delta ⟹f(x)\ge f(a)$ $d(x,a)<\delta ⟹f(x)\le f(a)$ $0<d(x,a)<\delta ⟹f(x)>f(a)$ $0<d(x,a)<\delta ⟹f(x)<f(a).$

Minimum funkcji w punkcie $a$ nazywamy globalnym, jeśli $f$ osiąga w punkcie $a$ kres dolny wartości. Jeśli zaś w punkcie $a$ funkcja osiąga kres górny, to mówimy, że osiąga w punkcie $a$ maksimum globalne.

Sformułujmy wpierw warunek konieczny istnienia ekstremum funkcji $f$.

Twierdzenie

Jeśli funkcja różniczkowalna $f:X\subset U\mapsto \mathbb{ℝ}$ osiąga ekstremum w punkcie $a$ zbioru otwartego $U$, to w punkcie tym zeruje się różniczka funkcji $f$, tzn. $d_{a}f(h)=0$, gdzie $h\in X$ jest dowolnym wektorem

przestrzeni $X$.

Dowód

Załóżmy, że funkcja $f$ osiąga maksimum lokalne w punkcie $a\in U$. Ustalmy pewien wektor $h\in X$, $\Vert h\Vert =1$ i rozważmy

zacieśnienie funkcji $f$ do prostej $\{a+th,t\in \mathbb{ℝ}\}$

o kierunku $h$ przechodzącej przez punkt $a$. Zacieśnienie to

$\mathbb{ℝ}\ni t\to f(a+th)\in \mathbb{ℝ}$

jest funkcją jednej zmiennej, osiągającą maksimum w $t=0$. Stąd pochodna w zerze funkcji $t\mapsto f(a+th)$ jest równa zeru. Ale pochodna ta jest tożsama z pochodną kierunkową funkcji $f$ w kierunku wektora $h$. Wobec dowolności $h$ różniczka $d_{a}f=0$.

Uwaga

Zwróćmy uwagę, że funkcja może osiągać ekstremum w punkcie, w którym nie jest różniczkowalna. Na przykład $f(x,y)=|x|+|y|$ osiąga wartość minimalną w punkcie $(0,0)$, w którym nie jest różniczkowalna. Przyjmijmy wobec tego następującą definicję.

{ [[Powtórzyć rysunek i animację am2w05.0110]]}

Definicja

Mówimy, że $a\in \mathrm{d}\mathrm{o}\mathrm{m}f$ jest punktem krytycznym funkcji $f$, jeśli $a$ należy do dziedziny różniczki funkcji $f$ i różniczka zeruje się w tym punkcie, bądź też punkt $a$ należy do dziedziny funkcji i nie istnieje różniczka $d_{a}f$.

Wniosek

Jeśli funkcja $f$ osiąga ekstremum w punkcie $a\in \mathrm{d}\mathrm{o}\mathrm{m}f$, to punkt ten jest krytyczny.

Implikacja te stanowi warunek konieczny istnienia ekstremum także w przypadku funkcji, od których nie żądamy różniczkowalności w otoczeniu wszystkich punktów dziedziny.

Wzór Taylora umożliwia -- podobnie jak w przypadku jednowymiarowym -- sformułowanie warunku wystarczającego istnienia ekstremum.

Definicja

Niech $A\in L^2(X,\mathbb{ℝ})$ będzie odwzorowaniem dwuliniowym symetrycznym określonym na $X\times X$, gdzie $X$ jest pewną przestrzenią Banacha. Mówimy, że forma

kwadratowa $X\ni h\mapsto A(h,h)$

jest

-- dodatnio określona, jeśli istnieje stała $C>0$ taka, że

$A(h,h)\ge C\Vert h{\Vert }^2,\text{ dla dowolnego wektora }h\in X$

-- ujemnie określona, jeśli istnieje stała $C>0$ taka, że

$A(h,h)\le -C\Vert h{\Vert }^2,\text{ dla dowolnego wektora }h\in X$

-- nieujemnie określona, jeśli

$A(h,h)\ge 0,\text{ dla dowolnego wektora }h\in X$

-- niedodatnio określona, jeśli

$A(h,h)\le 0,\text{ dla dowolnego wektora }h\in X$

-- nieokreślona, jeśli nie jest ani dodatnio, ani ujemnie, ani nieujemnie, ani niedodatnio określona.

Często mówimy też, że odwzorowanie dwuliniowe symetryczne $A\in L^2(X,\mathbb{ℝ})$ jest dodatnio określone (odpowiednio: ujemnie określone, nieujemnie określone, niedodatnio określone, nieokreślone), jeśli forma kwadratowa $h\mapsto A(h,h)$ jest określona dodatnio (odpowiednio: określona ujemnie, określona nieujemnie, określona niedodatnio, bądź jest nieokreślona).

Uwaga

a) Forma kwadratowa $h\mapsto A(h,h)$ jest dodatnio określona wtedy i tylko wtedy, gdy forma $h\mapsto -A(h,h)$ jest ujemnie określona.

b) Forma kwadratowa $h\mapsto A(h,h)$ jest nieujemnie określona wtedy i tylko wtedy, gdy forma $h\mapsto -A(h,h)$ jest niedodatnio określona.

c) Forma kwadratowa $h\mapsto A(h,h)$ jest nieokreślona wtedy i tylko wtedy, gdy nieokreślona jest forma $h\mapsto -A(h,h)$.

Korzystając ze wzoru Taylora wykażemy warunek wystarczający istnienia ekstremum funkcji wielu zmiennych.

Twierdzenie

Niech $f$ będzie funkcją klasy $C^2$ w otwartym otoczeniu $U$ punktu $a$. Załóżmy, że różniczka funkcji $f$ w punkcie $a$ jest równa zeru.

a) Jeśli druga różniczka $d_a^{2}f$ jest dodatnio określona, funkcja $f$ osiąga ścisłe minimum lokalne w punkcie $a$.

b) Jeśli druga różniczka $d_a^{2}f$ jest ujemnie określona, funkcja $f$ osiąga ścisłe maksimum lokalne w punkcie $a$.

c) Jeśli druga różniczka $d_a^{2}f$ jest nieokreślona, funkcja $f$

nie osiąga ekstremum w punkcie $a$.

Dowód

a) Ze wzoru Taylora (wobec założenia o pierwszej różniczce: $d_{a}f=0$) dostajemy równość prawdziwą w otoczeniu punktu $a$ na tyle małym, aby odcinek $\{a+th,0\le t\le 1\}$ był w nim zawarty.

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\aligned”): {\displaystyle \displaystyle \aligned f(a+h)&=f(a)+d_a f (h)+\frac{1}{2}d^2_{a+\theta h} f(h,h) \\&=f(a)+0+\frac{1}{2}d^2_{a+\theta h} f(h,h),\endaligned } czyli $f(a+h)-f(a)=\frac{1}{2}{d}_{a+\theta h}^{2}f(h,h),$

gdzie $0<\theta <1$ jest pewną liczbą. Jeśli forma $h\mapsto d_a^{2}f(h,h)$ jest dodatnio określona, to wobec ciągłości drugiej różniczki, również w pewnym małym otoczeniu punktu $a$ w punkcie $a+\theta h$ forma $h\mapsto d_{a+\theta h}^{2}f(h,h)$ jest dodatnio określona. Wobec tego

$f(a+h)-f(a)=\frac{1}{2}{d}_{a+\theta h}^{2}f(h,h)>0,$

czyli $f(a+h)>f(a)$ dla dowolnego niezerowego wektora $h$ z pewnego małego otoczenia punktu $0$. Oznacza to, że funkcja $f$ osiąga w tym punkcie ścisłe minimum lokalne.

b) Podobnie -- jak w punkcie a) -- wykazujemy, że funkcja $f$ osiąga ścisłe maksimum lokalne, gdy druga różniczka jest ujemnie określona w punkcie, w którym zeruje się jej pierwsza różniczka.

c) Jeśli druga różniczka $d_a^{2}f$ jest nieokreślona, to istnieją dwa wektory $h,k\in X$ takie, że $d_a^{2}f(h,h)>0$ natomiast $d_a^{2}f(k,k)<0$. Jeśli więc zacieśnimy funkcję $f$ do prostej o

kierunku $h$: $a+\mathbb{ℝ}h=\{a+th,t\in \mathbb{ℝ}\}\subset X,$

to na prostej tej w pewnym małym otoczeniu punktu $a$ (dla $t$ bliskich zeru) otrzymamy nierówność:

$f(a+th)-f(a)=\frac{1}{2}{d}_{a+\theta th}^{2}f(th,th)>0,$

natomiast na prostej o kierunku $k$:

$a+\mathbb{ℝ}k=\{a+tk,t\in \mathbb{ℝ}\}\subset X,$

dostaniemy -- podobnie w małym otoczeniu punktu $a$ -- nierówność przeciwną:

$f(a+tk)-f(a)=\frac{1}{2}{d}_{a+\theta tk}^{2}f(tk,tk)<0.$

Stąd funkcja $f$ nie osiąga w punkcie $a$ żadnego ekstremum, gdyż w dowolnie małym otoczeniu punktu $a$ przyjmuje zarówno wartości mniejsze, jak i większe od $f(a)$.

Uwaga

Twierdzenie nie rozstrzyga o istnieniu ekstremum, ani o jego typie, gdy druga różniczka $d_a^{2}f$ jest niedodatnio lub nieujemnie określona. Rozważmy trzy proste

przykłady.

Przykład

Funkcja $f(x,y)=x^4+y^4$ osiąga w punkcie $(0,0)$ ścisłe minimum lokalne równe zeru, gdyż dla dowolnego punktu $(x,y)\ne (0,0)$ mamy $f(x,y)>0$.

{ [Rysunek am2w08.0100] Wykres funkcji $f(x,y)=x^4+y^4$}

Zwróćmy uwagę, że zarówno pierwsza jak i druga różniczka funkcji $f$ w punkcie $(0,0)$ zerują się. W szczególności druga różniczka jest nieujemnie określona w każdym punkcie płaszczyzny ${\mathbb{ℝ}}^2$, gdyż dla dowolnego wektora $h=(h_1,h_2)\in {\mathbb{ℝ}}^2$ mamy

$d_{(x,y)}^2(h,h)=12(x^2{h}_1^2+y^2{h}_2^2)\ge 0.$

W szczególności

$d_{(0,0)}^2(h,h)=12(0^2{h}_1^2+0^2{h}_2^2)=0\ge 0.$

Przykład

Funkcja $f(x,y)=-x^4-y^4$ osiąga w punkcie $(0,0)$ ścisłe maksimum lokalne równe zeru, gdyż dla dowolnego punktu $(x,y)\ne (0,0)$ mamy $f(x,y)<0$.

{ [Rysunek am2w08.0110] Wykres funkcji $f(x,y)=-x^4-y^4$}

Zwróćmy uwagę, że podobnie jak w poprzednim przykładzie zarówno pierwsza jak i druga różniczka funkcji $f$ w punkcie $(0,0)$ zerują się. W szczególności druga różniczka jest niedodatnio określona w każdym punkcie płaszczyzny ${\mathbb{ℝ}}^2$, gdyż dla dowolnego wektora $h=(h_1,h_2)\in {\mathbb{ℝ}}^2$ mamy

$d_{(x,y)}^2(h,h)=-12(x^2{h}_1^2+y^2{h}_2^2)\le 0.$

W szczególności

$d_{(0,0)}^2(h,h)=-12(0^2{h}_1^2+0^2{h}_2^2)=0\le 0.$

Przykład

Funkcja $f(x,y)=x^4-y^4$ nie osiąga w punkcie $(0,0)$ żadnego ekstremum, gdyż dla dowolnego punktu $(x,0)\ne (0,0)$ mamy $f(x,0)>0$, natomiast w punktach $(0,y)\ne (0,0)$ mamy z kolei $f(0,y)<0.$

{ [Rysunek am2w08.0120] Wykres funkcji $f(x,y)=x^4-y^4$}

Zwróćmy uwagę, że podobnie jak w obu poprzednich przykładach zarówno pierwsza jak i druga różniczka funkcji $f$ zerują się w punkcie $(0,0)$. W punktach $h=(h_1,h_2)\ne (0,0)$, tj. poza początkiem układu współrzędnych, druga różniczka

$d_{(x,y)}^2(h,h)=12(x^2{h}_1^2-y^2{h}_2^2)$

jest nieokreślona, bo w punktach $(x,0)\ne (0,0)$ forma kwadratowa $h\mapsto d_{(x,y)}^{2}f$ jest dodatnia, a w punktach $(0,y)\ne (0,0)$ jest ujemna. W samym zaś punkcie $(0,0)$ forma

kwadratowa $d_{(0,0)}^2(h,h)=12(0^2{h}_1^2-0^2{h}_2^2)=0$

jest zerowa. Analiza formy kwadratowej w otoczeniu punktu $(0,0)$ pozwala nam jednak dostrzec, że zacieśnienie funkcji $f$ do prostej $y=0$ (tj. w punktach postaci $(x,0)$) jest funkcją $f(x,0)=x^4$, która na tej prostej osiąga minimum lokalne. Z kolei zacieśnienie do prostej $x=0$ (czyli w punktach postaci $(0,y)$) funkcja $f(0,y)=-y^4$ osiąga maksimum w punkcie $y=0$. Stąd funkcja $(x,y)\mapsto f(x,y)$ nie osiąga żadnego ekstremum w

punkcie $(0,0)$

Kolejne twierdzenie, które nazywamy kryterium Sylvestera, bardzo usprawnia badanie określoności drugiej różniczki w przpadku funkcji wielu zmiennych.

Niech $A=[a_{ij}]$, $i,j=1,2,\dots ,n$, będzie macierzą kwadratową symetryczną (tzn. $a_{ij}=a_{ji}$ dla dowolnych $i,j$). Niech

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\beginmatrix”): {\displaystyle \displaystyle A_k :=\det\left[\beginmatrix a_{11}\dots a_{1k}\\ \dots \dots \dots\\ a_{k1}\dots a_{kk}\endmatrix \right]}

będzie minorem głównym rzędu $k$ macierzy $A$, $k\in \{1,2,\dots ,n\}$.

Twierdzenie

(twierdzenie Sylvestera) Forma kwadratowa ${\mathbb{ℝ}}^n\in h\mapsto \sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^n{a}_{ij}{h}_i{h}_j$ zadana przez symetryczną macierz kwadratową $A=[a_{ij}]$, $i,j=1,2,\dots ,n$, jest dodatnio określona wtedy i tylko wtedy, gdy wszystkie minory główne macierzy $A$ są dodatnie, tzn. $A_k>0$

dla dowolnego $k\in \{1,2,\dots ,n\}$.

Dowód

Twierdzenia dowodzi się indukcyjnie. Niech wpierw macierz $A$ będzie złożona z jednej liczby $[a_{11}]$. Należy zauważyć, że forma $h\mapsto a_{11}{h}^2$ jest dodatnio określona wtedy i tylko wtedy, gdy $a_{11}>0$. Następnie dowodzi się implikacji, że z dodatniej określoności formy zadanej przez macierz $\tilde{A}=[a_{ij}]$, $i,j=1,2,\dots ,n-1$ wobec założenia o dodatniości minora $A_n=\det [a_{ij}]$, $i,j=1,2,\dots ,n$, wynika dodatnia określoność formy kwadratowej zadanej przez macierz $A=[a_{ij}],i,j=1,2,\dots ,n$. Szczegóły (które pomijamy) można znaleźć w podręcznikach algebry liniowej (np. Jacek Komorowski, Od liczb zespolonych do tensorów, spinorów, algebr Liego i kwadryk,

Państwowe Wydawnictwo Naukowe, Warszawa 1978 r.)

Ponieważ forma kwadratowa $h\mapsto A(h,h)$ jest ujemnie określona wtedy i tylko wtedy, gdy $h\mapsto -A(h,h)$ jest dodatnio określona, twierdzenie Sylvestera pozwala nam również stwierdzić, kiedy macierz kwadratowa zadaje formę ujemnie określoną. Mamy mianowicie

Wniosek

Jeśli $A=[a_{ij}],i,j=1,2,\dots ,n$, jest symetryczną macierzą kwadratową, to forma kwadratowa

${\mathbb{ℝ}}^n\ni h\mapsto \sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^n{a}_{ij}{h}_i{h}_j\in \mathbb{ℝ}$

jest ujemnie określona wtedy i tylko wtedy, gdy wszystkie minory rzędu nieparzystego są ujemne, a wszystkie rzędu parzystego są dodatnie, tzn. gdy

$(-1{)}^k{A}_k>0,k\in \{1,2,\dots ,n\}.$

Przykład

Wyznaczmy ekstrema funkcji

${\mathbb{ℝ}}^3\ni (x,y,z)\mapsto f(x,y,z)=(x^2+y^2+z^2{)}^2-3xyz\in \mathbb{ℝ}.$

Różniczka tej funkcji zeruje się w punktach, których współrzędne

spełniają układ równań Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\aligned”): {\displaystyle \displaystyle \left\{\aligned \frac{\partial f}{\partial x}&=0\\\frac{\partial f}{\partial y}&=0\\\frac{\partial f}{\partial z}&=0,\endaligned\right. \text{ czyli } \left\{\aligned 4(x^2+y^2+z^2)x&=3yz \\ 4(x^2+y^2+z^2)y&=3xz \\ 4(x^2+y^2+z^2)z&=3xy. \endaligned\right.}

Układ ten spełniają współrzędne pięciu punktów

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\aligned”): {\displaystyle \displaystyle \aligned P_0&=(0,0,0), \\ P_1&=\big(\frac{1}{4},\frac{1}{4},\frac{1}{4}\big), \\ P_2&=\big(\frac{1}{4},-\frac{1}{4},-\frac{1}{4}\big), \\ P_3&=\big(-\frac{1}{4},\frac{1}{4},-\frac{1}{4}\big), \\ P_4&=\big(-\frac{1}{4},-\frac{1}{4},\frac{1}{4}\big). \endaligned}

łatwo zauważyć, że w punkcie $P_0$ funkcja nie osiąga ekstremum, gdyż w dowolnie małym otoczeniu tego punktu przyjmuje zarówno wartości mniejsze jak i większe od $f(P_0)=0$. Na przykład na prostej o kierunku (1,1,1) przechodzącej przez punkt

$P_0=(0,0,0)$, tj. na zbiorze $P_0+\mathbb{ℝ}(1,1,1)=\{(t,t,t),t\in \mathbb{ℝ}\},$

funkcja

$f(t,t,t)=(t^2+t^2+t^2{)}^2-3t^3=3t^3(3t-1)$

przyjmuje w otoczeniu zera zarówno dodatnie wartości (np. gdy $t<0$) jak i ujemne (np. gdy $0<t<\frac{1}{3}$). W pozostałych czterech punktach macierz drugich pochodnych cząstkowych, która zadaje drugą różniczkę

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\beginmatrix”): {\displaystyle \displaystyle \left[\beginmatrix 4(3x^2+y^2+z^2) &8xy-3z &8xz-3y\\ 8xy-3z &4(x^2+3y^2+z^2) &8yz-3x\\ 8xz-3y &8yz-3x & 4(x^2+y^2+3z^2) \endmatrix \right] }

jest dodatnio określona. Na przykład w punkcie $P_1=(\frac{1}{4},\frac{1}{4},\frac{1}{4})$ macierz drugich pochodnych cząstkowych funkcji $f$

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\beginmatrix”): {\displaystyle \displaystyle \left[\beginmatrix \frac{5}{4} &-\frac{1}{4} &-\frac{1}{4}\\ -\frac{1}{4} &\frac{5}{4} &-\frac{1}{4}\\ -\frac{1}{4} &-\frac{1}{4} &\frac{5}{4}\endmatrix \right]}

ma wszystkie minory główne dodatnie:

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\aligned”): {\displaystyle \displaystyle \aligned A_1&=\det\left[\beginmatrix \frac{5}{4}\endmatrix \right]=\frac{5}{4}>0 \\A_2&=\det\left[\beginmatrix \frac{5}{4} &-\frac{1}{4} \\ -\frac{1}{4} &\frac{5}{4}\endmatrix \right] =\frac{1}{4^2}\det\left[\beginmatrix 5 &-1\\-1 &5\endmatrix \right]=\frac{24}{16}>0\\ \\A_3&=\det \left[\beginmatrix \frac{5}{4} &-\frac{1}{4} &-\frac{1}{4}\\ -\frac{1}{4} &\frac{5}{4} &-\frac{1}{4}\\ -\frac{1}{4} &-\frac{1}{4} &\frac{5}{4}\endmatrix \right]= \frac{1}{4^3}\det\left[\beginmatrix 5 &-1&-1\\-1 &5 &-1\\-1 &-1& 5\endmatrix \right]=\frac{108}{64}>0.\endaligned}

Stąd w punkcie $P_1$ funkcja osiąga minimum lokalne równe $f(P_1)=-\frac{3}{256}$. Podobne uzasadnienie prowadzi do wniosku, że także w pozostałych punktach $P_2$, $P_3$ oraz $P_4$ funkcja osiąga minima lokalne.

{ [[Powtórzyć rysunek i animację am2w09.0010]]}

Należy jednak wyraźnie zaznaczyć, że można w tym przykładzie zrezygnować z analizy określoności drugiej różniczki. Punkty $A_1,A_2,A_3,A_4$ leżą we wnętrzu zbioru ograniczonego poziomicą zerową funkcji $f$, precyzyjniej: leżą w obszarze, gdzie funkcja

$f$ jest ujemna. Ponieważ zbiór $\{(x,y,z)\in {\mathbb{ℝ}}^3:f(x,y,z)\le 0\}$

jest zwarty (gdyż jest domknięty i ograniczony) funkcja $f$ na mocy twierdzenia Weierstrassa o osiąganiu kresów przez funkcję ciągłą na zbiorze zwartym, musi w tych czterech punktach osiągać minima lokalne.

Uwagi o wyznaczaniu ekstremów funkcji wielu zmiennych

Badanie funkcji wielu zmiennych (w szczególności znajdywanie punktów ekstremalnych) w wielu przypadkach nie wymaga wyznaczania ani pierwszej ani drugiej różniczki funkcji. Można bowiem sprowadzić ich badanie do badania funkcji jednej zmiennej.

Rozważmy kilka przykładów, w których funkcja dwóch zmiennych jest w istocie funkcją jednej zmiennej, a mianowicie: jest funkcją odległości od początku układu współrzędnych.

Przykład

Funkcja $f(x,y)=\exp (-x^2-y^2)$ jest funkcją promienia $r=\sqrt{x^2+y^2}$, gdyż $f(x,y)=e^{-r^2}$, gdzie $r=\sqrt{x^2+y^2}$. Ponieważ funkcja $r\mapsto e^{-r^2}$ osiąga wartość największą w punkcie $r=0$ i nie osiąga żadnych więcej ekstremów na półprostej $0\le r<\mathrm{\infty }$, więc jedynym ekstremum funkcji $f(x,y)=\exp (-x^2-y^2)$ jest maksimum lokalne osiągane w punkcie $(0,0)$ (tj. $r=0$). Wówczas $f(0,0)=1$.

{ [Rysunek am2w08.0060] Wykres funkcji $f(x,y)=\exp (-x^2-y^2)$}

Przykład

Funkcja $f(x,y)=\sin (x^2+y^2)$ także jest funkcją promienia $r=\sqrt{x^2+y^2}$. Zauważmy bowiem, że

$f(x,y)=\sin (x^2+y^2)=\sin (r^2{\cos }^{}\phi +r^2{\sin }^{}\phi )=\sin (r^2)$

osiąga ekstrema w tych samych punktach, co funkcja $r\mapsto \sin (r^2)$, a więc osiąga maksima w punktach $r^2=\frac{\pi }{2}+2k\pi$ i minima w punktach $r^2=\frac{3\pi }{2}+2k\pi$, gdzie $k=0,1,2,\dots$. Innymi słowy funkcja $(x,y)\mapsto f(x,y)$ osiąga maksima w punktach należących do okręgów o równaniach

$\{(x,y)\in {\mathbb{ℝ}}^2:x^2+y^2=\frac{\pi }{2}+2k\pi \}$

oraz w punkcie $(0,0)$ (wtedy $r=0$), a minima w punktach należących do okręgów

$\{(x,y)\in {\mathbb{ℝ}}^2:x^2+y^2=\frac{3\pi }{2}+2k\pi \},$

gdzie $k$ jest dowolną liczbą całkowitą nieujemną.

{ [Rysunek am2w08.0010] Wykres funkcji $f(x,y)=\sin (x^2+y^2)$}

Przykład

Podobnie jak w poprzednim przykładzie funkcja $f(x,y)=\cos (x^2+y^2)=\cos (r^2)$, $r=\sqrt{x^2+y^2}$, osiąga maksima na okręgach o promieniach $r$ takich, ze $r^2=0+2k\pi$, czyli na okręgach

$\{(x,y)\in {\mathbb{ℝ}}^2:x^2+y^2=2k\pi \}$

natomiast minima na okręgach których promień $r$ spełnia równanie $r^2=\pi +2k\pi$, tj. na okręgach

$\{(x,y)\in {\mathbb{ℝ}}^2:x^2+y^2=(2k+1)\pi \},$

gdzie $k=0,1,2,\dots$ jest nieujemną liczbą całkowitą.

{ [Rysunek am2w08.0020] Wykres funkcji $f(x,y)=\cos (x^2+y^2)$}

Przykład

Także funkcja $f(x,y)=\ln (x^2+y^2+1)=\ln (r^2+1)$ jest funkcją promienia $r=\sqrt{x^2+y^2}$. Ponieważ funkcja $[0,\mathrm{\infty })\ni r\mapsto r^2+1\in \mathbb{ℝ}$ jest ściśle rosnąca, osiąga minimum w punkcie $r=0$. Stąd także funkcja $f(x,y)=\ln (x^2+y^2+1)$ osiąga minimum w punkcie $(x,y)=(0,0)$ (wówczas $r=0$).

{ [Rysunek am2w08.0050] Wykres funkcji $f(x,y)=\ln (x^2+y^2+1)$}

Również w wielu innych przykładach, gdy funkcja $f$ nie jest funkcją promienia, można uniknąć stosowania rachunku różniczkowego do wyznaczenia ekstremów.

Przykład

Funkcja $f(x,y)=\sin (x^2-y^2)$ osiąga maksima w punktach hiperbol

$\{(x,y)\in {\mathbb{ℝ}}^2:x^2-y^2=\frac{\pi }{2}+2k\pi \}$

a minima w punktach drugiej rodziny hiperbol

$\{(x,y)\in {\mathbb{ℝ}}^2:x^2-y^2=\frac{3\pi }{2}+2k\pi \},$

gdzie $k$ jest liczbą całkowitą.

{ [Rysunek am2w08.0030] Wykres funkcji $f(x,y)=\sin (x^2-y^2)$}

Przykład

Z kolei funkcja $f(x,y)=\cos (x^2-y^2)$ osiąga maksima w punktach hiperbol

$\{(x,y)\in {\mathbb{ℝ}}^2:x^2-y^2=2k\pi \}$

a minima w punktach drugiej rodziny hiperbol

$\{(x,y)\in {\mathbb{ℝ}}^2:x^2-y^2=(2k+1)\pi \},$

gdzie $k$ jest liczbą całkowitą.

{ [Rysunek am2w08.0040] Wykres funkcji $f(x,y)=\cos (x^2-y^2)$}

Uwaga

Przypomnijmy także, że prosta obserwacja przebiegu poziomic pozwala stwierdzić, że

{ [Rysunek am2w08.0070] Wykres funkcji $f_1(x,y)=x^2+y^2$}

-- funkcja $f_1(x,y)=x^2+y^2$ osiąga w punkcie $(0,0)$ minimum,

{ [Rysunek am2w08.0080] Wykres funkcji $f_2(x,y)=-x^2-y^2$}

-- w tym samym punkcie funkcja $f_2(x,y)=-x^2-y^2$ osiąga maksimum

{ [Rysunek am2w08.0090] Wykres funkcji $f_3(x,y)=x^2-y^2$}

-- a funkcja $f_3(x,y)=x^2-y^2$ nie osiąga w punkcie $(0,0)$ żadnego ekstremum, gdyż ma w tym punkcie wartość zero, a w dowolnie małym otoczeniu tego punktu osiąga wartości mniejsze, jak i większe od zera.

Przykład

Zauważmy, że każda z trzech funkcji

{ [Rysunek am2w08.0130] Wykres funkcji $f_1(x,y)=x^3+y^3$ }

$f_1(x,y)=x^3+y^3$

{ [Rysunek am2w08.0140] Wykres funkcji $f_2(x,y)=-x^3-y^3$}

$f_2(x,y)=-x^3-y^3$

{ [Rysunek am2w08.0150] Wykres funkcji $f_3(x,y)=x^3-y^3$}

oraz $f_3(x,y)=x^3-y^3$ ma w punkcie $(0,0)$ zerową zarówno pierwszą jak i drugą różniczkę. Żadna z nich nie ma jednak w tym punkcie ekstremum, gdyż przyjmują w dowolnie małym otoczeniu punktu $(0,0)$ zarówno wartości mniejsze jak i większe od zera.

Należy pamiętać o analizowaniu otoczenia punktów krytycznych funkcji, w których o istnieniu ekstremów nie rozstrzyga warunek wystarczający.

Przykład

Funkcja $f(x,y)=|x{|}^{\frac{2}{3}}+|y{|}^{\frac{2}{3}}$ jest ciągła na całej płaszczyźnie, nie jest jednak różniczkowalna w punktach należących do dwóch prostych: $x=0$ oraz $y=0$. Różniczka tej funkcji nie zeruje się w żadnym punkcie swojej dziedziny, tj. poza obiema prostymi $x=0$, $y=0$. Stąd zbiorem punktów krytycznych jest suma obu prostych:

$\{(x,y)\in {\mathbb{ℝ}}^2:x=0\text{ lub }y=0\}.$

Łatwo zauważyć, że jedynie w punkcie $(0,0)$ tego zbioru funkcja $f$ osiąga ekstremum, a mianowicie minimum $f(0,0)=0$.

{ [[Powtórzyć rysunek i animację am2w05.0120]]}