Matematyka dyskretna 1/Wykład 5: Współczynniki dwumianowe: Różnice pomiędzy wersjami

Wersja z 10:44, 22 sie 2006

Zliczanie podzbiorów raz jeszcze

Wiemy już, że dowolny zbiór $n$ -elementowy ma dokładnie $2^{n}$ podzbiorów. Teraz zajmiemy się pytaniem ile taki zbiór ma podzbiorów o dokładnie $k$ elementach. Policzymy zatem liczność rodziny $k$ -elemetowych podzbiorów zbioru $X$ . Rodzinę tę oznaczać będziemy przez $𝒫_{k} (X)$ .

Współczynnik dwumianowy $(\binom{n}{k})$ to liczba $k$ -elementowych podzbiorów zbioru $n$ -elementowego, tzn. Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\abs”): {\displaystyle {n\choose k} = \abs{|{\mathcal P}_k(\mathbb{Z}\integer_n)|}} . Wyrażenie $(\binom{n}{k})$ czytamy $n$ po $k$ .

foto,notka Ettinghausen

Prawdopodobnie jako pierwszy tej notacji użył Albert von Ettinghausen w 1826. Jednak liczby te już wcześniej pojawiały się wielokrotnie, choćby w Trójkącie Pascala. Sama nazwa "współczynniki dwumianowe" bierze się stąd, że liczby te pojawiają się w rozwinięciu dwumianu $(x + y)^{n}$ . Zobaczymy to dokładnie w Twierdzeniu 5.7

Przykład

Aby policzyć $(\binom{4}{2})$ wypiszmy wszystkie $2$ -elementowe podzbiory $4$ -elementowego zbioru Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\integer”): {\displaystyle \mathbb{Z}\integer_4=\set\{0,1,2,3\}} . Sa to Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\set”): {\displaystyle \set\{0,1\}} , Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\set”): {\displaystyle \set\{0,2\}} , Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\set”): {\displaystyle \set\{0,3\}} , Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\set”): {\displaystyle \set\{1,2\}} , Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\set”): {\displaystyle \set\{1,3\}} , Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\set”): {\displaystyle \set\{2,3\}} ,

skąd

(\binom{4}{2}) = 6

.

Bezpośrednio z definicji liczb $(\binom{n}{k})$ dostajemy:

Obserwacja 5.1

Dla Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\natur”): {\displaystyle n,k \in \natur \mathbb{R}} zachodzi:

$(\binom{n}{0}) = (\binom{n}{n}) = 1$ ,

$(\binom{n}{k}) = 0$ , dla $k > n$ ,

$(\binom{n}{1}) = n$ , dla $n > 0$ ,

$(\binom{n}{k}) = (\binom{n}{n - k})$ , dla $n ⩾ k ⩾ 0$ .

Dowód

Pierwszy punkt jest natychmiastową konsekwencją faktu, że dowolny zbiór $n$ -elementowy ma tylko jeden $0$ -elementowy podzbiór -podzbiór pusty i tylko jeden podzbiór $n$ -elementowy - cały zbiór.

Drugi punkt jest oczywisty, jako że zbiór $n$ -elementowy nie może mieć podzbiorów o $k > n$ elementach.

Dla dowodu trzeciego punktu, zauważmy jedynie, że podzbiorów jednoelementowych jest dokładnie tyle ile elementów w zbiorze.

Wreszcie dla dowodu ostatniego punktu załóżmy, że Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\abs”): {\displaystyle \abs|{X}|=n\geqslant k\geqslant 0} . Wtedy funkcja

𝒫_{k} (X) ∋ A \mapsto X ∖ A \in 𝒫_{n - k} (X)

jest bijekcją. A zatem istotnie $(\binom{n}{k}) = (\binom{n}{n - k})$ .

Nasza następna obserwacja stanowi fundament dla rekurencyjnej procedury obliczania współczynników dwumianowych.

Obserwacja 5.2

Dla $0 < k ⩽ n$ mamy:

(\binom{n}{k}) = (\binom{n - 1}{k - 1}) + (\binom{n - 1}{k}) .

Dowód

Podobnie jak przy budowaniu zależności rekurencyjnej przy zliczaniu wszystkich podzbiorów zbioru $n$ -elementowego załóżmy, że Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\abs”): {\displaystyle \abs|{Z}|=n} . Wtedy, po usunięciu ze zbioru $Z$ elementu $a \in Z$ dostajemy $(n - 1)$ -elementowy zbiór $Z^{'}$ . Oczywiście wszystkie $k$ -elementowe podzbiory zbioru $Z$ można podzielić na dwa typy:

albo mają w sobie element $a$ ,

albo go nie mają.

W drugim przypadku są to $k$ -elementowe podzbiory $(n - 1)$ -elementowego zbioru $Z^{'}$ . Jest więc ich dokładnie $(\binom{n - 1}{k})$ .

Każdy zaś podzbiór pierwszego typu, czyli $A \in 𝒫_{k} (Z)$ takie, że $a \in A$ jest jednoznacznie wyznaczony przez swoje pozostałe $k - 1$ elementów, czyli Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\set”): {\displaystyle A=A'\cup \set\{a\}} dla pewnego $A^{'} \in 𝒫_{k - 1} (Z^{'})$ . A zatem

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\abs”): {\displaystyle {n \choose k} = \abs{|{\mathcal P}_k(Z)|} = \abs{|{\mathcal P}_k(Z')|} + \abs{|{\mathcal P}_{k-1}(Z')|} = {n-1\choose k}+{n-1\choose k-1}. }

Trójkąt Pascala foto,notka Pascal (nazwany na cześć Blaise'a Pascala, który napisał znakomitą rozprawę o współczynnikach dwumianowych) bazuje na własności $(\binom{n}{k}) = (\binom{n - 1}{k - 1}) + (\binom{n - 1}{k})$ i ustawia liczby w następujący sposób:

wiersze trójkąta numerowane są kolejnymi liczbami naturalnymi

$n = 0, 1, 2, \dots$ ,

w każdym wierszy trójkąta występuje dokładnie $n + 1$ liczb.

Są to kolejno $(\binom{n}{0}), (\binom{n}{1}), (\binom{n}{2}), \dots, (\binom{n}{n - 1}), (\binom{n}{n})$


					$(\binom{0}{0})$
				$(\binom{1}{0})$		$(\binom{1}{1})$
			$(\binom{2}{0})$		$(\binom{2}{1})$		$(\binom{2}{2})$
		$(\binom{3}{0})$		$(\binom{3}{1})$		$(\binom{3}{2})$		$(\binom{3}{3})$
	$(\binom{4}{0})$		$(\binom{4}{1})$		$(\binom{4}{2})$		$(\binom{4}{3})$		$(\binom{4}{4})$
$(\binom{5}{0})$		$(\binom{5}{1})$		$(\binom{5}{2})$		$(\binom{5}{3})$		$(\binom{5}{4})$		$(\binom{5}{5})$
	...		...		...		...		...

Przesunięcie w wierszach, pozwala wyliczyć $(\binom{n}{k})$ jako sumę $(\binom{n - 1}{k - 1}) + (\binom{n - 1}{k})$ dwu liczb stojących bezpośrednio nad $(\binom{n}{k})$ :

Uzupelnij tytul
					1
				1		1
			1		2		1
		1		3		3		1
	1		4		6		4		1
1		5		10		10		5		1
	...		...		...		...		...

{{przyklad||| Napisz program drukujący trójkąt Pascala, ale z liczbami $(\binom{n}{k})$ modulo $2$ , tzn. w miejsce $(\binom{n}{k})$ wstaw jedynie resztę $0$ lub $1$ z dzielenia liczby $(\binom{n}{k})$ przez $2$ . Zaobserwuj na wydruku powstały fraktal. Wyjaśnij dlaczego tak się dzieje.

Rys. 4.1 Szkic na kartce.

W trójkącie Pascala współczynniki o tym samym górnym indeksie, np.

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\krot”): {\displaystyle \left \langle \krot{4\choose0},{4\choose1},{4\choose2},{4\choose3},{4\choose4}\right \rangle =\left \langle \krot{1,4,6,4,1}\right \rangle }

tworzą wiersz; natomiast współczynniki o ustalonym dolnym indeksie, np.

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\krot”): {\displaystyle \left \langle \krot{5\choose5},{6\choose5},{7\choose5},{8\choose5},\ldots}\right \rangle =\left \langle \krot{1,6,21,56,\ldots}\right \rangle }

tworzą przekątną.

Trójkat Pascala ma zera na obrzeżach, a jego wiersze są symetryczne względem pionowej osi przebiegającej przez środek trójkąta. Jest to konsekwencja obserwacji 5.1. Współczynniki dwumianowe spełniają bardzo wiele ciekawych zależności. Wymienimy tylko te najważniejsze. Zaczniemy od wzoru w postaci zwartej.

Obserwacja 5.3

Dla dowolnych $0 ⩽ k ⩽ n$

(\binom{n}{k}) = \frac{n!}{(n - k)! k!} .

Dowód

Podamy dwa dowody: kombinatoryczny i indukcyjny.

Dowód kombinatoryczny. Ustalmy pewien $n$ -elementowy zbiór $X$ , i wybierajmy po kolei $k$ różnych jego elementów, tzn. utwórzmy injekcję Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\integer”): {\displaystyle \mathbb{Z}\integer_k \map X} . Z wykładu o zliczaniu zbiorów i funkcji wiemy, ze takich injekcji jest $\frac{n!}{(n - k)!}$ . W wyniku takiego wyboru, dostajemy wszakże pewien uporządkowany ciąg $k$ elementów zbioru $X$ . Wiele takich ciągów wyznacza ten sam $k$ -elementowy podzbiór zbioru $X$ . Ciągi takie różnią sie jedynie kolejnością elementów, a zatem jest ich tyle ile permutacji zbioru $k$ -elemetowego, czyli $k!$ . Zatem jest dokładnie

\frac{n (n - 1) \cdot \dots \cdot (n - k + 1)}{k!} = \frac{n!}{(n - k)! k!}

podzbiorów $k$ -elementowych zbioru $n$ -elementowego.

Dowód indukcyjny. Indukcję poprowadzimy względem górnego indeksu $n$ . Dla $n = 0$ mamy tylko jeden interesujący nas współczynnik $(\binom{0}{0}) = 1$ , i rzeczywiście $\frac{0!}{(0 - 0)! 0!} = 1$ . Załóżmy zatem, że wszystkie współczynniki w $n$ -tym wierszu spełniają wzór z tezy i rozważmy $(\binom{n + 1}{k})$ dla Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\set”): {\displaystyle k\in\set\{0,\ldots,n+1\}} . Jeśli $k = 0$ to $(\binom{n + 1}{k}) = 1 = \frac{n!}{(n - 0)! 0!}$ . Załóżmy więc, że $k > 0$ . Wtedy:

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\aligned”): {\displaystyle \aligned{n+1\choose k}&=&{n\choose k-1}+{n\choose k}\\ &=&\frac{n!}{(n-k+1)!(k-1)!}+\frac{n!}{(n-k)!k!}\\ &=&\frac{n!}{(n-k)!(k-1)!}\cdot\left(\frac{1}{n-k+1}+\frac{1}{k}\right)\\ &=&\frac{n!}{(n-k)!(k-1)!}\cdot\frac{k+(n-k+1)}{(n-k+1)k}\\ &=&\frac{(n+1)!}{(n-k+1)!k!}. \endaligned}

Przykład

(\binom{15}{3}) = \frac{15!}{(15 - 3)! 3!} = \frac{13 \cdot 14 \cdot 15}{2 \cdot 3} = 13 \cdot 7 \cdot 5 = 455 .

Przykład

Wyobraźmy sobie, że znajdujemy się w mieście zbudowanym na planie prostopadle przecinających się ulic. Powiedzmy, że znajdujemy się w punkcie $A$ i chcemy dojść do punktu $B$ , tak jak zaznaczono na rysunku.

4.2 Szkic na kartce.

Łatwo zauważyć, że jest wiele najkrótszych dróg prowadzących z $A$ do $B$ . Dla przykładu: możemy pójść $3$ razy na północ i potem cały czas na wschód, ale także możemy iść najpierw $6$ razy na na wschód i dopiero wtedy skręcić na północ.

Ile jest najkrótszych dróg z $A$ do $B$ ?

Zauważmy, że każda najkrótsza droga biegnie przez dokładnie $9$ skrzyżowań (licząc skrzyżowanie w punkcie $A$ i nie licząc skrzyżowania w punkcie $B$ ). Na każdym takim skrzyżowaniu musimy podjąć decyzję, czy pójść na wschód czy na północ, przy czym musimy iść dokładnie $3$ razy na północ i dokładnie $6$ razy na wschód.

4.3 Szkic na kartce.

Zatem liczba najkrótszych dróg z $A$ do $B$ to liczba wyborów spośród $9$ skrzyżowań, trzech, na których pójdziemy na północ, bądź $6$ na których pójdziemy na wschód. A zatem liczba ta wynosi $(\binom{9}{3}) = (\binom{9}{6}) = 94$ .

W ogólności załóżmy, że mamy kratkę $m \times n$ i chcemy narysować najkrótszą łamaną po krawędziach kratki łączącą lewy dolny wierzchołek z prawym górnym. Na ile sposobów możemy narysować taką łamaną?

Widzimy, że musimy narysować $m + n$ odcinków jednostkowych, z których dokładnie $m$ jest pionowych i dokładnie $n$ jest poziomych. Zatem jest

(\binom{m + n}{m}) = (\binom{m + n}{n}) = \frac{(m + n)!}{m! n!}

sposobów połączenia dwóch przeciwległych wierzchołków.

Przykład

Ile rozwiązań ma równanie

x_{0} + x_{1} + x_{2} + x_{3} + x_{4} = 7,

gdzie $x_{i}$ są liczbami naturalnymi?

Użyjmy kratki rozważanej w poprzednim przykładzie do połączenia przeciwległych jej rogów. W kratce rozmiaru $4 \times 7$ suma poziomych odcinków daje $7$ i jest dokładnie $5$ takich odcinków, po jednym na każdym poziomie. Jeśli długości tych odcinków oznaczymy odpowiednio przez $x_{0}, x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}$ , to każda taka droga (łamana) na kratce ustala pewne rozwiązanie naszego równania, i każde rozwiązanie równania wyznacza dokładnie jedna drogę (łamaną). Dla przykładu:

4.4 Szkic na kartce.

4.5 Szkic na kartce.

Zatem istnieje $(\binom{7 + 4}{4}) = 330$ rozwiązań naszego równania.

W ogólności, równanie

x_{0} + x_{1} + \dots + x_{k - 1} = n,

ma dokładnie tyle rozwiązań w liczbach naturalnych gdzie

x_{i}

, ile jest łamanych w kratce

k \times n

, czyli

(\binom{n + k - 1}{n}) = (\binom{n + k - 1}{k - 1})

.

Przykład

Ile rozwiązań ma równanie

x_{0} + \dots + x_{k - 1} = n,

gdzie $x_{i}$ są dodatnimi liczbami naturalnymi?

Zauważmy, że każde rozwiązanie tego równania z warunkami $x_{i} ⩾ 1$ , można otrzymać z rozwiązania w liczbach naturalnych równania

y_{0} + \dots + y_{k - 1} = n - k,

poprzez podstawienie $x_{i} = y_{i} + 1$ . Na podstawie poprzedniego przykładu poszukiwanych rozwiązań jest zatem $(\binom{n - 1}{k - 1})$ . Rozważmy $n$ obiektów (np. punktów) ustawionych w ciągu jeden przy drugim.

6.1 Szkic na kartce.

Separatorem nazywamy pionową kreskę położoną pomiędzy dwoma punktami. Zatem pomiędzy $n$ punktami mamy $n - 1$ możliwych pozycji dla separatora. Zauważmy, że każde rozwiązanie naszego równania jednoznacznie odpowiada jednemu z możliwych rozmieszczeń $k - 1$ separatorów wśród $n - 1$ pozycji. Liczba punktów do pierwszego separatora to wartość $x_{0}$ , liczba punktów pomiędzy pierwszym a drugim separatorem to $x_{1}$ , itd., liczba punktów za ostatnim $k - 1$ -szym separatorem to $x_{k - 1}$ . Dla przykładu:

6.2 Szkic na kartce.

Na odwrót każde rozwiązanie $x_{0}, x_{1}, \dots, x_{k - 1}$ naszego równania wyznacza jednoznacznie rozłożenie $k - 1$ separatorów: pierwszy kładziemy po $x_{0}$ punktach, drugi po $x_{0} + x_{1}$ , itd.

Zatem liczba rozwiązań naszego równania to liczba rozmieszczeń

k - 1

separatorów na

n - 1

pozycjach, czyli

(\binom{n - 1}{k - 1})

.

Przykład

Rozważmy znów kratkę, tym razem kwadratową, wielkości $n \times n$ , i policzmy na ile sposobów można w jej wnętrzu narysować prostokąt tak, aby wszystkie jego boki były równoległe do krawędzi kratki?

Rys. 4.11 Szkic na kartce.

Zauważmy, że każdy taki prostokąt jest jednoznacznie wyznaczony przez dwie linie poziome (spośród $n + 1$ ) oraz dwie linie pionowe (znów spośród $n + 1$ ). Rzeczywiście, dowolny prostokąt wyznacza dwie linie poziome i dwie pionowe (te przylegające do jego boków). I na odwrót dowolny wybór linii pozwoli nam nakreślić jednoznacznie prostokąt w kratce.

Poziome linie możemy wybrać na $(\binom{n + 1}{2})$ sposobów i pionowe linie także na $(\binom{n + 1}{2})$ sposobów. Zatem prostokąt w kratce $n \times n$ możemy narysować na dokładnie

{(\binom{n + 1}{2})}^{2} = {(\frac{n (n + 1)}{2})}^{2}

sposobów. W przykładowej kratce na rysunku wymiarów

5 \times 5

możemy więc umieścić

{(\frac{5 (5 + 1)}{2})}^{2} = 225

prostokątów.

Przechodzimy teraz do kolejnych własności współczynników dwumianowych. Rozpoczniemy od sumowania liczb na przekątnej trójkąta Pascala. Przekątna taka jest oczywiście nieskończona - sumujemy więc tylko jej początkowy fragment.

Obserwacja 5.4 [reguła sumowania po górnym indeksie]

Dla Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\natur”): {\displaystyle n,k\in\natur\mathbb{N}} mamy

\sum_{i = 0}^{n} (\binom{i}{k}) = (\binom{n + 1}{k + 1}) .

4.6 Szkic na kartce.

Dowód

Ustalmy $(n + 1)$ -elementowy zbiór Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\set”): {\displaystyle X=\set\{x_0,\ldots,x_n\}} Rozważając jego $(k + 1)$ -elementowe podzbiory zwracamy uwagę na element tego podzbioru, który ma największy indeks. Oczywiście jest $i ⩾ k$ , gdyż Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\set”): {\displaystyle X=\set\{x_0,\ldots,x_{k-1}\}} nie ma $(k + 1)$ -elementowych podzbiorów. Równie łatwo jest zauważyć, że jest dokładnie jeden podzbiór $(k + 1)$ -elementowy w którym $x_{k}$ jest elementem o najwyższym indeksie, jest to zbiór Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\set”): {\displaystyle \set\{x_0,\ldots,x_{k-1}\}} .

Policzmy teraz podzbiory zbioru $X$ , w których $x_{i}$ jest elementem o największym indeksie, przy czym $i > k$ . Oprócz elementu $x_{i}$ każdy taki zbiór ma dokładnie $k$ elementów wybranych z $i$ -elementowego zbioru Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\set”): {\displaystyle \set\{x_0,\ldots,x_{i-1}\}} . Wyboru tych elementów można dokonać na $(\binom{i}{k})$ sposobów. Zatem podzbiorów zbioru $X$ , w których $x_{i}$ jest elementem o największym indeksie jest dokładnie $(\binom{i}{k})$ . Sumując po wszystkich możliwych $i$ , czyli Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\set”): {\displaystyle i\in\set\{k,\ldots,n\}} otrzymujemy:

\sum_{i = 0}^{n} (\binom{i}{k}) = \sum_{i = k}^{n} (\binom{i}{k}) = (\binom{n + 1}{k + 1}) .

Podobnie możemy sumować liczby położone na linii "prostopadłej" do przekątnych Trójkąta Pascala, czyli liczby postaci $(\binom{n + i}{i})$ .

Obserwacja 5.5 [reguła sumowania równoległego]

Dla Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\natur”): {\displaystyle n,k\in\natur\mathbb{N}} mamy:

\sum_{i = 0}^{k} (\binom{n + i}{i}) = (\binom{n + k + 1}{k}) .

4.7 Szkic na kartce.

Dowód

Tożsamość tę udowodnimy wykorzystując dwukrotnie {regułę symetrii} oraz {regułę sumowania po górnym indeksie}:

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\aligned”): {\displaystyle \aligned\sum_{i=0}^{k}{n+i\choose i}&=&\sum_{i=0}^k{n+i\choose (n+i)-i} =\sum_{i=0}^k{n+i\choose n} =\sum_{i=n}^{n+k}{i\choose n}\\ &=&{n+k+1\choose n+1}={n+k+1\choose k}. \endaligned}

Obserwacja 5.6 [tożsamość Cauchy'ego, splot Vandermonde'a]

Dla liczb naturalnych $m, n, k$ mamy:

\sum_{i = 0}^{k} (\binom{m}{i}) (\binom{n}{k - i}) = (\binom{m + n}{k}) .

Dowód

Policzymy liczbę wszystkich wyborów $k$ osób z grona $m$ mężczyzn i $n$ kobiet, czyli liczbę $(\binom{m + n}{k})$ na jeszcze jeden sposób. Wybierając $k$ osób wybieramy najpierw $i$ mężczyzn na $(\binom{m}{i})$ sposobów, a potem $k - i$ kobiet na $(\binom{n}{k - i})$ sposobów. Pozostaje teraz zsumować po wszystkich możliwych wartościach parametru $i$ .

Dwumiany

Poniższe Twierdzenie o Dwumianie wyjaśnia pochodzenie tajemniczej nazwy "współczynniki dwumianowe". Twierdzenie to często przypisuje się Pascalowi. Tymczasem było ono już znane indyjskiemu matematykowi Pingala w III wieku p.n.e..

Obserwacja 5.7 [Twierdzenie o Dwumianie]

Dla $x, y \in ℝ$ i $n \in ℕ$

(x + y)^{n} = \sum_{i = 0}^{n} (\binom{n}{i}) x^{i} y^{n - i} .

Dowód

Przedstawmy najpierw potęgę $(x + y)^{n}$ w rozwiniętej formie iloczynu:

\underset{n r a z y}{\underset{⏟}{(x + y) \cdot \dots \cdot (x + y)}} .

Korzystając z rozdzielności mnożenia, wyrażenie to staje się sumą składników. Każdy taki składnik to iloczyn pewnej liczby $x$ -ów i pewnej liczby $y$ -ów, przy czym łącznie iloczyn taki ma $n$ czynników. A zatem każdy składnik ma postać $x^{k} y^{n - k}$ . Powstaje on poprzez wybór $k$ (spośród $n$ ) czynników w iloczynie $(x + y) \cdot \dots \cdot (x + y)$ , z których do składnika postaci $x^{k} y^{n - k}$ wchodzi $x$ (a tym samym $(n - k)$ składników, z których wchodzi $y$ ). Tym samym składników postaci $x^{k} y^{n - k}$ jest tyle, ile $k$ -elementowych podzbiorów zbioru $n$ -elementowego, czyli $x^{k} y^{n - k}$ pojawi się w sumie $(\binom{n}{k})$ -krotnie.

Twierdzenie o Dwumianie można też udowodnić za pomocą indukcji, co pozostawiamy jako ćwiczenie.

Przykład

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\aligned”): {\displaystyle \aligned(a+b)^2&=&a^2+2ab+b^2,\\ (a+b)^3&=&a^3+3a^2b+3ab^2+b^3,\\ (a+b)^4&=&a^4+4a^3b+6a^2b^2+4ab^3+b^4. \endaligned}

Wniosek 5.8

Dla dowolnego $n ⩾ 0$

$(1 + x)^{n} = \sum_{i = 0}^{n} (\binom{n}{i}) x^{i}$ ,

$(\binom{n}{0}) + (\binom{n}{1}) + \dots + (\binom{n}{n}) = 2^{n}$ ,

$(\binom{n}{0}) - (\binom{n}{1}) + \dots + (- 1)^{n} (\binom{n}{n}) = 0^{n}$ . (Uwaga: $(\binom{0}{0}) = 1 = 0^{0}$ )

4.8 Szkic na kartce.

Dowód

Wszystkie punkty wynikają trywialnie z Twierdzenia o Dwumianie. (Pierwszy jest oczywisty. Dla dwu pozostałych zauważmy jedynie, że $(1 + 1)^{n} = 2^{n}$ , $(1 - 1)^{n} = 0$ .) Jednak drugi i trzeci punkt mają ładną interpretację kombinatoryczną.

Istotnie, liczba podzbiorów zbiorów $n$ elementowego to $2^{n}$ . Z drugiej strony licząc te podzbiory, możemy kolejno zliczać podzbiory $0, 1, 2, \dots$ -elementowe - jest ich $(\binom{n}{0}), (\binom{n}{1}), (\binom{n}{2}), \dots$ .

Nieco dłuższy jest argument kombinatoryczny dla naprzemiennej sumy $(\binom{n}{0}) - (\binom{n}{1}) + \dots + (- 1)^{n} (\binom{n}{n}) = 0$ . Dla $n = 0$ jest to oczywiste. Natomiast dla $n > 0$ jest to równoważne stwierdzeniu, że dla $n$ -elementowego zbioru $X$

liczba podzbiorów zbioru $X$ o parzystej liczbie elementów jest równa liczbie podzbiorów $X$ o nieparzystej liczbie elementów.

Załóżmy najpierw, że $n$ jest nieparzyste. Wtedy każdy podzbiór zbioru $X$ o parzystej liczbie elementów ma dopełnienie o nieparzystej liczbie elementów, a każdy podzbiór zbioru $X$ o nieparzystej liczbie elementów ma dopełnienie o parzystej liczbie elementów. Ta bijektywna odpowiedniość dowodzi, że w istocie jest ich tyle samo.

Załóżmy zatem, że $n$ jest parzyste i ustalmy $x \in X$ . Zdefiniujmy funkcję Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\map”): {\displaystyle f:\mathcal{P}(X)\map\mathcal{P}(X)} , kładąc

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\set”): {\displaystyle f(Y)= \begin{cases} (X - Y)-\set\{x\} \mbox{, jeśli } {x}\not\in {Y}\subseteq {X},}\\ (X - Y)\cup\set\{x\} \mbox{, jeśli } {x}\in {Y}\subseteq {X}. \end{cases}}

Zauważmy, że $f$ jest permutacją $𝒫 (X)$ . Rzeczywiście, dla różnych podzbiorów $Y_{1}, Y_{2} \subseteq X$ mamy:

jeśli $x \notin Y_{1}$ i $x \notin Y_{2}$ to

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\set”): {\displaystyle f(Y_1)=(X-Y_1)-\set\{x\}=X-Y_1\neq X-Y_2=(X-Y_2)-\set\{x\}=f(Y_2), }

jeśli $x \in Y_{1}$ i $x \in Y_{2}$ to

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\set”): {\displaystyle f(Y_1)=(X-Y_1)\cup\set\{x\}\neq(X-Y_1)\cup\set\{x\}=f(Y_2), }

jeśli $x \in Y_{1}$ i $x \notin Y_{2}$ to $x \in f (Y_{1})$ i $x \notin f (Y_{2})$ , zatem $f (Y_{1}) \neq f (Y_{2})$ .

To dowodzi, że $f$ jest injekcją. Dla dowodu surjektywności weźmy dowolne $Z \subseteq X$ . Jeśli $x \in Z$ to Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\set”): {\displaystyle f((X-Z)\cup\set\{x\})=Z} , jeśli zaś $x \notin Z$ to Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\set”): {\displaystyle f((X-Z)-\set\{x\})=Z} . Zatem $f$ jest permutacją zbioru $𝒫 (X)$ . Co więcej łatwo zauważyć, że dla $Y$ o parzystej (nieparzystej) liczbie elementów $f (Y)$ ma nieparzystą (parzystą) liczbę elementów. To dowodzi, że dla parzystego $n$ podzbiorów $X$ o parzystej liczbie elementów jest tyle samo co podzbiorów $X$ o nieparzystej liczbie elementów.

Uogólniony współczynnik dwumianowy

Wniosek 5.8 pozwala na ustalenie wartość sumy całego wiersza w Trójkącie Pascala i wartość naprzemiennej sumy całego wiersza Trójkąta Pascala. W praktyce często pojawia się konieczność (naprzemiennego) sumowania tylko pewnego fragmentu takiego wiersza.Do tego pomocne mogłyby być sumy postaci:

\begin{array}{lclc} \sum_{i = 0}^{m} (\binom{n}{i}) & = (\binom{n}{0}) + (\binom{n}{1}) + \dots + (\binom{n}{m}) & (*) \\ \sum_{i = 0}^{m} (- 1)^{i} (\binom{n}{i}) & = (\binom{n}{0}) - (\binom{n}{1}) + \dots + (- 1)^{m} (\binom{n}{m}) & (* *) \end{array}

dla $0 ⩽ m < n$ .

Niestety nie jest znana żadna zwarta postać $(*)$ . Zaskakująca jest natomiast zwarta postać modyfikacji tej sumy polegającej na wymnożeniu każdego składnika przez jego odległość od środka trójkąta. Indukcyjny dowód tak powstałej zależności pozostawiamy jako ćwiczenie.

Obserwacja 5.9

Dla $m, n ⩾ 0$

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\brackets”): {\displaystyle \sum_{i=0}^m\brackets{\frac{n}{2}-i}\cdot{n\choose i}=\frac{m+1}{2}{n\choose m+1}. }

Natomiast naprzemienna częściowa suma $(* *)$ wiersza Trójkąta Pascala ma postać zwartą. Wyprowadzenie takiej postaci odwołuje się do uogólnienia współczynnika dwumianowego na dowolne rzeczywiste indeksy górne, i dowolne całkowite indeksy dolne. Wykorzystuje to poznane już przy okazji rachunku róznicowego pojęcie dolnej silni $r^{\underline{k}}$ .

Uogólniony współczynnik dwumianowy $(\binom{r}{k})$ dla $r \in ℝ$ i $k \in ℤ$ to:

(\binom{r}{k}) = {\begin{cases} \frac{r (r - 1) \cdot \dots \cdot (r - k + 1)}{k (k - 1) \cdot \dots \cdot 1} = \frac{r^{\underline{k}}}{k!}, & dla k ⩾ 0, \\ 0, & dla k < 0 . \end{cases}

Zauważmy, że w istocie dla Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\natur”): {\displaystyle r,k\in\mathbb{N}\natur} wartości $(\binom{r}{k})$ pozostają niezmienione. Oczywiście, dla Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\natur”): {\displaystyle r\in\mathbb{N}\natur} , interpretacja $(\binom{r}{k})$ jako $k$ -elementowych liczby podzbiorów zbioru $r$ -elementowego pozostaje w mocy. Nie jest natomiast znana sensowna kombinatoryczna interpretacja uogólnionego współczynnika dwumianowego dla pozostałych rzeczywistych wartosci $r$ . Odnotujmy tylko, że $(\binom{r}{k})$ jest wielomianem $k$ -tego stopnia zmiennej $r$ . Sporo własności współczynnika dwumianowego przenosi się na wersję uogólnioną. Poniższe zostawiamy bez dowodu jako ćwiczenie.

Obserwacja 5.10

Dla $r \in ℝ ℜ$ i Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\integer”): {\displaystyle k\in\mathbb{Z}\integer} mamy

$(\binom{r}{0}) = 1$ ,

$(\binom{r}{1}) = r$ ,

$(\binom{r}{2}) = \frac{r (r - 1)}{2}$ ,

$(\binom{- 1}{k}) = (- 1)^{k + 1}$ , dla $k ⩾ 0$ .

Przykład

Z uwagi na to, że w indeksie dolnym mogą występować jedynie liczby całkowite, nie ma sensu {reguła symetrii} $(\binom{r}{k}) = (\binom{r}{k - 1})$ . Ale nawet dla całkowitych wartości $r$ zawodzi:

(\binom{- 1}{k}) \neq (\binom{- 1}{- 1 - k}), dla dowolnych k .

jeśli $k < 0$ , to $(\binom{- 1}{k}) \neq (\binom{- 1}{- 1 - k}) = (- 1)^{- 1 - k + 1}$ ,

jeśli $k ⩾ 0$ , to $(\binom{- 1}{k}) = (- 1)^{k + 1} \neq 0 = (\binom{- 1}{- 1 - k})$ .

Zachowana jest natomiast {reguła dodawania}.

Obserwacja 5.11

Dla $r \in ℝ ℜ$ i Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\integer”): {\displaystyle k\in\mathbb{Z}\integer}

(\binom{r}{k}) = (\binom{r - 1}{k}) + (\binom{r - 1}{k - 1}) .

Dowód

Dla ujemnych wartości $k$ wszystkie współczynniki równe są $0$ i tożsamość trywialnie zachodzi. Niech teraz $r \in ℝ ℜ$ i $k ⩾ 0$ . Oczywiście różnica

(\binom{r}{k}) - (\binom{r - 1}{k}) - (\binom{r - 1}{k - 1})

jest wielomianem co najwyżej $k$ . Może więc, o ile nie jest wielomianem stale równym zero, mieć co najwyżej $k$ miejsc zerowych. Z drugiej strony wiemy już, że ta różnica zeruje się dla wszystkich liczb naturalnych $r$ , więc musi być zawsze równa $0$ .

Uogólniona reguła dodawania z Obserwacji 5.11 pozwala rozszerzyć Trójkąt Pascala na współczynniki o ujemnych wartościach górnego indeksu.

Rys. 4.9 Szkic na kartce.

Kolejne wartości "ujemnej części" możemy wyliczać w następującej kolejności:

(\binom{- 1}{0}), (\binom{- 2}{0}), (\binom{- 1}{1}), (\binom{- 3}{0}), (\binom{- 2}{1}), (\binom{- 1}{2}), \dots .

Przyjrzyjmy się wartościom $(\binom{n}{k})$ dla ustalonego $k$ i całkowitych wartości $n$ . Zauważalny jest pewien rodzaj symetrii między tymi wartościami. W istocie zachodzi on dla wszystkich rzeczywistych wartości górnego indeksu.

Obserwacja 5.12 [reguła negacji górnego indeksu]

Dla $r \in ℝ ℜ$ , Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\integer”): {\displaystyle k\in\mathbb{Z}\integer} :

(- 1)^{k} (\binom{r}{k}) = (\binom{k - r - 1}{k}) .

Dowód

Policzymy wartość obu stron po uprzednim wymnożeniu przez wspólny mianownik $k!$ :

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\aligned”): {\displaystyle \aligned(-1)^k r^{\underline{k}} &=&(-1)^k r(r-1)\cdot\ldots\cdot(r-k+1)\\ &=&(-r)(1-r)\cdot\ldots\cdot(k-1-r)\\ &=&(k-r-1)^{\underline{k}}. \endaligned}

Znaną nam już z Obserwacji 5.5 regułę równoległego sumowania możemy uogólnić za pomocą argumentu podobnego do użytego w dowodzie Obserwacji 5.11.

Obserwacja 5.13

Dla $r \in ℝ ℜ$ , Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\integer”): {\displaystyle k\in\mathbb{Z}\integer}

\sum_{i ⩽ k} (\binom{r + i}{i}) = (\binom{r + k + 1}{k}) .

Zauważmy, że rozważana suma jest tylko pozornie nieskończona, gdyż dla wszystkich ujemnych wartości $i$ odpowiednie składniki zerują się. W dalszych ciągu przyjmiemy będziemy również rozważać podobne sumy "nieskończone", ale przy założeniu, że tylko skończenie wiele składników jest niezerowych.

Wyposażeni w regułę negacji górnego indeksu wracamy teraz my do naprzemiennej, cześciowej sumy wierszy w Trójkącie Pascala, czyli do $(* *)$ .

Obserwacja 5.14

Dla $r \in ℝ ℜ$ , Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\integer”): {\displaystyle m\in\mathbb{Z}\integer}

\sum_{i ⩽ m} (- 1)^{i} (\binom{r}{i}) = (- 1)^{m} (\binom{r - 1}{m}) .

Dowód

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\aligned”): {\displaystyle \aligned\sum_{i\leqslant m}(-1)^i{r\choose i} &=&\sum_{i\leqslant m}{i-r-1\choose i} \qquad\textrm{z reguły negacji górnego indeksu}\\ &=&{-m+r\choose m} \qquad\qquad\textrm{z Obserwacji 5.13}\\ &=&(-1)^m{r-1\choose m}. \qquad\textrm{z reguły negacji górnego indeksu} \endaligned}

Przedstawimy teraz tożsamość, której później użyjemy do zliczenia pewnych, szczególnych permutacji. Zaczniemy od pomocniczej obserwacji.

Obserwacja 5.15 [przestawienie trójmianowe]

Dla $r \in ℝ ℜ$ , Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\integer”): {\displaystyle i,j\in\mathbb{Z}\integer}

(\binom{r}{i}) (\binom{i}{j}) = (\binom{r}{j}) (\binom{r - j}{i - j}) .

Dowód

Zauważmy, że dla $i < j$ obie strony równości się zerują. Także dla $i < 0$ teza jest trywialna. Zatem możemy założyć, że $0 ⩽ i < j$ . Wtedy:

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\aligned”): {\displaystyle \aligned{r\choose i}{i\choose j}&=&\frac{r^{\underline{i}}}{i!}\cdot\frac{i^{\underline{j}}}{j!}\\ &=&\frac{r(r-1\cdot\ldots\cdot(r-i+1))}{i!}\cdot\frac{i(i-1)\cdot\ldots\cdot(i-j+1)}{j!}\\ &=&\frac{r(r-1)\cdot\ldots\cdot(r-j+1)}{j!}\cdot\frac{(r-j)(r-j-1)\cdot\ldots\cdot(r-i+1)}{(i-j)!}\\ &=&{r\choose j}{r-j\choose i-j}. \endaligned}

Obserwacja 5.16 [reguła odwracania]

Dla funkcji Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\integer”): {\displaystyle f,g:\mathbb{Z}\integer\map\mathbb{R}\real}

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\integer”): {\displaystyle f(n)=\sum_{i\in\mathbb{Z}\integer}{n\choose i}(-1)^ig(i) }

wtedy i tylko wtedy, gdy

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\integer”): {\displaystyle g(n)=\sum_{i\in\mathbb{Z}\integer}{n\choose i}(-1)^if(i). }

Dowód

Z uwagi na symetrię założeń wystarczy udowodnić tylko jedne implikację. Zakładamy zatem, że Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\integer”): {\displaystyle f(n)=\sum_{i\in\mathbb{Z}\integer}{n\choose i}(-1)^ig(i)} by dostać:

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\aligned”): {\displaystyle \aligned\sum_i{n\choose i}(-1)^if(i) &=&\sum_{i\in\mathbb{Z}\integer}{n\choose i}(-1)^i\sum_{j\in\mathbb{Z}\integer}{i\choose j}(-1)^jg(j)\\ &=&\sum_{j\in\mathbb{Z}\integer} g(j)\sum_{i\in\mathbb{Z}\mathbb{Z}\integer}{n\choose i}{i\choose j}(-1)^{i+j}\\ &=&\sum_{j\in\mathbb{Z}\integer} g(j)\sum_{i\in\mathbb{Z}\mathbb{Z}\integer} {n\choose j}{n-j\choose i-j}(-1)^{i+j}\\ &=&\sum_{j\in\mathbb{Z}\integer} g(j){n\choose j}\sum_{i\in\mathbb{Z}\integer} {n-j\choose i-j}(-1)^{i+j}\\ &=&\sum_{j\in\mathbb{Z}\integer} g(j){n\choose j}\sum_{i\in\mathbb{Z}\integer} {n-j\choose i}(-1)^i, \endaligned}

gdzie druga równość wynika ze zmiana kolejności sumowania, trzecia z przestawienia trójmianowego, a ostatnia przez podstawienie $i : = i + j$ .

Z Wniosku 5.8 wiemy, że suma Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\integer”): {\displaystyle \sum_{i\in\mathbb{Z}\integer}{n-j\choose i}(-1)^i} jest niezerowa (i wynosi $1$ ) tylko dla $j = n$ . Zatem kontynuując:

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\aligned”): {\displaystyle \aligned&=&\sum_{j\in\mathbb{Z}\integer} g(j){n\choose j}\sum_{i\in\mathbb{Z}\integer}{n-j\choose i}(-1)^i\\ &=&g(n){n\choose n} = g(n). \endaligned}

Permutacje bez punktów stałych

Nieporządek na zbiorze $X$ to permutacja Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\map”): {\displaystyle \alpha:X\map X} taka, że $α (x) \neq x$ dla dowolnego $x \in X$ , czyli permutacja "bez punktów stałych".

Podsilnia liczby $n$ , w skrócie Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\fPodsilnia”): {\displaystyle \fPodsilnia{n}} , to liczba nieporządków zbioru $n$ -elementowego. Przyjmujemy, że Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\fPodsilnia”): {\displaystyle \fPodsilnia{0}=1} , jako ze jedyna permutacja zbioru pustego - funkcja pusta - w oczywisty sposób nie ma punktów stałych.

Przykład

Zbiór Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\integer”): {\displaystyle \mathbb{Z}\integer_4=\set\{0,1,2,3\}} ma $4! = 24$ permutacje, ale tylko $9$ z nich to nieporządki. Oto ich lista:

\begin{array}{cccccccccccccc} 0 & 1 & 2 & 3 & 0 & 1 & 2 & 3 & 0 & 1 & 2 & 3 \\ ↓ & ↓ & ↓ & ↓ & ↓ & ↓ & ↓ & ↓ & ↓ & ↓ & ↓ & ↓ \\ 1 & 0 & 3 & 2 & 1 & 2 & 3 & 0 & 1 & 3 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 2 & 3 & 0 & 1 & 2 & 3 & 0 & 1 & 2 & 3 \\ ↓ & ↓ & ↓ & ↓ & ↓ & ↓ & ↓ & ↓ & ↓ & ↓ & ↓ & ↓ \\ 2 & 0 & 3 & 1 & 2 & 3 & 0 & 1 & 2 & 3 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 2 & 3 & 0 & 1 & 2 & 3 & 0 & 1 & 2 & 3 \\ ↓ & ↓ & ↓ & ↓ & ↓ & ↓ & ↓ & ↓ & ↓ & ↓ & ↓ & ↓ \\ 3 & 0 & 1 & 2 & 3 & 2 & 0 & 1 & 3 & 2 & 1 & 0 \end{array}

Obserwacja 5.17

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\fPodsilnia”): {\displaystyle \fPodsilnia{n} = n!\sum_{i=0}^n\frac{(-1)^i}{i!}} .

Dowód

Zauważmy najpierw, że liczba permutacji $α$ zbioru $n$ -elementowego takich, że $α (x) \neq x$ dla dokładnie $i$ elementów $x \in X$ wynosi Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\fPodsilnia”): {\displaystyle {n\choose i}\fPodsilnia{i}} . Stąd:

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\fPodsilnia”): {\displaystyle n!= \sum_{i=0}^n {n\choose i}\fPodsilnia{i} =\sum_{i=0}^n (-1)^i{n\choose i}(-1)^i\fPodsilnia{i}. }

Aplikując teraz regułę odwracania dostajemy:

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\aligned”): {\displaystyle \aligned\fPodsilnia{n}&=&\sum_{i=0}^n(-1)^{n-i}{n\choose i}i!\\ &=&\sum_{i=0}^n(-1)^{n-i}\frac{n!}{(n-i)!}\\ &=&n!\sum_{i=0}^n\frac{(-1)^i}{i!}. \endaligned}

Współczynniki multimianowe

Współczynniki dwumianowe pojawiały się przy rozwinięciu dwumianu $(x + y)^{n}$ . Odpowiadały one wyborom dwuwartościowym. Podobnie rozważając trójmian $(x + y + z)^{n}$ , czy ogólnie $(x_{1} + \dots + x_{r})^{n}$ , pojawią się współczynniki odpowiadające wyborom odpowiedni trój- i $r$ -wartościowym. Wybieranie podzbioru $k$ -elementowego ze zbioru $n$ -elementowego to podział zbioru na dwie części o odpowiednio $k$ i $n - k$ elementach. Naturalnym uogólnieniem, będzie podział zbioru $n$ -elementowego na $r$ części o odpowiednio $k_{1}, k_{2}, \dots, k_{r}$ elementach, przy czym oczywiście $k_{1} + \dots k_{r} = n$ .

Współczynnik multimianowy $(\binom{n}{k_{1}, k_{2} \dots, k_{r}})$ , dla Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\natur”): {\displaystyle n\in\mathbb{Z}\natur} , $r ⩾ 2$ oraz całkowitych $k_{1}, \dots, k_{r}$ takich, że $k_{1} + \dots k_{r} = n$ , to liczba sposobów umieszczenia $n$ obiektów w $r$ pudełkach z odpowiednio $k_{1}$ obiektami w pierwszym pudełku, $k_{2}$ w drugim, itd., oraz $k_{r}$ w $r$ -tym. Jeśli którakolwiek z liczb $k_{i}$ jest ujemna to współczynnik jest równy $0$ . Zauważmy, że z uwagi na symetrię dolnych indeksów, ich kolejność nie jest istotna. Oczywiście $(\binom{n}{k})$ to w nowej notacji $(\binom{n}{k, n - k})$ .

Następna obserwacja wynika wprost z definicji współczynników multimianowych.

Obserwacja 5.18

Dla Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\natur”): {\displaystyle n\in\mathbb{Z}\natur} , Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\integer”): {\displaystyle k,l,k_1,\ldots,k_r\in\mathbb{Z}\integer} takich, że $k_{1} + \dots k_{r} = n = k + l$ zachodzi:

$(\binom{n}{n, 0, \dots, 0}) = 1$ ,

$(\binom{n}{1, 1, \dots, 1}) = 1$ ,

$(\binom{n}{0, k_{1}, \dots, k_{r}}) = (\binom{n}{k_{1}, \dots, k_{r}})$ ,

$(\binom{n}{l, l, 0, \dots, 0}) = (\binom{n}{k}) = (\binom{n}{l})$ ,

$(\binom{n}{k_{1}, \dots, k_{r}}) = (\binom{n}{k_{σ (1)}, \dots, k_{σ (r)}})$ , dla dowolnej permutacji $σ$ zbioru Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\set”): {\displaystyle \set\{1,2,\ldots,r\}} .

Następna obserwacja wymaga krótkiego uzasadnienia.

Obserwacja 5.19

Dla $n, k_{1}, \dots, k_{r} ⩾ 0$ takich, że $k_{1} + \dots + k_{r} = n$

(\binom{n}{k_{1}, \dots, k_{r}}) = (\binom{n}{k_{1}}) (\binom{n - k_{1}}{k_{2}}) (\binom{n - (k_{1} + k_{2})}{k_{3}}) \cdot \dots \cdot (\binom{n - (k_{1} + \dots + k_{r - 1})}{k_{r}}) .

Dowód

Rozmieszczenie $n$ -obiektów w $r$ pudełkach po $k_{i}$ w każdym, polega na:

wyborze $k_{1}$ obiektów spośród wszystkich $n$ i umieszczeniu ich w pierwszym pudełku - możemy to uczynić na $(\binom{n}{k_{1}})$ sposobów,

wyborze $k_{2}$ obiektów spośród pozostałych $n - k_{1}$ i umieszczeniu ich w drugim pudełku - możemy to uczynić na $(\binom{n - k_{1}}{k_{2}})$ sposobów,

wyborze $k_{3}$ obiektów spośród pozostałych $n - (k_{1} + k_{2})$

i umieszczeniu ich w trzecim pudełku - możemy to uczynić na $(\binom{n - (k_{1} + k_{2})}{k_{3}})$ sposobów,

...

wyborze $k_{r}$ obiektów spośród pozostałych $n - (k_{1} + \dots + k_{r - 1}) = k_{r}$ i umieszczeniu ich w ostatnim pudełku - możemy to uczynić na $(\binom{n - (k_{1} + \dots + k_{r - 1})}{k_{r}}) = (\binom{k_{r}}{k_{r}}) = 1$ sposobów.

Zatem wszystkich możliwych rozmieszczeń zgodnie z wymogami z definicji

współczynnika multimianowego jest dokładnie

(\binom{n}{k_{1}}) (\binom{n - k_{1}}{k_{2}}) (\binom{n - (k_{1} + k_{2})}{k_{3}}) \cdot \dots \cdot (\binom{n - (k_{1} + \dots + k_{r - 1})}{k_{r}})

.

Wniosek 5.20

Dla $n, k_{1}, \dots, k_{r} ⩾ 0$ takich, że $k_{1} + \dots + k_{r} = n$

(\binom{n}{k_{1}, \dots, k_{r}}) = \frac{n!}{k_{1}! \cdot \dots \cdot k_{r}!} .

Dowód

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\aligned”): {\displaystyle \aligned{n\choose k_1,\ldots,k_r} &=&{n\choose k_1}{n-k_1\choose k_2}{n-(k_1+k_2)\choose k_3}\cdot\ldots\cdot{n-(k_1+\ldots+k_{r-1})\choose k_r}\\ &=&\frac{n!}{(n-k_1)!k_1!}\cdot\frac{(n-k_1)!}{(n-(k_1+k_2))!k_2!} \cdot\ldots\cdot\frac{(n-(k_1+\ldots+k_{r-1}))!}{(n-(k_1+\ldots+k_r))!k_r!}\\ &=&\frac{n!}{k_1!\cdot\ldots\cdot k_r!\cdot(n-(k_1+\ldots+k_r))!}\\ &=&\frac{n!}{k_1!\cdot\ldots\cdot k_r!}. \endaligned}

Przykład

Ile liczb możemy ułożyć zapisując w dowolnej kolejności $11$ cyfr: $1, 1, 3, 4, 5, 5, 5, 6, 7, 7, 9$ ?

Zauważmy, że każda taka liczba powstaje przez wybór dwu pozycji dla cyfry $1$ , jednej dla cyfry $3$ , jednej dla cyfry $4$ , trzech dla cyfry $5$ , jednej dla cyfry $6$ , dwu dla cyfry $7$ i wreszcie jednej pozycji dla cyfry $9$ . Zatem $11$ pozycji to nasze obiekty, które rozmieszczamy w siedmiu pudełkach etykietowanych cyframi: $1, 3, 4, 5, 6, 7, 9$ . Zatem z definicji współczynnika multimianowego mamy:

(\binom{11}{2, 1, 1, 3, 1, 2, 1}) = \frac{11!}{2! \cdot 3! \cdot 2!} = 1663200 .

Przykład

Rozważmy raz jeszcze podróż w mieście o ulicach na planie siatki. Tym razem jednak... $3$ -wymiarową wersję. Mamy więc do dyspozycji trójwymiarową, prostopadłościenną kratownicę $a \times b \times c$ . Na ile sposobów można połączyć przeciwległe wierzchołki prostopadłoscianu najkrótszą możliwą łamaną Zauważmy, że każda najkrótsza możliwa łamana składa się z dokładnie $a + b + c$ odcinków jednostkowych. Przy czym dokładnie $a$ z nich jest poziomych, $b$ pionowych i $c$ idzie w głąb. Zatem najkrótszych łamanych jest tyle co rozmieszczeń $a + b + c$ odcinków (obiekty) w $3$ pudełkach: "poziomy", "pionowy", "w głąb" tak, by w było ich odpowiednio $a, b$ i $c$ . Z definicji współczynnika multimianowego mamy zatem:

(\binom{a + b + c}{a, b, c}) = \frac{(a + b + c)!}{a! b! c!},

łamanych.

Kratka z rysunku o wymiarach $3 \times 4 \times 2$ ma zatem: $(\binom{9}{3, 4, 2}) = \frac{9!}{3! \cdot 4! \cdot 2!} = 420$ interesujących nas łamanych.

Współczynniki multimianowe także zachowują pewną regułę dodawania.

Obserwacja 5.21

Dla $n > 0$ , całkowitych $k_{1}, \dots, k_{r}$ takich, że $k_{1} + \dots + k_{r} = n$

(\binom{n}{k_{1}}) = (\binom{n - 1}{k_{1} - 1, k_{2}, \dots, k_{r}}) + (\binom{n - 1}{k_{1}, k_{2} - 1, \dots, k_{r}}) + \dots + (\binom{n - 1}{k_{1}, k_{2}, \dots, k_{r} - 1}) .

Dowód

Ponieważ $n > 0$ , możemy wybrać i ustalić ulubiony obiekt $x$ . Możemy go umieścić w jednym z $r$ pudełek. Jeśli jednak umieścimy go w pierwszym, to pozostałe $n - 1$ obiektów musimy rozłożyć do $r$ pudeł zgodnie z warunkami wyjściowymi, ale do pierwszej szuflady mamy włożyć już $1$ obiekt mniej ( $k_{1} - 1$ a nie $k_{1}$ ). Rozłożenia tego możemy dokonać na $(\binom{n}{k_{1} - 1, k_{2}, \dots, k_{r}})$ . Analogicznie gdy $x$ umieścimy w drugim pudle, to pozostałe przedmioty rozkładamy w pudłach odpowiednio po $k_{1}, k_{2} - 1, k_{3}, \dots, k_{r}$ . Po przesumowaniu po numerach pudła, w którym jest $x$ dostajemy nasz wzór.

Jako ćwiczenie pozostawiamy dowód następującego uogólnienia wzoru dwumiennego:

Obserwacja 5.22

(x_{1} + \dots + x_{r})^{n} = \sum_{k_{1} + \dots + k_{r} = n} (\binom{n}{k_{1}, \dots, k_{r}}) x_{1}^{k_{1}} x_{2}^{k_{2}} \dots x_{r}^{k_{r}} .

@@ Linia 759: / Linia 759: @@
 ==Współczynniki multimianowe==
 Współczynniki dwumianowe pojawiały się przy rozwinięciu dwumianu <math>(x+y)^n</math>.
 Odpowiadały one wyborom dwuwartościowym.
@@ Linia 771: / Linia 772: @@
 oczywiście <math>k_1+\ldots k_r=n</math>.
-{Współczynnik multimianowy} <math>{n\choose k_1,k_2\ldots,k_{r}}</math>,
+{{kotwica|wspolmulti|'''Współczynnik multimianowy'''}} <math>{n\choose k_1,k_2\ldots,k_{r}}</math>, dla <math>n\in\mathbb{Z}\natur</math>, <math>r\geqslant2</math> oraz całkowitych <math>k_1,\ldots,k_r</math> takich, że <math>k_1+\ldots k_r=n</math>, to liczba sposobów umieszczenia <math>n</math> obiektów w <math>r</math> pudełkach z odpowiednio <math>k_1</math> obiektami w pierwszym pudełku, <math>k_2</math> w drugim, itd., oraz <math>k_r</math> w <math>r</math>-tym. Jeśli którakolwiek z liczb <math>k_i</math> jest ujemna to współczynnik jest równy <math>0</math>.
-dla <math>n\in\mathbb{Z}\natur</math>, <math>r\geqslant2</math>
+Zauważmy, że z uwagi na symetrię dolnych indeksów, ich kolejność nie jest istotna. Oczywiście <math>{n \choose k}</math> to w nowej notacji <math>{n \choose k,n-k}</math>.
-oraz całkowitych <math>k_1,\ldots,k_r</math> takich, że <math>k_1+\ldots k_r=n</math>,
-to liczba sposobów umieszczenia <math>n</math> obiektów w <math>r</math> pudełkach z odpowiednio
-<math>k_1</math> obiektami w pierwszym pudełku, <math>k_2</math> w drugim, itd.,
-oraz <math>k_r</math> w <math>r</math>-tym.
-Jeśli którakolwiek z liczb <math>k_i</math> jest ujemna to współczynnik jest równy <math>0</math>.
-Zauważmy, że z uwagi na symetrię dolnych indeksów,
-ich kolejność nie jest istotna.
-Oczywiście <math>{n \choose k}</math> to w nowej notacji <math>{n \choose k,n-k}</math>.
 Następna obserwacja wynika wprost z definicji współczynników multimianowych.
-{{obserwacja|18|obs 18| Dla <math>n\in\mathbb{Z}\natur</math>, <math>k,l,k_1,\ldots,k_r\in\mathbb{Z}\integer</math> takich, że <math>k_1+\ldots k_r=n= k+l</math>
+{{obserwacja|5.18|obs 5.18|
-zachodzi:
+Dla <math>n\in\mathbb{Z}\natur</math>, <math>k,l,k_1,\ldots,k_r\in\mathbb{Z}\integer</math> takich, że <math>k_1+\ldots k_r=n= k+l</math> zachodzi:
 * <math>{n\choose n,0,\ldots,0}=1</math>,
@@ Linia 795: / Linia 788: @@
 * <math>{n\choose l,l,0,\ldots,0}={n\choose k}={n\choose l}</math>,
-* <math>{n\choose k_1,\ldots,k_r} = {n\choose k_{\sigma(1)},\ldots,k_{\sigma(r)}}</math>,
+* <math>{n\choose k_1,\ldots,k_r} = {n\choose k_{\sigma(1)},\ldots,k_{\sigma(r)}}</math>, dla dowolnej permutacji <math>\sigma</math> zbioru <math>\set\{1,2,\ldots,r\}</math>.
-dla dowolnej permutacji <math>\sigma</math> zbioru <math>\set\{1,2,\ldots,r\}</math>.
 }}
@@ Linia 802: / Linia 794: @@
 Następna obserwacja wymaga krótkiego uzasadnienia.
-{{obserwacja|19|obs 19| Dla <math>n,k_1,\ldots,k_r\geqslant0</math> takich, że <math>k_1+\ldots+k_r=n</math>
+{{obserwacja|5.19|obs 5.19|
+Dla <math>n,k_1,\ldots,k_r\geqslant0</math> takich, że <math>k_1+\ldots+k_r=n</math>
 <center><math>{n\choose k_1,\ldots,k_r}
@@ Linia 808: / Linia 802: @@
 \cdot\ldots\cdot{n-(k_1+\ldots+k_{r-1})\choose k_r}.
 </math></center>
 }}
-{{dowod|[Uzupelnij]||
+{{dowod|||
 Rozmieszczenie <math>n</math>-obiektów w <math>r</math> pudełkach po <math>k_i</math> w każdym, polega na:
-* wyborze <math>k_1</math> obiektów spośród wszystkich <math>n</math>
+* wyborze <math>k_1</math> obiektów spośród wszystkich <math>n</math> i umieszczeniu ich w pierwszym pudełku - możemy to uczynić na <math>{n\choose k_1}</math> sposobów,
-i umieszczeniu ich w pierwszym pudełku
--- możemy to uczynić na <math>{n\choose k_1}</math> sposobów,
-* wyborze <math>k_2</math> obiektów spośród pozostałych <math>n-k_1</math>
+* wyborze <math>k_2</math> obiektów spośród pozostałych <math>n-k_1</math> i umieszczeniu ich w drugim pudełku - możemy to uczynić na <math>{n-k_1\choose k_2}</math> sposobów,
-i umieszczeniu ich w drugim pudełku
--- możemy to uczynić na <math>{n-k_1\choose k_2}</math> sposobów,
 * wyborze <math>k_3</math> obiektów spośród pozostałych <math>n-(k_1+k_2)</math>
-i umieszczeniu ich w trzecim pudełku
+i umieszczeniu ich w trzecim pudełku - możemy to uczynić na <math>{n-(k_1+k_2)\choose k_3}</math> sposobów,
--- możemy to uczynić na <math>{n-(k_1+k_2)\choose k_3}</math> sposobów,
 * ...
-* wyborze <math>k_r</math> obiektów spośród pozostałych <math>n-(k_1+\ldots+k_{r-1})=k_r</math>
+* wyborze <math>k_r</math> obiektów spośród pozostałych <math>n-(k_1+\ldots+k_{r-1})=k_r</math> i umieszczeniu ich w ostatnim pudełku - możemy to uczynić na <math>{n-(k_1+\ldots+k_{r-1})\choose k_r}={k_r\choose k_r}=1</math> sposobów.
-i umieszczeniu ich w ostatnim pudełku
--- możemy to uczynić na <math>{n-(k_1+\ldots+k_{r-1})\choose k_r}={k_r\choose k_r}=1</math> sposobów.
 Zatem wszystkich możliwych rozmieszczeń zgodnie z wymogami z definicji
-współczynnika multimianowego jest dokładnie
+współczynnika multimianowego jest dokładnie <math>{n\choose k_1}{n-k_1\choose k_2}{n-(k_1+k_2)\choose k_3} \cdot\ldots\cdot{n-(k_1+\ldots+k_{r-1})\choose k_r}</math>.}}
-<math>{n\choose k_1}{n-k_1\choose k_2}{n-(k_1+k_2)\choose k_3}
-\cdot\ldots\cdot{n-(k_1+\ldots+k_{r-1})\choose k_r}</math>.
+{{wniosek|5.20|wn 5.20|
-}}
+Dla <math>n,k_1,\ldots,k_r\geqslant0</math> takich, że <math>k_1+\ldots+k_r=n</math>
-{{obserwacja|20|wni 20| Dla <math>n,k_1,\ldots,k_r\geqslant0</math> takich, że <math>k_1+\ldots+k_r=n</math>
 <center><math>{n\choose k_1,\ldots,k_r}=\frac{n!}{k_1!\cdot\ldots\cdot k_r!}.
 </math></center>
 }}
-{{dowod|[Uzupelnij]||
+{{dowod|||
 <center><math>\aligned{n\choose k_1,\ldots,k_r}
@@ Linia 855: / Linia 843: @@
 &=&\frac{n!}{k_1!\cdot\ldots\cdot k_r!}.
 \endaligned</math></center>
 }}
-{{przyklad|[Uzupelnij]||
+{{przyklad|||
 Ile liczb możemy ułożyć zapisując w dowolnej kolejności <math>11</math> cyfr: <math>1,1,3,4,5,5,5,6,7,7,9</math>?
-Zauważmy, że każda taka liczba
+Zauważmy, że każda taka liczba powstaje przez wybór dwu pozycji dla cyfry <math>1</math>, jednej dla cyfry <math>3</math>, jednej dla cyfry <math>4</math>, trzech dla cyfry <math>5</math>, jednej dla cyfry <math>6</math>, dwu dla cyfry <math>7</math> i wreszcie jednej pozycji dla cyfry <math>9</math>. Zatem <math>11</math> pozycji to nasze obiekty, które rozmieszczamy w siedmiu pudełkach  etykietowanych cyframi: <math>1,3,4,5,6,7,9</math>. Zatem z definicji współczynnika multimianowego mamy:
-powstaje przez wybór dwu pozycji dla cyfry <math>1</math>,
-jednej dla cyfry <math>3</math>,
-jednej dla cyfry <math>4</math>,
-trzech dla cyfry <math>5</math>,
-jednej dla cyfry <math>6</math>,
-dwu dla cyfry <math>7</math>
-i wreszcie jednej pozycji dla cyfry <math>9</math>.
-Zatem <math>11</math> pozycji to nasze obiekty,
-które rozmieszczamy w siedmiu pudełkach  etykietowanych cyframi: <math>1,3,4,5,6,7,9</math>.
-Zatem z definicji współczynnika multimianowego mamy:
 <center><math>{11\choose 2,1,1,3,1,2,1}=\frac{11!}{2!\cdot3!\cdot2!}=1663200.
 </math></center>
 }}
-{{przyklad|[Uzupelnij]||
+{{przyklad|||
+Rozważmy raz jeszcze podróż w mieście o ulicach na planie siatki. Tym razem jednak... <math>3</math>-wymiarową wersję. Mamy więc do dyspozycji trójwymiarową, prostopadłościenną kratownicę <math>a\times b\times c</math>.
+Na ile sposobów można połączyć przeciwległe wierzchołki prostopadłoscianu
+najkrótszą możliwą łamaną Zauważmy, że każda najkrótsza możliwa łamana składa się z dokładnie <math>a+b+c</math> odcinków jednostkowych. Przy czym dokładnie <math>a</math> z nich jest poziomych, <math>b</math> pionowych i <math>c</math> idzie w głąb. Zatem najkrótszych łamanych jest tyle co rozmieszczeń <math>a+b+c</math> odcinków (obiekty) w <math>3</math> pudełkach: "poziomy", "pionowy", "w głąb" tak, by w było ich odpowiednio <math>a,b</math> i <math>c</math>. Z definicji współczynnika multimianowego mamy zatem:
-Rozważmy raz jeszcze podróż w mieście o ulicach na planie siatki.
-Tym razem jednak... <math>3</math>-wymiarową wersję.
-Mamy więc do dyspozycji trójwymiarową, prostopadłościenną kratownicę
-<math>a\times b\times c</math>.
-Na ile sposobów można połączyć przeciwległe wierzchołki prostopadłoscianu
-najkrótszą możliwą łamaną
-Zauważmy, że  każda najkrótsza możliwa łamana składa się
-z dokładnie <math>a+b+c</math> odcinków jednostkowych.
-Przy czym dokładnie <math>a</math> z nich jest poziomych,
-<math>b</math> pionowych i <math>c</math> idzie w głąb.
-Zatem najkrótszych łamanych jest tyle co rozmieszczeń <math>a+b+c</math> odcinków (obiekty)
-w <math>3</math> pudełkach: "poziomy", "pionowy", "w głąb"
-tak, by w było ich odpowiednio <math>a,b</math> i <math>c</math>.
-Z definicji współczynnika multimianowego mamy zatem:
 <center><math>{a+b+c\choose a,b,c}=\frac{(a+b+c)!}{a!b!c!},
 </math></center>
 łamanych.
 Kratka z rysunku o wymiarach <math>3\times4\times2</math> ma zatem:
 <math>{9\choose3,4,2}=\frac{9!}{3!\cdot4!\cdot2!}=420</math> interesujących nas łamanych.
 }}
@@ Linia 907: / Linia 877: @@
 Współczynniki multimianowe także zachowują pewną regułę dodawania.
-{{obserwacja|21|obs 21| Dla <math>n>0</math>, całkowitych <math>k_1,\ldots,k_r</math> takich, że <math>k_1+\ldots+k_r=n</math>
+{{obserwacja|5.21|obs 5.21|
+Dla <math>n>0</math>, całkowitych <math>k_1,\ldots,k_r</math> takich, że <math>k_1+\ldots+k_r=n</math>
 <center><math>{n\choose k_1}={n-1\choose k_1-1,k_2,\ldots,k_r}+{n-1\choose k_1,k_2-1,\ldots,k_r}+\ldots+{n-1\choose k_1,k_2,\ldots,k_r-1}.
 </math></center>
 }}
-{{dowod|[Uzupelnij]||
+{{dowod|||
+Ponieważ <math>n>0</math>, możemy wybrać i ustalić ulubiony obiekt <math>x</math>. Możemy go umieścić w jednym z <math>r</math> pudełek. Jeśli jednak umieścimy go w pierwszym, to pozostałe <math>n-1</math> obiektów musimy rozłożyć do <math>r</math> pudeł zgodnie z warunkami wyjściowymi, ale do pierwszej szuflady mamy włożyć już <math>1</math> obiekt mniej (<math>k_1-1</math> a nie <math>k_1</math>). Rozłożenia tego możemy dokonać na <math>{n\choose k_1-1,k_2,\ldots,k_r}</math>. Analogicznie gdy <math>x</math> umieścimy w drugim pudle, to pozostałe przedmioty rozkładamy w pudłach odpowiednio po <math>k_1, k_2-1, k_3,\ldots,k_r</math>. Po przesumowaniu po numerach pudła, w którym jest <math>x</math> dostajemy nasz wzór.
-Ponieważ <math>n>0</math>, możemy wybrać i ustalić ulubiony obiekt <math>x</math>.
-Możemy go umieścić w jednym z <math>r</math> pudełek.
-Jeśli jednak umieścimy go w pierwszym,
-to pozostałe <math>n-1</math> obiektów musimy rozłożyć do <math>r</math> pudeł
-zgodnie z warunkami wyjściowymi,
-ale do pierwszej szuflady mamy włożyć już <math>1</math> obiekt mniej (<math>k_1-1</math> a nie <math>k_1</math>).
-Rozłożenia tego możemy dokonać na <math>{n\choose k_1-1,k_2,\ldots,k_r}</math>.
-Analogicznie gdy <math>x</math> umieścimy w drugim pudle,
-to pozostałe przedmioty rozkładamy w pudłach odpowiednio po <math>k_1, k_2-1, k_3,\ldots,k_r</math>.
-Po przesumowaniu po numerach pudła, w którym jest <math>x</math> dostajemy nasz wzór.
 }}
 Jako ćwiczenie pozostawiamy dowód następującego uogólnienia wzoru dwumiennego:
-{{obserwacja|22|obs 22|
+{{obserwacja|5.22|obs 5.22|
 <center><math>(x_1+\ldots +x_r)^n
@@ Linia 936: / Linia 900: @@
 {n \choose k_1,\ldots,k_r} x_1^{k_1} x_2^{k_2}\ldots x_r^{k_r}.
 </math></center>
 }}

Matematyka dyskretna 1/Wykład 5: Współczynniki dwumianowe: Różnice pomiędzy wersjami

Wersja z 10:44, 22 sie 2006

Spis treści

Zliczanie podzbiorów raz jeszcze

Dwumiany

Uogólniony współczynnik dwumianowy

Permutacje bez punktów stałych

Współczynniki multimianowe

Menu nawigacyjne

Działania na stronie

Opcje strony

Narzędzia osobiste

Nawigacja

Szukaj

Narzędzia