Analiza matematyczna 1/Wykład 2: Funkcje elementarne

2. Funkcje elementarne

Przypominamy własności funkcji znanych ze szkoły (funkcja liniowa, homograficzna, wielomianowa, wykładnicza, funkcje trygonometryczne). Definiujemy funkcje hiperboliczne. Rozważamy podstawowe własności funkcji odwrotnych.

2.1. Funkcje różnowartościowe. Funkcje monotoniczne

Z wykładu z teorii mnogości wiemy, że funkcja różnowartościowa jest bijekcją na swój zbiór wartości. Wiemy także, że relacja odwrotna do bijekcji $f:X\mapsto f(X)$ jest funkcją i to funkcją różnowartościową określoną na $f(X)$ o wartościach w zbiorze $X$.

Definicja 2.1.

Niech $A\subset X$ i niech $f:X\mapsto Y$. Zacieśnieniem (inaczej: zawężeniem lub restrykcją) funkcji $f$ do zbioru $A$ nazywamy funkcję $f_{|A}:A\mapsto Y$ równą funkcji $f$ na zbiorze $A$, tzn. $\mathrm{\forall }x\in A:f_{|A}(x)=f(x)$.

Definicja 2.2.

Niech $f:X\mapsto Y$ będzie funkcją. Mówimy, że funkcja $g:Y\mapsto X$ jest funkcją odwrotną do funkcji $f$, jeśli dla dowolnego elementu $x\in X$ zachodzi równość $g(f(x))=x$ i dla dowolnego elementu $y\in Y$ zachodzi równość $f(g(y))=y$.

Funkcję odwrotną do funkcji $f:X\mapsto Y$ będziemy oznaczać często symbolem $f^{-1}:Y\mapsto X$, o ile nie prowadzi to do nieporozumienia. Należy odróżniać pojęcie funkcji odwrotnej od odwrotności funkcji, gdzie przez odwrotność funkcji $f:X\mapsto \mathbb{ℝ}$ rozumiemy funkcję $\frac{1}{f}:X\ni x\mapsto \frac{1}{f(x)}\in \mathbb{ℝ}$.

Uwaga 2.3.

Niech $f,g:\mathbb{ℝ}\mapsto \mathbb{ℝ}$ będą funkcjami jednej zmiennej. Jeśli $g$ jest funkcją odwrotną do $f$, to w prostokątnym układzie współrzędnych $XOY$ wykres funkcji $g$ jest obrazem wykresu funkcji $f$ w symetrii osiowej względem prostej $y=x$.

Definicja 2.4.

Mówimy, że funkcja $f:\mathbb{ℝ}\mapsto \mathbb{ℝ}$ jest rosnąca (odpowiednio: ściśle rosnąca) w przedziale $(a,b)$, jeśli

$\mathrm{\forall }x,y\in (a,b):x<y⟹f(x)\le f(y)$

(odpowiednio: $\mathrm{\forall }x,y\in (a,b):x<y⟹f(x)<f(y).$)

Definicja 2.5.

Mówimy, że funkcja $f:\mathbb{ℝ}\mapsto \mathbb{ℝ}$ jest malejąca (odpowiednio: ściśle malejąca) w przedziale $(a,b)$, jeśli

$\mathrm{\forall }x,y\in (a,b):x<y⟹f(x)\ge f(y)$

(odpowiednio: $\mathrm{\forall }x,y\in (a,b):x<y⟹f(x)>f(y).$)

Definicja 2.6.

Mówimy, że funkcja jest monotoniczna w przedziale, jeśli w tym przedziale jest rosnąca albo malejąca.

Przykład 2.7.

Funkcja $x\mapsto \mathrm{t}\mathrm{g}x$ rośnie w każdym z przedziałów postaci $(-\frac{\pi }{2}+k\pi ,\frac{\pi }{2}+k\pi )$ nie jest jednak rosnąca w sumie przedziałów $(-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2})\cup (\frac{\pi }{2},\frac{3\pi }{2})$. Weźmy bowiem np. argumenty $x=\frac{\pi }{4}$, $y=\frac{3\pi }{4}$. Wówczas $x<y$, ale $\mathrm{t}\mathrm{g}x=1>-1=\mathrm{t}\mathrm{g}y$.

Uwaga 2.8

Jeśli $g:(c,d)\mapsto (a,b)$ jest funkcją odwrotną do funkcji $f:(a,b)\mapsto (c,d)$, to
a) jeśli $f$ jest rosnąca, to $g$ jest także rosnąca;
b) jeśli $f$ jest malejąca, to $g$ jest również malejąca.
Krótko: funkcja odwrotna do funkcji rosnącej jest rosnąca, a odwrotna do malejącej - malejąca.

2.2. Przegląd funkcji jednej zmiennej rzeczywistej

Definicja 2.9.

Niech $a,b$ będą dowolnymi liczbami rzeczywistymi.

Funkcję $x\mapsto ax+b$ nazywamy funkcją afiniczną.

Rysunek am1w02.0010

Uwaga 2.10.

a) Wykresem funkcji afinicznej jest prosta.
b) Funkcja $f(x)=ax+b$ jest ściśle rosnąca, gdy $a>0$ i ściśle malejąca, gdy $a<0$. Jest bijekcją zbioru $\mathbb{ℝ}$ na zbiór $\mathbb{ℝ}$, gdy $a\ne 0$.
c) Funkcja odwrotna do funkcji afinicznej jest funkcją afiniczną.
d) Złożenie funkcji afinicznych jest funkcją afiniczną.

Definicja 2.11.

Niech $a,b,c,d$ będą dowolnymi liczbami rzeczywistymi takimi,że $ad-bc\ne 0$. Funkcję

$x\mapsto \frac{ax+b}{cx+d}$ nazywamy funkcją homograficzną lub - krótko - homografią.

Rysunek am1w02.0030

Uwaga 2.12.

a) Funkcja afiniczna jest szczególnym przypadkiem funkcji homograficznej.
b) Wykresem funkcji homograficznej $f$ jest prosta (jeśli $f$ jest afiniczna) lub hiperbola (jeśli $f$ nie jest afiniczna).
c) Funkcja odwrotna do homografii jest homografią.
d) Złożenie homografii jest homografią.

Definicja 2.13.

Niech $a$ będzie stałą, niech $n=0,1,2,3,...$ będzie liczbą całkowitą nieujemną, a $x$ - zmienną. Wyrażenie algebraiczne $a{x}^n$ nazywamy jednomianem zmiennej $x$. Jeśli $a\ne 0$,to liczbę $n$ nazywamy stopniem jednomianu $a{x}^n$.

Sumę $w(x)=0_0+a_{1}x+a_2{x}^2+...+a_n{x}_n$ skończonej liczby jednomianów zmiennej $x$ nazywamy wielomianem zmiennej $x$. Największy ze stopni tych jednomianów, nazywamy stopniem wielomianu.

Rysunek am1w02.0050

Animacja am1w02.0060

Definicja 2.14.

Funkcję $x\mapsto w(x)=a_0+a_{1}x+a_2{x}^2+...+a_n{x}_n$ nazywamy funkcją wielomianową lub - krótko - wielomianem.

Uwaga 2.15.

a) Suma oraz iloczyn wielomianów jest wielomianem.
b) Złożenie funkcji wielomianowych jest funkcją wielomianową.

Wykażmy użyteczne oszacowanie z dołu wielomianu $x\mapsto (1+x{)}^n$ za pomocą funkcji afinicznej $x\mapsto 1+nx$.

Uwaga 2.16[nierówność Bernoullego]

Dla dowolnej liczby całkowitej nieujemnej $n=0,1,2,3,...$ i dowolnej liczby rzeczywistej $x\ge -1$ zachodzi nierówność

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle (1+x)^n\ \geq\1+nx, } przy czym dla $n>1$ równość w powyższej nierówności zachodzi wyłącznie dla $x=0$.

Animacja am1w02.0070

Dowód

Zauważmy, że nierówność zachodzi dla $n=0$ i $n=1$. Wykażemy, że dla dowolnej liczby naturalnej $k\ge 1$prawdziwa jest implikacja

$[\mathrm{\forall }x>-1:(1+x{)}^k\ge 1+kx]⟹[\mathrm{\forall }x>-1:(1+x{)}^{k+1}\ge 1+(k+1)x].$

Mamy bowiem:

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\aligned”): {\displaystyle \displaystyle \aligned (1+x)^{k+1}&=(1+x)(1+x)^k\\ &\geq (1+x)(1+kx)=1+(1+k)x+kx^2 \\ &\geq 1+(1+k)x.\endaligned }

Na mocy zasady indukcji matematycznej nierówność zachodzi więc dla każdej liczby całkowitej nieujemnej $n=0,1,2,3,...$. Zauważmy, że składnik $x\mapsto k{x}^2$ dla $k\ge 1$ zeruje się wyłącznie w punkcie $x=0$, stąd nierówność Bernoullego jest ostra poza tym punktem, a jedynie dla $x=0$ zachodzi równość w tej nierówności.

Definicja 2.17.

Niech $n\in \{2,3,4,...\}$ będzie liczbą naturalną większą od jedności. Liczbę nieujemną $y$ nazywamy pierwiastkiem arytmetycznym stopnia $n$ z liczby nieujemnej $x$, jeśli $x^n=y.$

Pierwiastek stopnia $n$ z liczby $x\ge 0$ oznaczamy symbolem Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\root”): {\displaystyle \displaystyle \root{n}\of{x}} .

Rysunek am1w02.0080

Uwaga 2.18.

a) Funkcja $x\mapsto x^n$ jest różnowartościowa wtedy i tylko wtedy, gdy $n$ jest liczbą nieparzystą.
b) Jeśli $n>0$ jest parzystą liczbą naturalną, to zacieśnienie funkcji $f(x)=x^n$ do przedziału $[0,\mathrm{\infty })$ jest funkcją różnowartościową. Funkcją odwrotną do niej jest funkcja pierwiastek stopnia Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\root”): {\displaystyle \displaystyle n g(x)=\root{n}\of{x}} określona na przedziale $[0,\mathrm{\infty })$ o wartościach w $[0,\mathrm{\infty })$.
c) Jeśli $n>0$ jest nieparzystą liczbą naturalną, to funkcja $f(x)=x^n$ jest różnowartościowa na przedziale $(-\mathrm{\infty },+\mathrm{\infty })$. Funkcją odwrotną do niej jest funkcja

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle g(x) \ =\ \left\{ \aligned \root{n}\of{x}, \text{ dla } x\geq 0\\ -\root{n}\of{-x}, \text{ dla } x< 0 \endaligned \right . }

Uwaga 2.19.

Jeśli $n$ jest liczbą naturalną nieparzystą,często używa się symbolu pierwiastka arytmetycznego do oznaczenia funkcji odwrotnej do funkcji $f(x)=x^n$ i oznacza się ją krótko Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\root”): {\displaystyle \displaystyle g(x)=\root{n}\of{x}} , przy czym sens tego symbolu dla liczb rzeczywistych ujemnych określa się jak powyżej.

2.3. Funkcja wykładnicza i logarytmiczna

Definicja 2.20

Niech $a>0$ będzie dowolną dodatnią liczbą rzeczywistą. Funkcję $x\mapsto a^x$ określoną na zbiorze liczb

rzeczywistych nazywamy funkcją wykładniczą o podstawie $a$.

Uwaga 2.21.

a) Jeśli $a>0,a\ne 1$, funkcja wykładnicza $x\mapsto a^x$ jest bijekcją zbioru $\mathbb{ℝ}$ na przedział $(0,\mathrm{\infty })$. Nie zeruje się w żadnym punkcie swojej dziedziny.

Rysunek am1w02.0090

b) Jeśli $a>1$, funkcja $x\mapsto a^x$ jest ściśle rosnąca, jeśli zaś $0<a<1$, jest ściśle malejąca.

c) Jeśli $a=1$, funkcja $x\mapsto a^x$ jest stała.

Rysunek am1w02.0100

Definicja 2.22.

Niech $a\in (0,1)\cup (1,\mathrm{\infty })$ będzie dowolną liczbą rzeczywistą dodatnią, różną od jedności. Funkcję odwrotną do funkcji $x\mapsto a^x$ nazywamy funkcją logarytmiczną o podstawie $a$ i oznaczamy $x\mapsto {\log }_{a}x$.

Na ogół pomija się indeks $a$ w oznaczeniu logarytmu liczby $x$ i pisze się krótko $\log x$. Zwróćmy jednak uwagę na fakt, że w zależności od dziedziny nauki, czy techniki, symbol ten może oznaczać logarytmy o różnych podstawach. I tak informatycy na ogół posługują się tym symbolem mając na myśli logarytm o podstawie 2, tzn. $\log x={\log }_{2}x$. Z kolei w naukach technicznych symbol $\log x={\log }_{10}x$ oznacza przeważnie logarytm dziesiętny. Natomiast matematycy posługują się najczęściej logarytmem o podstawie $e=2,71828182846...$ (do definicji i własności tej ważnej stałej powrócimy w następnych modułach). Stąd często w pracach matematycznych symbol $\log x={\log }_{e}x$ oznacza właśnie logarytm o podstawie $e$. My jednak, aby uniknąć nieporozumień, logarytm o podstawie $e$ będziemy oznaczać osobnym symbolem $\ln x$.

Definicja 2.23.

Symbolem $\exp x$ będziemy oznaczać potęgę $e^x$.

Definicja 2.24.

Logarytmem naturalnym z liczby dodatniej $x$ nazywamy liczbę $\ln x={\log }_{e}x$.

Uwaga 2.25.

a) Jeśli $a>0,a\ne 1$, funkcja logarytmiczna $x\mapsto {\log }_{a}x$ jest bijekcją przedziału $(0,\mathrm{\infty })$ na zbiór $\mathbb{ℝ}$.

Rysunek am1w02.0110

Rysunek am1w02.0120

b) Jeśli $a>1$, funkcja $x\mapsto {\log }_{a}x$ jest ściśle rosnąca, jeśli zaś $0<a<1$, jest ściśle malejąca.

c) Jedynym miejscem zerowym funkcji logarytmicznej $x\mapsto {\log }_{a}x$ jest punkt $x=1$.

d) Jeśli $a>1$, to logarytm ${\log }_{a}x$ jest dodatni w przedziale $(1,\mathrm{\infty })$ i jest ujemny w przedziale $(0,1)$. Jeśli zaś $0<a<1$, to logarytm ${\log }_{a}x$ jest ujemny w przedziale $(1,\mathrm{\infty })$ i jest dodatni w przedziale $(0,1)$.

Przypomnijmy jeszcze parę tożsamości, z których często będziemy korzystać.

Uwaga 2.26.

a) Dla $a>0$, $x,y\in \mathbb{ℝ}$ zachodzą równości

$(a^x{)}^y=a^{xy}\text{ oraz }{a}^x{a}^y=a^{x+y}.$

b) Dla dodatnich liczb $a,b,c$, $a\ne 1$, $c\ne 1$ prawdziwy jest wzór na zmianę podstawy logarytmu

${\log }_{a}b=\frac{{\log }_{c}b}{{\log }_{c}a},$

w szczególności, gdy $c=e$, mamy równość

${\log }_{a}b=\frac{\ln b}{\ln a}.$

c) Dla dowolnej liczby $b\in \mathbb{ℝ}$ i dodatnich $a>0$, $c>0$ zachodzi równość

$a^b=c^{b{\log }_{c}a},$

która w szczególnym przypadku, gdy $c=e$, ma postać

$a^b=\exp (b\ln a).$

2.4. Funkcje trygonometryczne i funkcje cyklometryczne

Przypomnijmy kilka własności funkcji trygonometrycznych sinus, cosinus, tangens i cotangens. Żadna z nich nie jest różnowartościowa w swojej dziedzinie.

Rysunek am1w02.0140

Uwaga 2.27.

a) Funkcja $f(x)=\sin x$ zacieśniona do przedziału $[-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}]$ jest różnowartościowa, ściśle rosnąca.
Rysunek am1w02.0150
b) Funkcja $f(x)=\cos x$ zacieśniona do przedziału $[0,\pi ]$ jest różnowartościowa, ściśle malejąca.
Rysunek am1w02.0160
c) Funkcja $f(x)=\mathrm{t}\mathrm{g}x$ zacieśniona do przedziału $(-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2})$ jest różnowartościowa, ściśle rosnąca.
Rysunek am1w02.0170
d) Funkcja $f(x)=\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{g}x$ zacieśniona do przedziału $(0,\pi )$ jest różnowartościowa, ściśle malejąca.

Pamiętamy również, że zachodzi

Twierdzenie 2.28.

Dla dowolnej liczby rzeczywistej $x$ suma kwadratów cosinusa i sinusa jest równa jedności, tzn. $\mathrm{\forall }x\in \mathbb{ℝ}:{\cos }^{2}x+{\sin }^{2}x=1$.

Tożsamość tę nazywamy jedynką trygonometryczną.

Rysunek am1w02.0180

Definicja 2.29.

Funkcję określoną na przedziale $[-1,1]$ o wartościach w przedziale $[-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}]$, odwrotną do zacieśnienia funkcji sinus do przedziału $[-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}]$,nazywamyarcusem sinusem i oznaczamy symbolem $x\mapsto \arcsin x$.
Rysunek am1w02.0190

Definicja 2.30

Funkcję określoną na przedziale $[-1,1]$ o wartościach w przedziale $[0,\pi ]$, odwrotną do zacieśnienia funkcji cosinus do przedziału $[0,\pi ]$, nazywamy arcusem cosinusem i oznaczamy symbolem

$x\mapsto \arccos x$.

Rysunek am1w02.0200

Definicja 2.31.

Funkcję określoną na przedziale $(-\mathrm{\infty },\mathrm{\infty })$ o wartościach w przedziale $(-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2})$, odwrotną do zacieśnienia funkcji tangens do przedziału $(-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2})$, nazywamy

arcusem tangensem i oznaczamy symbolem $x\mapsto \mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{g}x$.

Rysunek am1w02.0200

Definicja 2.32.

Funkcję określoną na przedziale $(-\mathrm{\infty },\mathrm{\infty })$ o wartościach w przedziale $(0,\pi )$, odwrotną do zacieśnienia funkcji cotangens do przedziału $(0,\pi )$, nazywamy arcusem cotangensem i oznaczamy symbolem $x\mapsto \mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{c}\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{g}x$.

Funkcje: arcus sinus, arcus cosinus, arcus tangens i arcus cotangens nazywamy funkcjami cyklometrycznymi.

Uwaga 2.33.

Funkcje arcus sinus i arcus tangens są ściśle rosnące. Funkcje arcus cosinus i arcus cotangens -- ściśle malejące.

Ze wzorów redukcyjnych: $\sin (\frac{\pi }{2}-x)=\cos x$ oraz $\mathrm{t}\mathrm{g}(\frac{\pi }{2}-x)=\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{g}x$ wynika, że

Uwaga 2.34.

a) Dla dowolnej liczby $-1\le x\le 1$ zachodzi równość $\arccos x=\frac{\pi }{2}+\arcsin (-x).$
b) Dla dowolnej liczby $-\mathrm{\infty }<x<\mathrm{\infty }$ zachodzi równość $\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{c}\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{g}x=\frac{\pi }{2}+\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{g}(-x).$

2.5. Funkcje hiperboliczne i funkcje area

Określimy teraz cztery funkcje, których nazwy są nieprzypadkowo zbieżne z nazwami funkcji trygonometrycznych.

Definicja 2.35.

Niech $x\in (-\mathrm{\infty },+\mathrm{\infty })$.
Rysunek am1w02.0210
a) Sinusem hiperbolicznym nazywamy funkcję $\sinh :x\mapsto \frac{1}{2}(e^x-e^{-x})$.
Rysunek am1w02.0220
b) Cosinusem hiperbolicznym nazywamy funkcję $\cosh :x\mapsto \frac{1}{2}(e^x+e^{-x})$.
Rysunek am1w02.0230
c) Tangensem hiperbolicznym nazywamy funkcję Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\tgh”): {\displaystyle \displaystyle \tgh :x\mapsto\frac{\sinh x}{\cosh x}} .
Rysunek am1w02.0240
d) Cotangensem hiperbolicznym nazywamy funkcję Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\ctgh”): {\displaystyle \displaystyle \ctgh :x\mapsto\frac{1}{\tgh x}} .

Wykażmy wpierw tożsamość, którą przez analogię do znanej tożsamości trygonometrycznej, wiążącej wartości funkcji sinus i cosinus, nazwiemy jedynką hiperboliczną.

Twierdzenie 2.36.

Dla dowolnej liczby rzeczywistej różnica kwadratów funkcji hiperbolicznych cosinus i sinus jest równa jedności, tzn. zachodzi równość

$\mathrm{\forall }x\in \mathbb{ℝ}:{\cosh }^{2}x-{\sinh }^{2}x=1.$

Dowód twierdzenia 2.36.

Z definicji funkcji $\sinh$ i $\cosh$ mamy:

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\aligned”): {\displaystyle \displaystyle \aligned 4(\cosh^2 x-\sinh^2 x) \ &=\ (e^x+e^{-x})^2-(e^x-e^{-x})^2 \ \\ &=\ (e^{2x}+2+e^{-2x})-(e^{2x}-2+e^{-2x}) \ =\ 4, \endaligned}

stąd

$\mathrm{\forall }x:{\cosh }^{2}x-{\sinh }^{2}x=1.$

W podobny sposób - wprost z definicji - można wykazać, że zachodzą następujące tożsamości analogiczne do znanych tożsamości trygonometrycznych:

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \sin(x+y) \ =\ \sin x\cos y+\cos x\sin y, \qquad \cos(x+y) \ =\ \cos x \cos y-\sin x\sin y. }

Twierdzenie 2.37.

Niech $x,y$ będą dowolnymi liczbami rzeczywistymi. Wówczas:
a) $\sinh (x+y)=\sinh x\cosh y+\cosh x\sinh y,$
b) $\cosh (x+y)=\cosh x\cosh y+\sinh x\sinh y.$

Tożsamości te wykażemy w ramach ćwiczeń do tego modułu.

Uwaga 2.38.

Dla dowolnej liczby rzeczywistej mamy:

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\aligned”): {\displaystyle \displaystyle \aligned \cosh 2x & = & \cosh^2 x+\sinh^2 x=2\cosh^2 x-1=1+2\sinh^2 x,\\ \sinh 2x & = & 2\sinh x\cosh x. \endaligned}

Warto porównać otrzymane wzory z poznanymi w szkole analogicznymi wzorami dla funkcji trygonometrycznych:

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\aligned”): {\displaystyle \displaystyle \aligned \cos 2x & = & \cosh^2 x- \sin^2 x=2\cos^2 x-1=1-2\sin^2 x,\\ \sin 2x & = & 2\sin x\cos x. \endaligned}

Podkreślmy kilka własności funkcji hiperbolicznych.

Uwaga 2.39

a) Funkcja sinus hiperboliczny jest bijekcją $\mathbb{ℝ}$ na $\mathbb{ℝ}$. Jest nieparzysta, ściśle rosnąca.
b) Funkcja cosinus hiperboliczny jest określona na $\mathbb{ℝ}$ i przyjmuje wartości w przedziale $[1,\mathrm{\infty })$. Jest funkcją parzystą. Nie jest różnowartościowa. Jej zacieśnienie do przedziału $[0,\mathrm{\infty })$ jest funkcją ściśle rosnącą.
c) Funkcja tangens hiperboliczny jest bijekcją $\mathbb{ℝ}$ na przedział $(-1,1)$. Jest nieparzysta, ściśle rosnąca.
d) Funkcja cotangens hiperboliczny jest bijekcją zbioru $(-\mathrm{\infty },0)\cup (0,+\mathrm{\infty })$ na zbiór $(-\mathrm{\infty },-1)\cup (1,+\mathrm{\infty })$. Jest nieparzysta, ściśle malejąca w przedziale $(-\mathrm{\infty },0)$ i w przedziale $(0,\mathrm{\infty })$ .

Określmy funkcje odwrotne do funkcji hiperbolicznych. Nazywamy je funkcjami area.

Rysunek am1w02.0280

Definicja 2.40.

a) Funkcję odwrotną do funkcji sinus hiperboliczny nazywamy area sinusem hiperbolicznym i oznaczamy $x\mapsto \mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{h}x$.
Rysunek am1w02.0290
b) Funkcję odwrotną do zacieśnienia funkcji cosinus hiperboliczny do przedziału $[0,\mathrm{\infty })$ nazywamy area cosinusem hiperbolicznym i oznaczamy $x\mapsto \mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{h}x$.
Rysunek am1w02.0300
c) Funkcję odwrotną do funkcji tangens hiperboliczny nazywamy area tangensem hiperbolicznym i oznaczamy $x\mapsto \mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{t}\mathrm{g}\mathrm{h}x$.
Rysunek am1w02.0310
d) Funkcję odwrotną do funkcji cotangens hiperboliczny nazywamy area cotangensem hiperbolicznym i oznaczamy $x\mapsto \mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{g}\mathrm{h}x$.

Zwróćmy uwagę na tożsamości (kilka podobnych wykażemy w ramach ćwiczeń):

Uwaga 2.41.

Prawdziwe są następujące równości:
a) $\cos (\arcsin x)=\sqrt{1-x^2}$ dla $|x|\le 1,$
b) $\cosh (\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{h}x)=\sqrt{1+x^2}$ dla $-\mathrm{\infty }<x<\mathrm{\infty }.$

Dowód uwagi 2.41.

a) Niech $y=\arcsin x$. Wówczas dla $-1\le x\le 1$ mamy $-\frac{\pi }{2}\le y\le \frac{\pi }{2}$, czyli $0\le \cos y\le 1$. Z jedynki trygonometrycznej wynika,że

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \cos y \ =\ \sqrt{1-\sin^2 y} \ =\ \sqrt{1-x^2}. }

b) Należy powtórzyć powyższe rozumowanie stosując jedynkę hiperboliczną zamiast jedynki trygonometrycznej.

Funkcje area można wyrazić także za pomocą logarytmu naturalnego.

Twierdzenie 2.42

Zachodzą następujące tożsamości:
a) $\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{h}x=\ln (x+\sqrt{x^2+1})$ dla $-\mathrm{\infty }<x<\mathrm{\infty },$
b) $\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{h}x=\ln (x+\sqrt{x^2-1})$ dla $1\le x<\mathrm{\infty },$
c) $\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{t}\mathrm{g}\mathrm{h}x=\ln \sqrt{\frac{1+x}{1-x}}$ dla $-1<x<1,$
d) $\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{g}\mathrm{h}x=\ln \sqrt{\frac{x+1}{x-1}}$ dla $|x|>1.$

Dowód twierdzenia 2.42.

a) Wyznaczamy zmienną $y$ z równania: $x=\sinh y$.Mamy

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle x \ =\ \frac{e^{y}-e^{-y}}{2} \ =\ \frac{e^{2y}-1}{e^{y}}. }

Stąd $e^y=x+\sqrt{x^2+1}$, czyli $\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{h}x=\ln (x+\sqrt{x^2+1})$ dla wszystkich $-\mathrm{\infty }<x<\mathrm{\infty }.$

b) Podobnie jak w punkcie a) wyznaczamy zmienną $y$ z równania $x=\cosh y$ i otrzymujemy $e^y=x+\sqrt{x^2-1}$, czyli $\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{h}x=\ln (x+\sqrt{x^2-1})$, dla $x\ge 1$.

c) Z równania $x=\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{t}\mathrm{g}\mathrm{h}x$ dostajemy $e^{2y}=\frac{1+x}{1-x}$, czyli

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle {\rm artgh\, } x \ =\ \frac{1}{2}\ln\frac{1+x}{1-x} \ =\ \ln\sqrt{\frac{1+x}{1-x}} }

dla $|x|<1$.

d) Pamiętając, że Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\ctgh”): {\displaystyle \displaystyle \ctgh x=\frac{1}{\tgh x}} , podstawiamy w poprzedniej tożsamości $\frac{1}{x}$ w miejsce zmiennej $x$ i otrzymujemy:

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle {\rm arctgh\, } x \ =\ \ln\sqrt{\frac{1+\frac{1}{x}}{1-\frac{1}{x}}}=\ln\sqrt{\frac{x+1}{x-1}} }

dla $|x|>1.$

W ramach ćwiczeń wykażemy zaskakującą - na pierwszy rzut oka - uwagę.

Uwaga 2.43.

a) Dla dowolnej liczby $n=0,1,2,...$ funkcja

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle T_n (x) \ =\ \cos (n\arccos x), \ \ -1\leq x\leq 1, }

jest wielomianem zmiennej $x$.
b) Dla dowolnej liczby $n=0,1,2,...$ funkcja

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle U_n (x) \ =\ \cosh (n{\rm arcosh\, } x), \quad x\geq 1, }

jest wielomianem zmiennej $x$.
c) Dla dowolnej liczby $n=0,1,2,...$ funkcje $T_n$ oraz $U_n$ są zacieśnieniami -- odpowiednio do przedziałów $[-1,1]$ oraz $[1,+\mathrm{\infty })$ tego samego wielomianu $W_n$ zmiennej $x$, to znaczy dla dowolnej liczby $n=0,1,2,...$ istnieje funkcja wielomianowa $W_n:x\mapsto W_n(x)$ taka, że zachodzą równości

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\aligned”): {\displaystyle \displaystyle \aligned W_n(x)&=T_n(x) &&\text{ dla } -1\leq x\leq 1\\ W_n(x)&=U_n(x) &&\text{ dla } +1\leq x \leq \infty\endaligned }

animacja am1w02.0320

Definicja 2.44.

Wielomian $W_n$, o którym mowa w powyższej uwadze, którego zacieśnieniem do przedziału $[-1,1]$ jest funkcja $T_n:x\mapsto \cos (n\arccos x)$, nazywamy wielomianem Czebyszewa stopnia $n$, $n=0,1,2,...$.