PF Moduł 15

---

Wstęp Równania Maxwella w elegancki sposób opisują wszystkie zjawiska dotyczące pola elektrycznego i magnetycznego. Można z nich wyprowadzić znane dawniej prawa empiryczne takie, jak prawo Faradaya czy prawo Ampera. Ale równania Maxwella zawierają jeszcze więcej informacji. Po odpowiednim ich przekształceniu otrzymujemy równanie falowe, a prędkość opisywanej przez nie fali równa jest prędkości światła w próżni. Światło jest więc falą elektromagnetyczną. W tym wykładzie dowiemy się, jakie są jeszcze inne rodzaje fal elektromagnetycznych. Telefony komórkowe, radio, telewizja, łączność satelitarna, nawigacja morska i lotnicza, systemy radiolokacji - wszystko to opiera się na czterech równaniach Maxwella. O elektromagnetycznej naturze światła wiemy od czasów Maxwella, czyli końca XIX wieku. Ale już dwa wieki wcześniej opisywano światło jako falę. Sformułowane przez Pierre'a Fermata w 1650 roku i Christiana Huyghensa w 1678 roku zasady stanowią podstawę optyki geometrycznej. Pokażemy, jak podstawowe prawa optyki: prawo odbicia i załamania światła można uzyskać z tych zasad.

---

Propagacja fal elektromagnetycznych Przypomnijmy sobie podstawowe fakty o propagacji fal. Fala to rozchodzenie się w ośrodku drgań cząsteczek. Wychylenie $\xi$ z położenia równowagi cząstek biorących udział w ruchu falowym, opisuje wzór: $\xi (x,t)=acos(\omega t-kx+\phi )$, gdzie $k=\frac{2\pi }{\lambda }$ jest liczbą falową, $\omega =\frac{2\pi }{T}$ częstością, a $\phi$ - fazą początkową. Funkcja $\xi (x,t)=acos(\omega t-kx+\phi )$ jest rozwiązaniem równania falowego: $\frac{{\partial }^2\xi }{\partial x^2}=\frac{1}{v^2}\frac{{\partial }^2\xi }{\partial t^2}$.

---

Nasze rozważania rozpoczniemy od przypomnienia równań Maxwella, które przedstawiają relacje pomiędzy zmianami pól: elektrycznego i magnetycznego w czasie i przestrzeni.

---

Zapiszmy równania Maxwella dla przypadku, kiedy w przestrzeni nie ma ładunków ani ośrodków materialnych, to jest dla próżni. Kiedy rozważamy rozchodzenie się zaburzeń pola elektrycznego w określonym kierunku, na przykład wzdłuż osi $X$, to z równań Maxwella wynika, że będzie mu towarzyszyło pole magnetyczne skierowane prostopadle do pola elektrycznego i kierunku propagacji. Przyjmijmy, że kierunek pola elektrycznego pokrywa się z osią $Y$ prostokątnego układu współrzędnych, a pola magnetycznego z osią $Z$. Zapiszemy to w postaci: $\overrightarrow{E}=(0,E,0),\overrightarrow{B}=(0,0,B)$. Będziemy rozważali propagację zaburzeń pól w jednym kierunku, wzdłuż osi $x$, z czego wynika, że pola te są jednorodne w kierunkach prostopadłych do kierunku propagacji. Oznacza to, że pochodne $\frac{\partial E}{\partial y},\frac{\partial E}{\partial z},\frac{\partial B}{\partial y},\frac{\partial B}{\partial z}$ równe są zeru, czyli że wartości $E$ i $B$ nie zależą od położenia punktu w kierunkach $Y$ i $Z$, to znaczy w każdym momencie mają te same wartości we wszystkich punktach leżących w płaszczyźnie $YZ$; zależą natomiast od $X$ oraz $t$.

---

Zapiszmy równania Maxwella dla przyjętych założeń. Po obliczeniu pochodnych cząstkowych $\frac{\partial }{\partial x}$ z obu stron pierwszego równania i $\frac{\partial }{\partial t}$ z drugiego, widzimy, że każde z równań zawiera równe sobie wyrażenia: $-\frac{{\partial }^{2}B}{\partial x\partial t}$ oraz $\frac{{\partial }^{2}B}{\partial t\partial x}$. Przyrównanie do siebie drugich stron równań daje bardzo ciekawy rezultat! Równanie $\frac{{\partial }^{2}E}{\partial t^2}=\frac{1}{{\epsilon }_0{\mu }_0}\frac{{\partial }^{2}E}{\partial x^2}$ ma postać podobną do postaci równania falowego. Wykonując różniczkowanie względem czasu dla pierwszego równania oraz względem $x$ dla równania drugiego otrzymujemy analogiczny związek dla pola magnetycznego: $\frac{{\partial }^{2}B}{\partial t^2}=\frac{1}{{\epsilon }_0{\mu }_0}\frac{{\partial }^{2}B}{\partial x^2}$. Oznacza to, że zaburzenia pola elektrycznego i magnetycznego rozchodzą się w postaci fal elektromagnetycznych.

---

Porównując otrzymane równanie z równaniem falowym, widzimy, że wielkość $\frac{1}{{\epsilon }_0{\mu }_0}$ jest kwadratem prędkości fazowej $v$ fali elektromagnetycznej. Podstawiając wartości przenikalności elektrycznej i magnetycznej próżni $({\epsilon }_{0}i{\mu }_0)$ otrzymujemy wartość prędkości $v=3\cdot 10^{8}m/s$. Jest to wartość prędkości światła! W ten sposób Maxwell pierwszy odkrył naturę fizyczną światła, uświadamiając nam, że światło jest falą elektromagnetyczną. Wniosek ten uznawany jest za największe osiągniecie teorii Maxwella! Widzimy, że prędkość światła jest niezależna od częstości drgań czy długości fali. Jest to uniwersalna stała związana bezpośrednio z przenikalnością elektryczną i magnetyczną próżni - podstawowymi charakterystykami pól: elektrycznego i magnetycznego. Wiedząc, że prędkość światła w próżni: $c=\frac{1}{\sqrt{{\epsilon }_0{\mu }_0}}$, rozumiemy, że nie może ona zależeć od układu odniesienia, w którym jest mierzona, bowiem ${\epsilon }_{0}i{\mu }_0$ są stałymi uniwersalnymi. Jest to zgodne z wynikami doświadczeń i stanowi podstawowe założenie szczególnej teorii względności. W ośrodku materialnym o względnej przenikalności elektrycznej $\epsilon$ i magnetycznej $\mu$ prędkość światła jest mniejsza od prędkości światła w próżni $\frac{1}{\sqrt{\epsilon \mu }}$ razy.

---

Podsumujmy: zmiany prostopadłych wzajemnie pól elektrycznego i magnetycznego rozchodzą się w kierunku prostopadłym do kierunku obu tych pól z prędkością światła jako fala elektromagnetyczna. Fale elektromagnetyczne są więc falami poprzecznymi. Rozchodzenie się fali elektromagnetycznej ilustruje rysunek. Zwróćmy uwagę, że drgania wektora elektrycznego $\overrightarrow{E}$ i magnetycznego $\overrightarrow{B}$ zachodzą w tej samej fazie: w tych samych punktach przestrzeni oba wektory osiągają wartość maksymalną, czy równą zeru.

---

Rozwiązaniem równania falowego są funkcje $E(x,t)$ i $B(x,t)$ opisujące propagację fali elektromagnetycznej. Amplitudy $E_0$ i $B_0$ nie są od siebie niezależne. Rzeczywiście, gdy obliczymy odpowiednie pochodne cząstkowe $E$ i $B$ i wstawimy do równania Maxwella $\frac{\partial E}{\partial x}=-\frac{\partial B}{\partial t}$, otrzymamy związek $E_0=c{B}_0$. Mając na uwadze, że zmiany obu pól przebiegają w ten sam sposób dany powyższymi równaniami, możemy związek pomiędzy amplitudami przenieść na relacje pomiędzy wartościami pól: $E=cB$.

---

Widmo fal elektromagnetycznych Widmo fal elektromagnetycznych obejmuje wielką rozmaitość zjawisk: od fal radiowych aż po bardzo przenikliwe promieniowanie . Rodzaj fali zależy od sposobu jej generacji. Fale radiowe to fale o długości mierzonej w metrach, a nawet w kilometrach. Fale te generowane są w układach elektrycznych wytwarzających drgania elektromagnetyczne (obwody LC), i charakteryzują się określoną fazą generowanej fali. Ten sposób generacji dotyczy także mikrofal, których długość fali wynosi od $10^{-4}$m do 0,3 m (0,1 mm do 30 cm). Do ich wytwarzania używa się lamp mikrofalowych: elektrony krążąc w polu magnetycznym po spiralach, emitują mikrofale. Promieniowanie podczerwone w zakresie od $7\cdot 10^{-7}$m do $2\cdot 10^{-3}$m emitowane jest przez rozgrzane ciała w wyniku wzbudzeń cieplnych elektronów wewnątrz substancji. Im niższa temperatura ciała tym mniejsze natężenie promieniowania i większa długość fali. Ciała o temperaturze do około $400^{\circ }C$ wysyłają praktycznie tylko promieniowanie podczerwone. Fale w obszarze podczerwieni, które emitowane są wskutek chaotycznych wzbudzeń termicznych atomów i cząsteczek nie zachowują stałej fazy, to znaczy, że nie są spójne. Fale spójne w tym obszarze widmowym mogą być generowane przez lasery. Podobna sytuacja jest także w obszarze światła widzialnego i nadfioletu. Światło widzialne to bardzo wąski zakres długości fal od około $4\cdot 10^{-7}$m do około $7\cdot 10^{-7}$m. Światło o największej długości fali widzimy jako czerwone, a o najmniejszej – fioletowe. Naturalnymi źródłami są ciała ogrzane do temperatury ponad $700^{\circ }C$. Na skutek ruchów cieplnych następuje wtedy wzbudzenie elektronów wewnątrz substancji i przy powrocie do niższych stanów energetycznych następuje emisja światła. Promieniowanie nadfioletowe obejmuje zakres długości fal od $4\cdot 10^{-7}$m do $10^{-8}$m (od 400 do 10 nm). Naturalnymi źródłami są ciała o dostatecznie wysokiej temperaturze. Znikome, ale zauważalne ilości tego promieniowania wysyłają już ciała o temperaturze 3000K i ze wzrostem temperatury natężenie wzrasta. Silnym źródłem jest Słońce, którego temperatura powierzchni wynosi 6000K. Promieniowanie nadfioletowe ma silne działanie fotochemiczne. Przy długości fali poniżej 300 nm wywołuje już jonizację i jest zabójcze dla organizmów żywych, wywołuje lub przyspiesza szereg reakcji chemicznych. Promieniowanie rentgenowskie emitowane jest, gdy przejścia elektronów w atomie dotyczą wewnętrznych powłok elektronowych. Jest to możliwe, gdy elektrony wybijane są przez przyspieszone silnym polem elektrycznym cząstki naładowane. Również podczas hamowania swobodnych elektronów przyspieszonych do dużych prędkości, emitowane jest promieniowanie z zakresu rentgenowskiego. Źródłem promieniowania $\gamma$ o długości fali mniejszej od $10^{-10}$m są procesy zachodzące w jądrze atomowym (np. rozpad pierwiastków promieniotwórczych zawartych w skorupie ziemskiej lub reakcje jądrowe). Promieniowanie to powstaje również podczas procesów jądrowych zachodzących w gwiazdach i galaktykach. Do wielkich zagadek współczesnej nauki należą tak zwane błyski $\gamma$. To dochodzące z głębi Wszechświata impulsy promieniowania $\gamma$, o energii porównywalnej z energią, jaką wydzieli Słońce w ciągu całego swego istnienia (10 mld lat).

---

Wąski zakres światła widzialnego, czyli takiego, które jest odbierane przez nasze oczy, nie jest przypadkowy. Zrozumiemy to, gdy przyjrzymy się rysunkowi przedstawiającemu zasięg fal elektromagnetycznych o różnej długości w atmosferze ziemskiej. Do powierzchni Ziemi dociera tylko światło widzialne z niewielkim marginesem promieniowania nadfioletowego i podczerwonego oraz fale radiowe. Ponieważ odbiornik fal powinien mieć rozmiary tego samego rzędu, co długość fali, ze zrozumiałych względów nie możemy być wyposażeni w detektor fal radiowych. Pozostaje więc tylko zakres widzialny. Nic dziwnego, że w toku ewolucji wykształciły się oczy odbierające ten właśnie zakres. W pozostałych zakresach na powierzchni Ziemi panuje bowiem ciemność.

---

Energia fal elektromagnetycznych Jeśli fala elektromagnetyczna jest w stanie pobudzić do działania telewizor, czy telefon komórkowy, to musi przenosić energię z jednego miejsca przestrzeni do drugiego. Skorzystajmy ze wzorów na gęstość energii pola elektrycznego oraz na gęstość energii pola magnetycznego. Gęstość energii, to energia przypadająca na jednostkę objętości. Całkowita energia fali elektromagnetycznej zmagazynowana w jednostce objętości jest sumą energii pola elektrycznego i pola magnetycznego. Po uwzględnieniu związku między wartościami $E$ i $B$ dla fali elektromagnetycznej $E=cB$, otrzymujemy wzór na gęstość energii fali: $w={\epsilon }_0{E}^2$.

---

Możemy też gęstość energii fali elektromagnetycznej przedstawić w postaci: $w=\frac{B^2}{{\mu }_0}$ lub $w=\sqrt{\frac{{\epsilon }_0}{{\mu }_0}}\cdot EB$.

---

Określmy teraz energię transportowaną przez falę elektromagnetyczną w próżni w jednostce czasu. Kierunek transportu energii pokrywa się z kierunkiem rozchodzenia się fali i jest prostopadły do kierunków wektorów $\overrightarrow{E}$ i $\overrightarrow{B}$. W czasie $dt$ fala przesuwa się o odcinek $c\dot{d}t$. Przez powierzchnię $S$ prostopadłą do kierunku rozchodzenia się fali przetransportowana jest energia zawarta w objętości $S\cdot c\cdot dt$. Energia ta wynosi: $dW=wdV$ Energia przenoszona przez jednostkową powierzchnię $w$ jednostce czasu wynosi więc: $P=\frac{1}{S}\frac{dW}{dt}={\epsilon }_{0}c{E}^2$

---

Wykorzystując związki: $E=cB$ oraz $c=\frac{1}{\sqrt{{\epsilon }_0{\mu }_0}}$ możemy wzór na energię przenoszona przez jednostkową powierzchnię w jednostce czasu przedstawić jako: $P=\frac{EB}{{\mu }_0}$. Ponieważ, jak to już stwierdziliśmy, energia ta przenoszona jest w kierunku prostopadłym do wektorów $\overrightarrow{E}$ i $\overrightarrow{B}$, możemy zdefiniować wektor, którego wartość określa energię przenoszoną przez jednostkową powierzchnię w jednostce czasu, a kierunek wskazuje kierunek przenoszenia tej energii. Pamiętając, że wektory $\overrightarrow{E}$ i $\overrightarrow{B}$ są do siebie prostopadłe zapisujemy wzór w postaci wektorowej: $\overrightarrow{P}=\frac{1}{{\mu }_0}\overrightarrow{E}\times \overrightarrow{B}$. Określony tym wzorem wektor nosi nazwę wektora Poyntinga.

---

Optyka geometryczna Rozchodzenie się światła, podobnie jak i fal elektromagnetycznych o innych długościach, polega na przemieszczaniu się w czasie i przestrzeni drgań wektorów natężeń pól: elektrycznego i magnetycznego. Prędkość światła w próżni oznaczyliśmy symbolem $c$. Jak stwierdziliśmy, w innych ośrodkach prędkość ta jest mniejsza, co wynika z równań Maxwella, i zależy od względnej przenikalności elektrycznej $\epsilon$ i magnetycznej $\mu$ ośrodka. Współczynnik załamania światła w ośrodku definiujemy wzorem $n=\frac{c}{v}$, a więc prędkość światła w danym ośrodku można wyrazić następująco: $n=\sqrt{\epsilon \mu }\approx \sqrt{\epsilon }$. Przybliżona równość w tym wzorze wynika z faktu, że dla większości ośrodków, w których rozważamy rozchodzenie się światła, wartość przenikalności magnetycznej jest na tyle bliska jedności, że można ją tu pominąć. Otrzymujemy w ten sposób wynikającą z równań Maxwella interesującą zależność między współczynnikiem załamania i przenikalnością elektryczną dla większości (nie ferromagnetycznych) ośrodków $n\approx \sqrt{\epsilon }$. Dodajmy do tego jeszcze, że chociaż w falach elektromagnetycznych mamy do czynienia z drganiami wektorów $\overrightarrow{E}$ i $\overrightarrow{B}$, to doświadczalnie stwierdzono decydującą rolę drgań pola elektrycznego dla reakcji fotochemicznych, fotoelektrycznych czy również fizjologicznych. Dlatego w rozważaniach naszych będziemy mówić o drganiach wektora natężenia pola elektrycznego jako o drganiach wektora świetlnego. Stosunek prędkości światła w próżni do prędkości światła w danym ośrodku oznaczyliśmy symbolem $n$ i nazywamy współczynnikiem załamania. Często nazywa się go także bezwzględnym współczynnikiem załamania, gdyż określa załamanie światła przy przejściu z próżni do ośrodka. Jeśli światło przechodzi z ośrodka $1$, gdzie rozchodzi się z prędkością $v_1$ do ośrodka $2$, gdzie prędkość światła wynosi $v_2$, załamanie jest określone przez współczynnik załamania ośrodka drugiego względem ośrodka pierwszego $n_{2,1}=\frac{n_2}{n_1}=\frac{v_1}{v_2}$. Pod pojęciem natężenia lub intensywności fali świetlnej będziemy tu rozumieć wielkość proporcjonalną nie do amplitudy drgań wektora $\overrightarrow{E}$, a do kwadratu tej amplitudy, bowiem, jak pamiętamy, energia fali elektromagnetycznej jest proporcjonalna do kwadratu natężenia pola elektrycznego. Pod sformułowaniem "amplituda fali" będziemy więc rozumieli, amplitudę drgań elektrycznych zaś w celu wyznaczenia intensywności lub natężenia światła będziemy wyznaczać wielkość proporcjonalną do kwadratu amplitudy. Wszystkie omawiane tu zjawiska mogą być opisane z użyciem formalizmu równań Maxwella. Zjawiska te i prawidłowości nimi rządzące zostały jednak zaobserwowane znacznie wcześniej. Zostały one opisane w ramach fenomenologicznych zasad, które umożliwiały w prosty sposób zrozumienie zjawisk falowych nie rozpatrując elektromagnetycznej natury samych fal, z czego nie zdawano sobie wcześniej sprawy. Jak już powiedzieliśmy, dopiero Maxwell pokazał, że światło ma naturę fal elektromagnetycznych.

---

Prosty opis wielu zjawisk falowych umożliwia zasada podana przez Christiana Huyghensa w 1678 roku, a więc prawie dwa wieki przed sformułowaniem przez Maxwella równań fal elektromagnetycznych. Zasada ta nie zakłada elektromagnetycznego charakteru fal świetlnych i nie wymaga znajomości prędkości ich rozchodzenia się. Mimo to jest niezwykle użyteczna do opisu wielu zjawisk obserwowanych w optyce. Warto dodać, że zasada ta ma charakter ogólny i może być stosowana do opisu różnego rodzaju fal. Zasadę Huyghensa można sformułować następująco: Każdy punkt w przestrzeni, do którego dociera fala, staje się źródłem nowej fali kulistej. Zasada ta nie jest w sprzeczności z prostoliniowym rozchodzeniem się światła, bowiem złożenie fal kulistych daje w rezultacie czoło fali rozchodzące się w określonym kierunku. Wyjaśnia również zjawisko ugięcia światła na przeszkodzie, czy po przejściu przez otwór. Jeśli na płaską przegrodę z otworem pada fala płaska w kierunku prostopadłym do przegrody, to każdy punkt otworu staje się źródłem wtórnej fali kulistej. Obwiednia tych fal wtórnych wyznacza nowe czoło fali. Widzimy, że fala przenika w obszar cienia geometrycznego, zaznaczonego na rysunku linią przerywaną.

---

Zastosujmy zasadę Huyghensa do zjawiska załamania światła na granicy dwóch ośrodków. W pierwszym prędkość światła wynosi $v_1$, w drugim $v_2$. Kąty padania i załamania definiujemy jako kąty między normalną do granicy ośrodków a odpowiednio, promieniem padającym i załamanym.

---

Niech czoło fali rozchodzącej się w prędkością $v_1$ w pierwszym ośrodku o współczynniku załamania $n_1$, pada na granicę z drugim ośrodkiem o współczynniku załamania $n_2$ i rozchodzi się dalej z prędkością $v_2$. Zgodnie z zasadą Huyghensa, w ośrodku tym rozchodzą się fale kuliste, które na rysunku pokazane są kolorem czerwonym. W czasie, kiedy światło przebiegnie w ośrodku pierwszym odcinek $A{A}^{\prime }$, fala w ośrodku drugim przebiegnie odcinek $B{B}^{\prime }$: $t_{A{A}^{\prime }}=t_{B{B}^{\prime }}$. Wyrażając czas jako iloraz drogi i prędkości mamy: $\frac{A{A}^{\prime }}{v_1}=\frac{B{B}^{\prime }}{v_2}$ Pamiętamy przy tym, że współczynnik załamania wiąże się z prędkością fali związkiem $n=\frac{c}{v}$. Wykorzystując zależności geometryczne: $A{A}^{\prime }=B{A}^{\prime }sin{\alpha }_1$ i $B{B}^{\prime }=B{A}^{\prime }sin{\alpha }_2$, otrzymujemy prawo Sneliusa: $n_{1}sin{\alpha }_1=n_{2}sin{\alpha }_2$, które można też wyrazić jako: stosunek sinusa kąta padania do sinusa kąta załamania jest stały i równy współczynnikowi załamania ośrodka drugiego względem pierwszego.

---

Jeśli promień padający biegnie w ośrodku gęstszym optycznie (czyli $v_1<v_2$), to kąt załamania jest większy niż kąt padania. Zwiększając kąt padania dochodzimy do sytuacji, gdy kąt załamania równy jest $90^{\circ }$. Taki kąt padania nazywamy kątem granicznym. Sinus kąta granicznego jest odwrotnością współczynnika załamania ośrodka gęstszego optyczne względem ośrodka rzadszego optycznie. Jeśli światło padnie na granicę ośrodków pod kątem większym od granicznego, odbije się w całości od granicy. Jest to zjawisko całkowitego wewnętrznego odbicia. Wykorzystywane jest ono w konstrukcji światłowodów.

---

Zasada Fermata Druga zasada, sformułowana przez Pierre'a Fermata w 1650 roku dotyczy czasu przejścia światła pomiędzy dwoma punktami. Jej sens można sformułować następująco. Światło biegnie po takiej drodze, na pokonanie której potrzebny jest ekstremalny (na ogół najmniejszy) czas. Zasada ta umożliwia na przykład sformułowanie praw odbicia i załamania fal poprzez znalezienie warunków minimalnego czasu na pokonanie drogi pomiędzy dwoma zadanymi punktami. Zasada Fermata jest szczególnym przypadkiem tzw. zasady wariacyjnej, według której dla rozwiązania danego zagadnienia poszukuje się takiej funkcji, dla której określona całka przyjmuje wartość ekstremalną. W naszych przykładach całką tą będzie sumaryczny czas. Zasada ta umożliwia rozwiązywanie wielu problemów nie tylko z dziedziny fizyki.

---

Warunki geometryczne dla odbicia promieni świetlnych od granicy dwóch ośrodków pokazane są na rysunku. "Próbny" promień pokazany jest kolorem czerwonym. Ośrodek jest wciąż ten sam, więc światło porusza się cały czas z tą samą prędkością. Minimum czasu odpowiada więc najkrótszej drodze. Długość drogi pomiędzy punktami $A$ i $B$, określonej tak, że promień świetlny musi w jakimś punkcie odbić się od zwierciadła $Z$, może być zapisana w postaci: $s=\sqrt{a^2+x^2}+\sqrt{b^2+(d-x{)}^2}$. Poszukujemy takiej wartości $x$, dla której droga $s$ mieć będzie wartość minimalną. W tym celu obliczamy pochodną ds/dx i przyrównujemy ją do zera. Otrzymujemy: $\frac{x}{\sqrt{a^2+x^2}}=\frac{d-x}{\sqrt{b^2+(d-x{)}^2}}$, czyli $sin{\alpha }_1=sin{\alpha }_2$. Oznacza to, że kąt odbicia równy jest kątowi padania. Oba promienie padający i odbity oraz normalna leżą w jednej płaszczyźnie. Światło pobiegnie więc od punktu $A$ do punktu $B$ po takiej drodze, by spełniony był warunek minimalnego czasu, a wiec nie po drodze $APB$, ale $A{P}^{\prime }B$.

---

Dla zjawiska odbicia mogliśmy zasadę najkrótszego czasu zastąpić zasadą najkrótszej drogi, bo prędkość światła przez cały czas była jednakowa. Inaczej jest, gdy światło przechodzi przez granicę dwóch ośrodków i jego prędkość zmienia się. Analogiczna sytuacja jest wtedy, gdy ratownik musi w najkrótszym czasie dotrzeć do wzywającego pomocy. Bez obliczania całek wybierze on taką drogę, aby jej większa część przypadła na plażę, gdzie porusza się znacznie szybciej niż w wodzie.

---

Zastosujmy zasadę Fermata do zjawiska załamania fali na granicy dwóch ośrodków o współczynnikach załamania $n_1$ i $n_2$. Relacje geometryczne przedstawia rysunek. Pamiętając, że współczynnik załamania jest stosunkiem prędkości światła w próżni do prędkości w danym ośrodku $n=\frac{c}{v}$, otrzymujemy wyrażenie na czas przebycia przez światło drogi od $A$ do $B$: $t=\frac{n_1{l}_1+n_2{l}_2}{c}$. Wielkość $l=n_1{l}_1+n_2{l}_2$ nosi nazwę drogi optycznej. Poszukujemy więc takiej wartości $x$, przy ustalonych położeniach punktów $A$ i $B$, by droga optyczna była minimalna. W tym celu obliczamy pochodną wyrażenia, w którym drogę optyczną określamy w funkcji $x$: $l=n_1\sqrt{a^2+x^2}+n_2\sqrt{b^2+(c-x{)}^2}$. Po przyrównaniu pochodnej $dl/dx$ do zera otrzymujemy: $n_1\frac{x}{\sqrt{a^2+x^2}}=n_2\frac{c-x}{\sqrt{b^2+(c-x{)}^2}}$, czyli znane prawo załamania: $n_{1}sin{\alpha }_1=n_{2}sin{\alpha }_2$.