Laboratorium wirtualne 1/Moduł 5 - ćwiczenie 5

---

---

Tradycyjna analiza widmowa Fouriera jako superpozycja funkcji sinus i cosinus jest niemal wszechobecna w dziedzinie identyfikacji i analizy sygnałów pomiarowych. Użyteczność transformaty Fouriera zawiera się w jej zdolności do analizy przebiegu czasowego sygnału pod kątem jego „zawartości częstotliwościowej”. Należy podkreślić, że tradycyjna analiza częstotliwościowa nie nadaje się do obserwacji właściwości sygnałów niestacjonarnych. Wymagana jest tutaj analiza wykorzystująca łączne czasowo-częstotliwościowe (t/f) reprezentacje sygnałów (JFTA - Joint Time-Frequency Analysis). Tego rodzaju analizę zapewnia krótkoczasowa transformata Fouriera, czy też transformata Gabora. Rodzajem analizy czasowo-częstotliwościowej jest również transformacja falkowa. Najbardziej charakterystyczne dla transformaty falkowej jest to, że indywidualne funkcje falkowe są dobrze zlokalizowane w czasie (lub przestrzeni – dla obrazów) i jednocześnie dobrze opisują sygnał w dziedzinie częstotliwości, ściśle biorąc tzw. skali. Ponadto w odróżnieniu od funkcji sinus i cosinus, które definiują unikalną transformatę Fouriera, nie ma pojedynczego, unikalnego zbioru falkowych funkcji bazowych. Falki różnią się między sobą zwartością lokalizacji czasowej oraz płynnością i gładkością kształtów. Wynikająca stąd zdolność falek do opisu sygnałów „z nieciągłościami”, przy ograniczonej liczbie współczynników oraz z lokalizacją w czasie, stanowi o jej przewadze nad transformatą Fouriera.

---

Krótkoczasowa transformata Fouriera (STFT – Short-Time Fourier Transform) stanowi wzorcowy przykład algorytmu analizy czasowo-częstotliwościowej. Umożliwia ona wydobycie z sygnału informacji o tym, jak zmienia się jego widmo w czasie, czyli jednoczesną obserwację jego właściwości zarówno w dziedzinie czasu jak i częstotliwości. Wycinek sygnału (blok próbek o rozmiarze L) przeznaczony do analizy jest sukcesywnie dzielony na segmenty, z których każdy podlega analizie widmowej niezależnie. Podobnie jak w przypadku tradycyjnym, aby usunąć gwałtowne zmiany (cięcia) sygnału na krańcach przedziałów, stosuje się różne okna czasowe w odniesieniu do wspomnianych segmentów. Przesuwając okno w czasie, wzdłuż sygnału, wyznacza się jego zawartość widmową wewnątrz przedziału czasowego, którego długość jest określona szerokością okna. Krótkoczasową transformatę Fouriera sygnału $x(t)$, w odniesieniu do okna $\phi (t)$ rozmieszczonego w pozycji $(\tau ,\xi )$ na płaszczyźnie t/f zdefiniować można jako (1). W odróżnieniu od tradycyjnej transformaty Fouriera, dla której do wyznaczenia pojedynczej składowej konieczna jest znajomość funkcji $x(t)$ na całej osi czasu, w tym przypadku, wymagana jest znajomość $x(t)$ tylko w przedziale określonym przez położenie $\phi (t-\tau )$. Dyskretna wersja powyższego równania przyjmuje postać: $X({\tau }_n,{\xi }_k)=T_p\sum _{i=0}^{N-1}x(t_i)\phi (t_i-{\tau }_n)e^{-j{\xi }_k{t}_i}$ gdzie $T_p$ oznacza okres próbkowania sygnału. Dla przypadku unormowanego, gdy $T_p=1$ otrzymujemy zależność (2).

---

Kształt okna czasowego $\phi (t)$ rozmieszczonego w pozycji $(\tau ,\xi )$ na płaszczyźnie t/f odgrywa kluczową rolę w przypadku STFT. Iloczyn szerokości okna w dziedzinie czasu ${\mathrm{\Delta }}_t$ i szerokości okna w dziedzinie częstotliwości ${\mathrm{\Delta }}_{\omega }$ jest wielkością stałą dla danego okna. Stąd też, poprawiając rozdzielczość w dziedzinie czasu, będziemy ją pogarszać w dziedzinie częstotliwości i odwrotnie. Zatem szerokość okna wybierana jest na drodze kompromisu. Interpretacja położenia okna czasowo-częstotliwościowego na płaszczyźnie t/f przedstawiona jest na rysunku 1.

---

Na rysunku 2 pokazany jest przykład zastosowania rozkładu STFT do sygnału o postaci: $x(t)=sin2\pi f_{1}t+sin2\pi f_{2}t+\alpha [\delta (t-t_1)+\delta (t-t_2)]$ dla różnych szerokości (promieni) ${\mathrm{\Delta }}_t$ okna czasowego $\phi (t)$. W przypadku zastosowania szerokiego okna czasowego, otrzymuje się bardzo dużą rozdzielczość częstotliwościową i bardzo małą rozdzielczość czasową. W miarę zwężania okna czasowego poprawia się rozdzielczość czasowa kosztem częstotliwościowej.

---

Znany jest pewien przypadek szczególny, w którym okno czasowe ma kształt gaussowski opisany wzorem (3). Okazuje się, że widmo tego okna ma również kształt gaussowski: $\mathrm{\Phi }(\omega )=G_{\alpha }(\omega )=e^{-\alpha {\omega }^2},\alpha >0$ Okno to, od nazwiska pierwszego użytkownika, nosi miano okna Gabora. Iloczyn szerokości okna Gabora w dziedzinie czasu ${\mathrm{\Delta }}_t$ i szerokości okna w dziedzinie częstotliwości ${\mathrm{\Delta }}_{\omega }$ osiąga minimum i wynosi: ${\mathrm{\Delta }}_t{\mathrm{\Delta }}_{\omega }=\frac{1}{2}$ Analityczny zapis transformaty Gabora przedstawia zależność (4). Inaczej: $G(\tau ,\xi )=⟨x(t),g_{\alpha }(t-\tau )e^{j\xi t}⟩$ Do celów obliczeń numerycznych wprowadza się pojęcie dyskretnej transformaty Gabora, określanej w skończonym zbiorze punktów na płaszczyźnie t/f. Zdyskretyzowana wersja transformaty (w sensie położenia okna na płaszczyźnie t/f) jest opisana następującą zależnością: Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle G(\tau_n, \xi_k)=\int_{-\infty}^{+\infty} {x(t){g_{\alpha}^{*}(t-\tau_n)e^{-j\xi_k t}}\, dt}

---

Praktyczny algorytm obliczeniowy dyskretnego rozkładu Gabora ma postać określoną wzorem (5). Współczynniki rozkładu Gabora są wyznaczane za pomocą algorytmu STFT z równania (6) gdzie $N$ oznacza liczbę przedziałów częstotliwości, $T_p$ okres próbkowania, $\gamma [n]$ funkcję dualną do $g_{\alpha }[n]$.

---