LW1 Moduł 4

---

---

Analiza widmowa Fouriera sygnałów, jako superpozycja funkcji sinus i cosinus, jest obecnie niemal wszechobecna w dziedzinie rozpoznawania i analizy sygnałów pomiarowych. Mniej lub bardziej zaawansowane algorytmy cyfrowego przetwarzania i analizy sygnałów stanowią obecnie nieodłączną część modułów programowych każdego przyrządu pomiarowego. Algorytm dyskretnej transformaty Fouriera umożliwia, przy stosunkowo niewielkim nakładzie obliczeniowym, badanie w dziedzinie częstotliwości właściwości sygnałów określonych w funkcji czasu. Mówimy, że umożliwia on przeprowadzenie tzw. analizy częstotliwościowej lub inaczej analizy widmowej.

---

Użyteczność transformaty Fouriera zawiera się w jej zdolności do analizy przebiegu czasowego sygnału pod kątem jego „zawartości częstotliwościowej”. Zastosowana w tym celu transformacja sygnału polega na przetworzeniu funkcji opisanej w dziedzinie czasu na funkcję opisaną w dziedzinie częstotliwości. Dopiero wtedy, sygnał może być analizowany pod kątem jego właściwości częstotliwościowych. Na potrzeby analizy widmowej niezbędne jest wprowadzenie klasyfikacji sygnałów, $x(t)$ oznacza sygnał zmienny w czasie, na sygnały o ograniczonej energii, dla których jest spełniona zależność: $\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}{x}^2(t)dt<\mathrm{\infty }$ oraz sygnały okresowe o ograniczonej mocy średniej, dla których: $\underset{t_0}{\overset{t_0+T}{\int }}{x_p}^2(t)dt<\mathrm{\infty }$ Dla ciągłego sygnału analogowego $x(t)$ o ograniczonej energii definiuje się pojęcie widma $X(\omega )$ za pomocą tzw. ciągłej transformaty Fouriera (1) określanej też mianem transformaty całkowej. Na odtworzenie sygnału z jego widma pozwala transformata odwrotna (2). W obydwu wzorach $\omega =2\pi f=2\pi /T$ oznacza pulsację.

---

W przypadku sygnału okresowego $x_p(t)$ wyznaczenie widma jest bardziej proste i polega na rozwinięciu jednego jego okresu w zespolony szereg Fouriera (3), gdzie współczynniki tego rozwinięcia $X_{pk}$ stanowią dyskretne widmo sygnału, i można je wyliczyć za pomocą całki Fouriera zastosowanej do pojedynczego okresu (4). W obydwu wzorach ${\omega }_0=2\pi f_0=2\pi /T$ stanowi pulsację sygnału okresowego.

---

W ogólności składowe widma są liczbami zespolonymi, a więc można im przyporządkować pewną amplitudę i fazę. Oczywiście można je również zapisać w postaci trygonometrycznej. Na rysunku 1 pokazano metodę syntezy pewnego wybranego przebiegu okresowego, fali prostokątnej, z przebiegów harmonicznych o zerowej fazie początkowej. Jest to proces odwrotny w stosunku do tego, co obserwujemy w trakcie analizy widmowej. Do syntezy wykorzystano, w sposób stopniowy sygnały tworzone według schematu: $x_1(t)=sin({\omega }_{0}t)$ $x_3(t)=sin({\omega }_{0}t)+\frac{1}{3}sin(3{\omega }_{0}t)$ $x_5(t)=sin({\omega }_{0}t)+\frac{1}{3}sin(3{\omega }_{0}t)+\frac{1}{5}sin(5{\omega }_{0}t)$ $x_7(t)=sin({\omega }_{0}t)+\frac{1}{3}sin(3{\omega }_{0}t)+\frac{1}{5}sin(5{\omega }_{0}t)+\frac{1}{7}sin(7{\omega }_{0}t)$ Jak widać sygnały te otrzymano drogą sumowania nieparzystych harmonicznych o amplitudach proporcjonalnych do 1/n, gdzie n oznacza numer harmonicznej. Na rysunku 1 widać wyraźnie jak liczba składowych (nieparzystych harmonicznych) wpływa na kształt przebiegu wynikowego.

---

Poszczególnym fragmentom widma sygnału, przypisuje się pewne szczególne nazwy i znaczenie zgodne z interpretacją zjawisk fizycznych. Prążek znajdujący się na pozycji zerowej, prążek zerowy, jest określany mianem składowej stałej przebiegu. Prążek z nim sąsiadujący nosi nazwę podstawowej harmonicznej, zaś wszystkie pozostałe określane są mianem wyższych harmonicznych. Należy zaznaczyć, że w ogólnym przypadku składowe widma nie muszą występować w związku harmonicznym między sobą.

---

Łatwo zauważyć, że wyznaczanie ciągłego widma sygnału (całkowa transformata Fouriera), wymaga stosunkowo skomplikowanych obliczeń matematycznych. Na szczęście, po przejściu do przypadku dyskretnego, obliczenia te mogą być wykonywane za pomocą komputera. Przedtem jednak należy wybrany fragment realizacji sygnału wczytać do pamięci komputera. Wymaga to uprzedniego przetworzenia tego sygnału do postaci cyfrowej, a więc próbkowania (dyskretyzacji w czasie) i kwantyzacji (dyskretyzacji w amplitudzie). W praktyce pomiarowej, gdy mamy do czynienia z sygnałami niezdeterminowanymi, napotykamy pewne trudności, których podstawową przyczyną jest właśnie tzw. skończony czas obserwacji sygnału. Do analizy widmowej, z konieczności, przeznaczony zostanie tylko pewien jego fragment - np. część zaznaczona linią przerywaną na rysunku 3, zawierająca L próbek. Mówimy w takim przypadku, że na sygnał nałożone zostało okno czasowe $w(n)$ o kształcie prostokątnym, zgodnie z zależnością: $x_w(n)=x(n)w(n)$ Wyznaczenie widma polega wtedy na zastosowaniu algorytmu transformaty Fouriera do przetworzenia sygnału dyskretnego.

---

Wykorzystanie komputera do wyznaczenia widma sygnału wymaga kolejnego kroku, przedstawienia widma w postaci dyskretnej. Powadzi do wykreowania tzw. dyskretnej transformaty Fouriera (Discrete Fourier Transform: DFT), gdzie każdy „dyskretny prążek” widma wyznacza się ze wzoru (5). W tym przypadku, współczynniki transformaty reprezentują udział każdej ze składowych przebiegów typu sinus i cosinus w funkcji ich częstotliwości. Zastosowanie algorytmu odwrotnej dyskretnej transformaty Fouriera (Inverse Discrete Fourier Transform: IDFT), umożliwia odtworzenie ciągu próbek sygnału według zależności (6).

---

W konsekwencji tego, że algorytm dyskretnej transformaty Fouriera wymaga „dyskretyzacji widma”, sygnał odtworzony przyjmuje formę okresową - następuje powielenie na osi czasu fragmentu sygnału przyjętego do analizy (rysunek 4). Przypadkowość polegająca na „wycięciu z kontekstu” fragmentu sygnału (przyjętego do analizy) objawiać się może jako deformacja przebiegu sygnału na krańcach przedziału po jego odtworzeniu. Znajdzie to również swoje odzwierciedlenie w widmie sygnału. Skutecznym sposobem ograniczenia niekorzystnego wpływu tego efektu na przebieg analizy jest uprzednie „odkształcenie” wycinka analizowanego sygnału (wytłumienie sygnału na krańcach przedziału) przez zastosowanie okna czasowego o kształcie odmiennym od prostokątnego.

---

W szczególnym przypadku, gdy mamy do czynienia z dyskretnym sygnałem okresowym o okresie N, do analizy możemy przeznaczyć wycinek będący wielokrotnością okresu L=kN. Mamy wtedy do czynienia z przypadkiem synchronicznej analizy widmowej, nie wymagającej użycia okien czasowych o wymyślnych kształtach. Wynika to z faktu, że częstotliwości sygnału wejściowego leżą dokładnie w punktach, w których są wyliczane prążki DFT. Zastosowanie okien innych niż prostokątne wręcz pogarsza rozdzielczość częstotliwościową analizy, nie oferując nic w zamian. Właściwość ta jest uwidoczniona na rysunku 5, na którym przedstawiono wynik analizy synchronicznej sygnału sinusoidalnego o częstotliwości 50Hz przy zastosowaniu okna prostokątnego i okna Hanninga. Wynik DFT jest zdyskretyzowaną wersją widma ciągłego, zaznaczonego na rysunku linią kropkowaną. W przypadku gdy ciąg wejściowy zawiera całkowitą liczbę okresów, to dla okna prostokątnego, prążki DFT różne od podstawowej harmonicznej leżą dokładnie w miejscach, gdzie widmo ciągłe przyjmuje wartości zerowe. Zastosowanie okna Hanninga objawia się powstaniem dwóch dodatkowych prążków DFT sąsiadujących z podstawową harmoniczną, co jest zjawiskiem niepożądanym.

---

Zupełnie inaczej wygląda widmo tego samego sygnału, jeśli analiza jest asynchroniczna (rysunek 6). W tym przypadku sygnał wejściowy zawiera składową o częstotliwości pośredniej pomiędzy częstotliwościami, dla których wyznaczamy wartości DFT. Nie ma więc możliwości „wystawienia” prążka w miejscu jego faktycznego występowania (50Hz). Składowa ta ujawni się w pewnym stopniu we wszystkich N wyjściowych wartościach częstotliwości DFT, dla których przeprowadzamy częstotliwościową analizę sygnału. Stąd też widmo „rozmywa się”, lub inaczej następuje tak zwany przeciek widma. Wyniki DFT stanowią tutaj jedynie aproksymację rzeczywistego widma oryginalnego dyskretnego sygnału wejściowego. W tym przypadku zastosowanie okna różnego od prostokątnego (np. Hanninga) ma wyraźny sens. Co prawda wartości prążków widma położone blisko częstotliwości podstawowej (50Hz) dla okna Hanninga mają mniejszą wartość niż dla okna prostokątnego, ale wartości dalszych prążków są zauważalnie mniejsze w porównaniu z analogicznymi prążkami dla okna prostokątnego. Podobnie jak dla analizy synchronicznej prążki widma są próbkami ciągłej krzywej widmowej, ale tym razem wartości prążków różnych od podstawowej harmonicznej nie wypadają już w miejscach zerowych widma ciągłego.

---

Stosowanych jest wiele różnych okien czasowych. Zwykle, okna w sposób łagodny tłumą do zera amplitudy próbek sygnału na krańcach przedziału. Nie ma recepty na dobór kształtu okna czasowego. Są jednak kryteria pozwalające ocenić właściwości okna w dziedzinie częstotliwości i dobrać okno stosownie do potrzeb. Często, choć nie jest to sposób zalecany, dobiera się je w sposób eksperymentalny, obserwując kształt widma. Problem polega na tym, że nie znamy prawidłowego obrazu tego widma. Zazwyczaj właściwości danego okna oceniamy przez porównanie ich z cechami okna prostokątnego. Na rysunku 7 są pokazane przebiegi czasowe okien: prostokątnego, trójkątnego i Hanninga oraz ich widmowe charakterystyki amplitudowe w skali liniowej i logarytmicznej.

---

Jedną z najważniejszych cech okien są poziomy listków bocznych. Rozpatrując widmową charakterystykę amplitudową okna prostokątnego można zauważyć, że jego główny listek boczny jest najwęższy (wynosi $2f_p/N$, gdzie $f_p$ oznacza częstotliwość próbkowania, a N liczbę próbek), ale jego pierwszy listek boczny leży jedynie o 13 dB poniżej szczytu listka głównego, co nie jest korzystne. Okno trójkątne ma zmniejszone poziomy listków bocznych, ale za to szerokość jego listka głównego jest dwa razy większa. Dla okna Hanninga obserwujemy dalsze zmniejszanie się poziomu pierwszego listka bocznego i gwałtowny spadek poziomu dalszych listków bocznych. W ogólności, szerokości listków głównych okien czasowych „degradują” rozdzielczość częstotliwościową analizy widmowej sygnałów wycinanych tymi oknami. Z drugiej strony korzyści wynikające ze zmniejszania przecieku (szybko opadające poziomy dalszych listków bocznych) zazwyczaj przeważają nad stratą widmowej rozdzielczości DFT. Przykładowy obraz dyskretnego widma sygnału rzeczywistego przedstawiono na rysunku 8. W tym przykładzie sygnał przetwarzany jest sumą dwóch sygnałów sinusoidalnych o częstotliwościach 50Hz i 80Hz i amplitudach odpowiednio 1 oraz 0.005. Do analizy został wycięty fragment sygnału o czasie trwania 0.202s wpierw przy użyciu okna prostokątnego, a następnie okna Hanninga. Wycięty fragment sygnału zawiera niecałkowitą liczbę okresów sygnału badanego, zatem zachodzi przypadek analizy asynchronicznej. Jak można było oczekiwać, widmo amplitudowe dla okna Hanninga jest szersze i ma mniejszy poziom składowej maksymalnej, a przeciek listków bocznych jest zauważalnie zmniejszony w porównaniu z przeciekiem dla okna prostokątnego. Inną korzyścią wynikającą z użycia „wymyślnego” okna czasowego jest możliwość wykrycia składowej o stosunkowo niskim poziomie w stosunku do sygnału głównego. Na rysunku 8 widać, że dla okna prostokątnego sinusoida o niskim poziomie amplitudy jest praktycznie niewykrywalna.

---

Podsumowanie powyższych rozważań stanowi treść rysunku 9, na którym zamieszczono przykład analizy widmowej sygnału harmonicznego o częstotliwości $f_h=K{f}_p/L$. Jak z niego wynika, w przypadku ogólnym, na całościowy obraz wyników analizy widmowej składają się trzy wskazane tam elementy: wynik analizy synchronicznej, efekt asynchroniczności, oraz efekt kwantyzacji amplitudy próbek. Na rysunku 9, dla przejrzystości, zamieszczono tylko obwiednie fragmentów widma leżących po obydwu stronach prążka głównego.

---