LW1 Moduł 4

---

---

Analiza widmowa Fouriera sygnałów, jako superpozycja funkcji sinus i cosinus, jest obecnie niemal wszechobecna w dziedzinie rozpoznawania i analizy sygnałów pomiarowych. Mniej lub bardziej zaawansowane algorytmy cyfrowego przetwarzania i analizy sygnałów stanowią obecnie nieodłączną część modułów programowych każdego przyrządu pomiarowego. Algorytm dyskretnej transformaty Fouriera umożliwia, przy stosunkowo niewielkim nakładzie obliczeniowym, badanie w dziedzinie częstotliwości właściwości sygnałów określonych w funkcji czasu. Mówimy, że umożliwia on przeprowadzenie tzw. analizy częstotliwościowej lub inaczej analizy widmowej.

---

Użyteczność transformaty Fouriera zawiera się w jej zdolności do analizy przebiegu czasowego sygnału pod kątem jego „zawartości częstotliwościowej”. Zastosowana w tym celu transformacja sygnału polega na przetworzeniu funkcji opisanej w dziedzinie czasu na funkcję opisaną w dziedzinie częstotliwości. Dopiero wtedy, sygnał może być analizowany pod kątem jego właściwości częstotliwościowych. Na potrzeby analizy widmowej niezbędne jest wprowadzenie klasyfikacji sygnałów, $x(t)$ oznacza sygnał zmienny w czasie, na sygnały o ograniczonej energii, dla których jest spełniona zależność: $\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}{x}^2(t)dt<\mathrm{\infty }$ oraz sygnały okresowe o ograniczonej mocy średniej, dla których: $\underset{t_0}{\overset{t_0+T}{\int }}{x_p}^2(t)dt<\mathrm{\infty }$ Dla ciągłego sygnału analogowego $x(t)$ o ograniczonej energii definiuje się pojęcie widma $X(\omega )$ za pomocą tzw. ciągłej transformaty Fouriera (1) określanej też mianem transformaty całkowej. Na odtworzenie sygnału z jego widma pozwala transformata odwrotna (2). W obydwu wzorach $\omega =2\pi f=2\pi /T$ oznacza pulsację.

---

W przypadku sygnału okresowego $x_p(t)$ wyznaczenie widma jest bardziej proste i polega na rozwinięciu jednego jego okresu w zespolony szereg Fouriera (3), gdzie współczynniki tego rozwinięcia $X_{pk}$ stanowią dyskretne widmo sygnału, i można je wyliczyć za pomocą całki Fouriera zastosowanej do pojedynczego okresu (4). W obydwu wzorach ${\omega }_0=2\pi f_0=2\pi /T$ stanowi pulsację sygnału okresowego.

---

W ogólności składowe widma są liczbami zespolonymi, a więc można im przyporządkować pewną amplitudę i fazę. Oczywiście można je również zapisać w postaci trygonometrycznej. Na rysunku 1 pokazano metodę syntezy pewnego wybranego przebiegu okresowego, fali prostokątnej, z przebiegów harmonicznych o zerowej fazie początkowej. Jest to proces odwrotny w stosunku do tego, co obserwujemy w trakcie analizy widmowej. Do syntezy wykorzystano, w sposób stopniowy sygnały tworzone według schematu: $x_1(t)=sin({\omega }_{0}t)$ $x_3(t)=sin({\omega }_{0}t)+\frac{1}{3}sin(3{\omega }_{0}t)$ $x_5(t)=sin({\omega }_{0}t)+\frac{1}{3}sin(3{\omega }_{0}t)+\frac{1}{5}sin(5{\omega }_{0}t)$ $x_7(t)=sin({\omega }_{0}t)+\frac{1}{3}sin(3{\omega }_{0}t)+\frac{1}{5}sin(5{\omega }_{0}t)+\frac{1}{7}sin(7{\omega }_{0}t)$ Jak widać sygnały te otrzymano drogą sumowania nieparzystych harmonicznych o amplitudach proporcjonalnych do 1/n, gdzie n oznacza numer harmonicznej. Na rysunku 1 widać wyraźnie jak liczba składowych (nieparzystych harmonicznych) wpływa na kształt przebiegu wynikowego.

---

Poszczególnym fragmentom widma sygnału, przypisuje się pewne szczególne nazwy i znaczenie zgodne z interpretacją zjawisk fizycznych. Prążek znajdujący się na pozycji zerowej, prążek zerowy, jest określany mianem składowej stałej przebiegu. Prążek z nim sąsiadujący nosi nazwę podstawowej harmonicznej, zaś wszystkie pozostałe określane są mianem wyższych harmonicznych. Należy zaznaczyć, że w ogólnym przypadku składowe widma nie muszą występować w związku harmonicznym między sobą.

---

Łatwo zauważyć, że wyznaczanie ciągłego widma sygnału (całkowa transformata Fouriera), wymaga stosunkowo skomplikowanych obliczeń matematycznych. Na szczęście, po przejściu do przypadku dyskretnego, obliczenia te mogą być wykonywane za pomocą komputera. Przedtem jednak należy wybrany fragment realizacji sygnału wczytać do pamięci komputera. Wymaga to uprzedniego przetworzenia tego sygnału do postaci cyfrowej, a więc próbkowania (dyskretyzacji w czasie) i kwantyzacji (dyskretyzacji w amplitudzie). W praktyce pomiarowej, gdy mamy do czynienia z sygnałami niezdeterminowanymi, napotykamy pewne trudności, których podstawową przyczyną jest właśnie tzw. skończony czas obserwacji sygnału. Do analizy widmowej, z konieczności, przeznaczony zostanie tylko pewien jego fragment - np. część zaznaczona linią przerywaną na rysunku 3, zawierająca L próbek. Mówimy w takim przypadku, że na sygnał nałożone zostało okno czasowe $w(n)$ o kształcie prostokątnym, zgodnie z zależnością: $x_w(n)=x(n)w(n)$ Wyznaczenie widma polega wtedy na zastosowaniu algorytmu transformaty Fouriera do przetworzenia sygnału dyskretnego.

---

Wykorzystanie komputera do wyznaczenia widma sygnału wymaga kolejnego kroku, przedstawienia widma w postaci dyskretnej. Powadzi do wykreowania tzw. dyskretnej transformaty Fouriera (Discrete Fourier Transform: DFT), gdzie każdy „dyskretny prążek” widma wyznacza się ze wzoru (5). W tym przypadku, współczynniki transformaty reprezentują udział każdej ze składowych przebiegów typu sinus i cosinus w funkcji ich częstotliwości. Zastosowanie algorytmu odwrotnej dyskretnej transformaty Fouriera (Inverse Discrete Fourier Transform: IDFT), umożliwia odtworzenie ciągu próbek sygnału według zależności (6).

---

W konsekwencji tego, że algorytm dyskretnej transformaty Fouriera wymaga „dyskretyzacji widma”, sygnał odtworzony przyjmuje formę okresową - następuje powielenie na osi czasu fragmentu sygnału przyjętego do analizy (rysunek 4). Przypadkowość polegająca na „wycięciu z kontekstu” fragmentu sygnału (przyjętego do analizy) objawiać się może jako deformacja przebiegu sygnału na krańcach przedziału po jego odtworzeniu. Znajdzie to również swoje odzwierciedlenie w widmie sygnału. Skutecznym sposobem ograniczenia niekorzystnego wpływu tego efektu na przebieg analizy jest uprzednie „odkształcenie” wycinka analizowanego sygnału (wytłumienie sygnału na krańcach przedziału) przez zastosowanie okna czasowego o kształcie odmiennym od prostokątnego.

---

W szczególnym przypadku, gdy mamy do czynienia z dyskretnym sygnałem okresowym o okresie N, do analizy możemy przeznaczyć wycinek będący wielokrotnością okresu L=kN. Mamy wtedy do czynienia z przypadkiem synchronicznej analizy widmowej, nie wymagającej użycia okien czasowych o wymyślnych kształtach. Wynika to z faktu, że częstotliwości sygnału wejściowego leżą dokładnie w punktach, w których są wyliczane prążki DFT. Zastosowanie okien innych niż prostokątne wręcz pogarsza rozdzielczość częstotliwościową analizy, nie oferując nic w zamian. Właściwość ta jest uwidoczniona na rysunku 5, na którym przedstawiono wynik analizy synchronicznej sygnału sinusoidalnego o częstotliwości 50Hz przy zastosowaniu okna prostokątnego i okna Hanninga. Wynik DFT jest zdyskretyzowaną wersją widma ciągłego, zaznaczonego na rysunku linią kropkowaną. W przypadku gdy ciąg wejściowy zawiera całkowitą liczbę okresów, to dla okna prostokątnego, prążki DFT różne od podstawowej harmonicznej leżą dokładnie w miejscach, gdzie widmo ciągłe przyjmuje wartości zerowe. Zastosowanie okna Hanninga objawia się powstaniem dwóch dodatkowych prążków DFT sąsiadujących z podstawową harmoniczną, co jest zjawiskiem niepożądanym.

---

Zupełnie inaczej wygląda widmo tego samego sygnału, jeśli analiza jest asynchroniczna (rysunek 6). W tym przypadku sygnał wejściowy zawiera składową o częstotliwości pośredniej pomiędzy częstotliwościami, dla których wyznaczamy wartości DFT. Nie ma więc możliwości „wystawienia” prążka w miejscu jego faktycznego występowania (50Hz). Składowa ta ujawni się w pewnym stopniu we wszystkich N wyjściowych wartościach częstotliwości DFT, dla których przeprowadzamy częstotliwościową analizę sygnału. Stąd też widmo „rozmywa się”, lub inaczej następuje tak zwany przeciek widma. Wyniki DFT stanowią tutaj jedynie aproksymację rzeczywistego widma oryginalnego dyskretnego sygnału wejściowego. W tym przypadku zastosowanie okna różnego od prostokątnego (np. Hanninga) ma wyraźny sens. Co prawda wartości prążków widma położone blisko częstotliwości podstawowej (50Hz) dla okna Hanninga mają mniejszą wartość niż dla okna prostokątnego, ale wartości dalszych prążków są zauważalnie mniejsze w porównaniu z analogicznymi prążkami dla okna prostokątnego. Podobnie jak dla analizy synchronicznej prążki widma są próbkami ciągłej krzywej widmowej, ale tym razem wartości prążków różnych od podstawowej harmonicznej nie wypadają już w miejscach zerowych widma ciągłego.

---