Analiza matematyczna 1/Ćwiczenia 10: Wzór Taylora. Ekstrema: Różnice pomiędzy wersjami
Nie podano opisu zmian |
Nie podano opisu zmian |
||
Linia 1: | Linia 1: | ||
==10. Wzór Taylora. Ekstrema== | |||
{ | {{cwiczenie|10.1.|| | ||
{ | |||
Wyznaczyć ekstrema funkcji | Wyznaczyć ekstrema funkcji | ||
a) <math>\displaystyle x\mapsto \frac{(x+2)^2}{x+3},\quad x\mapsto | a) <math> \displaystyle x\mapsto \frac{(x+2)^2}{x+3},\quad x\mapsto | ||
\frac{x^3}{(x-1)^2},\quad x\mapsto \frac{(x-2)^3}{(x+2)^3}</math>, | \frac{x^3}{(x-1)^2},\quad x\mapsto \frac{(x-2)^3}{(x+2)^3}</math>, | ||
b) <math>\displaystyle x\mapsto \sin^2 x+\cos x,\quad x\mapsto \mathrm{tg}\, x- | b) <math> \displaystyle x\mapsto \sin^2 x+\cos x,\quad x\mapsto \mathrm{tg}\, x- | ||
\sin x</math>, | \sin x</math>, | ||
c) <math>\displaystyle x\mapsto x e^{-\frac{1}{x+2}},\quad x\mapsto | c) <math> \displaystyle x\mapsto x e^{-\frac{1}{x+2}},\quad x\mapsto | ||
(2-x)e^{\left({x-2}\right)^{-2}}</math>, | (2-x)e^{\left({x-2}\right)^{-2}}</math>, | ||
d) <math> | d) <math> \displaystylex\mapsto \ln|x^2+3x-10|,\quad x\mapsto \ln^2|x|-2\ln|x|</math>, | ||
e) <math>\displaystyle x\mapsto x+10\mathrm{arc\,ctg}\,{x},\quad x\mapsto | e) <math> \displaystyle x\mapsto x+10\mathrm{arc\,ctg}\,{x},\quad x\mapsto | ||
\frac{2}{\sqrt{1-x^2}}+\arcsin x</math>, | \frac{2}{\sqrt{1-x^2}}+\arcsin x</math>, | ||
f) <math>\displaystyle x\mapsto x^x,\quad x\mapsto (x^2+1)^{x^3+2x}</math>. | f) <math> \displaystyle x\mapsto x^x,\quad x\mapsto (x^2+1)^{x^3+2x}</math>. | ||
}} | }} | ||
{{cwiczenie|10.2.|| | |||
{{cwiczenie| | |||
Wyznaczyć ekstrema funkcji | Wyznaczyć ekstrema funkcji | ||
a) <math> | a) <math> \displaystylex\mapsto \sqrt{x^2},\quad x\mapsto \sqrt[3]{x^2},\quad | ||
x\mapsto \sqrt[5]{x^3}</math>, | x\mapsto \sqrt[5]{x^3}</math>, | ||
b) <math>\displaystyle x\mapsto \sqrt{\frac{x^3}{x-2}},\quad x\mapsto | b) <math> \displaystyle x\mapsto \sqrt{\frac{x^3}{x-2}},\quad x\mapsto | ||
\sqrt{\frac{4-x}{(x+2)^3}}</math>. | \sqrt{\frac{4-x}{(x+2)^3}}</math>. | ||
c) <math>\displaystyle x\mapsto 3\sqrt[3]{x^2}e^x,\quad x\mapsto | c) <math> \displaystyle x\mapsto 3\sqrt[3]{x^2}e^x,\quad x\mapsto | ||
5\sqrt[5]{x^4}e^{-x}, \quad x\mapsto \sqrt{e^{x^2}-1}</math>, | 5\sqrt[5]{x^4}e^{-x}, \quad x\mapsto \sqrt{e^{x^2}-1}</math>, | ||
d) <math>\displaystyle x\mapsto \arccos{\frac{1-x^2}{1+x^2}},\quad | d) <math> \displaystyle x\mapsto \arccos{\frac{1-x^2}{1+x^2}},\quad | ||
x\mapsto \arcsin{\frac{2x}{1+x^2}}</math>. | x\mapsto \arcsin{\frac{2x}{1+x^2}}</math>. | ||
}} | }} | ||
{{cwiczenie|10.3.|| | |||
{{cwiczenie| | |||
Wyznaczyć największą i najmniejszą | Wyznaczyć największą i najmniejszą | ||
wartość funkcji | wartość funkcji | ||
a) <math>\displaystyle f(x)= e^{\frac{x^2}{x^2-10}}</math>, | a) <math> \displaystyle f(x)= e^{\frac{x^2}{x^2-10}}</math>, | ||
b) <math>\displaystyle g(x)= \mathrm{arctg}\, \frac{|x|}{\sqrt{3}}</math><br> | b) <math> \displaystyle g(x)= \mathrm{arctg}\, \frac{|x|}{\sqrt{3}}</math><br> | ||
w przedziale <math>[-1,3]</math>. | w przedziale <math> \displaystyle[-1,3]</math>. | ||
}} | }} | ||
{{cwiczenie|10.4.|| | |||
{{cwiczenie| | |||
Znaleźć wymiary puszki do konserw w | Znaleźć wymiary puszki do konserw w | ||
kształcie walca o objętości <math> | kształcie walca o objętości <math> \displaystyleV=250\pi {\rm cm}^3</math>, do sporządzenia | ||
której zużyje się najmniej blachy. | której zużyje się najmniej blachy. | ||
}} | }} | ||
{{cwiczenie|10.5.|| | |||
{{cwiczenie| | |||
a) Udowodnić, że niezależnie od wyboru | a) Udowodnić, że niezależnie od wyboru | ||
parametru <math> | parametru <math> \displaystylem\in\mathbb R</math> funkcja <math> \displaystylef(x)= 3x^4 -4mx^3+m^2x^2</math> ma | ||
minimum w punkcie <math> | minimum w punkcie <math> \displaystyle0</math>. | ||
b) Wykorzystując wzór Taylora dla <math> | b) Wykorzystując wzór Taylora dla <math> \displaystylen\in\{1,2\}</math> wyznaczyć | ||
przybliżoną wartość <math>\sqrt{24,9}</math> i <math>\sqrt[4]{16,08}</math>, oraz | przybliżoną wartość <math> \displaystyle\sqrt{24,9}</math> i <math> \displaystyle\sqrt[4]{16,08}</math>, oraz | ||
oszacować błąd przybliżenia. | oszacować błąd przybliżenia. | ||
}} | }} | ||
{{cwiczenie|10.6.|| | |||
{{cwiczenie| | |||
Niech | Niech | ||
<center><math> | <center><math> \displaystyle | ||
f_n(x)=\left\{\begin{array} {ll} | f_n(x)=\left\{\begin{array} {ll} | ||
x^n\sin \frac1x,& {\rm gdy}\; x\neq | x^n\sin \frac1x,& {\rm gdy}\; x\neq | ||
Linia 106: | Linia 77: | ||
\end{array} \right., n\in\mathbb N_0. | \end{array} \right., n\in\mathbb N_0. | ||
</math></center> | </math></center> | ||
Pokazać, że <math> | Pokazać, że <math> \displaystylef_{2n}</math> ma <math> \displaystylen</math>-tą pochodną nieciągłą w <math> \displaystyle0</math>, a | ||
<math> | <math> \displaystylef_{2n+1}</math> należy do klasy <math> \displaystyleC^n</math>, ale nie ma <math> \displaystyle(n+1)</math>-ej pochodnej | ||
w <math> | w <math> \displaystyle0</math>, dla <math> \displaystylen\in\mathbb N_0</math>. | ||
}} | }} | ||
===Wskazówki=== | ===Wskazówki=== | ||
Linia 122: | Linia 91: | ||
badać znak drugiej pochodnej w punktach krytycznych. | badać znak drugiej pochodnej w punktach krytycznych. | ||
f) Przypomnijmy, że funkcje postaci <math>\displaystyle | f) Przypomnijmy, że funkcje postaci <math> \displaystyle | ||
\left(F(x)\right)^{G(x)}</math> rozważa się przy założeniu <math> | \left(F(x)\right)^{G(x)}</math> rozważa się przy założeniu <math> \displaystyleF(x)>0</math>. By | ||
policzyć pochodną tych funkcji można je przedstawić w postaci | policzyć pochodną tych funkcji można je przedstawić w postaci | ||
<math>\displaystyle \left(F(x)\right)^{G(x)}=e^{G(x)\ln(F(x))}</math> | <math> \displaystyle \left(F(x)\right)^{G(x)}=e^{G(x)\ln(F(x))}</math> | ||
(dlaczego?). Szukając punktów krytycznych drugiej funkcji w tym | (dlaczego?). Szukając punktów krytycznych drugiej funkcji w tym | ||
podpunkcie zastanówmy się, kiedy suma dwóch składników nieujemnych | podpunkcie zastanówmy się, kiedy suma dwóch składników nieujemnych | ||
jest równa zero. {}<math>\Box</math></div></div> | jest równa zero. {}<math> \displaystyle\Box</math></div></div> | ||
<div class="mw-collapsible mw-made=collapsible mw-collapsed"><span class="mw-collapsible-toogle mw-collapsible-toogle-default style="font-variant:small-caps">Wskazówka </span><div class="mw-collapsible-content" style="display:none"> [[##z.am1.10.020|Uzupelnic z.am1.10.020|]] Podobnie jak w zadaniu [[##z.am1.10.010|Uzupelnic z.am1.10.010|]] | <div class="mw-collapsible mw-made=collapsible mw-collapsed"><span class="mw-collapsible-toogle mw-collapsible-toogle-default style="font-variant:small-caps">Wskazówka </span><div class="mw-collapsible-content" style="display:none"> [[##z.am1.10.020|Uzupelnic z.am1.10.020|]] Podobnie jak w zadaniu [[##z.am1.10.010|Uzupelnic z.am1.10.010|]] | ||
Linia 135: | Linia 104: | ||
a) Pierwszą z tych funkcji można zapisać w innej, dobrze znanej | a) Pierwszą z tych funkcji można zapisać w innej, dobrze znanej | ||
postaci (jakiej?). {}<math>\Box</math></div></div> | postaci (jakiej?). {}<math> \displaystyle\Box</math></div></div> | ||
<div class="mw-collapsible mw-made=collapsible mw-collapsed"><span class="mw-collapsible-toogle mw-collapsible-toogle-default style="font-variant:small-caps">Wskazówka </span><div class="mw-collapsible-content" style="display:none"> [[##z.am1.10.030|Uzupelnic z.am1.10.030|]] Należy poszukać punktów krytycznych | <div class="mw-collapsible mw-made=collapsible mw-collapsed"><span class="mw-collapsible-toogle mw-collapsible-toogle-default style="font-variant:small-caps">Wskazówka </span><div class="mw-collapsible-content" style="display:none"> [[##z.am1.10.030|Uzupelnic z.am1.10.030|]] Należy poszukać punktów krytycznych | ||
wewnątrz przedziału i porównać wartości funkcji w tych punktach z | wewnątrz przedziału i porównać wartości funkcji w tych punktach z | ||
wartościami funkcji na krańcach przedziału. {}<math>\Box</math></div></div> | wartościami funkcji na krańcach przedziału. {}<math> \displaystyle\Box</math></div></div> | ||
<div class="mw-collapsible mw-made=collapsible mw-collapsed"><span class="mw-collapsible-toogle mw-collapsible-toogle-default style="font-variant:small-caps">Wskazówka </span><div class="mw-collapsible-content" style="display:none"> [[##z.am1.10.040|Uzupelnic z.am1.10.040|]] Jeśli <math> | <div class="mw-collapsible mw-made=collapsible mw-collapsed"><span class="mw-collapsible-toogle mw-collapsible-toogle-default style="font-variant:small-caps">Wskazówka </span><div class="mw-collapsible-content" style="display:none"> [[##z.am1.10.040|Uzupelnic z.am1.10.040|]] Jeśli <math> \displaystylex</math> jest promieniem podstawy walca, | ||
a <math> | a <math> \displaystyley</math> jego wysokością oraz wiemy, że objętość walca wynosi | ||
<math> | <math> \displaystyle250\pi</math>, to jaka jest zależność między <math> \displaystylex</math> i <math> \displaystyley</math>? Wyrazić pole | ||
powierzchni całkowitej walca jako funkcję <math> | powierzchni całkowitej walca jako funkcję <math> \displaystylex</math> i poszukać, gdzie | ||
osiąga ona minimum. {}<math>\Box</math></div></div> | osiąga ona minimum. {}<math> \displaystyle\Box</math></div></div> | ||
<div class="mw-collapsible mw-made=collapsible mw-collapsed"><span class="mw-collapsible-toogle mw-collapsible-toogle-default style="font-variant:small-caps">Wskazówka </span><div class="mw-collapsible-content" style="display:none"> [[##z.am1.10.050|Uzupelnic z.am1.10.050|]] a) Ciekawym przypadkiem jest oczywiście | <div class="mw-collapsible mw-made=collapsible mw-collapsed"><span class="mw-collapsible-toogle mw-collapsible-toogle-default style="font-variant:small-caps">Wskazówka </span><div class="mw-collapsible-content" style="display:none"> [[##z.am1.10.050|Uzupelnic z.am1.10.050|]] a) Ciekawym przypadkiem jest oczywiście | ||
<math> | <math> \displaystylem\neq 0</math>. Jaki znak ma iloczyn niezerowych punktów krytycznych | ||
funkcji <math> | funkcji <math> \displaystylef</math>? | ||
b) Na mocy wniosku ze wzoru Taylora zachodzi | b) Na mocy wniosku ze wzoru Taylora zachodzi | ||
<center><math> | <center><math> \displaystyle | ||
\left|f(x+h)-\left( | \left|f(x+h)-\left( | ||
f(x)+f'(x)h+\frac{f''(x)}{2!}h^2+...+\frac{f^{(n)}(x)}{n!}h^n\right)\right|\leq M | f(x)+f'(x)h+\frac{f''(x)}{2!}h^2+...+\frac{f^{(n)}(x)}{n!}h^n\right)\right|\leq M | ||
\frac{|h|^{n+1}}{(n+1)!}, | \frac{|h|^{n+1}}{(n+1)!}, | ||
</math></center> | </math></center> | ||
gdzie <math> | gdzie <math> \displaystyleM:=\sup\{|f^{(n+1)}(t)|, t\in [a,b]\}</math> dla pewnych <math> \displaystylea,b</math> | ||
takich, że <math> | takich, że <math> \displaystylex,x+h\in[a,b]</math> | ||
{}<math>\Box</math></div></div> | {}<math> \displaystyle\Box</math></div></div> | ||
<div class="mw-collapsible mw-made=collapsible mw-collapsed"><span class="mw-collapsible-toogle mw-collapsible-toogle-default style="font-variant:small-caps">Wskazówka </span><div class="mw-collapsible-content" style="display:none"> [[##z.am1.10.060|Uzupelnic z.am1.10.060|]] Wystarczy zbadać odpowiednie granice w | <div class="mw-collapsible mw-made=collapsible mw-collapsed"><span class="mw-collapsible-toogle mw-collapsible-toogle-default style="font-variant:small-caps">Wskazówka </span><div class="mw-collapsible-content" style="display:none"> [[##z.am1.10.060|Uzupelnic z.am1.10.060|]] Wystarczy zbadać odpowiednie granice w | ||
<math> | <math> \displaystyle0</math>: funkcji <math> \displaystylef_0, f_1, f_3,...</math> ilorazu różniczkowego dla funkcji | ||
<math> | <math> \displaystylef_1,f_2,f_3,...</math>, pochodnych funkcji <math> \displaystylef_2,f_3,...</math> i tak dalej. | ||
{}<math>\Box</math></div></div> | {}<math> \displaystyle\Box</math></div></div> | ||
===Rozwiązania i odpowiedzi=== | ===Rozwiązania i odpowiedzi=== | ||
<div class="mw-collapsible mw-made=collapsible mw-collapsed"><span class="mw-collapsible-toogle mw-collapsible-toogle-default style="font-variant:small-caps">Rozwiązanie </span><div class="mw-collapsible-content" style="display:none"> [[##z.am1.10.010|Uzupelnic z.am1.10.010|]] a) Dziedziną funkcji <math>\displaystyle f(x)= | <div class="mw-collapsible mw-made=collapsible mw-collapsed"><span class="mw-collapsible-toogle mw-collapsible-toogle-default style="font-variant:small-caps">Rozwiązanie </span><div class="mw-collapsible-content" style="display:none"> [[##z.am1.10.010|Uzupelnic z.am1.10.010|]] a) Dziedziną funkcji <math> \displaystyle f(x)= | ||
\frac{(x+2)^2}{x+3}</math> jest zbiór <math>\mathbb R\setminus\{-3\}</math>. | \frac{(x+2)^2}{x+3}</math> jest zbiór <math> \displaystyle\mathbb R\setminus\{-3\}</math>. | ||
Liczymy pochodną | Liczymy pochodną | ||
<center><math> | <center><math> \displaystyle | ||
f'(x)=\frac{2(x+2)(x+3)-(x+2)^2}{(x+3)^2}= | f'(x)=\frac{2(x+2)(x+3)-(x+2)^2}{(x+3)^2}= | ||
\frac{(x+2)(2x+6-x-2)}{(x+3)^2}= \frac{(x+2)(x+4)}{(x+3)^2}, | \frac{(x+2)(2x+6-x-2)}{(x+3)^2}= \frac{(x+2)(x+4)}{(x+3)^2}, | ||
</math></center> | </math></center> | ||
która jest określona w całej dziedzinie funkcji <math> | która jest określona w całej dziedzinie funkcji <math> \displaystylef</math> i ma dwa | ||
punkty krytyczne <math>-4</math> i <math>-2</math>. Ponieważ w pierwszym z tych punktów | punkty krytyczne <math> \displaystyle-4</math> i <math> \displaystyle-2</math>. Ponieważ w pierwszym z tych punktów | ||
pochodna zmienia znak z dodatniego na ujemny, a w drugim z | pochodna zmienia znak z dodatniego na ujemny, a w drugim z | ||
ujemnego na dodatni, <math> | ujemnego na dodatni, <math> \displaystylef</math> ma w punkcie <math> \displaystyle-4</math> maksimum, a w punkcie | ||
<math>-2</math> minimum. | <math> \displaystyle-2</math> minimum. | ||
Dziedziną funkcji <math>\displaystyle g(x)=\frac{x^3}{(x-1)^2}</math> jest | Dziedziną funkcji <math> \displaystyle g(x)=\frac{x^3}{(x-1)^2}</math> jest | ||
<math>\mathbb R\setminus \{1\}</math>. Liczymy pochodną | <math> \displaystyle\mathbb R\setminus \{1\}</math>. Liczymy pochodną | ||
<center><math> | <center><math> \displaystyle | ||
g'(x)=\frac{3x^2(x-1)^2-x^32(x-1)}{(x-1)^4}= | g'(x)=\frac{3x^2(x-1)^2-x^32(x-1)}{(x-1)^4}= | ||
\frac{x^2(x-1)(3x-3-2x)}{(x-1)^4}= \frac{x^2(x-3)}{(x-1)^3}, | \frac{x^2(x-1)(3x-3-2x)}{(x-1)^4}= \frac{x^2(x-3)}{(x-1)^3}, | ||
</math></center> | </math></center> | ||
która jest określona w całej dziedzinie funkcji i ma dwa punkty | która jest określona w całej dziedzinie funkcji i ma dwa punkty | ||
krytyczne <math> | krytyczne <math> \displaystyle0</math> i <math> \displaystyle3</math>. W pierwszym z tych punktów pochodna nie | ||
zmienia znaku (w całym przedziale <math>(-\infty,1)</math> jest nieujemna), w | zmienia znaku (w całym przedziale <math> \displaystyle(-\infty,1)</math> jest nieujemna), w | ||
drugim natomiast zmienia z dodatniego na ujemny, zatem <math> | drugim natomiast zmienia z dodatniego na ujemny, zatem <math> \displaystyleg</math> ma w | ||
punkcie <math> | punkcie <math> \displaystyle3</math> maksimum i jest to jedyne ekstremum tej funkcji. | ||
Pochodna funkcji <math>\displaystyle h(x)=\frac{(x-2)^3}{(x+2)^3}</math> dana | Pochodna funkcji <math> \displaystyle h(x)=\frac{(x-2)^3}{(x+2)^3}</math> dana | ||
wzorem | wzorem | ||
<center><math> | <center><math> \displaystyle | ||
h'(x)=\frac{3(x-2)^2(x+2)^3-(x-2)^33(x+2)^2}{(x+2)^6}= | h'(x)=\frac{3(x-2)^2(x+2)^3-(x-2)^33(x+2)^2}{(x+2)^6}= | ||
\frac{12(x-2)^2(x+2)^2}{(x+2)^6}= \frac{12(x-2)^2}{(x+2)^4} | \frac{12(x-2)^2(x+2)^2}{(x+2)^6}= \frac{12(x-2)^2}{(x+2)^4} | ||
</math></center> | </math></center> | ||
jest określona w całej dziedzinie tej funkcji, to znaczy w zbiorze | jest określona w całej dziedzinie tej funkcji, to znaczy w zbiorze | ||
<math>\mathbb R\setminus \{-2\}</math>, ma jedno miejsce zerowe <math> | <math> \displaystyle\mathbb R\setminus \{-2\}</math>, ma jedno miejsce zerowe <math> \displaystyle2</math> i jest | ||
nieujemna. Zatem funkcja <math> | nieujemna. Zatem funkcja <math> \displaystyleh</math> nie ma ekstremów. | ||
<br> | <br> | ||
b) Zarówno funkcja <math> | b) Zarówno funkcja <math> \displaystylef(x)=\sin^2 x+\cos x</math> jak i jej pochodna | ||
<center><math> | <center><math> \displaystyle | ||
f'(x)=2\sin{x}\cos{x}-\sin{x}=\sin{x}(2\cos{x}-1) | f'(x)=2\sin{x}\cos{x}-\sin{x}=\sin{x}(2\cos{x}-1) | ||
</math></center> | </math></center> | ||
są zdefiniowane dla dowolnego argumentu rzeczywistego <math> | są zdefiniowane dla dowolnego argumentu rzeczywistego <math> \displaystylex</math>. Punkty | ||
krytyczne pochodnej to punkty postaci <math> | krytyczne pochodnej to punkty postaci <math> \displaystylek\pi</math>, | ||
<math>\frac{\pi}{3}+2k\pi</math> oraz <math>-\frac \pi3+2k\pi</math>, gdzie <math> | <math> \displaystyle\frac{\pi}{3}+2k\pi</math> oraz <math> \displaystyle-\frac \pi3+2k\pi</math>, gdzie <math> \displaystylek\in | ||
\mathbb Z</math>. Policzmy drugą pochodną | \mathbb Z</math>. Policzmy drugą pochodną | ||
<math> | <math> \displaystylef''(x)=(\sin{2x}-\sin{x})'=2\cos{2x}-\cos{x}</math>. Zatem | ||
<math> | <math> \displaystylef''(k\pi)=2-(-1)^k>0</math>, <math> \displaystylef''\left(\pm\frac{\pi}{3}+2k\pi\right)= | ||
2\cos{\frac{2\pi}3}-\cos{\frac{\pi}{3}}=-\frac{3}{2}<0</math> dla | 2\cos{\frac{2\pi}3}-\cos{\frac{\pi}{3}}=-\frac{3}{2}<0</math> dla | ||
dowolnego <math> | dowolnego <math> \displaystylek\in \mathbb Z</math>. Wnioskujemy stąd, że funkcja <math> \displaystylef</math> ma | ||
minima w punktach <math> | minima w punktach <math> \displaystylek\pi\, (k\in \mathbb Z)</math> oraz maksima w | ||
punktach <math>\pm\frac{\pi}{3}+2k\pi\, (k\in \mathbb Z)</math>. | punktach <math> \displaystyle\pm\frac{\pi}{3}+2k\pi\, (k\in \mathbb Z)</math>. | ||
Zarówno funkcja <math> | Zarówno funkcja <math> \displaystyleg(x)=\mathrm{tg}\, x- \sin x</math>, jak i jej pochodna | ||
<center><math> | <center><math> \displaystyle | ||
g'(x)=\frac1{\cos^2{x}}-\cos{x}=\frac{1-\cos^3{x}}{\cos^2 x} | g'(x)=\frac1{\cos^2{x}}-\cos{x}=\frac{1-\cos^3{x}}{\cos^2 x} | ||
</math></center> | </math></center> | ||
są | są | ||
określone w zbiorze <math>\mathbb R \setminus \left\{\frac \pi2+ k\pi: | określone w zbiorze <math> \displaystyle\mathbb R \setminus \left\{\frac \pi2+ k\pi: | ||
k\in\mathbb Z\right\}</math>. Punkty krytyczne mają postać <math> | k\in\mathbb Z\right\}</math>. Punkty krytyczne mają postać <math> \displaystyle2k\pi,</math> | ||
gdzie <math> | gdzie <math> \displaystylek\in \mathbb Z</math>, ale pochodna jest nieujemna w całym | ||
zbiorze liczb rzeczywistych, zatem funkcja nie ma ekstremów. | zbiorze liczb rzeczywistych, zatem funkcja nie ma ekstremów. | ||
<br> | <br> | ||
c) Dziedziną funkcji <math>\displaystyle f(x)= x e^{-\frac{1}{x+2}}</math> i | c) Dziedziną funkcji <math> \displaystyle f(x)= x e^{-\frac{1}{x+2}}</math> i | ||
jej pochodnej | jej pochodnej | ||
<center><math> | <center><math> \displaystyle | ||
f'(x)= e^{-\frac{1}{x+2}}+ x e^{-\frac{1}{x+2}} \frac 1{(x+2)^2}= | f'(x)= e^{-\frac{1}{x+2}}+ x e^{-\frac{1}{x+2}} \frac 1{(x+2)^2}= | ||
\frac{x^2+5x+4}{(x+2)^2} e^{-\frac{1}{x+2}}= | \frac{x^2+5x+4}{(x+2)^2} e^{-\frac{1}{x+2}}= | ||
\frac{(x+1)(x+4)}{(x+2)^2} e^{-\frac{1}{x+2}} | \frac{(x+1)(x+4)}{(x+2)^2} e^{-\frac{1}{x+2}} | ||
</math></center> | </math></center> | ||
jest zbiór <math>\mathbb R\setminus \{-2\}</math>. Funkcja ma dwa punkty | jest zbiór <math> \displaystyle\mathbb R\setminus \{-2\}</math>. Funkcja ma dwa punkty | ||
krytyczne <math>-4</math> i <math>-1</math>, w obu pochodna zmienia znak, odpowiednio z | krytyczne <math> \displaystyle-4</math> i <math> \displaystyle-1</math>, w obu pochodna zmienia znak, odpowiednio z | ||
plusa na minus i na odwrót, zatem <math> | plusa na minus i na odwrót, zatem <math> \displaystylef</math> ma w <math> \displaystyle-4</math> maksimum i w <math> \displaystyle-1</math> | ||
minimum. | minimum. | ||
Dziedziną funkcji <math>\displaystyle g(x)= | Dziedziną funkcji <math> \displaystyle g(x)= | ||
(2-x)e^{\left({x-2}\right)^{-2}}</math> i jej pochodnej | (2-x)e^{\left({x-2}\right)^{-2}}</math> i jej pochodnej | ||
<center><math>\aligned | <center><math> \displaystyle\aligned | ||
g'(x)= -e^{\left({x-2}\right)^{-2}}+ (2-x) | g'(x)= -e^{\left({x-2}\right)^{-2}}+ (2-x) | ||
e^{\left({x-2}\right)^{-2}}\frac {-2}{(x-2)^3}= | e^{\left({x-2}\right)^{-2}}\frac {-2}{(x-2)^3}= | ||
Linia 251: | Linia 220: | ||
e^{\left({x-2}\right)^{-2}}\endaligned | e^{\left({x-2}\right)^{-2}}\endaligned | ||
</math></center> | </math></center> | ||
jest zbiór <math>\mathbb R\setminus \{2\}</math>. Badana funkcja ma minimum w | jest zbiór <math> \displaystyle\mathbb R\setminus \{2\}</math>. Badana funkcja ma minimum w | ||
punkcie krytycznym <math> | punkcie krytycznym <math> \displaystyle2-\sqrt{2}</math> i maksimum w punkcie krytycznym | ||
<math> | <math> \displaystyle2+\sqrt{2}</math>. | ||
<br> | <br> | ||
d) Funkcja <math> | d) Funkcja <math> \displaystylef(x)= \ln|x^2+3x-10|=\ln|(x+5)(x-2)|</math> i jej pochodna | ||
<math>\displaystyle f'(x)=\frac{2x+3}{x^2+3x-10}</math> są określone w | <math> \displaystyle f'(x)=\frac{2x+3}{x^2+3x-10}</math> są określone w | ||
<math>\mathbb R\setminus \{-5,2\}</math>. Jedynym punktem krytycznym jest | <math> \displaystyle\mathbb R\setminus \{-5,2\}</math>. Jedynym punktem krytycznym jest | ||
<math>-\frac 32</math> i funkcja <math> | <math> \displaystyle-\frac 32</math> i funkcja <math> \displaystylef</math> ma w nim maksimum. | ||
Funkcja <math> | Funkcja <math> \displaystyleg(x)=\ln^2|x|-2\ln|x|</math> jest określona w <math> \displaystyle\mathbb | ||
R\setminus \{0\}</math> i parzysta, zatem wystarczy ją zbadać w | R\setminus \{0\}</math> i parzysta, zatem wystarczy ją zbadać w | ||
przedziale <math>(0,\infty)</math>. Tam pochodna jest dana wzorem | przedziale <math> \displaystyle(0,\infty)</math>. Tam pochodna jest dana wzorem | ||
<center><math> | <center><math> \displaystyle | ||
g'(x)=2\cdot \frac{\ln{x}-1}{x}. | g'(x)=2\cdot \frac{\ln{x}-1}{x}. | ||
</math></center> | </math></center> | ||
Liczymy drugą pochodną | Liczymy drugą pochodną | ||
<center><math> | <center><math> \displaystyle | ||
g''(x)= 2\cdot \frac{1-(\ln{x}-1)}{x^2}=2\cdot | g''(x)= 2\cdot \frac{1-(\ln{x}-1)}{x^2}=2\cdot | ||
\frac{2-\ln{x}}{x^2}. | \frac{2-\ln{x}}{x^2}. | ||
</math></center> | </math></center> | ||
Ponieważ wartość <math>\displaystyle | Ponieważ wartość <math> \displaystyle | ||
g''(e)=\frac2{e^2}</math> jest dodatnia, funkcja <math> | g''(e)=\frac2{e^2}</math> jest dodatnia, funkcja <math> \displaystyleg</math> ma w punkcie | ||
krytycznym <math> | krytycznym <math> \displaystylee</math> minimum. Z parzystości funkcji wynika, że również w | ||
punkcie <math>-e</math> jest minimum. | punkcie <math> \displaystyle-e</math> jest minimum. | ||
<br> | <br> | ||
e) Dziedziną funkcji <math> | e) Dziedziną funkcji <math> \displaystylef(x)= x+10\mathrm{arc\,ctg}\,{x}</math> i jej pochodnej | ||
<center><math> | <center><math> \displaystyle | ||
f'(x)= 1-\frac{10}{1+x^2}=\frac{x^2-9}{1+x^2} | f'(x)= 1-\frac{10}{1+x^2}=\frac{x^2-9}{1+x^2} | ||
</math></center> | </math></center> | ||
jest | jest | ||
zbiór liczb rzeczywistych. Badana funkcja ma maksimum w punkcie | zbiór liczb rzeczywistych. Badana funkcja ma maksimum w punkcie | ||
<math>-3</math> i minimum w punkcie <math> | <math> \displaystyle-3</math> i minimum w punkcie <math> \displaystyle3</math>. | ||
Natomiast funkcja <math>\displaystyle | Natomiast funkcja <math> \displaystyle | ||
g(x)=\frac{2}{\sqrt{1-x^2}}+\arcsin x</math> i jej pochodna | g(x)=\frac{2}{\sqrt{1-x^2}}+\arcsin x</math> i jej pochodna | ||
<center><math> | <center><math> \displaystyle | ||
g'(x)= \frac{2x}{\sqrt{1-x^2}^{\; 3}}+\frac1{\sqrt{1-x^2}}= | g'(x)= \frac{2x}{\sqrt{1-x^2}^{\; 3}}+\frac1{\sqrt{1-x^2}}= | ||
\frac{-x^2+2x+1}{\sqrt{1-x^2}^{\; 3}}= | \frac{-x^2+2x+1}{\sqrt{1-x^2}^{\; 3}}= | ||
\frac{-(x-1-\sqrt{2})(x-1+\sqrt{2})}{\sqrt{1-x^2}^{\; 3}} | \frac{-(x-1-\sqrt{2})(x-1+\sqrt{2})}{\sqrt{1-x^2}^{\; 3}} | ||
</math></center> | </math></center> | ||
są określone tylko w przedziale <math>(-1,1)</math>. Ponieważ <math> | są określone tylko w przedziale <math> \displaystyle(-1,1)</math>. Ponieważ <math> \displaystyle1+\sqrt{2}</math> | ||
jest większe od 1, funkcja <math> | jest większe od 1, funkcja <math> \displaystyleg</math> ma tylko jeden punkt krytyczny | ||
<math> | <math> \displaystyle1-\sqrt{2}</math> i ma w nim minimum. | ||
<br> | <br> | ||
f) Funkcja <math>\displaystyle f(x)= x^x</math> jest rozważana tylko dla | f) Funkcja <math> \displaystyle f(x)= x^x</math> jest rozważana tylko dla | ||
dodatnich argumentów i jej pochodna <math> | dodatnich argumentów i jej pochodna <math> \displaystylef'(x)=x^x(\ln{x}+1)</math> jest też | ||
zdefiniowana w przedziale <math>(0,+\infty)</math>. Jedynym punktem | zdefiniowana w przedziale <math> \displaystyle(0,+\infty)</math>. Jedynym punktem | ||
krytycznym jest punkt <math>\displaystyle \frac1e</math> i <math> | krytycznym jest punkt <math> \displaystyle \frac1e</math> i <math> \displaystylef</math> ma w nim | ||
minimum. | minimum. | ||
Natomiast funkcja <math>\displaystyle g(x)= (x^2+1)^{x^3+2x}</math> i jej | Natomiast funkcja <math> \displaystyle g(x)= (x^2+1)^{x^3+2x}</math> i jej | ||
pochodna | pochodna | ||
<center><math> | <center><math> \displaystyle | ||
g'(x)=(x^2+1)^{x^3+2x}\left((3x^2+2)\ln(x^2+1)+ | g'(x)=(x^2+1)^{x^3+2x}\left((3x^2+2)\ln(x^2+1)+ | ||
\frac{2x^2(x^2+2)}{x^2+1}\right) | \frac{2x^2(x^2+2)}{x^2+1}\right) | ||
</math></center> | </math></center> | ||
są zdefiniowane dla dowolnego argumentu rzeczywistego. Zauważmy, | są zdefiniowane dla dowolnego argumentu rzeczywistego. Zauważmy, | ||
że <math> | że <math> \displaystyleg'</math> jest wszędzie nieujemna, ponieważ <math> \displaystyle | ||
(x^2+1)^{x^3+2x}>0,\, a(x)=(3x^2+2)\ln(x^2+1)\geq 0</math> oraz | (x^2+1)^{x^3+2x}>0,\, a(x)=(3x^2+2)\ln(x^2+1)\geq 0</math> oraz | ||
<math>\displaystyle b(x)= \frac{2x^2(x^2+2)}{x^2+1}\geq 0</math> dla | <math> \displaystyle b(x)= \frac{2x^2(x^2+2)}{x^2+1}\geq 0</math> dla | ||
dowolnego <math> | dowolnego <math> \displaystylex\in \mathbb R</math>. Zatem w punkcie krytycznym <math> \displaystyle0</math> nie ma | ||
ekstremum. (<math> | ekstremum. (<math> \displaystyle0</math> jest jedynym punktem krytycznym, bo nieujemna suma | ||
<math> | <math> \displaystylea(x)+b(x)</math> zeruje się tylko wtedy, gdy oba składniki się zerują, | ||
a <math> | a <math> \displaystyle0</math> jest jedynym pierwiastkiem funkcji każdej z tych funkcji). | ||
{}<math>\Box</math></div></div> | {}<math> \displaystyle\Box</math></div></div> | ||
<div class="mw-collapsible mw-made=collapsible mw-collapsed"><span class="mw-collapsible-toogle mw-collapsible-toogle-default style="font-variant:small-caps">Rozwiązanie </span><div class="mw-collapsible-content" style="display:none"> [[##z.am1.10.020|Uzupelnic z.am1.10.020|]] a) Zauważmy, że <math> | <div class="mw-collapsible mw-made=collapsible mw-collapsed"><span class="mw-collapsible-toogle mw-collapsible-toogle-default style="font-variant:small-caps">Rozwiązanie </span><div class="mw-collapsible-content" style="display:none"> [[##z.am1.10.020|Uzupelnic z.am1.10.020|]] a) Zauważmy, że <math> \displaystylef(x) =\sqrt{x^2}</math> można | ||
też zapisać w postaci <math> | też zapisać w postaci <math> \displaystylef(x)=|x|</math>. Funkcja ta ma minimum w punkcie | ||
<math> | <math> \displaystyle0</math> i jest to jedyny punkt krytyczny tej funkcji, bo jej pochodna | ||
<center><math> | <center><math> \displaystyle | ||
f'(x)=\left\{\begin{array} {ll}1,& {\rm gdy} \; | f'(x)=\left\{\begin{array} {ll}1,& {\rm gdy} \; | ||
x>0\\-1,& {\rm gdy}\; x<0\end{array} \right. | x>0\\-1,& {\rm gdy}\; x<0\end{array} \right. | ||
</math></center> | </math></center> | ||
jest nieokreślona | jest nieokreślona | ||
tylko w punkcie <math> | tylko w punkcie <math> \displaystyle0</math> i nigdzie się nie zeruje. | ||
Dziedziną funkcji <math> | Dziedziną funkcji <math> \displaystyleg(x)= \sqrt[3]{x^2}</math> jest zbiór <math> \displaystyle\mathbb R</math>, a | ||
jej pochodnej <math>\displaystyle g'(x)=\frac2{3\sqrt[3]{x}}</math> zbiór | jej pochodnej <math> \displaystyle g'(x)=\frac2{3\sqrt[3]{x}}</math> zbiór | ||
<math>\mathbb R\setminus \{0\}</math>. Pochodna nigdzie się nie zeruje, ale | <math> \displaystyle\mathbb R\setminus \{0\}</math>. Pochodna nigdzie się nie zeruje, ale | ||
zmienia znak z ujemnego dla argumentów ujemnych na dodatni dla | zmienia znak z ujemnego dla argumentów ujemnych na dodatni dla | ||
argumentów dodatnich. Funkcja <math> | argumentów dodatnich. Funkcja <math> \displaystyleg</math> ma zatem w <math> \displaystyle0</math> minimum. | ||
{{red}[[Rysunek am1c10.0010]]} | {{red}[[Rysunek am1c10.0010]]} | ||
<br> | <br> | ||
Wreszcie funkcja <math> | Wreszcie funkcja <math> \displaystyleh(x)= \sqrt[5]{x^3}</math> zdefiniowana dla wszystkich | ||
liczb rzeczywistych ma dodatnią pochodną <math>\displaystyle | liczb rzeczywistych ma dodatnią pochodną <math> \displaystyle | ||
h'(x)=\frac3{5\sqrt[5]{x^2}}</math> zdefiniowaną wszędzie poza zerem, | h'(x)=\frac3{5\sqrt[5]{x^2}}</math> zdefiniowaną wszędzie poza zerem, | ||
które jest punktem krytycznym. Funkcja <math> | które jest punktem krytycznym. Funkcja <math> \displaystyleh</math> nie ma żadnego | ||
ekstremum, bo jej pochodna jest dodatnia. | ekstremum, bo jej pochodna jest dodatnia. | ||
Linia 349: | Linia 318: | ||
<br> | <br> | ||
b) Dziedziną funkcji <math>\displaystyle f(x)= \sqrt{\frac{x^3}{x-2}}</math> | b) Dziedziną funkcji <math> \displaystyle f(x)= \sqrt{\frac{x^3}{x-2}}</math> | ||
jest suma przedziałów <math>(-\infty,0]\cup(2, +\infty)</math>, a jej | jest suma przedziałów <math> \displaystyle(-\infty,0]\cup(2, +\infty)</math>, a jej | ||
pochodnej | pochodnej | ||
<center><math>\aligned | <center><math> \displaystyle\aligned | ||
f'(x)= \frac12\sqrt{\frac{x-2}{x^3}} \cdot | f'(x)= \frac12\sqrt{\frac{x-2}{x^3}} \cdot | ||
\frac{3x^2(x-2)-x^3}{(x-2)^2}= \frac12\sqrt{\frac{x-2}{x^3}} \cdot | \frac{3x^2(x-2)-x^3}{(x-2)^2}= \frac12\sqrt{\frac{x-2}{x^3}} \cdot | ||
Linia 358: | Linia 327: | ||
\frac{x^2(x-3)}{(x-2)^2}\endaligned | \frac{x^2(x-3)}{(x-2)^2}\endaligned | ||
</math></center> | </math></center> | ||
zbiór <math>(-\infty,0)\cup(2, +\infty)</math>. Ponieważ funkcja jest | zbiór <math> \displaystyle(-\infty,0)\cup(2, +\infty)</math>. Ponieważ funkcja jest | ||
nieujemna, osiąga minimum globalne w swoim jedynym miejscu zerowym | nieujemna, osiąga minimum globalne w swoim jedynym miejscu zerowym | ||
<math> | <math> \displaystyle0</math>. Ponadto <math> \displaystylef</math> ma również minimum w drugim punkcie krytycznym | ||
<math> | <math> \displaystyle3</math>. | ||
Natomiast również nieujemna funkcja <math>\displaystyle g(x)= | Natomiast również nieujemna funkcja <math> \displaystyle g(x)= | ||
\sqrt{\frac{4-x}{(x+2)^3}}</math> jest zdefiniowana w przedziale | \sqrt{\frac{4-x}{(x+2)^3}}</math> jest zdefiniowana w przedziale | ||
<math>(-2,4]</math> i podobnie jak poprzednia funkcja osiąga swoje minimum | <math> \displaystyle(-2,4]</math> i podobnie jak poprzednia funkcja osiąga swoje minimum | ||
globalne w swoim jedynym miejscu zerowym <math> | globalne w swoim jedynym miejscu zerowym <math> \displaystyle4</math>. Jest to jedyny punkt | ||
krytyczny funkcji <math> | krytyczny funkcji <math> \displaystyleg</math>, ponieważ jej pochodna | ||
<center><math>\aligned | <center><math> \displaystyle\aligned | ||
g'(x)=& \frac12\sqrt{\frac{(x+2)^3}{4-x}} \cdot | g'(x)=& \frac12\sqrt{\frac{(x+2)^3}{4-x}} \cdot | ||
\frac{-(x+2)^3-(4-x)3(x+2)^2}{(x+2)^6}=\\= | \frac{-(x+2)^3-(4-x)3(x+2)^2}{(x+2)^6}=\\= | ||
Linia 375: | Linia 344: | ||
\cdot \frac{(x-7)}{(x+2)^4}\endaligned | \cdot \frac{(x-7)}{(x+2)^4}\endaligned | ||
</math></center> | </math></center> | ||
nie zeruje się w żadnym punkcie swojej dziedziny <math>(-2,4)</math>. | nie zeruje się w żadnym punkcie swojej dziedziny <math> \displaystyle(-2,4)</math>. | ||
<br> | <br> | ||
Linia 382: | Linia 351: | ||
określone w zerze. | określone w zerze. | ||
Jeśli <math>\displaystyle f(x)= 3\sqrt[3]{x^2}e^x</math>, to | Jeśli <math> \displaystyle f(x)= 3\sqrt[3]{x^2}e^x</math>, to | ||
<center><math> | <center><math> \displaystyle | ||
f'(x)= | f'(x)= | ||
\frac2{\sqrt[3]{x}}e^x+ 3\sqrt[3]{x^2}e^x= | \frac2{\sqrt[3]{x}}e^x+ 3\sqrt[3]{x^2}e^x= | ||
\frac{e^x}{\sqrt[3]{x}}(2+3x). | \frac{e^x}{\sqrt[3]{x}}(2+3x). | ||
</math></center> | </math></center> | ||
Punktami krytycznymi są <math> -\frac23</math> i <math> | Punktami krytycznymi są <math> \displaystyle -\frac23</math> i <math> \displaystyle0</math>. Funkcja <math> \displaystylef</math> ma maksimum | ||
w punkcie <math> -\frac23</math> i minimum w punkcie <math> | w punkcie <math> \displaystyle -\frac23</math> i minimum w punkcie <math> \displaystyle0</math>, ponieważ pochodna | ||
odpowiednio zmienia znak. | odpowiednio zmienia znak. | ||
Jeśli <math>\displaystyle g(x)= 5\sqrt[5]{x^4}e^{-x}</math>, to | Jeśli <math> \displaystyle g(x)= 5\sqrt[5]{x^4}e^{-x}</math>, to | ||
<center><math> | <center><math> \displaystyle | ||
g'(x)= | g'(x)= | ||
\frac4{\sqrt[5]{x}}e^{-x}- 5\sqrt[5]{x^4}e^{-x}= | \frac4{\sqrt[5]{x}}e^{-x}- 5\sqrt[5]{x^4}e^{-x}= | ||
\frac{e^{-x}}{\sqrt[5]{x}}(4-5x). | \frac{e^{-x}}{\sqrt[5]{x}}(4-5x). | ||
</math></center> | </math></center> | ||
Funkcja <math> | Funkcja <math> \displaystyleg</math> ma minimum w | ||
punkcie <math> | punkcie <math> \displaystyle0</math> i maksimum w punkcie <math> \displaystyle\frac45</math>. | ||
Wreszcie jeśli <math>\displaystyle h(x)= \sqrt{e^{x^2}-1}</math>, to | Wreszcie jeśli <math> \displaystyle h(x)= \sqrt{e^{x^2}-1}</math>, to | ||
<math>\displaystyle h'(x)=\frac{xe^{x^2}}{\sqrt{e^{x^2}-1}}</math> i jedynym | <math> \displaystyle h'(x)=\frac{xe^{x^2}}{\sqrt{e^{x^2}-1}}</math> i jedynym | ||
punktem krytycznym jest <math> | punktem krytycznym jest <math> \displaystyle0</math>. Funkcja <math> \displaystyleh</math> ma minimum w tym | ||
punkcie.<br> | punkcie.<br> | ||
d) Zauważmy, że <math>\displaystyle \left|\frac{1-x^2}{1+x^2}\right|= | d) Zauważmy, że <math> \displaystyle \left|\frac{1-x^2}{1+x^2}\right|= | ||
\left|\frac{2}{1+x^2}-1\right|\leq 1</math> dla dowolnego rzeczywistego | \left|\frac{2}{1+x^2}-1\right|\leq 1</math> dla dowolnego rzeczywistego | ||
argumentu <math> | argumentu <math> \displaystylex</math>. Dlatego dziedziną funkcji <math> \displaystyle f(x)= | ||
\arccos{\frac{1-x^2}{1+x^2}}</math> jest cały zbiór liczb rzeczywistych, | \arccos{\frac{1-x^2}{1+x^2}}</math> jest cały zbiór liczb rzeczywistych, | ||
natomiast pochodna | natomiast pochodna | ||
<center><math>\aligned | <center><math> \displaystyle\aligned | ||
f'(x)= | f'(x)= | ||
&-\left(\sqrt{1-\left(\frac{1-x^2}{1+x^2}\right)^2}\right)^{-1}\cdot | &-\left(\sqrt{1-\left(\frac{1-x^2}{1+x^2}\right)^2}\right)^{-1}\cdot | ||
Linia 419: | Linia 388: | ||
\frac{4x}{(1+x^2)^2}=\\=&\frac{2x}{|x|(1+x^2)}\endaligned | \frac{4x}{(1+x^2)^2}=\\=&\frac{2x}{|x|(1+x^2)}\endaligned | ||
</math></center> | </math></center> | ||
jest nieokreślona tylko w punkcie <math> | jest nieokreślona tylko w punkcie <math> \displaystyle0</math>. Funkcja <math> \displaystylef</math> ma minimum w | ||
tym punkcie. | tym punkcie. | ||
Niech <math> | Niech <math> \displaystylex</math> będzie dowolną liczbą rzeczywistą. Zauważmy, że ponieważ | ||
<math>(1-|x|)^2\geq 0</math>, więc <math> | <math> \displaystyle(1-|x|)^2\geq 0</math>, więc <math> \displaystyle1+x^2\geq 2|x|</math>, a w konsekwencji | ||
<math>\displaystyle \left|\frac{2x}{1+x^2}\right|\leq 1</math>. Pokazaliśmy w | <math> \displaystyle \left|\frac{2x}{1+x^2}\right|\leq 1</math>. Pokazaliśmy w | ||
ten sposób, że dziedziną funkcji <math>\displaystyle g(x)= | ten sposób, że dziedziną funkcji <math> \displaystyle g(x)= | ||
\arcsin{\frac{2x}{1+x^2}}</math> jest cały zbiór liczb rzeczywistych. | \arcsin{\frac{2x}{1+x^2}}</math> jest cały zbiór liczb rzeczywistych. | ||
Pochodna | Pochodna | ||
<center><math>\aligned | <center><math> \displaystyle\aligned | ||
g'(x)= | g'(x)= | ||
&\left(\sqrt{1-\left(\frac{2x}{1+x^2}\right)^2}\right)^{-1}\cdot | &\left(\sqrt{1-\left(\frac{2x}{1+x^2}\right)^2}\right)^{-1}\cdot | ||
Linia 437: | Linia 406: | ||
\frac{2(1-x^2)}{|1-x^2|(1+x^2)}\endaligned | \frac{2(1-x^2)}{|1-x^2|(1+x^2)}\endaligned | ||
</math></center> | </math></center> | ||
nie jest zdefiniowana w punktach <math>-1</math> i <math> | nie jest zdefiniowana w punktach <math> \displaystyle-1</math> i <math> \displaystyle1</math>, ale zmienia znak w | ||
ich sąsiedztwach. Funkcja <math> | ich sąsiedztwach. Funkcja <math> \displaystyleg</math> ma minimum w punkcie <math> \displaystyle-1</math> i maksimum | ||
w punkcie <math> | w punkcie <math> \displaystyle1</math>. | ||
{}<math>\Box</math></div></div> | {}<math> \displaystyle\Box</math></div></div> | ||
<div class="mw-collapsible mw-made=collapsible mw-collapsed"><span class="mw-collapsible-toogle mw-collapsible-toogle-default style="font-variant:small-caps">Rozwiązanie </span><div class="mw-collapsible-content" style="display:none"> [[##z.am1.10.030|Uzupelnic z.am1.10.030|]] Obie funkcje są dobrze określone w | <div class="mw-collapsible mw-made=collapsible mw-collapsed"><span class="mw-collapsible-toogle mw-collapsible-toogle-default style="font-variant:small-caps">Rozwiązanie </span><div class="mw-collapsible-content" style="display:none"> [[##z.am1.10.030|Uzupelnic z.am1.10.030|]] Obie funkcje są dobrze określone w | ||
badanym przedziale. Liczymy pochodne | badanym przedziale. Liczymy pochodne | ||
<center><math> | <center><math> \displaystyle | ||
f'(x)= e^{\frac{x^2}{x^2-10}}\cdot \frac{2x(x^2-10)-2x^3}{(x^2-10)^2}= | f'(x)= e^{\frac{x^2}{x^2-10}}\cdot \frac{2x(x^2-10)-2x^3}{(x^2-10)^2}= | ||
e^{\frac{x^2}{x^2-10}}\cdot \frac{-20x}{(x^2-10)^2}. | e^{\frac{x^2}{x^2-10}}\cdot \frac{-20x}{(x^2-10)^2}. | ||
</math></center> | </math></center> | ||
Funkcja <math> | Funkcja <math> \displaystyleg</math> nie ma pochodnej w <math> \displaystyle0</math> i | ||
<center><math> | <center><math> \displaystyle | ||
g'(x)= \left\{\begin{array} {ll} -\frac{\sqrt{3}}{x^2+3},& {\rm | g'(x)= \left\{\begin{array} {ll} -\frac{\sqrt{3}}{x^2+3},& {\rm | ||
gdy}\quad x<0\\ | gdy}\quad x<0\\ | ||
Linia 456: | Linia 425: | ||
\end{array} \right.. | \end{array} \right.. | ||
</math></center> | </math></center> | ||
W przedziale <math>(-1,3)</math> obie te funkcje mają jeden punkt krytyczny | W przedziale <math> \displaystyle(-1,3)</math> obie te funkcje mają jeden punkt krytyczny | ||
<math> | <math> \displaystyle0</math>. | ||
Ponieważ <math>\displaystyle f(-1)=e^{-\frac19}, f(0)=1</math> i | Ponieważ <math> \displaystyle f(-1)=e^{-\frac19}, f(0)=1</math> i | ||
<math>\displaystyle f(3)=e^{-9}</math>, najmniejszą wartością funkcji <math> | <math> \displaystyle f(3)=e^{-9}</math>, najmniejszą wartością funkcji <math> \displaystylef</math> w | ||
przedziale <math>[-1,3]</math> jest <math>\displaystyle e^{-9}</math>, a największą <math> | przedziale <math> \displaystyle[-1,3]</math> jest <math> \displaystyle e^{-9}</math>, a największą <math> \displaystyle1</math>. | ||
Dla funkcji <math> | Dla funkcji <math> \displaystyleg</math> mamy <math> \displaystyleg(-1)=\frac{\pi}6, g(0)=0</math> i | ||
<math> | <math> \displaystyleg(3)=\frac{\pi}{3}</math>, zatem najmniejszą wartością funkcji <math> \displaystyleg</math> w | ||
przedziale <math>[-1,3]</math> jest <math> | przedziale <math> \displaystyle[-1,3]</math> jest <math> \displaystyle0</math>, a największą <math> \displaystyle\frac{\pi}{3}</math>. | ||
{}<math>\Box</math></div></div> | {}<math> \displaystyle\Box</math></div></div> | ||
<div class="mw-collapsible mw-made=collapsible mw-collapsed"><span class="mw-collapsible-toogle mw-collapsible-toogle-default style="font-variant:small-caps">Rozwiązanie </span><div class="mw-collapsible-content" style="display:none"> [[##z.am1.10.040|Uzupelnic z.am1.10.040|]] Jeśli <math> | <div class="mw-collapsible mw-made=collapsible mw-collapsed"><span class="mw-collapsible-toogle mw-collapsible-toogle-default style="font-variant:small-caps">Rozwiązanie </span><div class="mw-collapsible-content" style="display:none"> [[##z.am1.10.040|Uzupelnic z.am1.10.040|]] Jeśli <math> \displaystylex</math> jest promieniem podstawy walca, | ||
<math> | <math> \displaystyley</math> jego wysokością, a <math> \displaystyleV</math> jego objętością, to <math> \displaystyleV=\pi x^2 y</math>. | ||
Zatem dla naszej puszki zachodzi <math> | Zatem dla naszej puszki zachodzi <math> \displaystyle250 \pi= \pi x^2 y</math>, a stąd | ||
<math> | <math> \displaystyley=250x^{-2}</math>. Niech <math> \displaystyleS</math> oznacza pole powierzchni całkowitej | ||
walca, wtedy <math> | walca, wtedy <math> \displaystyleS(x)=2\pi x^2+ 2\pi x\cdot 250 x^{-2} = | ||
2\pi(x^2+250x^{-1})</math>, gdzie <math> | 2\pi(x^2+250x^{-1})</math>, gdzie <math> \displaystylex>0</math>. Liczymy pochodną | ||
<math> | <math> \displaystyleS'(x)=2\pi(2x-250x^{-2})=4\pi x^{-2}(x^3-125)</math>. Zatem jedynym | ||
punktem krytycznym jest <math> | punktem krytycznym jest <math> \displaystyle5</math> i <math> \displaystyleS</math> osiąga w tym punkcie minimum. | ||
Jeśli <math> | Jeśli <math> \displaystylex=5</math>, to również <math> \displaystyley=5</math>, czyli puszka musi mieć promień | ||
podstawy równy <math> | podstawy równy <math> \displaystyle5</math> cm i wysokość również 5 cm, by do jej | ||
sporządzenia użyto najmniej blachy. | sporządzenia użyto najmniej blachy. | ||
{}<math>\Box</math></div></div> | {}<math> \displaystyle\Box</math></div></div> | ||
<div class="mw-collapsible mw-made=collapsible mw-collapsed"><span class="mw-collapsible-toogle mw-collapsible-toogle-default style="font-variant:small-caps">Rozwiązanie </span><div class="mw-collapsible-content" style="display:none"> [[##z.am1.10.050|Uzupelnic z.am1.10.050|]] a) Policzmy pochodną | <div class="mw-collapsible mw-made=collapsible mw-collapsed"><span class="mw-collapsible-toogle mw-collapsible-toogle-default style="font-variant:small-caps">Rozwiązanie </span><div class="mw-collapsible-content" style="display:none"> [[##z.am1.10.050|Uzupelnic z.am1.10.050|]] a) Policzmy pochodną | ||
<math> | <math> \displaystylef'(x)=2x(6x^2-6mx+m^2)</math>. Jeśli <math> \displaystylem=0</math>, to <math> \displaystylef(x)=3x^4</math> ma | ||
oczywiście minimum globalne w <math> | oczywiście minimum globalne w <math> \displaystyle0</math>. Jeśli <math> \displaystylem\neq 0</math>, to dla | ||
czynnika kwadratowego <math> | czynnika kwadratowego <math> \displaystyle6x^2-6mx+m^2</math> pochodnej <math> \displaystyle\Delta = 12m^2</math>, | ||
jest więc dodatnia, a w konsekwencji <math> | jest więc dodatnia, a w konsekwencji <math> \displaystylef</math> ma trzy różne punkty | ||
krytyczne <math> | krytyczne <math> \displaystylex_0,x_1,x_2</math>, w tym <math> \displaystylex_0=0</math>. Ze wzorów Viete'a mamy | ||
<math> | <math> \displaystylex_1x_2=\frac{m^2}6>0</math>, zatem <math> \displaystylex_1, x_2</math> są tego samego znaku. | ||
Stąd już wynika, że funkcja <math> | Stąd już wynika, że funkcja <math> \displaystylef</math> ma minimum w punkcie <math> \displaystyle0</math>. | ||
<br> | <br> | ||
b) Stosujemy najpierw wzór Taylora do funkcji <math> | b) Stosujemy najpierw wzór Taylora do funkcji <math> \displaystylef(x)=\sqrt{x}</math> w | ||
punkcie <math> | punkcie <math> \displaystylex=25</math> i dla <math> \displaystyleh=-0,1</math>. Jeśli <math> \displaystylen=1</math>, to otrzymujemy | ||
<center><math> | <center><math> \displaystyle | ||
\sqrt{24,9}\approx \sqrt{25}+\frac1{2\sqrt{25}}(-0,1)= | \sqrt{24,9}\approx \sqrt{25}+\frac1{2\sqrt{25}}(-0,1)= | ||
5-0,01=4,99 | 5-0,01=4,99 | ||
</math></center> | </math></center> | ||
i <math>|\sqrt{24,9}-4,99|\leq \frac1{51200}</math>, bo <math>\sup\{|f''(t)|: t\in | i <math> \displaystyle|\sqrt{24,9}-4,99|\leq \frac1{51200}</math>, bo <math> \displaystyle\sup\{|f''(t)|: t\in | ||
[16,25]\}=\frac1{4\sqrt{16^3}}=\frac1{256}</math>. | [16,25]\}=\frac1{4\sqrt{16^3}}=\frac1{256}</math>. | ||
Dla <math> | Dla <math> \displaystylen=2</math> otrzymujemy | ||
<center><math> | <center><math> \displaystyle | ||
\sqrt{24,9}\approx | \sqrt{24,9}\approx | ||
\sqrt{25}+\frac1{2\sqrt{25}}(-0,1) | \sqrt{25}+\frac1{2\sqrt{25}}(-0,1) | ||
-\frac1{8\sqrt{25^3}}(-0,1)^2=5-0,01-0,00001= 4,98999 | -\frac1{8\sqrt{25^3}}(-0,1)^2=5-0,01-0,00001= 4,98999 | ||
</math></center> | </math></center> | ||
i <center><math>\left|\sqrt{24,9}-4,98999\right|\leq \frac{3\cdot | i <center><math> \displaystyle\left|\sqrt{24,9}-4,98999\right|\leq \frac{3\cdot | ||
(0,1)^3}{3!\cdot 8\cdot 4^5}=\frac1{16384000}.</math></center> | (0,1)^3}{3!\cdot 8\cdot 4^5}=\frac1{16384000}.</math></center> | ||
Następnie stosujemy wzór Taylora do funkcji <math> | Następnie stosujemy wzór Taylora do funkcji <math> \displaystyleg(x)=\sqrt[4]{x}</math> w | ||
punkcie <math> | punkcie <math> \displaystylex=16</math> i dla <math> \displaystyleh=0,32</math>. Jeśli <math> \displaystylen=1</math>, to otrzymujemy | ||
<center><math> | <center><math> \displaystyle | ||
\sqrt[4]{16,32}\approx \sqrt[4]{16}+\frac1{4\sqrt[4]{16}^3}\cdot | \sqrt[4]{16,32}\approx \sqrt[4]{16}+\frac1{4\sqrt[4]{16}^3}\cdot | ||
0,32= 2+0,01=2,01 | 0,32= 2+0,01=2,01 | ||
</math></center> | </math></center> | ||
i <math> | i <math> \displaystyle | ||
|\sqrt[4]{16,32}-2,01|\leq \frac{3\cdot | |\sqrt[4]{16,32}-2,01|\leq \frac{3\cdot | ||
(0,01)^2}{4}=0,000075, | (0,01)^2}{4}=0,000075, | ||
</math> | </math> | ||
bo <math>\sup\{|g''(t)|: t\in | bo <math> \displaystyle\sup\{|g''(t)|: t\in | ||
[16,81]\}=\frac3{16\sqrt[4]{16^7}}=\frac3{2^{11}}</math>. | [16,81]\}=\frac3{16\sqrt[4]{16^7}}=\frac3{2^{11}}</math>. | ||
Dla <math> | Dla <math> \displaystylen=2</math> otrzymujemy | ||
<center><math> | <center><math> \displaystyle | ||
\sqrt[4]{16,32}\approx \sqrt[4]{16}+\frac1{4\sqrt[4]{16^3}}\cdot | \sqrt[4]{16,32}\approx \sqrt[4]{16}+\frac1{4\sqrt[4]{16^3}}\cdot | ||
0,32-\frac3{32\sqrt[4]{16^7}}(0,32)^2=2+0,01-0,000075= 2,009925 | 0,32-\frac3{32\sqrt[4]{16^7}}(0,32)^2=2+0,01-0,000075= 2,009925 | ||
</math></center> | </math></center> | ||
oraz | oraz | ||
<center><math> | <center><math> \displaystyle | ||
\left|\sqrt[4]{16,32}-2,009925\right|\leq | \left|\sqrt[4]{16,32}-2,009925\right|\leq | ||
\frac{21\cdot(0,32)^3}{3!\cdot 64\cdot 2^{11}}=\frac{7\cdot | \frac{21\cdot(0,32)^3}{3!\cdot 64\cdot 2^{11}}=\frac{7\cdot | ||
Linia 536: | Linia 505: | ||
</math></center> | </math></center> | ||
{}<math>\Box</math></div></div> | {}<math> \displaystyle\Box</math></div></div> | ||
<div class="mw-collapsible mw-made=collapsible mw-collapsed"><span class="mw-collapsible-toogle mw-collapsible-toogle-default style="font-variant:small-caps">Rozwiązanie </span><div class="mw-collapsible-content" style="display:none"> [[##z.am1.10.060|Uzupelnic z.am1.10.060|]] Wszystkie zdefiniowane w tym zadaniu | <div class="mw-collapsible mw-made=collapsible mw-collapsed"><span class="mw-collapsible-toogle mw-collapsible-toogle-default style="font-variant:small-caps">Rozwiązanie </span><div class="mw-collapsible-content" style="display:none"> [[##z.am1.10.060|Uzupelnic z.am1.10.060|]] Wszystkie zdefiniowane w tym zadaniu | ||
funkcje są klasy <math> | funkcje są klasy <math> \displaystyleC^\infty</math> poza zerem. Granica <math> \displaystyle | ||
\lim_{x\rightarrow 0} \sin \frac1x </math> nie istnieje z definicji | \lim_{x\rightarrow 0} \sin \frac1x </math> nie istnieje z definicji | ||
Heinego, bo na przykład <math>\displaystyle \sin \frac | Heinego, bo na przykład <math> \displaystyle \sin \frac | ||
1{(n\pi)^{-1}}\equiv 0</math>, a <math>\displaystyle \sin | 1{(n\pi)^{-1}}\equiv 0</math>, a <math> \displaystyle \sin | ||
\frac1{(2n\pi+\pi/2)^{-1}}\equiv 1 (n\in\mathbb N)</math>, zatem <math> | \frac1{(2n\pi+\pi/2)^{-1}}\equiv 1 (n\in\mathbb N)</math>, zatem <math> \displaystylef_0</math> | ||
nie jest ciągła w zerze. | nie jest ciągła w zerze. | ||
Linia 549: | Linia 518: | ||
Mamy także z twierdzenia o iloczynie funkcji ograniczonej i | Mamy także z twierdzenia o iloczynie funkcji ograniczonej i | ||
zbieżnej do zera <math>\displaystyle \lim_{x\rightarrow 0} x^n\sin | zbieżnej do zera <math> \displaystyle \lim_{x\rightarrow 0} x^n\sin | ||
\frac1x=0</math>, jeśli <math> | \frac1x=0</math>, jeśli <math> \displaystylen>0</math>, zatem funkcja <math> \displaystylef_n</math> jest ciągła w <math> \displaystyle0</math>. | ||
Następnie widzimy, że <math>\displaystyle \lim_{x\rightarrow 0} | Następnie widzimy, że <math> \displaystyle \lim_{x\rightarrow 0} | ||
\frac{x\sin \frac1x}x </math> nie istnieje (jest to ta sama granica, | \frac{x\sin \frac1x}x </math> nie istnieje (jest to ta sama granica, | ||
którą liczyliśmy dla funkcji <math> | którą liczyliśmy dla funkcji <math> \displaystylef_0</math>), zatem <math> \displaystylef_1</math> nie ma pochodnej | ||
w zerze. | w zerze. | ||
{{red}[[Rysunek am1c10.0040]]} | {{red}[[Rysunek am1c10.0040]]} | ||
Natomiast ponieważ <math>\displaystyle \lim_{x\rightarrow 0} | Natomiast ponieważ <math> \displaystyle \lim_{x\rightarrow 0} | ||
\frac{x^n\sin \frac1x}x = \lim_{x\rightarrow 0} {x^{n-1}\sin | \frac{x^n\sin \frac1x}x = \lim_{x\rightarrow 0} {x^{n-1}\sin | ||
\frac1x}=0</math> dla <math> | \frac1x}=0</math> dla <math> \displaystylen>1</math>, wszystkie następne funkcje są | ||
różniczkowalne i <math>\displaystyle f_n'(x)=\left\{\begin{array} {ll} | różniczkowalne i <math> \displaystyle f_n'(x)=\left\{\begin{array} {ll} | ||
nx^{n-1}\sin \frac1x -x^{n-2}\cos \frac1x,& {\rm gdy}\; x\neq | nx^{n-1}\sin \frac1x -x^{n-2}\cos \frac1x,& {\rm gdy}\; x\neq | ||
0\\ | 0\\ | ||
Linia 569: | Linia 538: | ||
</math>. | </math>. | ||
Pochodna <math>\displaystyle f_2'(x)=2x\sin\frac1x-\cos\frac1x</math> jest | Pochodna <math> \displaystyle f_2'(x)=2x\sin\frac1x-\cos\frac1x</math> jest | ||
nieciągła w <math> | nieciągła w <math> \displaystyle0</math>, bo <math> \displaystyle \lim_{x\rightarrow 0} 2x\sin | ||
\frac1x=0</math> i <math>\displaystyle \lim_{x\rightarrow 0} \cos \frac1x</math> | \frac1x=0</math> i <math> \displaystyle \lim_{x\rightarrow 0} \cos \frac1x</math> | ||
nie istnieje (co pokazujemy analogicznie jak dla <math> | nie istnieje (co pokazujemy analogicznie jak dla <math> \displaystylef_0</math>). | ||
{{red}[[Rysunek am1c10.0050]]} | {{red}[[Rysunek am1c10.0050]]} | ||
Pochodne <math> | Pochodne <math> \displaystylef_n'</math> są ciągłe dla <math> \displaystylen>2</math>, co wynika po raz kolejny z | ||
twierdzenia o granicy iloczynu funkcji ograniczonej i funkcji | twierdzenia o granicy iloczynu funkcji ograniczonej i funkcji | ||
zbieżnej do zera. | zbieżnej do zera. | ||
Linia 584: | Linia 553: | ||
{{red}[[Rysunek6 am1c10.0060]]} | {{red}[[Rysunek6 am1c10.0060]]} | ||
{}<math>\Box</math></div></div> | {}<math> \displaystyle\Box</math></div></div> |
Wersja z 17:42, 13 sie 2006
10. Wzór Taylora. Ekstrema
Ćwiczenie 10.1.
Wyznaczyć ekstrema funkcji
a) ,
b) ,
c) ,
d) Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\displaystylex”): {\displaystyle \displaystylex\mapsto \ln|x^2+3x-10|,\quad x\mapsto \ln^2|x|-2\ln|x|} ,
e) ,
f) .
Ćwiczenie 10.2.
Wyznaczyć ekstrema funkcji
a) Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\displaystylex”): {\displaystyle \displaystylex\mapsto \sqrt{x^2},\quad x\mapsto \sqrt[3]{x^2},\quad x\mapsto \sqrt[5]{x^3}} ,
b) .
c) ,
d) .
Ćwiczenie 10.3.
Wyznaczyć największą i najmniejszą wartość funkcji
a) ,
b)
w przedziale .
Ćwiczenie 10.4.
Znaleźć wymiary puszki do konserw w kształcie walca o objętości Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\displaystyleV”): {\displaystyle \displaystyleV=250\pi {\rm cm}^3} , do sporządzenia której zużyje się najmniej blachy.
Ćwiczenie 10.5.
a) Udowodnić, że niezależnie od wyboru parametru Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\displaystylem”): {\displaystyle \displaystylem\in\mathbb R} funkcja Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\displaystylef”): {\displaystyle \displaystylef(x)= 3x^4 -4mx^3+m^2x^2} ma minimum w punkcie .
b) Wykorzystując wzór Taylora dla Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\displaystylen”): {\displaystyle \displaystylen\in\{1,2\}} wyznaczyć przybliżoną wartość i , oraz oszacować błąd przybliżenia.
Ćwiczenie 10.6.
Niech
Pokazać, że Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\displaystylef”): {\displaystyle \displaystylef_{2n}} ma Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\displaystylen”): {\displaystyle \displaystylen} -tą pochodną nieciągłą w , a Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\displaystylef”): {\displaystyle \displaystylef_{2n+1}} należy do klasy Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\displaystyleC”): {\displaystyle \displaystyleC^n} , ale nie ma -ej pochodnej w , dla Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\displaystylen”): {\displaystyle \displaystylen\in\mathbb N_0} .