Logika i teoria mnogości/Wykład 11: Zbiory dobrze uporządkowane. Lemat Kuratowskiego Zorna i twierdzenie Zermelo, przykłady

Wstęp

Poniższy wykład poświęcony jest konsekwencjom aksjomatu wyboru. Aksjomat wyboru jest niewątpliwie najbardziej kontrowersyjnym z aksjomatów ZFC. Wielu znanych matematyków poddawało go w wątpliwość. W chwili obecnej znakomita większość uważa, że aksjomat wyboru jest prawdziwy, nawet jeśli niektóre z jego konsekwencji są sprzeczne z intuicją.

W tym wykładzie przedstawiamy szereg twierdzeń które są równoważne, lub wynikają z aksjomatu wyboru. Zanim przejdziemy do wypowiedzi tych faktów wprowadzimy jeszcze jeden koncept.

Zbiory dobrze uporządkowane

Definicja dobrego porządku nie zależy od aksjomatu wyboru. W aksjomatyce ZF istnieje wiele zbiorów dobrze uporządkowanych. Jednak w obecności aksjomatu wyboru zbiory dobrze uporządkowane nabierają zupełnie nowego znaczenia.

Definicja 2.2.

Częściowy porządek $(A,⊑)$ jest dobrym porządkiem, jeśli

• jest porządkiem liniowym,

• każdy niepusty podzbiór $A$ zawiera element najmniejszy względem $⊑$.

Mówimy wtedy, że zbiór $A$ jest dobrze uporządkowany przez $⊑$.

Istnienie zbiorów dobrze uporządkowanych nie jest nowością. Zdefiniowany w Wykład 7 zbiór liczb naturalnych jest dobrze uporządkowany na mocy dowiedzionych tam twierdzeń. Łatwo zauważyć, że również każda liczba naturalna $n$ wraz z relacją inkluzji jest zbiorem dobrze uporządkowanym. Ogólnie, następujący fakt jest prawdziwy

Fakt 2.2.

Dla dowolnego dobrego porządku $(A,⊑)$ i dla dowolnego zbioru $B\subset A$ zbiór ten jest dobrze uporządkowany przez relację $⊑\cap B\times B$.

Dowód

Relacja $⊑\cap B\times B$ to relacja $⊑$ zawężona do elementów zbioru $B$. Mamy, dla każdego $a,b\in B$

$a⊑b⟺a(⊑\cap B\times B)b.$

Oczywistym wnioskiem jest, że zbiór $B$ jest uporządkowany liniowo przez $⊑\cap B\times B$. Pozostaje wykazać, że każdy podzbiór zbioru $B$ ma element najmniejszy. Ustalmy dowolne $C\subset B$, ponieważ $B\subset A$ zbiór $C$ jest również podzbiorem $A$ i z definicji zbioru dobrze uporządkowanego wynika, że $C$ posiada element najmniejszy względem $⊑$. Ponieważ $C\subset B$, to ten sam element jest elementem najmniejszym w $C$ względem $⊑\cap B\times B$, co kończy dowód faktu.

Dokładnej analizie własności zbiorów dobrze uporządkowanych jest poświęcony Wykład 12. W dalszej części wykładu ograniczamy się do własności tych porządków bezpośrednio powiązanych z aksjomatem wyboru.

Aksjomat wyboru i twierdzenia mu równoważne

Tą część wykładu zaczniemy od przytoczenia aksjomatu wyboru w postaci w jakiej został wprowadzony w Wykład 4.

Aksjomat wyboru. Następująca formuła jest prawdziwa

$\mathrm{\forall }x(\mathrm{\varnothing }\notin x\wedge \mathrm{\forall }y\mathrm{\forall }z(z\in x\wedge y\in x)⟹(z=y\vee z\cap y=\mathrm{\varnothing }))⟹\mathrm{\exists }w\mathrm{\forall }v(v\in x⟹\mathrm{\exists }uv\cap w=\{u\})$

Aksjomat ten mówi, że jeśli $x$ jest rodziną niepustych, parami rozłącznych zbiorów to istnieje zbiór mający z każdym elementem $x$ dokładnie jeden element wspólny. Zbiór $w$, którego istnienie gwarantuje aksjomat wyboru "wybiera" z każdego elementu rodziny dokładnie jeden element. Obrazek 3.1 Zbiory jako pionowe, nieregularne obszary, zbiór wybierający jako poziomy zbiór przecinający każdy z nich na dokładnie jednym elemencie

W dalszej części wykładu prezentujemy parę twierdzeń równoważnych aksjomatowi wyboru. To znaczy, że na gruncie aksjomatyki ZF, bez aksjomatu wyboru, założenie prawdziwości któregokolwiek z tych twierdzeń implikuje prawdziwość aksjomatu wyboru i vice versa. Bardzo istotną częścią dowodów jest wykazanie, że twierdzenia te są dokładnie równoważne aksjomatowi wyboru na gruncie ZF. Na gruncie aksjomatyki ZFC twierdzenia te dają się udowodnić przy użyciu aksjomatu wyboru.

Aby wykazać równoważność między aksjomatem wyboru a poniższymi twierdzeniami pokażemy, że każde twierdzenie implikuje następne i że ostatnie implikuje aksjomat wyboru. Jest to najprostszy sposób na wykazanie równoważności.

Twierdzenia dotyczące zbiorów

Pierwsze, równoważne aksjomatowi wyboru, twierdzenie mówi o istnieniu funkcji wybierającej. W aksjomacie wyboru, z rodziny zbiorów wybieraliśmy elementy przez utworzenie zbioru. Aby możliwe było wybranie dokładnie jednego elementu z każdego zbioru niezbędne było założenie o rozłączności tych zbiorów. Poniższe twierdzenie mówi o istnieniu funkcji wybierającej elementy ze zbiorów.

Twierdzenie [Uzupelnij]

Dla dowolnej rodziny niepustych zbiorów istnieje funkcja, która każdem zbiorowi w tej rodzinie przyporządkowuje któryś z jego elementów. Formalnie

$\mathrm{\forall }x\mathrm{\varnothing }\notin x⟹\mathrm{\exists }ff:x\to \bigcup x\wedge (\mathrm{\forall }yy\in x⟹f(y)\in y)$

Poniżej przedstawiamy dowód, na gruncie ZF, że aksjomat wyboru implikuje powyższe twierdzenie.

Dowód [Uzupelnij]

[Aksjomat wyboru implikuje Twierdzenie Uzupelnic tw:choicefunction|] Ustalmy dowolny, nie zawierający zbioru pustego, zbiór $x$. Skonstruujemy zbiór $x_1$ do którego stosować będziemy aksjomat wyboru. Zbiór

$x_1=\{\{y\}\times y:y\in x\}$

jest rodziną zbiorów parami rozłącznych -- elementy pochodzące z różnych zbiorów $x$ różnią się w $x_1$ na pierwszej współrzędnej. Do zbioru $x_1$ stosujemy aksjomat wyboru i otrzymujemy zbiór $w\subset x\times \bigcup x$. Ponieważ z każdego zbioru $x_1$ wybraliśmy dokładnie jeden element, to $w$ jest funkcją z $x$ do $\bigcup x$. Definicja $x_1$ gwarantuje również, że $w(y)\in y$ dla każdego $y\in x$. Wnioskujemy, że $w$ może być wzięte jako $f$ i że aksjomat wyboru implikuje Twierdzenie Uzupelnic tw:choicefunction|.

Kolejny fakt, równoważny aksjomatowi wyboru, przedstawiamy w formie ćwiczenia: {cwicz}{1}{Ćwiczenie {section}.{cwicz}} Wykaż, że stwierdzenie "Dla każdej surjekcji $f:x\to y$ istnieje iniekcja $g:y\to x$ taka, że $f\circ g$ jest funkcją identycznościową na $y$." jest równoważne aksjomatowi wyboru na gruncie ZF. {hint}{0}

Solution.

Pokażmy najpierw, że z aksjomatu wyboru

wynika powyższe stwierdzenie. Ustalmy dowolną surjekcję $f:x\to y$ i zdefiniujmy zbiór $z$ w następujący sposób:

$z=\{w\subset x:\mathrm{\exists }vv\in y\wedge w={\overrightarrow{f}}^{-1}(\{v\})\}.$

Jest to zbiór składający się z przeciwobrazów singletonów z $y$. Ponieważ $f$ jest surjekcją $\mathrm{\varnothing }\notin z$, a ponieważ $f$ jest funkcją każde dwa różne elementy $z$ przecinają się pusto. W związku z tym do zbioru $z$ możemy zastosować aksjomat wyboru i otrzymać zbiór $u$ mający dokładnie jeden element wspólny z każdym elementem $z$, wtedy

$g=\{(v,w)\in y\times x:v\in y\wedge w\in x\wedge \{w\}={\overrightarrow{f}}^{-1}(\{v\})\cap u\}$

jest funkcją przekształcającą $y$ w $x$ i taką, że $f\circ g$ jest identycznością na $y$. Fakt, że $g$ jest funkcją jest oczywisty z definicji i z własności $u$. Aby dowieść własności złożenia ustalmy $v\in y$, wtedy $g(v)=w$ implikuje $w\in {\overrightarrow{f}}^{-1}(\{v\})$, czyli $f(w)=v$, co dowodzi implikacji.

Aby wykazać, że stwierdzenie implikuje aksjomat wyboru ustalmy dowolny zbiór $x$ taki, że $\mathrm{\varnothing }\notin x$, oraz, że każde dwa różne elementy zbioru $x$ są rozłączne. Zdefiniujmy funkcję $f:\bigcup x\to x$ tak, że

$f(w)=z⟺w\in z.$

Relacja $f$ jest funkcją, ponieważ każdy element $\bigcup x$ należy do dokładnie jednego zbioru w $x$ i jest surjekcją, ponieważ $\mathrm{\varnothing }\notin x$. Na mocy powyższego stwierdzenia istnieje funkcja $g:x\to \bigcup x$ taka, że $f\circ g$ jest identycznością na $x$. Ustalmy $z\in x$, wtedy $f(g(z))=z$ wtedy i tylko wtedy, kiedy $g(z)\in z$, a ponieważ $g$ jest funkcją, to zbiór $\overrightarrow{g}(x)$ jest zbiorem, który z każdym elementem $x$ ma dokładnie jeden element wspólny. Czyli ze stwierdzenia powyżej wynika aksjomat wyboru. {Koniec ćwiczenia {section}.{cwicz}}

Twierdzenia dotyczące porządków

Kolejne dwa twierdzenia dotyczą częściowych porządków. Pierwsze z nich gwarantuje istnienie maksymalnych łańcuchów

Twierdzenie [Uzupelnij]

[Zasada maksimum Felix Hausdorff 'a] W każdym zbiorze częściowo uporządkowanym istnieje maksymalny, pod względem inkluzji, łańcuch.

Zgodnie z przyjętą strategią postępowania wykażemy, że Twierdzenie Uzupelnic tw:choicefunction| implikuje zasadę maksimum Felix Hausdorff'a

Dowód [Uzupelnij]

[Twierdzenie Uzupelnic tw:choicefunction| implikuje zasadę maksimum Felix Hausdorff'a] Dowód tej implikacji opiera się na Twierdzeniu Bourbakiego-Witta z Wykład 10. Ustalmy dowolny zbiór częściowo uporządkowany $(A,⊑)$. Jeśli $A=\mathrm{\varnothing }$ to zbiór ten posiada dokładnie jeden łańcuch i fakt jest dowiedziony. Jeśli $A\ne \mathrm{\varnothing }$, oznaczmy przez $(B,\subset )$ zbiór częściowo uporządkowany składający się z łańcuchów w $(A,⊑)$ uporządkowanych przez inkluzję

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle B = \{C\subset A\,:\, C \text{ jest uporządkowany liniowo przez }\} }

Zbiór częściowo uporządkowany $(B,\subset )$ jest łańcuchowo zupełny. Aby to pokazać ustalmy dowolny, uporządkowany liniowo przez inkluzję, zbiór $D\subset B$. Jeśli $\bigcup D$ należy do $B$ to jest to niewątpliwie supremum zbioru $D$. Aby wykazać że $\bigcup D$ jest elementem $B$ należy wykazać, że jest on uporządkowany liniowo przez $⊑$. Weźmy dwa elementy $\bigcup D$ -- $x$ i $y$. Istnieje $C_x\in D$ i $C_y\in D$ takie, że $x\in C_x$ a $y\in C_y$. Ponieważ $D$ jest łańcuchem to, bez straty ogólności, możemy założyć, że $C_x\subset C_y$. Wtedy zarówno $x$, jak i $y$ należą do $C_y$ i ponieważ $C_y\in B$ wnioskujemy, że $x$ i $y$ są porównywalne. Wykazaliśmy, że dowolne dwa elementy $\bigcup D$ są porównywalne, czyli, że $\bigcup D$ jest uporządkowany liniowo przez $⊑$.

Na mocy Twierdzenia Uzupelnic tw:choicefunction| definiujemy funkcję wyboru $f$ dla zbioru ${𝒫}(A)\setminus \{\mathrm{\varnothing }\}$ -- zwracającą, dla każdego niepustego podzbioru $A$, jego element. Twierdzenie Bourbakiego-Witta będziemy stosować do funkcji $g$ przeprowadzającej $B$ w $B$ i zdefiniowanej następująco:

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\begincases”): {\displaystyle g(C)=\begincases C\cup \{f(C')\}&\text{jeśli } C'Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle , zbiór elementów porównywalnych z każdym elementem } CParser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle , jest niepusty}\\ C&\text{w przeciwnym przypadku}. \endcases }

Funkcja $g$ dostaje, jako argument łańcuch w $(A,⊑)$ oznaczony przez $C$ i przy pomocy funkcji $f$ rozszerza (jeśli jest to możliwe) $C$ o jeden element porównywalny ze wszystkimi elementami $C$ otrzymując w ten sposób nowy, większy łańcuch.

Zbiór $(B,\subset )$ i funkcja $g$ spełniają założenia Twierdzenia Bourbakiego-Witta i, na jego mocy, istnieje punkt stały $g$, czyli zbiór $D$ taki, że $g(D)=D$. To gwarantuje, że zbiór $D^{\prime }$ elementów porównywalnych z każdym elementem $D$ jest pusty, czyli, że $D$ jest maksymalnym pod względem inkluzji łańcuchem w $A$.

Równoważną wersję zasady Felix Hausdorff'a pozostawiamy jako ćwiczenie. {cwicz}{1}{Ćwiczenie {section}.{cwicz}} Wykaż, na gruncie ZF, że następujące stwierdzenie jest równoważne zasadzie Felix Hausdorff'a: "W każdym zbiorze częściowo uporządkowanym każdy łańcuch jest zawarty w maksymalnym, pod względem inkluzji, łańcuchu." {hint}{0}

Solution.

Aby udowodnić zasadę maksimum Felix Hausdorff'a

używając powyższego stwierdzenia, wystarczy, dla dowolnego zbioru częściowo uporządkowanego znaleźć jeden łańcuch i z faktu że jest on zawarty w łańcuchu maksymalnym wynika, że łańcuch maksymalny istnieje. Dla dowolnego zbioru częściowo uporządkowanego możemy znaleźć jego podzbiór $(\mathrm{\varnothing },\mathrm{\varnothing })$ który jest łańcuchem i w związku z tym jest zawarty w jakimś łańcuchu maksymalnym, co należało wykazać.

Aby wykazać powyższe stwierdzenie używając zasady Felix Hausdorff'a ustalmy dowolny zbiór częściowo uporządkowany $(A,⊑)$ i dowolny łańcuch $C\subset A$. Rozważmy zbiór $B\subset A$ taki, że

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle B = \{a\in A\,:\, \text{} aParser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle jest porównywalne z każdym elementem } CParser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle }\}. }

Ponieważ $C$ jest łańcuchem, mamy $C\subset B$. Zastosujmy zasadę Hausdorff'a do zbioru $B$ uporządkowane przez $⊑$ zawężone do $B$. Gwarantuje ona istnienie łańcucha maksymalnego $D$ w $B$. Ponieważ każdy z elementów zbioru $C$ był porównywalny z każdym elementem zbioru $B$ (i w szczególności z każdym elementem zbioru $D$) to $D\cup C$ jest łańcuchem i maksymalność $D$ gwarantuje $C\subset D$. Pozostaje wykazać, że $D$ jest maksymalnym łańcuchem w $A$. gdyby tak nie było to istniało by $a\in A\setminus D$ porównywalne z każdym elementem $D$. Wtedy $a$ byłoby porównywalne z każdym elementem $C$ i w związku z tym $a\in B$ i $a\in B\setminus D$, co przeczy maksymalności $D$ w $B$. W związku z tym $D$ jest maksymalnym łańcuchem w $A$ i zawiera $C$ -- stwierdzenie zostało dowiedzione. {Koniec ćwiczenia {section}.{cwicz}} Kolejne z równoważnych aksjomatowi wyboru twierdzeń nosi nazwę Lematu Max August Zorn'a. Nazwa ta ma korzenie historyczne i dlatego pozostawiamy ją w tym brzmieniu.

Twierdzenie [Uzupelnij]

[Lemat Max August Zorn'a] Jeśli w pewnym zbiorze częściowo uporządkowanym każdy łańcuch jest ograniczony od góry to istnieje w nim element maksymalny.

Dowodzimy kolejną implikację

Dowód [Uzupelnij]

[Zasada maksimum Felix Hausdorff'a implikuje Lemat Max August Zorn'a] Dowód tej implikacji jest bardzo prosty. Wybierzmy dowolny zbiór częściowo uporządkowany spełniający założenia lematu Max August Zorn'a, czyli taki, że każdy łańcuch jest w nim ograniczony od góry. Na mocy zasady maksimum Felix Hausdorff'a istnieje w tym zbiorze łańcuch maksymalny pod względem inkluzji. Łańcuch ten posiada ograniczenie górne, które musi być elementem łańcucha i równocześnie elementem maksymalnym zbioru. Jeśliby tak nie było, to dodając element istotnie większy od tego ograniczenia do łańcucha danego przez zasadę maksimum Hausdorff'a uzyskalibyśmy łańcuch istotnie większy pod względem inkluzji

Kolejne ćwiczenie mówi o istnieniu maksymalnego antyłańcucha. {cwicz}{1}{Ćwiczenie {section}.{cwicz}} Udowodnij, używając lematu Max August Zorn'a, że w każdym zbiorze częściowo uporządkowanym istnieje antyłańcuch maksymalny pod względem inkluzji. {hint}{0}

Solution.

Ustalmy dowolny niepusty (twierdzenie jest

trywialne dla zbiorów pustych) zbiór częściowo uporządkowany $(A,⊑)$. Zdefiniujmy zbiór

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle B = \{C\subset A\,:\, \text{} CParser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle jest antyłańcuchem w } AParser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle }\} }

i uporządkujmy go relacją inkluzji. Aby móc zastosować do $(B,\subset )$ lemat Max August Zorn'a wykażemy, że każdy łańcuch ma majorantę. Ustalmy w tym celu dowolny łańcuch $B^{\prime }$ w $(B,\subset )$. Najprostszym kandydatem na majorantę $B^{\prime }$ względem inkluzji jest $\bigcup B^{\prime }$ -- wykażemy, że $\bigcup B^{\prime }$ jest antyłańcuchem w $(A,⊑)$. Niewątpliwie $\bigcup B^{\prime }\subset A$. Ustalmy dwa dowolne elementy $x$ i $y$ w $\bigcup B^{\prime }$, wtedy istnieje $C_x\in B^{\prime }$ i $C_y\in B^{\prime }$ takie, że $x\in C_x$ i $y\in C_y$. Ponieważ $B^{\prime }$ jest łańcuchem w sensie inkluzji, to $C_x$ i $C_y$ są porównywalne i możemy, bez straty ogólności założyć, że $C_x\subset C_y$ i w związku z tym $x\in C_y$. Ponieważ $C_y\in B^{\prime }\subset B$ to $C_y$ jest antyłańcuchem, czyli elementy $x$ i $y$ są nieporównywalne w $(A,⊑)$. Wykazaliśmy, że dowolne dwa elementy $\bigcup B^{\prime }$ są nieporównywalne, czyli, że $\bigcup B^{\prime }$ jest antyłańcuchem i należy do $B$. Wnioskujemy, że każdy łańcuch w $(B,\subset )$ ma majorantę.

Na podstawie lematu Max August Zorn'a wnioskujemy, że $(B,\subset )$ posiada element maksymalny -- jest to, poszukiwany przez nas, maksymalny w sensie inkluzji antyłańcuch. {Koniec ćwiczenia {section}.{cwicz}} Poniższe ćwiczenie dotyczy rozszerzeń porządków. {cwicz}{1}{Ćwiczenie {section}.{cwicz}} Wykaż, używając lematu Max August Zorn'a, że każdy częściowy porządek da się rozszerzyć do porządku liniowego. To znaczy, że dla każdego zbioru częściowo uporządkowanego $(A,⊑)$ istnieje liniowy porządek $\preccurlyeq$ na $A$ taki, że

$x⊑y⟹x\preccurlyeq y.$

dla dowolnych $x$ i $y$ w $A$. {hint}{0}

Solution.

Ustalmy dowolny porządek

częściowy $(A,⊑)$ na niepustym zbiorze $A$ (porządek pusty na zbiorze pustym jest liniowy). Niech zbiór $B$ będzie zbiorem porządków rozszerzających $⊑$ na $A$

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle B = \{r\subset A\times A\,:\, \text{ } rParser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle jest porządkiem częściowym na } AParser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle rozszerzającym }\}. }

uporządkowanym przez inkluzję. Formalnie, każdy element zbioru $B$ jest nadzbiorem relacji $⊑$.

Wykażemy teraz, że w zbiorze $B$, uporządkowanym przez inkluzję, każdy łańcuch ma majorantę. Niech $D$ będzie niepustym łańcuchem, wtedy, standardowo, kandydatem na majorantę łańcucha $D$ jest zbiór $\bigcup D$. Relacja $\bigcup D$ jest niewątpliwie nadzbiorem $⊑$, bo istnieje element $D$ który jest takim nadzbiorem. Relacja ta jest przechodnia, bo jeśli $(a,b)\in \bigcup D$ i $(b,c)\in \bigcup D$, to $(a,b)\in C\in D$ i $(b,c)\in C^{\prime }\in D$ dla pewnych $C$ i $C^{\prime }$. Ponieważ $D$ było łańcuchem, bez straty ogólności możemy założyć, że $C\subset C^{\prime }$ i w związku z tym obie pary są elementami $C^{\prime }$ i przechodniość $C^{\prime }$ gwarantuje, że $(a,c)\in C^{\prime }\subset \bigcup D$. Antysymetrii dowodzimy w identyczny sposób, co pozwala nam stwierdzić, że $\bigcup D\in B$ i, że każdy łańcuch w $B$ ma majorantę.

Niech relacja $\rho$ będzie, gwarantowanym przez lemat Max August Zorn'a, elementem maksymalnym w $(B,\subset )$. Jeśli $\rho$ jest porządkiem liniowym, to jest to poszukiwane rozszerzenie liniowe $⊑$ i dowód jest zakończony. Pokażemy, że przypadek kiedy $\rho$ nie jest porządkiem liniowym prowadzi do sprzeczności. Załóżmy, że $\rho$ nie jest porządkiem liniowym, czyli, że istnieją dwa elementy $a$ i $b$ nieporównywalne w $\rho$. Zdefiniujmy

$\uparrow a=\{c\in A:a\rho c\}$

oraz

$\downarrow b=\{c\in A:c\rho b\}.$

Zauważmy że przecięcie zbiorów $\uparrow a$ i $\downarrow b$ jest puste (w przeciwnym przypadku otrzymalibyśmy z przechodniości $a\rho b$), co więcej żaden element $\downarrow b$ nie może być nad (w $\rho$) żadnym elementem $\uparrow a$ (z tego samego powodu). Zdefiniujmy nową relację

$x{\rho }^{\prime }y⟺x\rho y\vee (x\in \downarrow b\wedge y\in \uparrow a).$

Relacja ${\rho }^{\prime }$ jest oczywiście zwrotna (ponieważ zawiera $\rho$). Aby dowieść antysymetrii załóżmy, że $x{\rho }^{\prime }y$ i $y{\rho }^{\prime }x$. Jeśli w obu przypadkach pierwsza część alternatywy jest prawdą, to, na mocy antysymetrii $\rho$ mamy $x=y$. W obu przypadkach prawdą nie może być druga część alternatywy, bo wtedy $x\in \uparrow a\cap \downarrow b$ co wykluczyliśmy. Pozostaje możliwość, że $x\rho y$ i $y\in \downarrow b\wedge x\in \uparrow a$ -- którą jednak też wykluczyliśmy wcześniej. W dowodzie przechodniości, zakładając $x{\rho }^{\prime }y$ i $y{\rho }^{\prime }z$, wszystkie przypadki trywializują się podobnie jak w antysymetrii, za wyjątkiem przypadku kiedy $x\rho y$ i $y\in \downarrow b\wedge z\in \uparrow a$ (i przypadku dualnego, kiedy $x\in \downarrow b\wedge y\in \uparrow a$ i $y\rho z$). Ale wtedy z przechodniości $\rho$ wnioskujemy, że $x\in \downarrow b$ (lub, że $z\in \uparrow a$) i że $x{\rho }^{\prime }z$. Pokazaliśmy, że ${\rho }^{\prime }$ jest częściowym porządkiem na $A$. Niewątpliwie ${\rho }^{\prime }$ rozszerza $⊑$ (ponieważ jest nadzbiorem $\rho$ rozszerzającej $⊑$). Równocześnie $b{\rho }^{\prime }a$ dla elementów, które były nieporównywalne w $\rho$. Sprzeczność z maksymalnością $\rho$ pozwala zakończyć dowód niewprost. {Koniec ćwiczenia {section}.{cwicz}} W Wykład 5 pokazaliśmy, że dla dowolnej relacji istnieje najmniejsza relacja równoważności zawierająca tą relację. W poniższym ćwiczeniu pokażemy, że dla niektórych relacji istnieje maksymalna, pod względem inkluzji, relacja równoważności zawarta w nich {cwicz}{1}{Ćwiczenie {section}.{cwicz}} Użyj lematu Max August Zorn'a, aby wykazać, że dla każdej relacji $\rho \subset A\times A$, jeśli $1_A\subset \rho$ to istnieje, maksymalna pod względem inkluzji relacja równoważności zawarta w $\rho$. {hint}{0}

Solution.

Ustalmy niepusty zbiór $A$ (twierdzenie jest

trywialne dla zbioru pustego). Podobnie jak w poprzednich przypadkach lemat Max August Zorn'a stosować będziemy do zbioru uporządkowanego przez inkluzję. Zbiorem tym jest

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle B = \{\,\delta\,\subset A\times A\,:\, \,\delta\,\subset\,\rho\, \land \textrm{ jest relacją równoważności na } AParser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle }\}. }

Zbiór $B$ niewątpliwie nie jest pusty, ponieważ $1_A\in B$. Jeśli zbiór $B$ uporządkowany przez inkluzję spełnia założenia lematu Max August Zorn'a, to jego element maksymalny jest niewątpliwe maksymalną w sensie inkluzji relacją równoważności zawartą w $\rho$. Pozostaje wykazać, że każdy łańcuch w $(B,\subset )$ posiada ograniczenie górne.

Ustalmy dowolny niepusty łańcuch $D\subset B$. Musimy wykazać, że $\bigcup D$ jest relacją równoważności i, że $\bigcup D\subset \rho$. Ponieważ każdy element $D$ jest elementem $B$ i w związku z tym podzbiorem $\rho$, to również ich unia jest podzbiorem $\rho$. Wykażemy teraz, że $\bigcup D$ jest relacją równoważności. Relacja ta jest niewątpliwie zwrotna, ponieważ istnieje element $D$ i jest on zwrotny. Jest przechodnia, bo dla $(a,b)\in \bigcup D$ i $(b,c)\in \bigcup D$ mamy $(a,b)\in C\in D$ i $(b,c)\in C^{\prime }\in D$ dla pewnych $C,C^{\prime }$. Zbiory $C$ i $C^{\prime }$ są porównywalne w sensie inkluzji więc, bez straty ogólności zakładamy, że $C\subset C^{\prime }$ i w związku z tym obie pary należą do $C^{\prime }$. Ponieważ relacja $C^{\prime }$, jako element $B$, jest przechodnia, to $(a,c)\in C^{\prime }\subset \bigcup D$ co dowodzi przechodniości. Dla dowodu symetrii ustalmy dowolne $(a,b)\in \bigcup D$ wtedy dla pewnego $C\in D$ mamy $(a,b)\in C$ i, ponieważ $C$ jest symetryczna, $(b,a)\in C\subset \bigcup D$ czego należało dowieść. Wykazaliśmy że w zbiorze częściowo uporządkowanym $(B,\subset )$ każdy łańcuch ma majorantę, więc istniejący, na podstawie lematu Max August Zorn'a, element maksymalny jest poszukiwaną przez nas relacją równoważności. {Koniec ćwiczenia {section}.{cwicz}} Kolejny warunek równoważny dotyczy zbiorów dobrze uporządkowanych.

Twierdzenie Ernst Zermelo

Twierdzenie Zermelo jest jedną z równoważnych postaci aksjomatu wyboru w którą wyjątkowo trudno uwierzyć.

Twierdzenie [Uzupelnij]

[Zermello] Dla każdego zbioru istnieje relacja, która jest dobrym porządkiem na tym zbiorze.

Kolejny dowód to

Dowód [Uzupelnij]

[Lemat Max August Zorn'a implikuje Twierdzenie Ernst Zermelo] Ustalmy dowolny zbiór niepusty $A$ (dla zbioru pustego porządek pusty porządkuje go dobrze). Rozważmy zbiór $B$ składający się z podzbiorów $A$ które mogą być dobrze uporządkowane, wraz z dobrymi porządkami

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle B = \{(C,\sqsubseteq)\,:\, C\subset A \land \text{ jest dobrym porządkiem na C}\}. }

i zdefiniujmy relację na elementach $B$ w następujący sposób

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\beginaligned”): {\displaystyle c\forall d\; c\in C \land d\in C \land c\sqsubseteq d\implies c\sqsubseteq' d, (C,\sqsubseteq) \preccurlyeq (C',\sqsubseteq') \iff C\subset C' \land \left\{ \beginaligned \forall c \forall d\; &(c\in C\land d\in C) \implies (c\sqsubseteq d \iff c\sqsubseteq' d) \textrm{ oraz }\\ \forall c \forall d\; &(c\in C\land d\in C'\setminus C) \implies c\sqsubseteq' d. \endaligned \right. }

czyli dwa elementy $B$ są porównywalne wtedy i tylko wtedy, jeśli zbiory na których są określone są porównywalne w sensie inkluzji i porządek zdefiniowany na większym zbiorze jest rozszerzeniem porządku zdefiniowanego na mniejszym przez dodanie elementów większych od wszystkich zastanych. Aby zastosować Lemat Max August Zorn'a do zbioru częściowo uporządkowanego $(B,\preccurlyeq )$ musimy wykazać, że każdy łańcuch w tym zbiorze ma ograniczenie górne.

Niech $D\subset B$ będzie łańcuchem w sensie $\preccurlyeq$. Zdefiniujmy $C_0$ jako unię wszystkich pierwszych współrzędnych elementów $D$ i ${⊑}_0$ jako unię drugich współrzędnych elementów $D$. Niewątpliwie $C_0\subset A$. Ponieważ $D$ jest łańcuchem w sensie $\preccurlyeq$ to relacja ${⊑}_0$ jest porządkiem liniowym na $C_0$. Aby wykazać, że ${⊑}_0$ jest dobrym porządkiem na $C_0$ ustalmy dowolny $E\subset C_0$. Niewątpliwie istnieje element $(C,⊑)\in D$ taki, że $E\cap C\ne \mathrm{\varnothing }$. Ponieważ $(C,⊑)\in B$ to $C$ jest dobrze uporządkowany przez $⊑$ i w związku z tym $E\cap C$ posiada element najmniejszy w $(C,⊑)$ -- oznaczmy go przez $x$. Element $x$, będzie również najmniejszym elementem $E$ w $C_0$. Aby to wykazać ustalmy $y\in E$. Jeśli $y\in C$ to niewątpliwie $x⊑y$ i w związku z tym $x{⊑}_{0}y$. Jeśli $y\notin C$ to $y\in C^{\prime }\setminus C$ dla jakiegoś $(C^{\prime },{⊑}^{\prime })\in D$. Ponieważ $D$ jest łańcuchem wnioskujemy, że $C\subset C^{\prime }$ i na mocy definicji $\preccurlyeq$, że $x{⊑}^{\prime }y$, czyli $x{⊑}_{0}y$ co należało wykazać.

Stosując Lemat Max August Zorn'a wnioskujemy, że w zbiorze częściowo uporządkowanym $(B,\preccurlyeq )$ istnieje element maksymalny $(D,⊑)$. Jeśli $D=A$ to $⊑$ jest wymaganym dobrym porządkiem na $A$. Aby wykazać że tak musi być załóżmy niewprost, że $D⊊A$, czyli, że istnieje $d\in A\setminus D$. Wtedy zbiór $D\cup \{d\}$ wraz z dobrym porządkiem ${⊑}^{\prime }$ zdefiniowanym jako

$a{⊑}^{\prime }b⟺b=d\vee (a\in D\wedge b\in D\wedge a⊑b)$

jest większy w sensie relacji $\preccurlyeq$ , co przeczy maksymalności $D$. Uzyskana w dowodzie niewprost sprzeczność kończy rozumowanie.

Twierdzenie Ernst Zermelo jest sprzeczne z intuicją wielu matematyków. Gwarantuje ono między innymi istnienie dobrego porządku na liczbach rzeczywistych -- takiego, liniowego, uporządkowania liczb rzeczywistych w którym każdy zbiór posiada element najmniejszy. Porządek taki jest trudnym do wyobrażenia konceptem matematycznym.

Aby zamknąć ciąg rozumowań wystarczy wykazać, że Twierdzenie Zermello implikuje aksjomat wyboru.

Dowód [Uzupelnij]

[Twierdzenie Zermello implikuje akjomat wyboru] Niech $x$ będzie dowolnym zbiorem spełniającym założenia aksjomatu wyboru, to znaczy takim, że $\mathrm{\varnothing }\notin x$ i że wszystkie elementy $x$ są parami rozłączne. Niech $⊑$ będzie istniejącym, na podstawie Twierdzenia Zermello, dobrym uporządkowaniem zbioru $\bigcup x$. Zbiór wybierający po jednym elemencie z każdego elementu $x$ otrzymujemy stosując zasadę wycinania do $\bigcup x$

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle w = \{y\in\bigcup x\,:\, \exists z\; y\in z\in x \land \text{} y$jestnajmniejszymelementem$zParser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle względem relacji }\}. }

Zbiór $w$ posiada po dokładnie jednym elemencie wspólnym z każdym zbiorem $z\in x$ -- jest to element najmniejszy w $z$ względem dobrego uporządkowania $\bigcup x$.

Nasze rozumowanie wykazało, że wszystkie powyższe fakty są równoważne na gruncie ZF. Jak wspomnieliśmy na początku aksjomat wyboru jest kontrowersyjnym aksjomatem. Niektóre z równoważnych mu stwierdzeń są intuicyjnie oczywiste inne przeczą intuicji. Podsumujemy rozdział żartem autorstwa Jerrego Bona:

The Axiom of Choice is obviously true; the Well Ordering Principle is obviously false; and who can tell about Max August Zorn's Lemma?{Aksjomat wyboru jest oczywiście prawdziwy; twierdzenie Ernst Zermelo jest oczywiście fałszem; lemat Zorn'a kto wie?}

Twierdzenia wymagające aksjomatu wyboru

Wiele twierdzeń wymaga aksjomatu wyboru, choć założenie ich prawdziwości w ZF nie implikuje prawdziwości tego aksjomatu. W tej części wykładu przedstawimy kilka tego typu twierdzeń. Zwróćmy uwagę, że żadna z dostępnych w tej chwili technik dowodowych nie nadaje się do udowodnienia, że jakiś fakt jest słabszy od aksjomatu wyboru. Możemy pokazać, że jeśli aksjomat wyboru jest prawdą, to dane twierdzenie jest prawdziwe, ale nie możemy pokazać że jeśli założymy dane twierdzenie, to aksjomat wyboru nie musi być prawdą. Nie jesteśmy w stanie zdecydować czy aksjomat wyboru jest niezbędny do udowodnienia danego twierdzenia -- tego typu dowody wykraczają poza zakres tego kursu i nie będą prezentowane.

Pierwszy z faktów, które będziemy dowodzić brzmi następująco:

Twierdzenie [Uzupelnij]

Dla dowolnego zbioru nieskończonego istnieje iniekcja ze zbioru liczb naturalnych w ten zbiór.

Dowód [Uzupelnij]

[Co możemy dowieść bez aksjomatu wyboru] Ustalmy dowolny zbiór nieskończony $A$. Na mocy definicji z Wykład 9 wiemy, że nie istnieje bijekcja między $A$ a żadną liczbą naturalną. Pokażmy najpierw, że dla każdej liczby naturalnej $n$ istnieje iniekcja z $n$ do $A$. Dowód przeprowadzamy przez indukcję na $n$.

• Jeśli $n=0$ to niewątpliwie istnieje iniekcja ze zbioru pustego

w $A$ -- jest to funkcja pusta.

• Załóżmy, że istnieje iniekcja $f:n\to A$. Ponieważ nie istnieje

bijekcja pomiędzy $n$ a $A$ wnioskujemy, że $\overrightarrow{f}(n)⊊A$, czyli, że istnieje $a\in A\setminus \overrightarrow{f}(n)$. Zdefiniujmy $f^{\prime }:n^{\prime }\to A$ jako

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\begincases”): {\displaystyle f'(m)=\begincases f(m)&\text{jeśli } m nParser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle }\\ a&\text{jeśli } m=nParser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\endcases”): {\displaystyle }. \endcases }

Funkcja $f^{\prime }$ jest iniekcją, co kończy dowód indukcyjny.

Wykazaliśmy jedynie, że dla każdej liczby naturalnej istnieje iniekcja z niej w $A$. Nie udało nam się wykazać istnienia jednej funkcji dla całego zbioru $\mathbb{\mathbb{N}}$.

Drugi dowód.

Dowód [Uzupelnij]

[Dowód przy użyciu aksjomatu wyboru] Aby udowodnić istnienie iniekcji z $\mathbb{\mathbb{N}}$ w $A$ skorzystamy z Twierdzenia Uzupelnic tw:choicefunction| równoważnego aksjomatowi wyboru. Zastosujmy je do zbioru ${𝒫}(A)\setminus \{\mathrm{\varnothing }\}$ dostając funkcję $e:{𝒫}(A)\setminus \{\mathrm{\varnothing }\}\to A$ taką, że $e(B)\in B$ dla każdego $B$ jeśli tylko $\mathrm{\varnothing }\ne B\subset A$. Aby udowodnić istnienie żądanej funkcji zastosujemy twierdzenie o definiowaniu przez indukcję. Dzięki temu twierdzeniu dostaniemy funkcję $h:\mathbb{\mathbb{N}}\times \{\mathrm{\varnothing }\}\to {𝒫}(A)$ taką, że

$h(0,\mathrm{\varnothing })=\{e(A)\}$

oraz

$h(n^{\prime },\mathrm{\varnothing })=h(n,\mathrm{\varnothing })\cup \{e(A\setminus h(n))\}.$

Jest to funkcja, która każdej liczbie naturalnej przyporządkowuje zbiór o jeden element większy niż przyporządkowany poprzedniej liczbie naturalnej. Aby otrzymać żądaną iniekcję wystarczy zdefiniować:

$f(n)=x⟺h(n^{\prime },\mathrm{\varnothing })\setminus h(n,\mathrm{\varnothing })=\{x\}$

Funkcja $f$ jest dobrze zdefiniowana ponieważ dla każdego $n$ zbiór $h(n^{\prime },\mathrm{\varnothing })\setminus h(n^{\prime },\mathrm{\varnothing })$ jest jednoelementowy (co gwarantuje definicja funkcji $e$). A jest iniekcją, ponieważ $h(m,\mathrm{\varnothing })\subset h(n,\mathrm{\varnothing })$ jeśli tylko $m\le n$.

Kolejną konsekwencję podajemy w formie ćwiczenia. {cwicz}{1}{Ćwiczenie {section}.{cwicz}} Rozważmy przedział $[-1,3]$ w zbiorze liczb rzeczywistych. Niech funkcja $f:{𝒫}([-1,3])\to \mathbb{ℝ}$ będzie "miłą miarą zbiorów" jeśli:

• dla każdego zbioru jego miara jest większa lub równa $0$ i $f([0,1])=1$.

• jeśli zbiór $A$ ma miarę $f(A)$ to $f(\{x+r:x\in A\})=f(A)$ dla

dowolnego $r$ -- to znaczy, że przesunięcie zbioru o wektor nie zmienia jego miary

• jeśli $A_0,A_1,\dots$ są zbiorami parami rozłącznymi, to suma tych

zbiorów ma miarę równą sumie miar

$f(\bigcup _i{A}_i)=\sum _{i}f(A_i)$

to znaczy że sumowanie zbiorów rozłącznych zachowuje miarę.

Wykaż, że nie istnieje miła miara zbiorów. {hint}{0} {hint}{1}

Hint .

Połóż dwie

liczby w relacji ze sobą jeśli ich różnica jest wymierna. {hint}{1}

Hint .

Wybierz po jednym reprezentancie z każdej klasy równoważności i

przesuń go o wektor.

Solution.

Załóżmy, niewprost, że istnieje miła miara

$f$. Zdefiniujmy relację równoważności $\rho$ na zbiorze $[0,1]$ w następujący sposób

$x\rho y⟺x-y\in \mathbb{\mathbb{Q}}$

Niewątpliwie relacja $\rho$ jest relacją równoważności:

• $x\rho x$ ponieważ $x-x=0\in \mathbb{\mathbb{Q}}$,

• $x\rho y⟹y\rho x$ ponieważ, jeśli $x-y\in \mathbb{\mathbb{Q}}$ to również $y-x=-(x-y)\in \mathbb{\mathbb{Q}}$

• $x\rho y\wedge y\rho z⟹x\rho z$ ponieważ jeśli $x-y\in \mathbb{\mathbb{Q}}$ i $y-z\in \mathbb{\mathbb{Q}}$, to również $x-z=(x-y)+(y-z)\in \mathbb{\mathbb{Q}}$.

W związku z tym zbiór $[0,1]$ podzielony jest na klasy równoważności i, na mocy aksjomatu wyboru, możemy wybrać zbiór $C$ posiadający po jednym elemencie z każdej klasy równoważności. Rozważmy przeliczalną rodzinę zbiorów $\{C_r\}$ gdzie $r$ jest liczbą wymierną z przedziału $[-1,1]$, a zbiór $C_r$ jest translacją zbioru $C$ o liczbę $r$

$C_r=\{c+r:c\in C\}.$

Ponieważ każdy element zbioru $[0,1]$ jest odległy o liczbę wymierną od jakiegoś elementu $C$ (ponieważ jest z nim w tej samej klasie równoważności) i ponieważ ta odległość nie może być większa niż $1$, to

$[0,1]\subset \bigcup _r{C}_r\subset [-1,2]$

czyli miara zbioru $\bigcup _r{C}_r$ musi być pomiędzy $f([0,1])=1$, a $f([-1,2])\le 3$. Ale, z założenia o mierze $f$ mamy $f(C)=f(C_r)$ dla każdego $r$. Oraz

$f(\bigcup _r{C}_r)=\sum _{r}f(C_r)=\sum _{r}f(C)$

skąd wnioskujemy, że $f(\bigcup _r{C}_r)$ musi być równe zero (w przeciwnym przypadku suma po prawej stronie równości byłaby nieskończona) i w związku z tym również $\sum _{r}f(C_r)=0$, czyli zbiór $C$ ma miarę $0$ co jest żądaną sprzecznością. Skonstruowany przez nas zbiór $C$ nazywa się, od nazwiska pomysłodawcy, zbiorem Vitaliego. {Koniec ćwiczenia {section}.{cwicz}}

Podsumowanie

W powyższym wykładzie przedstawiliśmy twierdzenia równoważne aksjomatowi wyboru i udowodniliśmy parę jego konsekwencji. Aksjomat wyboru jest kontrowersyjnym aksjomatem. Przyjęcie go pociąga za sobą nieintuicyjne konsekwencje. Zakładając aksjomat wyboru możemy wykazać, że zbiór liczb rzeczywistych daje się uporządkować w taki sposób, że każdy jego podzbiór ma element najmniejszy. Kolejną nieintuicyjną konsekwencją jest wykazany przez Stefan Banach 'a i Alfred Tarski' ego paradoksalny rozkład trójwymiarowej kuli na sześć części, z których, za pomocą obrotów i translacji, możemy skleić dwie kule identyczne z pierwszą.

Z drugiej strony wiele intuicyjnych faktów wymaga aksjomatu wyboru, lub jednej z jego słabszych wersji. Twierdzenie, że jeśli zbiór jest nieskończony, to istnieje iniekcja liczb naturalnych w ten zbiór jest intuicyjnym faktem. Bertrandt Russell powiedział o aksjomacie wyboru

The Axiom of Choice is necessary to select a set from an infinite number of socks, but not an infinite number of shoes{Aksjomat wyboru jest niezbędny aby wybrać zbiór z nieskończonej ilości skarpet ale nie z nieskończonej ilości butów}

Znaczenie tego cytatu powinno być jasne. Jesteśmy w stanie wybrać po jednym bucie z nieskończonego zbioru par mówiąc "wybierzmy buty lewe". Nie jesteśmy w stanie przeprowadzić tego rozumowania, jeśli byty występujące w zbiorach są identyczne.