CWGI Moduł 4

Wykład 4. Przekroje i przenikanie wielościanów

---

Celem naszym będzie poszukiwanie rzutów punków przebicia prostej z wielościanem. Niech będą dane rzuty ostrosłupa prostego stojącego na rzutni poziomej $ABCW$ oraz rzuty prostej $n$. Należy wyznaczyć punkty przebicia prostej ze ścianami ostrosłupa oraz ustalić widoczność prostej przy założeniu, że ściany ostrosłupa są niewidoczne (patrz rys.4.1_1a). Ustalmy tok postępowania przy rozwiązaniu tego zadania: przez dowolny punkt $P$ leżący na prostej $n$ oraz wierzchołek $W$ ostrosłupa poprowadźmy prostą $a$, dwie proste $a$ i $n$ wyznaczą płaszczyznę $\alpha$. Wyznaczamy przekrój ostrosłupa płaszczyzną $\alpha$, w której leży dana prosta $n$ w punktach przecięcia się boków wielokąta przekroju z prostą $n$ wyznaczymy poszukiwane punkty przebicia ścian ostrosłupa z prostą $n$. Obierając punkt $P$ na prostej $n$ oraz prowadząc prostą a przez punkt $P$ i wierzchołek $W$ ostrosłupa wyznaczamy przekrój ostrosłupa płaszczyzną określoną przez te proste. Wierzchołek $W$ będzie stanowił jeden z wierzchołków figury płaskiej, będącej poszukiwanym przekrojem. Mając dane rzuty prostych $n$ i $a$ możemy wyznaczyć ich ślady poziome $H_a$ i $H_n$. Łącząc ze sobą te ślady wyznaczymy ślad poziomy $h_{\alpha }$ płaszczyzny $\alpha$. Jak widać na rzucie poziomym ślad $h_{\alpha }$ (prosta leżąca na rzutni poziomej) przecina nam podstawę ostrosłupa w punktach $1^{\prime }$ i $2^{\prime }$ (podstawa ostrosłupa z założenia leży na rzutni poziomej). Łącząc rzuty poziome punktów $1^{\prime }$ i $2^{\prime }$ z rzutem poziomym $W^{\prime }$ wierzchołka, wyznaczymy rzut poziomy ($W^{\prime }{1}^{\prime }{2}^{\prime }$) trójkąta, który jest rzutem poszukiwanego przekroju. Prosta $n$ przecina boki przekroju w punktach $Q^{\prime }$ i $R^{\prime }$, które są punktami przebicia prostej $n$ ze ścianami $\alpha$ ostrosłupa. Rzuty pionowe punktów przebicia znajdziemy na rzucie pionowym Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle n"} prostej oraz odnoszących punktów $Q^{\prime }$ i $R^{\prime }$. Ustalamy widoczność prostej $n$, przyjmując, że ściany ostrosłupa są nieprzezroczyste. Widoczność prostej $n$ w rzucie pionowym określamy analizując widoczność ścian ostrosłupa (ocenę przeprowadzamy w rzucie poziomym). Widać wyraźnie, że ściana $ACW$ jest widoczna w rzucie pionowym, natomiast ściana $ABW$ jest niewidoczna w rzucie pionowym. Zaznaczamy to odpowiednio linią kreskową. Widoczność prostej $n$ w rzucie poziomym jest oczywista. Wszystkie ściany są widoczne z wyjątkiem podstawy. Prosta $n$, zatem jest niewidoczna wyłącznie między ścianami ostrosłupa, co odpowiednio zaznaczamy na rzucie poziomym przekroju.

---

Kolejnym zadaniem będzie poszukiwanie punktów przebicia prostej $n$ ze ścianami graniastosłupa pochyłego $ABC$ stojącego na rzutni poziomej. Pierwszym etapem rozwiązania zadania jest wyznaczenie rzutów przekroju graniastosłupa płaszczyzn, w której znajduje się dana prosta $n$. W tym celu przez prostą $n$ prowadzimy dowolna płaszczyznę. Dla ułatwienia będzie to płaszczyzna pionowo – rzutująca $\alpha$, prostopadła do rzutni pionowej. Ślad pionowy płaszczyzny $v_{\alpha }$ będzie pokrywał się z rzutem pionowym prostej $n$, ponieważ wszystkie elementy płaskie znajdujące się w takiej płaszczyźnie w rzucie pionowym rzutują się na ślad pionowy płaszczyzny, będący jednocześnie rzutem pionowym płaszczyzny. Kolejnym etapem rozwiązania jest wyznaczenie przekroju graniastosłupa płaszczyzną $\alpha$. Przekrój w rzucie pionowym wyznaczymy natychmiast. Zgodnie z cytowaną wyżej zasadą punkty przekroju Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle 1", 2", 3"} w rzucie pionowym będą leżały na przecięciu się krawędzi graniastosłupa Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle A",B", C"} ze śladem pionowym płaszczyzny $\alpha$. Rzuty poziome punktów przekroju $1^{\prime },2^{\prime },3^{\prime }$ będą leżały na przecięciu się odnoszących z rzutami poziomymi krawędzi graniastosłupa $A^{\prime },B^{\prime },C^{\prime }$. W miejscach gdzie prosta n przecina się z bokami przekroju otrzymamy poszukiwane punkty przebicia graniastosłupa prostą $n$. Dla pełnego rozwiązania zadania należy ustalić widoczność prostej, która wbija się w ściany graniastosłupa. W rzucie pionowym punkty przebicia znajdują się na ścianach widocznych, zatem prosta $n$ będzie niewidoczna jedynie na odcinku między punktami przebicia. W rzycie poziomym jeden z punktów przebicia (punkt $Q^{\prime }$) leży na ścianie niewidocznej Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle B’ C’} , więc prosta $n$ będzie niewidoczna nie tylko między punktami przebicia ale również do miejsca wyjścia prostej z raniastosłupa. Niewidoczne krawędzie zaznaczono odpowiednio linią kreskową.

---

---

---

---

---

---

---

---

---

---