PEE Moduł 10

Wykład10. Czwórniki

---

Definicja czwórnika Czwórnik jest elementem czterozaciskowym, mającym dwie pary uporządkowanych zacisków, z których jedna para jest wejściem a druga para wyjściem Oznaczenie czwórnika z zaznaczonymi zwrotami prądów i napięć końcówkowych jest przedstawione na rysunku na slajdzie 2. W odniesieniu do wejścia i wyjścia czwórnika musi być spełniony warunek równości prądów: $I_1=I_1^{\text{'}}$ $I_2=I_2^{\text{'}}$ jak to zaznaczono na rysunku. Sygnały prądu i napięcia po stronie wejściowej oznaczać będziemy ze wskaźnikiem 1, a po stronie wyjściowej – ze wskaźnikiem 2. Przyjmiemy umownie, że oba prądy: na wejściu i wyjściu są zwrócone do prostokąta oznaczającego czwórnik. W zależności od elementów tworzących obwód, czwórnik może być liniowy (gdy wszystkie elementy obwodu są liniowe) lub nieliniowy. W dalszych rozważaniach ograniczymy się wyłącznie do czwórników liniowych. Czwórnik nazywać będziemy pasywnym, jeśli nie wytwarza energii a jedynie pobiera ją ze źródła zasilającego i przetwarza w określony sposób. Czwórnik złożony z samych elementów pasywnych R, L, C i M jest zawsze czwórnikiem pasywnym. Czwórnik pasywny jest zdolny do gromadzenia i rozpraszania energii pobranej ze źródła, może ją również oddawać na zewnątrz, jednak w dowolnej chwili czasowej $t$ energia ta nie może przewyższać energii pobranej. Czwórnik, który nie spełnia powyższych warunków jest czwórnikiem aktywnym (generatorem energii).

---

Równania czwórnika Czwórnik może być scharakteryzowany za pomocą dwóch równań liniowych wiążących ze sobą dwa wielkości prądowe i dwie napięciowe dotyczące bramy wejściowej i wyjściowej: $I_1$, $I_2$, $U_1$ oraz $U_2$. W zależności od wyboru zmiennych można wyróżnić 6 podstawowych postaci równań czwórnika. Są to postać admitancyjna, w której prądy wejściowy i wyjściowy ($I_1,I_2$) są wyrażone w zależności od napięć zewnętrznych ($U_1,U_2$) postać impedancyjna, w której napięcia wejściowe i wyjściowe ($U_1,U_2$) są wyrażone w zależności od prądów końcówkowych ($I_1,I_2$) postać hybrydowa w której para wielkości ($U_1,I_2$) jest wyrażona jako funkcja drugiej pary ($I_1,U_2$) postać hybrydowa odwrotna w której para wielkości ($I_1,U_2$) jest wyrażona jako funkcja drugiej pary ($U_1,I_2$) postać łańcuchowa w której para wielkości ($U_1,I_1$) dotycząca zacisków wejściowych jest wyrażona jako funkcja drugiej pary ($U_2,I_2$) związanej z zaciskami wyjściowymi postać łańcuchowa odwrotna w której para wielkości ($U_2,I_2$) dotycząca zacisków wyjściowych jest wyrażona jako funkcja drugiej pary ($U_1,I_1$) związanej z zaciskami wejściowymi.

---

Równanie admitancyjne Jeżeli za zmienne niezależne przyjmie się napięcia obu bram $U_1$ oraz $U_2$ czwórnik przyjmie opis admitancyjny, który można wyrazić w postaci $\left[\begin{array}{c}{I}_1\\ I_2\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}{Y}_{11}& Y_{12}\\ Y_{21}& Y_{22}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{U}_1\\ U_2\end{array}\right]=Y\left[\begin{array}{c}{U}_1\\ U_2\end{array}\right]$ Macierz $Y$ jest nazywana macierzą admitancyjną a parametry tej macierzy mają interpretację admitancji operatorowych. Równanie impedancyjne Jeżeli za zmienne niezależne przyjmie się prądy obu bram $I_1$ oraz $I_2$ , czwórnik przyjmie opis impedancyjny, który można wyrazić w postaci $\left[\begin{array}{c}{U}_1\\ U_2\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}{Z}_{11}& Z_{12}\\ Z_{21}& Z_{22}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{I}_1\\ I_2\end{array}\right]=Z\left[\begin{array}{c}{I}_1\\ I_2\end{array}\right]$ Macierz $Z$ jest nazywana macierzą impedancyjną a parametry tej macierzy mają interpretację impedancji operatorowych. Łatwo jest udowodnić, że macierze impedancyjna i admitancyjna są powiązane relacją $Y=Z^{-1}$ Równania hybrydowe Przy opisie hybrydowym za zmienne niezależne wybiera się prąd wejściowy i napięcie wyjściowe czwórnika. Równanie hybrydowe przyjmuje się w postaci $\left[\begin{array}{c}{U}_1\\ I_2\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}{H}_{11}& H_{12}\\ H_{21}& H_{22}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{I}_1\\ U_2\end{array}\right]=H\left[\begin{array}{c}{I}_1\\ U_2\end{array}\right]$ w której $H$ jest macierzą hybrydową. Jak widać z opisu hybrydowego parametr $H_{1}1$ ma interpretację impedancji a $H_{2}2$ admitancji. Parametry $H_{1}2$ i $H_{2}1$ są bezwymiarowe i wyrażają stosunek odpowiednio dwu napięć i dwu prądów w obwodzie.

---

Zamieniając zmienne wejściowe i wyjściowe otrzymuje się opis hybrydowy odwrotny czwórnika w postaci $\left[\begin{array}{c}{I}_1\\ U_2\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}{G}_{11}& G_{12}\\ G_{21}& G_{22}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{U}_1\\ I_2\end{array}\right]=G\left[\begin{array}{c}{U}_1\\ I_2\end{array}\right]$ Stanowi on odwrotność opisu hybrydowego macierzą $H$. Obie macierze powiązane są następująca relacją $G=H^{-1}$ Równanie łańcuchowe Równanie łańcuchowe czwórnika uzależnia prąd i napięcie na wejściu czwórnika od prądu i napięcia na jego wyjściu $\left[\begin{array}{c}{U}_1\\ I_1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}{A}_{11}& A_{12}\\ A_{21}& A_{22}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{U}_2\\ -I_2\end{array}\right]=A\left[\begin{array}{c}{U}_2\\ -I_2\end{array}\right]$ W równaniu tym, inaczej niż w pozostałych opisach, przyjmuje się prąd $I_2$ wypływający z czwórnika, w związku z czym przy założonym na wstępie zwrocie prądu do czwórnika w opisie pojawia się prąd wyjściowy ze znakiem minus. Elementy macierzy łańcuchowej A nazywane są parametrami łańcuchowymi czwórnika. Każdy z przedstawionych typów macierzy jednoznacznie opisuje czwórnik. Wybór któregoś z nich jest uwarunkowany strukturą obwodu, sposobem połączenia czwórników, łatwością wyznaczenia parametrów, itp. Przejście z jednego opisu do drugiego polega na przegrupowaniu zmiennych i wyznaczeniu odpowiednich relacji między tymi zmiennymi. Duża liczba stosowanych opisów macierzowych czwórnika wynika również z faktu, że dla niektórych czwórników pewne opisy mogą nie istnieć. Najbardziej uniwersalne pod tym względem są opisy hybrydowe wykorzystujące macierz $H$ lub $G$, które można otrzymać dla większości obwodów elektrycznych.

---

Przykład Wyznaczyć opis czwórnika przedstawionego na rysunku na slajdzie 6. Czwórnik ten nosi nazwę czwórnika typu $T$ i jest jedną z najpopularniejszych struktur czwórnikowych. Rozwiązanie Z prawa napięciowego i prądowego Kirchhoffa zastosowanego do obwodu z rysunku można napisać następujące równania $I_1=I-I_2=Y{U}_2+(1+Z_{2}Y)(-I_2)$ $U_1=U_2+Z_1{I}_1-Z_2{I}_2$ Po podstawieniu równania pierwszego do drugiego otrzymuje się $U_1=(1+Z_{1}Y)U_2+(Z_1+Z_2+Z_1{Z}_{2}Y)(-I_2)$ Jeśli jako opis macierzowy przyjmiemy równanie łańcuchowe to zależności określające prąd wejściowy i napięcie wejściowe w funkcji prądu i napięcia wyjściowego można zapisać w postaci $\left[\begin{array}{c}{U}_1\\ I_1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}1+Z_{1}Y& Z_1+Z_2+Z_1{Z}_{2}Y\\ Y& 1+Z_{2}Y\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{U}_2\\ -I_2\end{array}\right]$ Macierz łańcuchowa $A$ dana jest więc wzorem $A=\left[\begin{array}{cc}1+Z_{1}Y& Z_1+Z_2+Z_1{Z}_{2}Y\\ Y& 1+Z_{2}Y\end{array}\right]$ Jeśli jako opis macierzowy przyjmiemy równanie impedancyjne, wówczas z przetworzenia równania łańcuchowego otrzymujemy $\left[\begin{array}{c}{U}_1\\ U_2\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}Z+Z_1& Z\\ Z& Z+Z_2\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{I}_1\\ I_2\end{array}\right]$ Macierz impedancyjna dana jest więc w postaci $Z=\left[\begin{array}{cc}Z+Z_1& Z\\ Z& Z+Z_2\end{array}\right]$ Jest to macierz symetryczna, która jest równa macierzy oczkowej obwodu tworzącego analizowany czwórnik.

---

Związek transmitancji operatorowych z opisem czwórnikowym Opis macierzowy czwórników jest najbardziej uniwersalnym opisem układu czterokońcówkowego, obejmującym wszystkie cztery wielkości zewnętrzne: prądy i napięcia obu bram. Jest zatem idealny do wyznaczenia dowolnej transmitancji układu, gdyż z jednego równania czwórnikowego wynikają wszystkie możliwe związki między wielkościami bramowymi. W lekcji tej pokażemy związek opisu transmitancyjnego z parametrami macierzowymi czwórnika. Transmitancja napięciowa Weźmy pod uwagę transmitancję napięciową, jako stosunek napięcia wyjściowego do napięcia wejściowego w dziedzinie operatorowej przy założeniu zerowego prądu obciążenia czwórnika ($I_2(s)=0$) $T_u(s)=\frac{U_2(s)}{U_1(s)}$ Z równania łańcuchowego, wobec $I_2(s)=0$ otrzymujemy $U_1(s)=A_{11}{U}_2(s)$ Stąd $T_u(s)=\frac{U_2(s)}{U_1(s)}=\frac{1}{A_{11}}$ O transmitancji napięciowej decyduje jeden parametr łańcuchowy $A_{11}$ czwórnika. W identyczny sposób uzyskać można relację wiążącą transmitancję napięciową z parametrami dowolnego opisu czwórnikowego. Przykładowo na podstawie opisu admitancyjnego z równania drugiego czwórnika, wobec $I_2=0$, wynika $I_2=Y_{21}{U}_1+Y_{22}{U}_2=0$ Stąd $T_u(s)=\frac{U_2(s)}{U_1(s)}=-\frac{Y_{21}}{Y_{22}}$

---

Impedancja wejściowa Określenie funkcji impedancji wejściowej układu czwórnika wymaga ustalenia przy jakiej impedancji obciążenia badany jest czwórnik. Załóżmy w ogólności obciążenie czwórnika impedancją Zo. Z równań łańcuchowych czwórnika otrzymuje się $U_1(s)=A_{11}{U}_2(s)+A_{12}(-I_2(s))=A_{11}{U}_2(s)+A_{12}{Y}_0{U}_2(s)$ $I_1(s)=A_{21}{U}_2(s)+A_{22}(-I_2(s))=A_{21}{U}_2(s)+A_{22}{Y}_0{U}_2(s)$ gdzie $Y_0$ oznacza admitancję obciążenia (odwrotność impedacji $Z_0$, $Y_0=1/Z_0$). Z powyższych równań otrzymuje się $Z_{we}(s)=\frac{U_1(s)}{I_1(s)}=\frac{A_{11}+A_{12}{Y}_0}{A_{21}+A_{22}{Y}_0}$ Impedancja wejściowa czwórnika obciążonego jest funkcją wszystkich parametrów łańcuchowych tego czwórnika. Pewne uproszczenia powstają w stanach szczególnych obciążeń. Na przykład w stanie jałowym na zaciskach wyjściowych ($Y_0=0$) $Z_{we}(s)=\frac{A_{11}}{A_{21}}$ oraz w stanie zwarcia na wyjściu ($Y_0=\mathrm{\infty }$) $Z_{we}(s)=\frac{A_{12}}{A_{22}}$ impedancja wejściowa zależy wyłącznie od dwóch parametrów łańcuchowych. Identyczne zależności określające impedancje wejściową otrzymać można na podstawie dowolnego opisu czwórnikowego.

---

Przykład Wyznaczyć wyrażenie na transmitancję napięciową i impedancję wejściową czwórnika z poprzedniego przykładu. Rozwiązanie Macierz łańcuchowa czwórnika ma postać $A=\left[\begin{array}{cc}1+Z_{1}Y& Z_1+Z_2+Z_1{Z}_{2}Y\\ Y& 1+Z_{2}Y\end{array}\right]$ Transmitancja napięciowa w stanie jałowym na wyjściu jest więc równa $T_u(s)=\frac{U_2(s)}{U_1(s)}=\frac{1}{A_{11}}=\frac{1}{1+Z_{1}Y}=\frac{Z}{Z+Z_1}$ Wobec braku obciążenia czwórnika przez impedancję $Z_2$ nie przepływa prąd, stąd całe napięcie wyjściowe pochodzi z impedancji poprzecznej $Z$ (dzielnik impedancyjny). Impedancja wejściowa czwórnika przy obciążeniu bramy wyjściowej impedancją $Z_0$ na podstawie wzoru jest równa $Z_{we}(s)=\frac{U_1(s)}{I_1(s)}=\frac{A_{11}+A_{12}{Y}_0}{A_{21}+A_{22}{Y}_0}=$ $=\frac{(1+Z_{1}Y)+(Z_1+Z_2+Z_1{Z}_{2}Y)Y_0}{Y+(1+Z_{2}Y)Y_0}$ Jest ona funkcją wszystkich parametrów układu oraz impedancji obciążenia.

---

---