CWGI Moduł 5

Powierzchnie obrotowe $I{I}^0$

---

Wykład obecny poświęcony jest bryłom obrotowym, bardzo często występujących w technice. Analizowane będą zatem powierzchnie II0 typu walec, stożek i kula. W pierwszej kolejności zajmiemy się punktami leżącymi na powierzchniach brył obrotowych, wyznaczając ich rzuty prostokątne różnymi metodami. Dokonajmy analizy punktów znajdujących się na powierzchni bocznej walca. W tym celu przyjmijmy rzuty pionowe dwóch punktów $A^{″}i{B}^{″}$, zakładając, że należą do powierzchni bocznej walca prostego stojącego na rzutni poziomej. Sytuację tą obrazuje rys. 5.1_1. Zadaniem naszym będzie wyznaczenie rzutów poziomych tych punktów. Rozwiązanie zadania można zrealizować dwoma metodami. Obydwie metody zostały zaprezentowane na tym samym rys. 5.1_1. Metoda I (za pomocą przekroju) Przez punkty A i B prowadzimy płaszczyznę pionowo - rzutującą ${\phi }^{″}$, która jest równoległa do rzutni poziomej. Tak poprowadzona płaszczyzna wyznaczy nam przekrój walca w postaci okręgu, równoległego do rzutni poziomej, którego dwie średnice wzajemnie prostopadłe oznaczymy w rzucie pionowym jako $P^{″}{Q}^{\prime }$' i $R^{″}{S}^{″}$. Jedna ze średnic $PQ$ będzie równoległa do rzutni pionowej, druga $RS$ do niej prostopadła. W rzucie pionowym otrzymamy, zatem średnicę $P^{″}{Q}^{″}$ w wielkości rzeczywistej oraz średnicę $R^{″}{S}^{″}$, która będzie punktem. Rzutem poziomym przekroju (okręgu) będzie okrąg pokrywający się z rzutem poziomym walca. Bez trudu na rzucie poziomym przekroju można wyznaczyć rzuty poziome średnic $P^{\prime }{Q}^{\prime }$ i $R^{\prime }{S}^{\prime }$ przekroju walca płaszczyzną ${\phi }^{″}$. Na przekroju w postaci okręgu wyznaczymy poszukiwane rzuty poziome punktów $A^{\prime }$ i $B^{\prime }$. W celu oznaczenia widoczności punktów w rzucie pionowym prowadzimy pomocniczą płaszczyznę ${\gamma }^{\prime }$, która określa widoczną część powierzchni walca. Wszystkie punkty leżące poniżej tej płaszczyzny są widoczne, natomiast powyżej są niewidoczne. Z przeprowadzonej analizy wynika, zatem, że punkt Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle A\} , w rzucie pionowym będzie niewidoczny. Metoda II (za pomocą tworzących) Zamiast prowadzenia płaszczyzny przechodzącej przez punkty A i B poprowadźmy przez te punkty dwie tworzące walca. W rzucie pionowym, będą to dwa odcinki $t_1^{\text{'}}{}^{\text{'}}$ i $t_2^{\text{'}}{}^{\text{'}}$. Rzuty poziome tworzących $t_1^{\text{'}}$ i $t_2^{\text{'}}$' wyznaczymy ustalając w pierwszej kolejności rzuty punktów przecięcia tworzących z podstawą stożka I i II. Na rzutach poziomych tworzących możemy wyznaczyć poszukiwane rzuty poziome punktów $A^{\prime }$ i $B^{\prime }$. Jak widać z przedstawionej konstrukcji rzuty poziome punktów $A^{\prime }$ i $B^{\prime }$ pokrywają się niezależnie od stosowanej metody. Widoczność ustalana jest analogicznie jak w poprzednim przypadku.

---

Podobną konstrukcję ustalania rzutów punktów, tym razem $QR$, przedstawiono na rys. 5-1_2 w odniesieniu do powierzchni stożka. Zarówno metoda przekroju płaszczyzną ${\alpha }^{″}$ jak i metoda tworzących przyniosła oczekiwany efekt. W wyniku przekroju płaszczyzną Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \alpha\} ,, przechodzącą przez rzuty pionowe punktów leżących na powierzchni bocznej stożka otrzymamy okrąg, który bez zniekształceń w rzucie poziomym. Na okręgu tym leżą rzuty poziome punktów $Q^{\prime }{R}^{\prime }$. Konstrukcję powtarzamy prowadzac w rzucie pionowym tworzące stożka przechodzące przez rzuty pionowe punktów Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\i”): {\displaystyle Q''\i\R''} . Rzuty poziome tych punktów będą leżały na rzutach poziomych tworzących oraz na odnoszących rzutowania prostokątnego. Granicą widoczności dla rzutu pionowego jest płaszczyzna poziomo – rzutująca równoległa do płaszczyzny pionowej.Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \gamma’} . Z analizy widoczności punktów na powierzchni stożka wynika, że punkt Q w rzucie pionowym będzie niewidoczny, natomiast punkt R będzie widoczny.

---

Wyznaczanie punktów leżących na powierzchni kuli realizowane jest za pomocą metody przekroju płaszczyzną, przechodzącą przez analizowane punkty, równoległą do rzutni poziomej. Metoda druga nie jest wykorzystywana z takiego względu, iż w miejsce tworzących musielibyśmy wprowadzić południki, które w rzutach na ogół są elipsami, trudnymi do pełnej, precyzyjnej konstrukcji. W geometrii znana jest siatkowa metoda wyznaczania elipsy określonej przez dwie średnice sprzężone, ale jest to jednak metoda przybliżona. Skorzystamy, zatem z metody przekroju, albowiem jest ona w tym przypadku precyzyjna i nie powoduje żadnych niejednoznaczności. Przyjmijmy rzuty pionowe punktów $Q^{″}$ i $R^{″}$ leżących na powierzchni kuli. Wyznaczenie rzutów poziomych punktów nie powinno mam sprawić żadnych trudności. Jest to konstrukcja podobna jak w przypadku walca i stożka. Przekrojem kuli płaszczyzna ${\alpha }^{″}$ będzie okrąg, który w rzucie pionowym jest odcinkiem, natomiast w rzucie poziomym jest okręgiem o niezmienionej wielkości. Rzut poziomy tego okręgu wyznaczymy ustalając jego promień Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle r\} , w rzucie pionowym. Na rzucie poziomym okręgu znajdziemy poszukiwane rzuty poziome punktów $Q^{\prime }$ i $R^{\prime }$.

---

Przekrojami brył obrotowych są krzywe stopnia II, takie jak elipsa, okrąg, parabola lub hiperbola. Najczęściej mamy do czynienia z przekrojami w postaci okręgu lub elipsy. Zwykle rzutem równoległym okręgu jest elipsa. Zatem skupimy się na tej krzywej, wyznaczając przekroje podstawowych brył obrotowych II stopnia, z jakimi mamy do czynienia w technice. Okrąg będziemy definiowali podając dwie średnice wzajemnie prostopadłe. Taka definicja pozwala ustalić środek okręgu oraz jego promień, jest ona wygodna, gdy będziemy definiować elipsę. Rzutem równoległym okręgu (w ogólnym położeniu) jest elipsa. Rzutem równoległym dwóch średnic prostopadłych okręgu są średnice sprzężone elipsy, określające ją w sposób jednoznaczny. Dwie średnice sprzężone, wzajemnie prostopadłe nazywamy osiami elipsy. Elipsa może być, zatem jednoznacznie określona przy pomocy jednej z nieskończenie wielu par jej średnic sprzężonych. W literaturze przedmiotowej słuchacze mogą zapoznać się z konstrukcja krzywych drugiego stopnia w oparciu o podstawowe parametry geometryczne. W pierwszej kolejności wyznaczmy przekrój walca obrotowego stojącego na rzutni poziomej płaszczyzną pionowo - rzutującą ${\alpha }^{″}$ (prostopadłą do rzutni pionowej). Przekrojem tego walca będzie elipsa, której osie główne są odpowiednio: $P^{″}{Q}^{″}$ - równoległa do rzutni pionowej oraz $R^{″}{S}^{″}$ prostopadła do rzutni pionowej. Ponieważ powierzchnia boczna walca jest prostopadła do rzutni poziomej, rzutem przekroju (elipsy) będzie okrąg. Wyznaczenie rzutu poziomego osi elipsy jest zagadnieniem prostym, ponieważ punkty krańcowe osi będą leżały na rzucie poziomym walca (powierzchnia prostopadła do podstawy). Mając dany rzuty poziome przekroju oraz osi elipsy powinniśmy określić widoczność punktów krańcowych osi w rzucie poziomym. Granica widoczności dla rzutu pionowego jest płaszczyzna ${\beta }^{\prime }$ prostopadła do rzutni poziomej i równoległa do rzutni pionowej, przechodząca przez punkt $0^{\prime }$. Jak widać z przeprowadzonej analizy punkt $R^{″}$ w rzucie pionowym jest niewidoczny, pozostałe punkty $P^{″}$, $Q^{″}$ i $S^{″}$ są widoczne

---

'Kolejnym przykładem przekroju bryły obrotowej płaszczyzną rzutującą jest przekrój stożka. Przyjmijmy założenia do niniejszego zadania zgodnie z rys. 5.2_2. Stożek prosty stoi na rzutni poziomej. Płaszczyzna krojąca opisana została literą ${\alpha }^{″}$. Przekrojem stożka w tym przypadku jest elipsa, której osie główne (wzajemnie prostopadłe), podobnie jak w przypadku walca są odpowiednio: $AB$ - równoległa do rzutni pionowej oraz $CD$ prostopadła do rzutni pionowej. Rzutem pionowym tych osi będą średnice sprzężone wzajemnie prostopadłe. Krańcowe punkty osi $A^{″}$ i $B^{″}$ wyznaczymy metodą tworzących. Tworzące skrajne w rzucie pionowym, na których leżą punkty $A^{″}$ i $B^{″}$ rzutują się w rzucie poziomym na oś poziomą rzutu stożka. Na rzutach poziomych tych tworzących wyznaczymy rzuty punktów $A^{\prime }$ i $B^{\prime }$. Punkty Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle C\} , i Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle D\} , należące przecież do powierzchni bocznej stożka wyznaczymy metodą przekroju płaszczyzną ${\beta }^{″}$, równoległą do rzutni poziomej w wyniku, którego otrzymamy w rzucie poziomym okrąg o promieniu r. Konstrukcję tą przedstawiono już rozwiązując zagadnienia na tym wykładzie. Punkt $C^{″}$ zarysu przekroju zgodnie z wcześniejszymi analizami jest niewidoczny, pozostałe punkty należące do osi są widoczne.

---

Kula jest kolejną bryłą, dla której wyznaczymy przekrój płaszczyzną pionowo rzutującą ${\alpha }^{″}$. Przekrojem kuli jest oczywiście okrąg, którego średnice wzajemnie prostopadłe są odpowiednio: $AB$ - równoległa do rzutni pionowej oraz $CD$ prostopadła do rzutni pionowej (rys.5.2_2). Punkty $A^{″}$ i $B^{″}$ znajdują się na rzucie pionowym głównego południka, który w rzucie poziomym rzutuje się w postaci odcinka leżącego na osi poziomej kuli. Możemy, zatem bez trudu wyznaczyć rzuty poziome punktów $A^{\prime }$ i $B^{\prime }$. Rzuty poziome punktów Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle C\} , i Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle D\} , należące do powierzchni bocznej kuli wyznaczymy metodą przekroju płaszczyzną ${\beta }^{″}$ w wyniku, którego otrzymamy w rzucie poziomym okrąg o promieniu r. Punkt $C^{″}$ zarysu przekroju zgodnie z wcześniejszymi analizami jest niewidoczny, pozostałe punkty należące do osi w rzucie pionowym są widoczne. W rzucie poziomym wszystkie punkty będą widoczne, ponieważ leżą powyżej płaszczyzny granicznej ${\gamma }^{″}$. Wyznaczone w powyższy sposób rzuty osi pozwalają nam wykreślić zarys elipsy, będącej rzutem przekroju kuli. Punkty zmiany widoczności $K^{\prime }$ i $L^{\prime }$ w rzucie poziomym wyznaczymy na rzucie poziomym głównego południka kuli. W rzucie pionowym punkty te $K^{″}$ i $L^{″}$ leżą w miejscu przecięcia się płaszczyzny ${\alpha }^{″}$ z płaszczyzną ${\gamma }^{″}$ określającą granicę widoczności.

---

Korzystając z wiedzy przedstawionej na dzisiejszym wykładzie rozwiążemy zadanie polegające na wyznaczeniu przekroju i linii przenikania stożka stojącego na rzutni poziomej płaszczyzną równoległoboku (JKMN). Na rys. 5.3_1a przedstawione zostały założenia niezbędne do rozwiązania postawionego zadania.

---

Rozwiązanie zadania rozpoczynamy od zmiany układu odniesienia za pomocą transformacji tak, aby płaszczyzna krojąca była prostopadłą do rzutni (rys.5.3_1b). Ponieważ boki $JN$ i $KM$ równoległoboku są równoległe do rzutni poziomej (są prostymi poziomymi) oś transformacji $x_{1/3}$ obieramy prostopadle do rzutów poziomych $J^{\prime }{N}^{\prime }$ oraz $K^{\prime }{M}^{\prime }$ boków równoległoboku. Po dokonaniu transformacji otrzymamy trzeci rzut stożka oraz trzeci rzut płaszczyzny równoległoboku ${\alpha }^{‴}(JNMK)$. Przekrojem stożka, w tym przypadku jest elipsa (płaszczyzna Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \alpha\} , nie kroi podstawy). W trzecim rzucie wyznaczymy bez trudu dwie osie prostopadłe elipsy $P^{‴}{Q}^{‴}$ oraz $R^{‴}{T}^{‴}$, które jednoznacznie opisują jej zarys. Wracając do układu rzutów poziomego i pionowego, zgodnie z zasadami transformacji, otrzymamy rzuty poziome i pionowe tych osi, które będą tworzyły średnice sprzężone elips odpowiednio dla rzutów poziomego i pionowego. Średnice sprzężone elips również jednoznacznie określają zarys elipsy. Kolejnym zagadnieniem do rozwiązania jest ustalenie punktów styczności elipsy w rzucie pionowym z tworzącymi konturowymi stożka, zwanymi punktami zmiany widoczności. W tym celu ustalamy granice zmiany widoczności dla rzutu pionowego stożka. Jest to płaszczyzna przechodząca przez wierzchołek, prostopadła do rzutni poziomej i równoległa do rzutni pionowej, której rzut poziomy opiszemy literą ${\varphi }^{\prime }$. Prowadząc przez tą płaszczyznę prostą Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle s\} , leżącą w płaszczyźnie równoległoboku, możemy stwierdzić, iż będzie ona przechodziła również przez punkty zmiany widoczności, leżące na tworzących skrajnych w rzucie poziomym. Rzut pionowy prostej $s^{″}$ znajdziemy na rzucie pionowym równoległoboku $J^{″}{N}^{″}{M}^{″}{K}^{″}$ wyznaczając kolejno rzuty punktów $5^{″}$ i $6^{″}$ należących do niej. Rzut pionowy prostej $s^{″}$ na tworzących skrajnych stożka w rzucie pionowym wyznaczy nam punkty zmiany widoczności $D^{″}$ i $C^{″}$. Część elipsy przechodzącej przez punkty $R^{″}{D}^{″}{C}^{″}$ jest widoczna pozostała cześć elipsy jest niewidoczna.

---