PEE Moduł 7

Metoda równań różniczkowych w rozwiązaniu stanu nieustalonego w obwodach elektrycznych

---

Podstawowe pojęcia stanów nieustalonych Analizując przebiegi czasowe procesów zachodzących w obwodach elektrycznych należy wyróżnić dwa stany: stan ustalony charakteryzujący się tym, że postać odpowiedzi jest identyczna z postacią wymuszenia (na przykład w odpowiedzi na wymuszenie sinusoidalne odpowiedź ustalona jest również sinusoidalna o tej samej częstotliwości choć innej fazie początkowej i innej amplitudzie) stan nieustalony, w którym przebiegi czasowe odpowiedzi mają inny charakter niż wymuszenie (na przykład w odpowiedzi na wymuszenie stałe odpowiedź obwodu jest wykładniczo malejąca czy oscylacyjna). Stan nieustalony w obwodzie RLC powstaje jako nałożenie się stanu przejściowego (zwykle zanikającego) i stanu ustalonego przy zmianie stanu obwodu spowodowanego przełączeniem. Może on wystąpić w wyniku przełączeń w samym obwodzie pasywnym (zmiana wartości elementów, zwarcie elementu, wyłączenie elementu) lub w wyniku zmiany sygnałów wymuszających (parametrów źródeł napięciowych i prądowych, w tym także załączeniem lub wyłączeniem źródła). Dowolną zmianę w obwodzie nazywać będziemy komutacją. Zakładać będziemy, że czas trwania komutacji jest równy zeru, co znaczy że wszystkie przełączenia odbywają się bezzwłocznie. W obwodach elektrycznych proces komutacji modeluje się zwykle przy pomocy wyłączników i przełączników wskazujących na rodzaj przełączenia. Chwilę czasową poprzedzającą bezpośrednio komutację oznaczać będziemy w ogólności przez (w szczególności przez ), natomiast chwilę bezpośrednio następującą po komutacji przez (w szczególności przez ), gdzie jest chwilą przełączenia (komutacji).

---

Prawa komutacji Z podstawowych praw rządzących obwodami elektrycznymi wynika, że w rezultacie przełączenia zachowana zostaje ciągłość sumy ładunków kondensatorów dołączonych do węzła. Oznacza to, że suma ładunków kondensatorów dołączonych do takiego węzła przed przełączeniem jest równa sumie ładunków kondensatorów dołączonych do tych węzłów po przełączeniu. Zasada ta wynika stąd, że do danego węzła nie może dopłynąć skończony ładunek w zerowym czasie. Podobnie ciągłość zachowuje suma strumieni skojarzonych cewek należących do danego oczka. Suma strumieni skojarzonych cewek należących do oczka przed przełączeniem jest równa sumie strumieni skojarzonych cewek należących do tego oczka po przełączeniu. Prawo komutacji dotyczące kondensatorów Suma ładunków kondensatorów dołączonych do danego węzła nie może zmienić się w sposób skokowy na skutek komutacji, co można zapisać w postaci (w równaniu przyjęto, że komutacja zachodzi w chwili $t_0=0$) ${\mathrm{\Sigma }}_i{q}_i(0^{-})={\mathrm{\Sigma }}_i{1}_i(0^{+})$ Jeśli w wyniku przełączenia nie powstają oczka złożone z samych kondensatorów oraz idealnych źródeł napięcia to biorąc pod uwagę zależność $q_C=C_{u}C$ prawo komutacji dla kondensatorów można zapisać w uproszczonej postaci uzależnionej od napięć tych kondensatorów $u_C(0^{-})=u_C(0^{+})$ Ostatnia postać prawa komutacji dotycząca napięcia na kondensatorze jest najczęściej używana w praktyce. Prawo komutacji dotyczące cewek Suma strumieni skojarzonych cewek należących do danego oczka nie może ulec skokowej zmianie na skutek przełączenia w obwodzie, co można zapisać w postaci (w równaniu przyjęto, że komutacja zachodzi w chwili $t_0=0$) ${\mathrm{\Sigma }}_i{\psi }_i(0^{-})={\mathrm{\Sigma }}_i{\psi }_i(0^{+})$ Jeśli w wyniku przełączenia nie powstają węzły (dokładniej rozcięcia [5]) do których dołączone są wyłącznie same cewki i źródła prądowe to biorąc pod uwagę, że $\psi =L{i}_L$ prawo ciągłości strumieni może być uproszczone do ciągłości prądu cewek, co zapiszemy w postaci $i_L(0^{-})=i_L(0^{+})$ Jest to najczęściej w praktyce używana postać pierwszego prawa komutacji w odniesieniu do cewki. Należy zaznaczyć, że prawa komutacji dotyczą wyłącznie prądu (strumienia) cewki i napięcia (ładunku) kondensatora. Inne wielkości związane z tymi elementami (prąd kondensatora, napięcie cewki) jak również prąd i napięcie na rezystorze nie są związane bezpośrednio zależnościami energetycznymi i mogą zmieniać się w sposób skokowy podczas komutacji. Wartości jakie przybierają tuż po komutacji wynikają bądź z praw Kirchhoffa bądź z prawa Ohma. Przy założeniu, że chwilę komutacji uważać będziemy za chwilę początkową analizy obwodu w stanie nieustalonym $(t_0=0)$ istotnym problemem w analizie obwodu jest wyznaczenie warunków początkowych procesu, czyli wartości napięć na kondensatorach i prądów cewek w chwili przełączenia (u nas $i_L(0^{-})$ oraz $u_C(0^{-})$ ). Zwykle przyjmuje się, że przełączenie następuje ze stanu ustalonego obwodu. Warunki początkowe wynikają wówczas z wartości ustalonych tych wielkości w chwili tuż przed przełączeniem $(t_0=0^{-})$ . Warunki początkowe mogą być przy tym zerowe, jeśli prądy wszystkich cewek i napięcia wszystkich kondensatorów w chwili przełączenia miały wartości zerowe. Znajomość warunków początkowych w obwodzie jest niezbędna przy wyznaczaniu rozwiązania obwodu w stanie nieustalonym. Wyznaczenie stanu początkowego napięcia kondensatora i prądu cewki w obwodzie sprowadza się do rozwiązania stanu ustalonego obwodu przed przełączeniem (przy wymuszeniach sinusoidalnych metodą symboliczną), określenia postaci czasowej tego rozwiązania dla prądu cewki $i_L(t)$ i napięcia kondensatora $u_C(t)$ oraz wyznaczenia wartości tego rozwiązania odpowiadającego chwili czasowej przełączenia (u nas $i_L(0^{-})$ oraz $u_C(0^{-})$ ).

---