Wersja z 09:26, 5 wrz 2023

Wykład

Wstęp

W życiu codziennym często spotykamy się z ruchami periodycznymi, gdy ciało porusza się tam i z powrotem, wracając co pewien czas do tego samego punktu. Może to być ruch huśtawki, drgania strun w instrumentach muzycznych, ruch ciężarka wiszącego na sprężynie, czy drgania szyb okiennych przy hałaśliwej ulicy. Ruch taki nazywamy ruchem okresowym, drgającym lub oscylacyjnym. Drgania dotyczą często periodycznych zmian innych wielkości niż położenie ciała, na przykład napięcia elektrycznego lub ciśnienia. Ruchy drgające można opisać, w sposób dokładny lub przybliżony, za pomocą wyrażeń zawierających funkcje sinus i cosinus. Funkcje te nazywamy funkcjami harmonicznymi, zaś opis taki nosi nazwę analizy harmonicznej. W przypadkach niektórych ruchów drgających, zwanych ruchami harmonicznymi, opis ten jest szczególnie prosty. Siły wywołujące te ruchy nazywamy siłami harmonicznymi. Ruchy sinusoidalne, czyli takie, które można opisać funkcjami sinus i cosinus, są najbardziej powszechną formą ruchu, dlatego są ważnym przedmiotem badań fizyki.

Pamiętajmy, że ruchy harmoniczne są ruchami drgającymi, jednak nie wszystkie ruchy należące do klasy ruchów okresowych, drgających lub oscylacyjnych są ruchami harmonicznymi.

Jeśli drga cząstka ośrodka sprężystego, drgania te przenoszą się na kolejne cząstki i w ośrodku rozchodzi się fala. W tym wykładzie omówione będą tylko fale w ośrodkach sprężystych, lecz pamiętajmy, że takimi samymi równaniami można opisać wiele zjawisk falowych: od fal rozchodzących się w strunie, poprzez fale dźwiękowe, aż do całej klasy fal elektromagnetycznych. Jak dowiemy się w dalszej części kursu, każda poruszająca się cząstka jest w istocie falą, tak więc równanie falowe spełnia fundamentalną rolę w opisie świata.

5.1. Równanie ruchu harmonicznego

Ruch punktu materialnego nazywamy harmonicznym, jeśli porusza się on pod wpływem siły Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle F\} , o wartości wprost proporcjonalnej do wychylenia z położenia równowagi Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle x\} , i skierowanej przeciwnie do wychylenia. O zwrocie siły mówi znak minus we wzorze $F = - k x$ , gdzie Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle k\} , jest współczynnikiem proporcjonalności.

Jeśli siłę harmoniczną podstawimy do równania wyrażającego II zasadę dynamiki, otrzymamy równanie różniczkowe drugiego rzędu. Widzimy, że rozwiązaniem tego równania jest taka funkcja, której druga pochodna ma tą samą postać, co sama funkcja z przeciwnym znakiem (z dokładnością do stałej). Funkcjami takim są sinus i cosinus.

Sprawdźmy, czy nasze równanie będzie spełnione przez funkcję

x (t) = A c o s (ω \cdot t + φ)

, gdzie Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle A\} ,, Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \omega\} , i Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \varphi\} , są dowolnymi parametrami. Obliczamy pierwszą i drugą pochodną wychylenia Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle x\} , po czasie Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle t\} , i podstawiamy do równania.

Funkcja

x (t) = A c o s (ω \cdot t + φ)

spełnia równanie ruchu pod warunkiem, że stała Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \omega\} , spełnia związek:

ω^{2} = k / m

. Stałą Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \omega\} , nazywamy częstością drgań własnych. Argument funkcji cosinus Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle (\omega \cdot t +\varphi)\} , to faza ruchu, Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \varphi\} , stanowi fazę początkową w chwili

t = 0

. Największe wychylenie z położenia równowagi nazywamy amplitudą drgań. Wynosi ona Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle A\} ,, bowiem największa i najmniejsza wartość funkcji cosinus to 1 i -1.

Okres i częstotliwość drgań

Okresem nazywamy czas jednego pełnego drgania. Po upływie okresu drgające ciało jest znów w takiej samej fazie. Okres powiązany jest z częstością wzorem: $T = 2 π / ω$

Odwrotność okresu, czyli liczbę drgań w jednostce czasu nazywamy częstotliwością. Jednostką częstotliwości jest hertz

(1 H z = 1 s^{- 1})

.

Jeśli czas będziemy mierzyć od takiego momentu, że faza początkowa Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \varphi=-\pi/2\} , , to ruch harmoniczny będzie opisany funkcją sinus. Jak widać wybór funkcji sinus czy cosinus jest w istocie wyborem fazy początkowej.

Prędkość i przyspieszenie

Prędkość i przyspieszenie w ruchu harmonicznym obliczamy jako pierwszą i drugą pochodną wychylenia Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle x\} , po czasie.

Wykres przedstawia zależność położenia, prędkości i przyspieszenia w ruchu harmonicznym od czasu. W momentach, gdy wychylenie z położenia równowagi jest maksymalne

(x = A)

, prędkość jest równa zeru, natomiast przyspieszenie ma wartość maksymalną, a znak przeciwny do wychylenia. Gdy drgające ciało znajduje się w położeniu równowagi

(x = 0)

, przyspieszenie jest zerowe, a prędkość maksymalna.

Energia w ruchu harmonicznym

Ciało wychylone z położenia równowagi, na które działa siła harmoniczna, ma pewną energię potencjalną. Energię tę można wyznaczyć, obliczając pracę jaką musimy wykonać, aby przesunąć ciało z położenia równowagi, Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle x=0\} ,, do punktu o danym Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle x\} ,.

Zmiana energii potencjalnej Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle dE_p\} , równa jest pracy, jaką wykonuje siła równoważąca siłę harmoniczną na drodze Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle dx\} ,. Po obliczeniu całki w granicach od zera do Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle x\} ,, otrzymujemy wzór na energię potencjalną ciała wychylonego z położenia równowagi o Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle x\} ,: $E_{p} (x) = k x^{2} / 2$ .

Energię kinetyczną w ruchu harmonicznym obliczamy, podstawiając do wzoru na energię kinetyczną

E_{k} = m v^{2} / 2

prędkość w postaci

v = - ω A s i n (ω t + ϕ)

.

Energia całkowita ciała poruszającego się ruchem harmonicznym to suma energii potencjalnej i kinetycznej. Wyciągamy wspólny czynnik przed nawias i zauważamy, że suma kwadratów sinusa i cosinusa równa jest 1. W ten sposób we wzorze na energię całkowitą znikło wyrażenie zależne od czasu. Oznacza to, że energia całkowita w ruchu harmonicznym nie zależy od czasu – jest w każdej chwili taka sama. Inaczej, energia całkowita jest zachowana. Zmieniają się natomiast energie kinetyczna i potencjalna, ale w ten sposób, że gdy jedna z nich rośnie, to druga maleje tak, że suma pozostaje stała. Wynik ten jest konsekwencją zasady zachowania energii mechanicznej pokazując, że siły harmoniczne są siłami zachowawczymi. Rzeczywiście, odchylenie ciała od położenia równowagi, to dostarczenie mu energii potencjalnej. Jeżeli potem nie ingerujemy w ruch ciała, to uzyskiwana w czasie ruchu do położenia równowagi energia kinetyczna jest równoważna traconej przez ciało energii potencjalnej. Po minięciu położenia równowagi sytuacja jest odwrotna - ciało traci energię kinetyczną, ale zyskuje potencjalną itd.

Pierwszy rysunek przedstawia zależność od położenia energii kinetycznej i potencjalnej oraz będącej ich sumą energii całkowitej. Widać, że energia kinetyczna jest największa w położeniu równowagi

(x = 0)

, a energia potencjalna jest równa wtedy zeru. Gdy ciało jest maksymalnie wychylone Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle (x=\pm A)\} ,, energia kinetyczna jest równa zeru, a potencjalna maksymalna.

Drugi rysunek pokazuje, jak zależy od czasu energia kinetyczna i potencjalna. Dla porównania przedstawiono również zależność od czasu położenia i prędkości. Zwróćmy uwagę, że zarówno energia kinetyczna, jak i potencjalna przyjmują tylko dodatnie wartości, a okres ich zmian jest dwa razy mniejszy niż okres zmian położenia i prędkości.

Drgania harmoniczne tłumione

Rozważaliśmy dotąd wyidealizowany ruch harmoniczny, w którym nie występowały żadne siły oporu. Nasze doświadczenie życiowe wskazuje jednak, że każde drganie swobodne z czasem zanika, jego amplituda maleje i końcu ruch ustaje. Zanikanie drgań powodują siły oporu powietrza lub innych oporów występujących w układzie drgającym. Opory te są zwykle tym większe, im większa jest prędkość ciała. Czujemy to wyraźnie po wysunięciu ręki przez okno jadącego samochodu lub pociągu. Dla niewielkich prędkości siła oporu jest wprost proporcjonalna do prędkości. Równanie ruchu z uwzględnieniem siły oporu $F_{o} = - b \frac{d x}{d t}$ jest trudniejsze do rozwiązania, dlatego podajemy tu końcową postać.

Zauważmy, że rozwiązanie dla drgań tłumionych ma postać bardzo podobną do rozwiązania opisującego drgania swobodne. Istotne są dwie różnice. Po pierwsze amplituda maleje wykładniczo z czasem. Po drugie częstość drgań tłumionych jest mniejsza niż drgań swobodnych, a więc tłumienie wydłuża okres.

Aby wyrażenie na okres miało sens, wyrażenie pod pierwiastkiem musi być większe od zera. Oznacza to, że aby zachodziły drgania, współczynnik tłumienia nie może być zbyt wielki. A co dzieje się, kiedy współczynnik tłumienia nie spełnia tego warunku? Wtedy tłumienie jest tak duże, że w ogóle nie dochodzi do drgań. Układ wraca do stanu równowagi w sposób wykładniczy.

Na ilustracji pokazane są wychylenia z położenia równowagi dla drgań swobodnych i tłumionych – górny wykres dla niezbyt dużej wartości współczynnika tłumienia, dolny dla współczynnika tłumienia tak dużego, że nie dochodzi do drgań.

Drgania harmoniczne wymuszone

Dobrze wiemy, że aby długo huśtać się na huśtawce tak, jak dama na tym pięknym obrazie, potrzebny jest ktoś, kto będzie huśtawkę popychał w odpowiednich momentach. W ogólności siłę podtrzymującą drganie, zwaną też siłą wymuszającą, przedstawiamy jako siłę zależną sinusoidalnie od czasu. Na przykład może ona mieć postać: $F_{w} = F_{0} (c o s_{w} \cdot t)$ . Równanie ruchu uwzględnia zarówno siłę wymuszającą, jak i tłumiącą drgania. Zwróćmy uwagę, że częstość siły wymuszającej Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \omega_w\} , jest w ogólnym przypadku inna niż częstość drgań własnych Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \omega\} , .

Rozwiązanie równania dla drgań wymuszonych ma podobną postać, co rozwiązanie dla drgań swobodnych. Należy zauważyć, że:

Układ drga z częstością siły wymuszającej i jest ruchem nie tłumionym (amplituda nie maleje z upływem czasu).
Amplituda drgań zależy zarówno od współczynnika tłumienia, jak i od różnicy pomiędzy częstością drgań własnych układu i częstością siły wymuszającej.

Analizując wzór na amplitudę drgań wymuszonych, widzimy, że można dobrać taką częstość siły wymuszającej, aby amplituda była maksymalna. Taki stan nazywamy rezonansem.

Kiedy brak jest tłumienia $(b = 0)$ , a częstość rezonansowa równa jest częstości drgań własnych układu $(ω_{w} = ω)$ , amplituda dąży do nieskończoności! Drgania stają się niezwykle gwałtowne.

Dla wartości współczynników tłumienia różnych od zera amplituda osiąga największą wartość (czyli występuje rezonans) dla częstości określonych wzorem: $ω_{w} = \sqrt{ω^{2} - b^{2} / 2 m^{2}}$ , a więc mniejszych od częstości drgań własnych.

Rysunek przedstawia kilka krzywych rezonansowych, czyli zależności amplitudy drgań od częstości siły wymuszającej dla kilku wartości współczynników tłumienia Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \beta\} , . Widać, że im większy współczynnik tłumienia, tym niższą wartość osiąga amplituda i tym bardziej częstość rezonansowa różni się od częstości drgań własnych, która tu wynosi Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle 1s^{-1}\} , .

Składanie drgań równoległych

Jaki będzie wynik nałożenia się dwóch drgań harmonicznych o kierunkach równoległych, ale różnych częstościach, amplitudach i fazach? Wychylenie wypadkowe będzie sumą obu wychyleń. Intuicyjnie przewidujemy, że w chwili, gdy oba wychylenia są w tym samym kierunku - otrzymamy wzmocnienie, kiedy w przeciwnym - osłabienie sumarycznego wychylenia, Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle x\} ,.

Szczególnie ciekawy jest przypadek, kiedy obie częstości mają zbliżone wartości. Dla uproszczenia przyjmiemy, że amplitudy i fazy są takie same, a różnica ich częstości Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \Delta \omega\} , jest niewielka. Po wykonaniu przekształceń trygonometrycznych otrzymujemy wzór przestawiający drganie harmoniczne, ale z amplitudą, która zmienia się periodycznie z częstością znacznie mniejszą od Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \omega\} , . Zjawisko to nazywamy dudnieniem.

Wykres przedstawia zależność wychyleń drgań składowych Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle x_a\} , i Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle x_b\} , oraz ich sumy

x_{a} + x_{b}

.

Amplitudy drgań składowych są jednakowe i mają wartość 1 cm, natomiast amplituda drgań wypadkowych wolno oscyluje od zera do wartości 2 cm.

Składanie drgań prostopadłych

Kiedy drgania punktu materialnego odbywają się równocześnie w dwóch prostopadłych do siebie kierunkach, na przykład wzdłuż osi Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle x\} , i Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle y\} , prostokątnego układu współrzędnych, to wypadkowy ruch tego punktu na płaszczyźnie można opisać z pomocą równań: $x = A_{x} c o s (ω_{x} t)$ oraz $y = A_{y} c o s (ω_{y} t + φ)$ . Jeśli częstości drgań są jednakowe i różnica faz wynosi zero, to ruch wypadkowy będzie odbywał się wzdłuż prostej o równaniu $y = (A_{y} / A_{x}) \cdot x$ . Będzie to również drgania harmoniczne.

Jeśli częstości drgań są jednakowe i różnica faz wynosi Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \pi\} , , to ruch będzie ruchem harmonicznym wzdłuż prostej o równaniu

y = - (A_{y} / A_{x}) \cdot x

.

Ciekawa jest sytuacja, gdy częstości są równe, a fazy różnią się o Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \pi/2\} , . Podnosząc do kwadratu wyrażenia na Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle x\} , i Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle y\} , i dodając równania stronami, otrzymujemy równanie elipsy. Po takim właśnie torze porusza się punkt. W przypadku, gdy amplitudy są równe, elipsa przechodzi w okrąg.

Widzimy, że jeśli punkt materialny porusza się ruchem jednostajnym po okręgu w płaszczyźnie Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle (x, y)\} ,, to ruch jego rzutu na osie układu współrzędnych jest ruchem harmonicznym.

To interesujące stwierdzenie łączy ruch harmoniczny z ruchem jednostajnym po okręgu.

Podana wyżej relacja pomiędzy ruchem harmonicznym i ruchem po okręgu jest jednak tylko przypadkiem szczególnym składania harmonicznych drgań prostopadłych. Kiedy częstości drgań w obu kierunkach różnią się, to tor punktu tworzy skomplikowane figury zwane figurami Lissajou. Figury te mieszczą się w prostokącie o wymiarach Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle 2A_x\} ,, i Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle 2A_y\} ,.

Stosunek liczby punktów stycznych do obu boków prostokąta wyznacza stosunek częstości obu ruchów składowych: Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \omega_x/{\omega_y}\} , Rysunek pokazuje przykłady takich figur.

Rozchodzenie się fal w ośrodku sprężystym

Jeśli jakimś miejscu ośrodka sprężystego wywołamy drganie, to drgająca cząstka pociągnie za sobą kolejne cząstki i ruch drgający będzie się przenosić od cząstki do cząstki z pewną prędkością Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle v\} ,. Takie rozchodzenie się drgań w ośrodku nazywamy falą. Należy podkreślić, że poszczególne cząstki ośrodka nie przemieszczają się, wykonują tylko drgania wokół swoich położeń równowagi. Jeśli drgania zachodzą w kierunku prostopadłym do kierunku rozchodzenia się fali, falę nazywamy falą poprzeczną.

Rysunek pokazuje ruch cząsteczek podczas rozchodzenia się fali poprzecznej. Numerami $1, 2, \dots$ oznaczone są cząstki odległe od siebie o Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \frac{1}{4} vT\} ,, czyli odległość, jaką fala przebywa w czasie Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \frac{1}{4}\} , okresu drgań. W chwili Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle t=0\} , fala biegnąca w prawo dochodzi do cząstki $1$ ,. Cząstka ta rozpoczyna ruch ku górze, pociągając za sobą kolejne cząstki. Po upływie Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \frac{1}{4}\} , okresu cząstka 1 osiąga maksymalne wychylenie, a ruch ku górze rozpoczyna cząstka $2$ ,. Po następnej ćwiartce okresu cząstka 1 wraca do położenia równowagi i rozpoczyna ruch w dół, cząstka $2$ , osiąga maksymalne wychylenie, a cząstka $3$ , zaczyna przemieszczać się do góry. Po upływie pełnego okresu w chwili Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle t=T\} , pierwsza cząstka wraca do stanu, w jakim była w chwili Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle t=0\} ,, a fala, przebywając drogę Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle vT\} ,, dociera do cząstki $5$ ..

Falą podłużną nazywamy falę, której kierunek rozchodzenia się jest równoległy do kierunku drgań cząstek.

Rysunek pokazuje ruch cząstek podczas rozchodzenia się w ośrodku fali podłużnej. Widać, że rozchodzenie się fali podłużnej związane jest z powstawaniem w ośrodku postępujących po sobie zagęszczeń i rozrzedzeń cząstek. Zagęszczenia i rozrzedzenia przesuwają się w ośrodku z prędkością Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle v\} ,.

Podczas rozchodzenia się fali w drganiach biorą udział nie tylko cząstki leżące na osi Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle x\} ,, jak na poprzednich rysunkach, lecz układ cząstek znajdujących się w pewnej objętości. Zbiór punktów, do których fala dochodzi w danej chwili nazywamy czołem fali. Zbiór punktów drgających w tej samej fazie nazywamy powierzchnią falową. Przez każdy punkt biorący udział w ruchu falowym można przeprowadzić powierzchnię falową. Powierzchni falowych jest więc nieskończenie wiele, ale czoło fali jest tylko jedno. Spośród wszystkich możliwych kształtów powierzchni falowych wyróżniamy takie, które są płaszczyznami i powierzchniami kulistymi. Fale takie nazywamy odpowiednio falą płaską i falą kulistą.

Rysunek przedstawia wychylenia cząstek z położenia równowagi Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \xi(x)\} , dla cząstek o różnych wartościach Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle x\} ,. Zauważmy, że wykres ten może dotyczyć zarówno fali poprzecznej, jak i podłużnej. Długością fali nazywamy odległość, na jaką rozchodzi się fala w czasie równym okresowi drgań ośrodka. Można też powiedzieć, że długość fali to najmniejsza odległość między cząstkami drgającymi w jednakowej fazie. Długość fali związana jest okresem drgań prostym wzorem: Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \lambda=v\cdot T\} , .

Równaniem fali nazywamy zależność wychylenia Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \xi\} , drgającej cząstki od czasu Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle t\} , i od współrzędnych tej cząstki Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle (x, y, z)\} ,: Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \xi=\xi(x, y, z, t)\} , . Określimy to wyrażenie dla fali płaskiej biegnącej w kierunku osi Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle x\} ,. Powierzchnie falowe są płaszczyznami prostopadłymi do osi Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle x\} ,, więc wychylenie zależy tylko od Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle x\} , i Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle t\} ,: Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \xi=\xi(x, t)\} , . Drgania punktów leżących w płaszczyźnie Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle x=0\} , można opisać wzorem: Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \xi(0, t)=a cos(\omega t +\varphi)\} , . Jak będą drgały punkty w płaszczyźnie odpowiadającej dowolnej wartości Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle x\} ,? Drogę Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle x\} , fala przebędzie w czasie

τ = x / v

. O taki czas będą opóźnione drgania w punkcie Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle x\} , w stosunku do Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle x=0\} ,:

$ξ (x, t) = a c o s [ω (t - τ) + φ] = a c o s [ω (t - \frac{x}{v}) + φ]$

Argument funkcji cosinus nazywamy fazą. Z jaką prędkością przesuwa się dana wartość fazy? Wyrażenie:

ω (t - \frac{x}{v}) + φ = c o n s t

wiąże wartości Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle x\} , i Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle t\} ,, dla których faza ma daną wartość. Po zróżniczkowaniu tego wyrażenia otrzymujemy:

v = \frac{d x}{d t}

. Prędkość v nazywamy prędkością fazową, bo jest to prędkość przemieszczania się fazy.

Równanie fali jest funkcją periodyczną zarówno ze względu na czas Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle t\} ,, jak i na współrzędną przestrzenną Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle x\} ,. Symetria funkcji względem Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle x\} , i Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle t\} , będzie lepiej widoczna, jeśli wprowadzimy wielkość Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle k\} ,, zwaną liczbą falową:

k = \frac{2 π}{λ}

. Zauważmy, że związek liczby falowej z długością fali jest podobny do związku częstości kołowej i okresu:

ω = 2 π / T

. Otrzymujemy równanie fali płaskiej:

ξ (x, t) = a c o s [ω t - k x + φ]

Oczywiście równanie fali płaskiej rozchodzącej się w kierunku malejących wartości Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle x\} ,, otrzymamy zmieniając znak przy Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle x\} ,. W przypadku, gdy ośrodek pochłania energię fali, amplituda drgań maleje wykładniczo:

a = a_{0} e^{- β x}

. Drgania w miarę wzrostu Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle x\} , odbywają się z coraz mniejszą amplitudą, aż fala praktycznie zaniknie.

Jeśli fala rozchodzi się w ośrodku jednorodnym i izotropowym, a źródło fali jest punktowe, to rozchodząca się fala jest falą kulistą. Równanie fali kulistej jest podobne do równania fali płaskiej – musimy współrzędną Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle x\} , zastąpić odległością od źródła fali Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle r\} ,. Jest jednak pewna różnica. Amplituda fali kulistej, nawet w przypadku braku tłumienia, maleje wraz z odległością Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle r\} , i wynosi Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle a/r\} , , gdzie Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle a\} , to amplituda drgań źródła fali. Jest to związane z faktem, że powierzchnie falowe fali kulistej są coraz większe w miarę rozchodzenia się fali. Energia drgającego punktu, źródła fali, musi być rozłożona na coraz więcej drgających punktów na powierzchniach falowych, a więc amplitudy drgań muszą maleć z Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle r\} ,.

Równanie falowe

Równanie ruchu harmonicznego $x (t) = A c o s (ω t + φ)$ otrzymaliśmy rozwiązując równanie różniczkowe wyrażające II zasadę dynamiki: $\frac{d^{2} x}{d t^{2}} = - \frac{k}{m} x$ . Jaka jest postać równania, którego rozwiązaniem jest równanie fali płaskiej? Domyślamy się, że powinno to być również równanie różniczkowe drugiego rzędu, symetryczne względem Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle x\} , i Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle t\} ,.

Aby znaleźć równanie falowe, obliczmy drugie pochodne cząstkowe po współrzędnej Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle x\} , i po czasie Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle t\} ,. Dzieląc otrzymane wyrażenia odpowiednio przez Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle -\omega^2\} , i Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle -k^2\} , , otrzymujemy po prawej stronie identyczną wielkość Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \xi\} , . Wobec tego możemy przyrównać lewe strony do siebie i otrzymujemy poszukiwane równanie falowe.

Po uwzględnieniu, że

\frac{k}{ω} = \frac{1}{v}

równanie falowe przybiera postać:

\frac{\partial^{2} ξ}{\partial x^{2}} = \frac{1}{v^{2}} \frac{\partial^{2} ξ}{\partial t^{2}}

Jeśli w ośrodku rozchodzi się kilka fal, to zgodnie z zasadą superpozycji (nakładania się) fal drganie każdego punktu jest sumą drgań pochodzących od każdej z fal.

Szczególnym przypadkiem jest nakładanie się fali biegnącej i fali odbitej od jakiejś przeszkody. Powstaje wtedy fala stojąca. Niech $ξ_{1} = a c o s (ω t - k x)$ oznacza falę biegnącą w prawo, a $ξ_{1} = a c o s (ω t + k x)$ falę odbitą rozchodzącą się w lewo. Wybraliśmy tu taką chwilę początkową $(t = 0)$ , aby faza początkowa była równa zeru $(φ = 0)$ . Wychylenie dowolnego punktu z położenie równowagi Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \xi\} , jest sumą wychyleń $ξ_{1} + ξ_{2}$ .

Po skorzystaniu ze wzoru na sumę cosinusów, otrzymujemy wyrażenie opisujące drgania z częstością kołową równą częstości drgań składowych Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \omega\} ,. Amplituda tych drgań jest zależna od położenia Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle x\} ,, zmienia się sinusoidalnie od zera do maksymalnej wartości Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle 2a\} , . W punktach, których współrzędna Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle x\} , spełnia warunek:

k x = \pm (n + \frac{1}{2}) π

, gdzie Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle n =0, 1, 2,...,\} , amplituda wynosi zero. Oznacza to, że te punkty cały czas pozostają w spoczynku. Miejsca takie nazywamy węzłami fali stojącej. Współrzędne węzłów wynoszą:

x_{w} = \pm (n + \frac{1}{2}) \frac{λ}{2}

. Natomiast punkty, dla których

k x = \pm n π

, drgają z maksymalną amplitudą. To są strzałki fali. Współrzędne strzałek mają wartości:

x_{s t r z} = \pm n \frac{λ}{2}

Rysunek przedstawia wychylenia cząstek (niebieska linia) w określonych momentach. W chwili Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle t\} , wszystkie cząstki mają maksymalne wychylenie. Po upływie Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \frac{1}{4}\} , okresu w chwili

(t + T / 4)

cząstki przechodzą przez położenie równowagi. Strzałki pokazują prędkości cząstek. Po kolejnej Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \frac{1}{4}\} , okresu w chwili

(t + T / 2)

cząstki znów są w maksymalnym wychyleniu. Zwróćmy uwagę, że wszystkie cząstki między dwoma węzłami drgają w jednakowej fazie, natomiast faza drgań po dwóch stronach węzła różni się o Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \pi\} ,.

Jeśli fala stojąca powstaje w strunie umocowanej na obu końcach, w miejscach zamocowania muszą powstać węzły. Narzuca to warunek na długość fali stojącej w strunie, mianowicie w długości struny musi mieścić się całkowita liczba połówek długości fali:

l = n \frac{λ}{2}

.

Fale o innej długości szybko ulegną wygaszeniu. Kolejne długości fali stojącej w strunie o długości Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle l\} , wynoszą: $λ_{n} = \frac{2 l}{n}$ , a odpowiadające im częstotliwości: $ν_{n} = \frac{v}{λ_{n}} = \frac{v}{2 l} n$ , gdzie Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle v\} , jest prędkością fazową fali zależną między innymi od naciągu struny. Częstotliwości te nazywamy częstotliwościami własnymi struny. Częstotliwość $ν_{1} = \frac{v}{2 l}$ to częstotliwość podstawowa, zwana też pierwszą harmoniczną, a wszystkie inne częstotliwości własne są jej wielokrotnością. Na rysunku pokazane są drgania harmoniczne struny dla n = 1, 2 i 3. W ogólnym przypadku drgania struny są złożeniem wielu drgań harmonicznych.

Podsumowanie

Pod wpływem siły harmonicznej $F = - k x$ ciało porusza się ruchem harmonicznym, w którym wychylenie ciała z położenia równowagi zależy sinusoidalnie od czasu: $x (t) = A c o s (ω \cdot t + φ)$ , gdzie $ω = \frac{2 π}{T} = \sqrt{\frac{k}{m}}$ . Energia całkowita drgań, będąca sumą energii kinetycznej i potencjalnej, jest zachowana. Jeśli drgania są tłumione przez siłę oporu, amplituda drgań Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle A\} , maleje wykładniczo z czasem, a okres drgań jest dłuższy niż dla drgań swobodnych. Jeśli ruch harmoniczny odbywa się pod wpływem siły wymuszającej: $F = F_{0} c o s (ω_{w} t)$ , to częstość drgań jest równa częstości siły wymuszającej Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \omega_w\} ,. Amplituda drgań zależna jest wtedy od różnicy kwadratów częstości własnej i częstości siły wymuszającej: $({ω^{2}}_{w} - ω^{2})$ , a dla częstości siły wymuszającej $ω_{w} = \sqrt{ω^{2} - 2 β^{2}}$ , gdzie Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \beta\} , to współczynnik tłumienia, amplituda jest największa, czyli występuje rezonans.

Jeśli ciało bierze udział w kilku ruchach harmonicznych, wychylenie wypadkowe jest sumą geometryczną składowych wychyleń. W szczególności, wynikiem złożenia dwóch równoległych drgań harmonicznych o niewielkiej różnicy częstości jest dudnienie, czyli drganie, w którym amplituda wolno oscyluje od zera do wartości maksymalnej. Złożenie drgań prostopadłych o równych częstościach daje ruch po prostej, elipsie lub okręgu w zależności od różnicy faz i relacji między amplitudami drgań składowych. Jeśli częstości prostopadłych drgań składowych są różne, to punkt zakreśla skomplikowane krzywe zwane krzywymi Lissajou.

Fala to rozchodzenie się w ośrodku drgań cząsteczek. Rozróżniamy fale poprzeczne, w których drgania cząstek ośrodka są prostopadłe do kierunku rozchodzenia się fali i fale podłużne, gdzie cząstki drgają w kierunku równoległym do kierunku rozchodzenia się fali.

Wychylenie Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \xi\} , z położenia równowagi cząstek biorących udział w ruchu falowym, opisuje wzór: $ξ (x, t) = a c o s (ω t - k x + φ)$ , gdzie $k = \frac{2 π}{λ}$ jest liczbą falową, $ω = \frac{2 π}{T}$ częstością, a Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \varphi\} , - fazą początkową. Funkcja $ξ (x, t) = a c o s (ω t - k x + φ)$ jest rozwiązaniem równania falowego:

\frac{\partial^{2} ξ}{\partial x^{2}} = \frac{1}{v^{2}} \frac{\partial^{2} ξ}{\partial t^{2}}

Jeśli nałożą się fale o jednakowej częstości biegnące w przeciwne strony, to powstaje fala stojąca: $ξ = 2 a c o s (k x) c o s (ω t)$ , w której wszystkie cząstki drgają ze stałą częstością Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \omega\} ,, ale amplituda tych zmian Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle 2acos(kx)\} , zależna jest od samego położenia punktu Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle x\} ,. Punkty, gdzie amplituda drgań jest maksymalna to strzałki fali stojącej. Węzłami nazywamy punkty, które pozostają w spoczynku (amplituda równa zeru). Odległość między kolejnymi węzłami (i strzałkami) wynosi Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \lambda/2\} ,.

Materiały do ćwiczeń

Zadanie 1

Obliczyć okres drgań układu składającego się z ciała o masie m i przyczepionych po obu jego stronach sprężyn o współczynnikach sprężystości k1 i k2. Zaniedbać opór powietrza i tarcie.

Rozwiązanie

Rozwiązywanie tego typu zadań należy rozpocząć od zastanowienia się, jakie siły działają na ciało i obliczenie siły wypadkowej. Jeśli siła wypadkowa jest proporcjonalna do wychylenia i przeciwnie skierowana, mamy do czynienia z ruchem harmonicznym i możemy wtedy zastosować odpowiednie wzory opisujące taki ruch.

Po wychyleniu klocka z położenia równowagi do położenia x sprężyny działają na klocek siłami

F_{1} = - k_{1} x

;

F_{2} = - k_{2} x

siła wypadkowa pod wpływem której klocek będzie się poruszać wynosi

F = F_{1} + F_{2} = - (k_{1} + k_{2}) x

Z porównania ze wzorem na siłę harmoniczną wynika, że współczynnik proporcjonalności między wartością siły i wychyleniem z położenia równowagi wynosi: $k = k_{1} + k_{2}$ , zatem okres drgań klocka wynosi:

Odpowiedź: $T = 2 π \sqrt{\frac{m}{k_{1} + k_{2}}}$

Zadanie 2

Na powierzchni wody pływa drewniany sześcian o krawędzi Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle a\} ,. Gdy wepchnięto go głębiej i puszczono, sześcian zaczął wykonywać drgania w górę i w dół. Wykazać, że są to drgania harmoniczne i obliczyć okres drgań, jeśli gęstość wody wynosi Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \rho_1\} ,, gęstość sześcianu Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \rho_1\} ,, przyspieszenie ziemskie Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle g\} ,.

Rozwiązanie

Ruch sześcianu odbywa się pod wpływem siły ciężkości i siły wyporu. Jeśli wykażemy, że siła wypadkowa jest wprost proporcjonalna do wychylenia z położenia równowagi i przeciwnie skierowana, to udowodnimy, że ruch jest harmoniczny.

W położeniu równowagi (1) siły wyporu i ciężkości równoważą się. Kiedy wepchniemy sześcian o x głębiej, do położenia (2), na część zakreskowaną sześcianu działa dodatkowa, niezrównoważona siła wyporu skierowana do góry: $F = - x a^{2} \cdot ρ_{2} \cdot g$ . Jeśli sześcian przesunie się z położenia równowagi w górę o Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle x\} , (położenie (3)), siła wyporu zmniejszy o wartość $Δ F = x a^{2} \cdot ρ_{2} \cdot g$ , więc siła wypadkowa będzie działać w dół, a jej wartość będzie równa $F = - Δ F = - x a^{2} \cdot ρ_{2} \cdot g$

Widzimy, że siła jest zawsze wprost proporcjonalna do wychylenia Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle x\} , i przeciwnie skierowana. Jest to więc ruch harmoniczny o współczynniku $k = a^{2} \cdot ρ_{2} \cdot g$ . Okres obliczamy ze wzoru: $T = 2 π \sqrt{\frac{m}{k}}$ , gdzie $m = a^{3} \cdot ρ_{1}$

Okres wynosi: $T = \frac{2 π}{ω} = 2 π \sqrt{\frac{ρ_{1} a}{ρ_{2} g}}$

Zadanie 3

Kulka o masie m = 0,1 kg zaczepiona na sprężynie wykonuje drgania harmoniczne. Zależność jej prędkości od czasu opisuje wzór: $v (t) = v_{0} c o s (ω \cdot t)$ , gdzie $ω = 0, 9 s^{- 1}$ , $v_{0} = 2 m / s$

a) Jaki jest współczynnik sprężystości sprężyny?

b) Jakie jest wychylenie kulki w chwili t, jeśli x(0)=0 ?

c) Ile wynosi największe wychylenie kulki?

d) Oblicz największą energię kinetyczną, jaką osiąga kulka, jaka wtedy będzie energia potencjalna siły sprężystości?

Rozwiązanie

a) Ze związku: $ω^{2} = \frac{k}{m}$ wyznaczamy k: $k = m ω^{2} = 0, 1 k g \cdot 0, 81 s^{- 1} = 0, 081 k g s^{- 1}$

b) Aby znaleźć zależność wychylenia od czasu, musimy scałkować prędkość po czasie:

x (t) = \int v (t) d t = \int v_{0} c o s (ω t) d t = \frac{v_{0}}{ω} s i n ω t + C

c) Amplituda wynosi $A = \frac{v_{0}}{ω} = \frac{2 m s^{- 1}}{0, 9 s^{- 1}} = 2, 22 m$

d) Energia kinetyczna wyraża się wzorem: $E_{k} = \frac{m v^{2}}{2} = \frac{m {v^{2}}_{0} c o s^{2} (ω t)}{2}$ . Największą wartość będzie miała, gdy Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle cos^2(\omega t)\} , , czyli na przykład w chwili t = 0.

E_{k m a x} = \frac{m {v^{2}}_{0}}{2} = \frac{0, 1 k g \cdot 4 m^{2} s^{- 2}}{2} = 2 J

Energia potencjalna to: $E_{p} = \frac{m x^{2}}{2} = \frac{k v_{0} s i n ω t}{2 ω}$ , w chwili t=0 energia potencjalna równa jest zeru: $E_{p} (0) = 0$

Zadanie 4

W rurce o przekroju Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle S\} , zgiętej w kształcie litery U znajduje się słup wody o całkowitej długości Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle l\} ,, przy czym w chwili początkowej poziom wody w jednym ramieniu rurki jest wyższy niż w drugim. Jaki będzie okres drgań słupa wody? Pominąć siły lepkości.

Rozwiązanie

Załóżmy, że gęstość wody wynosi Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \rho\} ,. Zatem masa słupa wody o długości Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle l\} ,, i przekroju Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle S\} , wynosi: $m = ρ l S$ . Zastanówmy się, jaka siła działa na słup wody.

Oznaczmy przez Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle x\} , wychylenie słupa wody z położenia równowagi w jednym z ramion. Oczywiście niezrównoważony słup wody ma wysokość Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle 2x\} ,, bo jeśli w jednym ramieniu poziom wody podniósł się o Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle x\} ,, to w drugim opadł o Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle x\} ,. Ciężar niezrównoważonego słupa wody wynosi: $F (x) = - 2 x S ρ g$ . Znak minus oznacza, że siła jest skierowana przeciwnie do wychylenia Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle x\} ,, czyli w dół. Wartość siły jest wprost proporcjonalna do wychylenia ze współczynnikiem proporcjonalności $k = 2 S ρ g$ , a więc ruch cieczy w rurce jest ruchem harmonicznym. Częstość drgań wyraża się wzorem: $ω = \sqrt{\frac{k}{m}}$ , a więc okres drgań:

T = \frac{2 π}{ω} = 2 π \sqrt{\frac{m}{k}} = 2 π \sqrt{\frac{ρ l S}{2 S ρ g}} = 2 π \sqrt{\frac{l}{g}}

Zadanie 5

Najniższe i najwyższe częstotliwości odbierane przez ucho ludzkie wynoszą odpowiednio około 20 i 15000 Hz. Jakie odpowiadają temu długości fal? Prędkość dźwięku w powietrzu wynosi 330 m/s.

Odpowidź

Słowa kluczowe

amplituda drgań

okres drgań

częstotliwość drgań własnych

faza początkowa

drgania tłumione

współczynnik tłumienia

drgania wymuszone

rezonans

figury Lissajou

zasada superpozycji

równanie falowe

fala stojąca

fala płaska

fala kulista

Bibliografia

J. Orear, Fizyka, WNT, Warszawa (1998);
R. Resnick, D. Halliday, Fizyka 1, PWN, Warszawa (1994);
I.W. Sawieliew, Wykłady z fizyki, PWN, Warszawa (1994).

PF Moduł 5: Różnice pomiędzy wersjami

Wersja z 09:26, 5 wrz 2023

Spis treści

Wykład

Podsumowanie

Materiały do ćwiczeń

Słowa kluczowe

Bibliografia

Menu nawigacyjne

Działania na stronie

Opcje strony

Narzędzia osobiste

Nawigacja

Szukaj

Narzędzia

@@ Linia 29: / Linia 29: @@
 |valign="top"|'''5.1.	Równanie ruchu harmonicznego'''
-Ruch punktu materialnego nazywamy harmonicznym, jeśli porusza się on pod wpływem siły <math>F\,</math> o wartości wprost proporcjonalnej do wychylenia z położenia równowagi <math>x\,</math> i skierowanej przeciwnie do wychylenia. O zwrocie siły mówi znak minus we wzorze <math>F = -kx</math>, gdzie <math>k\,</math> jest współczynnikiem proporcjonalności.
+Ruch punktu materialnego nazywamy harmonicznym, jeśli porusza się on pod wpływem siły <math>F\</math>, o wartości wprost proporcjonalnej do wychylenia z położenia równowagi <math>x\</math>, i skierowanej przeciwnie do wychylenia. O zwrocie siły mówi znak minus we wzorze <math>F = -kx</math>, gdzie <math>k\</math>, jest współczynnikiem proporcjonalności.
 |}
@@ Linia 45: / Linia 45: @@
 {| border="0" cellpadding="4" width="100%"
 |width="450px" valign="top"|[[Grafika:PF_M5_Slajd5.png]]
-|valign="top"|Sprawdźmy, czy nasze równanie będzie spełnione przez funkcję <math>x(t)=A cos(\omega \cdot t +\varphi)</math> , gdzie <math>A\,</math>, <math>\omega\,</math> i <math>\varphi\,</math> są dowolnymi parametrami. Obliczamy pierwszą i drugą pochodną wychylenia <math>x\,</math> po czasie <math>t\,</math> i podstawiamy do równania.
+|valign="top"|Sprawdźmy, czy nasze równanie będzie spełnione przez funkcję <math>x(t)=A cos(\omega \cdot t +\varphi)</math> , gdzie <math>A\</math>,, <math>\omega\</math>, i <math>\varphi\</math>, są dowolnymi parametrami. Obliczamy pierwszą i drugą pochodną wychylenia <math>x\</math>, po czasie <math>t\</math>, i podstawiamy do równania.
 |}
@@ Linia 53: / Linia 53: @@
 {| border="0" cellpadding="4" width="100%"
 |width="450px" valign="top"|[[Grafika:PF_M5_Slajd6.png]]
-|valign="top"|Funkcja <math>x(t)=A cos(\omega \cdot t +\varphi)</math> spełnia równanie ruchu pod warunkiem, że stała <math>\omega\,</math> spełnia związek: <math>\omega^2=k/m</math>. Stałą <math>\omega\,</math> nazywamy częstością drgań własnych. Argument funkcji ''cosinus'' <math>(\omega \cdot t +\varphi)\,</math>  to faza ruchu, <math>\varphi\,</math> stanowi fazę początkową w chwili <math>t=0</math>. Największe wychylenie z położenia równowagi nazywamy amplitudą drgań. Wynosi ona <math>A\,</math>, bowiem największa i najmniejsza wartość funkcji ''cosinus'' to 1 i -1.
+|valign="top"|Funkcja <math>x(t)=A cos(\omega \cdot t +\varphi)</math> spełnia równanie ruchu pod warunkiem, że stała <math>\omega\</math>, spełnia związek: <math>\omega^2=k/m</math>. Stałą <math>\omega\</math>, nazywamy częstością drgań własnych. Argument funkcji ''cosinus'' <math>(\omega \cdot t +\varphi)\</math>,  to faza ruchu, <math>\varphi\</math>, stanowi fazę początkową w chwili <math>t=0</math>. Największe wychylenie z położenia równowagi nazywamy amplitudą drgań. Wynosi ona <math>A\</math>,, bowiem największa i najmniejsza wartość funkcji ''cosinus'' to 1 i -1.
 |}
@@ Linia 71: / Linia 71: @@
 |valign="top"|Odwrotność okresu, czyli liczbę drgań w jednostce czasu nazywamy częstotliwością. Jednostką częstotliwości jest hertz <math>(1Hz=1s^{-1})</math>.
-Jeśli czas będziemy mierzyć od takiego momentu, że faza początkowa <math>\varphi=-\pi/2\,</math> , to ruch harmoniczny będzie opisany funkcją sinus. Jak widać wybór funkcji sinus czy cosinus jest w istocie wyborem fazy początkowej.
+Jeśli czas będziemy mierzyć od takiego momentu, że faza początkowa <math>\varphi=-\pi/2\</math>, , to ruch harmoniczny będzie opisany funkcją sinus. Jak widać wybór funkcji sinus czy cosinus jest w istocie wyborem fazy początkowej.
 |}
@@ Linia 80: / Linia 80: @@
 |valign="top"|'''Prędkość i przyspieszenie'''
-Prędkość i przyspieszenie w ruchu harmonicznym obliczamy jako pierwszą i drugą pochodną wychylenia <math>x\,</math> po czasie.
+Prędkość i przyspieszenie w ruchu harmonicznym obliczamy jako pierwszą i drugą pochodną wychylenia <math>x\</math>, po czasie.
 |}
@@ Linia 96: / Linia 96: @@
 |valign="top"|'''Energia w ruchu harmonicznym'''
-Ciało wychylone z położenia równowagi, na które działa siła harmoniczna, ma pewną energię potencjalną. Energię tę można wyznaczyć, obliczając pracę jaką musimy wykonać, aby przesunąć ciało z położenia równowagi, <math>x=0\,</math>, do punktu o danym <math>x\,</math>.
+Ciało wychylone z położenia równowagi, na które działa siła harmoniczna, ma pewną energię potencjalną. Energię tę można wyznaczyć, obliczając pracę jaką musimy wykonać, aby przesunąć ciało z położenia równowagi, <math>x=0\</math>,, do punktu o danym <math>x\</math>,.
-Zmiana energii potencjalnej <math>dE_p\,</math> równa jest pracy, jaką wykonuje siła równoważąca siłę harmoniczną na drodze <math>dx\,</math>. Po obliczeniu całki w granicach od zera do <math>x\,</math>, otrzymujemy wzór na energię potencjalną ciała wychylonego z położenia równowagi o <math>x\,</math>: <math>E_p(x)=kx^2/2</math> .
+Zmiana energii potencjalnej <math>dE_p\</math>, równa jest pracy, jaką wykonuje siła równoważąca siłę harmoniczną na drodze <math>dx\</math>,. Po obliczeniu całki w granicach od zera do <math>x\</math>,, otrzymujemy wzór na energię potencjalną ciała wychylonego z położenia równowagi o <math>x\</math>,: <math>E_p(x)=kx^2/2</math> .
 |}
@@ Linia 120: / Linia 120: @@
 {| border="0" cellpadding="4" width="100%"
 |width="450px" valign="top"|[[Grafika:PF_M5_Slajd14.png]]
-|valign="top"|Pierwszy rysunek przedstawia zależność od położenia energii kinetycznej i potencjalnej oraz będącej ich sumą energii całkowitej. Widać, że energia kinetyczna jest największa w położeniu równowagi <math>(x=0)</math>, a energia potencjalna jest równa wtedy zeru. Gdy ciało jest maksymalnie wychylone <math>(x=\pm A)\,</math>, energia kinetyczna jest równa zeru, a potencjalna maksymalna.
+|valign="top"|Pierwszy rysunek przedstawia zależność od położenia energii kinetycznej i potencjalnej oraz będącej ich sumą energii całkowitej. Widać, że energia kinetyczna jest największa w położeniu równowagi <math>(x=0)</math>, a energia potencjalna jest równa wtedy zeru. Gdy ciało jest maksymalnie wychylone <math>(x=\pm A)\</math>,, energia kinetyczna jest równa zeru, a potencjalna maksymalna.
 Drugi rysunek pokazuje, jak zależy od czasu energia kinetyczna i potencjalna. Dla porównania przedstawiono również zależność od czasu położenia i prędkości. Zwróćmy uwagę, że zarówno energia kinetyczna, jak i potencjalna przyjmują tylko dodatnie wartości, a okres ich zmian jest dwa razy mniejszy niż okres zmian położenia i prędkości.
@@ Linia 165: / Linia 165: @@
 |valign="top"|'''Drgania harmoniczne wymuszone'''
-Dobrze wiemy, że aby długo huśtać się na huśtawce tak, jak dama na tym pięknym obrazie, potrzebny jest ktoś, kto będzie huśtawkę popychał w odpowiednich momentach. W ogólności siłę podtrzymującą drganie, zwaną też siłą wymuszającą, przedstawiamy jako siłę zależną sinusoidalnie od czasu. Na przykład może ona mieć postać: <math>F_w=F_0(cos_w \cdot t)</math> . Równanie ruchu uwzględnia zarówno siłę wymuszającą, jak i tłumiącą drgania. Zwróćmy uwagę, że częstość siły wymuszającej <math>\omega_w\,</math> jest w ogólnym przypadku inna niż częstość drgań własnych <math>\omega\,</math> .
+Dobrze wiemy, że aby długo huśtać się na huśtawce tak, jak dama na tym pięknym obrazie, potrzebny jest ktoś, kto będzie huśtawkę popychał w odpowiednich momentach. W ogólności siłę podtrzymującą drganie, zwaną też siłą wymuszającą, przedstawiamy jako siłę zależną sinusoidalnie od czasu. Na przykład może ona mieć postać: <math>F_w=F_0(cos_w \cdot t)</math> . Równanie ruchu uwzględnia zarówno siłę wymuszającą, jak i tłumiącą drgania. Zwróćmy uwagę, że częstość siły wymuszającej <math>\omega_w\</math>, jest w ogólnym przypadku inna niż częstość drgań własnych <math>\omega\</math>, .
 |}
@@ Linia 190: / Linia 190: @@
 Dla wartości współczynników tłumienia różnych od zera amplituda osiąga największą wartość (czyli występuje rezonans) dla częstości określonych wzorem: <math>\omega_w=\sqrt{\omega^2-b^2 /2m^2}</math> , a więc mniejszych od częstości drgań własnych.
-Rysunek przedstawia kilka krzywych rezonansowych, czyli zależności amplitudy drgań od częstości siły wymuszającej dla kilku wartości współczynników tłumienia <math>\beta\,</math> . Widać, że im większy współczynnik tłumienia, tym niższą wartość osiąga amplituda i tym bardziej częstość rezonansowa różni się od częstości drgań własnych, która tu wynosi <math>1s^{-1}\,</math> .
+Rysunek przedstawia kilka krzywych rezonansowych, czyli zależności amplitudy drgań od częstości siły wymuszającej dla kilku wartości współczynników tłumienia <math>\beta\</math>, . Widać, że im większy współczynnik tłumienia, tym niższą wartość osiąga amplituda i tym bardziej częstość rezonansowa różni się od częstości drgań własnych, która tu wynosi <math>1s^{-1}\</math>, .
 |}
@@ Linia 199: / Linia 199: @@
 |valign="top"|'''Składanie drgań równoległych'''
-Jaki będzie wynik nałożenia się dwóch drgań harmonicznych o kierunkach równoległych, ale różnych częstościach, amplitudach i fazach? Wychylenie wypadkowe będzie sumą obu wychyleń. Intuicyjnie przewidujemy, że w chwili, gdy oba wychylenia są w tym samym kierunku - otrzymamy wzmocnienie, kiedy w przeciwnym - osłabienie sumarycznego wychylenia, <math>x\,</math>.
+Jaki będzie wynik nałożenia się dwóch drgań harmonicznych o kierunkach równoległych, ale różnych częstościach, amplitudach i fazach? Wychylenie wypadkowe będzie sumą obu wychyleń. Intuicyjnie przewidujemy, że w chwili, gdy oba wychylenia są w tym samym kierunku - otrzymamy wzmocnienie, kiedy w przeciwnym - osłabienie sumarycznego wychylenia, <math>x\</math>,.
-Szczególnie ciekawy jest przypadek, kiedy obie częstości mają zbliżone wartości. Dla uproszczenia przyjmiemy, że amplitudy i fazy są takie same, a różnica ich częstości <math>\Delta \omega\,</math> jest niewielka. Po wykonaniu przekształceń trygonometrycznych otrzymujemy wzór przestawiający drganie harmoniczne, ale z amplitudą, która zmienia się periodycznie z częstością znacznie mniejszą od <math>\omega\,</math> . Zjawisko to nazywamy dudnieniem.
+Szczególnie ciekawy jest przypadek, kiedy obie częstości mają zbliżone wartości. Dla uproszczenia przyjmiemy, że amplitudy i fazy są takie same, a różnica ich częstości <math>\Delta \omega\</math>, jest niewielka. Po wykonaniu przekształceń trygonometrycznych otrzymujemy wzór przestawiający drganie harmoniczne, ale z amplitudą, która zmienia się periodycznie z częstością znacznie mniejszą od <math>\omega\</math>, . Zjawisko to nazywamy dudnieniem.
 |}
@@ Linia 208: / Linia 208: @@
 {| border="0" cellpadding="4" width="100%"
 |width="450px" valign="top"|[[Grafika:PF_M5_Slajd23.png]]
-|valign="top"|Wykres przedstawia zależność wychyleń drgań składowych <math>x_a\,</math> i <math>x_b\,</math> oraz ich sumy <math>x_a+x_b</math> .
+|valign="top"|Wykres przedstawia zależność wychyleń drgań składowych <math>x_a\</math>, i <math>x_b\</math>, oraz ich sumy <math>x_a+x_b</math> .
 Amplitudy drgań składowych są jednakowe i mają wartość 1 cm, natomiast amplituda drgań wypadkowych wolno oscyluje od zera do wartości 2 cm.
@@ Linia 219: / Linia 219: @@
 |valign="top"|'''Składanie drgań prostopadłych'''
-Kiedy drgania punktu materialnego odbywają się równocześnie w dwóch prostopadłych do siebie kierunkach, na przykład wzdłuż osi <math>x\,</math> i <math>y\,</math> prostokątnego układu współrzędnych, to wypadkowy ruch tego punktu na płaszczyźnie można opisać z pomocą równań: <math>x=A_x cos(\omega_x t)</math> oraz <math>y=A_y cos(\omega_y t+\varphi)</math> . Jeśli częstości drgań są jednakowe i różnica faz wynosi zero, to ruch wypadkowy będzie odbywał się wzdłuż prostej o równaniu <math>y=(A_y/A_x)\cdot x</math> . Będzie to również drgania harmoniczne.
+Kiedy drgania punktu materialnego odbywają się równocześnie w dwóch prostopadłych do siebie kierunkach, na przykład wzdłuż osi <math>x\</math>, i <math>y\</math>, prostokątnego układu współrzędnych, to wypadkowy ruch tego punktu na płaszczyźnie można opisać z pomocą równań: <math>x=A_x cos(\omega_x t)</math> oraz <math>y=A_y cos(\omega_y t+\varphi)</math> . Jeśli częstości drgań są jednakowe i różnica faz wynosi zero, to ruch wypadkowy będzie odbywał się wzdłuż prostej o równaniu <math>y=(A_y/A_x)\cdot x</math> . Będzie to również drgania harmoniczne.
 |}
@@ Linia 227: / Linia 227: @@
 {| border="0" cellpadding="4" width="100%"
 |width="450px" valign="top"|[[Grafika:PF_M5_Slajd25.png]]
-|valign="top"|Jeśli częstości drgań są jednakowe i różnica faz wynosi <math>\pi\,</math> , to ruch będzie ruchem harmonicznym wzdłuż prostej o równaniu <math>y=-(A_y/A_x)\cdot x</math> .
+|valign="top"|Jeśli częstości drgań są jednakowe i różnica faz wynosi <math>\pi\</math>, , to ruch będzie ruchem harmonicznym wzdłuż prostej o równaniu <math>y=-(A_y/A_x)\cdot x</math> .
 |}
@@ Linia 235: / Linia 235: @@
 {| border="0" cellpadding="4" width="100%"
 |width="450px" valign="top"|[[Grafika:PF_M5_Slajd26.png]]
-|valign="top"|Ciekawa jest sytuacja, gdy częstości są równe, a fazy różnią się o <math>\pi/2\,</math> . Podnosząc do kwadratu wyrażenia na <math>x\,</math> i <math>y\,</math> i dodając równania stronami, otrzymujemy równanie elipsy. Po takim właśnie torze porusza się punkt. W przypadku, gdy amplitudy są równe, elipsa przechodzi w okrąg.
+|valign="top"|Ciekawa jest sytuacja, gdy częstości są równe, a fazy różnią się o <math>\pi/2\</math>, . Podnosząc do kwadratu wyrażenia na <math>x\</math>, i <math>y\</math>, i dodając równania stronami, otrzymujemy równanie elipsy. Po takim właśnie torze porusza się punkt. W przypadku, gdy amplitudy są równe, elipsa przechodzi w okrąg.
-Widzimy, że jeśli punkt materialny porusza się ruchem jednostajnym po okręgu w płaszczyźnie <math>(x, y)\,</math>, to ruch jego rzutu na osie układu współrzędnych jest ruchem harmonicznym.
+Widzimy, że jeśli punkt materialny porusza się ruchem jednostajnym po okręgu w płaszczyźnie <math>(x, y)\</math>,, to ruch jego rzutu na osie układu współrzędnych jest ruchem harmonicznym.
 To interesujące stwierdzenie łączy ruch harmoniczny z ruchem jednostajnym po okręgu.
@@ Linia 247: / Linia 247: @@
 {| border="0" cellpadding="4" width="100%"
 |width="450px" valign="top"|[[Grafika:PF_M5_Slajd27.png]]
-|valign="top"|Podana wyżej relacja pomiędzy ruchem harmonicznym i ruchem po okręgu jest jednak tylko przypadkiem szczególnym składania harmonicznych drgań prostopadłych. Kiedy częstości drgań w obu kierunkach różnią się, to tor punktu tworzy skomplikowane figury zwane figurami Lissajou. Figury te mieszczą się w prostokącie o wymiarach <math>2A_x\,</math>, i <math>2A_y\,</math>.
+|valign="top"|Podana wyżej relacja pomiędzy ruchem harmonicznym i ruchem po okręgu jest jednak tylko przypadkiem szczególnym składania harmonicznych drgań prostopadłych. Kiedy częstości drgań w obu kierunkach różnią się, to tor punktu tworzy skomplikowane figury zwane figurami Lissajou. Figury te mieszczą się w prostokącie o wymiarach <math>2A_x\</math>,, i <math>2A_y\</math>,.
-Stosunek liczby punktów stycznych do obu boków prostokąta wyznacza stosunek częstości obu ruchów składowych: <math>\omega_x/{\omega_y}\,</math>  Rysunek  pokazuje przykłady takich figur.
+Stosunek liczby punktów stycznych do obu boków prostokąta wyznacza stosunek częstości obu ruchów składowych: <math>\omega_x/{\omega_y}\</math>,  Rysunek  pokazuje przykłady takich figur.
 |}
@@ Linia 259: / Linia 259: @@
 |valign="top"|'''Rozchodzenie się fal w ośrodku sprężystym'''
-Jeśli jakimś miejscu ośrodka sprężystego wywołamy drganie, to drgająca cząstka pociągnie za sobą kolejne cząstki i ruch drgający będzie się przenosić od cząstki do cząstki z pewną prędkością <math>v\,</math>. Takie rozchodzenie się drgań w ośrodku nazywamy falą. Należy podkreślić, że poszczególne cząstki ośrodka nie przemieszczają się, wykonują tylko drgania wokół swoich położeń równowagi. Jeśli drgania zachodzą w kierunku prostopadłym do kierunku rozchodzenia się fali, falę nazywamy falą poprzeczną.
+Jeśli jakimś miejscu ośrodka sprężystego wywołamy drganie, to drgająca cząstka pociągnie za sobą kolejne cząstki i ruch drgający będzie się przenosić od cząstki do cząstki z pewną prędkością <math>v\</math>,. Takie rozchodzenie się drgań w ośrodku nazywamy falą. Należy podkreślić, że poszczególne cząstki ośrodka nie przemieszczają się, wykonują tylko drgania wokół swoich położeń równowagi. Jeśli drgania zachodzą w kierunku prostopadłym do kierunku rozchodzenia się fali, falę nazywamy falą poprzeczną.
-Rysunek pokazuje ruch cząsteczek podczas rozchodzenia się fali poprzecznej. Numerami <math>1, 2, \dots</math> oznaczone są cząstki odległe od siebie o <math>\frac{1}{4} vT\,</math>, czyli odległość, jaką fala przebywa w czasie <math>\frac{1}{4}\,</math> okresu drgań. W chwili <math>t=0\,</math> fala biegnąca w prawo dochodzi do cząstki <math>1,</math>. Cząstka ta rozpoczyna ruch ku górze, pociągając za sobą kolejne cząstki. Po upływie <math>\frac{1}{4}\,</math> okresu cząstka 1 osiąga maksymalne wychylenie, a ruch ku górze rozpoczyna cząstka <math>2,</math>. Po następnej ćwiartce okresu cząstka 1 wraca do położenia równowagi i rozpoczyna ruch w dół, cząstka <math>2,</math> osiąga maksymalne wychylenie, a cząstka <math>3,</math> zaczyna przemieszczać się do góry. Po upływie pełnego okresu w chwili <math>t=T\,</math> pierwsza cząstka wraca do stanu, w jakim była w chwili <math>t=0\,</math>, a fala, przebywając drogę <math>vT\,</math>, dociera do cząstki <math>5</math>..
+Rysunek pokazuje ruch cząsteczek podczas rozchodzenia się fali poprzecznej. Numerami <math>1, 2, \dots</math> oznaczone są cząstki odległe od siebie o <math>\frac{1}{4} vT\</math>,, czyli odległość, jaką fala przebywa w czasie <math>\frac{1}{4}\</math>, okresu drgań. W chwili <math>t=0\</math>, fala biegnąca w prawo dochodzi do cząstki <math>1</math>,. Cząstka ta rozpoczyna ruch ku górze, pociągając za sobą kolejne cząstki. Po upływie <math>\frac{1}{4}\</math>, okresu cząstka 1 osiąga maksymalne wychylenie, a ruch ku górze rozpoczyna cząstka <math>2</math>,. Po następnej ćwiartce okresu cząstka 1 wraca do położenia równowagi i rozpoczyna ruch w dół, cząstka <math>2</math>, osiąga maksymalne wychylenie, a cząstka <math>3</math>, zaczyna przemieszczać się do góry. Po upływie pełnego okresu w chwili <math>t=T\</math>, pierwsza cząstka wraca do stanu, w jakim była w chwili <math>t=0\</math>,, a fala, przebywając drogę <math>vT\</math>,, dociera do cząstki <math>5</math>..
 |}
@@ Linia 271: / Linia 271: @@
 |valign="top"|Falą podłużną nazywamy falę, której kierunek rozchodzenia się jest równoległy do kierunku drgań cząstek.
-Rysunek pokazuje ruch cząstek podczas rozchodzenia się w ośrodku fali podłużnej. Widać, że rozchodzenie się fali podłużnej związane jest z powstawaniem w ośrodku postępujących po sobie zagęszczeń i rozrzedzeń cząstek. Zagęszczenia i rozrzedzenia przesuwają się w ośrodku z prędkością <math>v\,</math>.
+Rysunek pokazuje ruch cząstek podczas rozchodzenia się w ośrodku fali podłużnej. Widać, że rozchodzenie się fali podłużnej związane jest z powstawaniem w ośrodku postępujących po sobie zagęszczeń i rozrzedzeń cząstek. Zagęszczenia i rozrzedzenia przesuwają się w ośrodku z prędkością <math>v\</math>,.
 |}
@@ Linia 279: / Linia 279: @@
 {| border="0" cellpadding="4" width="100%"
 |width="450px" valign="top"|[[Grafika:PF_M5_Slajd30.png]]
-|valign="top"|Podczas rozchodzenia się fali w drganiach biorą udział nie tylko cząstki leżące na osi <math>x\,</math>, jak na poprzednich rysunkach, lecz układ cząstek znajdujących się w pewnej objętości. Zbiór punktów, do których fala dochodzi w danej chwili nazywamy czołem fali. Zbiór punktów drgających w tej samej fazie nazywamy powierzchnią falową. Przez każdy punkt biorący udział w ruchu falowym można przeprowadzić powierzchnię falową. Powierzchni falowych jest więc nieskończenie wiele, ale czoło fali jest tylko jedno. Spośród wszystkich możliwych kształtów powierzchni falowych wyróżniamy  takie, które są płaszczyznami i powierzchniami kulistymi. Fale takie nazywamy odpowiednio falą płaską i falą kulistą.
+|valign="top"|Podczas rozchodzenia się fali w drganiach biorą udział nie tylko cząstki leżące na osi <math>x\</math>,, jak na poprzednich rysunkach, lecz układ cząstek znajdujących się w pewnej objętości. Zbiór punktów, do których fala dochodzi w danej chwili nazywamy czołem fali. Zbiór punktów drgających w tej samej fazie nazywamy powierzchnią falową. Przez każdy punkt biorący udział w ruchu falowym można przeprowadzić powierzchnię falową. Powierzchni falowych jest więc nieskończenie wiele, ale czoło fali jest tylko jedno. Spośród wszystkich możliwych kształtów powierzchni falowych wyróżniamy  takie, które są płaszczyznami i powierzchniami kulistymi. Fale takie nazywamy odpowiednio falą płaską i falą kulistą.
 |}
@@ Linia 287: / Linia 287: @@
 {| border="0" cellpadding="4" width="100%"
 |width="450px" valign="top"|[[Grafika:PF_M5_Slajd31.png]]
-|valign="top"|Rysunek przedstawia wychylenia cząstek z położenia równowagi <math>\xi(x)\,</math>  dla cząstek o różnych wartościach <math>x\,</math>. Zauważmy, że wykres ten może dotyczyć zarówno fali poprzecznej, jak i podłużnej. Długością fali nazywamy odległość, na jaką rozchodzi się fala w czasie równym okresowi drgań ośrodka. Można też powiedzieć, że długość fali to najmniejsza odległość między cząstkami drgającymi w jednakowej fazie. Długość fali związana jest okresem drgań prostym wzorem: <math>\lambda=v\cdot T\,</math> .
+|valign="top"|Rysunek przedstawia wychylenia cząstek z położenia równowagi <math>\xi(x)\</math>,  dla cząstek o różnych wartościach <math>x\</math>,. Zauważmy, że wykres ten może dotyczyć zarówno fali poprzecznej, jak i podłużnej. Długością fali nazywamy odległość, na jaką rozchodzi się fala w czasie równym okresowi drgań ośrodka. Można też powiedzieć, że długość fali to najmniejsza odległość między cząstkami drgającymi w jednakowej fazie. Długość fali związana jest okresem drgań prostym wzorem: <math>\lambda=v\cdot T\</math>, .
 |}
@@ Linia 295: / Linia 295: @@
 {| border="0" cellpadding="4" width="100%"
 |width="450px" valign="top"|[[Grafika:PF_M5_Slajd32.png]]
-|valign="top"|Równaniem fali nazywamy zależność wychylenia <math>\xi\,</math>  drgającej cząstki od czasu <math>t\,</math>  i od współrzędnych tej cząstki <math>(x, y, z)\,</math>: <math>\xi=\xi(x, y, z, t)\,</math> . Określimy to wyrażenie dla fali płaskiej biegnącej w kierunku osi <math>x\,</math>. Powierzchnie falowe są płaszczyznami prostopadłymi do osi <math>x\,</math>, więc wychylenie zależy tylko od <math>x\,</math> i <math>t\,</math>: <math>\xi=\xi(x, t)\,</math> . Drgania punktów leżących w płaszczyźnie <math>x=0\,</math> można opisać wzorem: <math>\xi(0, t)=a cos(\omega t +\varphi)\,</math> . Jak będą drgały punkty w płaszczyźnie odpowiadającej dowolnej wartości <math>x\,</math>? Drogę <math>x\,</math> fala przebędzie w czasie <math>\tau=x/v</math> . O taki czas będą opóźnione drgania w punkcie <math>x\,</math> w stosunku do <math>x=0\,</math>:
+|valign="top"|Równaniem fali nazywamy zależność wychylenia <math>\xi\</math>,  drgającej cząstki od czasu <math>t\</math>,  i od współrzędnych tej cząstki <math>(x, y, z)\</math>,: <math>\xi=\xi(x, y, z, t)\</math>, . Określimy to wyrażenie dla fali płaskiej biegnącej w kierunku osi <math>x\</math>,. Powierzchnie falowe są płaszczyznami prostopadłymi do osi <math>x\</math>,, więc wychylenie zależy tylko od <math>x\</math>, i <math>t\</math>,: <math>\xi=\xi(x, t)\</math>, . Drgania punktów leżących w płaszczyźnie <math>x=0\</math>, można opisać wzorem: <math>\xi(0, t)=a cos(\omega t +\varphi)\</math>, . Jak będą drgały punkty w płaszczyźnie odpowiadającej dowolnej wartości <math>x\</math>,? Drogę <math>x\</math>, fala przebędzie w czasie <math>\tau=x/v</math> . O taki czas będą opóźnione drgania w punkcie <math>x\</math>, w stosunku do <math>x=0\</math>,:
 <math>\xi(x, t)=a cos[\omega (t-\tau) +\varphi]=a cos \left[\omega\left(t-\frac{x}{v} \right) +\varphi \right]</math>
@@ Linia 305: / Linia 305: @@
 {| border="0" cellpadding="4" width="100%"
 |width="450px" valign="top"|[[Grafika:PF_M5_Slajd33.png]]
-|valign="top"|Argument funkcji cosinus nazywamy fazą. Z jaką prędkością przesuwa się dana wartość fazy? Wyrażenie: <math>\omega\left(t-\frac{x}{v} \right) +\varphi=const</math>  wiąże wartości <math>x\,</math> i <math>t\,</math>, dla których faza ma daną wartość. Po zróżniczkowaniu tego wyrażenia otrzymujemy: <math>v=\frac{dx}{dt}</math> . Prędkość v nazywamy prędkością fazową, bo jest to prędkość przemieszczania się fazy.
+|valign="top"|Argument funkcji cosinus nazywamy fazą. Z jaką prędkością przesuwa się dana wartość fazy? Wyrażenie: <math>\omega\left(t-\frac{x}{v} \right) +\varphi=const</math>  wiąże wartości <math>x\</math>, i <math>t\</math>,, dla których faza ma daną wartość. Po zróżniczkowaniu tego wyrażenia otrzymujemy: <math>v=\frac{dx}{dt}</math> . Prędkość v nazywamy prędkością fazową, bo jest to prędkość przemieszczania się fazy.
 |}
@@ Linia 313: / Linia 313: @@
 {| border="0" cellpadding="4" width="100%"
 |width="450px" valign="top"|[[Grafika:PF_M5_Slajd34.png]]
-|valign="top"|Równanie fali jest funkcją periodyczną zarówno ze względu na czas <math>t\,</math>, jak i na współrzędną przestrzenną <math>x\,</math>. Symetria funkcji względem <math>x\,</math> i <math>t\,</math> będzie lepiej widoczna, jeśli wprowadzimy wielkość <math>k\,</math>, zwaną liczbą falową: <math>k=\frac{2\pi}{\lambda}</math> . Zauważmy, że związek liczby falowej z długością fali jest podobny do związku częstości kołowej i okresu: <math>\omega=2\pi/T</math> . Otrzymujemy równanie fali płaskiej: <math>\xi(x, t)=a cos [\omega t -kx+\varphi]</math>
+|valign="top"|Równanie fali jest funkcją periodyczną zarówno ze względu na czas <math>t\</math>,, jak i na współrzędną przestrzenną <math>x\</math>,. Symetria funkcji względem <math>x\</math>, i <math>t\</math>, będzie lepiej widoczna, jeśli wprowadzimy wielkość <math>k\</math>,, zwaną liczbą falową: <math>k=\frac{2\pi}{\lambda}</math> . Zauważmy, że związek liczby falowej z długością fali jest podobny do związku częstości kołowej i okresu: <math>\omega=2\pi/T</math> . Otrzymujemy równanie fali płaskiej: <math>\xi(x, t)=a cos [\omega t -kx+\varphi]</math>
 |}
@@ Linia 321: / Linia 321: @@
 {| border="0" cellpadding="4" width="100%"
 |width="450px" valign="top"|[[Grafika:PF_M5_Slajd35.png]]
-|valign="top"|Oczywiście równanie fali płaskiej rozchodzącej się w kierunku malejących wartości <math>x\,</math>, otrzymamy zmieniając znak przy <math>x\,</math>. W przypadku, gdy ośrodek pochłania energię fali, amplituda drgań maleje wykładniczo: <math>a=a_0 e^{-\beta x}</math> . Drgania w miarę wzrostu <math>x\,</math> odbywają się z coraz mniejszą amplitudą, aż fala praktycznie zaniknie.
+|valign="top"|Oczywiście równanie fali płaskiej rozchodzącej się w kierunku malejących wartości <math>x\</math>,, otrzymamy zmieniając znak przy <math>x\</math>,. W przypadku, gdy ośrodek pochłania energię fali, amplituda drgań maleje wykładniczo: <math>a=a_0 e^{-\beta x}</math> . Drgania w miarę wzrostu <math>x\</math>, odbywają się z coraz mniejszą amplitudą, aż fala praktycznie zaniknie.
 |}
@@ Linia 329: / Linia 329: @@
 {| border="0" cellpadding="4" width="100%"
 |width="450px" valign="top"|[[Grafika:PF_M5_Slajd36.png]]
-|valign="top"|Jeśli fala rozchodzi się w ośrodku jednorodnym i izotropowym, a źródło fali jest punktowe, to rozchodząca się fala jest falą kulistą. Równanie fali kulistej jest podobne do równania fali płaskiej – musimy współrzędną <math>x\,</math> zastąpić odległością od źródła fali <math>r\,</math>. Jest jednak pewna różnica. Amplituda fali kulistej, nawet w przypadku braku tłumienia, maleje wraz z odległością <math>r\,</math> i wynosi <math>a/r\,</math> , gdzie <math>a\,</math> to amplituda drgań źródła fali. Jest to związane z faktem, że powierzchnie falowe fali kulistej są coraz większe w miarę rozchodzenia się fali. Energia drgającego punktu, źródła fali, musi być rozłożona na coraz więcej drgających punktów na powierzchniach falowych, a więc amplitudy drgań muszą maleć z <math>r\,</math>.
+|valign="top"|Jeśli fala rozchodzi się w ośrodku jednorodnym i izotropowym, a źródło fali jest punktowe, to rozchodząca się fala jest falą kulistą. Równanie fali kulistej jest podobne do równania fali płaskiej – musimy współrzędną <math>x\</math>, zastąpić odległością od źródła fali <math>r\</math>,. Jest jednak pewna różnica. Amplituda fali kulistej, nawet w przypadku braku tłumienia, maleje wraz z odległością <math>r\</math>, i wynosi <math>a/r\</math>, , gdzie <math>a\</math>, to amplituda drgań źródła fali. Jest to związane z faktem, że powierzchnie falowe fali kulistej są coraz większe w miarę rozchodzenia się fali. Energia drgającego punktu, źródła fali, musi być rozłożona na coraz więcej drgających punktów na powierzchniach falowych, a więc amplitudy drgań muszą maleć z <math>r\</math>,.
 |}
@@ Linia 339: / Linia 339: @@
 |valign="top"|'''Równanie falowe'''
-Równanie ruchu harmonicznego <math>x(t)=A cos(\omega t+\varphi)</math> otrzymaliśmy rozwiązując równanie różniczkowe wyrażające II zasadę dynamiki: <math>\frac{d^2 x}{dt^2}=-\frac{k}{m}x</math> . Jaka jest postać równania, którego rozwiązaniem jest równanie fali płaskiej? Domyślamy się, że powinno to być również równanie różniczkowe drugiego rzędu, symetryczne względem <math>x\,</math> i <math>t\,</math>.
+Równanie ruchu harmonicznego <math>x(t)=A cos(\omega t+\varphi)</math> otrzymaliśmy rozwiązując równanie różniczkowe wyrażające II zasadę dynamiki: <math>\frac{d^2 x}{dt^2}=-\frac{k}{m}x</math> . Jaka jest postać równania, którego rozwiązaniem jest równanie fali płaskiej? Domyślamy się, że powinno to być również równanie różniczkowe drugiego rzędu, symetryczne względem <math>x\</math>, i <math>t\</math>,.
 |}
@@ Linia 347: / Linia 347: @@
 {| border="0" cellpadding="4" width="100%"
 |width="450px" valign="top"|[[Grafika:PF_M5_Slajd38.png]]
-|valign="top"|Aby znaleźć równanie falowe, obliczmy drugie pochodne cząstkowe po współrzędnej <math>x\,</math> i po czasie <math>t\,</math>. Dzieląc otrzymane wyrażenia odpowiednio przez <math>-\omega^2\,</math>  i <math>-k^2\,</math> , otrzymujemy po prawej stronie identyczną wielkość <math>\xi\,</math> . Wobec tego możemy przyrównać lewe strony do siebie i otrzymujemy poszukiwane równanie falowe.
+|valign="top"|Aby znaleźć równanie falowe, obliczmy drugie pochodne cząstkowe po współrzędnej <math>x\</math>, i po czasie <math>t\</math>,. Dzieląc otrzymane wyrażenia odpowiednio przez <math>-\omega^2\</math>,  i <math>-k^2\</math>, , otrzymujemy po prawej stronie identyczną wielkość <math>\xi\</math>, . Wobec tego możemy przyrównać lewe strony do siebie i otrzymujemy poszukiwane równanie falowe.
 |}
@@ Linia 365: / Linia 365: @@
 |valign="top"|Jeśli w ośrodku rozchodzi się kilka fal, to zgodnie z zasadą superpozycji (nakładania się) fal drganie każdego punktu jest sumą drgań pochodzących od każdej z fal.
-Szczególnym przypadkiem jest nakładanie się fali biegnącej i fali odbitej od jakiejś przeszkody. Powstaje wtedy fala stojąca. Niech <math>\xi_1=a cos (\omega t -kx)</math>  oznacza falę biegnącą w prawo, a <math>\xi_1=a cos (\omega t +kx)</math>  falę odbitą rozchodzącą się w lewo. Wybraliśmy tu taką chwilę początkową <math>(t=0)</math>, aby faza początkowa była równa zeru <math>(\varphi=0)</math>. Wychylenie dowolnego punktu z położenie równowagi <math>\xi\,</math> jest sumą wychyleń <math>\xi_1+\xi_2</math> .
+Szczególnym przypadkiem jest nakładanie się fali biegnącej i fali odbitej od jakiejś przeszkody. Powstaje wtedy fala stojąca. Niech <math>\xi_1=a cos (\omega t -kx)</math>  oznacza falę biegnącą w prawo, a <math>\xi_1=a cos (\omega t +kx)</math>  falę odbitą rozchodzącą się w lewo. Wybraliśmy tu taką chwilę początkową <math>(t=0)</math>, aby faza początkowa była równa zeru <math>(\varphi=0)</math>. Wychylenie dowolnego punktu z położenie równowagi <math>\xi\</math>, jest sumą wychyleń <math>\xi_1+\xi_2</math> .
 |}
@@ Linia 373: / Linia 373: @@
 {| border="0" cellpadding="4" width="100%"
 |width="450px" valign="top"|[[Grafika:PF_M5_Slajd41.png]]
-|valign="top"|Po skorzystaniu ze wzoru na sumę cosinusów, otrzymujemy wyrażenie opisujące drgania z częstością kołową równą częstości drgań składowych <math>\omega\,</math>. Amplituda tych drgań jest zależna od położenia <math>x\,</math>, zmienia się sinusoidalnie od zera do maksymalnej wartości <math>2a\,</math> . W punktach, których współrzędna <math>x\,</math> spełnia warunek: <math>kx=\pm \left(n+\frac{1}{2} \right)\pi</math> , gdzie <math>n =0, 1, 2,...,\,</math> amplituda wynosi zero. Oznacza to, że te punkty cały czas pozostają w spoczynku. Miejsca takie nazywamy węzłami fali stojącej. Współrzędne węzłów wynoszą: <math>x_w=\pm \left(n+\frac{1}{2} \right)\frac{\lambda}{2}</math> . Natomiast punkty, dla których <math>kx=\pm n\pi</math> , drgają z maksymalną amplitudą. To są strzałki fali. Współrzędne strzałek mają wartości: <math>x_{strz}=\pm n\frac{\lambda}{2}</math>
+|valign="top"|Po skorzystaniu ze wzoru na sumę cosinusów, otrzymujemy wyrażenie opisujące drgania z częstością kołową równą częstości drgań składowych <math>\omega\</math>,. Amplituda tych drgań jest zależna od położenia <math>x\</math>,, zmienia się sinusoidalnie od zera do maksymalnej wartości <math>2a\</math>, . W punktach, których współrzędna <math>x\</math>, spełnia warunek: <math>kx=\pm \left(n+\frac{1}{2} \right)\pi</math> , gdzie <math>n =0, 1, 2,...,\</math>, amplituda wynosi zero. Oznacza to, że te punkty cały czas pozostają w spoczynku. Miejsca takie nazywamy węzłami fali stojącej. Współrzędne węzłów wynoszą: <math>x_w=\pm \left(n+\frac{1}{2} \right)\frac{\lambda}{2}</math> . Natomiast punkty, dla których <math>kx=\pm n\pi</math> , drgają z maksymalną amplitudą. To są strzałki fali. Współrzędne strzałek mają wartości: <math>x_{strz}=\pm n\frac{\lambda}{2}</math>
 |}
@@ Linia 381: / Linia 381: @@
 {| border="0" cellpadding="4" width="100%"
 |width="450px" valign="top"|[[Grafika:PF_M5_Slajd42.png]]
-|valign="top"|Rysunek przedstawia wychylenia cząstek (niebieska linia) w określonych momentach. W chwili <math>t\,</math> wszystkie cząstki mają maksymalne wychylenie. Po upływie <math>\frac{1}{4}\,</math> okresu w chwili <math>(t + T/4)</math> cząstki przechodzą przez położenie równowagi. Strzałki pokazują prędkości cząstek. Po kolejnej <math>\frac{1}{4}\,</math> okresu w chwili <math>(t + T/2)</math> cząstki znów są w maksymalnym wychyleniu. Zwróćmy uwagę, że wszystkie cząstki między dwoma węzłami drgają w jednakowej fazie, natomiast faza drgań po dwóch stronach węzła różni się o <math>\pi\,</math>.
+|valign="top"|Rysunek przedstawia wychylenia cząstek (niebieska linia) w określonych momentach. W chwili <math>t\</math>, wszystkie cząstki mają maksymalne wychylenie. Po upływie <math>\frac{1}{4}\</math>, okresu w chwili <math>(t + T/4)</math> cząstki przechodzą przez położenie równowagi. Strzałki pokazują prędkości cząstek. Po kolejnej <math>\frac{1}{4}\</math>, okresu w chwili <math>(t + T/2)</math> cząstki znów są w maksymalnym wychyleniu. Zwróćmy uwagę, że wszystkie cząstki między dwoma węzłami drgają w jednakowej fazie, natomiast faza drgań po dwóch stronach węzła różni się o <math>\pi\</math>,.
 |}
@@ Linia 390: / Linia 390: @@
 |valign="top"|Jeśli fala stojąca powstaje w strunie umocowanej na obu końcach, w miejscach zamocowania muszą powstać węzły. Narzuca to warunek na długość fali stojącej w strunie, mianowicie w długości struny musi mieścić się całkowita liczba połówek długości fali: <math>l=n\frac{\lambda}{2}</math> .
-Fale o innej długości szybko ulegną wygaszeniu. Kolejne długości fali stojącej w strunie o długości <math>l\,</math> wynoszą: <math>\lambda_n=\frac{2l}{n}</math> , a odpowiadające im częstotliwości: <math>\nu_n=\frac{v}{\lambda_n}=\frac{v}{2l}n</math> , gdzie <math>v\,</math> jest prędkością fazową fali zależną między innymi od naciągu struny. Częstotliwości te nazywamy częstotliwościami własnymi struny. Częstotliwość <math>\nu_1=\frac{v}{2l}</math>  to częstotliwość podstawowa, zwana też pierwszą harmoniczną, a wszystkie inne częstotliwości własne są jej wielokrotnością. Na rysunku pokazane są drgania harmoniczne struny dla n = 1, 2 i 3. W ogólnym przypadku drgania struny są złożeniem wielu drgań harmonicznych.
+Fale o innej długości szybko ulegną wygaszeniu. Kolejne długości fali stojącej w strunie o długości <math>l\</math>, wynoszą: <math>\lambda_n=\frac{2l}{n}</math> , a odpowiadające im częstotliwości: <math>\nu_n=\frac{v}{\lambda_n}=\frac{v}{2l}n</math> , gdzie <math>v\</math>, jest prędkością fazową fali zależną między innymi od naciągu struny. Częstotliwości te nazywamy częstotliwościami własnymi struny. Częstotliwość <math>\nu_1=\frac{v}{2l}</math>  to częstotliwość podstawowa, zwana też pierwszą harmoniczną, a wszystkie inne częstotliwości własne są jej wielokrotnością. Na rysunku pokazane są drgania harmoniczne struny dla n = 1, 2 i 3. W ogólnym przypadku drgania struny są złożeniem wielu drgań harmonicznych.
 |}
@@ Linia 398: / Linia 398: @@
 = Podsumowanie =
-Pod wpływem siły harmonicznej <math>F = -kx</math>  ciało porusza się ruchem harmonicznym, w którym wychylenie ciała z położenia równowagi zależy sinusoidalnie od czasu: <math>x(t)=A cos(\omega \cdot t +\varphi)</math> , gdzie <math>\omega=\frac{2\pi}{T}=\sqrt{\frac{k}{m}}</math> . Energia całkowita drgań, będąca sumą energii kinetycznej i potencjalnej, jest zachowana. Jeśli drgania są tłumione przez siłę oporu, amplituda drgań <math>A\,</math> maleje wykładniczo z czasem, a okres drgań jest dłuższy niż dla drgań swobodnych. Jeśli ruch harmoniczny odbywa się pod wpływem siły wymuszającej: <math>F=F_0 cos(\omega_w t)</math> , to częstość drgań jest równa częstości siły wymuszającej <math>\omega_w\,</math>. Amplituda drgań zależna jest wtedy od różnicy kwadratów częstości własnej i częstości siły wymuszającej: <math>({\omega^2}_w-\omega^2)</math> , a dla częstości siły wymuszającej <math>\omega_w=\sqrt{\omega^2-2\beta^2}</math> , gdzie <math>\beta\,</math> to współczynnik tłumienia, amplituda jest największa, czyli występuje rezonans.
+Pod wpływem siły harmonicznej <math>F = -kx</math>  ciało porusza się ruchem harmonicznym, w którym wychylenie ciała z położenia równowagi zależy sinusoidalnie od czasu: <math>x(t)=A cos(\omega \cdot t +\varphi)</math> , gdzie <math>\omega=\frac{2\pi}{T}=\sqrt{\frac{k}{m}}</math> . Energia całkowita drgań, będąca sumą energii kinetycznej i potencjalnej, jest zachowana. Jeśli drgania są tłumione przez siłę oporu, amplituda drgań <math>A\</math>, maleje wykładniczo z czasem, a okres drgań jest dłuższy niż dla drgań swobodnych. Jeśli ruch harmoniczny odbywa się pod wpływem siły wymuszającej: <math>F=F_0 cos(\omega_w t)</math> , to częstość drgań jest równa częstości siły wymuszającej <math>\omega_w\</math>,. Amplituda drgań zależna jest wtedy od różnicy kwadratów częstości własnej i częstości siły wymuszającej: <math>({\omega^2}_w-\omega^2)</math> , a dla częstości siły wymuszającej <math>\omega_w=\sqrt{\omega^2-2\beta^2}</math> , gdzie <math>\beta\</math>, to współczynnik tłumienia, amplituda jest największa, czyli występuje rezonans.
 Jeśli ciało bierze udział w kilku ruchach harmonicznych, wychylenie wypadkowe jest sumą geometryczną składowych wychyleń. W szczególności, wynikiem złożenia dwóch równoległych drgań harmonicznych o niewielkiej różnicy częstości jest dudnienie, czyli drganie, w którym amplituda wolno oscyluje od zera do wartości maksymalnej. Złożenie drgań prostopadłych o równych częstościach daje ruch po prostej, elipsie lub okręgu w zależności od różnicy faz i relacji między amplitudami drgań składowych. Jeśli częstości prostopadłych drgań składowych są różne, to punkt zakreśla skomplikowane krzywe zwane krzywymi Lissajou.
@@ Linia 404: / Linia 404: @@
 Fala to rozchodzenie się w ośrodku drgań cząsteczek. Rozróżniamy fale poprzeczne, w których drgania cząstek ośrodka są prostopadłe do kierunku rozchodzenia się fali i fale podłużne, gdzie cząstki drgają w kierunku równoległym do kierunku rozchodzenia się fali.
-Wychylenie <math>\xi\,</math> z położenia równowagi cząstek biorących udział w ruchu falowym, opisuje wzór: <math>\xi(x, t)=a cos \left(\omega t -kx+\varphi \right)</math> , gdzie <math>k=\frac{2\pi}{\lambda}</math>  jest liczbą falową, <math>\omega=\frac{2\pi}{T}</math>  częstością, a <math>\varphi\,</math> - fazą początkową. Funkcja <math>\xi(x, t)=a cos \left(\omega t -kx+\varphi \right)</math> jest rozwiązaniem równania falowego:
+Wychylenie <math>\xi\</math>, z położenia równowagi cząstek biorących udział w ruchu falowym, opisuje wzór: <math>\xi(x, t)=a cos \left(\omega t -kx+\varphi \right)</math> , gdzie <math>k=\frac{2\pi}{\lambda}</math>  jest liczbą falową, <math>\omega=\frac{2\pi}{T}</math>  częstością, a <math>\varphi\</math>, - fazą początkową. Funkcja <math>\xi(x, t)=a cos \left(\omega t -kx+\varphi \right)</math> jest rozwiązaniem równania falowego:
 : <math>\frac{\partial^2\xi}{\partial x^2}=\frac{1}{v^2}\frac{\partial^2 \xi}{\partial t^2}</math>
-Jeśli nałożą się fale o jednakowej częstości biegnące w przeciwne strony, to powstaje fala stojąca: <math>\xi=2acos(kx)cos(\omega t)</math> , w której wszystkie cząstki drgają ze stałą częstością <math>\omega\,</math>, ale amplituda tych zmian <math>2acos(kx)\,</math>  zależna jest od samego położenia punktu <math>x\,</math>. Punkty, gdzie amplituda drgań jest maksymalna to strzałki fali stojącej. Węzłami nazywamy punkty, które pozostają w spoczynku (amplituda równa zeru). Odległość między kolejnymi węzłami (i strzałkami) wynosi <math>\lambda/2\,</math>.
+Jeśli nałożą się fale o jednakowej częstości biegnące w przeciwne strony, to powstaje fala stojąca: <math>\xi=2acos(kx)cos(\omega t)</math> , w której wszystkie cząstki drgają ze stałą częstością <math>\omega\</math>,, ale amplituda tych zmian <math>2acos(kx)\</math>,  zależna jest od samego położenia punktu <math>x\</math>,. Punkty, gdzie amplituda drgań jest maksymalna to strzałki fali stojącej. Węzłami nazywamy punkty, które pozostają w spoczynku (amplituda równa zeru). Odległość między kolejnymi węzłami (i strzałkami) wynosi <math>\lambda/2\</math>,.
 ----
@@ Linia 444: / Linia 444: @@
 '''Zadanie 2'''
-Na powierzchni wody pływa drewniany sześcian o krawędzi <math>a\,</math>. Gdy wepchnięto go głębiej i puszczono, sześcian zaczął wykonywać drgania w górę i w dół. Wykazać, że są to drgania harmoniczne i obliczyć okres drgań, jeśli gęstość wody wynosi <math>\rho_1\,</math>, gęstość sześcianu <math>\rho_1\,</math>, przyspieszenie ziemskie <math>g\,</math>.
+Na powierzchni wody pływa drewniany sześcian o krawędzi <math>a\</math>,. Gdy wepchnięto go głębiej i puszczono, sześcian zaczął wykonywać drgania w górę i w dół. Wykazać, że są to drgania harmoniczne i obliczyć okres drgań, jeśli gęstość wody wynosi <math>\rho_1\</math>,, gęstość sześcianu <math>\rho_1\</math>,, przyspieszenie ziemskie <math>g\</math>,.
@@ Linia 451: / Linia 451: @@
 Ruch sześcianu odbywa się pod wpływem siły ciężkości i siły wyporu. Jeśli wykażemy, że siła wypadkowa jest wprost proporcjonalna do wychylenia z położenia równowagi i przeciwnie skierowana, to udowodnimy, że ruch jest harmoniczny.
-W położeniu równowagi (1) siły wyporu i ciężkości równoważą się. Kiedy wepchniemy sześcian o x głębiej, do położenia (2), na część zakreskowaną sześcianu działa dodatkowa, niezrównoważona siła wyporu skierowana do góry: <math>F=-xa^2\cdot \rho_2 \cdot g</math> . Jeśli sześcian przesunie się z położenia równowagi w górę o <math>x\,</math> (położenie (3)), siła wyporu zmniejszy o wartość <math>\Delta F=xa^2\cdot \rho_2 \cdot g</math> , więc siła wypadkowa będzie działać w dół, a jej wartość będzie równa <math>F=-\Delta F=-xa^2\cdot \rho_2 \cdot g</math>
+W położeniu równowagi (1) siły wyporu i ciężkości równoważą się. Kiedy wepchniemy sześcian o x głębiej, do położenia (2), na część zakreskowaną sześcianu działa dodatkowa, niezrównoważona siła wyporu skierowana do góry: <math>F=-xa^2\cdot \rho_2 \cdot g</math> . Jeśli sześcian przesunie się z położenia równowagi w górę o <math>x\</math>, (położenie (3)), siła wyporu zmniejszy o wartość <math>\Delta F=xa^2\cdot \rho_2 \cdot g</math> , więc siła wypadkowa będzie działać w dół, a jej wartość będzie równa <math>F=-\Delta F=-xa^2\cdot \rho_2 \cdot g</math>
-Widzimy, że siła jest zawsze wprost proporcjonalna do wychylenia <math>x\,</math> i przeciwnie skierowana. Jest to więc ruch harmoniczny o współczynniku <math>k=a^2\cdot \rho_2 \cdot g</math> . Okres obliczamy ze wzoru: <math>T=2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}</math>, gdzie <math>m=a^3\cdot \rho_1</math>
+Widzimy, że siła jest zawsze wprost proporcjonalna do wychylenia <math>x\</math>, i przeciwnie skierowana. Jest to więc ruch harmoniczny o współczynniku <math>k=a^2\cdot \rho_2 \cdot g</math> . Okres obliczamy ze wzoru: <math>T=2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}</math>, gdzie <math>m=a^3\cdot \rho_1</math>
 Okres wynosi: <math>T=\frac{2\pi}{\omega}=2\pi\sqrt{\frac{\rho_1 a}{\rho_2 g}}</math>
@@ Linia 481: / Linia 481: @@
 c) Amplituda wynosi  <math>A=\frac{v_0}{\omega}=\frac{2ms^{-1}}{0,9s^{-1}}=2,22m</math>
-d) Energia kinetyczna wyraża się wzorem: <math>E_k=\frac{mv^2}{2}=\frac{m{v^2}_0 cos^2 (\omega t)}{2}</math> . Największą wartość będzie miała, gdy <math>cos^2(\omega t)\,</math> , czyli na przykład w chwili t = 0.
+d) Energia kinetyczna wyraża się wzorem: <math>E_k=\frac{mv^2}{2}=\frac{m{v^2}_0 cos^2 (\omega t)}{2}</math> . Największą wartość będzie miała, gdy <math>cos^2(\omega t)\</math>, , czyli na przykład w chwili t = 0.
 : <math>E_{kmax}=\frac{m{v^2}_0}{2}=\frac{0,1kg \cdot 4m^2 s^{-2}}{2}=2J</math>
@@ Linia 493: / Linia 493: @@
 '''Zadanie 4'''
-W rurce o przekroju <math>S\,</math> zgiętej w kształcie litery U znajduje się słup wody o całkowitej długości <math>l\,</math>, przy czym w chwili początkowej poziom wody w jednym ramieniu rurki jest wyższy niż w drugim. Jaki będzie okres drgań słupa wody? Pominąć siły lepkości.
+W rurce o przekroju <math>S\</math>, zgiętej w kształcie litery U znajduje się słup wody o całkowitej długości <math>l\</math>,, przy czym w chwili początkowej poziom wody w jednym ramieniu rurki jest wyższy niż w drugim. Jaki będzie okres drgań słupa wody? Pominąć siły lepkości.
 <div class="mw-collapsible mw-made=collapsible mw-collapsed"><span class="mw-collapsible-toogle mw-collapsible-toogle-default style="font-variant:small-caps">Rozwiązanie </span><div class="mw-collapsible-content" style="display:none">
-Załóżmy, że gęstość wody wynosi <math>\rho\,</math>. Zatem masa słupa wody o długości <math>l\,</math>,  i przekroju <math>S\,</math> wynosi: <math>m=\rho l S</math> . Zastanówmy się, jaka siła działa na słup wody.
+Załóżmy, że gęstość wody wynosi <math>\rho\</math>,. Zatem masa słupa wody o długości <math>l\</math>,,  i przekroju <math>S\</math>, wynosi: <math>m=\rho l S</math> . Zastanówmy się, jaka siła działa na słup wody.
 :        [[Grafika:PF_M5_Rys2.png]]
-Oznaczmy przez <math>x\,</math> wychylenie słupa wody z położenia równowagi w jednym z ramion. Oczywiście niezrównoważony słup wody ma wysokość <math>2x\,</math>, bo jeśli w jednym ramieniu poziom wody podniósł się o <math>x\,</math>, to w drugim opadł o <math>x\,</math>. Ciężar niezrównoważonego słupa wody wynosi: <math>F(x)=-2xS\rho g</math> . Znak minus oznacza, że siła jest skierowana przeciwnie do wychylenia <math>x\,</math>, czyli w dół. Wartość siły jest wprost proporcjonalna do wychylenia ze współczynnikiem proporcjonalności <math>k=2S\rho g</math> , a więc ruch cieczy w rurce jest ruchem harmonicznym. Częstość drgań wyraża się wzorem: <math>\omega=\sqrt{\frac{k}{m}}</math> , a więc okres drgań:
+Oznaczmy przez <math>x\</math>, wychylenie słupa wody z położenia równowagi w jednym z ramion. Oczywiście niezrównoważony słup wody ma wysokość <math>2x\</math>,, bo jeśli w jednym ramieniu poziom wody podniósł się o <math>x\</math>,, to w drugim opadł o <math>x\</math>,. Ciężar niezrównoważonego słupa wody wynosi: <math>F(x)=-2xS\rho g</math> . Znak minus oznacza, że siła jest skierowana przeciwnie do wychylenia <math>x\</math>,, czyli w dół. Wartość siły jest wprost proporcjonalna do wychylenia ze współczynnikiem proporcjonalności <math>k=2S\rho g</math> , a więc ruch cieczy w rurce jest ruchem harmonicznym. Częstość drgań wyraża się wzorem: <math>\omega=\sqrt{\frac{k}{m}}</math> , a więc okres drgań:
 : <math>T=\frac{2\pi}{\omega}=2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}=2\pi\sqrt{\frac{\rho lS}{2S\rho g}}=2\pi \sqrt{\frac{l}{g}}</math>