Analiza matematyczna 2/Test 3: Norma. Iloczyn skalarny

$\Vert x{\Vert }_1=17$ dla

$x=(-4,5,-8)$ Dobrze

$x=(-1,1,17)$ Źle

$x=(-4,0,1)$ Źle

W ${\mathbb{ℝ}}^2$ ze standardowym iloczynem skalarnym wektory $x=(3,5)$ i $y=(-1,a)$ są prostopadłe dla

$a=-\frac{3}{5}$ Źle

$a=\frac{3}{5}$ Dobrze

$a=\frac{5}{3}$ Źle

W ${\mathbb{ℝ}}^3$ ze standardowym iloczynem skalarnym wektory $x=(-1,2,3)$ i $y=(1,a,b)$ są prostopadłe dla

$a=2,b=-1$ Dobrze

$a=5,b=-3$ Dobrze

$a=-1,b=1$ Dobrze

W ${\mathbb{ℝ}}^2$ definiujemy $((x_1,x_2)|(y_1,y_2))=a{x}_1{y}_1+x_2{y}_2.$ Jest to iloczyn skalarny dla

$a=0$ Źle

$a=5$ Dobrze

$a=-5$ Źle

W przestrzeni euklidesowej ${\mathbb{ℝ}}^2$ odległość wektorów $x=(-1,2)$ i $y=(3,1)$ wynosi

$\sqrt{17}$ Dobrze

$\sqrt{5}+\sqrt{10}$ Źle

$\sqrt{15}$ Źle

W przestrzeni unitarnej $X$ dane są dwa wektory $x$ i $y.$ Jeśli $x\perp y,$ to

$\Vert x-y\Vert =\Vert x{\Vert }^2-\Vert y{\Vert }^2$ Źle

$\Vert x-y{\Vert }^3=\Vert x+y{\Vert }^3$ Dobrze

$\Vert x-y{\Vert }^2=\Vert x{\Vert }^2+\Vert y{\Vert }^2$ Dobrze

Jeśli $\{x_n\}$ i $\{y_n\}$ są dwoma ciągami zbieżnymi w przestrzeni unitarnej $(X,(\cdot |\cdot )),$ to

Ciągi $\{\Vert x_n\Vert \}$ i $\{\Vert y_n\Vert \}$ są zbieżne w $\mathbb{ℝ}.$ Dobrze

Ciąg $\{(x_n|y_n)\}$ jest zbieżny w $\mathbb{ℝ}$ Dobrze

Ciąg $\{\Vert x_n-y_n\Vert \}$ jest zbieżny w $\mathbb{ℝ}$ Dobrze

W przestrzeni unormowanej $(X,\Vert \cdot \Vert )$ prawdziwe są nierówności

$\Vert x-y\Vert \ge \Vert x\Vert -\Vert y\Vert$ Dobrze

$\Vert x-y\Vert \ge \Vert y\Vert -\Vert x\Vert$ Dobrze

$\Vert x-y\Vert \ge -\Vert x\Vert -\Vert y\Vert$ Dobrze

Dla funkcji $f:[0,1]⟶\mathbb{ℝ}$ danej wzorem $f(x)=\sqrt{\pi }(x^2-x)$ norma supremowa $\Vert f{\Vert }_{\mathrm{\infty }}$ wynosi

$\sqrt{\pi }$ Źle

$\frac{1}{4}\sqrt{\pi }$ Dobrze

$-\frac{1}{4}\sqrt{\pi }$ Źle