|
|
| Linia 1: |
Linia 1: |
| {section}{0}
| |
| {../JS/AM1wM01wstep}
| |
| {../JS/AM1wM02fcjeelemnt}
| |
| {AM1wM03_ciagiRN}
| |
| {AM1wM04_ciagiR}
| |
| {AM1wM05_obliczaniegranic}
| |
| {AM1wM06_szeregi1}
| |
| {AM1wM07_szeregi2}
| |
| {AM1wM08_ciaglosc}
| |
| {../JS/AM1wM09pochodna}
| |
| {../JS/AM1wM10taylor}
| |
| {../JS/AM1wM11hospital}
| |
| {../JS/AM1wM12badaniefkcji}
| |
| {AM1wM13_calkanieoznaczona}
| |
| {AM1wM14_riemannajednej}
| |
| {AM1wM15_krzywe}
| |
|
| |
|
| ==Odległość i ciągi w <math>\displaystyle\rr^N</math>==
| |
|
| |
| Na tym wykładzie dowiadujemy sie w jaki sposób można mierzyć
| |
| odległość w <math>\displaystyle\rr^N</math>.
| |
| Wprowadzamy pojęcie odległości (metryki) w <math>\rr^N</math>
| |
| oraz zdefiniujemy kule dla różnych metryk.
| |
|
| |
| Definiujemy ciągi o wyrazach wektorowych, pojecie granicy ciągu.
| |
| Podajemy własności granic oraz wprowadzamy pojęcie ciągu
| |
| Cauchy'ego.
| |
|
| |
| ===Odległość w <math>\displaystyle\rr^N</math>===
| |
|
| |
| W szkole spotkaliśmy się już z pojęciem odległości na przykład
| |
| liczb na osi rzeczywistej
| |
| lub punktów na płaszczyźnie <math>\displaystyle\rr^2</math>
| |
| (odległość euklidesowa).
| |
|
| |
| Okazuje się, że odległość można mierzyć na wiele różnych
| |
| sposobów.
| |
| Umówiono się, że funkcja przyporządkowująca parze
| |
| punktów zbioru
| |
| liczbę, którą nazwiemy ich odległością,
| |
| musi spełniać kilka warunków.
| |
| Tę funkcję będziemy nazywać metryką, a
| |
| warunki precyzuje poniższa definicja.
| |
|
| |
| {Metryką} w <math>\rr^N</math> nazywamy dowolną
| |
| funkcję
| |
| <math>d\colon \rr^N\times \rr^N\lra\rr_+=[0,+\infty)</math>
| |
| spełniającą następujące warunki:<br>
| |
| '''(i)'''
| |
| <math>\displaystyle\forall x\in \rr^N:\ d(x,y)=0\ \Llra\ x=y</math>;<br>
| |
| '''(ii)'''
| |
| <math>\displaystyle\forall x,y\in \rr^N:\ d(x,y)=d(y,x)</math>
| |
| (symetria);<br>
| |
| '''(iii)'''
| |
| <math>\displaystyle\forall x,y,z\in \rr^N:\
| |
| d(x,y)+d(y,z)\ge d(x,z)</math>
| |
| (warunek trójkąta).<br>
| |
| Dla dowolnych <math>x,y\in \rr^N,</math>
| |
| liczbę <math>d(x,y)</math> nazywamy
| |
| {odległością}
| |
| punktów <math>x</math> i <math>y</math>
| |
| oraz mówimy, że punkty <math>x</math> i <math>y</math> są
| |
| {oddalone} od siebie o <math>d(x,y).</math><br>
| |
| {{red}[[Rysunek AM1.M03.W.R01 (stary numer AM1.3.1)]]}
| |
|
| |
| Zwróćmy uwagę, że warunki w powyższej definicji są dość
| |
| naturalnymi warunkami jakie powinna spełniać odległość.
| |
| Mówią one, że odległość dwóch punktów wynosi zero, gdy punkty się
| |
| pokrywają.
| |
| Odległość od punktu <math>A</math> do punktu <math>B</math> jest równa odległości od
| |
| punktu <math>B</math> do punktu <math>A.</math>
| |
| Trzeci warunek mówi, że odległość od <math>A</math> do <math>B</math> nie może być
| |
| większa, od sumy odległości od <math>A</math> do <math>C</math> i od <math>C</math> do <math>B,</math>
| |
| co także jest naturalnym żądaniem.
| |
|
| |
| Jeśli potrafimy już mierzyć odległość, to możemy zdefiniować
| |
| kulę o promieniu <math>r,</math> czyli zbiór punktów, których odległość od
| |
| wybranego punktu (zwanego środkiem) jest mniejsza niż <math>r.</math>
| |
|
| |
| Niech
| |
| <math>x_0\in \rr^N</math> oraz <math>r\ge 0.</math><br>
| |
| {Kulą} o środku w punkcie <math>x_0</math> i promieniu <math>r</math>
| |
| nazywamy zbiór:
| |
|
| |
| <center><math>
| |
|
| |
| K(x_0,r)
| |
| \sr
| |
| \big\{x\in \rr^N:\
| |
| d(x_0,x)<r\big\}.
| |
| </math></center>
| |
|
| |
| {Kulą domkniętą} o środku w punkcie <math>x_0</math> i promieniu <math>r</math>
| |
| nazywamy zbiór:
| |
|
| |
| <center><math>
| |
|
| |
| \ol{K}(x_0,r)
| |
| \sr
| |
| \big\{x\in \rr^N:\
| |
| d(x_0,x)\le r\big\}.
| |
| </math></center>
| |
|
| |
| Z powyższej definicji wynika, iż kulą o środku <math>x_0</math> i promieniu
| |
| <math>r\ge 0</math> nazywamy zbiór punktów przestrzeni <math>\rr^N,</math> których odległość
| |
| od środka <math>x_0</math> jest mniejsza od <math>r.</math>
| |
| Analogicznie kulą domkniętą o środku <math>x_0</math> i promieniu
| |
| <math>r\ge 0</math> nazywamy zbiór punktów przestrzeni <math>\rr^N,</math> których odległość
| |
| od środka <math>x_0</math> nie jest większa od <math>r.</math>
| |
|
| |
| Zanim przejdziemy do przykładów przestrzeni metrycznych oraz
| |
| kul,
| |
| podamy pewne własności kul.
| |
|
| |
| '''(Własności kul)'''<br>
| |
| Niech <math>x_0\in \rr^N.</math><br>
| |
| '''(1)'''
| |
| Jeśli <math>r>0,</math> to <math>x_0\in K(x_0,r).</math><br>
| |
| '''(2)'''
| |
| Jeśli <math>r=0,</math> to <math>K(x_0,r)=\emptyset.</math><br>
| |
| '''(3)'''
| |
| Jeśli <math>r_1<r_2,</math> to <math>K(x_0,r_1)\subseteq K(x_0,r_2).</math>
| |
|
| |
| Powyższa uwaga
| |
| (wynikająca w oczywisty sposób z definicji kuli) mówi, że:<br>
| |
| (1) środek zawsze należy do kuli (o ile promień jest dodatni);<br>
| |
| (2) kula jest zbiorem niepustym wtedy i tylko wtedy, gdy promień
| |
| jest dodatni;<br>
| |
| (3) jeśli dwie kule mają ten sam środek, to kula o mniejszym
| |
| promieniu zawiera się w kuli o większym promieniu.
| |
|
| |
| Podamy teraz przykłady metryk w <math>\displaystyle\rr^N</math> oraz
| |
| powiemy jak wyglądają kule w tych
| |
| metrykach.
| |
|
| |
| Pierwszy przykład wprowadza naturalną metrykę w <math>\displaystyle\rr.</math>
| |
| Z tym sposobem mierzenia odległości między punktami prostej
| |
| spotkaliśmy się już w szkole.
| |
|
| |
| '''(Metryka euklidesowa na prostej)'''<br>
| |
| Niech <math>N=1</math>.
| |
| Definiujemy
| |
|
| |
| <center><math>
| |
|
| |
| d_2(x,y)
| |
| \sr
| |
| |x-y|
| |
| \quad\textrm{dla}\ x,y\in\rr.
| |
| </math></center>
| |
|
| |
| Funkcję <math>d_2</math> nazywamy
| |
| {metryką euklidesową} w <math>\displaystyle\rr.</math><br>
| |
| Kule są przedziałami otwartymi i ograniczonymi w <math>\displaystyle\rr,</math>
| |
| a kule domknięte są przedziałami domkniętymi
| |
| i ograniczonymi w <math>\displaystyle\rr.</math><br>
| |
| {{red}[[Rysunek AM1.M03.W.R02 (stary numer AM1.3.3)]]}
| |
|
| |
| Zauważmy, że już w powyższym przykładzie kula nie przypomina
| |
| tego co potocznie uważa się za kulę.
| |
| Za chwilę zobaczymy, że
| |
| (w zależności od sposobu mierzenia odległości)
| |
| kula na płaszczyźnie może wyglądać inaczej niż by to wynikało z
| |
| naszych przyzwyczajeń.
| |
|
| |
| Trzy kolejne przykłady podają naturalne metryki jakie można
| |
| wprowadzić w <math>\displaystyle\rr^N.</math>
| |
|
| |
| '''(Metryka maksimowa)'''<br>
| |
| Niech
| |
|
| |
| <center><math>
| |
|
| |
| d_{\infty}(x,y)
| |
| \sr
| |
| \max_{i=1,\ldots, N}|x_i-y_i|
| |
| \quad\textrm{dla}\ x,y\in\rr^N,
| |
| </math></center>
| |
|
| |
| gdzie <math>x=(x_1,\ldots,x_N)</math> oraz <math>y=(y_1,\ldots,y_N).</math><br>
| |
| {{red}[[Rysunek AM1.M03.W.R03 (stary numer AM1.3.4)]]}<br>
| |
| {{red}[[Rysunek AM1.M03.W.R04 (stary numer AM1.3.5)]]}<br>
| |
| Tak zdefiniowana funkcja <math>d_{\infty}</math> jest metryką
| |
| (dowód tego faktu pozostawiony jest na ćwiczenia;
| |
| patrz Zadanie [[##z.new.am1.c.03.010|Uzupelnic z.new.am1.c.03.010|]]).
| |
| Nazywamy ją
| |
| {metryka maksimową} w <math>\displaystyle\rr^N.</math>
| |
|
| |
| Poniższe rysunki przedstawiają kule w metryce maksimowej.<br>
| |
| {{red}[[Rysunek AM1.M03.W.R05 (stary numer AM1.3.6)]]}<br>
| |
| {{red}[[Rysunek AM1.M03.W.R06 (stary numer AM1.3.7)]]}
| |
|
| |
| '''(Metryka taksówkowa)'''<br>
| |
| Definiujemy
| |
|
| |
| <center><math>
| |
|
| |
| d_1(x,y)
| |
| \sr
| |
| \sum_{i=1}^{N}|x_i-y_i|
| |
| \quad\textrm{dla}\ x,y\in\rr^N.
| |
| </math></center>
| |
|
| |
| {{red}[[Rysunek AM1.M03.W.R07 (stary numer AM1.3.8)]]}<br>
| |
| {{red}[[Rysunek AM1.M03.W.R08 (stary numer AM1.3.9)]]}<br>
| |
| Tak zdefiniowana funkcja <math>\displaystyle (\rr^N,d_1)</math> jest metryką
| |
| (dowód tego faktu pozostawiony jest na ćwiczenia;
| |
| patrz Zadanie [[##z.new.am1.c.03.010|Uzupelnic z.new.am1.c.03.010|]]).
| |
| Nazywamy
| |
| {metryka taksówkową} w <math>\displaystyle\rr^N.</math>
| |
|
| |
| Poniższe rysunki przedstawiają kule w metryce taksówkowej.<br>
| |
| {{red}[[Rysunek AM1.M03.W.R09 (stary numer AM1.3.10)]]}<br>
| |
| {{red}[[Rysunek AM1.M03.W.R10 (stary numer AM1.3.11)]]}
| |
|
| |
| Metryka taksówkowa jest naturalną metryką w niektórych miastach
| |
| (patrz mapa poniżej).
| |
| Jeśli mieszkamy w Turynie przy Corso Vittorio Emanuele II, a nasz przyjaciel
| |
| przy
| |
| Corso Galileo Ferraris, to odległość jaką musimy przejechać
| |
| taksówką by go odwiedzić, to będzie długość drogi od naszego domu
| |
| do skrzyżowania obu ulic (czyli wartość bezwzględna różnicy
| |
| współrzędnych na jednej osi) oraz długość drogi od skrzyżowania
| |
| do domu przyjaciela (czyli wartość bezwzględna różnicy
| |
| współrzędnych na drugiej osi).<br>
| |
| {{red}[[Rysunek AM1.M03.W.R11 (nowy: plan Turynu)]]}
| |
|
| |
| '''(Metryka euklidesowa)'''<br>
| |
| Zdefiniujmy
| |
|
| |
| <center><math>
| |
|
| |
| d_2(x,y)
| |
| \sr
| |
| \sqrt{\sum_{i=1}^N\left(x_i-y_i\right)^2}
| |
| \quad\textrm{dla}\ x,y\in\rr^N.
| |
| </math></center>
| |
|
| |
| {{red}[[Rysunek AM1.M03.W.R12 (stary numer AM1.3.12)]]}<br>
| |
| {{red}[[Rysunek AM1.M03.W.R13 (stary numer AM1.3.13)]]}
| |
| Tak zdefiniowana funkcja <math>d_2</math> jest metryką.
| |
| Nazywamy ją
| |
| {metryką euklidesową} w <math>\displaystyle\rr^N.</math>
| |
| Ten sposób mierzenia odległości między punktami
| |
| <math>\displaystyle\rr^2</math> lub <math>\displaystyle\rr^3</math> jest nam znany ze szkoły.
| |
|
| |
| Poniższe rysunki przedstawiają kule w metryce euklidesowej.<br>
| |
| {{red}[[Rysunek AM1.M03.W.R14 (stary numer AM1.3.14)]]}<br>
| |
| {{red}[[Rysunek AM1.M03.W.R15 (stary numer AM1.3.15)]]}
| |
|
| |
| Wykażemy teraz, że <math>d_2</math> spełnia warunki definicji metryki.
| |
| Dowód dwóch pierwszych warunków
| |
| zostawiamy jako proste ćwiczenie.
| |
| W dowodzie nierówności trójkąta dla metryki <math>d_2</math> wykorzystamy
| |
| następującą nierówność Cauchy'ego.
| |
|
| |
| '''(Nierówność Cauchy'ego)'''<br>
| |
|
| |
| <center><math>
| |
|
| |
| \forall a,b\in\rr^N:\
| |
| \bigg(\sumijN a_ib_i\bigg)^2
| |
| \ \le\
| |
| \bigg(\sumijN a_i^2\bigg)
| |
| \bigg(\sumijN b_i^2\bigg)
| |
| </math></center>
| |
|
| |
| Ustalmy dowolne <math>a,b\in\rr^N</math>.
| |
| Rozważmy następujący trójmian kwadratowy zmiennej
| |
| <math>\displaystyle\lambda</math>:
| |
|
| |
| <center><math>
| |
|
| |
| w(\lambda)
| |
| \ =\
| |
| \bigg(\sumijN a_i^2\bigg)\lambda^2
| |
| +2 \bigg(\sumijN a_i b_i\bigg)\lambda
| |
| +\bigg(\sumijN b_i^2\bigg).
| |
| </math></center>
| |
|
| |
| Grupując składniki w powyższym wielomianie dostajemy
| |
|
| |
| <center><math>
| |
|
| |
| w(\lambda)
| |
| \ =\
| |
| \sumijN
| |
| \bigg[a_i^2\lambda^2+2 a_i b_i\lambda+b_i^2\bigg]
| |
| \ =\
| |
| \sumijN(a_i\lambda+b_i)^2,
| |
| </math></center>
| |
|
| |
| a zatem <math>w(\lambda)\ge 0</math> dla dowolnego <math>\displaystyle\lambda\in\rr.</math>
| |
| Skoro trójmian kwadratowy jest stale nieujemny,
| |
| to jego wyróżnik <math>\displaystyle\Delta</math> jest niedodatni, czyli
| |
|
| |
| <center><math>
| |
|
| |
| 0
| |
| \ \ge\
| |
| \Delta
| |
| \ =\
| |
| 4\bigg(\sumijN a_ib_i\bigg)^2
| |
| -4\bigg(\sumijN a_i^2\bigg)\bigg(\sumijN b_i^2\bigg),
| |
| </math></center>
| |
|
| |
| skąd dostajemy
| |
|
| |
| <center><math>
| |
|
| |
| \bigg(\sumijN a_ib_i\bigg)^2
| |
| \ \le\
| |
| \bigg(\sumijN a_i^2\bigg)
| |
| \bigg(\sumijN b_i^2\bigg),
| |
| </math></center>
| |
|
| |
| co należało dowieść.
| |
|
| |
| Możemy teraz przystąpić do dowodu nierówności trójkąta dla <math>d_2.</math>
| |
|
| |
| '''(Nierówność trójkąta dla <math>d_2</math>)'''<br>
| |
|
| |
| <center><math>
| |
|
| |
| \forall x,y,z\in\rr^N:\
| |
| d_2(x,z)
| |
| \ \le\
| |
| d_2(x,y)+d_2(y,z).
| |
| </math></center>
| |
|
| |
| Ustalmy dowolne <math>x,y,z\in\rr^N.</math> Liczymy
| |
|
| |
| <center><math>
| |
|
| |
| \big(d_2(x,z)\big)^2
| |
| \ =\
| |
| \sumijN (x_i-z_i)^2
| |
| \ =\
| |
| \sumijN (x_i-y_i+y_i-z_i)^2
| |
| \ =\
| |
| \sumijN (x_i-y_i)^2
| |
| +2\sumijN (x_i-y_i)(y_i-z_i)
| |
| +\sumijN (y_i-z_i)^2.
| |
| </math></center>
| |
|
| |
| Korzystając z nierówności Cauchy'ego
| |
| (patrz Lemat [[##l.new.am1.w.03.080|Uzupelnic l.new.am1.w.03.080|]]), mamy
| |
|
| |
| <center><math>\aligned\graph
| |
| \big(d_2(x,z)\big)^2
| |
| & \le &
| |
| \sumijN (x_i-y_i)^2
| |
| +2\sqrt{\sumijN (x_i-y_i)^2\sumijN (y_i-z_i)^2}
| |
| +\sumijN (y_i-z_i)^2\\
| |
| & = &
| |
| \bigg[
| |
| \sqrt{\sumijN|x_i-y_i|^2}
| |
| +\sqrt{\sumijN|y_i-z_i|^2}
| |
| \bigg]^2
| |
| \ =\
| |
| \big(d_2(x,y)+d_2(y,z)\big)^2.
| |
|
| |
| \endaligned</math></center>
| |
|
| |
| Zatem pokazaliśmy, że
| |
| <math>d_2(x,z)\le d_2(x,y)+d_2(y,z).</math>
| |
|
| |
| Zauważmy, że w przypadku <math>N=1</math> metryki
| |
| euklidesowa, taksówkowa i maksimowa pokrywają się,
| |
| to znaczy <math>d_2=d_1=d_{\infty}.</math>
| |
| Kulami w tych metrykach są przedziały otwarte.
| |
|
| |
| Zdefiniujemy teraz pewne pojęcia związane z
| |
| metrykami.
| |
|
| |
| Niech
| |
| <math>x_0\in \rr^N</math>, <math>A\subseteq \rr^N</math>
| |
| oraz ustalmy pewną metrykę <math>d</math> w <math>\rr^N</math>.<br>
| |
| '''(1)'''
| |
| Zbiór <math>U\subseteq\rr^N</math> nazywamy {otwartym}
| |
| (w metryce <math>d</math>), jeśli
| |
| każdy punkt tego zbioru zawiera się w tym zbiorze wraz z pewną kulą
| |
| o środku w tym punkcie
| |
| (i dodatnim promieniu), czyli
| |
|
| |
| <center><math>
| |
|
| |
| \forall x\in U\ \exists r>0:\
| |
| K(x,r)\subseteq U.
| |
| </math></center>
| |
|
| |
| {{red}[[Rysunek AM1.M03.W.R16 (stary numer AM1.3.21)]]}<br>
| |
| '''(1)'''
| |
| Mówimy, że punkt <math>x_0</math> jest
| |
| {punktem skupienia} zbioru <math>A\subseteq \rr^N,</math> jeśli
| |
| każda kula o środku w punkcie <math>x_0</math>
| |
| (i dodatnim promieniu) zawiera przynajmniej jeden punkt
| |
| zbioru <math>A</math> różny od <math>x_0.</math><br>
| |
| '''(2)'''
| |
| Mówimy, że punkt <math>x_0</math> jest
| |
| {punktem izolowanym} zbioru <math>A\subseteq \rr^N,</math> jeśli
| |
| <math>x_0\in A</math> oraz <math>x_0</math> nie jest punktem skupienia zbioru <math>A.</math><br>
| |
| '''(3)'''
| |
| Zbiór <math>F\subseteq \rr^N</math> nazywamy {domkniętym},
| |
| jeśli każdy punkt skupienia zbioru <math>A</math> należy do <math>A.</math><br>
| |
| '''(4)'''
| |
| Zbiór nazywamy {ograniczonym}, jeśli jest zawarty w pewnej
| |
| kuli.<br>
| |
| {{red}[[Rysunek AM1.M03.W.R17 (stary numer AM1.3.25)]]}<br>
| |
|
| |
| Zauważmy, że pojęcia występujące w powyższej definicji
| |
| (zbiór otwarty, domknięty, punkt skupienia,
| |
| punkt izolowany, zbiór ograniczony) są związane nie tylko
| |
| ze zbiorem <math>\rr^N</math>, ale także z wybraną w nim metryką
| |
| <math>d</math>. W definicji wszystkich tych pojęć używamy bowiem pojęcia
| |
| kuli.
| |
|
| |
| Rozważmy <math>\displaystyle\rr</math> z metryką euklidesową oraz
| |
| zbiór
| |
| <math>A=[0,1)\cup\{2\}\subseteq\rr.</math><br>
| |
| {{red}[[Rysunek AM1.M03.W.R18 (nowy)]]}<br>
| |
|
| |
| Punktami skupienia zbioru <math>A</math> są punkty przedziału
| |
| <math>\displaystyle [0,1].</math>
| |
|
| |
| Jedynym punktem izolowanym zbioru <math>A</math> jest <math>2.</math>
| |
|
| |
| A nie jest zbiorem domkniętym, bo
| |
| punkt <math>1</math> jest jego punktem skupienia, który do niego nie należy.
| |
|
| |
| Zbiór <math>A</math> jest ograniczony, gdyż na przykład
| |
| <math>A\subseteq K(0,3)=(-3,3).</math>
| |
|
| |
| '''(1)''' Przedziały otwarte w
| |
| przestrzeni euklidesowej <math>\displaystyle\rr</math> są zbiorami otwartymi.
| |
| Dla dowodu weźmy przedział
| |
| <math>\displaystyle (a,b)</math> (<math>a<b</math>) oraz dowolny <math>x\in (a,b).</math>
| |
| Niech <math>r=\min\{x-a,b-x\}.</math>
| |
| Wówczas
| |
| <math>K(x,r)=(x-r,x+r)\subseteq (a,b).</math><br>
| |
| {{red}[[Rysunek AM1.M03.W.R19 (nowy)]]}<br>
| |
| <br>
| |
| '''(2)''' Kule są zawsze zbiorami otwartymi,
| |
| a kule domknięte są zbiorami domkniętymi
| |
| (fakt ten udowodnimy na wykładzie z Analizy Matematycznej 2).
| |
|
| |
| W kolejnym twierdzeniu zebrano szereg własności zbiorów w
| |
| <math>\rr^N</math> z ustaloną metryką <math>d</math>
| |
| (twierdzenie pozostawiamy bez dowodu).
| |
| Poniżej podamy jedynie pewne
| |
| komentarze i wnioski wynikające z tego twierdzenia.
| |
|
| |
| '''(Zbiory związane z metryką)'''<br>
| |
|
| |
| <math>d</math> jest metryką w <math>\rr^N</math>,
| |
| <br>
| |
| '''(1)'''
| |
| Zbiór <math>U\subseteq\rr^N</math> jest otwarty, wtedy i tylko wtedy, gdy
| |
| <math>U^c</math> (dopełnienie zbioru <math>U</math>) jest zbiorem domkniętym.<br>
| |
| '''(2)'''
| |
| Kula domknięta jest zbiorem domkniętym.<br>
| |
| '''(3)''' Suma dowolnej ilości zbiorów otwartych jest
| |
| zbiorem otwartym.<br>
| |
| '''(4)''' Przecięcie (część wspólna) skończonej ilości
| |
| zbiorów otwartych jest zbiorem otwartym.<br>
| |
| '''(5)''' Przecięcie (część wspólna) dowolnej ilości
| |
| zbiorów domkniętych jest zbiorem domkniętym.<br>
| |
| '''(6)''' Suma skończonej ilości
| |
| zbiorów domkniętych jest zbiorem domkniętym.
| |
|
| |
| Rozważmy <math>\rr</math> z metryką euklidesową <math>d_2</math>.
| |
| Podamy przykładowe ilustracje powyższego twierdzenia.<br>
| |
| '''(1)'''
| |
| Zbiór <math>\displaystyle (-\infty,-1]\cup [1,+\infty)</math> jest zbiorem domkniętym
| |
| (jako uzupełnienie kuli <math>K(0,1)=(-1,1)</math>, która
| |
| jest zbiorem otwartym).<br>
| |
| <br>
| |
| '''(2)'''
| |
| Przedział <math>\displaystyle [-1,1]</math> jest zbiorem domkniętym,
| |
| gdyż jest to kula domknięta <math>\displaystyle\ol{K}(0,1)</math>.
| |
| Zatem jej uzupełnienie
| |
| <math>\displaystyle (-\infty,-1)\cup (1,+\infty)</math> jest zbiorem otwartym.<br>
| |
| <br>
| |
| '''(3)'''
| |
| Zbiory jednopunktowe są domknięte, gdyż są to kule
| |
| domknięte o promieniu <math>r=0</math>.<br>
| |
| <br>
| |
| '''(4)'''
| |
| Ponieważ przedziały <math>\displaystyle (n,n+1)</math> dla <math>n\in\zz</math> są otwarte,
| |
| więc ich suma (przeliczalna) jest także zbiorem otwartym.
| |
| Zauważmy, że uzupełnieniem tej sumy jest zbiór liczb
| |
| całkowitych
| |
| <math>\displaystyle\zz</math>. Zatem pokazaliśmy, że <math>\displaystyle\zz</math> jest zbiorem domkniętym.<br>
| |
| {{red}[[Rysunek AM1.M03.W.R20 (nowy)]]}<br>
| |
| <br>
| |
| <br>
| |
| '''(5)'''
| |
| Powyższe twierdzenie mówi, że przecięcie skończonej ilości
| |
| zbiorów otwartych jest zbiorem otwartym.
| |
| Okazuje się, że dla nieskończonej ilości zbiorów otwartych nie
| |
| musi być to prawdą.
| |
| Podobnie suma nieskończenie wielu zbiorów domkniętych nie musi
| |
| być zbiorem domkniętym
| |
| (patrz Zadania [[##z.new.am1.c.03.050|Uzupelnic z.new.am1.c.03.050|]]).<br>
| |
| <br>
| |
| '''(6)'''
| |
| Zbiory skończone są domknięte
| |
| (jako sumy skończonej ilości zbiorów domkniętych).
| |
|
| |
| ===Ciągi w <math>\displaystyle\rr^N</math>===
| |
|
| |
| W szkole średniej poznaliśmy ciągi o wyrazach
| |
| rzeczywistych (to znaczy funkcje <math>a\colon \nn\lra\rr</math>).
| |
|
| |
| W praktyce często spotykamy sie z ciągami o wyrazach innych niż
| |
| liczby rzeczywiste.
| |
| Na przykład, gdy mierzymy co sekundę prędkość i położenie w
| |
| przestrzeni (<math>\displaystyle\rr^3</math>) jakiegoś obiektu, dostajemy ciąg, który
| |
| każdemu <math>t\in\nn</math> przypisuje cztery wartości, czyli element z
| |
| <math>\displaystyle\rr^4.</math> Nasz ciąg możemy zatem zapisać
| |
| <math>a\colon \nn\ni t\lms (a_1(t),a_2(t),a_3(t),a_4(t))\in\rr^4,</math>
| |
| gdzie <math>a_1(t)\in\rr</math> jest prędkością w chwili <math>t,</math>
| |
| natomiast
| |
| <math>\displaystyle (a_2(t),a_3(t),a_4(t))\in\rr^3</math> określają położenie punktu w
| |
| przestrzeni.
| |
|
| |
| Naszym celem teraz jest wprowadzenie pojęcia ciągu i pojęcia
| |
| granicy tego ciągu. W matematyce te pojęcia można zdefiniować
| |
| dla dowolnie wybranej metryki (aby zdefiniować granicę
| |
| musimy móc mierzyć odległość). My jednak ograniczymy nasze
| |
| rozumowania do
| |
| przestrzeni <math>\displaystyle\rr^N</math> z metryką
| |
| euklidesową <math>d_2.</math>
| |
|
| |
| {Ciągiem} w <math>\displaystyle\rr^N</math> nazywamy dowolną
| |
| funkcję
| |
| <math>\displaystyle f\colon \nn\lra \rr^N.</math><br>
| |
| Ciąg ten oznaczamy
| |
|
| |
| <center><math>
| |
|
| |
| \{x_n\}_{n\in \nn}\subseteq \rr^N,\quad
| |
| \{x_n\}_{n=1}^{\infty}\subseteq \rr^N,\quad
| |
| \{x_n\}\subseteq \rr^N,\quad
| |
| \textrm{lub}\quad
| |
| x_1,x_2,\ldots,
| |
| </math></center>
| |
|
| |
| gdzie
| |
|
| |
| <center><math>
| |
|
| |
| f(n)
| |
| \ =\
| |
| x_n
| |
| \quad\textrm{dla}\ n\in\nn.
| |
| </math></center>
| |
|
| |
| {{red}[[Rysunek AM1.M03.W.R21 (stary numer AM1.4.1a)]]}<br>
| |
| {{red}[[Rysunek AM1.M03.W.R22 (stary numer AM1.4.1b)]]}
| |
|
| |
| Powiemy teraz co to znaczy, że punkt <math>g\in\rr^N</math> jest granicą
| |
| ciągu <math>\displaystyle\{x_n\}</math>.
| |
| Intuicyjnie oznacza to, że wyrazy <math>x_n</math> są
| |
| ,,coraz bliżej'' granicy <math>g</math> w miarę wzrostu <math>n</math>.
| |
| Formalnie podaje to poniższa definicja.
| |
|
| |
| Niech
| |
| <math>\displaystyle\{x_n\}\subseteq \rr^N</math> będzie ciągiem oraz niech <math>g\in \rr^N.</math><br>
| |
| Mówimy, że <math>g</math> jest
| |
| {granicą ciągu}
| |
| <math>\displaystyle\{x_n\},</math> jeśli
| |
|
| |
| <center><math>
| |
|
| |
| \forall \eps>0\ \exists N\in\nn\ \forall n\ge N:\
| |
| d(x_n,g)<\eps
| |
| </math></center>
| |
|
| |
| i piszemy
| |
|
| |
| <center><math>
| |
| \graph
| |
| \limn x_n=g,\quad
| |
| x_n\xrightarrow[n\ra+\infty]{}g,\quad
| |
| x_n\lra g,\quad
| |
| x_n\stackrel{\rr^N}{\lra} g
| |
| \quad\textrm{lub}\quad
| |
| x_n\xrightarrow{d} g.
| |
| </math></center>
| |
|
| |
| Mówimy, że ciąg <math>\displaystyle\{x_n\}</math> jest
| |
| {zbieżny}, jeśli ma granicę, czyli
| |
|
| |
| <center><math>
| |
|
| |
| \exists g\in \rr^N:\
| |
| \limn x_n=g.
| |
| </math></center>
| |
|
| |
| {{red}[[Rysunek AM1.M03.W.R23 (stary numer AM1.4.2a)]]}
| |
| {{red}[[Rysunek AM1.M03.W.R24 (stary numer AM1.4.2b)]]}
| |
|
| |
| Warunek
| |
|
| |
| <center><math>
| |
|
| |
| \forall \eps>0\ \exists N\in\nn\ \forall n\ge N:\
| |
| d(x_n,g)<\eps
| |
| </math></center>
| |
|
| |
| w powyższej definicji
| |
| mówi, że dla dowolnego
| |
| (dowolnie małego) <math>\displaystyle\eps>0</math> wyrazy ciągu <math>\displaystyle\{x_n\}</math>
| |
| są od pewnego miejsca (od <math>N</math>) oddalone od <math>g</math>
| |
| o mniej niż <math>\displaystyle\eps.</math>
| |
| Warunek ten
| |
| jest
| |
| równoważny warunkowi
| |
|
| |
| <center><math>
| |
|
| |
| \forall \eps>0\ \exists N\in\nn\ \forall n\ge N:\
| |
| x_n\in K(g,\eps),
| |
| </math></center>
| |
|
| |
| który mówi, że
| |
| dla dowolnego
| |
| (dowolnie małego) <math>\displaystyle\eps>0</math> wyrazy ciągu <math>\displaystyle\{x_n\}</math>
| |
| od pewnego miejsca (od <math>N</math>)
| |
| leżą w kuli <math>K(g,\eps).</math>
| |
| Wynika to wprost z definicji kuli, gdyż
| |
| <math>x_n</math> należy do kuli
| |
| <math>K(g,\eps)</math> dokładnie wtedy, gdy
| |
| odległość <math>x_n</math> od <math>g</math> jest mniejsza niż <math>\displaystyle\eps,</math>
| |
| to znaczy
| |
|
| |
| <center><math>
| |
|
| |
| d(x_n,g)<\eps
| |
| \ \Longleftrightarrow\
| |
| x_n\in K(g,\eps).
| |
| </math></center>
| |
|
| |
| Ciąg <math>\displaystyle\{x_n\}\subseteq \rr^N</math> nazywamy
| |
| {ograniczonym}, jeśli zbiór jego wartości
| |
| <math>\displaystyle\big\{x_n:\ n\in\nn\big\}</math> jest ograniczony w <math>\displaystyle\rr^N,</math>
| |
| to znaczy zawarty w pewnej kuli.
| |
| Innymi słowy ciąg <math>\displaystyle\{x_n\}</math> jest ograniczony, gdy
| |
|
| |
| <center><math>
| |
|
| |
| \exists x\in\rr^N\ \exists r>0\ \forall n\in\nn:\
| |
| d(x,x_n)<r.
| |
| </math></center>
| |
|
| |
| Jeśli ciąg <math>\displaystyle\{x_n\}\subseteq\rr^N</math> jest stały od pewnego
| |
| miejsca, czyli istnieje <math>k_0\in\nn</math> takie, że
| |
|
| |
| <center><math>
| |
|
| |
| x_n
| |
| \ =\
| |
| x
| |
| \qfa n\ge k_0,
| |
| </math></center>
| |
|
| |
| to wówczas
| |
|
| |
| <center><math>
| |
|
| |
| \limn x_n
| |
| \ =\
| |
| x.
| |
| </math></center>
| |
|
| |
| Oznacza to, że ciąg stały od pewnego miejsca jest zbieżny.<br>
| |
| {{red}[[Rysunek AM1.M03.W.R25 (stary numer AM1.4.3)]]}
| |
|
| |
| Niech <math>\displaystyle\{x_n\}\subseteq \rr</math> będzie ciągiem danym przez
| |
| <math>\displaystyle x_n=\frac{1}{n}</math> dla <math>n\ge 1.</math> Wówczas
| |
|
| |
| <center><math>
| |
|
| |
| \limn x_n
| |
| \ =\
| |
| 0.
| |
| </math></center>
| |
|
| |
| {{red}[[Rysunek AM1.M03.W.R26 (stary numer AM1.4.4)]]}<br>
| |
| Aby to pokazać ustalmy dowolne <math>\displaystyle\eps>0.</math>
| |
| Wówczas istnieje liczba naturalna <math>N</math>,
| |
| która jest większa od <math>\displaystyle\frac{1}{\eps}</math>
| |
| (gdyż dla każdej liczby rzeczywistej istnieje liczba naturalna
| |
| od niej większa), czyli
| |
|
| |
| <center><math>
| |
|
| |
| \exists N\in\nn:\ N>\frac{1}{\eps}.
| |
| </math></center>
| |
|
| |
| Zatem dla dowolnego <math>n\ge N,</math> mamy
| |
|
| |
| <center><math>
| |
|
| |
| d(x_n,0)
| |
| \ =\
| |
| |x_n-0|
| |
| \ =\
| |
| |x_n|
| |
| \ =\
| |
| \bigg|\frac{1}{n}\bigg|
| |
| \ \le\
| |
| \frac{1}{N}
| |
| \ <\
| |
| \eps,
| |
| </math></center>
| |
|
| |
| zatem pokazaliśmy, że
| |
| <math>\displaystyle\limn x_n=0.</math>
| |
|
| |
| Niech <math>q\in(-1,1)</math> oraz <math>x_n=q^n</math> dla <math>n\ge 1.</math> Wówczas
| |
|
| |
| <center><math>
| |
|
| |
| \limn x_n
| |
| \ =\
| |
| 0.
| |
| </math></center>
| |
|
| |
| Dowód podobny do dowodu w Przykładzie [[##p.new.am1.w.03.210|Uzupelnic p.new.am1.w.03.210|]]
| |
| pozostawiamy jako ćwiczenie.<br>
| |
| Ciąg <math>\displaystyle\{q^n\}</math> jest
| |
| ciągiem {geometrycznym} o ilorazie <math>q</math>
| |
| (patrz Definicja [[##d.1.0080|Uzupelnic d.1.0080|]]).
| |
|
| |
| Kolejne twierdzenie podaje związek między zbieżnością ciągu punktów,
| |
| a zbieżnością ciągu liczbowego odległości jego wyrazów od
| |
| granicy.
| |
| Mówi ono, że ciąg <math>\displaystyle\{x_n\}</math> jest zbieżny do granicy <math>g</math> w
| |
| <math>\displaystyle\rr^N</math> dokładnie wtedy, gdy ciąg
| |
| <math>\{d(x_n,g)\}</math> odległości
| |
| <math>x_n</math> od <math>g</math> jest zbieżny do <math>0</math> w <math>\displaystyle\rr.</math>
| |
| Dowód wynika wprost z definicji.
| |
|
| |
| Niech <math>\displaystyle\{x_n\}\subseteq \rr^N</math> będzie ciągiem
| |
| oraz <math>g\in \rr^N.</math> Wówczas
| |
|
| |
| <center><math>
| |
| \graph
| |
| \big[
| |
| x_n\stackrel{\rr^N}{\lra} g
| |
| \big]
| |
| \quad\Longleftrightarrow\quad
| |
| \big[
| |
| d(x_n,g)\stackrel{\rr}{\lra} 0
| |
| \big],
| |
| </math></center>
| |
|
| |
| Powiemy teraz co to jest podciąg danego ciągu <math>\{x_n\}.</math>
| |
| Nieformalnie mówiąc, podciąg powstaje z ciągu przez skreślenie
| |
| z niego pewnej liczby wyrazów (tak aby nadal pozostała
| |
| nieskończona ich ilość):
| |
|
| |
| <center><math>
| |
|
| |
| \beginarray{rcllllllll}
| |
| \{a_n\} & = & a_1, & a_2, & a_3, & a_4, & a_5,& a_6, & a_7, & \ldots\\
| |
| \{a_{n_k}\} & = & \not{a}_1 & \underline{a_2}, & \not{a}_3 &
| |
| \not{a}_4 & \underline{a_5}, & \underline{a_6}, & \not{a}_7 & \ldots
| |
| \endarray
| |
| </math></center>
| |
|
| |
| Formalna definicja podana jest poniżej.
| |
|
| |
| Niech <math>\displaystyle\{x_n\}\subseteq \rr^N</math> będzie
| |
| ciągiem.
| |
| Niech <math>h\colon\nn\lra\nn</math> będzie funkcją
| |
| silnie rosnącą.<br>
| |
| Ciąg
| |
| <math>\displaystyle f\colon\nn\ni n\lms x_{h(n)}\in\rr^N</math>
| |
| nazywamy {podciągiem} ciągu
| |
| <math>\displaystyle\{x_n\}</math> i oznaczamy
| |
|
| |
| <center><math>
| |
|
| |
| \big\{x_{n_k}\big\}
| |
| \quad\textrm{lub}\quad
| |
| \big\{x_{n_k}\big\}_{k\in \nn}
| |
| \quad\textrm{lub}\quad
| |
| \big\{x_{n_k}\big\}_{k=1}^{\infty},
| |
| </math></center>
| |
|
| |
| gdzie <math>n_k=h(k)</math> dla <math>k\in \nn.</math>
| |
|
| |
| W kolejnym twierdzeniu zebrane są własności granic.
| |
| Niektóre z nich udowodnimy na ćwiczeniach
| |
| (patrz Zadania [[##z.new.am1.c.03.030|Uzupelnic z.new.am1.c.03.030|]] i
| |
| [[##z.new.am1.c.03.040|Uzupelnic z.new.am1.c.03.040|]])
| |
|
| |
| '''(Własności granic)'''<br>
| |
|
| |
| <math>\displaystyle\{x_n\}\subseteq\rr^N</math> jest ciągiem, <math>g\in\rr^N,</math>
| |
| <br>
| |
| '''(1)'''
| |
| Istnieje co najwyżej jedna granica ciągu <math>\displaystyle\{x_n\},</math>
| |
| to znaczy
| |
|
| |
| <center><math>
| |
|
| |
| \bigg[
| |
| \limn x_n = g_1\in \rr^N
| |
| \quad\textrm{i}\quad
| |
| \limn x_n = g_2\in \rr^N
| |
| \bigg]
| |
| \ \Lra\
| |
| g_1=g_2.
| |
| </math></center>
| |
|
| |
| '''(2)'''
| |
| Jeśli ciąg <math>\displaystyle\{x_n\}</math> jest zbieżny, to jest
| |
| ograniczony.<br>
| |
| '''(3)'''
| |
| Jeśli <math>\displaystyle\limn x_n=g</math> oraz
| |
| <math>\displaystyle\big\{x_{n_k}\big\}</math> jest dowolnym podciągiem ciągu
| |
| <math>\displaystyle\{x_n\},</math> to
| |
|
| |
| <center><math>
| |
|
| |
| \limk x_{n_k}
| |
| \ =\
| |
| g.
| |
| </math></center>
| |
|
| |
| '''(4)'''
| |
| Jeśli <math>\displaystyle\{x_n\}</math> jest ciągiem zbieżnym oraz
| |
| <math>\displaystyle\big\{x_{n_k}\big\}</math> jest jego dowolnym podciągiem takim,
| |
| że
| |
| <math>\displaystyle\limk x_{n_k}=g,</math>
| |
| to także <math>\displaystyle\limn x_n=g.</math><br>
| |
| '''(5)'''
| |
| Jeśli dla dowolnego podciągu
| |
| <math>\displaystyle\big\{x_{n_k}\big\}</math> ciągu
| |
| <math>\displaystyle\{x_n\}</math> istnieje jego ,,dalszy'' podciąg
| |
| <math>\displaystyle\big\{x_{n_{k_l}}\big\}</math> taki, że
| |
| <math>\displaystyle\liml x_{n_{k_l}}=g,</math>
| |
| to <math>\displaystyle\limn x_n=g.</math>
| |
|
| |
| Jeśli <math>\displaystyle\{a_n\}\subseteq \rr^N</math> jest ciągiem w <math>\displaystyle\rr^N,</math> to jego
| |
| wyrazy mają współrzędne:
| |
| <math>a_n=(a_n^1,\ldots,a_n^N)</math> dla <math>n\in\nn.</math>
| |
| Kolejne twierdzenie podaje związek między zbieżnością ciągu
| |
| <math>\displaystyle\{a_n\}</math> w
| |
| <math>\displaystyle\rr^N,</math> a zbieżnością ciągów na
| |
| poszczególnych współrzędnych
| |
| <math>\displaystyle\{a_n^1\},\ldots, \{a_n^N\}.</math>
| |
| Dzięki temu twierdzeniu liczenie granic ciągów w <math>\displaystyle\rr^N</math>
| |
| sprowadza się do liczenia granic ciągów w <math>\displaystyle\rr</math>
| |
| (dowód pomijamy).
| |
|
| |
| '''(Granica ciągu w iloczynie kartezjańskim)'''<br>
| |
|
| |
| <math>\displaystyle\{a_n\}\subseteq \rr^N</math> jest ciągiem, czyli
| |
| <math>a_n=(a_n^1,\ldots,a_n^N)</math> dla <math>n\in\nn,</math>
| |
| oraz <math>a=(a^1,\ldots,a^N)\in \rr^N,</math>
| |
| <br>
| |
| <math> \limn a_n=a</math>
| |
| wtedy i tylko wtedy, gdy
| |
| <math>\displaystyle\limn a_n^i= a^i</math>
| |
| dla <math>i=1,\ldots,N.</math>
| |
|
| |
| {{red}[[Rysunek AM1.M03.W.R27 (nowy)]]}
| |
|
| |
| ===Ciągi Cauchy'ego===
| |
|
| |
| Obok ciągów zbieżnych,
| |
| ważną rolę odgrywają także tak zwane ciągi Cauchy'ego.
| |
| Są to takie ciągi, dla których odległości między wyrazami są
| |
| zmierzają do zera. Okazuje się, że w <math>\displaystyle\rr^N</math>
| |
| z metryką euklidesową,
| |
| ciągi Cauchy'ego są dokładnie ciągami zbieżnymi.
| |
| Jednak nie dla każdej przestrzeni z metryką tak jest
| |
| (przekonamy się o tym na kursie
| |
| z Analizy Matematycznej 2).
| |
|
| |
| Niech
| |
| <math>\displaystyle\{x_n\}\subseteq \rr^N</math> będzie ciągiem.<br>
| |
| Mówimy, że ciąg <math>\displaystyle\{x_n\}</math> spełnia
| |
| {warunek Cauchy'ego}
| |
| lub jest {ciągiem Cauchy'ego}, jeśli
| |
|
| |
| <center><math>
| |
|
| |
| \forall \eps>0\
| |
| \exists N\in\nn
| |
| \ \forall n,m\ge N:\
| |
| d(x_n,x_m)<\eps.
| |
| </math></center>
| |
|
| |
| Warunek Cauchy'ego dla ciągu <math>\displaystyle\{x_n\}</math> oznacza, że dla dowolnie
| |
| wybranej liczby
| |
| <math>\displaystyle\eps>0,</math> począwszy od pewnego miejsca, każde dwa wyrazy ciągu
| |
| są bliższe niż <math>\displaystyle\eps.</math>
| |
|
| |
| Zacznijmy od prostych faktów.
| |
|
| |
| Jeśli <math>\{x_n\}</math> jest ciągiem Cauchy'ego,
| |
| to jest ograniczony.
| |
|
| |
| Weźmy <math>\eps=1</math>. Wtedy istnieje <math>N_1\in \nn</math>, takie, że dla wszystkich
| |
| <math>n,m\geq N_1</math> mamy <math>d(x_n,x_m)<1</math>, w szczególności dla każdego
| |
| <math>n\geq N_1</math>, <math>d(x_n,x_{N_1})<1</math>. Weźmy
| |
|
| |
| <center><math>
| |
|
| |
| R:=\max\{d(x_1,x_{N_1}),d(x_2,x_{N_1}),...d(x_{N_1-1},x_{N_1})\}+1.
| |
| </math></center>
| |
|
| |
| Wtedy wszystkie wyrazy ciągu zawierają się w kuli <math>K(x_{N_1},R)</math>,
| |
| a więc ciąg jest ograniczony.
| |
|
| |
| Jeśli podciąg <math>\{x_{n_k}\}</math>
| |
| ciągu Cauchy'ego <math>\{x_n\}</math> ma granicę <math>g</math>, to ciąg <math>\{x_n\}</math> ma
| |
| granicę <math>g</math>.
| |
|
| |
| Ustalmy <math>\eps>0</math>. Skoro <math>\limk x_{n_k}=g</math>, to istnieje
| |
| <math>K\in\nn</math>, takie,
| |
| że dla każdego <math>k\geq K</math> mamy <math>d(x_{n_k},g)<\frac{\eps}{2}</math>. Skoro zaś
| |
| <math>\{x_n\}</math> jest ciągiem Cauchy'ego, to istnieje <math>N\in \nn</math>, takie,
| |
| że dla wszystkich <math>m,n \geq N</math> mamy <math>d(x_n,x_m)<\frac{\eps}{2}</math>.
| |
| Biorąc <math>M=\max\{N,K\}</math>, mamy dla wszystkich <math>m\geq M</math>
| |
|
| |
| <center><math>
| |
|
| |
| d(x_m,g)\leq
| |
| d(x_m,x_{n_M})+d(x_{n_M},g)<\frac{\eps}{2}+\frac{\eps}{2}
| |
| \ =\
| |
| \eps,
| |
| </math></center>
| |
|
| |
| a zatem <math>g</math> jest granicą ciągu <math>\{x_n\}</math>.
| |
|
| |
| Kolejne twierdzenie mówi, że w <math>\displaystyle\rr^N</math>
| |
| ciągi są zbieżne dokładnie wtedy, gdy spełniają
| |
| warunek Cauchy'ego.
| |
|
| |
| '''(Zbieżność ciągu a warunek Cauchy'ego)'''<br>
| |
| Ciąg <math>\displaystyle\{x_n\}\subseteq \rr^N</math> jest zbieżny wtedy i tylko wtedy,
| |
| gdy spełnia warunek Cauchy'ego.
| |
|
| |
| ,,<math>\Longrightarrow</math>''<br>
| |
| Wykażemy, że jeśli ciąg <math>\{x_n\}</math> jest zbieżny to
| |
| spełnia warunek Cauchy'ego. Ustalmy <math>\eps>0</math>. Skoro ciąg jest
| |
| zbieżny do granicy <math>g</math>, to jego wyrazy są od pewnego miejsca
| |
| odległe od <math>g</math> o mniej niż <math>\frac{\eps}{2}</math>, czyli
| |
|
| |
| <center><math>
| |
|
| |
| \exists N\in \nn\ \forall n\ge N: \ d(x_n,g)<\frac{\eps}{2}.
| |
| </math></center>
| |
|
| |
| Weźmy teraz dowolne <math>m,n>N</math>. Wtedy
| |
|
| |
| <center><math>
| |
|
| |
| d(x_n,x_m)
| |
| \ \le\
| |
| d(x_n,g)+d(x_m,g)<\frac{\eps}{2}+\frac{\eps}{2}=\eps,
| |
| </math></center>
| |
|
| |
| a zatem ciąg <math>\{x_n\}</math> spełnia warunek Cauchy'ego.<br>
| |
| <br>
| |
| ,,<math>\Longleftarrow</math>''<br>
| |
| Ta część dowodu będzie przeprowadzona później,
| |
| po wprowadzeniu pojęcia zwartości.
| |
|
| |
| Dla dowolnie wybranego zbioru z metryką zachodzi tylko jedna
| |
| implikacja w powyższym twierdzeniu, a mianowicie
| |
| każdy ciąg zbieżny jest ciągiem Cauchy'ego.
| |
| Aby pokazać, że przeciwna implikacja nie jest prawdziwa,
| |
| rozważmy
| |
| przedział otwarty <math>\displaystyle (0,1)</math>
| |
| z metryką euklidesową <math>d_2</math>
| |
| (czyli dla <math>x,y\in (0,1)</math> odległość
| |
| <math>d(x,y)</math> wynosi <math>|x-y|</math>).
| |
| Ciąg
| |
| <math>\displaystyle\{x_n\}</math> zadany wzorem
| |
| <math>\displaystyle x_n=\frac{1}{n}</math> dla <math>n\in\nn</math>
| |
| nie jest zbieżny w <math>\displaystyle (0,1)</math>
| |
| (dlaczego?), ale spełnia warunek Cauchy'ego.
| |
| Aby to pokazać, ustalmy dowolne <math>\displaystyle\eps>0.</math>
| |
| Wówczas
| |
|
| |
| <center><math>
| |
|
| |
| \exists N\in \nn:\
| |
| \frac{1}{N}<\frac{\eps}{2}.
| |
| </math></center>
| |
|
| |
| Wówczas dla dowolnych <math>n,m\ge N</math> mamy
| |
|
| |
| <center><math>
| |
|
| |
| d_2(x_n,x_m)
| |
| \ =\
| |
| |x_n-x_m|
| |
| \ =\
| |
| \bigg|\frac{1}{n}-\frac{1}{m}\bigg|
| |
| \ \le\
| |
| \frac{1}{n}+\frac{1}{m}
| |
| \ \le\
| |
| \frac{1}{N}+\frac{1}{N}
| |
| \ =\
| |
| \frac{2}{N}
| |
| \ <\
| |
| \eps.
| |
| </math></center>
| |
|
| |
| Pokazaliśmy zatem, że ciąg <math>\displaystyle\{x_n\}</math> spełnia warunek Cauchy'ego.
| |
