MIMINF:Analiza matematyczna 2

Forma zajęć

Wykład (45 godzin) + ćwiczenia (45 godzin)

Opis

Rachunek całkowy funkcji jednej zmiennej, przestrzenie metryczne i ciągłość funkcji wielu zmiennych, rachunek różniczkowy wielu zmiennych, rachunek całkowy wielu zmiennych, równania różniczkowe zwyczajne.

Sylabus

Autorzy

• Marcin Moszyński — Uniwersytet Warszawski, Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki, Instytut Matematyki
• Paweł Strzelecki — Uniwersytet Warszawski, Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki, Instytut Matematyki
• Jerzy Tyszkiewicz — Uniwersytet Warszawski, Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki, Instytut Informatyki

Wymagania wstępne

• Analiza matematyczna 1 oraz Algebra liniowa.

Zawartość

1. Rachunek całkowy funkcji jednej zmiennej: całka nieoznaczona i oznaczona, całkowanie przez części i przez podstawienie, całkowanie funkcji wymiernych, informacje o typowych podstawieniach, całka Riemanna, całkowalność i zbieżność sum Riemanna dla funkcji ciągłych, elementarne własności całki Riemanna, podstawowe twierdzenie rachunku całkowego, twierdzenie (tzw. "I-sze") o wartości średniej, całki niewłaściwe (szkic);
2. Przestrzenie metryczne i ciągłość funkcji wielu zmiennych: przykłady metryk, normy, zbiory otwarte i domknięte, zbieżność ciągów w przestrzeniach metrycznych, zwartość w R^n i twierdzenie Bolzano Weierstrassa, granica i ciągłość funkcji, ciągłość funkcji a otwartość/domkniętość zbiorów, twierdzenie Weierstrassa o osiąganiu kresów dla funkcji wielu zmiennych;
3. Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych: pochodna funkcji wektorowej 1-nej zmiennej, pochodne cząstkowe i tw. o ekstremach lokalnych, pochodna kierunkowa, różniczka, macierz Jakobiego i jakobian, ciągłość funkcji różniczkowalnych i różniczkowalność funkcji klasy C^1, różniczka złożenia i reguła "łańcuchowa", ekstrema warunkowe i tw. o mnożnikach Lagrange'a, różniczkowanie a lokalna odwracalność, pochodne cząstkowe wyższych rzędów, macierz Hessego i warunki dostateczne na ekstrema lokalne.
4. Rachunek całkowy wielu zmiennych: definicja całki [wybór podejścia - do wyboru], twierdzenie Fubiniego, całkowanie przez podstawienie, współrzędne biegunowe i sferyczne;
5. Równania różniczkowe zwyczajne: równania różniczkowe rzędu pierwszego i problem istnienia rozwiązań, przykładowe twierdzenie o istnieniu i jednoznaczności rozwiązań zagadnienia Cauchy'ego (np. dla rozwiązań globalnych), równania skalarne rzędu 1: "o zmiennych rozdzielonych", "liniowe" (w tym "uzmiennianie stałej" w wymiarze 1) i przykłady modeli matematycznych (np. "narodzin i śmierci" Malthusa, "logistyczny", populacji z migracją, modele mutacji w genetyce), n-wymiarowe równania autonomiczne rzędu 1 (pojęcia: przestrzeń fazowa, orbity, pole wektorowe, całka pierwsza), układy równań różniczkowych „liniowych” jednorodnych i metoda znajdowania rozwiązań w przypadku stałych współczynników, sprowadzanie równań skalarnych wyższych rzędów do wektorowych równań rzędu 1, przykład: oscylator harmoniczny.

[Uwaga: w tym wykładzie, z konieczności, bardzo wiele twierdzeń musi być formułowanych bez dowodów; jednocześnie wykład powinien zawierać wiele ilustracji przykładami - np. użycia twierdzeń.]

Literatura

1. Wybrane rozdziały z podręcznika: Witold Kołodziej, Analiza matematyczna, PWN, 1978