PEE Moduł 8: Różnice pomiędzy wersjami
Nie podano opisu zmian |
Nie podano opisu zmian |
||
| Linia 15: | Linia 15: | ||
<math>F(s)=L \left \{f(t) \right \}=\int_{0}^{\infty} f(t)e^{-st} dt</math> | <math>F(s)=L \left \{f(t) \right \}=\int_{0}^{\infty} f(t)e^{-st} dt</math> (8.1) | ||
<math>f(t)=L^{-1} \left \{F(s) \right \}=\frac{1}{2\pi \cdot j}\int_{c-j\omega}^{c+j\omega} F(s)e^{st} ds</math> | <math>f(t)=L^{-1} \left \{F(s) \right \}=\frac{1}{2\pi \cdot j}\int_{c-j\omega}^{c+j\omega} F(s)e^{st} ds</math> (8.1) | ||
w których c jest bliżej nieokreśloną stałą warunkującą położenie granic całkowania w obszarze zbieżności transformaty. Pierwsze z równań definiuje '''proste przekształcenie''' Laplace’a przyporządkowujące oryginałowi transformatę zmiennej zespolonej s, a drugie '''przekształcenie odwrotne''' dokonujące transformacji odwrotnej, czyli wyznaczające funkcję oryginału na podstawie F(s). Zakładamy przy tym, że funkcja f(t) jest funkcją czasu, zadaną dla t>0 i równą 0 dla t<0 oraz, że nie rośnie szybciej niż funkcja wykładnicza. Proste przekształcenie Laplace’a określone wzorem (8.1) dokonuje transformacji funkcji czasu f(t) na funkcję F(s) zmiennej zespolonej s. Przekształcenie odwrotne określone wzorem (8.2) dokonuje transformacji funkcji zespolonej F(s) na funkcję czasu f(t). Wzór ten pełni jedynie rolę definicji i w praktyce nie używa się go do wyznaczania transformaty odwrotnej, wykorzystując w zamian własności transformat Laplace’a. | |||
|} | |} | ||
Wersja z 16:49, 28 lip 2006
|
Wykład 8. Zastosowanie metody operatorowej Laplace’a w analizie stanów nieustalonych |
|
8.1 Rachunek operatorowy Laplace’a
Zastosowanie przekształcenia Laplace’a upraszcza operację rozwiązywania równań różniczkowych zastępując ją rozwiązaniem układu równań algebraicznych. Istota przekształcenia Laplace’a polega na tym, że każdej funkcji czasu f(t) określonej dla t>0 odpowiada pewna funkcja F(s) określona w dziedzinie liczb zespolonych i odwrotnie, każdej funkcji F(s) odpowiada określona funkcja czasu f(t). Funkcję f(t) nazywamy oryginałem i oznaczamy małą literą. Funkcję F(s) nazywamy transformatą funkcji określoną w dziedzinie zmiennej zespolonej s i oznaczamy dużą literą. Zmienna s jest nazywana częstotliwością zespoloną, przy czym , gdzie oznacza pulsację. W elektrotechnice najczęściej używane jest jednostronne przekształcenie Laplace’a, określone parą równań:
(8.1) w których c jest bliżej nieokreśloną stałą warunkującą położenie granic całkowania w obszarze zbieżności transformaty. Pierwsze z równań definiuje proste przekształcenie Laplace’a przyporządkowujące oryginałowi transformatę zmiennej zespolonej s, a drugie przekształcenie odwrotne dokonujące transformacji odwrotnej, czyli wyznaczające funkcję oryginału na podstawie F(s). Zakładamy przy tym, że funkcja f(t) jest funkcją czasu, zadaną dla t>0 i równą 0 dla t<0 oraz, że nie rośnie szybciej niż funkcja wykładnicza. Proste przekształcenie Laplace’a określone wzorem (8.1) dokonuje transformacji funkcji czasu f(t) na funkcję F(s) zmiennej zespolonej s. Przekształcenie odwrotne określone wzorem (8.2) dokonuje transformacji funkcji zespolonej F(s) na funkcję czasu f(t). Wzór ten pełni jedynie rolę definicji i w praktyce nie używa się go do wyznaczania transformaty odwrotnej, wykorzystując w zamian własności transformat Laplace’a. |
