PEE Moduł 8

Wykład 8. Zastosowanie metody operatorowej Laplace’a w analizie stanów nieustalonych

---

8.1 Rachunek operatorowy Laplace’a Zastosowanie przekształcenia Laplace’a upraszcza operację rozwiązywania równań różniczkowych zastępując ją rozwiązaniem układu równań algebraicznych. Istota przekształcenia Laplace’a polega na tym, że każdej funkcji czasu f(t) określonej dla t>0 odpowiada pewna funkcja F(s) określona w dziedzinie liczb zespolonych i odwrotnie, każdej funkcji F(s) odpowiada określona funkcja czasu f(t). Funkcję f(t) nazywamy oryginałem i oznaczamy małą literą. Funkcję F(s) nazywamy transformatą funkcji określoną w dziedzinie zmiennej zespolonej s i oznaczamy dużą literą. Zmienna s jest nazywana częstotliwością zespoloną, przy czym $s=\sigma +j\omega$, gdzie $\omega$ oznacza pulsację. W elektrotechnice najczęściej używane jest jednostronne przekształcenie Laplace’a, określone parą równań: $F(s)=L\{f(t)\}=\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}f(t)e^{-st}dt$ $f(t)=L^{-1}\{F(s)\}=\frac{1}{2\pi \cdot j}\underset{c-j\omega }{\overset{c+j\omega }{\int }}F(s)e^{st}ds$