Test GR4

66666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666

Funkcje wielu zmiennych. Ciągłość. Pochodne cząstkowe. Test

Do każdego zadania podano trzy odpowiedzi, z których każda może być prawdziwa lub fałszywa. Można uzyskać jeden punkt wtedy i tylko wtedy, jeśli poprawnie zostaną wskazane wszystkie prawdziwe i fałszywe odpowiedzi.

Niech $f(x)=\frac{xy\ln (x^2+y^2)}{x^2+y^2}$. Wtedy

 (1)

istnieją granice iterowane $\underset{x\to 0}{\lim }\underset{y\to 0}{\lim }f(x,y)$, $\underset{y\to 0}{\lim }\underset{x\to 0}{\lim }f(x,y)$ i są równe

 (2)

istnieją granice iterowane $\underset{x\to 0}{\lim }\underset{y\to 0}{\lim }f(x,y)$, $\underset{y\to 0}{\lim }\underset{x\to 0}{\lim }f(x,y)$ i są różne

 (3)

istnieje granica $\underset{(x,y)\to (0,0)}{\lim }f(x,y)$.

tak, nie, nie

Niech

$\mathrm{\nabla }f(x)=(\frac{\partial f}{\partial x_1}(x),\dots ,\frac{\partial f}{\partial x_n}(x))$

oznacza gradient funkcji $f$ w punkcie $x=(x_1,\dots ,x_n)$. Wtedy dla dowolnych funkcji $f,g$, które mają ciągłe pochodne cząstkowe rzędu pierwszego, prawdziwy jest wzór

 (1)

$\mathrm{\nabla }(f+g)=\mathrm{\nabla }f+\mathrm{\nabla }g$

 (2)

$\mathrm{\nabla }(fg)=(\mathrm{\nabla }f,\mathrm{\nabla }g)$ (symbol $(v,u)$ oznacza iloczyn skalarny wektorów $v,u$)

 (3)

$\mathrm{\nabla }(fg)=g\mathrm{\nabla }f+f\mathrm{\nabla }g$.

tak, nie, tak

Funkcja

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\begincases”): {\displaystyle \displaystyle f(x)=\begincases &\frac {\sin (x^3-y^3)}{x^2+y^2}, \ \ \text{dla} \ \ (x,y)\neq 0, \\ &0, \ \ \text {dla} \ \ (x,y)=0, \endcases }

 (1)

ma pochodną kierunkową ${\partial }_{v}f(0,0)$, dla dowolnego wektora $v\ne 0$

 (2)

jest ciągła

 (3)

jest ograniczona.

tak, tak, tak

Niech

$\mathrm{\Delta }f(x)=\sum _{j=1}^n\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x_j^2}(x)$

oznacza laplasjan funkcji $f$ w punkcie $x=(x_1,\dots ,x_n)$. Wtedy dla dowolnych funkcji $f,g$, które mają ciągłe pochodne cząstkowe rzędu drugiego, prawdziwy jest wzór

 (1)

$\mathrm{\Delta }(f+g)=\mathrm{\Delta }f+\mathrm{\Delta }g$

 (2)

$\mathrm{\Delta }(fg)=\mathrm{\Delta }f\mathrm{\Delta }g$

 (3)

$\mathrm{\Delta }(fg)=g\mathrm{\Delta }f+f\mathrm{\Delta }g$.

tak, nie, nie

Funkcja

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\begincases”): {\displaystyle \displaystyle f(x)=\begincases &\mathrm{arctg}\, \left(\frac {x^2}{y^2}\right ), \ \ \text{dla} \ \ y\neq 0, \\ &\frac {\pi}{2}, \ \ \text {dla} \ \ y=0, \endcases }

 (1)

jest ciągła

 (2)

jest ciągła w zbiorze $\mathbb{ℝ}\setminus \{(0,0)\}$

 (3)

jest ograniczona.

nie, tak, tak

Funkcja $f(x,y)=x+g(xy)$, gdzie $g:\mathbb{ℝ}\to \mathbb{ℝ}$ jest funkcją różniczkowalną, spełnia równanie

 (1)

$x\frac{\partial f}{\partial x}-y\frac{\partial f}{\partial y}=x$

 (2)

$x\frac{\partial f}{\partial x}+y\frac{\partial f}{\partial y}=x$

 (3)

$y\frac{\partial f}{\partial x}-x\frac{\partial f}{\partial y}=y$.

tak, nie, nie

Niech $f(x,y)=\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{g}(\sqrt{x^2+y^2})$. Wtedy zbiór

$\{(x,y)\in {\mathbb{ℝ}}^2:|\mathrm{\nabla }f(x,y)|=c\}$

 (1)

jest okręgiem $x^2+y^2=1$ dla $c=1$

 (2)

jest pusty dla $c\in (0,1)$

 (3)

jest pusty dla $c>1$.

nie, nie, tak

Funkcja $f(x,y)=e^x(x\cos y-y\sin y)$ spełnia równanie

 (1)

$\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x\partial y}=\frac{{\partial }^{2}f}{\partial y\partial x}$

 (2)

$\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x^2}=\frac{{\partial }^{2}f}{\partial y^2}$

 (3)

$\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x^2}=-\frac{{\partial }^{2}f}{\partial y^2}$.

tak, nie, tak

Równanie

$\frac{x+y{y}^{\prime }}{x{y}^{\prime }-y}=2$

we współrzędnych biegunowych ma postać

 (1)

$r^{\prime }+2r=0$

 (2)

$r^{\prime }=2r$

 (3)

$2r^{\prime }=r$.

nie, tak, nie

\bfOdpowiedzi:

\bfZadanie 1. tak, nie, nie

\bfZadanie 2. tak, nie, tak

\bfZadanie 3. tak, tak, tak

\bfZadanie 4. tak, nie, nie

\bfZadanie 5. nie, tak, tak

\bfZadanie 6. tak, nie, nie

\bfZadanie 7. nie, nie, tak

\bfZadanie 8. tak, nie, tak

\bfZadanie 9. nie, tak, nie.

\bfOcena testu:

0-4 pkt -- ocena niedostateczna

5 pkt -- ocena dostateczna

6 pkt -- ocena plus dostateczna

7 pkt -- ocena dobra

8 pkt -- ocena plus dobra

9 pkt -- ocena bardzo dobra.

777777777777777777777777777777777777777777777777777777777

Różniczkowanie funkcji wielu zmiennych. Test

Do każdego zadania podano trzy odpowiedzi, z których każda może być prawdziwa lub fałszywa. Można uzyskać jeden punkt wtedy i tylko wtedy, jeśli poprawnie zostaną wskazane wszystkie prawdziwe i fałszywe odpowiedzi.

Funkcja

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\begincases”): {\displaystyle \displaystyle f(x)=\begincases &\frac {x^2y}{x^2+y^2}, \ \ \text{dla} \ \ (x,y)\neq 0, \\ &0, \ \ \text {dla} \ \ (x,y)=0, \endcases }

 (1)

ma pochodne cząstkowe w punkcie $(0,0)$

 (2)

ma różniczkę w punkcie $(0,0)$

 (3)

jest ciągła w punkcie $(0,0)$.

tak, nie, tak

Niech $P=\{(x,x^2):x\in \mathbb{ℝ},x\ne 0\}$. Wtedy funkcja

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\begincases”): {\displaystyle \displaystyle f(x)=\begincases &1, \ \ \text{dla} \ \ (x,y)\in P, \\ &0, \ \ \text {dla} \ \ (x,y)\notin P, \endcases }

 (1)

ma różniczkę w punkcie $(0,0)$

 (2)

jest ciągła w punkcie $(0,0)$

 (3)

ma pochodne kierunkowe ${\partial }_{v}f(0,0)$ dla dowolnego wektora $v\ne 0$.

nie, nie, tak

Różniczka funkcji $f(x,y,x)=(xy,yz)$ jest odwzorowaniem liniowym danym przez macierz

 (1)

$\left[\begin{array}{ccc}y& x& 0\\ 0& z& y\end{array}\right]$

 (2)

$\left[\begin{array}{cc}y& 0\\ x& z\\ 0& y\end{array}\right]$

 (3)

$\left[\begin{array}{ccc}y& x& 0\\ 0& z& y\\ x& y& z\end{array}\right].$

tak, nie, nie

Płaszczyzna styczna do wykresu funkcji $f(x,y)=2x+3x{y}^2$ w punkcie $(a,b,f(a,b))$ jest równoległa do płaszczyzny $5x+12y-z=0$,

 (1)

tylko jeśli $(a,b)=(2,1)$

 (2)

jeśli $(a,b)=(1,2)$ lub $(a,b)=(-1,-2)$

 (3)

jeśli $(a,b)=(-2,-1)$ lub $(a,b)=(2,1)$.

nie, nie, tak

Różniczka rzędu drugiego funkcji $f(x,y)=\sin x+\cos y+xy$ jest odwzorowaniem dwuliniowym danym przez macierz

 (1)

$\left[\begin{array}{cc}-\sin x& 1\\ 1& -\cos y\end{array}\right]$

 (2)

$\left[\begin{array}{cc}-\cos y& 1\\ 1& -\sin x\end{array}\right]$

 (3)

$\left[\begin{array}{cc}-\sin x& -\cos y\\ 1& 1\end{array}\right].$

tak, nie, nie

Jeśli $f:{\mathbb{ℝ}}^2\ni (x,y)\mapsto (x{e}^y,x^2+y^2)\in {\mathbb{ℝ}}^2$, to

 (1) macierzą Jacobiego odwzorowania $f$ w  punkcie $(3,0)$ jest

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\beginmatrix”): {\displaystyle \displaystyle \left[\beginmatrix 1&6\\3&0\endmatrix \right]}

 (2)

jakobian odwzorowania $f$ w każdym punkcie jest nieujemny

 (3)

jakobian odwzorowania $f$ zeruje się na paraboli $y=x^2$.

nie, nie, tak

Niech $f(x,y)=\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{g}(x+y)$. Współczynnik przy wyrażeniu $h_1^2{h}_2$ we wzorze na wartość różniczki $d_{(0,1)}^3(h,h,h)$ na trójce takich samych wektorów $h=(h_1,h_2)$ jest równy

 (1)

$\frac{1}{2}$

 (2)

$\frac{3}{2}$

 (3)

$\frac{1}{6}$.

nie, tak, nie

Niech $f(x)=(x+y,xy)$ i $g(x,y)=(x,xy,x^{2}y)$. Wtedy różniczka funkcji złożonej $g\circ f$ jest dana przez macierz powstałą z pomnożenia macierzy

 (1)

$\left[\begin{array}{cc}1& 1\\ y& x\end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc}1& y& 2xy\\ 0& x& x^2\end{array}\right]$

 (2)

$\left[\begin{array}{cc}0& 1\\ x& y\\ x^2& 2xy\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}1& 1\\ x& y\end{array}\right]$

 (3)

$\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ y& x\\ 2xy& x^2\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}1& 1\\ y& x\end{array}\right].$

nie, nie, tak

Rozważmy następujące zdania

 (a)

$f$ ma różniczkę w punkcie $(x_0,y_0)$

 (b)

$f$ ma pochodne cząstkowe w punkcie $(x_0,y_0)$

 (c)

$f$ jest ciągła w punkcie $(x_0,y_0)$.

Wtedy prawdziwe są następujące implikacje

 (1)

$(a)\Rightarrow (b)\Rightarrow (c)$

 (2)

$(a)\Rightarrow (b)$ i $(c)\Rightarrow (a)$

 (3)

$(a)\Rightarrow (c)$ i $(b)\Rightarrow (c)$.

nie, nie, nie

\bfOdpowiedzi:

\bfZadanie 1. tak, nie, tak

\bfZadanie 2. nie, nie, tak

\bfZadanie 3. tak, nie, nie

\bfZadanie 4. nie, nie, tak

\bfZadanie 5. tak, nie, nie

\bfZadanie 6. nie, nie, tak

\bfZadanie 7. nie, tak, nie

\bfZadanie 8. nie, nie, tak

\bfZadanie 9. nie, nie, nie.

\bfOcena testu:

0-4 pkt -- ocena niedostateczna

5 pkt -- ocena dostateczna

6 pkt -- ocena plus dostateczna

7 pkt -- ocena dobra

8 pkt -- ocena plus dobra

9 pkt -- ocena bardzo dobra.

88888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888

Ekstrema funkcji wielu zmiennych. Test

Do każdego zadania podano trzy odpowiedzi, z których każda może być prawdziwa lub fałszywa. Można uzyskać jeden punkt wtedy i tylko wtedy, jeśli poprawnie zostaną wskazane wszystkie prawdziwe i fałszywe odpowiedzi.

Funkcja $f(x)=a{x}^2-2xy+2y^2-6x$

 (1)

ma maksimum w punkcie $(6,3)$, jeśli $a=1$

   

 (2)

ma minimum w punkcie $(-2,-1)$, jeśli $a=-1$

   

 (3)

nie ma ekstremum, jeśli $a=\frac{1}{4}$.

nie, nie, tak

Funkcja $f(x,y)=(2x-x^2)(2y+y^2)$

 

 (1)

przyjmuje zarówno wartości dodatnie, jak i ujemne w sąsiedztwie punktu $(0,0)$

   

 (2)

ma minimum w punkcie $(2,-2)$

   

 (3)

ma minimum w punkcie $(1,-1)$.

 tak, nie, tak

Funkcja $f(x,y)=(y-x^3)(y-3x^3)$

 

 (1)

zacieśniona do zbioru $\{(x,y)\in {\mathbb{ℝ}}^2:y=2x^3\}$ osiąga maksimum w punkcie $(0,0)$

   

 (2)

zacieśniona do prostej $y=x$ osiąga minimum w punkcie $(0,0)$

   

 (3)

osiąga minimum w punkcie $(0,0)$.

tak, tak, nie

Jeśli $z=f(x)=x^4-2x^2$ oraz $z=F(x,y)=(x^2+y^2{)}^2-2(x^2+y^2)$, to

 

 (1)

wykres funkcji $F$ powstał przez obrót wykresu funkcji $f$ dookoła osi $0z$

   

 (2)

funkcja $F$ ma maksimum lokalne

   

 (3)

funkcja $F$ ma maksimum globalne.

 tak, tak, nie

Maksimum globalne w punkcie $(0,0)$ ma funkcja

 

 (1)

$f(x,y)=\cosh (x^2+y^2)$

   

 (2)

$g(x,y)=x^4+y^2$

   

 (3)

$h(x,y)=xy$.

 nie, nie, nie

Funkcja $f(x,y,z)=\ln x+\ln y+\ln z+\ln (4-x-y-z)$

 

 (1)

nie ma punktów krytycznych

   

 (2)

ma maksimum w punkcie $(1,1,1)$

   

 (3)

ma minimum w punkcie $(-1,-1,-1)$.

  nie, tak, nie

Funkcja $f(x,y,z)=x^6-2y^5+z^2-3x^2-5y^2-4z$

 

 (1)

ma dokładnie trzy punkty krytyczne

   

 (2)

ma maksimum w punkcie $(0,0,2)$

   

 (3)

ma minimum w punkcie $(1,-1,2)$.

 nie, nie, tak

Minimum globalne w $(0,0,0)$ ma funkcja

 

 (1)

$f(x,y,z)=|x|+|y|+|z|$

   

 (2)

$g(x,y,z)=\sqrt{x^4+y^4+z^4}$

   

 (3)

$h(x,y,z)=\sinh (x^2+y^2+z^2)$.

 tak, tak, tak

Funkcja wielu zmiennych

 

 (1)

może mieć nieskończenie wiele maksimów i ani jednego minimum

   

 (2)

musi mieć przynajmniej jedno maksimum, jeśli ma jakieś minimum

   

 (3)

ma maksimum globalne, jeśli ma tylko jedno maksimum lokalne.

 tak, nie, nie.

\bfOdpowiedzi:

\bfZadanie Uzupelnic t.am2.c.7.010|. nie, nie, tak

\bfZadanie Uzupelnic t.am2.c.7.020|. tak, nie, tak

\bfZadanie Uzupelnic t.am2.c.7.030|. tak, tak, nie

\bfZadanie Uzupelnic t.am2.c.7.040|. tak, tak, nie

\bfZadanie Uzupelnic t.am2.c.7.050|. nie, nie, nie

\bfZadanie Uzupelnic t.am2.c.7.060|. nie, tak, nie

\bfZadanie Uzupelnic t.am2.c.7.070|. nie, nie, tak

\bfZadanie Uzupelnic t.am2.c.7.080|. tak, tak, tak

\bfZadanie Uzupelnic t.am2.c.7.090|. tak, nie, nie.

\bfOcena testu:

0-4 pkt -- ocena niedostateczna

5 pkt -- ocena dostateczna

6 pkt -- ocena plus dostateczna

7 pkt -- ocena dobra

8 pkt -- ocena plus dobra

9 pkt -- ocena bardzo dobra.

999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999

Twierdzenie o funkcjach uwikłanych. Test

Do każdego zadania podano trzy odpowiedzi, z których każda może być prawdziwa lub fałszywa. Można uzyskać jeden punkt wtedy i tylko wtedy, jeśli poprawnie zostaną wskazane wszystkie prawdziwe i fałszywe odpowiedzi.

Rozważmy funkcję $F(x,y)=x^y=y^x$ i jej $P(a,b)$. Wtedy

 (1)

$a=1$ i $b=1$

 (2)
poziomica $\{F=0\}$ jest wykresem pewnej

funkcji $y=y(x)$

 (3)

jeśli $(a,b)\ne (e,e)$, to w otoczeniu punktu $P$ poziomica $\{F=0\}$ jest wykresem pewnej funkcji $y=y(x)$.

Funkcja $y=y(x)$ uwikłana równaniem $xy-\ln y-1=0$ i taka, że $y(\frac{2}{e})=e$, ma pochodną w punkcie $\frac{2}{e}$ równą

 (1)

$e$

 (2)

$-e^2$

 (3)

$e^2$.

Równanie $x^2+y^2=e^{x^2+y^2-1}$

 (1)

przedstawia okrąg $x^2+y^2=1$

 (2)

określa jednoznacznie pewną funkcję $y=y(x)$ poza punktami $(-1,0)$ i $(1,0)$

 (3)

określa jednoznacznie pewną funkcję $x=x(y)$ poza punktami $(0,-1)$ i $(0,1)$.

Równanie $z^3-3xyz-20=0$ określa jednoznacznie pewną funkcję

 (1)

$z=z(x,y)$ w otoczeniu punktu $(-1,2,2)$

 (2)

$x=x(y,z)$ w otoczeniu punktu $(0,1,1)$

 (3)

$y=y(x,z)$ w otoczeniu punktu Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\root”): {\displaystyle \displaystyle (0,1,\root 3 \of {20})} .

Układ równań

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\begincases”): {\displaystyle \displaystyle \begincases &xy+yz+zx-11=0, \\ &xyz-6=0\\ \endcases }

określa jednoznacznie parę funkcji $y=y(x),z=z(x)$ w otoczeniu punku $(1,2,3)$, których pochodne w punkcie $1$ są równe

 (1)

$y^{\prime }(1)=-8,z^{\prime }(1)=9$

 (2)

$y^{\prime }(1)=9,z^{\prime }(1)=-8$

 (3)

$y^{\prime }(1)=8,z^{\prime }(1)=-9$.

Równanie $F(x,y)=0$

 (1)

w otoczeniu każdego punktu określa jednoznacznie pewną funkcję $y=y(x)$ spełniającą równanie
$F(x,y(x))=0$

 (2)

w otoczeniu każdego punktu określa jednoznacznie pewną funkcję $x=x(y)$ spełniającą równanie
$F(x(y),y)=0$

 (3)

w otoczeniu każdego punktu określa jednoznacznie funkcję $y=y(x)$ spełniającą równanie $F(x,y(x))=0$ lub funkcję $x=x(y)$ spełniającą równanie $F(x(y),y)=0$.

Funkcja $z=z(x,y)$ określona równaniem $x^6+y^6+z^6-6xyz=0$

 (1)

ma w punkcie Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\root”): {\displaystyle \displaystyle \displaystyle (x,y)=(\root 9 \of 2,\root 9 \of 2)} maksimum lokalne

 (2)

ma w punkcie Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\root”): {\displaystyle \displaystyle \displaystyle (x,y)=(-\root 9 \of 2,-\root 9 \of 2)} minimum lokalne

 (3)

ma w punkcie Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\root”): {\displaystyle \displaystyle \displaystyle (x,y)=(\root 9 \of 2,-\root 9 \of 2)} minimum lokalne.

Niech $g(x,y)=x^2+y^2-1$. Wtedy funkcja $f(x,y)=x^3+y^3$

 (1)

ma minimum warunkowe pod warunkiem $g(x,y)=0$ w punkcie $(x,y)=(0,1)$

 (2)

ma maksimum warunkowe pod warunkiem $g(x,y)=0$ w punkcie $(x,y)=(0,1)$

 (3)

nie ma ekstremum warunkowego pod warunkiem $g(x,y)=0$ w punkcie $(x,y)=(0,1)$.

Funkcja $f(x,y,z)=x^2+y^2-z^2$ ma ekstremum warunkowe w punkcie $(0,0,1)$ pod warunkiem

 (1)

$g(x,y,z)=x+y+z-1=0$

 (2)

$g(x,y,z)=xy+yz+zx-1=0$

 (3)

$g(x,y,z)=x^2+y^2+z^2-1=0$.

\bfOdpowiedzi:

\bfZadanie 1. nie, nie, tak

\bfZadanie 2. nie, tak, nie

\bfZadanie 3. tak, tak, tak

\bfZadanie 4. tak, nie, nie

\bfZadanie 5. tak, nie, nie

\bfZadanie 6. nie, nie, nie

\bfZadanie 7. tak, nie, tak

\bfZadanie 8. nie, tak, nie

\bfZadanie 9. nie, nie, tak.

\bfOcena testu:

0-4 pkt -- ocena niedostateczna

5 pkt -- ocena dostateczna

6 pkt -- ocena plus dostateczna

7 pkt -- ocena dobra

8 pkt -- ocena plus dobra

9 pkt -- ocena bardzo dobra.

131313131313131313131313131313131313131313131313

Równania różniczkowe zwyczajne. Test

Do każdego zadania podano trzy odpowiedzi, z których każda może być prawdziwa lub fałszywa. Można uzyskać jeden punkt wtedy i tylko wtedy, jeśli poprawnie zostaną wskazane wszystkie prawdziwe i fałszywe odpowiedzi.

Jeśli funkcja $h$ jest rozwiązaniem pewnego równania różniczkowego, to jest funkcją

 

 (1)

ciągłą

   

 (2)

różniczkowalną

   

 (3)

klasy $C^{\mathrm{\infty }}$.

tak, tak, nie

Pewna substancja paruje z prędkością wprost proporcjonalną do jej aktualnej masy. Po godzinie od momentu rozpoczęcia tego procesu było 36,8g substancji, po dalszych dwóch 9,2g.

 (1) Na początku było 73,6 g substancji.
   

 (2) Substancja wyparuje całkowicie po 10 godzinach od
 początku procesu.
   

 (3) Jeśli w chwili $t_0$ mamy $4$ g tej substancji, to po 4
 godzinach zostanie $1$ g.

tak, nie, tak

Funkcja $g(t)=-\ln (1-e^t)$ jest rozwiązaniem

 

 (1) równania różniczkowego $x^{\prime }=e^{t+x}$
   

 (2)

problemu początkowego Cauchy'ego Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\begincases”): {\displaystyle \displaystyle \begincases x'(t)=\exp(x(t))-1\\x(-\ln 2)=\ln 2\endcases }

   

 (3) problemu początkowego Cauchy'ego

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\begincases”): {\displaystyle \displaystyle \begincases \exp(1-x(t))\frac{dx}{dt}=\exp(t+1)\\x(1)=0\endcases } .

tak, tak, nie

Problem początkowy Cauchy'ego

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\begincases”): {\displaystyle \displaystyle \begincases x'(t)=\sqrt[3]{x(t)-3}\\ x(t_0)=x_0\endcases }

ma

dokładnie jedno rozwiązanie, jeśli

 

 (1)

$t_0=3,x_0=2$

   

 (2)

$t_0=2,x_0=3$

   

 (3)

$t_0=3,x_0=3$.

tak, nie, nie

Jednym z rozwiązań równania $t^2{x}^{\prime }=-x$ jest funkcja

 

 (1)

$f(t)=-\exp \left(\frac{1}{t}\right)+2$

   

 (2)

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\begincases”): {\displaystyle \displaystyle \displaystyle g(t)=\begincases 0, &t\leq 0\\ 3\exp\left(\frac1t\right), & t>0\endcases }

   

 (3)

$h(t)=\exp \left(\frac{1}{t}\right)$.

nie, nie, nie

Wyznaczając metodą kolejnych przybliżeń rozwiązanie problemu Cauchy'ego

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\begincases”): {\displaystyle \displaystyle \begincases x'(t)=t-x(t),\\x(0)=0\endcases }

otrzymujemy
 

 (1)

$x_2(t)=\frac{1}{2}{t}^2-\frac{1}{6}{t}^3$

   

 (2)

$x_4(t)=\frac{1}{2}{t}^2-\frac{1}{6}{t}^3+\frac{1}{24}{t}^4-\frac{1}{120}{t}^5$

   

 (3)

$x(t)=\sum _{n=2}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-t{)}^n}{n!}$.

tak, tak, tak

Stosując metodę łamanych Eulera dla problemu początkowego

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\begincases”): {\displaystyle \displaystyle \begincases x'(t)=t^2+x(t)\\x(0)=0\endcases }

w przedziale

$[0;2]$ i biorąc $h=0,5$ otrzymujemy

 

 (1)

łamaną o węzłach $(0,0),(\frac{1}{2},0),(1,\frac{1}{8}),(\frac{3}{2},\frac{11}{16}),(2,\frac{69}{32})$

   

 (2)

wartość łamanej Eulera w punkcie $\frac{3}{2}$ równą $\tilde{x}\left(\frac{3}{2}\right)=\frac{11}{16}$

   

 (3)

wartość łamanej Eulera w punkcie $2$ równą

$\tilde{x}\left(2\right)=\frac{47}{32}$.
   

tak, tak, nie

Jeśli funkcja $x$ jest rozwiązaniem problemu początkowego Cauchy'ego Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\begincases”): {\displaystyle \displaystyle \begincases x'(t)=x(t)t\\x(0)=1\endcases } , to

 

 (1)

$x^{\prime }(0)=1$

   

 (2)

$x^{″}(0)=1$

   

 (3)

$x^{‴}(0)=2$.

nie, tak, tak

Rozważamy równanie $x^{\prime }=\frac{x}{t}$.

 

 (1) Izoklinami tego równania są wszystkie proste
 przechodzące przez środek układu współrzędnych.
   

 (2)

Wektory pola kierunków zaczepione w punktach prostej $x=3t$ są do niej równoległe.

   

 (3)

Wektory pola kierunków zaczepione w punktach prostej $x=0$ są do niej prostopadłe.

nie, tak, nie

\bfOdpowiedzi:

\bfZadanie 1. tak, tak, nie

\bfZadanie 2. tak, nie, tak

\bfZadanie 3. tak, tak, nie

\bfZadanie 4. tak, nie, nie

\bfZadanie 5. nie, nie, nie

\bfZadanie 6. tak, tak, tak

\bfZadanie 7. tak, tak, nie

\bfZadanie 8. nie, tak, tak

\bfZadanie 9. nie, tak, nie.

\bfOcena testu:

0-4 pkt -- ocena niedostateczna

5 pkt -- ocena dostateczna

6 pkt -- ocena plus dostateczna

7 pkt -- ocena dobra

8 pkt -- ocena plus dobra

9 pkt -- ocena bardzo dobra.

151515151515151515151515151515151515151515151515151515151515

Elementy rachunku wariacyjnego. Test

Do każdego zadania podano trzy odpowiedzi, z których każda może być prawdziwa lub fałszywa. Można uzyskać jeden punkt wtedy i tylko wtedy, jeśli poprawnie zostaną wskazane wszystkie prawdziwe i fałszywe odpowiedzi.

Przestrzeń $C^1[0,1]$ z normą

$\Vert f\Vert =\max \{|f(t)|,0\le t\le 1\}+\max \{|f^{\prime }(t)|,0\le t\le 1\}.$

 (1) jest przestrzenią metryczną zupełną
   

 (2) jest przestrzenią Hilberta
   

 (3) ma wymiar skończony.

Jeśli funkcja Lagrange'a $(x,y,t)\mapsto L(x,y,t)$ nie zależy od zmiennej $y$, to równanie Lagrange'a-Eulera jest równoważne równaniu

 

 (1) $\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial y}(f,f^{\prime },t)-\frac{\partial L}{\partial x}(f,f^{\prime },t)=0$
   

 (2) $\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial y}(f,f^{\prime },t)-\frac{\partial L}{\partial x}(f,f^{\prime },t)=C$, gdzie $C$ jest dowolną stałą.
   

 (3) $L(f,f^{\prime },t)-f^{\prime }\frac{\partial L}{\partial t}(f,f^{\prime },t)=0$.

W przestrzeni $C^1[0,1]$ określono

normę

$\Vert f\Vert =\max \{|f(t)|,0\le t\le 1\}+\max \{|f^{\prime }(t)|,0\le t\le 1\}.$

Norma  funkcji $f(t)=-\exp (-t)$ w tej przestrzeni

wynosi

 

 (1) $0$
   

 (2) $2$
   

 (3) $2e^{-1}$.

Jeśli funkcja Lagrange'a $(x,y,t)\mapsto L(x,y,t)$ nie zależy od zmiennej $t$, to równanie Lagrange'a-Eulera jest równoważne równaniu

 

 (1) $\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial y}(f,f^{\prime },t)-\frac{\partial L}{\partial x}(f,f^{\prime },t)=C$, gdzie $C$ jest dowolną stałą.
   

 (2) $\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial y}(f,f^{\prime },t)-\frac{\partial L}{\partial t}(f,f^{\prime },t)=0$.
   

 (3) $L(f,f^{\prime },t)-f^{\prime }\frac{\partial L}{\partial t}(f,f^{\prime },t)=0$.

Równanie $t\mapsto (x(t),y(t))$, gdzie $x(t)=r(t-\sin t)$, $y(t)=r(1-\cos t)$ przedstawia

 

 (1) okrąg
   

 (2) elipsę
   

 (3) cykloidę.

Funkcjonał $J[f]=\pi \underset{a}{\overset{b}{\int }}{f}^{2}dt$ wyraża

 

 (1) objętość bryły obrotowej powstałej z obrotu wykresu
 funkcji $t\mapsto f(t)$, $a\le t\le b$, dokoła osi rzędnych
   

 (2) pole powierzchni  obrotowej powstałej z obrotu wykresu
 funkcji $t\mapsto f(t)$, $a\le t\le b$, dokoła osi rzędnych
   

 (3) długość krzywej stanowiącej wykres funkcji $t\mapsto f(t)$, $a\le t\le b$.

Jeśli funkcja Lagrange'a $(x,y,t)\mapsto L(x,y,t)$ nie zależy od zmiennej $x$, to równanie Lagrange'a-Eulera jest równoważne równaniu

 

 (1) $\frac{\partial L}{\partial y}(f,f^{\prime },t)=0$
   

 (2) $\frac{\partial L}{\partial t}(f,f^{\prime },t)=C,$ gdzie
 $C$ jest dowolną stałą
   

 (3) $\frac{\partial L}{\partial y}(f,f^{\prime },t)=C,$ gdzie
 $C$ jest dowolną stałą.
   

Ekstremalą funkcjonału $J[f]=\underset{0}{\overset{1}{\int }}\sqrt{1+(f^{\prime }{)}^2}dt$, $f(0)=1$, $f(1)=2$, jest

 

 (1) łuk okręgu o środku $(1,1)$ i promieniu $1$
   

 (2) odcinek o końcach $(0,1)$, $(1,2)$
   

 (3) odcinek prostej o równaniu $f(t)=t+1$.

Ekstremalą funkcjonału $J[f]=\underset{-\pi }{\overset{\pi }{\int }}f\sqrt{1+(f^{\prime }{)}^2}dt$, $f(-\pi )=0$, $f(\pi )=0$, jest funkcja

 

 (1)  $f(t)=t^2-{\pi }^2$
   

 (2)  $f(t)=1+\cos t$
   

 (3)   $f(t)=0.$

\bfOdpowiedzi:

\bfZadanie 1. tak, nie, nie.

\bfZadanie 2. tak, nie, nie.

\bfZadanie 3. nie, tak, nie.

\bfZadanie 4. nie, nie, nie.

\bfZadanie 5. nie, nie, tak.

\bfZadanie 6. tak, nie, nie.

\bfZadanie 7. nie, nie, tak.

\bfZadanie 8. nie, tak, tak.

\bfZadanie 9. nie, nie, tak.

\bfOcena testu:

0-4 pkt -- ocena niedostateczna

5 pkt -- ocena dostateczna

6 pkt -- ocena plus dostateczna

7 pkt -- ocena dobra

8 pkt -- ocena plus dobra

9 pkt -- ocena bardzo dobra.