Test GR4: Różnice pomiędzy wersjami

Wersja z 16:57, 27 wrz 2006

22222222222222222222222222222222222222

9999999999999999999999999999999999999999999999999999999999

10101010101010101010101010101010101010101010

Wzór Taylora. Ekstrema. Test

Do każdego zadania podano trzy odpowiedzi, z których każda może być prawdziwa lub fałszywa. Można uzyskać jeden punkt wtedy i tylko wtedy, jeśli poprawnie zostaną wskazane wszystkie prawdziwe i fałszywe odpowiedzi.

Funkcja $x \mapsto (5 - x) \sqrt[3]{x^{2}}$

ma dokładnie dwa punkty krytyczne Dobrze

nie ma ekstremum w punkcie $0$ Źle

ma minimum w punkcie 2. Źle

tak, nie, nie

Funkcja $x \to x + \ln (\sin x)$

ma punkty krytyczne postaci $\frac{π}{4} + k π$ , gdzie $k \in ℤ$ Źle

ma tylko minima Źle

nie ma punktów krytycznych w przedziale $(\frac{5 π}{2}, 3 π)$ . Źle

 nie, nie, nie

Niech  $f (x) = x^{m} (1 - x)^{n}$  dla pewnych

liczb naturalnych $m, n$ . Wtedy

funkcja $f$ ma dokładnie trzy punkty krytyczne Źle

funkcja $f$ ma maksimum w pewnym punkcie leżącym w przedziale $(0, 1)$ Dobrze

funkcja $f$ może mieć dwa minima. Dobrze

 nie, tak, tak

Liczba $\frac{π}{2}$ jest największą wartością funkcji

$x \mapsto x \arcsin x + \sqrt{1 - x^{2}}$ w przedziale $[0, 1]$ Dobrze

$x \mapsto a r c t g x + a r c c t g x$ w przedziale $[1, + \infty)$ Dobrze

$x \mapsto (1 - x) \arccos x$ w przedziale $[0, 1]$ . Dobrze

 tak, tak, tak

Z prostokątnego arkusza blachy o wymiarach $a \times b$ wycięto w każdym rogu kwadrat o boku $x$ . Z pozostałej blachy utworzono otwarte prostopadłościenne pudełko o wysokości $x$ . Wartość $x$ została tak dobrana, że pojemność pudełka jest maksymalna. Wtedy

jeśli $a = 3$ i $b = 8$ , to pojemność ta wynosi $\frac{200}{27}$ Dobrze

jeśli $a = b$ , to $x = \frac{a}{6}$ Dobrze

jeśli $a$ i $b$ są całkowite, to $x$ jest wymierne. Źle

 tak, tak, nie

Przykładem funkcji różniczkowalnej dwukrotnie, która nie jest klasy $C^{2}$ jest funkcja

$x \mapsto {\begin{cases} x^{4} \cos \frac{1}{x}, & g d y x \neq 0 \\ 0, & g d y x = 0 \end{cases}$ Dobrze

$x \mapsto {\begin{cases} - x^{3}, & g d y x \geq 0 \\ x^{3}, & g d y x < 0 \end{cases}$ Źle

$x \mapsto {\begin{cases} x \sinh x, & g d y x \geq 0 \\ - x \sinh x, & g d y x < 0 \end{cases}$ . Dobrze

 tak, nie, tak

Odpowiedzi:

Zadanie Uzupelnic t.am1.c.10.010|. tak, nie, nie

Zadanie Uzupelnic t.am1.c.10.020|. nie, nie, nie

Zadanie Uzupelnic t.am1.c.10.030|. nie, tak, tak

Zadanie Uzupelnic t.am1.c.10.040|. tak, tak, tak

Zadanie Uzupelnic t.am1.c.10.050|. tak, tak, nie

Zadanie Uzupelnic t.am1.c.10.060|. tak, nie, tak.

Ocena testu:

0-3 pkt -- ocena niedostateczna

4 pkt -- ocena dostateczna

5 pkt -- ocena dobra

6 pkt -- ocena bardzo dobra.

111111111111111111111111111111111111111111111111111111

Twierdzenie de l'Hospitala. Równość asymptotyczna. Test

Do każdego zadania podano trzy odpowiedzi, z których każda może być prawdziwa lub fałszywa. Można uzyskać jeden punkt wtedy i tylko wtedy, jeśli poprawnie zostaną wskazane wszystkie prawdziwe i fałszywe odpowiedzi.

Symbolem nieoznaczonym jest

$[+ \infty - \infty]$ Dobrze

$[1^{+ \infty}]$ Dobrze

$[0^{- \infty}]$ . Źle

tak, tak, nie

Granica $\lim_{x \to 0} \frac{a r c t g x}{x^{3}}$

może być liczona za pomocą reguły de l'Hospitala Dobrze

jest równa granicy $\lim_{x \to 0} \frac{\frac{x^{3}}{1 + x^{2}} - 3 x^{2} a r c t g x}{x^{6}}$ Źle

jest równa 0. Źle

tak, nie, nie

Granica $\lim_{x \to 0} x \ln x$

jest równa granicy $\lim_{x \to 0} (1 \cdot \ln x + x \cdot \frac{1}{x})$ Źle

jest równa granicy $\lim_{x \to 0} 1 \cdot \frac{1}{x}$ Źle

jest równa 0. Dobrze

nie, nie, tak

Granica $\lim_{x \to 1} \frac{\sqrt{1 - x^{m}}}{\ln x}$

istnieje dla dowolnej liczby rzeczywistej $m$ Dobrze

jest równa $1$ dla $m = 2$ Źle

jest równa $0$ dla pewnego $m$ . Dobrze

 tak, nie, tak

Na mocy reguły de l'Hospitala prawdziwa jest równość

$\lim_{x \to 0} \frac{5 x^{2} + 3 x - 2}{2 x^{2} - 7 x + 1} = \lim_{x \to 0} \frac{10 x + 3}{4 x - 7}$ Źle

$\lim_{x \to \infty} \frac{3 x + \cos x}{2 x - \sin x} = \lim_{x \to \infty} \frac{3 - \sin x}{2 - \cos x}$ Źle

$\lim_{x \to 1} \frac{\ln x}{x^{2}} = \lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x}}{2 x}$ Źle

   nie, nie, nie

Funkcja $f (x) = 2 x \arccos \frac{1}{x}$

ma asymptotę pionową $x = 0$ Źle

ma asymptotę ukośną $y = π x - 2$ w plus lub minus nieskończoności Dobrze

ma inną asymptotę ukośną w plus nieskończoności niż w minus nieskończoności. Źle

 nie, tak, nie

Odpowiedzi:

Zadanie Uzupelnic t.am1.c.11.010|. tak, tak, nie

Zadanie Uzupelnic t.am1.c.11.020|. tak, nie, nie

Zadanie Uzupelnic t.am1.c.11.030|. nie, nie, tak

Zadanie Uzupelnic t.am1.c.11.040|. tak, nie, tak

Zadanie Uzupelnic t.am1.c.11.050|. nie, nie, nie

Zadanie Uzupelnic t.am1.c.11.060|. nie, tak, nie.

Ocena testu:

0-3 pkt -- ocena niedostateczna

4 pkt -- ocena dostateczna

5 pkt -- ocena dobra

6 pkt -- ocena bardzo dobra.

12121212121212121212121212121212121212121212121212121212

Wypukłość. Badanie funkcji jednej zmiennej. Test

Do każdego zadania podano trzy odpowiedzi, z których każda może być prawdziwa lub fałszywa. Można uzyskać jeden punkt wtedy i tylko wtedy, jeśli poprawnie zostaną wskazane wszystkie prawdziwe i fałszywe odpowiedzi.

Funkcja

Źle

x \mapsto \ln \frac{1}{x}

jest wklęsła

Dobrze

x \mapsto \cosh x

jest wypukła

Źle

x \mapsto \sqrt{1 - x^{2}}

jest wypukła.

nie, tak, nie

Funkcja  $f$  jest dwukrotnie

różniczkowalna w pewnym przedziale $(0, + \infty)$ . Wtedy:

Dobrze

Jeśli

f

jest wypukła, to

f^{'}

jest rosnąca.

Dobrze

Jeśli

f^{'}

jest malejąca, to

f

jest wklęsła.

Źle

Jeśli

f^{″} (1) = 0

, to

f

ma w

1

punkt przegięcia. tak, tak, nie

Funkcja  $f (x) = x^{3} + 12 a r c t g x$  jest

Dobrze

wypukła w przedziale

(1, + \infty)

Dobrze

wklęsła w przedziale

(- \infty, - 1)

Źle

wypukła w przedziale

(- \frac{1}{2}, \frac{1}{2})

.

 tak, tak, nie

Funkcja  $x \mapsto x \arcsin (\cos x)$

jest wypukła w przedziale

Źle

(\frac{π}{2}, \frac{3 π}{2})

Dobrze

(- \frac{π}{2}, 0)

Dobrze

(5 π, 6 π)

.

 nie, tak, tak

Jeśli funkcja  $f$  jest wypukła w

przedziale $(0, 1)$ , to

Źle

funkcja

f^{2} (x) = (f (x))^{2}

też jest wypukła w tym przedziale

Źle

funkcja

f^{3} (x) = (f (x))^{3}

też jest wypukła w tym przedziale

Źle

funkcja

(0, 1) ∋ x \mapsto x f (x)

też jest wypukła w tym przedziale.

   nie, nie, nie

Niech  $x, y, z$  będą dowolnymi liczbami

z przedziału $(0, 1)$ . Prawdziwa jest nierówność

Dobrze

x y z \leq \frac{(x + y + z)^{3}}{27}

Dobrze

e^{\frac{2 x + y}{3}} \leq \frac{2}{3} (e^{x} + e^{y})

Dobrze

2 c t g \frac{2 x + y + z}{4} \leq c t g x + \frac{1}{2} (c t g y + c t g z)

.

tak, tak, tak

Test GR4: Różnice pomiędzy wersjami

Wersja z 16:57, 27 wrz 2006

Wzór Taylora. Ekstrema. Test

Twierdzenie de l'Hospitala. Równość asymptotyczna. Test

Wypukłość. Badanie funkcji jednej zmiennej. Test

Menu nawigacyjne

Działania na stronie

Opcje strony

Narzędzia osobiste

Nawigacja

Szukaj

Narzędzia

@@ Linia 18: / Linia 18: @@
 <quiz>
- Funkcja <math>\displaystyle x\mapsto (5-x)\sqrt[3]{x^2}</math>
+Funkcja <math>\displaystyle x\mapsto (5-x)\sqrt[3]{x^2}</math>
   <br>
 <rightoption>ma dokładnie dwa punkty krytyczne</rightoption>
-    <br>
 <wrongoption>nie ma ekstremum w punkcie <math>\displaystyle 0</math></wrongoption>
-    <br>
 <wrongoption>ma minimum w punkcie 2.</wrongoption>
 </quiz>
   tak, nie, nie
@@ Linia 33: / Linia 30: @@
 <quiz>
- Funkcja <math>\displaystyle x\rightarrow x+\ln(\sin{x})</math>
+Funkcja <math>\displaystyle x\rightarrow x+\ln(\sin{x})</math>
-  <br>
 <wrongoption>ma punkty krytyczne postaci <math>\displaystyle \frac{\pi}{4}+ k\pi</math>, gdzie <math>\displaystyle k\in
 \Bbb Z</math></wrongoption>
-    <br>
 <wrongoption>ma tylko minima</wrongoption>
-    <br>
 <wrongoption>nie ma punktów krytycznych w przedziale <math>\displaystyle (\frac{5\pi}2,3\pi)</math>.</wrongoption>
 </quiz>
    nie, nie, nie
@@ Linia 51: / Linia 45: @@
   Niech <math>\displaystyle f(x)= x^m(1-x)^n</math> dla pewnych
 liczb naturalnych <math>\displaystyle m, n</math>. Wtedy
-  <br>
 <wrongoption>funkcja <math>\displaystyle f</math> ma dokładnie trzy punkty krytyczne</wrongoption>
-    <br>
 <rightoption>funkcja <math>\displaystyle f</math> ma maksimum w pewnym punkcie leżącym w przedziale
 <math>\displaystyle (0,1)</math></rightoption>
-    <br>
 <rightoption>funkcja <math>\displaystyle f</math> może mieć dwa minima.</rightoption>
 </quiz>
    nie, tak, tak
@@ Linia 66: / Linia 57: @@
 <quiz>
- Liczba <math>\displaystyle  \frac \pi2</math> jest największą
+Liczba <math>\displaystyle  \frac \pi2</math> jest największą
 wartością funkcji
-  <br>
 <rightoption><math>\displaystyle x\mapsto x\arcsin x +\sqrt{1-x^2}</math> w przedziale <math>\displaystyle [0,1]</math></rightoption>
-    <br>
 <rightoption><math>\displaystyle x\mapsto \mathrm{arctg}\, x+ \mathrm{arc\,ctg}\, x</math> w przedziale <math>\displaystyle [1,+\infty)</math></rightoption>
-    <br>
 <rightoption><math>\displaystyle x\mapsto (1-x)\arccos{x}</math> w przedziale <math>\displaystyle [0,1]</math>.</rightoption>
 </quiz>
    tak, tak, tak
@@ Linia 82: / Linia 70: @@
 <quiz>
- Z prostokątnego arkusza blachy o
+Z prostokątnego arkusza blachy o
 wymiarach <math>\displaystyle a\times b</math> wycięto w każdym rogu kwadrat o boku <math>\displaystyle x</math>. Z
 pozostałej blachy utworzono otwarte prostopadłościenne pudełko o
 wysokości <math>\displaystyle x</math>. Wartość <math>\displaystyle x</math> została tak dobrana, że pojemność
 pudełka jest maksymalna. Wtedy
-  <br>
 <rightoption>jeśli <math>\displaystyle a=3</math> i <math>\displaystyle b=8</math>, to pojemność ta wynosi <math>\displaystyle \frac{200}{27}</math></rightoption>
-    <br>
 <rightoption>jeśli <math>\displaystyle a=b</math>, to <math>\displaystyle x=\frac{a}6</math></rightoption>
-    <br>
 <wrongoption>jeśli <math>\displaystyle a</math> i <math>\displaystyle b</math> są całkowite, to <math>\displaystyle x</math> jest wymierne.</wrongoption>
 </quiz>
    tak, tak, nie
@@ Linia 101: / Linia 86: @@
 <quiz>
- Przykładem funkcji różniczkowalnej
+Przykładem funkcji różniczkowalnej
 dwukrotnie, która nie jest klasy <math>\displaystyle C^2</math> jest funkcja
-  <br>
 <rightoption><math>\displaystyle \displaystyle x\mapsto
 \left\{\begin{array} {ll}x^4\cos \frac1x, & {\rm gdy} \; x\neq 0\\
 ,& {\rm gdy } \; x=0\end{array} \right.</math></rightoption>
-    <br>
 <wrongoption><math>\displaystyle \displaystyle x\mapsto
 \left\{\begin{array} {ll}-x^3, & {\rm gdy} \; x\geq 0\\
 x^3,& {\rm gdy } \; x<0\end{array} \right.</math></wrongoption>
-    <br>
 <rightoption><math>\displaystyle \displaystyle x\mapsto
 \left\{\begin{array} {ll}x\sinh x, & {\rm gdy} \; x\geq 0\\
 -x\sinh x,& {\rm gdy } \; x<0\end{array} \right.</math>.</rightoption>
 </quiz>
    tak, nie, tak
@@ Linia 156: / Linia 138: @@
 <quiz>
- Symbolem nieoznaczonym jest
+Symbolem nieoznaczonym jest
- <br>
-<rightoption></rightoption>
+<rightoption><math>\displaystyle [+\infty - \infty]</math></rightoption>
-<math>\displaystyle [+\infty - \infty]</math>
-    <br>
+<rightoption><math>\displaystyle \left[1^{+\infty}\right]</math></rightoption>
-<rightoption></rightoption>
-<math>\displaystyle \left[1^{+\infty}\right]</math>
+<wrongoption><math>\displaystyle \left[0^{-\infty}\right]</math>.</wrongoption>
-    <br>
-<wrongoption></wrongoption>
-<math>\displaystyle \left[0^{-\infty}\right]</math>.
 </quiz>
   tak, tak, nie
@@ Linia 171: / Linia 150: @@
 <quiz>
- Granica <math>\displaystyle \displaystyle
+Granica <math>\displaystyle \displaystyle
 \lim_{x\rightarrow 0} \frac{\mathrm{arctg}\,{x}}{x^3}</math>
-  <br>
-<rightoption></rightoption>
+<rightoption>może być liczona za pomocą reguły de l'Hospitala</rightoption>
-może być liczona za pomocą reguły de l'Hospitala
-    <br>
+<wrongoption>jest równa granicy <math>\displaystyle \displaystyle \lim_{x\rightarrow 0}
-<wrongoption></wrongoption>
+\frac{\frac{x^3}{1+x^2}-3x^2\mathrm{arctg}\,{x}}{x^6}</math></wrongoption>
-jest równa granicy <math>\displaystyle \displaystyle \lim_{x\rightarrow 0}
-\frac{\frac{x^3}{1+x^2}-3x^2\mathrm{arctg}\,{x}}{x^6}</math>
+<wrongoption>jest równa 0.</wrongoption>
-    <br>
-<wrongoption></wrongoption>
-jest równa 0.
 </quiz>
 tak, nie, nie
@@ Linia 188: / Linia 164: @@
 <quiz>
- Granica <math>\displaystyle \displaystyle
+Granica <math>\displaystyle \displaystyle
 \lim_{x\rightarrow 0} x\ln{x}</math>
-  <br>
-<wrongoption></wrongoption>
+<wrongoption>jest równa granicy <math>\displaystyle \displaystyle \lim_{x\rightarrow 0}
-jest równa granicy <math>\displaystyle \displaystyle \lim_{x\rightarrow 0}
+\left(1\cdot \ln{x}+x\cdot \frac1x\right)</math></wrongoption>
-\left(1\cdot \ln{x}+x\cdot \frac1x\right)</math>
-    <br>
+<wrongoption>jest równa granicy <math>\displaystyle \displaystyle \lim_{x\rightarrow 0} 1\cdot
-<wrongoption></wrongoption>
+\frac1x</math></wrongoption>
-jest równa granicy <math>\displaystyle \displaystyle \lim_{x\rightarrow 0} 1\cdot
-\frac1x</math>
+<rightoption>jest równa 0.</rightoption>
-<br>
-<rightoption></rightoption>
-jest równa 0.
 </quiz>
   nie, nie, tak
@@ Linia 206: / Linia 179: @@
 <quiz>
- Granica <math>\displaystyle \displaystyle
+Granica <math>\displaystyle \displaystyle
 \lim_{x\rightarrow 1} \frac{\sqrt{1-x^m}}{\ln{x}}</math>
-  <br>
-<rightoption></rightoption>
+<rightoption>istnieje dla dowolnej liczby rzeczywistej <math>\displaystyle m</math></rightoption>
-istnieje dla dowolnej liczby rzeczywistej <math>\displaystyle m</math>
-    <br>
+<wrongoption>jest równa <math>\displaystyle 1</math> dla <math>\displaystyle m=2</math></wrongoption>
-<wrongoption></wrongoption>
-jest równa <math>\displaystyle 1</math> dla <math>\displaystyle m=2</math>
+<rightoption>jest równa <math>\displaystyle 0</math> dla pewnego <math>\displaystyle m</math>.</rightoption>
-    <br>
-<rightoption></rightoption>
-jest równa <math>\displaystyle 0</math> dla pewnego <math>\displaystyle m</math>.
 </quiz>
    tak, nie, tak
@@ Linia 222: / Linia 192: @@
 <quiz>
- Na mocy reguły de l'Hospitala
+Na mocy reguły de l'Hospitala
 prawdziwa jest równość
-  <br>
-<wrongoption></wrongoption>
+<wrongoption><math>\displaystyle \displaystyle \lim_{x\rightarrow 0} \frac{5x^2+3x-2}{2x^2-7x+1}=
-<math>\displaystyle \displaystyle \lim_{x\rightarrow 0} \frac{5x^2+3x-2}{2x^2-7x+1}=
+\lim_{x\rightarrow 0} \frac{10x+3}{4x-7}</math></wrongoption>
-\lim_{x\rightarrow 0} \frac{10x+3}{4x-7}</math>
-    <br>
+<wrongoption><math>\displaystyle \displaystyle \lim_{x\rightarrow \infty}
-<wrongoption></wrongoption>
-<math>\displaystyle \displaystyle \lim_{x\rightarrow \infty}
 \frac{3x+\cos{x}}{2x-\sin{x}}=\lim_{x\rightarrow \infty}
-\frac{3-\sin{x}}{2-\cos{x}}</math>
+\frac{3-\sin{x}}{2-\cos{x}}</math></wrongoption>
-    <br>
-<wrongoption></wrongoption>
+<wrongoption><math>\displaystyle \displaystyle \lim_{x\rightarrow 1}
-<math>\displaystyle \displaystyle \lim_{x\rightarrow 1}
+\frac{\ln{x}}{x^2}=\lim_{x\rightarrow 1}\frac{\frac1x}{2x}</math></wrongoption>
-\frac{\ln{x}}{x^2}=\lim_{x\rightarrow 1}\frac{\frac1x}{2x}</math>
 </quiz>
      nie, nie, nie
@@ Linia 242: / Linia 209: @@
 <quiz>
- Funkcja <math>\displaystyle \displaystyle
+Funkcja <math>\displaystyle \displaystyle
 f(x)=2x\arccos\frac1x</math>
-  <br>
-<wrongoption></wrongoption>
+<wrongoption>ma asymptotę pionową <math>\displaystyle x=0</math></wrongoption>
-ma asymptotę pionową <math>\displaystyle x=0</math>
-    <br>
+<rightoption>ma asymptotę ukośną <math>\displaystyle y=\pi x-2</math> w plus lub minus nieskończoności</rightoption>
-<rightoption></rightoption>
-ma asymptotę ukośną <math>\displaystyle y=\pi x-2</math> w plus lub minus nieskończoności
+<wrongoption>ma inną asymptotę ukośną w plus nieskończoności niż w minus nieskończoności.</wrongoption>
-    <br>
-<wrongoption></wrongoption>
-ma inną asymptotę ukośną w plus nieskończoności niż w minus
-nieskończoności.
 </quiz>
    nie, tak, nie