Test GR4: Różnice pomiędzy wersjami

Wersja z 16:51, 27 wrz 2006

22222222222222222222222222222222222222

9999999999999999999999999999999999999999999999999999999999

10101010101010101010101010101010101010101010

Wzór Taylora. Ekstrema. Test

Do każdego zadania podano trzy odpowiedzi, z których każda może być prawdziwa lub fałszywa. Można uzyskać jeden punkt wtedy i tylko wtedy, jeśli poprawnie zostaną wskazane wszystkie prawdziwe i fałszywe odpowiedzi.

Funkcja  $x \mapsto (5 - x) \sqrt[3]{x^{2}}$

ma dokładnie dwa punkty krytyczne Dobrze

nie ma ekstremum w punkcie $0$ Źle

ma minimum w punkcie 2. Źle

tak, nie, nie

Funkcja  $x \to x + \ln (\sin x)$

ma punkty krytyczne postaci $\frac{π}{4} + k π$ , gdzie $k \in ℤ$ Źle

ma tylko minima Źle

nie ma punktów krytycznych w przedziale $(\frac{5 π}{2}, 3 π)$ . Źle

 nie, nie, nie

Niech  $f (x) = x^{m} (1 - x)^{n}$  dla pewnych

liczb naturalnych $m, n$ . Wtedy

funkcja $f$ ma dokładnie trzy punkty krytyczne Źle

funkcja $f$ ma maksimum w pewnym punkcie leżącym w przedziale $(0, 1)$ Dobrze

funkcja $f$ może mieć dwa minima. Dobrze

 nie, tak, tak

Liczba  $\frac{π}{2}$  jest największą

wartością funkcji

$x \mapsto x \arcsin x + \sqrt{1 - x^{2}}$ w przedziale $[0, 1]$ Dobrze

$x \mapsto a r c t g x + a r c c t g x$ w przedziale $[1, + \infty)$ Dobrze

$x \mapsto (1 - x) \arccos x$ w przedziale $[0, 1]$ . Dobrze

 tak, tak, tak

Z prostokątnego arkusza blachy o

wymiarach $a \times b$ wycięto w każdym rogu kwadrat o boku $x$ . Z pozostałej blachy utworzono otwarte prostopadłościenne pudełko o wysokości $x$ . Wartość $x$ została tak dobrana, że pojemność pudełka jest maksymalna. Wtedy

jeśli $a = 3$ i $b = 8$ , to pojemność ta wynosi $\frac{200}{27}$ Dobrze

jeśli $a = b$ , to $x = \frac{a}{6}$ Dobrze

jeśli $a$ i $b$ są całkowite, to $x$ jest wymierne. Źle

 tak, tak, nie

Przykładem funkcji różniczkowalnej

dwukrotnie, która nie jest klasy $C^{2}$ jest funkcja

$x \mapsto {\begin{cases} x^{4} \cos \frac{1}{x}, & g d y x \neq 0 \\ 0, & g d y x = 0 \end{cases}$ Dobrze

$x \mapsto {\begin{cases} - x^{3}, & g d y x \geq 0 \\ x^{3}, & g d y x < 0 \end{cases}$ Źle

$x \mapsto {\begin{cases} x \sinh x, & g d y x \geq 0 \\ - x \sinh x, & g d y x < 0 \end{cases}$ . Dobrze

 tak, nie, tak

Odpowiedzi:

Zadanie Uzupelnic t.am1.c.10.010|. tak, nie, nie

Zadanie Uzupelnic t.am1.c.10.020|. nie, nie, nie

Zadanie Uzupelnic t.am1.c.10.030|. nie, tak, tak

Zadanie Uzupelnic t.am1.c.10.040|. tak, tak, tak

Zadanie Uzupelnic t.am1.c.10.050|. tak, tak, nie

Zadanie Uzupelnic t.am1.c.10.060|. tak, nie, tak.

Ocena testu:

0-3 pkt -- ocena niedostateczna

4 pkt -- ocena dostateczna

5 pkt -- ocena dobra

6 pkt -- ocena bardzo dobra.

111111111111111111111111111111111111111111111111111111

Twierdzenie de l'Hospitala. Równość asymptotyczna. Test

Do każdego zadania podano trzy odpowiedzi, z których każda może być prawdziwa lub fałszywa. Można uzyskać jeden punkt wtedy i tylko wtedy, jeśli poprawnie zostaną wskazane wszystkie prawdziwe i fałszywe odpowiedzi.

Symbolem nieoznaczonym jest

Dobrze

[+ \infty - \infty]

Dobrze

[1^{+ \infty}]

Źle

[0^{- \infty}]

.

tak, tak, nie

Granica  $\lim_{x \to 0} \frac{a r c t g x}{x^{3}}$

Dobrze

może być liczona za pomocą reguły de l'Hospitala

Źle

jest równa granicy

\lim_{x \to 0} \frac{\frac{x^{3}}{1 + x^{2}} - 3 x^{2} a r c t g x}{x^{6}}

Źle

jest równa 0. tak, nie, nie

Granica  $\lim_{x \to 0} x \ln x$

Źle

jest równa granicy

\lim_{x \to 0} (1 \cdot \ln x + x \cdot \frac{1}{x})

Źle

jest równa granicy

\lim_{x \to 0} 1 \cdot \frac{1}{x}

Dobrze

jest równa 0.

nie, nie, tak

Granica  $\lim_{x \to 1} \frac{\sqrt{1 - x^{m}}}{\ln x}$

Dobrze

istnieje dla dowolnej liczby rzeczywistej

m

Źle

jest równa

1

dla

m = 2

Dobrze

jest równa

0

dla pewnego

m

.

 tak, nie, tak

Na mocy reguły de l'Hospitala

prawdziwa jest równość

Źle

\lim_{x \to 0} \frac{5 x^{2} + 3 x - 2}{2 x^{2} - 7 x + 1} = \lim_{x \to 0} \frac{10 x + 3}{4 x - 7}

Źle

\lim_{x \to \infty} \frac{3 x + \cos x}{2 x - \sin x} = \lim_{x \to \infty} \frac{3 - \sin x}{2 - \cos x}

Źle

\lim_{x \to 1} \frac{\ln x}{x^{2}} = \lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x}}{2 x}

   nie, nie, nie

Funkcja  $f (x) = 2 x \arccos \frac{1}{x}$

Źle

ma asymptotę pionową

x = 0

Dobrze

ma asymptotę ukośną

y = π x - 2

w plus lub minus nieskończoności

Źle

ma inną asymptotę ukośną w plus nieskończoności niż w minus nieskończoności.

 nie, tak, nie

Odpowiedzi:

Zadanie Uzupelnic t.am1.c.11.010|. tak, tak, nie

Zadanie Uzupelnic t.am1.c.11.020|. tak, nie, nie

Zadanie Uzupelnic t.am1.c.11.030|. nie, nie, tak

Zadanie Uzupelnic t.am1.c.11.040|. tak, nie, tak

Zadanie Uzupelnic t.am1.c.11.050|. nie, nie, nie

Zadanie Uzupelnic t.am1.c.11.060|. nie, tak, nie.

Ocena testu:

0-3 pkt -- ocena niedostateczna

4 pkt -- ocena dostateczna

5 pkt -- ocena dobra

6 pkt -- ocena bardzo dobra.

12121212121212121212121212121212121212121212121212121212

Wypukłość. Badanie funkcji jednej zmiennej. Test

Do każdego zadania podano trzy odpowiedzi, z których każda może być prawdziwa lub fałszywa. Można uzyskać jeden punkt wtedy i tylko wtedy, jeśli poprawnie zostaną wskazane wszystkie prawdziwe i fałszywe odpowiedzi.

Funkcja

Źle

x \mapsto \ln \frac{1}{x}

jest wklęsła

Dobrze

x \mapsto \cosh x

jest wypukła

Źle

x \mapsto \sqrt{1 - x^{2}}

jest wypukła.

nie, tak, nie

Funkcja  $f$  jest dwukrotnie

różniczkowalna w pewnym przedziale $(0, + \infty)$ . Wtedy:

Dobrze

Jeśli

f

jest wypukła, to

f^{'}

jest rosnąca.

Dobrze

Jeśli

f^{'}

jest malejąca, to

f

jest wklęsła.

Źle

Jeśli

f^{″} (1) = 0

, to

f

ma w

1

punkt przegięcia. tak, tak, nie

Funkcja  $f (x) = x^{3} + 12 a r c t g x$  jest

Dobrze

wypukła w przedziale

(1, + \infty)

Dobrze

wklęsła w przedziale

(- \infty, - 1)

Źle

wypukła w przedziale

(- \frac{1}{2}, \frac{1}{2})

.

 tak, tak, nie

Funkcja  $x \mapsto x \arcsin (\cos x)$

jest wypukła w przedziale

Źle

(\frac{π}{2}, \frac{3 π}{2})

Dobrze

(- \frac{π}{2}, 0)

Dobrze

(5 π, 6 π)

.

 nie, tak, tak

Jeśli funkcja  $f$  jest wypukła w

przedziale $(0, 1)$ , to

Źle

funkcja

f^{2} (x) = (f (x))^{2}

też jest wypukła w tym przedziale

Źle

funkcja

f^{3} (x) = (f (x))^{3}

też jest wypukła w tym przedziale

Źle

funkcja

(0, 1) ∋ x \mapsto x f (x)

też jest wypukła w tym przedziale.

   nie, nie, nie

Niech  $x, y, z$  będą dowolnymi liczbami

z przedziału $(0, 1)$ . Prawdziwa jest nierówność

Dobrze

x y z \leq \frac{(x + y + z)^{3}}{27}

Dobrze

e^{\frac{2 x + y}{3}} \leq \frac{2}{3} (e^{x} + e^{y})

Dobrze

2 c t g \frac{2 x + y + z}{4} \leq c t g x + \frac{1}{2} (c t g y + c t g z)

.

tak, tak, tak

Test GR4: Różnice pomiędzy wersjami

Wersja z 16:51, 27 wrz 2006

Wzór Taylora. Ekstrema. Test

Twierdzenie de l'Hospitala. Równość asymptotyczna. Test

Wypukłość. Badanie funkcji jednej zmiennej. Test

Menu nawigacyjne

Działania na stronie

Opcje strony

Narzędzia osobiste

Nawigacja

Szukaj

Narzędzia

@@ Linia 3: / Linia 3: @@
 9999999999999999999999999999999999999999999999999999999999
-<quiz>
-Pochodna funkcji <math>\displaystyle \displaystyle
-f(x)=\frac {\sqrt {x+1}-\sqrt {x-1}}{\sqrt {x+1}+\sqrt {x-1}}</math> w przedziale <math>\displaystyle (1,+\infty)</math> jest równa
-<rightoption><math>\displaystyle \displaystyle f'(x)=1-\frac {x}{\sqrt {x+1}\sqrt {x-1}}</math></rightoption>
-<wrongoption><math>\displaystyle \displaystyle f'(x)=\frac {\sqrt {x-1}-\sqrt {x+1}}{\sqrt
-{x-1}+\sqrt {x+1}}</math></wrongoption>
-<rightoption><math>\displaystyle \displaystyle f'(x)=1-\sqrt {1+\frac {1}{x^2-1}}</math>.</rightoption>
-</quiz>
-tak, nie, tak
-<quiz>
-Styczna do wykresu funkcji
-<math>\displaystyle \displaystyle f(x)=x\sin x</math> w punkcie <math>\displaystyle (\frac {\pi}{2},\frac
-{\pi}{2})</math> ma równanie
-<rightoption><math>\displaystyle \displaystyle y=x</math></rightoption>
-<wrongoption><math>\displaystyle \displaystyle y=(-\frac {\pi}{2}+1)x+\frac {\pi^2}{4}</math></wrongoption>
-<wrongoption><math>\displaystyle \displaystyle y=x+\frac {\pi}{2}</math>.</wrongoption>
-</quiz>
-tak, nie, nie
-<quiz>
-Funkcja
-<center><math>\displaystyle f(x)=\begincases &x^3\sin (\frac 1x), \ \ \text{dla} \ \ x\neq 0,
-\\
-&0, \ \ \text {dla} \ \ x=0,
-\endcases
-</math></center>
-<rightoption>jest ciągła</rightoption>
-<rightoption>ma pochodną w punkcie <math>\displaystyle x=0</math></rightoption>
-<rightoption>ma ciągłą pochodną w punkcie <math>\displaystyle x=0</math>.</rightoption>
-</quiz>
-tak, tak, tak
-<quiz>
-Równanie <math>\displaystyle \displaystyle x^e=ke^x</math>
-<wrongoption>nie ma rozwiązań dla <math>\displaystyle k\in(0,1)</math></wrongoption>
-<rightoption>nie ma rozwiązań dla <math>\displaystyle k>1</math></rightoption>
-<wrongoption>ma dwa rozwiązania dla <math>\displaystyle k=1</math>.</wrongoption>
-</quiz>
-nie, tak, nie
-<quiz>
-Pochodna funkcji <math>\displaystyle \displaystyle
-f(x)=x^{e^x}</math> jest równa
-<wrongoption><math>\displaystyle \displaystyle f'(x)=e^xx^{e^x-1}</math></wrongoption>
-<wrongoption><math>\displaystyle \displaystyle f'(x)=e^xx^{e^x}\ln x</math></wrongoption>
-<wrongoption><math>\displaystyle \displaystyle f'(x)=e^xx^{e^x-1}\frac {x\ln x+1}{x}</math>.</wrongoption>
-</quiz>
-nie, nie, nie
-<quiz>
-Niech <math>\displaystyle x_0\in (a,b)</math> i niech <math>\displaystyle f</math> będzie
-funkcją ciągłą w przedziale <math>\displaystyle (a,b)</math> taką, że istnieje granica
-<center><math>\displaystyle \lim_{t\to 0}\frac {f(x_0+t)-f(x_0-t)}{t}=A.
-</math></center>
-Wtedy
-<wrongoption>istnieje pochodna funkcji <math>\displaystyle f</math> w punkcie <math>\displaystyle x_0</math> i <math>\displaystyle \displaystyle f'(x_0)=A</math></wrongoption>
-<wrongoption>jeśli istnieje pochodna funkcji <math>\displaystyle f</math> w punkcie <math>\displaystyle x_0</math>, to
-<math>\displaystyle \displaystyle f'(x_0)=A</math></wrongoption>
-<rightoption>jeśli istnieje pochodna funkcji <math>\displaystyle f</math> w punkcie <math>\displaystyle x_0</math>, to
-<math>\displaystyle \displaystyle f'(x_0)=\frac A2</math>.</rightoption>
-</quiz>
-nie, nie, tak
@@ Linia 110: / Linia 20: @@
   Funkcja <math>\displaystyle x\mapsto (5-x)\sqrt[3]{x^2}</math>
   <br>
-  '''(1)'''
+<rightoption>ma dokładnie dwa punkty krytyczne</rightoption>
-ma dokładnie dwa punkty krytyczne
      <br>
-  '''(2)'''
+<wrongoption>nie ma ekstremum w punkcie <math>\displaystyle 0</math></wrongoption>
-nie ma ekstremum w punkcie <math>\displaystyle 0</math>
      <br>
-  '''(3)'''
+<wrongoption>ma minimum w punkcie 2.</wrongoption>
-ma minimum w punkcie 2.
 </quiz>
   tak, nie, nie
@@ Linia 125: / Linia 35: @@
   Funkcja <math>\displaystyle x\rightarrow x+\ln(\sin{x})</math>
    <br>
-  '''(1)'''
+<wrongoption>ma punkty krytyczne postaci <math>\displaystyle \frac{\pi}{4}+ k\pi</math>, gdzie <math>\displaystyle k\in
-ma punkty krytyczne postaci <math>\displaystyle \frac{\pi}{4}+ k\pi</math>, gdzie <math>\displaystyle k\in
+\Bbb Z</math></wrongoption>
-\Bbb Z</math>
      <br>
-  '''(2)'''
+<wrongoption>ma tylko minima</wrongoption>
-ma tylko minima
      <br>
-  '''(3)'''
+<wrongoption>nie ma punktów krytycznych w przedziale <math>\displaystyle (\frac{5\pi}2,3\pi)</math>.</wrongoption>
-nie ma punktów krytycznych w przedziale <math>\displaystyle (\frac{5\pi}2,3\pi)</math>.
 </quiz>
    nie, nie, nie
@@ Linia 142: / Linia 52: @@
 liczb naturalnych <math>\displaystyle m, n</math>. Wtedy
    <br>
-  '''(1)'''
+<wrongoption>funkcja <math>\displaystyle f</math> ma dokładnie trzy punkty krytyczne</wrongoption>
-funkcja <math>\displaystyle f</math> ma dokładnie trzy punkty krytyczne
      <br>
-  '''(2)'''
+<rightoption>funkcja <math>\displaystyle f</math> ma maksimum w pewnym punkcie leżącym w przedziale
-funkcja <math>\displaystyle f</math> ma maksimum w pewnym punkcie leżącym w przedziale
+<math>\displaystyle (0,1)</math></rightoption>
-<math>\displaystyle (0,1)</math>
      <br>
-  '''(3)'''
+<rightoption>funkcja <math>\displaystyle f</math> może mieć dwa minima.</rightoption>
-funkcja <math>\displaystyle f</math> może mieć dwa minima.
 </quiz>
    nie, tak, tak
@@ Linia 159: / Linia 69: @@
 wartością funkcji
    <br>
-  '''(1)'''
+<rightoption><math>\displaystyle x\mapsto x\arcsin x +\sqrt{1-x^2}</math> w przedziale <math>\displaystyle [0,1]</math></rightoption>
-<math>\displaystyle x\mapsto x\arcsin x +\sqrt{1-x^2}</math> w przedziale <math>\displaystyle [0,1]</math>
      <br>
-  '''(2)'''
+<rightoption><math>\displaystyle x\mapsto \mathrm{arctg}\, x+ \mathrm{arc\,ctg}\, x</math> w przedziale <math>\displaystyle [1,+\infty)</math></rightoption>
-<math>\displaystyle x\mapsto \mathrm{arctg}\, x+ \mathrm{arc\,ctg}\, x</math> w przedziale <math>\displaystyle [1,+\infty)</math>
      <br>
-  '''(3)'''
+<rightoption><math>\displaystyle x\mapsto (1-x)\arccos{x}</math> w przedziale <math>\displaystyle [0,1]</math>.</rightoption>
-<math>\displaystyle x\mapsto (1-x)\arccos{x}</math> w przedziale <math>\displaystyle [0,1]</math>.
 </quiz>
    tak, tak, tak
@@ Linia 178: / Linia 88: @@
 pudełka jest maksymalna. Wtedy
    <br>
-  '''(1)'''
+<rightoption>jeśli <math>\displaystyle a=3</math> i <math>\displaystyle b=8</math>, to pojemność ta wynosi <math>\displaystyle \frac{200}{27}</math></rightoption>
-jeśli <math>\displaystyle a=3</math> i <math>\displaystyle b=8</math>, to pojemność ta wynosi <math>\displaystyle \frac{200}{27}</math>
      <br>
-  '''(2)'''
+<rightoption>jeśli <math>\displaystyle a=b</math>, to <math>\displaystyle x=\frac{a}6</math></rightoption>
-jeśli <math>\displaystyle a=b</math>, to <math>\displaystyle x=\frac{a}6</math>
      <br>
-  '''(3)'''
+<wrongoption>jeśli <math>\displaystyle a</math> i <math>\displaystyle b</math> są całkowite, to <math>\displaystyle x</math> jest wymierne.</wrongoption>
-jeśli <math>\displaystyle a</math> i <math>\displaystyle b</math> są całkowite, to <math>\displaystyle x</math> jest wymierne.
 </quiz>
    tak, tak, nie
@@ Linia 194: / Linia 104: @@
 dwukrotnie, która nie jest klasy <math>\displaystyle C^2</math> jest funkcja
    <br>
-  '''(1)'''
+<rightoption><math>\displaystyle \displaystyle x\mapsto
-<math>\displaystyle \displaystyle x\mapsto
 \left\{\begin{array} {ll}x^4\cos \frac1x, & {\rm gdy} \; x\neq 0\\
-,& {\rm gdy } \; x=0\end{array} \right.</math>
+,& {\rm gdy } \; x=0\end{array} \right.</math></rightoption>
      <br>
-  '''(2)'''
+<wrongoption><math>\displaystyle \displaystyle x\mapsto
-<math>\displaystyle \displaystyle x\mapsto
 \left\{\begin{array} {ll}-x^3, & {\rm gdy} \; x\geq 0\\
-x^3,& {\rm gdy } \; x<0\end{array} \right.</math>
+x^3,& {\rm gdy } \; x<0\end{array} \right.</math></wrongoption>
      <br>
-  '''(3)'''
+<rightoption><math>\displaystyle \displaystyle x\mapsto
-<math>\displaystyle \displaystyle x\mapsto
 \left\{\begin{array} {ll}x\sinh x, & {\rm gdy} \; x\geq 0\\
--x\sinh x,& {\rm gdy } \; x<0\end{array} \right.</math>.
+-x\sinh x,& {\rm gdy } \; x<0\end{array} \right.</math>.</rightoption>
 </quiz>
    tak, nie, tak
@@ Linia 248: / Linia 158: @@
   Symbolem nieoznaczonym jest
   <br>
-  '''(1)'''
+<rightoption></rightoption>
 <math>\displaystyle [+\infty - \infty]</math>
      <br>
-  '''(2)'''
+<rightoption></rightoption>
 <math>\displaystyle \left[1^{+\infty}\right]</math>
      <br>
-  '''(3)'''
+<wrongoption></wrongoption>
 <math>\displaystyle \left[0^{-\infty}\right]</math>.
 </quiz>
@@ Linia 264: / Linia 174: @@
 \lim_{x\rightarrow 0} \frac{\mathrm{arctg}\,{x}}{x^3}</math>
    <br>
-  '''(1)'''
+<rightoption></rightoption>
 może być liczona za pomocą reguły de l'Hospitala
      <br>
-  '''(2)'''
+<wrongoption></wrongoption>
 jest równa granicy <math>\displaystyle \displaystyle \lim_{x\rightarrow 0}
 \frac{\frac{x^3}{1+x^2}-3x^2\mathrm{arctg}\,{x}}{x^6}</math>
      <br>
-  '''(3)'''
+<wrongoption></wrongoption>
 jest równa 0.
 </quiz>
@@ Linia 281: / Linia 191: @@
 \lim_{x\rightarrow 0} x\ln{x}</math>
    <br>
-  '''(1)'''
+<wrongoption></wrongoption>
 jest równa granicy <math>\displaystyle \displaystyle \lim_{x\rightarrow 0}
 \left(1\cdot \ln{x}+x\cdot \frac1x\right)</math>
      <br>
-  '''(2)'''
+<wrongoption></wrongoption>
 jest równa granicy <math>\displaystyle \displaystyle \lim_{x\rightarrow 0} 1\cdot
 \frac1x</math>
 <br>
-  '''(3)'''
+<rightoption></rightoption>
 jest równa 0.
 </quiz>
@@ Linia 299: / Linia 209: @@
 \lim_{x\rightarrow 1} \frac{\sqrt{1-x^m}}{\ln{x}}</math>
    <br>
-  '''(1)'''
+<rightoption></rightoption>
 istnieje dla dowolnej liczby rzeczywistej <math>\displaystyle m</math>
      <br>
-  '''(2)'''
+<wrongoption></wrongoption>
 jest równa <math>\displaystyle 1</math> dla <math>\displaystyle m=2</math>
      <br>
-  '''(3)'''
+<rightoption></rightoption>
 jest równa <math>\displaystyle 0</math> dla pewnego <math>\displaystyle m</math>.
 </quiz>
@@ Linia 315: / Linia 225: @@
 prawdziwa jest równość
    <br>
-  '''(1)'''
+<wrongoption></wrongoption>
 <math>\displaystyle \displaystyle \lim_{x\rightarrow 0} \frac{5x^2+3x-2}{2x^2-7x+1}=
 \lim_{x\rightarrow 0} \frac{10x+3}{4x-7}</math>
      <br>
-  '''(2)'''
+<wrongoption></wrongoption>
 <math>\displaystyle \displaystyle \lim_{x\rightarrow \infty}
 \frac{3x+\cos{x}}{2x-\sin{x}}=\lim_{x\rightarrow \infty}
 \frac{3-\sin{x}}{2-\cos{x}}</math>
      <br>
-  '''(3)'''
+<wrongoption></wrongoption>
 <math>\displaystyle \displaystyle \lim_{x\rightarrow 1}
 \frac{\ln{x}}{x^2}=\lim_{x\rightarrow 1}\frac{\frac1x}{2x}</math>
@@ Linia 335: / Linia 245: @@
 f(x)=2x\arccos\frac1x</math>
    <br>
-  '''(1)'''
+<wrongoption></wrongoption>
 ma asymptotę pionową <math>\displaystyle x=0</math>
      <br>
-  '''(2)'''
+<rightoption></rightoption>
 ma asymptotę ukośną <math>\displaystyle y=\pi x-2</math> w plus lub minus nieskończoności
      <br>
-  '''(3)'''
+<wrongoption></wrongoption>
 ma inną asymptotę ukośną w plus nieskończoności niż w minus
 nieskończoności.
@@ Linia 384: / Linia 294: @@
   Funkcja
   <br>
-  '''(1)'''
+<wrongoption></wrongoption>
 <math>\displaystyle x\mapsto \ln{\frac1x}</math> jest wklęsła
      <br>
-  '''(2)'''
+<rightoption></rightoption>
 <math>\displaystyle x\mapsto \cosh{x}</math> jest wypukła
      <br>
-  '''(3)'''
+<wrongoption></wrongoption>
 <math>\displaystyle x\mapsto \sqrt{1-x^2}</math> jest wypukła.
 </quiz>
@@ Linia 400: / Linia 310: @@
 różniczkowalna w pewnym przedziale <math>\displaystyle (0,+\infty)</math>. Wtedy:
    <br>
-  '''(1)'''
+<rightoption></rightoption>
 Jeśli <math>\displaystyle f</math> jest wypukła, to <math>\displaystyle f'</math> jest rosnąca.
      <br>
-  '''(2)'''
+<rightoption></rightoption>
 Jeśli <math>\displaystyle f'</math> jest malejąca, to <math>\displaystyle f</math> jest wklęsła.
      <br>
-  '''(3)'''
+<wrongoption></wrongoption>
 Jeśli <math>\displaystyle f''(1)=0</math>, to <math>\displaystyle f</math> ma w <math>\displaystyle 1</math> punkt przegięcia.
 </quiz>
@@ Linia 415: / Linia 325: @@
   Funkcja <math>\displaystyle f(x)=x^3+12\mathrm{arctg}\,{x}</math> jest
    <br>
-  '''(1)'''
+<rightoption></rightoption>
 wypukła w przedziale <math>\displaystyle (1,+\infty)</math>
      <br>
-  '''(2)'''
+<rightoption></rightoption>
 wklęsła w przedziale <math>\displaystyle (-\infty, -1)</math>
      <br>
-  '''(3)'''
+<wrongoption></wrongoption>
 wypukła w przedziale <math>\displaystyle (-\frac12,\frac12)</math>.
 </quiz>
@@ Linia 431: / Linia 341: @@
 jest wypukła w przedziale
    <br>
-  '''(1)'''
+<wrongoption></wrongoption>
 <math>\displaystyle (\frac{\pi}2,\frac{3\pi}2)</math>
      <br>
-  '''(2)'''
+<rightoption></rightoption>
 <math>\displaystyle (-\frac{\pi}2,0)</math>
      <br>
-  '''(3)'''
+<rightoption></rightoption>
 <math>\displaystyle (5\pi,6\pi)</math>.
 </quiz>
@@ Linia 447: / Linia 357: @@
 przedziale <math>\displaystyle (0,1)</math>, to
    <br>
-  '''(1)'''
+<wrongoption></wrongoption>
 funkcja <math>\displaystyle f^2(x)=(f(x))^2</math> też jest wypukła w tym przedziale
      <br>
-  '''(2)'''
+<wrongoption></wrongoption>
 funkcja <math>\displaystyle f^3(x)=(f(x))^3</math> też jest wypukła w tym przedziale
      <br>
-  '''(3)'''
+<wrongoption></wrongoption>
 funkcja <math>\displaystyle (0,1)\ni x\mapsto xf(x)</math> też jest wypukła w tym
 przedziale.
@@ Linia 464: / Linia 374: @@
 z przedziału <math>\displaystyle (0,1)</math>. Prawdziwa jest nierówność
    <br>
-  '''(1)'''
+<rightoption></rightoption>
 <math>\displaystyle \displaystyle xyz\leq \frac{(x+y+z)^3}{27}</math>
      <br>
-  '''(2)'''
+<rightoption></rightoption>
 <math>\displaystyle \displaystyle e^{\frac{2x+y}3}\leq \frac23(e^x+e^y)</math>
      <br>
-  '''(3)'''
+<rightoption></rightoption>
 <math>\displaystyle 2\displaystyle \mathrm{ctg}\, \frac{ 2x+ y+ z}4 \leq \mathrm{ctg}\, x+\frac12(\mathrm{ctg}\, y
 +\mathrm{ctg}\, z)</math>.
 </quiz>
   tak, tak, tak