Analiza matematyczna 2/Test 3: Norma. Iloczyn skalarny: Różnice pomiędzy wersjami

Z Studia Informatyczne
Przejdź do nawigacjiPrzejdź do wyszukiwania
następna edycja →
WizualnieWikikod
Rogoda (dyskusja | edycje)
1875 edycji
Nie podano opisu zmian
 
m Zastępowanie tekstu – „ \displaystyle ” na „”
Linia 1: Linia 1:
<quiz>
<quiz>
<math>\displaystyle \displaystyle\|x\|_1=17</math> dla
<math>\displaystyle \displaystyle\|x\|_1=17</math> dla
<rightoption><math>\displaystyle \displaystyle x=(-4,5,-8)</math></rightoption>
<rightoption><math>\displaystylex=(-4,5,-8)</math></rightoption>
<wrongoption><math>\displaystyle \displaystyle x=(-1,1,17)</math></wrongoption>
<wrongoption><math>\displaystylex=(-1,1,17)</math></wrongoption>
<wrongoption><math>\displaystyle \displaystyle x=(-4,0,1)</math></wrongoption>
<wrongoption><math>\displaystylex=(-4,0,1)</math></wrongoption>
</quiz>
</quiz>


Linia 9: Linia 9:
<quiz>
<quiz>
W <math>\displaystyle \displaystyle\mathbb{R}^2</math> ze standardowym iloczynem skalarnym wektory <math>\displaystyle x=(3,5)</math> i <math>\displaystyle y=(-1,a)</math> są prostopadłe dla
W <math>\displaystyle \displaystyle\mathbb{R}^2</math> ze standardowym iloczynem skalarnym wektory <math>\displaystyle x=(3,5)</math> i <math>\displaystyle y=(-1,a)</math> są prostopadłe dla
<wrongoption><math>\displaystyle \displaystyle a=-\frac{3}{5}</math></wrongoption>
<wrongoption><math>\displaystylea=-\frac{3}{5}</math></wrongoption>
      
      
<rightoption><math>\displaystyle \displaystyle a=\frac{3}{5}</math></rightoption>
<rightoption><math>\displaystylea=\frac{3}{5}</math></rightoption>
      
      
<wrongoption><math>\displaystyle \displaystyle a=\frac{5}{3}</math></wrongoption>
<wrongoption><math>\displaystylea=\frac{5}{3}</math></wrongoption>
</quiz>
</quiz>


Linia 19: Linia 19:
<quiz>
<quiz>
W <math>\displaystyle \displaystyle\mathbb{R}^3</math> ze standardowym iloczynem skalarnym wektory <math>\displaystyle x=(-1,2,3)</math> i <math>\displaystyle y=(1,a,b)</math> są prostopadłe dla
W <math>\displaystyle \displaystyle\mathbb{R}^3</math> ze standardowym iloczynem skalarnym wektory <math>\displaystyle x=(-1,2,3)</math> i <math>\displaystyle y=(1,a,b)</math> są prostopadłe dla
<rightoption><math>\displaystyle \displaystyle a=2,\ b=-1</math></rightoption>
<rightoption><math>\displaystylea=2,\ b=-1</math></rightoption>
<rightoption><math>\displaystyle \displaystyle a=5,\ b=-3</math></rightoption>
<rightoption><math>\displaystylea=5,\ b=-3</math></rightoption>
<rightoption><math>\displaystyle \displaystyle a=-1,\ b=1</math></rightoption>
<rightoption><math>\displaystylea=-1,\ b=1</math></rightoption>
</quiz>
</quiz>




<quiz>
<quiz>
W <math>\displaystyle \displaystyle\mathbb{R}^2</math> definiujemy  <math>\displaystyle \displaystyle ((x_1,x_2)|(y_1,y_2))=ax_1y_1+x_2y_2.</math>
W <math>\displaystyle \displaystyle\mathbb{R}^2</math> definiujemy  <math>\displaystyle((x_1,x_2)|(y_1,y_2))=ax_1y_1+x_2y_2.</math>
Jest to iloczyn skalarny dla
Jest to iloczyn skalarny dla
<wrongoption><math>\displaystyle \displaystyle a=0</math></wrongoption>
<wrongoption><math>\displaystylea=0</math></wrongoption>
<rightoption><math>\displaystyle \displaystyle a=5</math></rightoption>
<rightoption><math>\displaystylea=5</math></rightoption>
<wrongoption><math>\displaystyle \displaystyle a=-5</math></wrongoption>
<wrongoption><math>\displaystylea=-5</math></wrongoption>
</quiz>
</quiz>


Linia 36: Linia 36:
<quiz>
<quiz>
W przestrzeni euklidesowej <math>\displaystyle \displaystyle\mathbb{R}^2</math> odległość wektorów <math>\displaystyle x=(-1,2)</math> i <math>\displaystyle y=(3,1)</math> wynosi
W przestrzeni euklidesowej <math>\displaystyle \displaystyle\mathbb{R}^2</math> odległość wektorów <math>\displaystyle x=(-1,2)</math> i <math>\displaystyle y=(3,1)</math> wynosi
<rightoption><math>\displaystyle \displaystyle \sqrt{17}</math></rightoption>
<rightoption><math>\displaystyle\sqrt{17}</math></rightoption>
<wrongoption><math>\displaystyle \displaystyle \sqrt{5}+\sqrt{10}</math></wrongoption>
<wrongoption><math>\displaystyle\sqrt{5}+\sqrt{10}</math></wrongoption>
<wrongoption><math>\displaystyle \displaystyle \sqrt{15}</math></wrongoption>
<wrongoption><math>\displaystyle\sqrt{15}</math></wrongoption>
</quiz>
</quiz>


Linia 45: Linia 45:
W przestrzeni unitarnej <math>\displaystyle X</math> dane są dwa wektory <math>\displaystyle x</math> i <math>\displaystyle y.</math>
W przestrzeni unitarnej <math>\displaystyle X</math> dane są dwa wektory <math>\displaystyle x</math> i <math>\displaystyle y.</math>
Jeśli <math>\displaystyle x\perp y,</math> to
Jeśli <math>\displaystyle x\perp y,</math> to
<wrongoption><math>\displaystyle \displaystyle \|x-y\|=\|x\|^2-\|y\|^2</math></wrongoption>
<wrongoption><math>\displaystyle\|x-y\|=\|x\|^2-\|y\|^2</math></wrongoption>
<rightoption><math>\displaystyle \displaystyle \|x-y\|^3=\|x+y\|^3</math></rightoption>
<rightoption><math>\displaystyle\|x-y\|^3=\|x+y\|^3</math></rightoption>
<rightoption><math>\displaystyle \displaystyle \|x-y\|^2=\|x\|^2+\|y\|^2</math></rightoption>
<rightoption><math>\displaystyle\|x-y\|^2=\|x\|^2+\|y\|^2</math></rightoption>
</quiz>
</quiz>


Linia 60: Linia 60:


<quiz>
<quiz>
W przestrzeni unormowanej <math>\displaystyle \displaystyle (X,\|\cdot\|)</math> prawdziwe są nierówności
W przestrzeni unormowanej <math>\displaystyle(X,\|\cdot\|)</math> prawdziwe są nierówności
<rightoption><math>\displaystyle \displaystyle \|x-y\|\ge \|x\|-\|y\|</math></rightoption>
<rightoption><math>\displaystyle\|x-y\|\ge \|x\|-\|y\|</math></rightoption>
<rightoption><math>\displaystyle \displaystyle \|x-y\|\ge \|y\|-\|x\|</math></rightoption>
<rightoption><math>\displaystyle\|x-y\|\ge \|y\|-\|x\|</math></rightoption>
<rightoption><math>\displaystyle \displaystyle \|x-y\|\ge -\|x\|-\|y\|</math></rightoption>
<rightoption><math>\displaystyle\|x-y\|\ge -\|x\|-\|y\|</math></rightoption>
</quiz>
</quiz>


Linia 69: Linia 69:
<quiz>
<quiz>
Dla funkcji <math>\displaystyle f\colon [0,1]\longrightarrow\mathbb{R}</math> danej wzorem <math>\displaystyle f(x)=\sqrt{\pi}(x^2-x)</math> norma supremowa <math>\displaystyle \displaystyle\|f\|_{\infty}</math> wynosi
Dla funkcji <math>\displaystyle f\colon [0,1]\longrightarrow\mathbb{R}</math> danej wzorem <math>\displaystyle f(x)=\sqrt{\pi}(x^2-x)</math> norma supremowa <math>\displaystyle \displaystyle\|f\|_{\infty}</math> wynosi
<wrongoption><math>\displaystyle \displaystyle \sqrt{\pi}</math></wrongoption>
<wrongoption><math>\displaystyle\sqrt{\pi}</math></wrongoption>
<rightoption><math>\displaystyle \displaystyle \frac{1}{4}\sqrt{\pi}</math></rightoption>
<rightoption><math>\displaystyle\frac{1}{4}\sqrt{\pi}</math></rightoption>
<wrongoption><math>\displaystyle \displaystyle -\frac{1}{4}\sqrt{\pi}</math></wrongoption>
<wrongoption><math>\displaystyle-\frac{1}{4}\sqrt{\pi}</math></wrongoption>
</quiz>
</quiz>

Wersja z 08:48, 28 sie 2023

‖x‖1=17 dla

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\displaystylex”): {\displaystyle \displaystylex=(-4,5,-8)}

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\displaystylex”): {\displaystyle \displaystylex=(-1,1,17)}

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\displaystylex”): {\displaystyle \displaystylex=(-4,0,1)}


W ℝ2 ze standardowym iloczynem skalarnym wektory x=(3,5) i y=(−1,a) są prostopadłe dla

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\displaystylea”): {\displaystyle \displaystylea=-\frac{3}{5}}

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\displaystylea”): {\displaystyle \displaystylea=\frac{3}{5}}

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\displaystylea”): {\displaystyle \displaystylea=\frac{5}{3}}


W ℝ3 ze standardowym iloczynem skalarnym wektory x=(−1,2,3) i y=(1,a,b) są prostopadłe dla

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\displaystylea”): {\displaystyle \displaystylea=2,\ b=-1}

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\displaystylea”): {\displaystyle \displaystylea=5,\ b=-3}

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\displaystylea”): {\displaystyle \displaystylea=-1,\ b=1}


W ℝ2 definiujemy ((x1,x2)|(y1,y2))=ax1y1+x2y2. Jest to iloczyn skalarny dla

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\displaystylea”): {\displaystyle \displaystylea=0}

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\displaystylea”): {\displaystyle \displaystylea=5}

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\displaystylea”): {\displaystyle \displaystylea=-5}


W przestrzeni euklidesowej ℝ2 odległość wektorów x=(−1,2) i y=(3,1) wynosi

17

5+10

15


W przestrzeni unitarnej X dane są dwa wektory x i y. Jeśli x⊥y, to

‖x−y‖=‖x‖2−‖y‖2

‖x−y‖3=‖x+y‖3

‖x−y‖2=‖x‖2+‖y‖2


Jeśli {xn} i {yn} są dwoma ciągami zbieżnymi w przestrzeni unitarnej (X,(⋅|⋅)), to

Ciągi {‖xn‖} i {‖yn‖} są zbieżne w ℝ.

Ciąg {(xn|yn)} jest zbieżny w ℝ

Ciąg {‖xn−yn‖} jest zbieżny w ℝ


W przestrzeni unormowanej (X,‖⋅‖) prawdziwe są nierówności

‖x−y‖≥‖x‖−‖y‖

‖x−y‖≥‖y‖−‖x‖

‖x−y‖≥−‖x‖−‖y‖


Dla funkcji f:[0,1]⟶ℝ danej wzorem f(x)=π(x2−x) norma supremowa ‖f‖∞ wynosi

π

14π

−14π

Źródło: „https://wazniak.mimuw.edu.pl/index.php?title=Analiza_matematyczna_2/Test_3:_Norma._Iloczyn_skalarny&oldid=79691”