Test GR4: Różnice pomiędzy wersjami

Wersja z 21:40, 26 wrz 2006

1111111111111111111111111111111111111

Wstęp. Zbiory liczbowe. Test

Do każdego zadania podano trzy odpowiedzi, z których każda może być prawdziwa lub fałszywa. Można uzyskać jeden punkt wtedy i tylko wtedy, jeśli poprawnie zostaną wskazane wszystkie prawdziwe i fałszywe odpowiedzi.

Zadania

Liczba  $\sqrt{3 + 2 \sqrt{2}} - \sqrt{3 - 2 \sqrt{2}}$

(1) jest dodatnia

(2) jest wymierna

(3) należy do trójkowego zbioru Cantora.

 Równanie  $x^{6} - 1 = 0$

(1) ma dwa rozwiązania w zbiorze liczb rzeczywistych

(2) ma sześć pierwiastków w zbiorze $ℂ ∖ ℝ$

(3) jest spełnione przez liczbę $\frac{\sqrt{2}}{2} + i \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

 Liczba  $(\binom{10}{4})$

(1) jest równa $(\binom{5}{2})$

(2) jest równa $(\binom{10}{6})$

(3) jest współczynnikiem $a$ jednomianu $a x^{4}$ w wielomianie $(x + 2)^{10}$ (to znaczy: w wielomianie, który otrzymamy po podniesieniu wyrażenia $x + 2$ do potęgi 10 i po redukcji wyrazów podobnych).

Zbiór liczb z przedziału  $[0, 1]$ , których rozwinięcia

dziesiętne można zapisać bez użycia cyfr 3, 4, 5,

(1) nie zawiera żadnej liczby wymiernej

(2) jest równy trójkowemu zbiorowi Cantora

(3) jest przeliczalny.

 Suma nieskończonego szeregu geometrycznego:

$1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{9} - \frac{1}{27} + . . .$

(1) jest liczbą niewymierną

(2) należy do przedziału $[\frac{1}{2}, \frac{3}{4})$

(3) nie należy do przedziału $(\frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{1}{\sqrt{2}})$ .

 Jeśli  $z = \sqrt{3} + i$ , to

(1) $z^{6} = 64$

(2) $ℜ (\frac{z}{2})^{36} = 1$

(3) $ℑ \bar{z} = - i$ .

Odpowiedzi

Zadanie 1. tak, tak, nie

Zadanie 2. tak, nie, nie

Zadanie 3. nie, tak, nie

Zadanie 4. nie, nie, nie

Zadanie 5. nie, nie, tak

Zadanie 6. nie, tak, nie.

Ocena testu:

0-3 pkt -- ocena niedostateczna

4 pkt -- ocena dostateczna

5 pkt -- ocena dobra

6 pkt -- ocena bardzo dobra.

22222222222222222222222222222222222222

Funkcje elementarne. Test

Do każdego zadania podano trzy odpowiedzi, z których każda może być prawdziwa lub fałszywa. Można uzyskać jeden punkt wtedy i tylko wtedy, jeśli poprawnie zostaną wskazane wszystkie prawdziwe i fałszywe odpowiedzi.

Zadania

Funkcja Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\aligned”): {\displaystyle \displaystyle f(x)=\left\{\aligned \root{4}\of{x}&, \text{ dla } x\geq 0\\ -\root{4}\of{-x}&, \text{ dla } x<0\endaligned \right .}

a. jest funkcją odwrotną do funkcji $g (x) = x^{4}$

b. jest bijekcją zbioru $ℝ$ na zbiór $ℝ$

c. jest ściśle rosnąca.

Dana jest funkcja  $f (x) = \ln (1 + x)$ .

a. Dziedziną $f$ jest przedział $(- 1, + \infty)$ .

b. Funkcja $f$ przyjmuje wartość zero wyłącznie dla argumentu $x = 0$ .

c. Rozwiązaniem równania $f (x) = 1$ jest liczba $x = e - 1$ .

Dana jest funkcja  $f (x) = \arcsin (2 x)$ .

a. Dziedziną $f$ jest przedział $[- \frac{π}{4}, \frac{π}{4}]$ .

b. Funkcja $f$ przyjmuje wartość największą dla argumentu $x = \frac{π}{4}$ .

c. Rozwiązaniem równania $f (x) = - \frac{π}{6}$ jest liczba $x = - \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

Dana jest funkcja  $f (x) = 2 a r c t g \sqrt{x}$ .

a. Dziedziną $f$ jest przedział $(- \infty, + \infty)$ .

b. Zbiorem wartości funkcji $f$ jest przedział $[0, π)$

c. Rozwiązaniem równania $f (x) = \frac{π}{2}$ jest liczba $1$ .

Dana jest funkcja  $f (x) = \cos (\arcsin 2 x)$ .

a. Dziedziną $f$ jest przedział $[- \frac{1}{2}, \frac{1}{2}]$ .

b. Funkcja $f$ jest równa funkcji $x \mapsto \sqrt{1 - 2 x^{2}}$

c. Równanie $f (x) = \frac{1}{2}$ spełniają dwie liczby $\frac{\sqrt{3}}{4}$ oraz $- \frac{\sqrt{3}}{4}$ .

Dana jest funkcja  $f (x) = a r t g h (- x)$ .

a. Funkcja $f$ jest bijekcją przedziału $(- 1, 1)$ na zbiór $ℝ$ .

b. Funkcja $f$ jest ściśle rosnąca.

c. Równanie $f (x) = 1$ spełnia liczba $x = \frac{1 - e^{2}}{1 + e^{2}}$ .

Odpowiedzi

Zadanie 1. nie, tak, tak

Zadanie 2. tak, tak, tak

Zadanie 3. nie, nie, nie

Zadanie 4. nie, tak, tak

Zadanie 5. tak, nie, tak

Zadanie 6. tak, nie, tak.

Ocena testu:

0-3 pkt -- ocena niedostateczna

4 pkt -- ocena dostateczna

5 pkt -- ocena dobra

6 pkt -- ocena bardzo dobra.

9999999999999999999999999999999999999999999999999999999999

Pochodna funkcji jednej zmiennej. Test

Do każdego zadania podano trzy odpowiedzi, z których każda może być prawdziwa lub fałszywa. Można uzyskać jeden punkt wtedy i tylko wtedy, jeśli poprawnie zostaną wskazane wszystkie prawdziwe i fałszywe odpowiedzi.

Pochodna funkcji  $f (x) = \frac{\sqrt{x + 1} - \sqrt{x - 1}}{\sqrt{x + 1} + \sqrt{x - 1}}$  w

przedziale $(1, + \infty)$ jest równa

(1)

$f^{'} (x) = 1 - \frac{x}{\sqrt{x + 1} \sqrt{x - 1}}$

(2)

$f^{'} (x) = \frac{\sqrt{x - 1} - \sqrt{x + 1}}{\sqrt{x - 1} + \sqrt{x + 1}}$

(3)

$f^{'} (x) = 1 - \sqrt{1 + \frac{1}{x^{2} - 1}}$ .

tak, nie, tak

Styczna do wykresu funkcji

$f (x) = x \sin x$ w punkcie $(\frac{π}{2}, \frac{π}{2})$ ma równanie

(1)

$y = x$

(2)

$y = (- \frac{π}{2} + 1) x + \frac{π^{2}}{4}$

(3)

$y = x + \frac{π}{2}$ .

tak, nie, nie

Funkcja

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\begincases”): {\displaystyle \displaystyle f(x)=\begincases &x^3\sin (\frac 1x), \ \ \text{dla} \ \ x\neq 0, \\ &0, \ \ \text {dla} \ \ x=0, \endcases }

(1)

jest ciągła

(2)

ma pochodną w punkcie $x = 0$

(1)

ma ciągłą pochodną w punkcie $x = 0$ .

tak, tak, tak

Równanie  $x^{e} = k e^{x}$

(1)

nie ma rozwiązań dla $k \in (0, 1)$

(2)

nie ma rozwiązań dla $k > 1$

(3)

ma dwa rozwiązania dla $k = 1$ .

nie, tak, nie

Pochodna funkcji  $f (x) = x^{e^{x}}$  jest równa

(1)

$f^{'} (x) = e^{x} x^{e^{x} - 1}$

(2)

$f^{'} (x) = e^{x} x^{e^{x}} \ln x$

(3)

$f^{'} (x) = e^{x} x^{e^{x} - 1} \frac{x \ln x + 1}{x}$ .

nie, nie, nie

Niech  $x_{0} \in (a, b)$  i niech  $f$  będzie

funkcją ciągłą w przedziale $(a, b)$ taką, że istnieje granica

\lim_{t \to 0} \frac{f (x_{0} + t) - f (x_{0} - t)}{t} = A .

Wtedy

(1)

istnieje pochodna funkcji $f$ w punkcie $x_{0}$ i $f^{'} (x_{0}) = A$

(2)

jeśli istnieje pochodna funkcji $f$ w punkcie $x_{0}$ , to $f^{'} (x_{0}) = A$

(3)

jeśli istnieje pochodna funkcji $f$ w punkcie $x_{0}$ , to $f^{'} (x_{0}) = \frac{A}{2}$ .

nie, nie, tak

Odpowiedzi:

Zadanie 1. tak, nie, tak

Zadanie 2. tak, nie, nie

Zadanie 3. tak, tak, tak

Zadanie 4. nie, tak, nie

Zadanie 5. nie, nie, nie

Zadanie 6. nie, nie, tak

Ocena testu:

0-3 pkt -- ocena niedostateczna

4 pkt -- ocena dostateczna

5 pkt -- ocena dobra

6 pkt -- ocena bardzo dobra.

10101010101010101010101010101010101010101010

Wzór Taylora. Ekstrema. Test

Do każdego zadania podano trzy odpowiedzi, z których każda może być prawdziwa lub fałszywa. Można uzyskać jeden punkt wtedy i tylko wtedy, jeśli poprawnie zostaną wskazane wszystkie prawdziwe i fałszywe odpowiedzi.

Funkcja  $x \mapsto (5 - x) \sqrt[3]{x^{2}}$ 


 (1)

ma dokładnie dwa punkty krytyczne

(2)

nie ma ekstremum w punkcie $0$

(3)

ma minimum w punkcie 2.

tak, nie, nie

Funkcja  $x \to x + \ln (\sin x)$ 
 

 (1)

ma punkty krytyczne postaci $\frac{π}{4} + k π$ , gdzie $k \in ℤ$

(2)

ma tylko minima

(3)

nie ma punktów krytycznych w przedziale $(\frac{5 π}{2}, 3 π)$ .

 nie, nie, nie

Niech  $f (x) = x^{m} (1 - x)^{n}$  dla pewnych

liczb naturalnych $m, n$ . Wtedy

(1)

funkcja $f$ ma dokładnie trzy punkty krytyczne

(2)

funkcja $f$ ma maksimum w pewnym punkcie leżącym w przedziale $(0, 1)$

(3)

funkcja $f$ może mieć dwa minima.

 nie, tak, tak

Liczba  $\frac{π}{2}$  jest największą

wartością funkcji

(1)

$x \mapsto x \arcsin x + \sqrt{1 - x^{2}}$ w przedziale $[0, 1]$

(2)

$x \mapsto a r c t g x + a r c c t g x$ w przedziale $[1, + \infty)$

(3)

$x \mapsto (1 - x) \arccos x$ w przedziale $[0, 1]$ .

 tak, tak, tak

Z prostokątnego arkusza blachy o

wymiarach $a \times b$ wycięto w każdym rogu kwadrat o boku $x$ . Z pozostałej blachy utworzono otwarte prostopadłościenne pudełko o wysokości $x$ . Wartość $x$ została tak dobrana, że pojemność pudełka jest maksymalna. Wtedy

(1)

jeśli $a = 3$ i $b = 8$ , to pojemność ta wynosi $\frac{200}{27}$

(2)

jeśli $a = b$ , to $x = \frac{a}{6}$

(3)

jeśli $a$ i $b$ są całkowite, to $x$ jest wymierne.

 tak, tak, nie

Przykładem funkcji różniczkowalnej

dwukrotnie, która nie jest klasy $C^{2}$ jest funkcja

(1)

$x \mapsto {\begin{cases} x^{4} \cos \frac{1}{x}, & g d y x \neq 0 \\ 0, & g d y x = 0 \end{cases}$

(2)

$x \mapsto {\begin{cases} - x^{3}, & g d y x \geq 0 \\ x^{3}, & g d y x < 0 \end{cases}$

(3)

$x \mapsto {\begin{cases} x \sinh x, & g d y x \geq 0 \\ - x \sinh x, & g d y x < 0 \end{cases}$ .

 tak, nie, tak

Odpowiedzi:

Zadanie Uzupelnic t.am1.c.10.010|. tak, nie, nie

Zadanie Uzupelnic t.am1.c.10.020|. nie, nie, nie

Zadanie Uzupelnic t.am1.c.10.030|. nie, tak, tak

Zadanie Uzupelnic t.am1.c.10.040|. tak, tak, tak

Zadanie Uzupelnic t.am1.c.10.050|. tak, tak, nie

Zadanie Uzupelnic t.am1.c.10.060|. tak, nie, tak.

Ocena testu:

0-3 pkt -- ocena niedostateczna

4 pkt -- ocena dostateczna

5 pkt -- ocena dobra

6 pkt -- ocena bardzo dobra.

111111111111111111111111111111111111111111111111111111

Twierdzenie de l'Hospitala. Równość asymptotyczna. Test

Do każdego zadania podano trzy odpowiedzi, z których każda może być prawdziwa lub fałszywa. Można uzyskać jeden punkt wtedy i tylko wtedy, jeśli poprawnie zostaną wskazane wszystkie prawdziwe i fałszywe odpowiedzi.

Symbolem nieoznaczonym jest


 (1)

$[+ \infty - \infty]$

(2)

$[1^{+ \infty}]$

(3)

$[0^{- \infty}]$ .

tak, tak, nie

Granica  $\lim_{x \to 0} \frac{a r c t g x}{x^{3}}$ 
 

 (1)

może być liczona za pomocą reguły de l'Hospitala

(2)

jest równa granicy $\lim_{x \to 0} \frac{\frac{x^{3}}{1 + x^{2}} - 3 x^{2} a r c t g x}{x^{6}}$

(3)

jest równa 0.

tak, nie, nie

Granica  $\lim_{x \to 0} x \ln x$ 
 

 (1)

jest równa granicy $\lim_{x \to 0} (1 \cdot \ln x + x \cdot \frac{1}{x})$

(2)

jest równa granicy $\lim_{x \to 0} 1 \cdot \frac{1}{x}$

(3)

jest równa 0.

nie, nie, tak

Granica  $\lim_{x \to 1} \frac{\sqrt{1 - x^{m}}}{\ln x}$ 
 

 (1)

istnieje dla dowolnej liczby rzeczywistej $m$

(2)

jest równa $1$ dla $m = 2$

(3)

jest równa $0$ dla pewnego $m$ .

 tak, nie, tak

Na mocy reguły de l'Hospitala

prawdziwa jest równość

(1)

$\lim_{x \to 0} \frac{5 x^{2} + 3 x - 2}{2 x^{2} - 7 x + 1} = \lim_{x \to 0} \frac{10 x + 3}{4 x - 7}$

(2)

$\lim_{x \to \infty} \frac{3 x + \cos x}{2 x - \sin x} = \lim_{x \to \infty} \frac{3 - \sin x}{2 - \cos x}$

(3)

$\lim_{x \to 1} \frac{\ln x}{x^{2}} = \lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x}}{2 x}$

   nie, nie, nie

Funkcja  $f (x) = 2 x \arccos \frac{1}{x}$ 
 

 (1)

ma asymptotę pionową $x = 0$

(2)

ma asymptotę ukośną $y = π x - 2$ w plus lub minus nieskończoności

(3)

ma inną asymptotę ukośną w plus nieskończoności niż w minus nieskończoności.

 nie, tak, nie

Odpowiedzi:

Zadanie Uzupelnic t.am1.c.11.010|. tak, tak, nie

Zadanie Uzupelnic t.am1.c.11.020|. tak, nie, nie

Zadanie Uzupelnic t.am1.c.11.030|. nie, nie, tak

Zadanie Uzupelnic t.am1.c.11.040|. tak, nie, tak

Zadanie Uzupelnic t.am1.c.11.050|. nie, nie, nie

Zadanie Uzupelnic t.am1.c.11.060|. nie, tak, nie.

Ocena testu:

0-3 pkt -- ocena niedostateczna

4 pkt -- ocena dostateczna

5 pkt -- ocena dobra

6 pkt -- ocena bardzo dobra.

12121212121212121212121212121212121212121212121212121212

Wypukłość. Badanie funkcji jednej zmiennej. Test

Do każdego zadania podano trzy odpowiedzi, z których każda może być prawdziwa lub fałszywa. Można uzyskać jeden punkt wtedy i tylko wtedy, jeśli poprawnie zostaną wskazane wszystkie prawdziwe i fałszywe odpowiedzi.

Funkcja


 (1)

$x \mapsto \ln \frac{1}{x}$ jest wklęsła

(2)

$x \mapsto \cosh x$ jest wypukła

(3)

$x \mapsto \sqrt{1 - x^{2}}$ jest wypukła.

nie, tak, nie

Funkcja  $f$  jest dwukrotnie

różniczkowalna w pewnym przedziale $(0, + \infty)$ . Wtedy:

(1)

Jeśli $f$ jest wypukła, to $f^{'}$ jest rosnąca.

(2)

Jeśli $f^{'}$ jest malejąca, to $f$ jest wklęsła.

(3)

Jeśli $f^{″} (1) = 0$ , to $f$ ma w $1$ punkt przegięcia.

tak, tak, nie

Funkcja  $f (x) = x^{3} + 12 a r c t g x$  jest
 

 (1)

wypukła w przedziale $(1, + \infty)$

(2)

wklęsła w przedziale $(- \infty, - 1)$

(3)

wypukła w przedziale $(- \frac{1}{2}, \frac{1}{2})$ .

 tak, tak, nie

Funkcja  $x \mapsto x \arcsin (\cos x)$

jest wypukła w przedziale

(1)

$(\frac{π}{2}, \frac{3 π}{2})$

(2)

$(- \frac{π}{2}, 0)$

(3)

$(5 π, 6 π)$ .

 nie, tak, tak

Jeśli funkcja  $f$  jest wypukła w

przedziale $(0, 1)$ , to

(1)

funkcja $f^{2} (x) = (f (x))^{2}$ też jest wypukła w tym przedziale

(2)

funkcja $f^{3} (x) = (f (x))^{3}$ też jest wypukła w tym przedziale

(3)

funkcja $(0, 1) ∋ x \mapsto x f (x)$ też jest wypukła w tym przedziale.

   nie, nie, nie

Niech  $x, y, z$  będą dowolnymi liczbami

z przedziału $(0, 1)$ . Prawdziwa jest nierówność

(1)

$x y z \leq \frac{(x + y + z)^{3}}{27}$

(2)

$e^{\frac{2 x + y}{3}} \leq \frac{2}{3} (e^{x} + e^{y})$

(3)

$2 c t g \frac{2 x + y + z}{4} \leq c t g x + \frac{1}{2} (c t g y + c t g z)$ .

tak, tak, tak

Test GR4: Różnice pomiędzy wersjami

Wersja z 21:40, 26 wrz 2006

Spis treści

Wstęp. Zbiory liczbowe. Test

Zadania

Odpowiedzi

Funkcje elementarne. Test

Zadania

Odpowiedzi

Pochodna funkcji jednej zmiennej. Test

Wzór Taylora. Ekstrema. Test

Twierdzenie de l'Hospitala. Równość asymptotyczna. Test

Wypukłość. Badanie funkcji jednej zmiennej. Test

Menu nawigacyjne

Działania na stronie

Opcje strony

Narzędzia osobiste

Nawigacja

Szukaj

Narzędzia

@@ Linia 1: / Linia 1: @@
-==Test sprawdzający==
+1111111111111111111111111111111111111
+==Wstęp. Zbiory liczbowe. Test==
-333333333333333333333333333333333333333333333
+Do każdego zadania podano trzy odpowiedzi, z których każda może
+być prawdziwa lub fałszywa. Można uzyskać jeden punkt wtedy i
+tylko wtedy, jeśli poprawnie zostaną wskazane wszystkie prawdziwe
+i fałszywe odpowiedzi.
-==Test sprawdzający==
+===Zadania===
-<quiz>
-Niech <math>\displaystyle (\Omega,\Sigma ,P)</math> będzie dowolną przestrzenią
-probabilistyczną. Wówczas dla dowolnych zbiorów <math>\displaystyle A,B\subset \Sigma</math> takich, że
-<math>\displaystyle A\subset B</math> zachodzi:
-<wrongoption><math>\displaystyle P(A\cup B)=P(A)+P(B)</math>? </wrongoption>
-<rightoption><math>\displaystyle P(A\cup B)=P(A)+P(B) - P(A\cap B)</math>? </rightoption>
-<wrongoption><math>\displaystyle P(A\cap B)<P(B)</math>. </wrongoption>
-<rightoption><math>\displaystyle P(A\setminus B)=0</math>. </rightoption>
-</quiz>
+ Liczba <math>\displaystyle \sqrt{3+2\sqrt{2}}-\sqrt{3-2\sqrt{2}}</math>
-<quiz>
+'''(1)''' jest dodatnia
-Które z poniższych rodzin
-stanowią <math>\displaystyle \sigma</math>-algebry w zbiorze liczb naturalnych <math>\displaystyle \mathbb{N}</math>?
-<rightoption><math>\displaystyle \{\emptyset, 2\mathbb{N}, \mathbb{N}\setminus 2 mathbb{N}, \mathbb{N}}</math>, gdzie <math>\displaystyle 2\mathbb{N}</math> oznacza zbiór liczb naturalnych parzystych. </rightoption>
-<wrongoption><math>\displaystyle \{\emptyset, A_2, A_3, \mathbb{N}}</math>, gdzie <math>\displaystyle A_n</math> oznacza zbiór liczb naturalnych podzielnych przez <math>\displaystyle n</math>. </wrongoption>
-<rightoption><math>\displaystyle \di \bigcup_{n=10}^\infty{\cal P}(\{0,1,2,\ldots,n\})</math>. </rightoption>
-<wrongoption>Rodzina co najmniej 10-elementowych podzbiorów  <math>\displaystyle \mathbb{N}</math>. </wrongoption>
-</quiz>
+'''(2)''' jest wymierna
-<quiz>
+'''(3)'''  należy do trójkowego zbioru Cantora.
-Rzucono <math>\displaystyle 100</math> razy monetą. Oceń prawdziwość poniższych zdań.
-<wrongoption>Orła wyrzucono co najmniej <math>\displaystyle 50</math> razy. </wrongoption>
-<wrongoption>Nie jest możliwe, że za każdym razem otrzymano reszkę. </wrongoption>
-<rightoption>Prawdopodobieństwo otrzymania dokładnie 2 orłów jest równe prawdopodobieństwu otrzymania dokładnie 98 reszek. </rightoption>
-<wrongoption>Zdarzenie polegające na wyrzuceniu co najmniej 10 orłów lub co najwyżej 99 reszek jest zdarzeniem pewnym. </wrongoption>
-</quiz>
+  Równanie <math>\displaystyle x^6-1=0</math>
-<quiz>
+'''(1)''' ma dwa rozwiązania w zbiorze liczb rzeczywistych
-Rozważmy dowolnie ustaloną miarę <math>\displaystyle \mu</math>, określoną na <math>\displaystyle \s</math>-algebrze zbiorów borelowskich w przestrzeni <math>\displaystyle \r^2</math>. Wówczas:
-<wrongoption><math>\displaystyle \mu</math> jest miarą Lebesgue'a. </wrongoption>
-<wrongoption><math>\displaystyle \mu(\r^2)=1</math>. </wrongoption>
-<rightoption>każde koło o promieniu 1 jest zbiorem <math>\displaystyle \mu</math>-mierzalnym. </rightoption>
-<rightoption>jeżeli <math>\displaystyle \mu((0,1) \times (0,1)) > 0 </math>, to <math>\displaystyle \mu(A) > 0</math>, gdzie <math>\displaystyle A</math> jest kołem o środku w początku układu współrzędnych i promieniu <math>\displaystyle 2</math>. </rightoption>
-</quiz>
+'''(2)''' ma sześć pierwiastków w zbiorze <math>\displaystyle \Bbb C \setminus
+\Bbb R</math>
-<quiz>
+'''(3)''' jest spełnione przez  liczbę <math>\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}+i
-Trzy osoby wybierają spośród trzech różnych par rękawiczek
+\frac{\sqrt{2}}{2}</math>.
-po lewej i prawej rękawiczce.  Prawdopodobieństwo tego, że żadna z nich nie dostała pary:
-<rightoption>jest większe od prawdopodobieństwa tego, że wszyscy otrzymali sparowane rękawiczki. </rightoption>
-<wrongoption>jest równe dokładnie <math>\displaystyle 0.33</math>. </wrongoption>
-<wrongoption>wynosi dokładnie <math>\displaystyle \frac{2}{3}</math>. </wrongoption>
-<rightoption>jest mniejsze niż <math>\displaystyle \frac{1}{2}</math>. </rightoption>
-</quiz>
+  Liczba <math>\displaystyle \binom{10}{4}</math>
-<quiz>
+'''(1)''' jest równa <math>\displaystyle \binom{5}{2}</math>
-Które z poniższych zdań są prawdziwe?
-<wrongoption>Jeżeli w 100 kolejnych rzutach monetą za każdym razem otrzymano orła, to w następnym rzucie prawdopodobieństwo wyrzucenia reszki jest większe niż prawdopodobieństwo wyrzucenia orła. </wrongoption>
-<wrongoption>W każdej przestrzeni probabilistycznej <math>\displaystyle (\Omega,\Sigma ,P)</math> znajdziemy niepusty zbiór <math>\displaystyle A</math> taki, że <math>\displaystyle P(A)=0</math>. </wrongoption>
-<wrongoption>Każda nieskończona przestrzeń probabilistyczna zawiera niepuste zdarzenie o zerowym prawdopodobieństwie. </wrongoption>
-<rightoption>Wśród 400 losowo wybranych osób znajdują się dwie, które obchodzą urodziny w tym samym dniu. </rightoption>
-</quiz>
+'''(2)''' jest równa <math>\displaystyle \binom{10}{6}</math>
-44444444444444444444444444444444444444444444444444
+'''(3)''' jest współczynnikiem <math>\displaystyle a</math> jednomianu <math>\displaystyle a x^4</math> w
+wielomianie <math>\displaystyle (x+2)^{10}</math> (to znaczy: w wielomianie, który
+otrzymamy po podniesieniu wyrażenia <math>\displaystyle x+2</math> do potęgi 10 i po
+redukcji wyrazów podobnych).
-==Test sprawdzający==
+ Zbiór liczb z przedziału <math>\displaystyle [0,1]</math>, których rozwinięcia
+dziesiętne można zapisać bez użycia cyfr 3, 4, 5,
-Dla dowolnych liczb naturalnych <math>\displaystyle r</math> i <math>\displaystyle n</math> takich, że <math>\displaystyle 1\leq n\leq r</math>, prawdopodobieństwa zdarzeń
+'''(1)''' nie zawiera żadnej liczby wymiernej
-elementarnych występujących w schematach losowania <math>\displaystyle n</math> ze zbioru <math>\displaystyle r</math>-elementowego elementów, bez zwracania i ze zwracaniem:
-* są zawsze różne od siebie. </wrongoption>
-* są zawsze sobie równe. </wrongoption>
-* są zawsze mniejsze niż <math>\displaystyle 1</math>. </wrongoption>
-* żadne z powyższych. </rightoption>
+'''(2)''' jest równy trójkowemu zbiorowi Cantora
-Niech <math>\displaystyle K\subset \mathbb{R}^2</math> będzie danym kwadratem o boku <math>\displaystyle 1</math> oraz niech <math>\displaystyle (K,\Sigma, P)</math> będzie
+'''(3)''' jest przeliczalny.
-przestrzenią probabilistyczną występującą w definicji [[##dpg|Uzupelnic dpg|]]. Wówczas:
-* <math>\displaystyle P(A)=\mu(A)</math> dla każdego <math>\displaystyle A\in \Sigma</math> (<math>\displaystyle \mu</math> oznacza dwuwymiarową miarę Lebesgue'a). </rightoption>
-* <math>\displaystyle P(A)<\mu(A)</math> dla pewnego <math>\displaystyle A\in \Sigma</math>. </wrongoption>
-* <math>\displaystyle P(O)=0</math>, gdzie <math>\displaystyle O</math> jest okręgiem wpisanym w kwadrat <math>\displaystyle K</math>. </rightoption>
-* wnętrze kwadratu <math>\displaystyle K</math>  jest zdarzeniem pewnym. </rightoption>
+  Suma nieskończonego szeregu geometrycznego:
+<math>\displaystyle 1-\frac{1}{3}+\frac{1}{9}-\frac{1}{27}+...</math>
-Spośród  3  kul  niebieskich i  4  kul  czarnych losujemy 3 kule.  Wówczas prawdopodobieństwo wylosowania
+'''(1)''' jest liczbą niewymierną
-co najmniej 2 kul niebieskich:
-* jest większe w przypadku losowania bez zwracania. </wrongoption>
-* jest mniejsze, w przypadku
-    losowania ze zwracaniem, niż prawdopodobieństwo wylosowania dokładnie 2 kul czarnych. </wrongoption>
-* jest w każdym przypadku mniejsze niż <math>\displaystyle \di \frac{1}{2}</math>. </wrongoption>
-* jest większe, w przypadku
-    losowania bez zwracania, niż prawdopodobieństwo wylosowania co najmniej 3 kul czarnych. </rightoption>
+'''(2)''' należy do przedziału <math>\displaystyle [\frac{1}{2}, \frac{3}{4})</math>
-Maciek jest zapalonym kinomanem, uwielbiającym jednocześnie pływanie. Codziennie wieczorem wychodzi z domu,
+'''(3)''' nie należy do przedziału <math>\displaystyle (\frac{1}{\sqrt{3}},
-udając się na najbliższy przystanek autobusowy, gdzie dociera między godziną <math>\displaystyle 19^{00}</math> a <math>\displaystyle 20^{00}</math> (każdy moment
+\frac{1}{\sqrt{2}})</math>.
-jest jednakowo prawdopodobny). Z przystanku tego odjeżdżają
-autobusy linii <math>\displaystyle 109</math> i <math>\displaystyle 110</math>, wg następującego rozkładu:
-<center><math>\displaystyle 109\colon 19^{05}, 19^{30}, 19^{55},</math></center>
-<center><math>\displaystyle 110\colon 19^{11}, 19^{36}, 20^{01}.</math></center>
+  Jeśli <math>\displaystyle z=\sqrt{3}+i</math>, to
-Autobusem nr <math>\displaystyle 109</math> Maciek dojeżdża do swojego ulubionego kina, zaś autobusem nr <math>\displaystyle 100</math> -- do ulubionego basenu,
+'''(1)''' <math>\displaystyle z^6=64</math>
-przy czym zawsze wybiera ten, który nadjedzie jako pierwszy. Jeżeli <math>\displaystyle A</math> oznacza zdarzenie polegające na tym, że Maciek
-w danym dniu znajdzie się w kinie (w przeciwnym razie będzie pływać w basenie), to zakładając bezwzględną punktualność
-autobusów:
-* zdarzenia <math>\displaystyle A</math> i <math>\displaystyle \Omega\setminus A</math> zachodzą z jednakowym prawdopodobieństwem, ponieważ
-    w interesującym nas okresie czasu odjeżdża tyle samo autobusów linii <math>\displaystyle 109</math>, co <math>\displaystyle 110</math>. </wrongoption>
-* zdarzenie <math>\displaystyle A</math> jest mniej prawdopodobne niż zdarzenie przeciwne do <math>\displaystyle A</math>, ponieważ autobusy nr <math>\displaystyle 109</math>
-    odjeżdżają wcześniej, niż odpowiadające im autobusy nr <math>\displaystyle 110</math>. </wrongoption>
-* <math>\displaystyle \di P(A)>\frac{1}{2}</math>. </rightoption>
-* <math>\displaystyle P(A)<1-P(A)</math>. </wrongoption>
+'''(2)''' <math>\displaystyle \Re (\frac{z}{2})^{36}=1</math>
-Doświadczenie   polega   na    rzucie   monetą --
+'''(3)''' <math>\displaystyle \Im \bar{z}=-i</math>.
-rzucamy nią tak długo, aż wypadnie orzeł.  Niech
-<math>\displaystyle \omega_{i}</math> oznacza zdarzenie, że  za <math>\displaystyle i</math>-tym  razem  po  raz
-pierwszy  wypadł orzeł. Ocenić prawdziwość poniższych zdań.
-* <math>\displaystyle \di \lim_{n\rightarrow \infty} P(\omega_</wrongoption>)=0</math>. </rightoption>
-* <math>\displaystyle P(\omega_</wrongoption>)=P(\omega_{n+1}\cup\omega_{n+2}\cup \omega_{n+3}\cup \ldots)</math>
-    dla każdego <math>\displaystyle n\geq 1</math>. </rightoption>
-* <math>\displaystyle \di \sum_{n=1}^\infty P(\omega_</wrongoption>)=1</math>. </rightoption>
-* Zdarzenia <math>\displaystyle \omega_i</math> są jednakowo prawdopodobne. </wrongoption>
+=== Odpowiedzi===
-Eksperyment polega na wykonaniu 10 rzutów symetryczną kostką do gry, a więc jego wynikiem jest 10 elementowy ciąg. Eksperyment ten można traktować jako:
+Zadanie 1.  tak, tak, nie
-* losowanie liczby naturalnej ze zbioru <math>\displaystyle \{1,\dots,10^6\}</math>. </wrongoption>
-* losowanie ze zwracaniem sześciu spośród dziesięciu elementów. </wrongoption>
-* losowanie bez zwracania sześciu spośród dziesięciu elementów. </wrongoption>
-* losowanie bez zwracania dziesięciu spośród sześciu elementów. </wrongoption>
+Zadanie 2.  tak, nie, nie
-555555555555555555555555555555555555555555555555
+Zadanie 3.  nie, tak, nie
-==Test sprawdzający==
+Zadanie 4.  nie, nie, nie
-Poznana definicja prawdopodobieństwa warunkowego
+Zadanie 5.  nie, nie, tak
-<math>\displaystyle P(W|Z)</math> zakłada, że:
-* oba zdarzenia <math>\displaystyle W</math> i  <math>\displaystyle Z</math> mają prawdopodobieństwa dodatnie. </wrongoption>
-* przynajmniej jedno z tych zdarzeń ma prawdopodobieństwo dodatnie. </wrongoption>
-* zdarzenie <math>\displaystyle Z</math> ma prawdopodobieństwo dodatnie. </rightoption>
-* zdarzenie <math>\displaystyle W</math> ma prawdopodobieństwo dodatnie. </wrongoption>
+Zadanie 6.  nie, tak, nie.
-Oceń prawdziwość poniższych zdań.
+Ocena testu:
-* Jeżeli dwa zdarzenia są niezależne, to zdarzenia te są rozłączne. </wrongoption>
-* Jeżeli dwa zdarzenia są rozłączne, to zdarzenia te są zależne. </wrongoption>
-* Jeżeli dwa zdarzenia są rozłączne, to zdarzenia te są niezależne. </wrongoption>
-* Jeżeli <math>\displaystyle P(B|A) = P(A)</math>, to zdarzenia <math>\displaystyle A</math> i <math>\displaystyle B</math> są niezależne. </wrongoption>
+-3 pkt -- ocena niedostateczna
-Rzucamy trzema kostkami do gry. Zdarzenie <math>\displaystyle A</math> oznacza, że wśród uzyskanych oczek nie ma "szóstki", zaś zdarzenie <math>\displaystyle B</math> --
+pkt -- ocena dostateczna
-że na co najmniej jednej kostce wypada "jedynka". Wtedy <math>\displaystyle P(A|B)</math>:
-* równa się <math>\displaystyle \di \frac{61}{91}</math>. </rightoption>
-* równa się <math>\displaystyle \di \frac{127}{216}</math>. </wrongoption>
-* jest mniejsze od <math>\displaystyle \di \frac{1}{2}</math>. </wrongoption>
-* jest większe od <math>\displaystyle \di \frac{2}{3}</math>. </rightoption>
+pkt -- ocena dobra
-Trzy oddziały pewnej firmy produkują monitory komputerowe, które następnie są centralnie testowane:
+pkt -- ocena bardzo dobra.
-monitorów pochodzi z oddziału <math>\displaystyle A</math>, gdzie wadliwość wynosi 3, 30 monitorów pochodzi z oddziału <math>\displaystyle B</math>,
- gdzie wadliwość wynosi 1, zaś pozostałe monitory pochodzą z oddziału <math>\displaystyle C</math>, który ma 0 wadliwości. Wiemy, że
- losowo wybrany monitor przeszedł pozytywnie test. Jakie jest prawdopodobieństwo tego, że został on wyprodukowany w oddziale <math>\displaystyle C</math>?
-* Około 3. </wrongoption>
-* Ponad 30. </rightoption>
-* Więcej niż 50. </wrongoption>
-* <math>\displaystyle \di \frac{60}{197}</math>. </rightoption>
+22222222222222222222222222222222222222
-Chcemy szybko rozpalić ognisko, lecz mamy do dyspozycji tylko trzy zapałki. Prawdopodobieństwo rozpalenia ogniska pojedynczą
+==Funkcje elementarne. Test==
-zapałką wynosi <math>\displaystyle 0.4</math>, dwiema złączonymi zapałkami -- <math>\displaystyle 0.6</math>, zaś trzema złączonymi zapałkami -- <math>\displaystyle 0.8</math>. Jaką wybrać strategię?
-* Używać pojedynczych zapałek. </wrongoption>
-* Użyć najpierw jedną, a potem dwie złączone zapałki. </wrongoption>
-* Użyć najpierw dwie złączone zapałki, a potem jedną zapałkę. </wrongoption>
-* Użyć od razu trzy zapałki. </rightoption>
+Do każdego zadania podano trzy odpowiedzi, z których każda może być prawdziwa lub fałszywa.
+Można uzyskać jeden punkt wtedy i tylko wtedy, jeśli poprawnie zostaną wskazane wszystkie
+prawdziwe i fałszywe odpowiedzi.
-W schemacie Bernoulliego liczba doświadczeń
+===Zadania===
-wynosi 10, a prawdopodobieństwo sukcesu wynosi <math>\displaystyle 0.2</math>. Które z poniższych zdarzeń jest najbardziej prawdopodobne?
-* Uzyskanie 2 sukcesów. </wrongoption>
-* Uzyskanie 3 sukcesów. </wrongoption>
-* Uzyskanie mniej niż 2 sukcesów. </rightoption>
-* Uzyskanie więcej niż 5 sukcesów. </wrongoption>
+Funkcja <math>\displaystyle f(x)=\left\{\aligned \root{4}\of{x}&, \text{ dla }
+x\geq 0\\ -\root{4}\of{-x}&, \text{ dla } x<0\endaligned \right .</math>
-66666666666666666666666666666666666666666666
+a. jest funkcją odwrotną do funkcji <math>\displaystyle g(x)=x^4</math>
-==Test sprawdzający==
+b. jest bijekcją zbioru <math>\displaystyle \Bbb R</math> na zbiór <math>\displaystyle \Bbb R</math>
-Oceń prawdziwość poniższych zdań.
+c. jest ściśle rosnąca.
-* Każdy rozkład prawdopodobieństwa ma dystrybuantę. </rightoption>
-* Każdy rozkład prawdopodobieństwa jest albo rozkładem dyskretnym albo rozkładem ciągłym. </wrongoption>
-* Dystrybuanta rozkładu ciągłego jest funkcją ciągłą. </rightoption>
-* Dystrybuanta rozkładu dyskretnego nie jest funkcją ciągłą. </rightoption>
+ Dana jest funkcja <math>\displaystyle f(x)=\ln (1+x)</math>.
-Wskaż rozkład wartości bezwzględnej różnicy liczby oczek przy rzucie dwiema kostkami:
+a. Dziedziną <math>\displaystyle f</math> jest przedział <math>\displaystyle (-1, +\infty)</math>.
-* <math>\displaystyle x_i=1,2,3,4,5</math>; <math>\displaystyle \di p_i=\frac{16}{36},\frac{8}{36},\frac{6}{36},\frac{4}{36},\frac{2}{36}</math>. </wrongoption>
-* <math>\displaystyle x_i=0,1,2,3,4,5</math>; <math>\displaystyle \di p_i=\frac{1}{6},\frac{10}{36},\frac{8}{36},\frac{6}{36},\frac{4}{36},\frac{2}{36}</math>. </rightoption>
-* <math>\displaystyle x_i=0,1,2,3,4,5</math>; <math>\displaystyle \di p_i=\frac{10}{6},\frac{6}{36},\frac{8}{36},\frac{6}{36},\frac{4}{36},\frac{2}{36}</math>. </wrongoption>
-* <math>\displaystyle x_i=1,2,3,4,5,6</math>; <math>\displaystyle \di p_i=\frac{1}{6},\frac{10}{36},\frac{8}{36},\frac{6}{36},\frac{4}{36},\frac{2}{36}</math>. </wrongoption>
+b. Funkcja <math>\displaystyle f</math> przyjmuje wartość zero wyłącznie dla argumentu
+<math>\displaystyle x=0</math>.
-Zmienna losowa <math>\displaystyle X</math> ma gęstość:
+c. Rozwiązaniem równania <math>\displaystyle f(x)=1</math> jest liczba <math>\displaystyle x=e-1</math>.
-<center><math>\displaystyle f(x) = \left\{\begin{array} {rl}
+ Dana jest funkcja <math>\displaystyle f(x)=\arcsin (2x)</math>.
-& \hbox{dla } x < 0 \\
-    xe^{-x} & \hbox{dla } x \ge 0. \\
-\end{array} \right.
-</math></center>
-Oceń prawdziwość następujących zdań:
+a. Dziedziną <math>\displaystyle f</math> jest przedział <math>\displaystyle [-\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{4}]</math>.
-* <math>\displaystyle \di P(X > 1) < \frac{1}{2}</math>. </wrongoption>
-* <math>\displaystyle \di P(X = 1) = \frac{2}{e^{-1}}</math>. </wrongoption>
-* <math>\displaystyle \di P(X > 1) > \frac{3}{4}</math>. </wrongoption>
-* <math>\displaystyle P(X > -1) < 1</math>. </wrongoption>
+b. Funkcja <math>\displaystyle f</math> przyjmuje wartość największą dla argumentu
+<math>\displaystyle x=\frac{\pi}{4}</math>.
-Zmienna losowa <math>\displaystyle X</math> ma rozkład jednostajny na odcinku <math>\displaystyle (-1,1)</math>. Wskaż gęstość rozkładu zmiennej losowej <math>\displaystyle X^2</math>:
+c. Rozwiązaniem równania <math>\displaystyle f(x)=-\frac{\pi}{6}</math> jest liczba
-* <math>\displaystyle \di
+<math>\displaystyle x=-\frac{\sqrt{3}}{2}</math>.
-f(x) = \left\{\begin{array} {rl}
-& \hbox{dla } x \le -1 \\
-    \frac{1}{2}x^2 & \hbox{dla } -1 < x < 1 \\
-& \hbox{dla } x \ge 1 \\
-\end{array} .\right.
-</math> </wrongoption>
-* <math>\displaystyle \dif(x) = \left\{\begin{array} {rl}
-& \hbox{dla } x \le 0 \\
-    \frac{1}{3}x^2 & \hbox{dla }0 < x < 1 \\
-& \hbox{dla } x \ge 1 \\
-\end{array} .\right.
-</math> </wrongoption>
-* <math>\displaystyle \di
-f(x) = \left\{\begin{array} {rl}
-& \hbox{dla } x \le -1 \\
-    \frac{1}{\sqrt{|x|}} & \hbox{dla } -1 < x < 1 \\
-& \hbox{dla } x \ge 1 \\
-\end{array} .\right.
-</math> </wrongoption>
-* <math>\displaystyle \di
-f(x) = \left\{\begin{array} {rl}
-& \hbox{dla } x \le 0 \\
-    \frac{1}{2\sqrt{x}} & \hbox{dla } 0 < x < 1 \\
-& \hbox{dla } x \ge 1 \\
-\end{array} .\right.
-</math> </rightoption>
+ Dana jest funkcja <math>\displaystyle f(x)=2 \mathrm{arctg}\, \sqrt{x}</math>.
-Wyprodukowano dwie kostki do gry w ten sposób, że "szóstka" wypada z prawdopodobieństwem <math>\displaystyle 0.1</math>, natomiast pozostałe
+a. Dziedziną <math>\displaystyle f</math> jest przedział <math>\displaystyle (-\infty, +\infty)</math>.
- ścianki wypadają z jednakowym prawdopodobieństwem każda. Niech <math>\displaystyle X</math> oraz <math>\displaystyle Y</math> oznaczają liczby oczek otrzymanych w
- rezultacie rzutu tymi kostkami. Oceń prawdziwość poniższych zdań.
-* <math>\displaystyle P(X > Y) = P(X < Y)</math>. </rightoption>
-* <math>\displaystyle P(X = Y) = 0.172</math>. </rightoption>
-* <math>\displaystyle P(X > Y) = 0.414</math>. </rightoption>
-* <math>\displaystyle X</math> oraz <math>\displaystyle Y</math> są zależnymi zmiennymi losowymi. </wrongoption>
+b. Zbiorem wartości funkcji <math>\displaystyle f</math> jest przedział <math>\displaystyle [0, \pi)</math>
-Czy  z  niezależności  zmiennych
+c. Rozwiązaniem równania <math>\displaystyle f(x)=\frac{\pi}{2}</math> jest liczba <math>\displaystyle 1</math>.
-losowych <math>\displaystyle \xi</math> oraz <math>\displaystyle \eta</math> wynika,  że:
-* niezależne  są  zmienne losowe <math>\displaystyle \xi + \eta</math> oraz <math>\displaystyle \xi - \eta</math>? </wrongoption>
-* niezależne  są  zmienne losowe <math>\displaystyle 3\xi</math> oraz <math>\displaystyle - \eta</math>? </rightoption>
-* niezależne  są  zmienne losowe <math>\displaystyle \xi^2</math> oraz <math>\displaystyle \eta^2</math>? </rightoption>
-* niezależne  są  zmienne losowe <math>\displaystyle \max (\xi,\eta)</math> oraz <math>\displaystyle \xi+\eta</math>? </wrongoption>
+ Dana jest funkcja <math>\displaystyle f(x)=\cos(\arcsin 2x)</math>.
-777777777777777777
+a. Dziedziną <math>\displaystyle f</math> jest przedział <math>\displaystyle [-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}]</math>.
-==Test sprawdzający==
+b. Funkcja <math>\displaystyle f</math> jest równa funkcji <math>\displaystyle x\mapsto \sqrt{1-2x^2}</math>
-Niech <math>\displaystyle X</math> oznacza liczbę oczek otrzymanych przy rzucie "fałszywą kostką", na której "szóstka"
+c. Równanie <math>\displaystyle f(x)=\frac{1}{2}</math> spełniają dwie liczby
- wypada z prawdopodobieństwem <math>\displaystyle 0.1</math>, natomiast pozostałe ścianki wypadają z jednakowym prawdopodobieństwem każda. Wtedy:
+<math>\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{4}</math> oraz <math>\displaystyle -\frac{\sqrt{3}}{4}</math>.
-* <math>\displaystyle \E(X) = 3.2</math>. </wrongoption>
-* <math>\displaystyle \D (X) = 6.25</math>. </wrongoption>
-* średni błąd <math>\displaystyle X</math> wynosi  <math>\displaystyle 2.32</math>. </wrongoption>
-* <math>\displaystyle q_{0.9} =  6</math>. </wrongoption>
+ Dana jest funkcja <math>\displaystyle f(x)={\rm artgh\, }(-x)</math>.
-Za prawo wyciągnięcia jednej karty z talii 52 kart płacimy <math>\displaystyle w</math> zł, a otrzymujemy <math>\displaystyle a</math> zł za wyciągnięcie asa,
+a. Funkcja <math>\displaystyle f</math> jest bijekcją przedziału <math>\displaystyle (-1,1)</math> na zbiór <math>\displaystyle \Bbb
-zł za wyciągnięcie waleta, damy lub króla oraz <math>\displaystyle x</math> zł za wyciągnięcie karty mającej <math>\displaystyle x</math> oczek. Gra jest sprawiedliwa,
+R</math>.
- gdy:
-* <math>\displaystyle a = 5</math>, <math>\displaystyle w = 8</math>. </rightoption>
-* <math>\displaystyle a = 10</math>, <math>\displaystyle w = 7</math>. </wrongoption>
-* <math>\displaystyle a = 100</math>, <math>\displaystyle w = 15</math>. </wrongoption>
-* nigdy nie jest sprawiedliwa. </wrongoption>
+b. Funkcja <math>\displaystyle f</math> jest ściśle rosnąca.
-Zmienna losowa <math>\displaystyle X</math> ma gęstość:
+c. Równanie <math>\displaystyle f(x)=1</math> spełnia liczba  <math>\displaystyle x=\frac{1-e^2}{1+e^2}</math>.
-<center><math>\displaystyle f(x) = \left\{\begin{array} {rl}
+===Odpowiedzi===
-& \hbox{dla } x < 0 \\
-    xe^{-x} & \hbox{dla } x \ge 0. \\
-\end{array} \right.
-</math></center>
-Oceń prawdziwość następujących zdań:
+Zadanie 1.  nie, tak, tak
-* <math>\displaystyle \E(X) = 2</math>. </rightoption>
-* <math>\displaystyle \D (X) = 2</math>. </rightoption>
-* średni błąd <math>\displaystyle X</math> wynosi <math>\displaystyle 8e^{-2}</math>. </rightoption>
-* <math>\displaystyle q_{0.5} \approx  1.68</math>. </rightoption>
+Zadanie 2.  tak, tak, tak
-Oceń prawdziwość poniższych zdań.
+Zadanie 3.  nie, nie, nie
-* Każda zmienna losowa ma skończoną wartość oczekiwaną. </wrongoption>
-* Istnieją zmienne losowe, dla których nie istnieje skończona wartość oczekiwana. </rightoption>
-* Istnieje zmienna losowa, dla której wszystkie momenty centralne są równe zeru. </rightoption>
-* Wariancja sumy zmiennych losowych jest równa sumie wariancji tych zmiennych, pod warunkiem, że wariancje te istnieją
-    i są skończone. </wrongoption>
+Zadanie 4.  nie, tak, tak
-Wylosowano niezależnie od siebie cztery liczby, zgodnie z rozkładem jednostajnym na odcinku <math>\displaystyle (0,1)</math>, a następnie
+Zadanie 5.  tak, nie, tak
-utworzono łamaną z odcinków o długościach równych tym liczbom. Niech <math>\displaystyle X</math> będzie długością tej łamanej. Wtedy:
-* <math>\displaystyle P(|X - 2| > 1) \le \frac{1}{3}</math> </rightoption>
-* <math>\displaystyle P(|X - 2| < \sqrt{3}) \ge \frac{8}{9}</math>  </rightoption>
-* <math>\displaystyle P(|X - 2| < 2) \ge 1</math>  </rightoption>
-* <math>\displaystyle P(X = 2) = 0</math>  </rightoption>
+Zadanie 6.  tak, nie, tak.
-Ile razy należy rzucić monetą symetryczną, żeby liczba otrzymanych orłów mieściła się w przedziale:
+Ocena testu:
-<center><math>\displaystyle (48\% </math>  liczby rzutów <math>\displaystyle  , 52\% </math>  liczby rzutów <math>\displaystyle  ),</math></center>
- z prawdopodobieństwem <math>\displaystyle 0.99</math> lub większym?
-* Co najmniej 1 000 000 razy. </wrongoption>
-* Wystarczy rzucić 100 000 razy. </rightoption>
-* Dokładnie 4 250 razy. </wrongoption>
-* Na przykład 62 500 razy. </rightoption>
+-3 pkt -- ocena niedostateczna
-88888888888888888888888888888888888888888
+pkt -- ocena dostateczna
-==Test sprawdzający==
+pkt -- ocena dobra
-Z urny zawierającej <math>\displaystyle L_n</math> niebieskich i <math>\displaystyle L_c</math> czarnych kul  losujemy <math>\displaystyle k</math> kul. Niech <math>\displaystyle N</math> oraz <math>\displaystyle C</math> oznaczają
+pkt -- ocena bardzo dobra.
-liczbę uzyskanych niebieskich i czarnych kul. Wtedy:
-* <math>\displaystyle N</math> ma rozkład hipergeometryczny, gdy losowanie odbywa się ze zwracaniem. </wrongoption>
-* wektor losowy  <math>\displaystyle (N,C)</math> ma rozkład wielomianowy, gdy losowanie odbywa się ze zwracaniem. </rightoption>
-* <math>\displaystyle \E(N) = \frac{kL_n}{L_n+L_c}</math>, gdy losowanie odbywa się bez zwracania. </rightoption>
-* <math>\displaystyle C</math> ma w przybliżeniu rozkład Poissona, gdy w urnie jest dużo kul niebieskich w porównaniu z kulami czarnymi, a
-        liczba losowań ze zwracaniem jest porównywalna z liczbą kul w urnie.  </rightoption>
+9999999999999999999999999999999999999999999999999999999999
-Niech <math>\displaystyle X</math> ma rozkład Poissona o parametrze <math>\displaystyle \lambda = 4</math>. Wtedy:
+==Pochodna funkcji jednej zmiennej. Test==
-* <math>\displaystyle P(X = 0) \approx 0.018</math>. </rightoption>
-* <math>\displaystyle P(X \le 7) \approx 0.99</math>. </wrongoption>
-* <math>\displaystyle P(X > 4) \approx 0.37</math>. </rightoption>
-* <math>\displaystyle P(1 < X \le 5) \approx 0.69</math>. </rightoption>
+Do każdego zadania podano trzy odpowiedzi, z których każda może być prawdziwa lub fałszywa.
+Można uzyskać jeden punkt wtedy i tylko wtedy, jeśli poprawnie zostaną wskazane wszystkie
+prawdziwe i fałszywe odpowiedzi.
-Średnia liczba stłuczek samochodowych w ciągu doby w pewnym mieście wynosi 10.5. Wskaż przedział <math>\displaystyle [a,b]</math> taki,
+ Pochodna funkcji <math>\displaystyle \displaystyle
-że w dniu jutrzejszym liczba stłuczek samochodowych w tym mieście będzie z prawdopodobieństwem co najmniej 0.9 zawierać się w tym
+f(x)=\frac {\sqrt {x+1}-\sqrt {x-1}}{\sqrt {x+1}+\sqrt {x-1}}</math> w
- przedziale.
+przedziale <math>\displaystyle (1,+\infty)</math> jest równa
-* <math>\displaystyle a = 7</math>, <math>\displaystyle b = 20</math>. </wrongoption>
+<br>
-* <math>\displaystyle a = 0</math>, <math>\displaystyle b = 14</math>. </wrongoption>
+  '''(1)'''
-* <math>\displaystyle a = 5</math>, <math>\displaystyle b = 15</math>. </rightoption>
+<math>\displaystyle \displaystyle f'(x)=1-\frac {x}{\sqrt {x+1}\sqrt {x-1}}</math>
-* <math>\displaystyle a = 6</math>, <math>\displaystyle b = 16</math>. </rightoption>
+<br>
+  '''(2)'''
+<math>\displaystyle \displaystyle f'(x)=\frac {\sqrt {x-1}-\sqrt {x+1}}{\sqrt
+{x-1}+\sqrt {x+1}}</math>
+<br>
+  '''(3)'''
+<math>\displaystyle \displaystyle f'(x)=1-\sqrt {1+\frac {1}{x^2-1}}</math>.
+tak, nie, tak
-Prawdopodobieństwo <math>\displaystyle q</math> tego, że powtarzając rzut parą kostek otrzymamy parę "szóstek" w pierwszych dziesięciu rzutach
+ Styczna do wykresu funkcji
-jest:
+<math>\displaystyle \displaystyle f(x)=x\sin x</math> w punkcie <math>\displaystyle (\frac {\pi}{2},\frac
-* w przybliżeniu równe <math>\displaystyle 0.35</math>. </wrongoption>
+{\pi}{2})</math> ma równanie
-* w przybliżeniu równe <math>\displaystyle 0.24</math>. </rightoption>
+<br>
-* mniejsze niż <math>\displaystyle 0.5</math>. </rightoption>
+  '''(1)'''
-* większe <math>\displaystyle 0.5</math>. </wrongoption>
+<math>\displaystyle \displaystyle y=x</math>
+<br>
+  '''(2)'''
+<math>\displaystyle \displaystyle y=(-\frac {\pi}{2}+1)x+\frac {\pi^2}{4}</math>
+<br>
+  '''(3)'''
+<math>\displaystyle \displaystyle y=x+\frac {\pi}{2}</math>.
+tak, nie, nie
-Prawdopodobieństwo awarii serwera w studenckiej pracowni komputerowej w ciągu każdego dnia pracy wynosi <math>\displaystyle 0.005</math>. Zakładając, że
+  Funkcja
-awarie są niezależne od siebie, ocenić jakie jest prawdopodobieństwo <math>\displaystyle Pr</math> tego, że w trakcie 500 dni pracy serwera będą co
- najmniej dwie awarie.
-* <math>\displaystyle Pr > 0.8</math>. </wrongoption>
-* <math>\displaystyle Pr < 0.5</math>. </wrongoption>
-* <math>\displaystyle Pr \approx 0.4943</math>. </wrongoption>
-* <math>\displaystyle Pr > 0.7</math>. </rightoption>
+<center><math>\displaystyle f(x)=\begincases &x^3\sin (\frac 1x), \ \ \text{dla} \ \ x\neq 0,
+\\
+&0, \ \ \text {dla} \ \ x=0,
+\endcases
+</math></center>
-Samolot znajduje rozbitka, na określonym akwenie, w czasie mającym rozkład wykładniczy o średniej wynoszącej 30 minut. Motorówka
+<br>
- ratunkowa znajduje rozbitka, na tym samym akwenie, w czasie mającym rozkład wykładniczy o średniej równej 2 godziny. Ile wynosi wartość
+  '''(1)'''
- oczekiwana czasu poszukiwania rozbitka na tym akwenie, gdy samolot i motorówka działają niezależnie od siebie?
+jest ciągła
-* 24 minuty. </rightoption>
+<br>
-* 2.5 godziny. </wrongoption>
+  '''(2)'''
-* 20 minut. </wrongoption>
+ma pochodną w punkcie <math>\displaystyle x=0</math>
-* 12 minut. </wrongoption>
+<br>
+  '''(1)'''
+ma ciągłą pochodną w punkcie <math>\displaystyle x=0</math>.
+tak, tak, tak
-999999999999999999999999999999999999999999999
+ Równanie <math>\displaystyle \displaystyle x^e=ke^x</math>
+<br>
+  '''(1)'''
+nie ma rozwiązań dla <math>\displaystyle k\in(0,1)</math>
+<br>
+  '''(2)'''
+nie ma rozwiązań dla <math>\displaystyle k>1</math>
+<br>
+  '''(3)'''
+ma dwa rozwiązania dla <math>\displaystyle k=1</math>.
-==Test sprawdzający==
+nie, tak, nie
-Liczba <math>\displaystyle q\approx 3.5631</math> jest kwantylem rzędu <math>\displaystyle p=0.9</math>
+ Pochodna funkcji <math>\displaystyle \displaystyle
-rozkładu normalnego <math>\displaystyle N(m, \sigma)</math>, gdy:
+f(x)=x^{e^x}</math> jest równa
-* <math>\displaystyle m=2</math>, <math>\displaystyle \sigma=1</math>. </wrongoption>
+<br>
-* funkcja <math>\displaystyle F(x)=\Phi(\frac{x}{2}-0.5)</math>
+  '''(1)'''
-    jest dystrybuantą rozkładu <math>\displaystyle N(m,\sigma)</math>. </rightoption>
+<math>\displaystyle \displaystyle f'(x)=e^xx^{e^x-1}</math>
-* <math>\displaystyle \Phi(q)=p</math>. </wrongoption>
+<br>
-* <math>\displaystyle \Phi_{m,\sigma}(1)=0.5</math>.  </rightoption>
+  '''(2)'''
+<math>\displaystyle \displaystyle f'(x)=e^xx^{e^x}\ln x</math>
+<br>
+  '''(3)'''
+<math>\displaystyle \displaystyle f'(x)=e^xx^{e^x-1}\frac {x\ln x+1}{x}</math>.
+nie, nie, nie
-Niech <math>\displaystyle X_1,X_2,\ldots,X_n</math> będą zmiennymi losowymi o rozkładach <math>\displaystyle N(0,1),N(0,2),\ldots, N(0,n)</math> oraz
+ Niech <math>\displaystyle x_0\in (a,b)</math> i niech <math>\displaystyle f</math> będzie
-niech: <center><math>\displaystyle Y=X_1+\frac{X_2}{2}+ \ldots +\frac{X_n}</wrongoption>.</math></center>
+funkcją ciągłą w przedziale <math>\displaystyle (a,b)</math> taką, że istnieje granica
- Wówczas:
-* <math>\displaystyle \E(Y)=0</math>. </rightoption>
-* <math>\displaystyle \D(Y)=n</math>. </wrongoption>
-* <math>\displaystyle Y</math> ma rozkład <math>\displaystyle N(0,\sqrt</wrongoption>)</math>. </wrongoption>
-* <math>\displaystyle Y</math> ma rozkład <math>\displaystyle N(0,n)</math>. </wrongoption>
+<center><math>\displaystyle \lim_{t\to 0}\frac {f(x_0+t)-f(x_0-t)}{t}=A.
+</math></center>
-Które z poniższych stwierdzeń można uznać za wnioski z centralnego twierdzenia granicznego?
+Wtedy
-* Wzrost mężczyzn w Polsce ma w przybliżeniu rozkład normalny. </wrongoption>
+<br>
-* Średni wzrost mężczyzn w Polsce ma w przybliżeniu rozkład normalny. </rightoption>
+  '''(1)'''
-* Liczba osób chorych na białaczkę ma w przybliżeniu rozkład normalny. </rightoption>
+istnieje pochodna funkcji <math>\displaystyle f</math> w punkcie <math>\displaystyle x_0</math> i <math>\displaystyle \displaystyle
-* Częstość występowania białaczki w USA. ma w przybliżeniu rozkład normalny. </rightoption>
+f'(x_0)=A</math>
+<br>
+  '''(2)'''
+jeśli istnieje pochodna funkcji <math>\displaystyle f</math> w punkcie <math>\displaystyle x_0</math>, to
+<math>\displaystyle \displaystyle f'(x_0)=A</math>
+<br>
+  '''(3)'''
+jeśli istnieje pochodna funkcji <math>\displaystyle f</math> w punkcie <math>\displaystyle x_0</math>, to
+<math>\displaystyle \displaystyle f'(x_0)=\frac A2</math>.
+nie, nie, tak
-Częstość występowania pewnej choroby w Chinach wynosi
+Odpowiedzi:
-.1. Jak liczną grupę Chińczyków wystarczy zebrać, aby
-mieć co najmniej 99 pewności, że wśród nich są
-przynajmniej 2 osoby chore na tę chorobę?
-* 2 000 osób. </wrongoption>
-* 3 000 osób. </rightoption>
-* 2 110 osób lub mniej. </wrongoption>
-* 2 106 osób. </wrongoption>
+Zadanie 1.  tak, nie, tak
-Z pewnej (dużej) populacji, w której iloraz inteligencji
+Zadanie 2.  tak, nie, nie
-posiada rozkład <math>\displaystyle N(124,10)</math>, wybrano losowo 10 000 osób. Niech
-<math>\displaystyle Pr</math> oznacza prawdopodobieństwo tego, że średni iloraz
-inteligencji w wybranej grupie różni się o nie więcej niż 0.1 od
-średniej dla całej populacji. Wówczas:
-* <math>\displaystyle Pr \approx 0.7</math>. </rightoption>
-* <math>\displaystyle Pr\in (0.6,0.7)</math>. </rightoption>
-* <math>\displaystyle Pr > 0.7</math>. </wrongoption>
-* <math>\displaystyle Pr \approx 0.5</math>. </wrongoption>
-Prawdopodobieństwo zarażenia się wirusem WZW B podczas pojedynczego badania endoskopowego wynosi 0.001.
-Oceń prawdziwość poniższych zdań.
-* Prawdopodobieństwo tego, że po przebadaniu 1 000 000 osób okaże się, iż
-        dokładnie jedna z nich została podczas tego badania zarażona wirusem WZW B jest bardzo bliskie zeru. </rightoption>
-* Po przebadaniu 1 000 osób, prawdopodobieństwo tego, że przynajmniej jedna z nich została
-    zarażona wirusem WZW B wynosi około 50. </rightoption>
-* Po przebadaniu 1 000 osób, prawdopodobieństwo tego, że co najwyżej jedna z nich została
-    zarażona wirusem WZW B wynosi około 50. </rightoption>
-* Bardziej prawdopodobne od zarażenia jest otrzymanie samych orłów w serii 10 rzutów monetą symetryczną. </wrongoption>
-10101010101010101010101010101010101010
-==Test sprawdzający==
-W przykładzie [[##markov13|Uzupelnic markov13|]] przestrzenią stanów jest:
-* zbiór liczb całkowitych. </rightoption>
-* zbiór liczb rzeczywistych. </wrongoption>
-* zbiór liczb naturalnych. </wrongoption>
-* zbiór <math>\displaystyle \{-1,0,1\}</math>. </wrongoption>
-Niech <math>\displaystyle \xi_1,\xi_2, \xi_3, \dots</math> oznaczają liczbę oczek
-uzyskanych w trakcie kolejnych rzutów kostką symetryczną.
-Określmy: <center><math>\displaystyle X_0 = 0 </math>  oraz  <math>\displaystyle   X_{i} = X_{i-1} + \xi_i </math>  dla  <math>\displaystyle   i =
-,2,3, \dots.</math></center>
-  Wtedy ciąg zmiennych losowych <math>\displaystyle \{X_i\}</math> jest
-łańcuchem Markowa, w którym:
-* przestrzeń stanów <math>\displaystyle E</math> jest zbiorem liczb naturalnych <math>\displaystyle 0,1,2, \dots</math> </rightoption>
-* <math>\displaystyle \p(k,k) = 0</math> oraz <math>\displaystyle \p(k,k+1) = \p(k,k+6)</math> dla każdego <math>\displaystyle k \in E</math>. </rightoption>
-* każde dwa stany się komunikują. </wrongoption>
-* suma elementów w każdym wierszu macierzy przejścia <math>\displaystyle \P</math> jest równa 1. </rightoption>
-Dany jest łańcuch Markowa o macierzy przejścia:
-<center><math>\displaystyle \P = \left[
-\begin{array} {cc}
-\frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\
-& 0
-\end{array}
-\right].
-</math></center>
-Wtedy:
-* łańcuch ten jest powracający. </rightoption>
-* łańcuch ten jest nieredukowalny. </rightoption>
-* łańcuch ten jest okresowy. </wrongoption>
-* łańcuch ten jest ergodyczny, a rozkładem stacjonarnym jest wektor o współrzędnych <math>\displaystyle \frac{2}{3}</math> i
-        <math>\displaystyle \frac{1}{3}</math>. </rightoption>
+Zadanie 3.  tak, tak, tak
-Oceń prawdziwość poniższych zdań.
+Zadanie 4.  nie, tak, nie
-* Jeżeli ciąg <math>\displaystyle X_n</math> jest łańcuchem Markowa na przestrzeni stanów <math>\displaystyle E \subset \r</math>, to także ciąg
-        <math>\displaystyle X_n^2</math> jest łańcuchem Markowa  na przestrzeni stanów <math>\displaystyle E</math>. </wrongoption>
-* Jeżeli przestrzeń stanów jest skończona, to łańcuch Markowa jest nieredukowalny. </wrongoption>
-* Każdy łańcuch Markowa na skończonej przestrzeni stanów jest albo okresowy, albo ergodyczny. </wrongoption>
-* Jeżeli wszystkie wyrazy macierzy przejścia <math>\displaystyle \P</math> pewnego łańcucha Markowa są dodatnie, to łańcuch ten
-        jest nieredukowalny. </rightoption>
+Zadanie 5.  nie, nie, nie
-Niech <math>\displaystyle X_n</math> będzie łańcuchem Markowa określonym w przykładzie [[##markov10|Uzupelnic markov10|]] dla <math>\displaystyle k = 3</math>. Wtedy:
+Zadanie 6.  nie, nie, tak
-* łańcuch <math>\displaystyle X_n</math> ma skończony zbiór stanów. </rightoption>
-* łańcuch <math>\displaystyle X_n</math> jest nieredukowalny. </rightoption>
-* łańcuch <math>\displaystyle X_n</math> jest powracający. </rightoption>
-* łańcuch <math>\displaystyle X_n</math> jest okresowy. </wrongoption>
+Ocena testu:
-Niech <math>\displaystyle X_n</math>, <math>\displaystyle n = 0,1,2,3, \dots </math>,  będzie ciągiem niezależnych zmiennych losowych o tym samym rozkładzie <math>\displaystyle Q</math>.
+-3 pkt -- ocena niedostateczna
- Oceń prawdziwość poniższych zdań.
-* Ciąg <math>\displaystyle X_n</math> jest łańcuchem Markowa o macierzy przejścia, która ma na przekątnej same jedynki. </wrongoption>
-* Jeżeli <math>\displaystyle Q</math> jest rozkładem dyskretnym, to ciąg <math>\displaystyle X_n</math> jest łańcuchem Markowa, a wszystkie wiersze
-    macierzy przejścia są sobie równe. </rightoption>
-* Jeżeli <math>\displaystyle Q</math> jest rozkładem dyskretnym skoncentrowanym na zbiorze skończonym, to ciąg <math>\displaystyle X_n</math> jest łańcuchem Markowa, a wszystkie
-    kolumny macierzy przejścia są sobie równe. </wrongoption>
-* Ciąg <math>\displaystyle X_n</math> nie jest łańcuchem Markowa (gdyż zmienne losowe są niezależne). </wrongoption>
+pkt -- ocena dostateczna
-111111111111111111111111111111111111111111
+pkt -- ocena dobra
-==Test sprawdzający==
+pkt -- ocena bardzo dobra.
-Rozważmy dwa następujące estymatory wartości oczekiwanej w rozkładzie
+10101010101010101010101010101010101010101010
-dwupunktowym <math>\displaystyle (0,1,p)</math>: <center><math>\displaystyle S(X_1,\ldots,X_n)=\frac{n+1}</wrongoption>\bar{X} \;\; </math> oraz <math>\displaystyle  \;\;
-T(X_1,\ldots,X_n)=\frac{X_1+X_n}{2}.</math></center>
- Wówczas:
-* <math>\displaystyle S</math> jest estymatorem zgodnym, zaś <math>\displaystyle T</math>-- asymptotycznie nieobciążonym. </rightoption>
-* <math>\displaystyle S</math> nie jest ani estymatorem zgodnym, ani estymatorem nieobciążonym. </wrongoption>
-* <math>\displaystyle S</math> jest estymatorem zgodnym, zaś <math>\displaystyle T</math>-- obciążonym. </wrongoption>
-* <math>\displaystyle T</math> jest estymatorem zgodnym i nieobciążonym. </wrongoption>
+==Wzór Taylora. Ekstrema. Test==
-Z poniższych własności wybierz te, które posiada następujący estymator parametru <math>\displaystyle \alpha</math> w
+Do każdego zadania podano trzy odpowiedzi, z których każda może
-rozkładzie jednostajnym na odcinku <math>\displaystyle (0,\alpha)</math>:
+być prawdziwa lub fałszywa. Można uzyskać jeden punkt wtedy i
-<center><math>\displaystyle T(X_1,\ldots,X_n)=(n+1)\min\{X_1,\ldots,X_n\}.</math></center>
+tylko wtedy, jeśli poprawnie zostaną wskazane wszystkie prawdziwe
-* <math>\displaystyle T</math> jest obciążony. </wrongoption>
+i fałszywe odpowiedzi.
-* <math>\displaystyle T</math> jest asymptotycznie nieobciążony. </rightoption>
-* <math>\displaystyle T</math> jest obciążony i asymptotycznie nieobciążony. </wrongoption>
-* <math>\displaystyle T</math> jest nieobciążony. </rightoption>
+ Funkcja <math>\displaystyle x\mapsto (5-x)\sqrt[3]{x^2}</math>
+ <br>
+  '''(1)'''
+ma dokładnie dwa punkty krytyczne
+    <br>
+  '''(2)'''
+nie ma ekstremum w punkcie <math>\displaystyle 0</math>
+    <br>
+  '''(3)'''
+ma minimum w punkcie 2.
-Przeprowadzono <math>\displaystyle n</math> prób Bernoulliego <math>\displaystyle \Xn</math>, z jednakowym
+ tak, nie, nie
-prawdopodobieństwem sukcesu <math>\displaystyle p</math> każda. Co jest dobrym
-przybliżeniem parametru <math>\displaystyle p</math>?
-* Liczba sukcesów podzielona przez liczbę "porażek". </wrongoption>
-* <math>\displaystyle \frac{k}</wrongoption></math>, gdzie <math>\displaystyle k</math> oznacza liczbę sukcesów. </rightoption>
-* <math>\displaystyle \frac{n-k}</wrongoption></math>, gdzie <math>\displaystyle k</math> oznacza liczbę sukcesów. </wrongoption>
-* <math>\displaystyle \di \sum \frac{X_i}</wrongoption></math>. </wrongoption>
+ Funkcja <math>\displaystyle x\rightarrow x+\ln(\sin{x})</math>
+  <br>
+  '''(1)'''
+ma punkty krytyczne postaci <math>\displaystyle \frac{\pi}{4}+ k\pi</math>, gdzie <math>\displaystyle k\in
+\Bbb Z</math>
+    <br>
+  '''(2)'''
+ma tylko minima
+    <br>
+  '''(3)'''
+nie ma punktów krytycznych w przedziale <math>\displaystyle (\frac{5\pi}2,3\pi)</math>.
-Jeżeli estymator <math>\displaystyle S(X_1,\ldots,X_n)</math> jest estymatorem zgodnym parametru <math>\displaystyle \theta</math>, to:
+  nie, nie, nie
-* <math>\displaystyle \di S(X_1,\ldots,X_n)\stackrel{s}{\str}\theta</math> (symbol
-        <math>\displaystyle \stackrel{s}{\str}</math> został wprowadzony w uwadze [[##usz|Uzupelnic usz|]]). </rightoption>
-* <math>\displaystyle \di P\left(\left\{\omega \in \Omega: \lim_{n\to
-            \infty}\frac{S(X_1,\ldots,X_n)}</wrongoption> = \theta\right\}\right) =1 </math>. </wrongoption>
-* <math>\displaystyle \di P\left(\left\{\omega \in \Omega: \lim_{n\to
-            \infty}S(X_1,\ldots,X_n) = \theta\right\}\right) =1 </math>. </rightoption>
-* <math>\displaystyle \di P\left(\left\{\omega \in \Omega: \lim_{n\to
-            \infty}S(X_1,\ldots,X_n) = 0\right\}\right) =1 </math>. </wrongoption>
+ Niech <math>\displaystyle f(x)= x^m(1-x)^n</math> dla pewnych
+liczb naturalnych <math>\displaystyle m, n</math>. Wtedy
+  <br>
+  '''(1)'''
+funkcja <math>\displaystyle f</math> ma dokładnie trzy punkty krytyczne
+    <br>
+  '''(2)'''
+funkcja <math>\displaystyle f</math> ma maksimum w pewnym punkcie leżącym w przedziale
+<math>\displaystyle (0,1)</math>
+    <br>
+  '''(3)'''
+funkcja <math>\displaystyle f</math> może mieć dwa minima.
-Próbka prosta:
+  nie, tak, tak
-<center><math>\displaystyle 0,2,1,2,5,0,3,4,4,2</math></center>
-pochodzi z rozkładu Poissona z parametrem <math>\displaystyle \lambda>0</math>. Które z poniższych liczb można uznać za dobre przybliżenia
+ Liczba <math>\displaystyle  \frac \pi2</math> jest największą
-parametru <math>\displaystyle \lambda</math>?
+wartością funkcji
-* <math>\displaystyle 3.0</math>. </wrongoption>
+  <br>
-* <math>\displaystyle 2.3</math>. </rightoption>
+  '''(1)'''
-* <math>\displaystyle 3.1</math>. </wrongoption>
+<math>\displaystyle x\mapsto x\arcsin x +\sqrt{1-x^2}</math> w przedziale <math>\displaystyle [0,1]</math>
-* <math>\displaystyle 2.4</math>. </wrongoption>
+    <br>
+  '''(2)'''
+<math>\displaystyle x\mapsto \mathrm{arctg}\, x+ \mathrm{arc\,ctg}\, x</math> w przedziale <math>\displaystyle [1,+\infty)</math>
+    <br>
+  '''(3)'''
+<math>\displaystyle x\mapsto (1-x)\arccos{x}</math> w przedziale <math>\displaystyle [0,1]</math>.
+  tak, tak, tak
-Wykonano 30 serii rzutów kostką do gry, przy czym każda seria kończyła się w momencie wyrzucenia pierwszej
+ Z prostokątnego arkusza blachy o
-"szóstki", otrzymując następuje rezultaty (długości poszczególnych serii):
+wymiarach <math>\displaystyle a\times b</math> wycięto w każdym rogu kwadrat o boku <math>\displaystyle x</math>. Z
-<center><math>\displaystyle 2,9,3,8,4,3,5,7,7,8,10,4,12,4,5,6,17,2,9,4,3,2,5,2,1,5,5,6,8,14.</math></center>
+pozostałej blachy utworzono otwarte prostopadłościenne pudełko o
+wysokości <math>\displaystyle x</math>. Wartość <math>\displaystyle x</math> została tak dobrana, że pojemność
+pudełka jest maksymalna. Wtedy
+  <br>
+  '''(1)'''
+jeśli <math>\displaystyle a=3</math> i <math>\displaystyle b=8</math>, to pojemność ta wynosi <math>\displaystyle \frac{200}{27}</math>
+    <br>
+  '''(2)'''
+jeśli <math>\displaystyle a=b</math>, to <math>\displaystyle x=\frac{a}6</math>
+    <br>
+  '''(3)'''
+jeśli <math>\displaystyle a</math> i <math>\displaystyle b</math> są całkowite, to <math>\displaystyle x</math> jest wymierne.
-Oceń prawdziwość poniższych zdań.
+  tak, tak, nie
-* Jest bardzo prawdopodobne, iż użyto "fałszywej" kostki. </wrongoption>
-* Nie ma podstaw do stwierdzenia, że użyta kostka była "sfałszowana". </rightoption>
-* Na podstawie powyższych danych można wnioskować, iż prawdopodobieństwo
-    wyrzucenia "szóstki" (za pomocą tej kostki) jest w przybliżeniu równe 0.5. </wrongoption>
-* Jeżeli kostka była "sprawiedliwa", to  prawdopodobieństwo
-    otrzymania powyższego wyniku jest mniejsze niż 1. </rightoption>
+ Przykładem funkcji różniczkowalnej
+dwukrotnie, która nie jest klasy <math>\displaystyle C^2</math> jest funkcja
+  <br>
+  '''(1)'''
+<math>\displaystyle \displaystyle x\mapsto
+\left\{\begin{array} {ll}x^4\cos \frac1x, & {\rm gdy} \; x\neq 0\\
+,& {\rm gdy } \; x=0\end{array} \right.</math>
+    <br>
+  '''(2)'''
+<math>\displaystyle \displaystyle x\mapsto
+\left\{\begin{array} {ll}-x^3, & {\rm gdy} \; x\geq 0\\
+x^3,& {\rm gdy } \; x<0\end{array} \right.</math>
+    <br>
+  '''(3)'''
+<math>\displaystyle \displaystyle x\mapsto
+\left\{\begin{array} {ll}x\sinh x, & {\rm gdy} \; x\geq 0\\
+-x\sinh x,& {\rm gdy } \; x<0\end{array} \right.</math>.
-12121212121212121212121212121212121212121212
+  tak, nie, tak
-==Test sprawdzający==
+Odpowiedzi:
-Rozważmy funkcję <math>\displaystyle f\colon \r\str \r</math>, określoną wzorem:
+Zadanie [[##t.am1.c.10.010|Uzupelnic t.am1.c.10.010|]].  tak, nie, nie
-<center><math>\displaystyle f(x) =\left\{ \begin{array} {rl}
+Zadanie [[##t.am1.c.10.020|Uzupelnic t.am1.c.10.020|]].  nie, nie, nie
--x^2\ln{|x|}, &  x \neq 0\\
-, & x=0.
-\end{array}  \right. </math></center>
-Wówczas:
+Zadanie [[##t.am1.c.10.030|Uzupelnic t.am1.c.10.030|]].  nie, tak, tak
-* nie istnieje wartość największa funkcji <math>\displaystyle f</math>. </wrongoption>
-* funkcja <math>\displaystyle f</math> przyjmuje wartość największą w parzystej liczbie punktów.  </rightoption>
-* wartość największa funkcji <math>\displaystyle f</math> jest równa <math>\displaystyle 0</math>. </wrongoption>
-* wartość największa funkcji <math>\displaystyle f</math> jest liczbą niewymierną. </rightoption>
+Zadanie [[##t.am1.c.10.040|Uzupelnic t.am1.c.10.040|]].  tak, tak, tak
-Załóżmy, że próbka prosta <math>\displaystyle X_1,\ldots,X_n</math> pochodzi z rozkładu ciągłego
+Zadanie [[##t.am1.c.10.050|Uzupelnic t.am1.c.10.050|]].  tak, tak, nie
-o gęstości: <center><math>\displaystyle f(x)=\alpha^2xe^{-\alpha x}I_{[0,\infty)}(x),</math></center>
-gdzie <math>\displaystyle I_{[0,\infty)}</math> oznacza funkcję charakterystyczną przedziału <math>\displaystyle [0,\infty)</math>, oraz że <math>\displaystyle T(X_1,\ldots,X_n)</math> jest estymatorem
+Zadanie [[##t.am1.c.10.060|Uzupelnic t.am1.c.10.060|]].  tak, nie, tak.
-największej wiarygodności parametru <math>\displaystyle \alpha</math>.
-Wtedy:
-* <math>\displaystyle S(X_1,\ldots,X_n) = \frac{2\sum_{i=1}^n X_i}{2n-1}</math> jest w tym rozkładzie estymatorem największej wiarygodności
-    wartości oczekiwanej. </rightoption>
-* <math>\displaystyle \frac{nT}{n+1}</math> jest estymatorem zgodnym parametru <math>\displaystyle \alpha</math>. </rightoption>
-* <math>\displaystyle \di T(X_1,\ldots,X_n)=\frac{2n}{\sum_{i=1}^n X_i}</math>. </wrongoption>
-* <math>\displaystyle \di T(X_1,\ldots,X_n)=\frac{2n+1}{\sum_{i=1}^n X_i}</math>. </wrongoption>
+Ocena testu:
-Załóżmy, że prawdopodobieństwo zachorowania na pewną chorobę jest wprost proporcjonalne do wieku,
+-3 pkt -- ocena niedostateczna
-ze współczynnikiem proporcjonalności <math>\displaystyle \theta>0</math>.
-Zbadano 20-elementowe próbki ludności w różnym wieku, otrzymując następujące wyniki:
-{| border=1
-|+ <span style="font-variant:small-caps">Uzupelnij tytul</span>
-|-
-|
-  Wiek  ||  <math>\displaystyle 10</math>  ||  <math>\displaystyle 30</math>  ||  <math>\displaystyle 80</math>
-|-
-|
-  Liczba chorych  ||  <math>\displaystyle 1</math>  ||  <math>\displaystyle 5</math>  ||  <math>\displaystyle 9</math>
-|-
-|
-|}
+pkt -- ocena dostateczna
- .
+pkt -- ocena dobra
-Jeżeli <math>\displaystyle \hat{\theta}</math> oznacza wyestymowaną, na podstawie powyższych danych, wartość nieznanego
-parametru <math>\displaystyle \theta</math>, przy użyciu metody największej wiarygodności, to:
-* <math>\displaystyle \theta>\frac{1}{80}</math>. </wrongoption>
-* <math>\displaystyle \theta=0.01</math>. </wrongoption>
-* <math>\displaystyle \theta\in (0.01,0.0125)</math>. </wrongoption>
-* żadne z powyższych. </rightoption>
+pkt -- ocena bardzo dobra.
+111111111111111111111111111111111111111111111111111111
-Estymatorem największej wiarygodności parametru <math>\displaystyle \alpha<0</math> w rozkładzie jednostajnym na odcinku
+==Twierdzenie de l'Hospitala. Równość asymptotyczna. Test==
-<math>\displaystyle [\alpha,0]</math> jest:
-* <math>\displaystyle \max\{X_1,\ldots,X_n\}</math>. </wrongoption>
-* <math>\displaystyle \frac{n+1}</wrongoption>\min\{X_1,\ldots,X_n\}</math>. </wrongoption>
-* <math>\displaystyle 2\bar{X}</math>. </wrongoption>
-* <math>\displaystyle \min\{X_1,\ldots,X_n\}</math>. </rightoption>
+Do każdego zadania podano trzy odpowiedzi, z których każda może
+być prawdziwa lub fałszywa. Można uzyskać jeden punkt wtedy i
+tylko wtedy, jeśli poprawnie zostaną wskazane wszystkie prawdziwe
+i fałszywe odpowiedzi.
-Czterech koszykarzy amatorów ćwiczyło rzuty "za 3
+ Symbolem nieoznaczonym jest
-punkty". Pierwszy z nich trafił za drugim razem, drugi --
+ <br>
-za trzecim, trzeci -- za czwartym, zaś czwarty -- za
+  '''(1)'''
-pierwszym. Zakładając dla wszystkich graczy jednakową
+<math>\displaystyle [+\infty - \infty]</math>
-celność <math>\displaystyle p</math>, metodą największej wiarygodności wyznaczono
+    <br>
-estymator <math>\displaystyle \hat{p}</math> nieznanej wartości <math>\displaystyle p</math>. Oceń
+  '''(2)'''
-prawdziwość poniższych zdań.
+<math>\displaystyle \left[1^{+\infty}\right]</math>
-* <math>\displaystyle \hat{p}<0.5</math>. </rightoption>
+    <br>
-* <math>\displaystyle \hat{p}<0.4</math>. </wrongoption>
+  '''(3)'''
-* <math>\displaystyle \hat{p}=0.4</math>. </rightoption>
+<math>\displaystyle \left[0^{-\infty}\right]</math>.
-* <math>\displaystyle \hat{p}>\frac{2}{5}</math>. </wrongoption>
+ tak, tak, nie
-W celu oszacowania wartości przeciętnej <math>\displaystyle \hat{m}</math> czasu bezawaryjnej pracy nowego systemu operacyjnego NIWUX 2006,
+ Granica <math>\displaystyle \displaystyle
-przeznaczonego dla komputerów osobistych klasy PC, zainstalowano ten system na 10 losowo wybranych
+\lim_{x\rightarrow 0} \frac{\mathrm{arctg}\,{x}}{x^3}</math>
-komputerach, a następnie (dla każdego z nich)
+  <br>
-zmierzono czas od momentu uruchomienia do  momentu pierwszego "zawieszenia" systemu, otrzymując następujące wyniki
+  '''(1)'''
-(w godzinach):
+może być liczona za pomocą reguły de l'Hospitala
-<center><math>\displaystyle 2.5,2,2.5,1.5,3.5,4,4.5,2,3,3.</math></center>
+    <br>
+  '''(2)'''
+jest równa granicy <math>\displaystyle \displaystyle \lim_{x\rightarrow 0}
+\frac{\frac{x^3}{1+x^2}-3x^2\mathrm{arctg}\,{x}}{x^6}</math>
+    <br>
+  '''(3)'''
+jest równa 0.
-Jeżeli założymy, że czas bezawaryjnej pracy systemu NIWUX 2006 ma
+tak, nie, nie
-rozkład wykładniczy z parametrem <math>\displaystyle \lambda</math>, to, korzystając z
-metody największej wiarogodności, otrzymujemy:
-* <math>\displaystyle \hat{m}=2.9</math>. </wrongoption>
-* <math>\displaystyle \di \hat{\lambda}=\frac{10}{29}</math>, gdzie <math>\displaystyle \hat{\lambda}</math> jest oceną parametru <math>\displaystyle \lambda</math>. </wrongoption>
-* <math>\displaystyle \hat{m}=\hat{\lambda}</math>, gdzie <math>\displaystyle \hat{\lambda}</math> jest takie jak wyżej. </wrongoption>
-* <math>\displaystyle \di \hat{\lambda}\approx 0.35</math>, gdzie <math>\displaystyle \hat{\lambda}</math> jest takie jak wyżej. </rightoption>
+ Granica <math>\displaystyle \displaystyle
+\lim_{x\rightarrow 0} x\ln{x}</math>
+  <br>
+  '''(1)'''
+jest równa granicy <math>\displaystyle \displaystyle \lim_{x\rightarrow 0}
+\left(1\cdot \ln{x}+x\cdot \frac1x\right)</math>
+    <br>
+  '''(2)'''
+jest równa granicy <math>\displaystyle \displaystyle \lim_{x\rightarrow 0} 1\cdot
+\frac1x</math>
+<br>
+  '''(3)'''
+jest równa 0.
-1313131313131313131313131313131313131313131313131313131313
+ nie, nie, tak
-==Test sprawdzający==
+ Granica <math>\displaystyle \displaystyle
+\lim_{x\rightarrow 1} \frac{\sqrt{1-x^m}}{\ln{x}}</math>
+  <br>
+  '''(1)'''
+istnieje dla dowolnej liczby rzeczywistej <math>\displaystyle m</math>
+    <br>
+  '''(2)'''
+jest równa <math>\displaystyle 1</math> dla <math>\displaystyle m=2</math>
+    <br>
+  '''(3)'''
+jest równa <math>\displaystyle 0</math> dla pewnego <math>\displaystyle m</math>.
-Z jednej partii pewnego towaru wybrano losowo <math>\displaystyle 50</math> sztuk, z których dwie okazały się wadliwe. Niech
+  tak, nie, tak
-<math>\displaystyle (a,b)</math> będzie <math>\displaystyle 95\%</math> przedziałem ufności dla frakcji elementów wadliwych w tej partii. Wówczas:
-* <math>\displaystyle b-a\in (0.1,0.11)</math>. </rightoption>
-* <math>\displaystyle a\approx -0.1</math>. </wrongoption>
-* <math>\displaystyle a\approx -0.0143</math>, <math>\displaystyle b=0.1</math>. </wrongoption>
-* <math>\displaystyle |a-b|\leq 0.1</math>.  </wrongoption>
+ Na mocy reguły de l'Hospitala
+prawdziwa jest równość
+  <br>
+  '''(1)'''
+<math>\displaystyle \displaystyle \lim_{x\rightarrow 0} \frac{5x^2+3x-2}{2x^2-7x+1}=
+\lim_{x\rightarrow 0} \frac{10x+3}{4x-7}</math>
+    <br>
+  '''(2)'''
+<math>\displaystyle \displaystyle \lim_{x\rightarrow \infty}
+\frac{3x+\cos{x}}{2x-\sin{x}}=\lim_{x\rightarrow \infty}
+\frac{3-\sin{x}}{2-\cos{x}}</math>
+    <br>
+  '''(3)'''
+<math>\displaystyle \displaystyle \lim_{x\rightarrow 1}
+\frac{\ln{x}}{x^2}=\lim_{x\rightarrow 1}\frac{\frac1x}{2x}</math>
-Załóżmy, że błąd pomiaru pewnego termometru
+    nie, nie, nie
-elektronicznego ma rozkład normalny o wariancji
-<math>\displaystyle 0.04^\circ</math>C. Ilu niezależnych pomiarów temperatury
-wystarczy dokonać, aby mieć <math>\displaystyle 99\%</math> pewności, że średnia z
-otrzymanych wyników wskazuje faktyczną temperaturę, z
-błędem nie większym niż <math>\displaystyle 0.01^\circ</math>C?
-* 2 670. </rightoption>
-* 3 000. </rightoption>
-* 2 000. </wrongoption>
-* 2 652. </wrongoption>
+ Funkcja <math>\displaystyle \displaystyle
+f(x)=2x\arccos\frac1x</math>
+  <br>
+  '''(1)'''
+ma asymptotę pionową <math>\displaystyle x=0</math>
+    <br>
+  '''(2)'''
+ma asymptotę ukośną <math>\displaystyle y=\pi x-2</math> w plus lub minus nieskończoności
+    <br>
+  '''(3)'''
+ma inną asymptotę ukośną w plus nieskończoności niż w minus
+nieskończoności.
-Do weryfikacji pewnej hipotezy <math>\displaystyle \mathrm{H}_0</math> użyto statystyki testowej <math>\displaystyle U</math>, której
+  nie, tak, nie
-rozkład, przy założeniu
-prawdziwości <math>\displaystyle \mathrm{H_0}</math>, jest rozkładem Studenta o
-<math>\displaystyle 10</math> stopniach swobody,
-otrzymując <math>\displaystyle U\approx 1.812</math> oraz wartość-<math>\displaystyle p</math> w przybliżeniu równą <math>\displaystyle 0.05</math>.
-Jaką postać mógł posiadać zbiór krytyczny <math>\displaystyle K</math>, którego użyto w tym teście?
-* <math>\displaystyle K=[-a,a]</math>. </wrongoption>
-* <math>\displaystyle K=(-\infty,-a]\cup [a,\infty)</math>. </wrongoption>
-* <math>\displaystyle K=[a,\infty)</math>. </rightoption>
-* <math>\displaystyle K=(-\infty,a]</math>. </wrongoption>
+Odpowiedzi:
-Z pewnej populacji, w której iloraz inteligencji posiada
+Zadanie [[##t.am1.c.11.010|Uzupelnic t.am1.c.11.010|]].  tak, tak, nie
-rozkład <math>\displaystyle N(\mu,10)</math>, wybrano losowo 10 000 osób, zbadano ich
-iloraz inteligencji otrzymując średnią 123.5, a następnie na
-poziomie istotności <math>\displaystyle \alpha=0.1</math> przetestowano hipotezę <math>\displaystyle H_0\colon
-\mu =124</math>, przy alternatywie <math>\displaystyle H_1\colon \mu <124</math>. Oceń
-prawdziwość poniższych zdań.
-* Wynik testu sugerował odrzucenie <math>\displaystyle H_0</math> na korzyść <math>\displaystyle H_1</math>. </rightoption>
-* Nie byłoby podstaw do odrzucenia <math>\displaystyle H_0</math>, gdyby <math>\displaystyle \alpha</math> było równe <math>\displaystyle \frac{1}{10000000}</math>. </rightoption>
-* Wynik testu świadczył o tym, iż nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy <math>\displaystyle H_0</math>. </wrongoption>
-* Wartość-<math>\displaystyle p</math> wyniosła w tym teście około <math>\displaystyle 0,00000029</math>. </wrongoption>
+Zadanie [[##t.am1.c.11.020|Uzupelnic t.am1.c.11.020|]].  tak, nie, nie
-Testujemy pewną hipotezę <math>\displaystyle H_0</math>, wykorzystując statystykę <math>\displaystyle T</math> oraz zbiór krytyczny <math>\displaystyle K</math>.
+Zadanie [[##t.am1.c.11.030|Uzupelnic t.am1.c.11.030|]].  nie, nie, tak
-Które z poniższych wielkości oznaczają błąd drugiego rodzaju?
-* <math>\displaystyle P(T\notin K\mid H_0 </math> -- prawdziwa <math>\displaystyle  )</math>. </wrongoption>
-* <math>\displaystyle P(T\notin K\mid H_0 </math> -- fałszywa <math>\displaystyle  )</math>. </rightoption>
-* <math>\displaystyle P(T\in K\mid H_0 </math> -- prawdziwa <math>\displaystyle  )</math>. </wrongoption>
-* <math>\displaystyle 1-P(T\in K\mid H_0 </math> -- fałszywa <math>\displaystyle  )</math>. </rightoption>
+Zadanie [[##t.am1.c.11.040|Uzupelnic t.am1.c.11.040|]].  tak, nie, tak
-Pewna firma wypuszcza nowy produkt na rynek i chce sprawdzić,
+Zadanie [[##t.am1.c.11.050|Uzupelnic t.am1.c.11.050|]].  nie, nie, nie
-która z pięciu proponowanych nazw tego produktu (powiedzmy A, B, C,
-D lub E) najbardziej spodoba się klientom. Poproszono więc grupę losowo
-wybranych osób, aby wskazali najbardziej przypadającą im
-do gustu nazwę, otrzymując następujące wyniki:
-{| border=1
-|+ <span style="font-variant:small-caps">Uzupelnij tytul</span>
-|-
-| A  ||  B  ||  C  ||  D  ||  E
-|-
-|
-||  45 ||  40 ||  50 ||  30
-|-
-|
-|}
+Zadanie [[##t.am1.c.11.060|Uzupelnic t.am1.c.11.060|]].  nie, tak, nie.
-Oceń prawdziwość poniższych zdań.
+Ocena testu:
-* Jeżeli testem zgodności <math>\displaystyle \chi^{2}</math> weryfikujemy na poziomie istotności
-        <math>\displaystyle \alpha=0.01</math> hipotezę, że nazwy te podobają się w takim samym
-        stopniu, to otrzymujemy wartość statystyki testowej równą <math>\displaystyle 6.5</math>. </wrongoption>
-* Jeżeli testem zgodności <math>\displaystyle \chi^{2}</math> weryfikujemy na poziomie istotności
-        <math>\displaystyle \alpha=0.01</math> hipotezę, że nazwy te podobają się w takim samym
-        stopniu, to otrzymujemy zbiór krytyczny <math>\displaystyle K=(a,\infty)</math>, gdzie <math>\displaystyle a\approx 0.297</math>. </wrongoption>
-* Wynik testu zgodności <math>\displaystyle \chi^{2}</math> na poziomie istotności
-        <math>\displaystyle \alpha=0.075</math> wskazuje na to, że nazwy te podobają się klientom w istotnie niejednakowym stopniu. </wrongoption>
-* Wynik testu zgodności <math>\displaystyle \chi^{2}</math> na poziomie istotności
-        <math>\displaystyle \alpha=0.05</math> wskazuje na to, że nazwy te w jednakowym stopniu podobają się klientom. </rightoption>
+-3 pkt -- ocena niedostateczna
-141414141414141414141414141414141414
+pkt -- ocena dostateczna
-==Test sprawdzający==
+pkt -- ocena dobra
-Na bazie próbki prostej: <center><math>\displaystyle -0.75, -0.03, -0.72, -0.6,</math></center>
+pkt -- ocena bardzo dobra.
-pochodzącej z rozkładu jednostajnego na odcinku (-1,0), używając jednej z opisanych w tym module
+12121212121212121212121212121212121212121212121212121212
-metod wyznaczono <math>\displaystyle 4</math>-elementową próbkę losową z rozkładu o gęstości:
-<center><math>\displaystyle f(x)=0,\!25\mathrm{I}_{[0,1]}+0,\!75\mathrm{I}_{(1,2]}.</math></center>
-Spośród poniższych ciągów wybierz te, które mogły być wynikami działania tej procedury.
+==Wypukłość. Badanie funkcji jednej zmiennej. Test==
-* <math>\displaystyle 1.96,1,-0.29,-0.13</math>. </rightoption>
-* <math>\displaystyle 1.67,0.12,-0.29,-0.13</math>. </wrongoption>
-* <math>\displaystyle 1, 0.12,1.63,1.47</math>. </wrongoption>
-* <math>\displaystyle 1.47,1.63,0.12,1.67</math>.  </rightoption>
+Do każdego zadania podano trzy odpowiedzi, z których każda może
+być prawdziwa lub fałszywa. Można uzyskać jeden punkt wtedy i
+tylko wtedy, jeśli poprawnie zostaną wskazane wszystkie prawdziwe
+i fałszywe odpowiedzi.
-W których z poniższych przypadków, generator liczb pseudolosowych:
+ Funkcja
-<center><math>\displaystyle X_{n+1}=aX_n+b  \;\;(\mathrm{mod } \;p),</math></center>
+ <br>
+  '''(1)'''
+<math>\displaystyle x\mapsto \ln{\frac1x}</math> jest wklęsła
+    <br>
+  '''(2)'''
+<math>\displaystyle x\mapsto \cosh{x}</math> jest wypukła
+    <br>
+  '''(3)'''
+<math>\displaystyle x\mapsto \sqrt{1-x^2}</math> jest wypukła.
-z pewnością nie da zadowalających rezultatów?
+ nie, tak, nie
-* <math>\displaystyle a=b=p</math>. </rightoption>
-* <math>\displaystyle b=0</math>, <math>\displaystyle a\neq p</math>. </wrongoption>
-* <math>\displaystyle b=0</math>, <math>\displaystyle X_0=p^2</math> . </rightoption>
-* <math>\displaystyle a\neq b</math>, <math>\displaystyle X_0>0</math>. </wrongoption>
+ Funkcja <math>\displaystyle f</math> jest dwukrotnie
+różniczkowalna w pewnym przedziale <math>\displaystyle (0,+\infty)</math>. Wtedy:
+  <br>
+  '''(1)'''
+Jeśli <math>\displaystyle f</math> jest wypukła, to <math>\displaystyle f'</math> jest rosnąca.
+    <br>
+  '''(2)'''
+Jeśli <math>\displaystyle f'</math> jest malejąca, to <math>\displaystyle f</math> jest wklęsła.
+    <br>
+  '''(3)'''
+Jeśli <math>\displaystyle f''(1)=0</math>, to <math>\displaystyle f</math> ma w <math>\displaystyle 1</math> punkt przegięcia.
-Czy na bazie próbki prostej, pochodzącej z rozkładu <math>\displaystyle N(m,\sigma)</math> (<math>\displaystyle m</math> i <math>\displaystyle \sigma</math> -- znane),
+tak, tak, nie
-można wyznaczyć próbkę liczb pseudolosowych z rozkładu jednostajnego na odcinku <math>\displaystyle (a,b)</math> (<math>\displaystyle a</math> i <math>\displaystyle b</math> -- dowolne)?
-* Tak. </rightoption>
-* Tak, ale tylko w przypadku, gdy <math>\displaystyle m=\sigma=1</math>. </wrongoption>
-* Tak,  ale tylko w przypadku, gdy <math>\displaystyle a=0</math> i <math>\displaystyle b=1</math>. </wrongoption>
-* Tak,  ale tylko w przypadku, gdy <math>\displaystyle m=\sigma=b=1</math> i <math>\displaystyle a=0</math>. </wrongoption>
+ Funkcja <math>\displaystyle f(x)=x^3+12\mathrm{arctg}\,{x}</math> jest
+  <br>
+  '''(1)'''
+wypukła w przedziale <math>\displaystyle (1,+\infty)</math>
+    <br>
+  '''(2)'''
+wklęsła w przedziale <math>\displaystyle (-\infty, -1)</math>
+    <br>
+  '''(3)'''
+wypukła w przedziale <math>\displaystyle (-\frac12,\frac12)</math>.
-Które z poniższych funkcji są jądrami?
+  tak, tak, nie
-* <math>\displaystyle \di K(x) = \left\{\begin{array} {rl}
-        |x|, &  |x| < 1\\
-, & |x| \ge 1 \end{array} \right. </math>. </rightoption>
-* <math>\displaystyle \di K(x) = \left\{\begin{array} {rl}
-        |x-1|, &  0<x< 2\\
-, & x\leq 0 \textrm{ lub } x\geq 2 \end{array} \right. </math>. </wrongoption>
-* <math>\displaystyle \di K(x)=\frac{1}{2}\cos{x}\cdot I_{[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]}(x)</math>. </rightoption>
-* <math>\displaystyle \di K(x) = \left\{\begin{array} {rl}
-        \frac{1}{2}, &  |x| < 2\\
-, & |x| \ge 2 \end{array} \right. </math>. </wrongoption>
+ Funkcja <math>\displaystyle x\mapsto x\arcsin(\cos{x})</math>
+jest wypukła w przedziale
+  <br>
+  '''(1)'''
+<math>\displaystyle (\frac{\pi}2,\frac{3\pi}2)</math>
+    <br>
+  '''(2)'''
+<math>\displaystyle (-\frac{\pi}2,0)</math>
+    <br>
+  '''(3)'''
+<math>\displaystyle (5\pi,6\pi)</math>.
-Estymatorem bootstrapowym wartości oczekiwanej (opartym na
+  nie, tak, tak
-średniej z próbki) nieznanego rozkładu, wyznaczonym na podstawie
-replikacji próbki:
-<center><math>\displaystyle 4,1,1,</math></center>
-może być:
+ Jeśli funkcja <math>\displaystyle f</math> jest wypukła w
-* <math>\displaystyle 0.535</math>. </wrongoption>
+przedziale <math>\displaystyle (0,1)</math>, to
-* <math>\displaystyle 2.275</math>. </rightoption>
+  <br>
-* <math>\displaystyle 4.12</math>. </wrongoption>
+  '''(1)'''
-* <math>\displaystyle 2.271</math>. </wrongoption>
+funkcja <math>\displaystyle f^2(x)=(f(x))^2</math> też jest wypukła w tym przedziale
+    <br>
+  '''(2)'''
+funkcja <math>\displaystyle f^3(x)=(f(x))^3</math> też jest wypukła w tym przedziale
+    <br>
+  '''(3)'''
+funkcja <math>\displaystyle (0,1)\ni x\mapsto xf(x)</math> też jest wypukła w tym
+przedziale.
+    nie, nie, nie
-Dla próbki prostej:
+ Niech <math>\displaystyle x,y,z</math> będą dowolnymi liczbami
-<center><math>\displaystyle 1,3,2,3,4,2,5,</math></center>
+z przedziału <math>\displaystyle (0,1)</math>. Prawdziwa jest nierówność
+  <br>
+  '''(1)'''
+<math>\displaystyle \displaystyle xyz\leq \frac{(x+y+z)^3}{27}</math>
+    <br>
+  '''(2)'''
+<math>\displaystyle \displaystyle e^{\frac{2x+y}3}\leq \frac23(e^x+e^y)</math>
+    <br>
+  '''(3)'''
+<math>\displaystyle 2\displaystyle \mathrm{ctg}\, \frac{ 2x+ y+ z}4 \leq \mathrm{ctg}\, x+\frac12(\mathrm{ctg}\, y
++\mathrm{ctg}\, z)</math>.
-otrzymano, przy użyciu jądra trójkątnego, estymator jądrowy gęstości <math>\displaystyle \hat{f}</math> taki, że <math>\displaystyle \hat{f}(2)=\frac{1}{4}</math>.
+ tak, tak, tak
-Jaka szerokości pasma mogła zostać w tym przypadku zastosowana?
-* <math>\displaystyle \di \frac{6}{7}</math>. </wrongoption>
-* <math>\displaystyle \di \frac{8}{7}</math>. </wrongoption>
-* <math>\displaystyle 2</math>. </rightoption>
-* <math>\displaystyle 0.1</math>. </wrongoption>