Test GR4: Różnice pomiędzy wersjami

Wersja z 14:28, 18 wrz 2006

\newtheorem{thm}{Twierdzenie} \newtheorem{obs}[thm]{Obserwacja} \newtheorem{con}[thm]{Wniosek} \newtheorem{exrr}{Zadanie}

{

\parindent 0mm

#1 \parindent 10mm }{\hfill{ $◻$ }

}

{article} \input{../makraT}

\newpage

\parindent 0mm \beginLarge

Uzupelnij tytul
Współczynniki dwumianowe

\endLarge

\parindent 10mm

\btest

Zależność $(\binom{n}{0}) - (\binom{n}{1}) + \dots + (- 1)^{n} (\binom{n}{n}) = 0$ zachodzi dla:} \ok wszystkich liczb naturalnych $n$ \odp tylko skończenie wielu liczb naturalnych $n$ \odp żadnej liczby naturalnej $n$ \ok wszystkich, poza skończenie wieloma liczbami naturalnymi $n$

Suma elementów $n$ -tego wiersza Trójkąta Pascala bez obu wartości brzegowych to:}

\odp $2^{n}$ . \ok $2^{n} - 2$ . \ok $\sum_{i = 1}^{n} (\binom{n}{i}) - 1$ . \odp $(\binom{2 n}{n})$ .

Współczynnik przy wyrazie $x^{n}$ w rozwinięciu dwumianu $(x + 2)^{2 n}$ to:} \odp $(\binom{2 n}{n})$ . \odp $2^{n} (\binom{n}{2})$ . \ok $(\binom{2 n}{n}) 2^{n}$ . \odp $(\binom{2 n}{n}) 2^{2 n}$ .

$(\binom{- 1}{k})$ dla $k ⩾ 0$ jest równe:} \odp $0$ . \odp $1$ . \odp $(- 1)^{k}$ . \ok $(- 1)^{k + 1}$

Suma $\sum_{i = 0}^{n} 2^{i} (\binom{n}{i})$ wynosi} \odp $2^{n}$ . \ok $3^{n}$ . \odp $(n + 2)^{n}$ . \odp $(\binom{2 n}{n})$ .

Liczba nieporządków na zbiorze $3$ -elementowym to:} \odp $1$ . \ok $2$ . \odp $3$ . \odp $6$ .

$(\binom{n}{a, b, 0, \dots, 0})$ gdzie $a + b = n$ to:} \ok $(\binom{n}{a})$ . \ok $(\binom{n}{b})$ . \odp $(\binom{n}{a + b})$ . \odp $(\binom{n + a + b}{a + b})$ .

Na ile sposobów z grupy $5 n$ osób, złożonej z $3 n$ mężczyzn i $2 n$ kobiet, można wybrać $n$ -kobiet i $n$ -mężczyzn, i dodatkowo z niewybranych mężczyzn wyznaczyć przywódcę?} \odp $((\binom{5 n}{3 n}) (\binom{3 n}{n}) + (\binom{5 n}{2 n}) (\binom{2 n}{n})) \cdot 2 n$ . \ok $(\binom{3 n}{n}) (\binom{2 n}{n}) \cdot 2 n$ . \odp $((\binom{3 n}{n}) + (\binom{2 n}{n})) \cdot 2 n$ . \odp $(\binom{3 n}{n}) (\binom{2 n}{n}) \cdot 3 n$ .

Suma $(\binom{0}{7}) + (\binom{1}{7}) + (\binom{2}{7}) + (\binom{3}{7}) + (\binom{4}{7}) + (\binom{5}{7}) + (\binom{6}{7}) + (\binom{7}{7})$ to:} \odp $0$ . \odp $(\binom{8}{7})$ . \odp $(\binom{7}{8})$ . \ok $(\binom{8}{8})$ .

Współczynnik przy wyrazie $x^{m} y^{n}$ w rozwinięciu dwumianu $(x + y)^{m + n}$ to:} \ok $(\binom{m + n}{m})$ . \ok $(\binom{m + n}{n})$ . \odp $(\binom{m}{n})$ . \odp $\sum_{i = 0}^{m} (\binom{m + n}{i})$ .

\etest

66666666666666666666666666666

{article} \input{../makraT}

\newpage

\parindent 0mm \beginLarge

Uzupelnij tytul
Permutacje i podziały

\endLarge

\parindent 10mm

\btest

Niech $n_{π}, n_{σ}, n_{ρ}$ będą kolejno liczbami permutacji w $S_{7}$ tego samego typu co, odpowiednio, $π = (14) (26) (357)$ , $σ = (1357) (246)$ , $ρ = (12) (34) (56) (7)$ . Wtedy:} \ok $n_{π} ⩽ n_{τ} ⩽ n_{ρ}$ \ok $n_{τ} ⩽ n_{π} ⩽ n_{ρ}$ \odp $n_{ρ} ⩽ n_{π} ⩽ n_{τ}$ \odp $n_{π} ⩽ n_{ρ} ⩽ n_{τ}$

Dla sprzężonych permutacji $π, σ \in S_{13}$ zachodzi:} \ok $π$ i $σ$ mają tyle samo cykli $4$ -elementowych \odp elementy $1$ i $2$ albo są w tym samym cyklu w obu permutacjach,

   albo nie są w tym samym cyklu w obu permutacjach

\ok $π$ i $σ$ mają ten sam typ \ok $π$ i $σ$ mają ten sam znak

Dla $n ⩾ 2$ ,

   podziałowa liczba Stirlinga   ${\begin{array}{c} n \\ 2 \end{array}}$  wynosi:}

\odp $\sum_{k = 1}^{n - 1} (\binom{n}{k}) k! = \sum_{k = 1}^{n - 1} \frac{n!}{k!}$ \odp $n! \sum_{k = 1}^{n - 1} \frac{1}{k (n - k)}$ \odp $n! \sum_{k = 1}^{n - 1} \frac{1}{k (n - k)}$ \ok $\frac{n!}{2} \sum_{k = 1}^{n - 1} \frac{1}{k (n - k)}$

Średnia liczba cykli permutacji $n$ -elementowej (czyli stosunek sumarycznej liczby cykli we wszystkich permutacjach $n$ -elementowych do liczby cykli $n$ -elementowych) to:} \odp $2 n$ \odp $⌊ \frac{n}{\lg n} ⌋ + 1$ \ok $\sum_{k = 1}^{n} \frac{1}{k}$ \odp $\frac{n}{2}$

Podziałowa liczba Stirlinga ${\begin{array}{c} 7 \\ 4 \end{array}}$ wynosi} \odp $90$ \odp $140$ \odp $301$ \ok $350$

Jednomian $x^{n}$ jest równy:} \ok $\sum_{i} {\begin{array}{c} n \\ i \end{array}} x^{\underline{i}}$ \odp $B_{n} x^{\underline{n}}$ , gdzie $B_{n}$ jest $n$ -tą liczbą Bella \odp $\sum_{i} [\begin{array}{c} n \\ i \end{array}] x^{\overline{i}}$ \ok $\sum_{i} {\begin{array}{c} n \\ i \end{array}} (- 1)^{n - i} x^{\overline{i}}$

Na ile sposobów można rozłożyć $a$ rozróżnialnych obiektów do dokładnie $b$ rozróżnialnych szuflad, tak by każda szufladka była niepusta?} \odp $b^{a}$ \odp ${\begin{array}{c} a \\ b \end{array}}$ \ok $b! {\begin{array}{c} a \\ b \end{array}}$ \odp $(\binom{a - 1}{b - 1})$

Na ile sposobów można rozłożyć $a$ nierozróżnialnych obiektów do co najwyżej $b$ rozróżnialnych szuflad?} \odp $(\binom{a - 1}{b - 1})$ \ok $(\binom{b + a - 1}{b - 1})$ \odp ${\begin{array}{c} a \\ b \end{array}}$ \odp $\sum_{i = 1}^{b} {\begin{array}{c} a \\ i \end{array}}$

Gdy $P (n, k)$ jest liczbą rozkładów liczby $n$ na sumy dokładnie $k$ nieujemnych całkowitych składników, to $\lim_{n \to \infty} \frac{P (n, k)}{n^{k}}$ wynosi:} \ok $0$ \odp $\frac{1}{k! (k - 1)!}$ \odp $\frac{1}{k}$ \odp $1$

Na ile sposobów można podzielić zbiór $a$ elementowy na $b + c$ bloków, przy czym $b$ bloków jest wyróżnionych?} \ok ${\begin{array}{c} a \\ b + c \end{array}} (\binom{b + c}{b})$ \ok $\sum_{k} (\binom{a}{k}) {\begin{array}{c} k \\ b \end{array}} {\begin{array}{c} a - k \\ c \end{array}}$ \odp ${\begin{array}{c} a \\ b \end{array}} {\begin{array}{c} a - b \\ c \end{array}}$ \odp ${\begin{array}{c} a \\ b + c \end{array}} b!$

\etest

777777777777777777777777777777777777777777777777777777777

{article} \input{../makraT}

\newpage

\parindent 0mm \beginLarge

Uzupelnij tytul
Funkcje tworzące

\endLarge

\parindent 10mm

\btest

Na ile sposobów można rozmienić $25$ centów za pomocą monet $1$ , $5$ , $10$ oraz $25$ centowych?}

<wrongoption>  $6$  }
<wrongoption>  $12$  }
<rightoption>  $13$  }
<wrongoption>  $49$  }

Funkcja tworząca postaci $G (x) = g_{0} + g_{1} x + g_{2} x^{2} + g_{3} x^{3} + \dots$ ma odwrotną względem mnożenia (splotu), tzn. istnieje funkcja tworząca $U (x)$ taka, że $U (x) G (x) = 1$ }

<wrongoption>jeśli   $g_{0} \neq 1$  }
<rightoption>jeśli   $g_{0} \neq 0$  }
<rightoption>jeśli wszystkie   $g_{i} \neq 0$  }
<rightoption>wtedy i tylko wtedy, gdy   $g_{0} \neq 0$  }

Funkcja $G (x)$ spełniająca

 $G (x) = (\sum_{n = 0}^{\infty} x^{n}) \cdot (1 + x G (x))$

jest funkcją tworzącą:} <wrongoption>ciągu $1, 1, 2, 4, 8, 16, 32, \dots, 2^{n - 1}, \dots$ } <rightoption>ciągu geometrycznego $g_{n} = 2^{n}$ } <wrongoption>nie ma takiego ciągu} <wrongoption>nie istnieje taka funkcja tworząca}

Funkcja $G (x)$ spełniająca

 $G (x) = G^{'} (x)$   oraz   $G (0) = 1$

jest funkcją tworzącą ciągu:} <wrongoption> $g_{n} = \frac{1}{n}$ } <rightoption> $g_{n} = \frac{1}{n!}$ } <wrongoption> $g_{n} = 1$ } <wrongoption> $g_{0} = 1$ oraz $g_{n} = 0$ dla $n > 1$ }

Niech $G (x) = {(1 + x)}^{y}$ , gdzie $y$ jest liczba rzeczywistą. Jeśli $G (x) = \sum_{n = 0}^{\infty} g_{n} x^{n}$ , to:} <wrongoption> $g_{n} = \frac{{(y + n)}^{\underline{n}}}{n}$ } <wrongoption> $g_{n} = \frac{y^{n}}{n!}$ } <wrongoption> $g_{n} = (\binom{y + n}{n}) = \frac{{(y + n)}^{\underline{n}}}{n!}$ } <rightoption> $g_{n} = (\binom{y}{n}) = \frac{y^{\underline{n}}}{n!}$ }

Suma $\sum_{k = 0}^{n} (3 k^{2} - 3 k + 1)$ wynosi:} <wrongoption> $2 n^{3} + 3 n + n$ ,} <rightoption> $n^{3}$ ,} <wrongoption> $(2 n^{3} + 3 n + n) / 6$ ,} <wrongoption> $3 n^{3} - 3 n^{2} + n$ }

Niech $a_{0} = 2$ , $a_{1} = 3$ , $a_{2} = 5$ , oraz $a_{n + 3} = 7 a_{n + 2} - 16 a_{n + 1} + 12 a_{n}$ . Wtedy:} <wrongoption> $a_{n} = (1 - n) 2^{n} + 3^{n}$ } <rightoption> $a_{n} = \frac{1}{\sqrt{5}} ({(\frac{1 + \sqrt{5}}{2})}^{n + 3} - {(\frac{1 - \sqrt{5}}{2})}^{n + 3})$ } <wrongoption> $a_{n} = \frac{1}{\sqrt{5}} ({(\frac{1 + \sqrt{5}}{2})}^{n} - {(\frac{1 - \sqrt{5}}{2})}^{n})$ } <wrongoption>żadna z pozostałych odpowiedzi nie jest prawidłowa}

\etest

8888888888888888888888888888888888888888888888

{article} \input{../makraT}

\newpage

\parindent 0mm \beginLarge

Uzupelnij tytul
Zliczanie obiektów

\endLarge

\parindent 10mm

\btest

Liczby Catalana $c_{n}$ spełniają zależność rekurencyjną:} <wrongoption> $c_{n} = \sum_{k = 1}^{n - 1} c_{k}$ } <wrongoption> $c_{n} = \sum_{k = 1}^{n} c_{k}$ } <wrongoption> $c_{n} = \sum_{k = 1}^{n - 1} c_{k} c_{n - k}$ } <rightoption> $c_{n} = \sum_{k = 1}^{n} c_{k - 1} c_{n - k}$ }

$n$ -ta liczba Catalana to:} <wrongoption> $(\binom{2 n}{n})$ } <rightoption> $\frac{1}{n + 1} (\binom{2 n}{n})$ } <wrongoption> $(\binom{1 / 2}{n}) {(- 4)}^{n}$ } <rightoption> $2 (\binom{1 / 2}{n + 1}) {(- 4)}^{n}$ }

Niech $t_{10}$ będzie liczbą drzew o wysokości $10$ . Wtedy:} <rightoption> $t_{10} \leq 2^{1023}$ } <rightoption> $t_{10} \geq 2^{512}$ } <wrongoption> $t_{10} \leq 2^{10}$ } <wrongoption> $t_{10} \geq 2^{9}$ }

Liczba podziałów liczby $16$ na sumy złożone jedynie ze składników $1, 2, 4, 8, 16$ wynosi:} <wrongoption> $25$ } <wrongoption> $26$ } <rightoption> $35$ } <wrongoption> $165$ }

Funkcja tworząca podziału liczby na sumy jest przedstawialna jako:} <rightoption> $\prod_{k = 1}^{\infty} \frac{1}{1 - x^{k}}$ } <wrongoption> $\sum_{k = 1}^{\infty} \frac{1}{1 - x^{k}}$ } <wrongoption> $\sum_{n = 0}^{\infty} \prod_{k = 1}^{\infty} \frac{1}{1 - x^{n k}}$ } <rightoption> $\prod_{k = 1}^{\infty} \sum_{n = 0}^{\infty} x^{n k}$ }

Funkcja tworząca

 $s_{n} (x) = [\begin{array}{c} n \\ 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} n \\ 1 \end{array}] x + [\begin{array}{c} n \\ 2 \end{array}] x^{2} + [\begin{array}{c} n \\ 3 \end{array}] x^{3} + \dots,$

dla cyklowych liczb Stirlinga $[\begin{array}{c} n \\ m \end{array}]$ , ma postać zwartą: } <rightoption> $s_{n} (x) = x^{\overline{n}}$ } <rightoption> $s_{n} (x) = \prod_{k = 0}^{n - 1} (x + k)$ } <wrongoption> $s_{n} (x) = x^{\underline{n}}$ } <wrongoption> $s_{n} (x) = 1 / \prod_{k = 0}^{n - 1} (1 - k x)$ }

Podziałowe liczby Stirlinga spełniają zależność rekurencyjną:} <wrongoption> ${\begin{array}{c} n \\ k \end{array}} = (n - 1) {\begin{array}{c} n - 1 \\ k \end{array}} + {\begin{array}{c} n - 1 \\ k - 1 \end{array}}$ , dla $0 > k > n$ } <wrongoption> ${\begin{array}{c} n + k \\ k \end{array}} = {\begin{array}{c} n + k - 1 \\ k \end{array}} + k {\begin{array}{c} n + k - 1 \\ k - 1 \end{array}}$ , dla $n > 1, k > 0$ } <rightoption> ${\begin{array}{c} n + k \\ k \end{array}} = k {\begin{array}{c} n + k - 1 \\ k \end{array}} + {\begin{array}{c} n + k - 1 \\ k - 1 \end{array}}$ , dla $n > 1, k > 0$ } <wrongoption>żadna z pozostałych odpowiedzi nie jest prawidłowa}

Niech $a_{0} = 1$ , $a_{1} = 0$ oraz $a_{n} = \frac{a_{n - 2}}{n}$ . Funkcja tworząca $A (x) = \sum_{n = 0}^{\infty} a_{n} x^{n}$ ma postać zwartą:} <wrongoption> $A (x) = \sin x$ } <wrongoption> $A (x) = e^{x^{2}}$ } <rightoption> $A (x) = e^{x^{2} / 2}$ } <wrongoption>żadna z pozostałych odpowiedzi nie jest prawidłowa}

\etest

999999999999999999999999999999999999999

{article} \input{../makraT}

\newpage

\parindent 0mm \beginLarge

Uzupelnij tytul
Asymptotyka

\endLarge

\parindent 10mm

\btest

Funkcja $n^{2} \lg n + \frac{n^{2} \sqrt{n}}{\lg n}$ jest:} \odp $Θ (n^{2} \lg n)$ \odp $O (n^{2} \lg n)$ \odp $Θ n^{2} \sqrt{n}$ \ok $O (\frac{n^{2} \sqrt{n}}{\lg n})$

Funkcja $\frac{n^{9}}{\lg^{10} n}$ jest:} \odp $O (n^{\frac{9}{10}})$ \odp $O (n)$ \ok $O (n^{9})$ \ok $Ω (\lg^{10} n)$

Dla $f (n) = 2^{\lg n + 1}$ oraz $g (n) = \lg 2 n - 1$ zachodzi:} \odp $f (x) = ω (g (x))$ \ok $f (x) = Ω (g (x))$ \ok $f (x) = Θ (g (x))$ \ok $f (x) = O (g (x))$ \odp $f (x) = o (g (x))$

Dowolny wielomian $k$ -tego stopnia jest:} \ok $Ω (n^{k})$ \ok $Θ (n^{k})$ \ok $O (n^{k})$ \ok $o (n^{k + ε})$ dla dowolnego $ε > 0$

Dla $f (n) = \frac{\lg n}{n}$ oraz $g (n) = \frac{1}{\sqrt{n}}$ zachodzi:} \odp $f (x) = ω (g (x))$ \odp $f (x) = Ω (g (x))$ \odp $f (x) = Θ (g (x))$ \ok $f (x) = O (g (x))$ \ok $f (x) = o (g (x))$

Dla $f (x) = x^{2}$ oraz $g (x) = x^{2} + \sin x$ zachodzi:} \ok $f (x) = Ω (g (x))$ \ok $f (x) = Θ (g (x))$ \ok $f (x) = O (g (x))$ \odp żadne z pozostałych

Dla $T (n) = 9 T (\frac{n}{3}) + \frac{n^{2}}{\lg n}$ :} \odp możemy skorzystać z pierwszego punktu Tw. o rekurencji uniwersalnej i $T (n) = Θ (n^{2})$ \odp możemy skorzystać z drugiego punktu Tw. o rekurencji uniwersalnej i $T (n) = Θ (n^{2} \lg n)$ \odp możemy skorzystać z trzeciego punktu Tw. o rekurencji uniwersalnej i $T (n) = Θ (\frac{n^{2}}{\lg n})$ \ok żadne z pozostałych

Dla $T (n) = 25 T (\frac{n}{4}) + \frac{n^{2}}{\lg n}$ } \ok możemy skorzystać z pierwszego punktu Tw. o rekurencji uniwersalnej i $T (n) = Θ (n^{\lg_{4} 25})$ \odp możemy skorzystać z drugiego punktu Tw. o rekurencji uniwersalnej i $T (n) = Θ (n^{2})$ \odp możemy skorzystać z trzeciego punktu Tw. o rekurencji uniwersalnej i $T (n) = Θ (\frac{n^{2}}{\lg n})$ \odp żadne z pozostałych

Funkcja spełniająca zależność $T (n) = T (\frac{n}{2}) + 1$ jest:} \ok $Θ (\lg n)$ \ok $Θ (n)$ \ok $O (n)$ \odp żadne z pozostałych

\etest

101010101010101010101010101010101010

{article} \input{../makraT}

\newpage

\parindent 0mm \beginLarge

Uzupelnij tytul
Teoria liczb I

\endLarge

\parindent 10mm

\btest

Liczb naturalnych $n > 1$ w rozkładzie których występują wszystkie liczby pierwsze niewiększe od $n$ jest:} \odp nieskończenie wiele \ok co najmniej jedna \ok skończenie wiele \odp nie ma takich liczb

Liczb pierwszych postaci $91 n + 7$ , dla $n \in ℕ$ jest:} \odp nie ma takich liczb \ok dokładnie jedna \ok skończenie wiele \odp nieskończenie wiele

Jeśli w ciągu postaci ${a n + b}_{n \in ℕ}$ , gdzie $a, b \in ℕ$ , są przynajmniej dwie liczby pierwsze, to} \ok jest ich nieskończenie wiele \odp wszystkie liczby tego ciągu są pierwsze \odp może ich być tylko skończenie wiele \ok $a$ i $b$ są względnie pierwsze

Jeśli $p$ jest dowolną liczbą pierwszą, to sito Eratostenesa zastosowane do liczby $p^{2} + 2$ jako ostatnią skreśli:} \odp $p$ \ok $p^{2}$ \odp $p^{2} + 1$ \odp $p^{2} + 2$

Jeśli $a | b c$ oraz \sf NWD $(a, b) = d$ , to} \ok $\frac{a}{d} | c$ \ok $a | c d$ \ok $\frac{a}{d} ⊥ b$ \ok $\frac{a}{d} ⊥ \frac{b}{d}$

Liczb pierwszych postaci $n^{2} - 1$ , gdzie $n \in ℕ$ , jest:} \odp $0$ \ok $1$ \ok skończenie wiele \odp nieskończenie wiele

Jeśli $a$ i $b$ są liczbami złożonymi to} \odp \sf NWD $(a, b) > 1$ \ok Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \frac{a}{ } \sf NWD $(a, b) ⊥ \frac{b}{}$ \sf NWD Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle (a,b)}} \odp jedna z liczb Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \frac{a}{ } \sf NWD Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle (a,b)}} , Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \frac{b}{ } \sf NWD Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle (a,b)}} jest pierwsza \odp jeśli $a ⊥ b$ , to przynajmniej jedna z liczb $a - b$ , $a + b$ jest parzysta

Jeśli $a | c$ i $b | c$ , to} \odp \sf NWD $(a, b) > 1$ \odp \sf NWD $(a, b) < c$ \ok jeśli \sf NWD $(a, b) > 1$ , to \sf NWW $(a, b) < c$ \ok \sf NWW $(a, b) ⩽ c$

Rosnący ciąg arytmetyczny rozpoczynający się od $1$ :} \ok zawsze zawiera nieskończenie wiele liczb pierwszych \odp może zawierać tylko skończenie wiele liczb pierwszych \odp zawsze zawiera tylko skończenie wiele liczb pierwszych \odp może nie zawierać żadnej liczby pierwszej

\etest

11111111111111111111111111111111

{article} \input{../makraT}

\newpage

\parindent 0mm \beginLarge

Uzupelnij tytul
Teoria liczb II

\endLarge

\parindent 10mm

\btest

Jeśli $d ⊥ n$ oraz $a c d \equiv_{c n} b c d$ , to} \ok $a \equiv_{n} b$ \ok $a d \equiv_{n} b d$ \ok $a c d \equiv_{n} b c d$ \odp $a c \equiv_{n d} b c$

Równanie $7 x \equiv_{91} 4$ } \odp nie ma rozwiązania \odp ma skończenie wiele rozwiązań \odp zbiór wszystkich jego rozwiązań jest postaci ${13 n + c : n \in N}$ dla pewnego $c \in ℕ$ \ok zbiór wszystkich rozwiązań jest postaci ${91 n + c : n \in ℕ}$ dla pewnego $c \in ℕ$

Układ równań

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\aligned”): {\displaystyle \displaystyle \aligned x&\equiv_9&8,\\ x&\equiv_{223}&222. \endaligned}

} \ok ma całkowite rozwiązanie mniejsze od 2006 \odp $2006$ jest jego jedynym rozwiązaniem \odp wszystkie jego rozwiązania są postaci $2006 \cdot n$ , gdzie $n \in ℤ$ \ok wszystkie jego rozwiązania są postaci $2007 n + 2006$

Dla $a < b$ warunek $φ (a) ⩽ φ (b)$ zachodzi jeśli} \odp $a ⩽ b$ \ok $a | b$ \odp $a ⊥ b$ \ok $a ⩽ b$ i $b$ jest pierwsza

$1 6^{49}$ {\sf mod} $25$ wynosi:} \odp $1$ \odp $7$ \odp $14$ \ok $21$

$1 4^{111}$ {\sf mod} $15$ wynosi:} \odp $1$ \odp $3$ \odp $12$ \ok $14$

Wiedząc, że $2006 = 2 \cdot 17 \cdot 59$ oblicz $μ (2006)$ : } \ok $- 1$ \odp $0$ \odp $1$ \odp $3$

$(n - 1)!$ modulo $n$ to:} \ok $0$ , jeśli $n$ jest złożona a $- 1$ , jeśli $n$ jest pierwsza \ok $0$ , jeśli $n$ jest złożona a $n - 1$ , jeśli $n$ jest pierwsza \odp $0$ , jeśli $n$ jest złożona a $1$ , jeśli $n$ jest pierwsza \odp zawsze wynosi $1$

\etest

12121212121212121212121212121212

{article} \input{../makraT}

\newpage

\parindent 0mm \beginLarge

Uzupelnij tytul
Grafy I

\endLarge

\parindent 10mm

\btest

Różnych grafów skierowanych bez cykli jednoelementowych w zbiorze $n$ -elementowym jest:} \odp $2^{n^{2}}$ \ok $2^{n^{2} - n}$ \odp $2^{2^{n}}$ \odp $2^{2^{n} - n}$ \odp $2^{(\binom{n}{2})}$

Różnych grafów nieskierowanych bez cykli jednoelementowych w zbiorze $n$ -elementowym jest:} \odp $2^{n^{2}}$ \odp $2^{n^{2} - n}$ \odp $2^{2^{n}}$ \odp $2^{2^{n} - n}$ \ok $2^{(\binom{n}{2})}$

Zaznacz zdania prawdziwe:} \odp W każdym grafie prostym $G = (V; E)$ relacja $E$ musi być zwrotna. \ok W grafie nieskierowanym $G = (V, E)$ relacja $E$ jest symetryczna. \odp Graf nieskierowany to rodzina wszystkich dwuelementowych podzbiorów zbioru wierzchołków. \ok W grafie pełnym każde dwa różne wierzchołki połączone są krawędzią.

Zaznacz zdania prawdziwe dla grafów nieskierowanych:} \ok podgraf indukowany grafu pełnego jest grafem pełnym \ok każdy graf jest podgrafem jakiegoś grafu pełnego \odp każdy graf jest podgrafem indukowanym jakiegoś grafu pełnego \odp graf pełny ma zawsze parzystą liczbę krawędzi \ok w grafie pełnym wszystkie wierzchołki mają ten sam stopień

Jaka jest najmniejsza liczba krawędzi w grafie nieskierowanym o 100 wierzchołkach i trzech składowych spójnych:}

\odp  $99$ 
\ok  $97$ 
\odp  $98$ 
\odp  $100$ 
\odp  $\frac{100 \cdot 99}{3}$

Ile jest krawędzi w pełnym grafie dwudzielnym $K_{1000, 1000}$ :}

\ok  $1000 \cdot 1000$ 
\odp  $1000!$ 
\odp  $(\binom{1000}{2})$ 
\odp  $(\binom{1000}{50})$ 
\odp  $(\binom{2000}{1000})$

W pełnym grafie $100$ -elementowym:} \odp każde drzewo rozpinające ma $100$ krawędzi \odp dokładnie jedno drzewo rozpinające ma $100$ krawędzi \ok każde drzewo rozpinające ma $99$ krawędzi \odp dokładnie jedno drzewo rozpinające ma $99$ krawędzi \odp nie ma drzew rozpinających

W pełnym grafie dwudzielnym $K_{50, 50}$ :} \odp każde drzewo rozpinające ma $50$ krawędzi \odp każde drzewo rozpinające ma $100$ krawędzi \ok każde drzewo rozpinające ma $99$ krawędzi \odp dokładnie jedno drzewo rozpinające ma $99$ krawędzi \odp nie ma drzew rozpinających

W $100$ elementowym grafie o trzech składowych spójnych:} \odp jakiś las rozpinający ma $100$ krawędzi \odp jakiś las rozpinający ma $99$ krawędzi \odp jakiś las rozpinający ma $98$ krawędzi \ok jakiś las rozpinający ma $97$ krawędzi \odp może nie być lasu rozpinającego

Pełny graf $100$ -elementowy:} \ok jest grafem Hamiltonowskim \odp jest grafem Eulerowskim \odp jest spójny \odp jest dwudzielny \ok jest stukolorowalny

Pełny graf dwudzielny $K_{25, 25}$ :} \ok jest grafem Hamiltonowskim \odp jest grafem Eulerowskim \ok zawiera cykl $4$ wierzchołkach jako podgraf indukowany \odp zawiera cykl $6$ wierzchołkach jako podgraf indukowany \ok jest trójkolorowalny

Graf o $2005$ wierzchołkach, z których każdy ma stopień $101$ :} <wrongoption>ma $202505$ krawędzi} <wrongoption>ma $2106$ krawędzi} <wrongoption>ma $405010$ krawędzi} <rightoption>nie istnieje}

Jeśli $𝐆_{1} = (V, E_{1})$ i $𝐆_{2} = (V, E_{2})$ są grafami niespójnymi o tym samym zbiorze wierzchołków $V$ , to:} <rightoption>graf $𝐆_{1} \cup 𝐆_{1}$ może być spójny} <wrongoption>graf $𝐆_{1} \cup 𝐆_{1}$ jest spójny} <rightoption>graf $𝐆_{1} \cap 𝐆_{1}$ może nie być spójny} <rightoption>graf $𝐆_{1} \cap 𝐆_{1}$ nie jest spójny}

Graf $𝐏_{4}$ to graf, który składa się jedynie ze ścieżki odwiedzającej $4$ wierzchołki, czyli Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle {\sf V}\!\left(\mathbf{P}_4\right)=\left\lbrace a,b,c,d \right\rbrace } oraz Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle {\sf E}\!\left(\mathbf{P}_4\right)=\left\lbrace \left\lbrace a,b \right\rbrace,\left\lbrace b,c \right\rbrace,\left\lbrace c,d \right\rbrace \right\rbrace } . W grafie spójnym, w którym nie ma podgrafu indukowanego izomorficznego do $𝐏_{4}$ :} <rightoption>dowolne dwa punkty leżą w odległości co najwyżej trzy} <rightoption>dowolne dwa punkty leżą w odległości co najwyżej dwa} <wrongoption>dowolne dwa punkty leżą w odległości co najwyżej jeden} <wrongoption>każde trzy wierzchołki tworzą klikę $𝒦_{3}$ }

Zaznacz zdania prawdziwe:} <rightoption>Każdy graf pusty jest grafem dwudzielnym.} <wrongoption>Każdy graf pełny jest grafem dwudzielnym.} <wrongoption>Graf $𝒦_{3}$ jest grafem dwudzielnym.} <rightoption>Graf $𝒦_{2}$ jest grafem dwudzielnym.}

Zaznacz zdania prawdziwe:} <rightoption>Każdy graf dwudzielny, który jest zarazem grafem pełnym jest planarny.} <rightoption>Graf $𝒦_{4}$ jest grafem planarnym.} <wrongoption>Graf $𝒦_{5}$ jest grafem planarnym.} <wrongoption>Każdy graf dwudzielny jest grafem planarnym.}

Graf o $100$ wierzchołkach:} <wrongoption>jeśli ma $99$ krawędzi, to jest drzewem.} <wrongoption>jeśli ma $100$ krawędzi, to jest drzewem.} <wrongoption>jeśli ma $4850$ krawędzi, to jest spójny.} <rightoption>jeśli ma $4851$ krawędzi, to jest spójny.}

Na to by graf $𝐓$ był drzewem potrzeba i wystarcza, by:} <wrongoption> $𝐓$ nie zawierał cykli} <rightoption> $𝐓$ był spójny i miał $| V | - 1$ krawędzi} <rightoption>dowolne dwa wierzchołki grafu $𝐓$ były połączone dokładnie jedną drogą} <wrongoption>dowolne dwa wierzchołki grafu $𝐓$ leżały na dokładnie jednym cyklu}

\etest

131313131313131313131313131313

{article} \input{../makraT}

\newpage

\parindent 0mm \beginLarge

Uzupelnij tytul
Grafy II

\endLarge

\parindent 10mm

\btest

Pełny graf dwudzielny $𝒦_{3, 3}$ :} <wrongoption>jest eulerowski} <rightoption>jest hamiltonowski} <wrongoption>jest planarny} <wrongoption>nie jest ani eulerowski ani planarny}

Pełny graf $100$ -elementowy:} \ok jest grafem Hamiltonowskim \odp jest grafem Eulerowskim \odp jest spójny \odp jest dwudzielny \ok jest stukolorowalny

Graf, w którym cykl Hamiltona jest zarazem cyklem Eulera} <wrongoption>sam jest cyklem o parzystej liczbie krawędzi} <rightoption>jest cyklem} <rightoption>ma wierzchołki wyłącznie o stopniu $2$ } <wrongoption>jest sumą dwu grafów o tych samych wierzchołkach ale rozłącznych zbiorach krawędzi, przy czym każdy z nich jest cyklem}

Jeśli graf $𝐆$ jest eulerowski, to:} <wrongoption>graf $𝐆$ jest hamiltonowski} <rightoption>każdy wierzchołek w grafie $𝐆$ ma parzysty stopień} <rightoption>graf $𝐆$ jest sumą grafów o tych samych wierzchołkach ale rozłącznych zbiorach krawędzi, przy czym każdy z nich jest cyklem} <wrongoption>jeśli dodatkowo $𝐆$ jest hamiltonowski, to po usunięciu cyklu Hamiltona graf $𝐆$ dalej jest eulerowski}

Graf o $101$ wierzchołkach:} <wrongoption>w którym wszystkie wierzchołki są stopnia $50$ , jest hamiltonowski} <rightoption>w którym wszystkie wierzchołki są stopnia $51$ , jest hamiltonowski} <wrongoption>w którym dowolne dwa niesąsiednie wierzchołki $v$ i $w$ spełniają $\deg v + \deg w \geq 100$ jest hamiltonowski} <wrongoption>w którym dowolne dwa sąsiednie wierzchołki $v$ i $w$ spełniają $\deg v + \deg w \geq 100$ jest hamiltonowski}

Który z warunków wystarcza na to, by w grafie dwudzielnym $𝐆 = (V_{1} \cup V_{2}, E)$ istniało pełne skojarzenie $V_{1}$ z $V_{2}$ ?} <rightoption>graf $𝐆$ jest hamiltonowski} <wrongoption>graf $𝐆$ jest eulerowski} <wrongoption>w grafie $𝐆$ każdy wierzchołek z $V_{1}$ ma co najmniej dwu sąsiadów} <rightoption>dowolny zbiór niezależny w ma co najwyżej $| V_{2} |$ wierzchołków}

Grafem $100$ -spójnym jest:} <rightoption>graf w którym pomiędzy dowolnymi wierzchołkami istnieje $100$ dróg wierzchołkowo rozłącznych} <wrongoption>graf, którego każdy zbiór rozdzielający ma co najmniej $99$ wierzchołków} <rightoption>klika $𝒦_{101}$ } <wrongoption>pełny graf dwudzielny $𝒦_{100, 100}$ }

W $2$ -spójnym krawędziowo grafie o $20$ wierzchołkach i minimalnej liczbie krawędzi:} <wrongoption>jest dokładnie $38$ krawędzi} <rightoption>jest dokładnie $20$ krawędzi} <rightoption>dowolny wierzchołek ma stopień co najmniej $2$ } <wrongoption>istnieje wierzchołek o stopniu co najmniej $3$ }

\etest

141414141414141414141414141414141414141414

{article} \input{../makraT}

\newpage

\parindent 0mm \beginLarge

Uzupelnij tytul
Grafy III

\endLarge

\parindent 10mm

\btest

Który z grafów przedstawionych na Rysunku Uzupelnic test petersen4| jest planarny?

\beginfigure [!ht] \begincenter \includegraphics{test_petersen4} \caption{ [Rysunek z pliku: test\_petersen4.eps]} \endcenter \endfigure }

<wrongoption>graf przedstawiony na rysunku Uzupelnic test petersen4|.a.} <wrongoption>graf przedstawiony na rysunku Uzupelnic test petersen4|.b.} <wrongoption>graf przedstawiony na rysunku Uzupelnic test petersen4|.c.} <rightoption>graf przedstawiony na rysunku Uzupelnic test petersen4|.d.}

Który z grafów przedstawionych na Rysunku Uzupelnic test klika5| jest homeomorficzny z kliką $𝒦_{5}$ ?

\beginfigure [!ht] \begincenter \includegraphics{test_klika5} \caption{ [Rysunek z pliku: test\_klika5.eps]} \endcenter \endfigure }

<wrongoption>graf przedstawiony na rysunku Uzupelnic test klika5|.a.} <wrongoption>graf przedstawiony na rysunku Uzupelnic test klika5|.b.} <rightoption>graf przedstawiony na rysunku Uzupelnic test klika5|.c.} <wrongoption>graf przedstawiony na rysunku Uzupelnic test klika5|.d.}

Spójny graf planarny o $20$ wierzchołkach, z których każdy jest stopnia $3$ ma:} <wrongoption> $11$ ścian} <rightoption> $12$ ścian} <wrongoption> $22$ ścian} <wrongoption> $24$ ścian}

Ile spójnych składowych ma graf planarny o $121$ wierzchołkach,

 $53$   krawędziach, oraz   $30$   ścianach?}

<rightoption> $98$ } <wrongoption> $99$ } <wrongoption> $100$ } <wrongoption> $143$ }

Niech $𝐆^{*}$ będzie grafem geometrycznie dualnym do grafu płaskiego $𝐆$ . Podzbiór $C$ zbioru krawędzi grafu $𝐆$ jest cyklem w grafie $𝐆$ wtedy i tylko wtedy, gdy zbiór krawędzi dualnych do krawędzi zbioru $C$ } <wrongoption>posiada parzystą liczbę elementów} <wrongoption>posiada nieparzystą liczbę elementów} <wrongoption>jest cyklem grafu $𝐆^{*}$ } <rightoption>jest rozcięciem grafu $𝐆^{*}$ }

Spójny graf prosty, który nie jest pełny,

i w którym wszystkie wierzchołki  mają stopień nie większy niż   $k$  jest:}

<wrongoption> $(k - 1)$ -kolorowalny} <rightoption> $k$ -kolorowalny} <rightoption> $(k + 1)$ -kolorowalny} <rightoption> $2 k$ -kolorowalny}

Iloma kolorami można pokolorować polityczną mapę Europy?} <wrongoption> $3$ } <rightoption> $4$ } <rightoption> $5$ } <rightoption> $6$ }

W grafie prostym zachodzi:} <rightoption> $χ (𝐆) \leq χ_{s} (𝐆) + 1$ } <wrongoption> $χ (𝐆) \leq χ_{s} (𝐆)$ } <wrongoption> $χ (𝐆) \geq χ_{s} (𝐆) + 1$ } <wrongoption> $χ (𝐆) = χ_{s} (𝐆)$ }

Pełny graf dwudzielny $K_{50, 50}$ :} \ok jest grafem Hamiltonowskim \ok jest grafem Eulerowskim \odp jest lasem \ok jest dwukolorowalny \ok jest 49-kolorowalny

\etest

151515151515151515151515151515151515

{article} \input{../makraT}

\newpage

\parindent 0mm \beginLarge

Uzupelnij tytul
Metody algebraiczne w teorii grafów

\endLarge

\parindent 10mm

\btest

Niech $m_{i j}$ oznacza liczbę skierowanych marszrut, nie dłuższych niż $n - 1$ , z wierzchołka $v_{i}$ do $v_{j}$ w grafie skierowanym $𝐆 = ({v_{1}, \dots, v_{n}}, E)$ , a $M$ niech będzie macierzą $⟨ m_{i j} ⟩$ . Wtedy:} <rightoption> Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle M={\sf A}\left( \mathbf{G} \right)^1+{\sf A}\left( \mathbf{G} \right)^2+\ldots+{\sf A}\left( \mathbf{G} \right)^{\left( n-1 \right)} } } <wrongoption> Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle M={\sf A}\left( \mathbf{G} \right)^{\left( n-1 \right)} } } <wrongoption> Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle M=n\cdot{\sf A}\left( \mathbf{G} \right) } } <rightoption> $m_{i j} > 0$ wtedy i tylko wtedy, gdy Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \left( v_i,v_j \right)\in{\sf E}\!\left({\sf TC}\left( \mathbf{G} \right)\right) } }

Zaznacz prawdziwe zależności dla grafu prostego $𝐆$ o macierzy sąsiedztwa Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle {\sf A}\left( \mathbf{G} \right) } , macierzy incydencji Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle {\sf B}\left( \mathbf{G} \right) } , zorientowanej macierzy incydencji Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle {\sf C}\left( \mathbf{G} \right) } oraz macierzy stopni Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle {\sf D}\left( \mathbf{G} \right) } :} <wrongoption> Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle {\sf B}\left( \mathbf{G} \right)\cdot {\sf B}\left( \mathbf{G} \right)^T= {\sf A}\left( \mathbf{G} \right)- {\sf D}\left( \mathbf{G} \right) } } <rightoption> Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle {\sf B}\left( \mathbf{G} \right)\cdot {\sf B}\left( \mathbf{G} \right)^T= {\sf D}\left( \mathbf{G} \right)+ {\sf A}\left( \mathbf{G} \right) } } <wrongoption> Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle {\sf B}\left( \mathbf{G} \right) \cdot{\sf A}\left( \mathbf{G} \right) = {\sf C}\left( \mathbf{G} \right) } } <wrongoption> Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle {\sf C}\left( \mathbf{G} \right)\cdot {\sf C}\left( \mathbf{G} \right)^T= {\sf A}\left( \mathbf{G} \right)- {\sf D}\left( \mathbf{G} \right) } }

Niech $𝐆$ będzie grafem o $10$ wierzchołkach przedstawionym na Rysunku Uzupelnic test alg|, a macierz $M$ , o rozmiarach $9 \times 9$ , będzie minorem (podmacierzą) zorientowanej macierzy incydencji Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle {\sf C}\left( \mathbf{G} \right) } , w którym kolumny odpowiadają krawędziom

 $e_{0}, e_{2}, e_{3}, e_{6}, e_{9}, e_{12}, e_{13}, e_{14}, e_{15}$  .

\beginfigure [!ht] \begincenter \includegraphics{test_alg} \caption{Graf $𝐆$ . [Rysunek z pliku: test\_alg.eps]} \endcenter \endfigure

Wtedy:} <rightoption>macierz $M$ jest nieosobliwa} <wrongoption>macierz $M$ jest osobliwa} <wrongoption>suma elementów w każdej kolumnie macierzy $M$ wynosi $0$ } <wrongoption>macierz $M$ jest antysymetryczna}

Na to by permanent grafu $𝐆$ był niezerowy, wystarcza by:} <rightoption>graf $𝐆$ posiadał cykl Hamiltona} <wrongoption>graf $𝐆$ posiadał cykl Eulera} <wrongoption>graf $𝐆$ był spójny} <rightoption>graf $𝐆$ był grafem dwudzielnym posiadającym skojarzenie doskonałe}

Zaznacz zdania prawdziwe o wartościach własnych grafów:} <wrongoption>Co najmniej jedna z wartości własnych jest liczbą zespoloną.} <wrongoption>Jeśli wszystkie wartości własne są wymierne, to graf jest eulerowski.} <rightoption>Wszystkie wartości własne grafu hamiltonowskiego są rzeczywiste.} <rightoption>Wszystkie wartości własne dowolnego grafu są rzeczywiste.}

Zaznacz prawdziwe związki wartości własnych z maksymalnym stopniem wierzchołka w grafie prostym:} <wrongoption> $λ_{m a x} (𝐆) = Δ (𝐆)$ } <rightoption> $| λ_{m a x} (𝐆) | \leq Δ (𝐆)$ } <rightoption> $λ_{m a x} (𝐆) = Δ (𝐆)$ wtedy i tylko wtedy, gdy któraś spójna składowa grafu $𝐆$ jest grafem regularnym stopnia $Δ (𝐆)$ } <rightoption> $- Δ (𝐆)$ jest wartością własną macierzy Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle {\sf A}\left( \mathbf{G} \right) } wtedy i tylko wtedy, gdy $𝐆$ jest regularnym grafem dwudzielnym stopnia $Δ (𝐆)$ }

W grafie regularnym $𝐆$ o $10$ wierzchołkach stopnia $4$ oraz wartościach własnych $λ_{m i n} (𝐆) \approx - 2, 73205$ i $λ_{m a x} (𝐆) = 4$ moc niezależnego podzbioru jest ograniczona z góry przez:} <wrongoption> $2$ } <wrongoption> $3$ } <rightoption> $4$ } <rightoption> $10$ }

Zaznacz zdania prawdziwe wiążące liczbę chromatyczną $χ (𝐆)$ z wartościami własnymi grafu regularnego $𝐆$ :} <rightoption> $χ (𝐆) \geq 1 - \frac{λ_{m a x} (𝐆)}{λ_{m i n} (𝐆)}$ } <wrongoption> $χ (𝐆) = 1 - \frac{λ_{m a x} (𝐆)}{λ_{m i n} (𝐆)}$ } <rightoption> $χ (𝐆) \leq λ_{m a x} (𝐆) + 1$ } <wrongoption> $χ (𝐆) \geq λ_{m a x} (𝐆)$ }

\etest

Test GR4: Różnice pomiędzy wersjami

Wersja z 14:28, 18 wrz 2006

Menu nawigacyjne

Działania na stronie

Opcje strony

Narzędzia osobiste

Nawigacja

Szukaj

Narzędzia

@@ Linia 1: / Linia 1: @@
+\newtheorem{thm}{Twierdzenie}
+\newtheorem{obs}[thm]{Obserwacja}
+\newtheorem{con}[thm]{Wniosek}
+\newtheorem{exrr}{Zadanie}
+{
+\parindent 0mm
+'''#1'''
+\parindent 10mm }{\hfill{ <math>\displaystyle \square </math> }
+}
+{article}
+\input{../makraT}
+\newpage
+\parindent 0mm
+\beginLarge
+{| border=1
+|+ <span style="font-variant:small-caps">Uzupelnij tytul</span>
+|-
+| '''Współczynniki dwumianowe'''
+|-
+|
+|}
+ \endLarge
+\parindent 10mm
+\btest
 <quiz>Zależność <math>\displaystyle {n\choose0}-{n\choose1}+\ldots+(-1)^n{n\choose n}=0</math>
 zachodzi dla:}
-</rightoption>  wszystkich liczb naturalnych <math>\displaystyle n</math>
+\ok  wszystkich liczb naturalnych <math>\displaystyle n</math>
-</wrongoption> tylko skończenie wielu liczb naturalnych <math>\displaystyle n</math>
+\odp tylko skończenie wielu liczb naturalnych <math>\displaystyle n</math>
-</wrongoption> żadnej liczby naturalnej <math>\displaystyle n</math>
+\odp żadnej liczby naturalnej <math>\displaystyle n</math>
-</rightoption>  wszystkich, poza skończenie wieloma liczbami naturalnymi <math>\displaystyle n</math>
+\ok  wszystkich, poza skończenie wieloma liczbami naturalnymi <math>\displaystyle n</math>
 </quiz>
@@ Linia 10: / Linia 47: @@
 bez obu wartości brzegowych to:}
-</wrongoption> <math>\displaystyle 2^n</math>.
+\odp <math>\displaystyle 2^n</math>.
-</rightoption>  <math>\displaystyle 2^{n}-2</math>.
+\ok  <math>\displaystyle 2^{n}-2</math>.
-</rightoption>  <math>\displaystyle \sum_{i=1}^n{n\choose i}-1</math>.
+\ok  <math>\displaystyle \sum_{i=1}^n{n\choose i}-1</math>.
-</wrongoption> <math>\displaystyle {2n\choose n}</math>.
+\odp <math>\displaystyle {2n\choose n}</math>.
 </quiz>
 <quiz>Współczynnik przy wyrazie <math>\displaystyle x^n</math> w rozwinięciu dwumianu <math>\displaystyle (x+2)^{2n}</math> to:}
-</wrongoption> <math>\displaystyle {2n\choose n}</math>.
+\odp <math>\displaystyle {2n\choose n}</math>.
-</wrongoption> <math>\displaystyle 2^n{n\choose2}</math>.
+\odp <math>\displaystyle 2^n{n\choose2}</math>.
-</rightoption>  <math>\displaystyle {2n\choose n}2^n</math>.
+\ok  <math>\displaystyle {2n\choose n}2^n</math>.
-</wrongoption> <math>\displaystyle {2n\choose n}2^{2n}</math>.
+\odp <math>\displaystyle {2n\choose n}2^{2n}</math>.
 </quiz>
 <quiz><math>\displaystyle {-1\choose k}</math> dla <math>\displaystyle k\geqslant0</math> jest równe:}
-</wrongoption> <math>\displaystyle 0</math>.
+\odp <math>\displaystyle 0</math>.
-</wrongoption> <math>\displaystyle 1</math>.
+\odp <math>\displaystyle 1</math>.
-</wrongoption> <math>\displaystyle (-1)^k</math>.
+\odp <math>\displaystyle (-1)^k</math>.
-</rightoption>  <math>\displaystyle (-1)^{k+1}</math>
+\ok  <math>\displaystyle (-1)^{k+1}</math>
 </quiz>
 <quiz>Suma <math>\displaystyle \sum_{i=0}^n2^i{n\choose i}</math> wynosi}
-</wrongoption> <math>\displaystyle 2^n</math>.
+\odp <math>\displaystyle 2^n</math>.
-</rightoption>  <math>\displaystyle 3^n</math>.
+\ok  <math>\displaystyle 3^n</math>.
-</wrongoption> <math>\displaystyle (n+2)^n</math>.
+\odp <math>\displaystyle (n+2)^n</math>.
-</wrongoption> <math>\displaystyle {2n\choose n}</math>.
+\odp <math>\displaystyle {2n\choose n}</math>.
 </quiz>
 <quiz>Liczba nieporządków na zbiorze <math>\displaystyle 3</math>-elementowym to:}
-</wrongoption> <math>\displaystyle 1</math>.
+\odp <math>\displaystyle 1</math>.
-</rightoption>  <math>\displaystyle 2</math>.
+\ok  <math>\displaystyle 2</math>.
-</wrongoption> <math>\displaystyle 3</math>.
+\odp <math>\displaystyle 3</math>.
-</wrongoption> <math>\displaystyle 6</math>.
+\odp <math>\displaystyle 6</math>.
 </quiz>
 <quiz><math>\displaystyle {n\choose a,b,0,\ldots,0}</math> gdzie <math>\displaystyle a+b=n</math> to:}
-</rightoption>  <math>\displaystyle {n\choose a}</math>.
+\ok  <math>\displaystyle {n\choose a}</math>.
-</rightoption>  <math>\displaystyle {n\choose b}</math>.
+\ok  <math>\displaystyle {n\choose b}</math>.
-</wrongoption> <math>\displaystyle {n\choose a+b}</math>.
+\odp <math>\displaystyle {n\choose a+b}</math>.
-</wrongoption> <math>\displaystyle {n+a+b\choose a+b}</math>.
+\odp <math>\displaystyle {n+a+b\choose a+b}</math>.
 </quiz>
@@ Linia 55: / Linia 92: @@
 można wybrać <math>\displaystyle n</math>-kobiet i <math>\displaystyle n</math>-mężczyzn,
 i dodatkowo z niewybranych mężczyzn wyznaczyć przywódcę?}
-</wrongoption> <math>\displaystyle \left( {5n\choose 3n}{3n\choose n}+{5n\choose 2n}{2n\choose n} \right)\cdot 2n</math>.
+\odp <math>\displaystyle \left( {5n\choose 3n}{3n\choose n}+{5n\choose 2n}{2n\choose n} \right)\cdot 2n</math>.
-</rightoption>  <math>\displaystyle {3n\choose n}{2n\choose n}\cdot 2n</math>.
+\ok  <math>\displaystyle {3n\choose n}{2n\choose n}\cdot 2n</math>.
-</wrongoption> <math>\displaystyle \left( {3n\choose n}+{2n\choose n} \right)\cdot 2n</math>.
+\odp <math>\displaystyle \left( {3n\choose n}+{2n\choose n} \right)\cdot 2n</math>.
-</wrongoption> <math>\displaystyle {3n\choose n}{2n\choose n}\cdot 3n</math>.
+\odp <math>\displaystyle {3n\choose n}{2n\choose n}\cdot 3n</math>.
 </quiz>
 <quiz>Suma <math>\displaystyle {0\choose7}+{1\choose7}+{2\choose7}+{3\choose7}+{4\choose7}+{5\choose7}+{6\choose7}+{7\choose7}</math> to:}
-</wrongoption> <math>\displaystyle 0</math>.
+\odp <math>\displaystyle 0</math>.
-</wrongoption> <math>\displaystyle {8\choose7}</math>.
+\odp <math>\displaystyle {8\choose7}</math>.
-</wrongoption> <math>\displaystyle {7\choose8}</math>.
+\odp <math>\displaystyle {7\choose8}</math>.
-</rightoption>  <math>\displaystyle {8\choose8}</math>.
+\ok  <math>\displaystyle {8\choose8}</math>.
 </quiz>
 <quiz>Współczynnik przy wyrazie <math>\displaystyle x^my^n</math> w rozwinięciu dwumianu <math>\displaystyle (x+y)^{m+n}</math> to:}
-</rightoption>  <math>\displaystyle {m+n\choose m}</math>.
+\ok  <math>\displaystyle {m+n\choose m}</math>.
-</rightoption>  <math>\displaystyle {m+n\choose n}</math>.
+\ok  <math>\displaystyle {m+n\choose n}</math>.
-</wrongoption> <math>\displaystyle {m\choose n}</math>.
+\odp <math>\displaystyle {m\choose n}</math>.
-</wrongoption> <math>\displaystyle \sum_{i=0}^m{m+n\choose i}</math>.
+\odp <math>\displaystyle \sum_{i=0}^m{m+n\choose i}</math>.
 </quiz>
+\etest
 66666666666666666666666666666
 {article}
-{../makraT}
+\input{../makraT}
+\newpage
+\parindent 0mm
+\beginLarge
-mm
 {| border=1
 |+ <span style="font-variant:small-caps">Uzupelnij tytul</span>
@@ Linia 91: / Linia 133: @@
 |}
-mm
+  \endLarge
+\parindent 10mm
+\btest
 <quiz>Niech <math>\displaystyle n_{\pi},n_{\sigma},n_{\rho}</math> będą kolejno liczbami permutacji w <math>\displaystyle S_7</math>
 tego samego typu co, odpowiednio,
 <math>\displaystyle \pi=(14)(26)(357)</math>, <math>\displaystyle \sigma=(1357)(246)</math>, <math>\displaystyle \rho=(12)(34)(56)(7)</math>. Wtedy:}
-</rightoption>  <math>\displaystyle n_{\pi}\leqslant n_{\tau}\leqslant n_{\rho}</math>
+\ok  <math>\displaystyle n_{\pi}\leqslant n_{\tau}\leqslant n_{\rho}</math>
-</rightoption>  <math>\displaystyle n_{\tau}\leqslant n_{\pi}\leqslant n_{\rho}</math>
+\ok  <math>\displaystyle n_{\tau}\leqslant n_{\pi}\leqslant n_{\rho}</math>
-</wrongoption> <math>\displaystyle n_{\rho}\leqslant n_{\pi}\leqslant n_{\tau}</math>
+\odp <math>\displaystyle n_{\rho}\leqslant n_{\pi}\leqslant n_{\tau}</math>
-</wrongoption> <math>\displaystyle n_{\pi}\leqslant n_{\rho}\leqslant n_{\tau}</math>
+\odp <math>\displaystyle n_{\pi}\leqslant n_{\rho}\leqslant n_{\tau}</math>
 </quiz>
 <quiz>Dla sprzężonych permutacji <math>\displaystyle \pi,\sigma\in S_{13}</math> zachodzi:}
-</rightoption>  <math>\displaystyle \pi</math> i <math>\displaystyle \sigma</math> mają tyle samo cykli <math>\displaystyle 4</math>-elementowych
+\ok  <math>\displaystyle \pi</math> i <math>\displaystyle \sigma</math> mają tyle samo cykli <math>\displaystyle 4</math>-elementowych
-</wrongoption> elementy <math>\displaystyle 1</math> i <math>\displaystyle 2</math> albo są w tym samym cyklu w obu permutacjach,
+\odp elementy <math>\displaystyle 1</math> i <math>\displaystyle 2</math> albo są w tym samym cyklu w obu permutacjach,
      albo nie są w tym samym cyklu w obu permutacjach
-</rightoption>  <math>\displaystyle \pi</math> i <math>\displaystyle \sigma</math> mają ten sam typ
+\ok  <math>\displaystyle \pi</math> i <math>\displaystyle \sigma</math> mają ten sam typ
-</rightoption>  <math>\displaystyle \pi</math> i <math>\displaystyle \sigma</math> mają ten sam znak
+\ok  <math>\displaystyle \pi</math> i <math>\displaystyle \sigma</math> mają ten sam znak
 </quiz>
 <quiz>Dla <math>\displaystyle n\geqslant 2</math>,
      podziałowa liczba Stirlinga  <math>\displaystyle \left\{\begin{array} {c}n\\ 2\end{array} \right\}</math> wynosi:}
-</wrongoption> <math>\displaystyle \sum_{k=1}^{n-1}{n\choose k}k!=\sum_{k=1}^{n-1}\frac{n!}{k!}</math>
+\odp <math>\displaystyle \sum_{k=1}^{n-1}{n\choose k}k!=\sum_{k=1}^{n-1}\frac{n!}{k!}</math>
-</wrongoption> <math>\displaystyle n!\sum_{k=1}^{n-1}\frac{1}{k(n-k)}</math>
+\odp <math>\displaystyle n!\sum_{k=1}^{n-1}\frac{1}{k(n-k)}</math>
-</wrongoption> <math>\displaystyle n!\sum_{k=1}^{n-1}\frac{1}{k(n-k)}</math>
+\odp <math>\displaystyle n!\sum_{k=1}^{n-1}\frac{1}{k(n-k)}</math>
-</rightoption>  <math>\displaystyle \frac{n!}{2}\sum_{k=1}^{n-1}\frac{1}{k(n-k)}</math>
+\ok  <math>\displaystyle \frac{n!}{2}\sum_{k=1}^{n-1}\frac{1}{k(n-k)}</math>
 </quiz>
@@ Linia 121: / Linia 166: @@
 (czyli stosunek sumarycznej liczby cykli we wszystkich permutacjach <math>\displaystyle n</math>-elementowych
 do liczby cykli <math>\displaystyle n</math>-elementowych) to:}
-</wrongoption> <math>\displaystyle 2n</math>
+\odp <math>\displaystyle 2n</math>
-</wrongoption> <math>\displaystyle \left\lfloor \frac{n}{\lg{n}} \right\rfloor+1</math>
+\odp <math>\displaystyle \left\lfloor \frac{n}{\lg{n}} \right\rfloor+1</math>
-</rightoption>  <math>\displaystyle \sum_{k=1}^n \frac{1}{k}</math>
+\ok  <math>\displaystyle \sum_{k=1}^n \frac{1}{k}</math>
-</wrongoption> <math>\displaystyle \frac{n}{2}</math>
+\odp <math>\displaystyle \frac{n}{2}</math>
 </quiz>
 <quiz>Podziałowa liczba Stirlinga<math>\displaystyle \left\{\begin{array} {c}7\\ 4\end{array} \right\}</math> wynosi}
-</wrongoption> <math>\displaystyle 90</math>
+\odp <math>\displaystyle 90</math>
-</wrongoption> <math>\displaystyle 140</math>
+\odp <math>\displaystyle 140</math>
-</wrongoption> <math>\displaystyle 301</math>
+\odp <math>\displaystyle 301</math>
-</rightoption>  <math>\displaystyle 350</math>
+\ok  <math>\displaystyle 350</math>
 </quiz>
 <quiz>Jednomian <math>\displaystyle x^n</math> jest równy:}
-</rightoption>  <math>\displaystyle \sum_i\left\{\begin{array} {c}n\\ i\end{array} \right\}x^{\underline{i}}</math>
+\ok  <math>\displaystyle \sum_i\left\{\begin{array} {c}n\\ i\end{array} \right\}x^{\underline{i}}</math>
-</wrongoption> <math>\displaystyle B_nx^{\underline{n}}</math>, gdzie <math>\displaystyle B_n</math> jest <math>\displaystyle n</math>-tą liczbą Bella
+\odp <math>\displaystyle B_nx^{\underline{n}}</math>, gdzie <math>\displaystyle B_n</math> jest <math>\displaystyle n</math>-tą liczbą Bella
-</wrongoption> <math>\displaystyle \sum_i\left[\begin{array} {c}n\\ i\end{array} \right]x^{\overline{i}}</math>
+\odp <math>\displaystyle \sum_i\left[\begin{array} {c}n\\ i\end{array} \right]x^{\overline{i}}</math>
-</rightoption>  <math>\displaystyle \sum_i\left\{\begin{array} {c}n\\ i\end{array} \right\}(-1)^{n-i}x^{\overline{i}}</math>
+\ok  <math>\displaystyle \sum_i\left\{\begin{array} {c}n\\ i\end{array} \right\}(-1)^{n-i}x^{\overline{i}}</math>
 </quiz>
 <quiz>Na ile sposobów można rozłożyć <math>\displaystyle a</math> rozróżnialnych obiektów
 do dokładnie <math>\displaystyle b</math> rozróżnialnych szuflad, tak by każda szufladka była niepusta?}
-</wrongoption> <math>\displaystyle b^a</math>
+\odp <math>\displaystyle b^a</math>
-</wrongoption> <math>\displaystyle \left\{\begin{array} {c}a\\ b\end{array} \right\}</math>
+\odp <math>\displaystyle \left\{\begin{array} {c}a\\ b\end{array} \right\}</math>
-</rightoption>  <math>\displaystyle b!\left\{\begin{array} {c}a\\ b\end{array} \right\}</math>
+\ok  <math>\displaystyle b!\left\{\begin{array} {c}a\\ b\end{array} \right\}</math>
-</wrongoption> <math>\displaystyle {a-1\choose b-1}</math>
+\odp <math>\displaystyle {a-1\choose b-1}</math>
 </quiz>
 <quiz>Na ile sposobów można rozłożyć <math>\displaystyle a</math> nierozróżnialnych obiektów
 do co najwyżej <math>\displaystyle b</math> rozróżnialnych szuflad?}
-</wrongoption> <math>\displaystyle {a-1\choose b-1}</math>
+\odp <math>\displaystyle {a-1\choose b-1}</math>
-</rightoption>  <math>\displaystyle {b+a-1\choose b-1}</math>
+\ok  <math>\displaystyle {b+a-1\choose b-1}</math>
-</wrongoption> <math>\displaystyle \left\{\begin{array} {c}a\\ b\end{array} \right\}</math>
+\odp <math>\displaystyle \left\{\begin{array} {c}a\\ b\end{array} \right\}</math>
-</wrongoption> <math>\displaystyle \sum_{i=1}^b\left\{\begin{array} {c}a\\ i\end{array} \right\}</math>
+\odp <math>\displaystyle \sum_{i=1}^b\left\{\begin{array} {c}a\\ i\end{array} \right\}</math>
 </quiz>
@@ Linia 160: / Linia 205: @@
 na sumy dokładnie <math>\displaystyle k</math> nieujemnych całkowitych składników,
 to <math>\displaystyle \lim_{n\rightarrow\infty}\frac{P(n,k)}{n^k}</math> wynosi:}
-</rightoption>  <math>\displaystyle 0</math>
+\ok  <math>\displaystyle 0</math>
-</wrongoption> <math>\displaystyle \frac{1}{k!(k-1)!}</math>
+\odp <math>\displaystyle \frac{1}{k!(k-1)!}</math>
-</wrongoption> <math>\displaystyle \frac{1}{k}</math>
+\odp <math>\displaystyle \frac{1}{k}</math>
-</wrongoption> <math>\displaystyle 1</math>
+\odp <math>\displaystyle 1</math>
 </quiz>
 <quiz>Na ile sposobów można podzielić zbiór <math>\displaystyle a</math> elementowy na <math>\displaystyle b+c</math> bloków,
 przy czym <math>\displaystyle b</math> bloków jest wyróżnionych?}
-</rightoption>  <math>\displaystyle \left\{\begin{array} {c}a\\ b+c\end{array} \right\}{b+c\choose b}</math>
+\ok  <math>\displaystyle \left\{\begin{array} {c}a\\ b+c\end{array} \right\}{b+c\choose b}</math>
-</rightoption>  <math>\displaystyle \sum_k{a\choose k}\left\{\begin{array} {c}k\\ b\end{array} \right\}\left\{\begin{array} {c}a-k\\ c\end{array} \right\}</math>
+\ok  <math>\displaystyle \sum_k{a\choose k}\left\{\begin{array} {c}k\\ b\end{array} \right\}\left\{\begin{array} {c}a-k\\ c\end{array} \right\}</math>
-</wrongoption> <math>\displaystyle \left\{\begin{array} {c}a\\ b\end{array} \right\}\left\{\begin{array} {c}a-b\\ c\end{array} \right\}</math>
+\odp <math>\displaystyle \left\{\begin{array} {c}a\\ b\end{array} \right\}\left\{\begin{array} {c}a-b\\ c\end{array} \right\}</math>
-</wrongoption> <math>\displaystyle \left\{\begin{array} {c}a\\ b+c\end{array} \right\}b!</math>
+\odp <math>\displaystyle \left\{\begin{array} {c}a\\ b+c\end{array} \right\}b!</math>
 </quiz>
+\etest
 -------------------------------------------------
@@ Linia 179: / Linia 226: @@
 {article}
-{../makraT}
+\input{../makraT}
+\newpage
+\parindent 0mm
+\beginLarge
-mm
 {| border=1
 |+ <span style="font-variant:small-caps">Uzupelnij tytul</span>
@@ Linia 192: / Linia 242: @@
 |}
-mm
+  \endLarge
+\parindent 10mm
+\btest
 <quiz>Na ile sposobów można rozmienić  <math>\displaystyle 25 </math>  centów za pomocą monet  <math>\displaystyle 1 </math> ,  <math>\displaystyle 5 </math> ,  <math>\displaystyle 10 </math>
 oraz  <math>\displaystyle 25 </math>  centowych?}
-  </wrongoption>{ <math>\displaystyle 6 </math> }
+  <wrongoption> <math>\displaystyle 6 </math> }
-  </wrongoption>{ <math>\displaystyle 12 </math> }
+  <wrongoption> <math>\displaystyle 12 </math> }
-  </rightoption>{ <math>\displaystyle 13 </math> }
+  <rightoption> <math>\displaystyle 13 </math> }
-  </wrongoption>{ <math>\displaystyle 49 </math> }
+  <wrongoption> <math>\displaystyle 49 </math> }
 </quiz>
@@ Linia 206: / Linia 259: @@
 tzn. istnieje funkcja tworząca  <math>\displaystyle U\!\left( x \right) </math>  taka,
 że  <math>\displaystyle U\!\left( x \right)G\!\left( x \right)=1 </math>  }
-  </wrongoption>{jeśli  <math>\displaystyle g_0\neq 1 </math> }
+  <wrongoption>jeśli  <math>\displaystyle g_0\neq 1 </math> }
-  </rightoption>{jeśli  <math>\displaystyle g_0\neq 0 </math> }
+  <rightoption>jeśli  <math>\displaystyle g_0\neq 0 </math> }
-  </rightoption>{jeśli wszystkie  <math>\displaystyle g_i\neq0 </math> }
+  <rightoption>jeśli wszystkie  <math>\displaystyle g_i\neq0 </math> }
-  </rightoption>{wtedy i tylko wtedy, gdy  <math>\displaystyle g_0\neq0 </math> }
+  <rightoption>wtedy i tylko wtedy, gdy  <math>\displaystyle g_0\neq0 </math> }
 </quiz>
@@ Linia 215: / Linia 268: @@
   <math>\displaystyle G\!\left( x \right)=\left( \sum_{n=0}^{\infty}x^n \right)\cdot\left( 1+xG\!\left( x \right) \right) </math>
 jest funkcją tworzącą:}
-</wrongoption>{ciągu  <math>\displaystyle 1,1,2,4,8,16,32,\ldots, 2^{n-1},\dots </math> }
+<wrongoption>ciągu  <math>\displaystyle 1,1,2,4,8,16,32,\ldots, 2^{n-1},\dots </math> }
-</rightoption>{ciągu geometrycznego  <math>\displaystyle g_n=2^n </math> }
+<rightoption>ciągu geometrycznego  <math>\displaystyle g_n=2^n </math> }
-</wrongoption>{nie ma takiego ciągu}
+<wrongoption>nie ma takiego ciągu}
-</wrongoption>{nie istnieje taka funkcja tworząca}
+<wrongoption>nie istnieje taka funkcja tworząca}
 </quiz>
@@ Linia 224: / Linia 277: @@
   <math>\displaystyle G\!\left( x \right)=G'\!\left( x \right) </math>  oraz  <math>\displaystyle G\!\left( 0 \right)=1 </math>
 jest funkcją tworzącą ciągu:}
-</wrongoption>{ <math>\displaystyle g_n=\frac{1}{n} </math> }
+<wrongoption> <math>\displaystyle g_n=\frac{1}{n} </math> }
-</rightoption>{ <math>\displaystyle g_n=\frac{1}{n!} </math> }
+<rightoption> <math>\displaystyle g_n=\frac{1}{n!} </math> }
-</wrongoption>{ <math>\displaystyle g_n=1 </math> }
+<wrongoption> <math>\displaystyle g_n=1 </math> }
-</wrongoption>{ <math>\displaystyle g_0=1 </math>  oraz  <math>\displaystyle g_n=0 </math>  dla  <math>\displaystyle n>1 </math> }
+<wrongoption> <math>\displaystyle g_0=1 </math>  oraz  <math>\displaystyle g_n=0 </math>  dla  <math>\displaystyle n>1 </math> }
 </quiz>
 <quiz>Niech  <math>\displaystyle G\!\left( x \right)=\left( 1+x \right)^y </math> , gdzie  <math>\displaystyle y </math>  jest liczba rzeczywistą.
 Jeśli  <math>\displaystyle G\!\left( x \right)=\sum_{n=0}^{\infty}g_n x^n </math> , to:}
-</wrongoption>{ <math>\displaystyle g_n=\frac{\left( y+n \right)^{\underline{n}}}{n} </math> }
+<wrongoption> <math>\displaystyle g_n=\frac{\left( y+n \right)^{\underline{n}}}{n} </math> }
-</wrongoption>{ <math>\displaystyle g_n=\frac{y^n}{n!} </math> }
+<wrongoption> <math>\displaystyle g_n=\frac{y^n}{n!} </math> }
-</wrongoption>{ <math>\displaystyle g_n={ y+n \choose n }=\frac{\left( y+n \right)^{\underline{n}}}{n!} </math> }
+<wrongoption> <math>\displaystyle g_n={ y+n \choose n }=\frac{\left( y+n \right)^{\underline{n}}}{n!} </math> }
-</rightoption>{ <math>\displaystyle g_n={ y \choose n }=\frac{y^{\underline{n}}}{n!} </math> }
+<rightoption> <math>\displaystyle g_n={ y \choose n }=\frac{y^{\underline{n}}}{n!} </math> }
 </quiz>
 <quiz>Suma  <math>\displaystyle \sum_{k=0}^{n}\left( 3k^2-3k+1 \right) </math>  wynosi:}
-</wrongoption>{ <math>\displaystyle 2n^3+3n+n </math> ,}
+<wrongoption> <math>\displaystyle 2n^3+3n+n </math> ,}
-</rightoption>{ <math>\displaystyle n^3 </math> ,}
+<rightoption> <math>\displaystyle n^3 </math> ,}
-</wrongoption>{ <math>\displaystyle \left( 2n^3+3n+n \right)/{6} </math> ,}
+<wrongoption> <math>\displaystyle \left( 2n^3+3n+n \right)/{6} </math> ,}
-</wrongoption>{ <math>\displaystyle 3n^3-3n^2+n </math> }
+<wrongoption> <math>\displaystyle 3n^3-3n^2+n </math> }
 </quiz>
 <quiz>Niech  <math>\displaystyle a_0=2 </math> ,  <math>\displaystyle a_1=3 </math> ,  <math>\displaystyle a_2=5 </math> , oraz  <math>\displaystyle a_{n+3}=7a_{n+2}-16a_{n+1}+12a_n </math> .
 Wtedy:}
-</wrongoption>{ <math>\displaystyle a_n=\left( 1-n \right)2^n+3^n </math> }
+<wrongoption> <math>\displaystyle a_n=\left( 1-n \right)2^n+3^n </math> }
-</rightoption>{ <math>\displaystyle a_n=\frac{1}{\sqrt{5}}\left( \left( \frac{1+\sqrt{5}}{2} \right)^{n+3}-\left( \frac{1-\sqrt{5}}{2} \right)^{n+3} \right) </math> }
+<rightoption> <math>\displaystyle a_n=\frac{1}{\sqrt{5}}\left( \left( \frac{1+\sqrt{5}}{2} \right)^{n+3}-\left( \frac{1-\sqrt{5}}{2} \right)^{n+3} \right) </math> }
-</wrongoption>{ <math>\displaystyle a_n=\frac{1}{\sqrt{5}}\left( \left( \frac{1+\sqrt{5}}{2} \right)^{n}-\left( \frac{1-\sqrt{5}}{2} \right)^{n} \right) </math> }
+<wrongoption> <math>\displaystyle a_n=\frac{1}{\sqrt{5}}\left( \left( \frac{1+\sqrt{5}}{2} \right)^{n}-\left( \frac{1-\sqrt{5}}{2} \right)^{n} \right) </math> }
-</wrongoption>{żadna z pozostałych odpowiedzi nie jest prawidłowa}
+<wrongoption>żadna z pozostałych odpowiedzi nie jest prawidłowa}
 </quiz>
+\etest
 --------------------------------
 8888888888888888888888888888888888888888888888
 {article}
-{../makraT}
+\input{../makraT}
+\newpage
+\parindent 0mm
+\beginLarge
-mm
 {| border=1
 |+ <span style="font-variant:small-caps">Uzupelnij tytul</span>
@@ Linia 270: / Linia 328: @@
 |}
-mm
+  \endLarge
+\parindent 10mm
+\btest
 <quiz>Liczby Catalana  <math>\displaystyle c_n </math>  spełniają zależność rekurencyjną:}
-</wrongoption>{ <math>\displaystyle c_n =\sum_{k=1}^{n-1} c_{k} </math> }
+<wrongoption> <math>\displaystyle c_n =\sum_{k=1}^{n-1} c_{k} </math> }
-</wrongoption>{ <math>\displaystyle c_n =\sum_{k=1}^{n} c_{k} </math> }
+<wrongoption> <math>\displaystyle c_n =\sum_{k=1}^{n} c_{k} </math> }
-</wrongoption>{ <math>\displaystyle c_n =\sum_{k=1}^{n-1} c_{k} c_{n-k} </math> }
+<wrongoption> <math>\displaystyle c_n =\sum_{k=1}^{n-1} c_{k} c_{n-k} </math> }
-</rightoption>{ <math>\displaystyle c_n =\sum_{k=1}^{n} c_{k-1} c_{n-k} </math> }
+<rightoption> <math>\displaystyle c_n =\sum_{k=1}^{n} c_{k-1} c_{n-k} </math> }
 </quiz>
 <quiz> <math>\displaystyle n </math> -ta liczba Catalana to:}
-</wrongoption>{ <math>\displaystyle {2n \choose n} </math> }
+<wrongoption> <math>\displaystyle {2n \choose n} </math> }
-</rightoption>{ <math>\displaystyle \frac{1}{n+1}{2n \choose n} </math> }
+<rightoption> <math>\displaystyle \frac{1}{n+1}{2n \choose n} </math> }
-</wrongoption>{ <math>\displaystyle {1/2 \choose n}\left( -4 \right)^n </math> }
+<wrongoption> <math>\displaystyle {1/2 \choose n}\left( -4 \right)^n </math> }
-</rightoption>{ <math>\displaystyle 2{1/2 \choose n+1}\left( -4 \right)^n </math> }
+<rightoption> <math>\displaystyle 2{1/2 \choose n+1}\left( -4 \right)^n </math> }
 </quiz>
 <quiz>Niech  <math>\displaystyle t_{10} </math>  będzie liczbą drzew  o wysokości  <math>\displaystyle 10 </math> . Wtedy:}
-</rightoption>{ <math>\displaystyle t_{10}\leq 2^{1023} </math> }
+<rightoption> <math>\displaystyle t_{10}\leq 2^{1023} </math> }
-</rightoption>{ <math>\displaystyle t_{10}\geq 2^{512} </math> }
+<rightoption> <math>\displaystyle t_{10}\geq 2^{512} </math> }
-</wrongoption>{ <math>\displaystyle t_{10}\leq 2^{10} </math> }
+<wrongoption> <math>\displaystyle t_{10}\leq 2^{10} </math> }
-</wrongoption>{ <math>\displaystyle t_{10}\geq 2^{9} </math> }
+<wrongoption> <math>\displaystyle t_{10}\geq 2^{9} </math> }
 </quiz>
 <quiz>Liczba podziałów liczby  <math>\displaystyle 16 </math>  na sumy złożone jedynie ze składników  <math>\displaystyle 1,2,4,8,16 </math>
 wynosi:}
-</wrongoption>{ <math>\displaystyle 25 </math> }
+<wrongoption> <math>\displaystyle 25 </math> }
-</wrongoption>{ <math>\displaystyle 26 </math> }
+<wrongoption> <math>\displaystyle 26 </math> }
-</rightoption>{ <math>\displaystyle 35 </math> }
+<rightoption> <math>\displaystyle 35 </math> }
-</wrongoption>{ <math>\displaystyle 165 </math> }
+<wrongoption> <math>\displaystyle 165 </math> }
 </quiz>
 <quiz>Funkcja tworząca podziału liczby na sumy jest przedstawialna jako:}
-</rightoption>{ <math>\displaystyle \prod_{k=1}^{\infty}\frac{1}{1-x^k} </math> }
+<rightoption> <math>\displaystyle \prod_{k=1}^{\infty}\frac{1}{1-x^k} </math> }
-</wrongoption>{ <math>\displaystyle \sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{1-x^k} </math> }
+<wrongoption> <math>\displaystyle \sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{1-x^k} </math> }
-</wrongoption>{ <math>\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty}\prod_{k=1}^{\infty}\frac{1}{1-x^{nk}} </math> }
+<wrongoption> <math>\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty}\prod_{k=1}^{\infty}\frac{1}{1-x^{nk}} </math> }
-</rightoption>{ <math>\displaystyle \prod_{k=1}^{\infty}\sum_{n=0}^{\infty}x^{nk} </math> }
+<rightoption> <math>\displaystyle \prod_{k=1}^{\infty}\sum_{n=0}^{\infty}x^{nk} </math> }
 </quiz>
@@ Linia 313: / Linia 374: @@
 dla cyklowych liczb Stirlinga  <math>\displaystyle \left[\begin{array} {c}n\\ m\end{array} \right] </math> , ma postać zwartą:
 }
-</rightoption>{ <math>\displaystyle s_n\!\left( x \right)=x^{\overline{n}} </math> }
+<rightoption> <math>\displaystyle s_n\!\left( x \right)=x^{\overline{n}} </math> }
-</rightoption>{ <math>\displaystyle s_n\!\left( x \right)=\prod_{k=0}^{n-1}\left( x+k \right) </math> }
+<rightoption> <math>\displaystyle s_n\!\left( x \right)=\prod_{k=0}^{n-1}\left( x+k \right) </math> }
-</wrongoption>{ <math>\displaystyle s_n\!\left( x \right)=x^{\underline{n}} </math> }
+<wrongoption> <math>\displaystyle s_n\!\left( x \right)=x^{\underline{n}} </math> }
-</wrongoption>{ <math>\displaystyle s_n\!\left( x \right)=1/\prod_{k=0}^{n-1}\left( 1-kx \right) </math> }
+<wrongoption> <math>\displaystyle s_n\!\left( x \right)=1/\prod_{k=0}^{n-1}\left( 1-kx \right) </math> }
 </quiz>
 <quiz>Podziałowe liczby Stirlinga spełniają zależność rekurencyjną:}
-</wrongoption>{ <math>\displaystyle \left\{\begin{array} {c}n\\ k\end{array} \right\}=\left( n-1 \right)\left\{\begin{array} {c}n-1\\ k\end{array} \right\}+\left\{\begin{array} {c}n-1\\ k-1\end{array} \right\} </math> , dla  <math>\displaystyle 0>k>n </math> }
+<wrongoption> <math>\displaystyle \left\{\begin{array} {c}n\\ k\end{array} \right\}=\left( n-1 \right)\left\{\begin{array} {c}n-1\\ k\end{array} \right\}+\left\{\begin{array} {c}n-1\\ k-1\end{array} \right\} </math> , dla  <math>\displaystyle 0>k>n </math> }
-</wrongoption>{ <math>\displaystyle \left\{\begin{array} {c}n+k\\ k\end{array} \right\}=\left\{\begin{array} {c}n+k-1\\ k\end{array} \right\}+k\left\{\begin{array} {c}n+k-1\\ k-1\end{array} \right\} </math> , dla  <math>\displaystyle n>1,\ k>0 </math> }
+<wrongoption> <math>\displaystyle \left\{\begin{array} {c}n+k\\ k\end{array} \right\}=\left\{\begin{array} {c}n+k-1\\ k\end{array} \right\}+k\left\{\begin{array} {c}n+k-1\\ k-1\end{array} \right\} </math> , dla  <math>\displaystyle n>1,\ k>0 </math> }
-</rightoption>{ <math>\displaystyle \left\{\begin{array} {c}n+k\\ k\end{array} \right\}=k\left\{\begin{array} {c}n+k-1\\ k\end{array} \right\}+\left\{\begin{array} {c}n+k-1\\ k-1\end{array} \right\} </math> , dla  <math>\displaystyle n>1,\ k>0 </math> }
+<rightoption> <math>\displaystyle \left\{\begin{array} {c}n+k\\ k\end{array} \right\}=k\left\{\begin{array} {c}n+k-1\\ k\end{array} \right\}+\left\{\begin{array} {c}n+k-1\\ k-1\end{array} \right\} </math> , dla  <math>\displaystyle n>1,\ k>0 </math> }
-</wrongoption>{żadna z pozostałych odpowiedzi nie jest prawidłowa}
+<wrongoption>żadna z pozostałych odpowiedzi nie jest prawidłowa}
 </quiz>
 <quiz> Niech  <math>\displaystyle a_0=1 </math> ,  <math>\displaystyle a_1=0 </math>  oraz  <math>\displaystyle a_n=\frac{a_{n-2}}{n} </math> .
 Funkcja  tworząca  <math>\displaystyle A\!\left( x \right)=\sum_{n=0}^{\infty}a_n x^n </math>  ma postać zwartą:}
-</wrongoption>{ <math>\displaystyle A\!\left( x \right)=\sin x </math> }
+<wrongoption> <math>\displaystyle A\!\left( x \right)=\sin x </math> }
-</wrongoption>{ <math>\displaystyle A\!\left( x \right)=e^{x^2} </math> }
+<wrongoption> <math>\displaystyle A\!\left( x \right)=e^{x^2} </math> }
-</rightoption>{ <math>\displaystyle A\!\left( x \right)=e^{x^2/2} </math> }
+<rightoption> <math>\displaystyle A\!\left( x \right)=e^{x^2/2} </math> }
-</wrongoption>{żadna z pozostałych odpowiedzi nie jest prawidłowa}
+<wrongoption>żadna z pozostałych odpowiedzi nie jest prawidłowa}
 </quiz>
+\etest
 999999999999999999999999999999999999999
 {article}
-{../makraT}
+\input{../makraT}
+\newpage
+\parindent 0mm
+\beginLarge
-mm
 {| border=1
 |+ <span style="font-variant:small-caps">Uzupelnij tytul</span>
@@ Linia 350: / Linia 416: @@
 |}
-mm
+  \endLarge
+\parindent 10mm
+\btest
 <quiz>Funkcja <math>\displaystyle n^2\lg{n}+\frac{n^2\sqrt{n}}{\lg{n}}</math> jest:}
-</wrongoption> <math>\displaystyle \Theta(n^2\lg{n})</math>
+\odp <math>\displaystyle \Theta(n^2\lg{n})</math>
-</wrongoption> <math>\displaystyle O(n^2\lg{n})</math>
+\odp <math>\displaystyle O(n^2\lg{n})</math>
-</wrongoption> <math>\displaystyle \Theta{n^2\sqrt{n}}</math>
+\odp <math>\displaystyle \Theta{n^2\sqrt{n}}</math>
-</rightoption>  <math>\displaystyle O(\frac{n^2\sqrt{n}}{\lg{n}})</math>
+\ok  <math>\displaystyle O(\frac{n^2\sqrt{n}}{\lg{n}})</math>
 </quiz>
 <quiz>Funkcja <math>\displaystyle \frac{n^9}{\lg^{10}n}</math> jest:}
-</wrongoption> <math>\displaystyle O(n^{\frac{9}{10}})</math>
+\odp <math>\displaystyle O(n^{\frac{9}{10}})</math>
-</wrongoption> <math>\displaystyle O(n)</math>
+\odp <math>\displaystyle O(n)</math>
-</rightoption>  <math>\displaystyle O(n^9)</math>
+\ok  <math>\displaystyle O(n^9)</math>
-</rightoption>  <math>\displaystyle \Omega(\lg^{10}n)</math>
+\ok  <math>\displaystyle \Omega(\lg^{10}n)</math>
 </quiz>
 <quiz>Dla <math>\displaystyle f(n)=2^{\lg{n}+1}</math> oraz <math>\displaystyle g(n)=\lg{2n}-1</math> zachodzi:}
-</wrongoption> <math>\displaystyle f(x)=\omega(g(x))</math>
+\odp <math>\displaystyle f(x)=\omega(g(x))</math>
-</rightoption>  <math>\displaystyle f(x)=\Omega(g(x))</math>
+\ok  <math>\displaystyle f(x)=\Omega(g(x))</math>
-</rightoption>  <math>\displaystyle f(x)=\Theta(g(x))</math>
+\ok  <math>\displaystyle f(x)=\Theta(g(x))</math>
-</rightoption>  <math>\displaystyle f(x)=O(g(x))</math>
+\ok  <math>\displaystyle f(x)=O(g(x))</math>
-</wrongoption> <math>\displaystyle f(x)=o(g(x))</math>
+\odp <math>\displaystyle f(x)=o(g(x))</math>
 </quiz>
 <quiz>Dowolny wielomian <math>\displaystyle k</math>-tego stopnia jest:}
-</rightoption>  <math>\displaystyle \Omega(n^k)</math>
+\ok  <math>\displaystyle \Omega(n^k)</math>
-</rightoption>  <math>\displaystyle \Theta(n^k)</math>
+\ok  <math>\displaystyle \Theta(n^k)</math>
-</rightoption>  <math>\displaystyle O(n^k)</math>
+\ok  <math>\displaystyle O(n^k)</math>
-</rightoption>  <math>\displaystyle o(n^{k+\varepsilon})</math> dla dowolnego <math>\displaystyle \varepsilon>0</math>
+\ok  <math>\displaystyle o(n^{k+\varepsilon})</math> dla dowolnego <math>\displaystyle \varepsilon>0</math>
 </quiz>
 <quiz>Dla <math>\displaystyle f(n)=\frac{\lg n}{n}</math> oraz <math>\displaystyle g(n)=\frac{1}{\sqrt{n}}</math> zachodzi:}
-</wrongoption> <math>\displaystyle f(x)=\omega(g(x))</math>
+\odp <math>\displaystyle f(x)=\omega(g(x))</math>
-</wrongoption> <math>\displaystyle f(x)=\Omega(g(x))</math>
+\odp <math>\displaystyle f(x)=\Omega(g(x))</math>
-</wrongoption> <math>\displaystyle f(x)=\Theta(g(x))</math>
+\odp <math>\displaystyle f(x)=\Theta(g(x))</math>
-</rightoption>  <math>\displaystyle f(x)=O(g(x))</math>
+\ok  <math>\displaystyle f(x)=O(g(x))</math>
-</rightoption>  <math>\displaystyle f(x)=o(g(x))</math>
+\ok  <math>\displaystyle f(x)=o(g(x))</math>
 </quiz>
 <quiz>Dla <math>\displaystyle f(x)=x^2</math> oraz <math>\displaystyle g(x)=x^2+\sin x</math> zachodzi:}
-</rightoption>  <math>\displaystyle f(x)=\Omega(g(x))</math>
+\ok  <math>\displaystyle f(x)=\Omega(g(x))</math>
-</rightoption>  <math>\displaystyle f(x)=\Theta(g(x))</math>
+\ok  <math>\displaystyle f(x)=\Theta(g(x))</math>
-</rightoption>  <math>\displaystyle f(x)=O(g(x))</math>
+\ok  <math>\displaystyle f(x)=O(g(x))</math>
-</wrongoption> żadne z pozostałych
+\odp żadne z pozostałych
 </quiz>
 <quiz>Dla <math>\displaystyle T(n)=9T(\frac{n}{3})+\frac{n^2}{\lg n}</math>:}
-</wrongoption> możemy skorzystać z pierwszego punktu Tw. o rekurencji uniwersalnej i <math>\displaystyle T(n)=\Theta(n^2)</math>
+\odp możemy skorzystać z pierwszego punktu Tw. o rekurencji uniwersalnej i <math>\displaystyle T(n)=\Theta(n^2)</math>
-</wrongoption> możemy skorzystać z drugiego punktu Tw. o rekurencji uniwersalnej i <math>\displaystyle T(n)=\Theta(n^2\lg n)</math>
+\odp możemy skorzystać z drugiego punktu Tw. o rekurencji uniwersalnej i <math>\displaystyle T(n)=\Theta(n^2\lg n)</math>
-</wrongoption> możemy skorzystać z trzeciego punktu Tw. o rekurencji uniwersalnej i <math>\displaystyle T(n)=\Theta(\frac{n^2}{\lg n})</math>
+\odp możemy skorzystać z trzeciego punktu Tw. o rekurencji uniwersalnej i <math>\displaystyle T(n)=\Theta(\frac{n^2}{\lg n})</math>
-</rightoption>  żadne z pozostałych
+\ok  żadne z pozostałych
 </quiz>
 <quiz>Dla <math>\displaystyle T(n)=25T(\frac{n}{4})+\frac{n^2}{\lg n}</math>}
-</rightoption>  możemy skorzystać z pierwszego punktu Tw. o rekurencji uniwersalnej i <math>\displaystyle T(n)=\Theta(n^{\lg_4{25}})</math>
+\ok  możemy skorzystać z pierwszego punktu Tw. o rekurencji uniwersalnej i <math>\displaystyle T(n)=\Theta(n^{\lg_4{25}})</math>
-</wrongoption> możemy skorzystać z drugiego punktu Tw. o rekurencji uniwersalnej i <math>\displaystyle T(n)=\Theta(n^2)</math>
+\odp możemy skorzystać z drugiego punktu Tw. o rekurencji uniwersalnej i <math>\displaystyle T(n)=\Theta(n^2)</math>
-</wrongoption> możemy skorzystać z trzeciego punktu Tw. o rekurencji uniwersalnej i <math>\displaystyle T(n)=\Theta(\frac{n^2}{\lg n})</math>
+\odp możemy skorzystać z trzeciego punktu Tw. o rekurencji uniwersalnej i <math>\displaystyle T(n)=\Theta(\frac{n^2}{\lg n})</math>
-</wrongoption> żadne z pozostałych
+\odp żadne z pozostałych
 </quiz>
 <quiz>Funkcja spełniająca zależność <math>\displaystyle T(n)=T(\frac{n}{2})+1</math> jest:}
-</rightoption>  <math>\displaystyle \Theta(\lg n)</math>
+\ok  <math>\displaystyle \Theta(\lg n)</math>
-</rightoption>  <math>\displaystyle \Theta(n)</math>
+\ok  <math>\displaystyle \Theta(n)</math>
-</rightoption>  <math>\displaystyle O(n)</math>
+\ok  <math>\displaystyle O(n)</math>
-</wrongoption> żadne z pozostałych
+\odp żadne z pozostałych
 </quiz>
+\etest
 101010101010101010101010101010101010
 {article}
-{../makraT}
+\input{../makraT}
+\newpage
+\parindent 0mm
+\beginLarge
-mm
 {| border=1
 |+ <span style="font-variant:small-caps">Uzupelnij tytul</span>
@@ Linia 433: / Linia 507: @@
 |}
-mm
+  \endLarge
+\parindent 10mm
+\btest
 <quiz>Liczb naturalnych <math>\displaystyle n>1</math> w rozkładzie których
 występują wszystkie liczby pierwsze niewiększe od <math>\displaystyle n</math> jest:}
-</wrongoption> nieskończenie wiele
+\odp nieskończenie wiele
-</rightoption>  co najmniej jedna
+\ok  co najmniej jedna
-</rightoption>  skończenie wiele
+\ok  skończenie wiele
-</wrongoption> nie ma takich liczb
+\odp nie ma takich liczb
 </quiz>
 <quiz>Liczb pierwszych postaci <math>\displaystyle 91n+7</math>, dla <math>\displaystyle n\in\mathbb{N}</math> jest:}
-</wrongoption> nie ma takich liczb
+\odp nie ma takich liczb
-</rightoption>  dokładnie jedna
+\ok  dokładnie jedna
-</rightoption>  skończenie wiele
+\ok  skończenie wiele
-</wrongoption> nieskończenie wiele
+\odp nieskończenie wiele
 </quiz>
 <quiz>Jeśli w ciągu postaci <math>\displaystyle \left\lbrace an+b \right\rbrace_{n\in\mathbb{N}}</math>, gdzie <math>\displaystyle a,b\in\mathbb{N}</math>,
 są przynajmniej dwie liczby pierwsze, to}
-</rightoption>  jest ich nieskończenie wiele
+\ok  jest ich nieskończenie wiele
-</wrongoption> wszystkie liczby tego ciągu są pierwsze
+\odp wszystkie liczby tego ciągu są pierwsze
-</wrongoption> może ich być tylko skończenie wiele
+\odp może ich być tylko skończenie wiele
-</rightoption>  <math>\displaystyle a</math> i <math>\displaystyle b</math> są względnie pierwsze
+\ok  <math>\displaystyle a</math> i <math>\displaystyle b</math> są względnie pierwsze
 </quiz>
 <quiz>Jeśli <math>\displaystyle p</math> jest dowolną liczbą pierwszą, to sito Eratostenesa
 zastosowane do liczby <math>\displaystyle p^2+2</math> jako ostatnią skreśli:}
-</wrongoption> <math>\displaystyle p</math>
+\odp <math>\displaystyle p</math>
-</rightoption>  <math>\displaystyle p^2</math>
+\ok  <math>\displaystyle p^2</math>
-</wrongoption> <math>\displaystyle p^2+1</math>
+\odp <math>\displaystyle p^2+1</math>
-</wrongoption> <math>\displaystyle p^2+2</math>
+\odp <math>\displaystyle p^2+2</math>
 </quiz>
-<quiz>Jeśli <math>\displaystyle a|bc</math> oraz   NWD <math>\displaystyle  (a,b)=d</math>, to}
+<quiz>Jeśli <math>\displaystyle a|bc</math> oraz  \sf NWD <math>\displaystyle  (a,b)=d</math>, to}
-</rightoption>  <math>\displaystyle \frac{a}{d}|c</math>
+\ok  <math>\displaystyle \frac{a}{d}|c</math>
-</rightoption>  <math>\displaystyle a|cd</math>
+\ok  <math>\displaystyle a|cd</math>
-</rightoption>  <math>\displaystyle \frac{a}{d}\perp b</math>
+\ok  <math>\displaystyle \frac{a}{d}\perp b</math>
-</rightoption>  <math>\displaystyle \frac{a}{d}\perp\frac{b}{d}</math>
+\ok  <math>\displaystyle \frac{a}{d}\perp\frac{b}{d}</math>
 </quiz>
 <quiz>Liczb pierwszych postaci <math>\displaystyle n^2-1</math>, gdzie <math>\displaystyle n\in\mathbb{N}</math>, jest:}
-</wrongoption> <math>\displaystyle 0</math>
+\odp <math>\displaystyle 0</math>
-</rightoption>  <math>\displaystyle 1</math>
+\ok  <math>\displaystyle 1</math>
-</rightoption>  skończenie wiele
+\ok  skończenie wiele
-</wrongoption> nieskończenie wiele
+\odp nieskończenie wiele
 </quiz>
 <quiz>Jeśli <math>\displaystyle a</math> i <math>\displaystyle b</math> są liczbami złożonymi to}
-</wrongoption>   NWD <math>\displaystyle  (a,b)>1</math>
+\odp  \sf NWD <math>\displaystyle  (a,b)>1</math>
-</rightoption>  <math>\displaystyle \frac{a}{ </math>  NWD <math>\displaystyle  (a,b)}\perp\frac{b}{ </math>  NWD <math>\displaystyle  (a,b)}</math>
+\ok  <math>\displaystyle \frac{a}{ </math> \sf NWD <math>\displaystyle  (a,b)}\perp\frac{b}{ </math> \sf NWD <math>\displaystyle  (a,b)}</math>
-</wrongoption> jedna z liczb <math>\displaystyle \frac{a}{ </math>  NWD <math>\displaystyle  (a,b)}</math>, <math>\displaystyle \frac{b}{ </math>  NWD <math>\displaystyle  (a,b)}</math> jest pierwsza
+\odp jedna z liczb <math>\displaystyle \frac{a}{ </math> \sf NWD <math>\displaystyle  (a,b)}</math>, <math>\displaystyle \frac{b}{ </math> \sf NWD <math>\displaystyle  (a,b)}</math> jest pierwsza
-</wrongoption> jeśli <math>\displaystyle a\perp b</math>, to przynajmniej jedna z liczb <math>\displaystyle a-b</math>, <math>\displaystyle a+b</math> jest parzysta
+\odp jeśli <math>\displaystyle a\perp b</math>, to przynajmniej jedna z liczb <math>\displaystyle a-b</math>, <math>\displaystyle a+b</math> jest parzysta
 </quiz>
 <quiz>Jeśli <math>\displaystyle a|c</math> i <math>\displaystyle b|c</math>, to}
-</wrongoption>   NWD <math>\displaystyle  (a,b)>1</math>
+\odp  \sf NWD <math>\displaystyle  (a,b)>1</math>
-</wrongoption>   NWD <math>\displaystyle  (a,b)<c</math>
+\odp  \sf NWD <math>\displaystyle  (a,b)<c</math>
-</rightoption>  jeśli   NWD <math>\displaystyle  (a,b)>1</math>, to   NWW <math>\displaystyle  (a,b)<c</math>
+\ok  jeśli  \sf NWD <math>\displaystyle  (a,b)>1</math>, to  \sf NWW <math>\displaystyle  (a,b)<c</math>
-</rightoption>    NWW <math>\displaystyle  (a,b)\leqslant c</math>
+\ok   \sf NWW <math>\displaystyle  (a,b)\leqslant c</math>
 </quiz>
 <quiz>Rosnący ciąg arytmetyczny rozpoczynający się od <math>\displaystyle 1</math>:}
-</rightoption>  zawsze zawiera nieskończenie wiele liczb pierwszych
+\ok  zawsze zawiera nieskończenie wiele liczb pierwszych
-</wrongoption> może zawierać tylko skończenie wiele liczb pierwszych
+\odp może zawierać tylko skończenie wiele liczb pierwszych
-</wrongoption> zawsze zawiera tylko skończenie wiele liczb pierwszych
+\odp zawsze zawiera tylko skończenie wiele liczb pierwszych
-</wrongoption> może nie zawierać żadnej liczby pierwszej
+\odp może nie zawierać żadnej liczby pierwszej
 </quiz>
+\etest
 11111111111111111111111111111111
 {article}
-{../makraT}
+\input{../makraT}
+\newpage
+\parindent 0mm
+\beginLarge
-mm
 {| border=1
 |+ <span style="font-variant:small-caps">Uzupelnij tytul</span>
@@ Linia 517: / Linia 599: @@
 |}
-mm
+  \endLarge
+\parindent 10mm
+\btest
 <quiz>Jeśli <math>\displaystyle d\perp n</math> oraz  <math>\displaystyle acd\equiv_{cn}bcd</math>, to}
-</rightoption>  <math>\displaystyle a\equiv_nb</math>
+\ok  <math>\displaystyle a\equiv_nb</math>
-</rightoption>  <math>\displaystyle ad\equiv_nbd</math>
+\ok  <math>\displaystyle ad\equiv_nbd</math>
-</rightoption>  <math>\displaystyle acd\equiv_nbcd</math>
+\ok  <math>\displaystyle acd\equiv_nbcd</math>
-</wrongoption> <math>\displaystyle ac\equiv_{nd}bc</math>
+\odp <math>\displaystyle ac\equiv_{nd}bc</math>
 </quiz>
 <quiz>Równanie <math>\displaystyle 7x\equiv_{91}4</math>}
-</wrongoption> nie ma rozwiązania
+\odp nie ma rozwiązania
-</wrongoption> ma skończenie wiele rozwiązań
+\odp ma skończenie wiele rozwiązań
-</wrongoption> zbiór wszystkich jego rozwiązań jest postaci <math>\displaystyle \left\lbrace 13n+c:n\in\ N \right\rbrace</math> dla pewnego <math>\displaystyle c\in\mathbb{N}</math>
+\odp zbiór wszystkich jego rozwiązań jest postaci <math>\displaystyle \left\lbrace 13n+c:n\in\ N \right\rbrace</math> dla pewnego <math>\displaystyle c\in\mathbb{N}</math>
-</rightoption>  zbiór wszystkich rozwiązań jest postaci <math>\displaystyle \left\lbrace 91n+c:n\in\mathbb{N} \right\rbrace</math> dla pewnego <math>\displaystyle c\in\mathbb{N}</math>
+\ok  zbiór wszystkich rozwiązań jest postaci <math>\displaystyle \left\lbrace 91n+c:n\in\mathbb{N} \right\rbrace</math> dla pewnego <math>\displaystyle c\in\mathbb{N}</math>
 </quiz>
@@ Linia 540: / Linia 625: @@
 }
-</rightoption>  ma całkowite rozwiązanie mniejsze od 2006
+\ok  ma całkowite rozwiązanie mniejsze od 2006
-</wrongoption> <math>\displaystyle 2006</math> jest jego jedynym rozwiązaniem
+\odp <math>\displaystyle 2006</math> jest jego jedynym rozwiązaniem
-</wrongoption> wszystkie jego rozwiązania są postaci <math>\displaystyle 2006\cdot n</math>, gdzie <math>\displaystyle n\in\mathbb{Z}</math>
+\odp wszystkie jego rozwiązania są postaci <math>\displaystyle 2006\cdot n</math>, gdzie <math>\displaystyle n\in\mathbb{Z}</math>
-</rightoption>  wszystkie jego rozwiązania są postaci <math>\displaystyle 2007n+2006</math>
+\ok  wszystkie jego rozwiązania są postaci <math>\displaystyle 2007n+2006</math>
 </quiz>
 <quiz>Dla <math>\displaystyle a<b</math> warunek <math>\displaystyle \varphi(a)\leqslant\varphi(b)</math> zachodzi jeśli}
-</wrongoption> <math>\displaystyle a\leqslant b</math>
+\odp <math>\displaystyle a\leqslant b</math>
-</rightoption>  <math>\displaystyle a|b</math>
+\ok  <math>\displaystyle a|b</math>
-</wrongoption> <math>\displaystyle a\perp b</math>
+\odp <math>\displaystyle a\perp b</math>
-</rightoption>  <math>\displaystyle a\leqslant b</math> i <math>\displaystyle b</math> jest pierwsza
+\ok  <math>\displaystyle a\leqslant b</math> i <math>\displaystyle b</math> jest pierwsza
 </quiz>
-<quiz><math>\displaystyle 16^{49}  </math>  { mod}  <math>\displaystyle   25</math> wynosi:}
+<quiz><math>\displaystyle 16^{49}  </math>  {\sf mod}  <math>\displaystyle   25</math> wynosi:}
-</wrongoption> <math>\displaystyle 1</math>
+\odp <math>\displaystyle 1</math>
-</wrongoption> <math>\displaystyle 7</math>
+\odp <math>\displaystyle 7</math>
-</wrongoption> <math>\displaystyle 14</math>
+\odp <math>\displaystyle 14</math>
-</rightoption>  <math>\displaystyle 21</math>
+\ok  <math>\displaystyle 21</math>
 </quiz>
-<quiz><math>\displaystyle 14^{111}  </math>  { mod}  <math>\displaystyle   15</math> wynosi:}
+<quiz><math>\displaystyle 14^{111}  </math>  {\sf mod}  <math>\displaystyle   15</math> wynosi:}
-</wrongoption> <math>\displaystyle 1</math>
+\odp <math>\displaystyle 1</math>
-</wrongoption> <math>\displaystyle 3</math>
+\odp <math>\displaystyle 3</math>
-</wrongoption> <math>\displaystyle 12</math>
+\odp <math>\displaystyle 12</math>
-</rightoption>  <math>\displaystyle 14</math>
+\ok  <math>\displaystyle 14</math>
 </quiz>
 <quiz>Wiedząc, że <math>\displaystyle 2006=2\cdot17\cdot59</math> oblicz <math>\displaystyle \mu(2006)</math>: }
-</rightoption>  <math>\displaystyle -1</math>
+\ok  <math>\displaystyle -1</math>
-</wrongoption> <math>\displaystyle 0</math>
+\odp <math>\displaystyle 0</math>
-</wrongoption> <math>\displaystyle 1</math>
+\odp <math>\displaystyle 1</math>
-</wrongoption> <math>\displaystyle 3</math>
+\odp <math>\displaystyle 3</math>
 </quiz>
 <quiz><math>\displaystyle (n-1)!</math> modulo <math>\displaystyle n</math> to:}
-</rightoption>  <math>\displaystyle 0</math>, jeśli <math>\displaystyle n</math> jest złożona a <math>\displaystyle -1</math>, jeśli <math>\displaystyle n</math> jest pierwsza
+\ok  <math>\displaystyle 0</math>, jeśli <math>\displaystyle n</math> jest złożona a <math>\displaystyle -1</math>, jeśli <math>\displaystyle n</math> jest pierwsza
-</rightoption>  <math>\displaystyle 0</math>, jeśli <math>\displaystyle n</math> jest złożona a <math>\displaystyle n-1</math>, jeśli <math>\displaystyle n</math> jest pierwsza
+\ok  <math>\displaystyle 0</math>, jeśli <math>\displaystyle n</math> jest złożona a <math>\displaystyle n-1</math>, jeśli <math>\displaystyle n</math> jest pierwsza
-</wrongoption> <math>\displaystyle 0</math>, jeśli <math>\displaystyle n</math> jest złożona a <math>\displaystyle 1</math>, jeśli <math>\displaystyle n</math> jest pierwsza
+\odp <math>\displaystyle 0</math>, jeśli <math>\displaystyle n</math> jest złożona a <math>\displaystyle 1</math>, jeśli <math>\displaystyle n</math> jest pierwsza
-</wrongoption> zawsze wynosi <math>\displaystyle 1</math>
+\odp zawsze wynosi <math>\displaystyle 1</math>
 </quiz>
+\etest
 12121212121212121212121212121212
 {article}
-{../makraT}
+\input{../makraT}
+\newpage
+\parindent 0mm
+\beginLarge
-mm
 {| border=1
 |+ <span style="font-variant:small-caps">Uzupelnij tytul</span>
@@ Linia 597: / Linia 687: @@
 |}
-mm
+  \endLarge
+\parindent 10mm
+\btest
 <quiz>Różnych grafów skierowanych bez cykli jednoelementowych w zbiorze <math>\displaystyle n</math>-elementowym jest:}
-</wrongoption>  <math>\displaystyle 2^{n^2}</math>
+\odp  <math>\displaystyle 2^{n^2}</math>
-</rightoption>   <math>\displaystyle 2^{n^2-n}</math>
+\ok   <math>\displaystyle 2^{n^2-n}</math>
-</wrongoption>   <math>\displaystyle 2^{2^n}</math>
+\odp   <math>\displaystyle 2^{2^n}</math>
-</wrongoption>   <math>\displaystyle 2^{2^n-n}</math>
+\odp   <math>\displaystyle 2^{2^n-n}</math>
-</wrongoption>    <math>\displaystyle 2^{n \choose 2}</math>
+\odp    <math>\displaystyle 2^{n \choose 2}</math>
 </quiz>
 <quiz>Różnych grafów nieskierowanych bez cykli jednoelementowych  w zbiorze <math>\displaystyle n</math>-elementowym jest:}
-</wrongoption>  <math>\displaystyle 2^{n^2}</math>
+\odp  <math>\displaystyle 2^{n^2}</math>
-</wrongoption>   <math>\displaystyle 2^{n^2-n}</math>
+\odp   <math>\displaystyle 2^{n^2-n}</math>
-</wrongoption>   <math>\displaystyle 2^{2^n}</math>
+\odp   <math>\displaystyle 2^{2^n}</math>
-</wrongoption>   <math>\displaystyle 2^{2^n-n}</math>
+\odp   <math>\displaystyle 2^{2^n-n}</math>
-</rightoption>    <math>\displaystyle 2^{n \choose 2}</math>
+\ok    <math>\displaystyle 2^{n \choose 2}</math>
 </quiz>
 <quiz>Zaznacz zdania prawdziwe:}
-</wrongoption>    W każdym grafie prostym <math>\displaystyle G= \left( V;E \right)</math> relacja <math>\displaystyle E</math> musi być zwrotna.
+\odp    W każdym grafie prostym <math>\displaystyle G= \left( V;E \right)</math> relacja <math>\displaystyle E</math> musi być zwrotna.
-</rightoption>     W grafie nieskierowanym  <math>\displaystyle G= \left( V,E \right)</math> relacja <math>\displaystyle E</math> jest symetryczna.
+\ok     W grafie nieskierowanym  <math>\displaystyle G= \left( V,E \right)</math> relacja <math>\displaystyle E</math> jest symetryczna.
-</wrongoption>    Graf nieskierowany to rodzina wszystkich dwuelementowych podzbiorów zbioru wierzchołków.
+\odp    Graf nieskierowany to rodzina wszystkich dwuelementowych podzbiorów zbioru wierzchołków.
-</rightoption>     W grafie pełnym każde dwa różne wierzchołki połączone są krawędzią.
+\ok     W grafie pełnym każde dwa różne wierzchołki połączone są krawędzią.
 </quiz>
 <quiz>Zaznacz zdania prawdziwe dla grafów nieskierowanych:}
-</rightoption> podgraf indukowany grafu pełnego jest grafem pełnym
+\ok podgraf indukowany grafu pełnego jest grafem pełnym
-</rightoption> każdy graf jest podgrafem jakiegoś grafu pełnego
+\ok każdy graf jest podgrafem jakiegoś grafu pełnego
-</wrongoption> każdy graf jest podgrafem indukowanym jakiegoś grafu pełnego
+\odp każdy graf jest podgrafem indukowanym jakiegoś grafu pełnego
-</wrongoption> graf pełny ma zawsze parzystą liczbę krawędzi
+\odp graf pełny ma zawsze parzystą liczbę krawędzi
-</rightoption> w grafie pełnym wszystkie wierzchołki mają ten sam stopień
+\ok w grafie pełnym wszystkie wierzchołki mają ten sam stopień
 </quiz>
 <quiz>Jaka jest najmniejsza liczba krawędzi w grafie
 nieskierowanym o 100 wierzchołkach i trzech składowych spójnych:}
-  </wrongoption> <math>\displaystyle 99</math>
+  \odp <math>\displaystyle 99</math>
-  </rightoption> <math>\displaystyle 97</math>
+  \ok <math>\displaystyle 97</math>
-  </wrongoption> <math>\displaystyle 98</math>
+  \odp <math>\displaystyle 98</math>
-  </wrongoption> <math>\displaystyle 100</math>
+  \odp <math>\displaystyle 100</math>
-  </wrongoption> <math>\displaystyle \frac{100 \cdot 99}{3}</math>
+  \odp <math>\displaystyle \frac{100 \cdot 99}{3}</math>
 </quiz>
 <quiz>Ile jest krawędzi w pełnym grafie dwudzielnym <math>\displaystyle K_{1000,1000}</math>:}
-  </rightoption> <math>\displaystyle 1000 \cdot 1000</math>
+  \ok <math>\displaystyle 1000 \cdot 1000</math>
-  </wrongoption> <math>\displaystyle 1000!</math>
+  \odp <math>\displaystyle 1000!</math>
-  </wrongoption> <math>\displaystyle 1000 \choose 2</math>
+  \odp <math>\displaystyle 1000 \choose 2</math>
-  </wrongoption> <math>\displaystyle 1000 \choose 50</math>
+  \odp <math>\displaystyle 1000 \choose 50</math>
-  </wrongoption> <math>\displaystyle 2000 \choose 1000</math>
+  \odp <math>\displaystyle 2000 \choose 1000</math>
 </quiz>
 <quiz>W pełnym grafie <math>\displaystyle 100</math>-elementowym:}
-</wrongoption> każde drzewo rozpinające ma <math>\displaystyle 100</math> krawędzi
+\odp każde drzewo rozpinające ma <math>\displaystyle 100</math> krawędzi
-</wrongoption> dokładnie jedno drzewo rozpinające ma <math>\displaystyle 100</math> krawędzi
+\odp dokładnie jedno drzewo rozpinające ma <math>\displaystyle 100</math> krawędzi
-</rightoption>  każde drzewo rozpinające ma <math>\displaystyle 99</math> krawędzi
+\ok  każde drzewo rozpinające ma <math>\displaystyle 99</math> krawędzi
-</wrongoption> dokładnie jedno drzewo rozpinające ma <math>\displaystyle 99</math> krawędzi
+\odp dokładnie jedno drzewo rozpinające ma <math>\displaystyle 99</math> krawędzi
-</wrongoption> nie ma drzew rozpinających
+\odp nie ma drzew rozpinających
 </quiz>
 <quiz>W pełnym grafie dwudzielnym <math>\displaystyle K_{50,50}</math>:}
-</wrongoption> każde drzewo rozpinające ma <math>\displaystyle 50</math> krawędzi
+\odp każde drzewo rozpinające ma <math>\displaystyle 50</math> krawędzi
-</wrongoption> każde drzewo rozpinające ma <math>\displaystyle 100</math> krawędzi
+\odp każde drzewo rozpinające ma <math>\displaystyle 100</math> krawędzi
-</rightoption>  każde drzewo rozpinające ma <math>\displaystyle 99</math> krawędzi
+\ok  każde drzewo rozpinające ma <math>\displaystyle 99</math> krawędzi
-</wrongoption> dokładnie jedno drzewo rozpinające ma <math>\displaystyle 99</math> krawędzi
+\odp dokładnie jedno drzewo rozpinające ma <math>\displaystyle 99</math> krawędzi
-</wrongoption> nie ma drzew rozpinających
+\odp nie ma drzew rozpinających
 </quiz>
 <quiz>W <math>\displaystyle 100</math> elementowym grafie o trzech składowych spójnych:}
-</wrongoption> jakiś las rozpinający ma <math>\displaystyle 100</math> krawędzi
+\odp jakiś las rozpinający ma <math>\displaystyle 100</math> krawędzi
-</wrongoption> jakiś las rozpinający ma <math>\displaystyle 99</math> krawędzi
+\odp jakiś las rozpinający ma <math>\displaystyle 99</math> krawędzi
-</wrongoption> jakiś las rozpinający ma <math>\displaystyle 98</math> krawędzi
+\odp jakiś las rozpinający ma <math>\displaystyle 98</math> krawędzi
-</rightoption>  jakiś las rozpinający ma <math>\displaystyle 97</math> krawędzi
+\ok  jakiś las rozpinający ma <math>\displaystyle 97</math> krawędzi
-</wrongoption> może nie być lasu rozpinającego
+\odp może nie być lasu rozpinającego
 </quiz>
 <quiz>Pełny graf <math>\displaystyle 100</math>-elementowy:}
-</rightoption> jest grafem Hamiltonowskim
+\ok jest grafem Hamiltonowskim
-</wrongoption> jest grafem Eulerowskim
+\odp jest grafem Eulerowskim
-</wrongoption> jest spójny
+\odp jest spójny
-</wrongoption> jest dwudzielny
+\odp jest dwudzielny
-</rightoption> jest stukolorowalny
+\ok jest stukolorowalny
 </quiz>
 <quiz>Pełny graf dwudzielny <math>\displaystyle K_{25,25}</math>:}
-</rightoption> jest grafem Hamiltonowskim
+\ok jest grafem Hamiltonowskim
-</wrongoption> jest grafem Eulerowskim
+\odp jest grafem Eulerowskim
-</rightoption> zawiera cykl <math>\displaystyle 4</math> wierzchołkach jako podgraf indukowany
+\ok zawiera cykl <math>\displaystyle 4</math> wierzchołkach jako podgraf indukowany
-</wrongoption> zawiera cykl <math>\displaystyle 6</math> wierzchołkach jako podgraf indukowany
+\odp zawiera cykl <math>\displaystyle 6</math> wierzchołkach jako podgraf indukowany
-</rightoption> jest trójkolorowalny
+\ok jest trójkolorowalny
 </quiz>
 <quiz>Graf o  <math>\displaystyle 2005 </math>  wierzchołkach, z których każdy ma stopień  <math>\displaystyle 101 </math> :}
-</wrongoption>{ma  <math>\displaystyle 202505 </math>  krawędzi}
+<wrongoption>ma  <math>\displaystyle 202505 </math>  krawędzi}
-</wrongoption>{ma  <math>\displaystyle 2106 </math>  krawędzi}
+<wrongoption>ma  <math>\displaystyle 2106 </math>  krawędzi}
-</wrongoption>{ma  <math>\displaystyle 405010 </math>   krawędzi}
+<wrongoption>ma  <math>\displaystyle 405010 </math>   krawędzi}
-</rightoption>{nie istnieje}
+<rightoption>nie istnieje}
 </quiz>
 <quiz>Jeśli  <math>\displaystyle \mathbf{G}_1=\left( V,E_1 \right) </math>  i  <math>\displaystyle \mathbf{G}_2=\left( V,E_2 \right) </math>
 są grafami niespójnymi o tym samym zbiorze wierzchołków  <math>\displaystyle V </math> , to:}
-</rightoption>{graf  <math>\displaystyle \mathbf{G}_1\cup\mathbf{G}_1 </math>  może być spójny}
+<rightoption>graf  <math>\displaystyle \mathbf{G}_1\cup\mathbf{G}_1 </math>  może być spójny}
-</wrongoption>{graf  <math>\displaystyle \mathbf{G}_1\cup\mathbf{G}_1 </math>  jest spójny}
+<wrongoption>graf  <math>\displaystyle \mathbf{G}_1\cup\mathbf{G}_1 </math>  jest spójny}
-</rightoption>{graf  <math>\displaystyle \mathbf{G}_1\cap\mathbf{G}_1 </math>  może nie być spójny}
+<rightoption>graf  <math>\displaystyle \mathbf{G}_1\cap\mathbf{G}_1 </math>  może nie być spójny}
-</rightoption>{graf  <math>\displaystyle \mathbf{G}_1\cap\mathbf{G}_1 </math>  nie jest spójny}
+<rightoption>graf  <math>\displaystyle \mathbf{G}_1\cap\mathbf{G}_1 </math>  nie jest spójny}
 </quiz>
@@ Linia 708: / Linia 801: @@
 W grafie spójnym, w którym nie ma
 podgrafu indukowanego izomorficznego do  <math>\displaystyle \mathbf{P}_4 </math> :}
-</rightoption>{dowolne dwa punkty leżą w odległości co najwyżej trzy}
+<rightoption>dowolne dwa punkty leżą w odległości co najwyżej trzy}
-</rightoption>{dowolne dwa punkty leżą w odległości co najwyżej dwa}
+<rightoption>dowolne dwa punkty leżą w odległości co najwyżej dwa}
-</wrongoption>{dowolne dwa punkty leżą w odległości co najwyżej jeden}
+<wrongoption>dowolne dwa punkty leżą w odległości co najwyżej jeden}
-</wrongoption>{każde trzy wierzchołki tworzą klikę  <math>\displaystyle \mathcal{K}_{3} </math> }
+<wrongoption>każde trzy wierzchołki tworzą klikę  <math>\displaystyle \mathcal{K}_{3} </math> }
 </quiz>
 <quiz>Zaznacz zdania prawdziwe:}
-</rightoption>{Każdy graf pusty jest grafem dwudzielnym.}
+<rightoption>Każdy graf pusty jest grafem dwudzielnym.}
-</wrongoption>{Każdy graf pełny jest grafem dwudzielnym.}
+<wrongoption>Każdy graf pełny jest grafem dwudzielnym.}
-</wrongoption>{Graf  <math>\displaystyle \mathcal{K}_{3} </math>  jest grafem dwudzielnym.}
+<wrongoption>Graf  <math>\displaystyle \mathcal{K}_{3} </math>  jest grafem dwudzielnym.}
-</rightoption>{Graf  <math>\displaystyle \mathcal{K}_{2} </math>  jest grafem dwudzielnym.}
+<rightoption>Graf  <math>\displaystyle \mathcal{K}_{2} </math>  jest grafem dwudzielnym.}
 </quiz>
 <quiz>Zaznacz zdania prawdziwe:}
-</rightoption>{Każdy graf dwudzielny, który jest zarazem grafem pełnym jest planarny.}
+<rightoption>Każdy graf dwudzielny, który jest zarazem grafem pełnym jest planarny.}
-</rightoption>{Graf  <math>\displaystyle \mathcal{K}_{4} </math>  jest grafem planarnym.}
+<rightoption>Graf  <math>\displaystyle \mathcal{K}_{4} </math>  jest grafem planarnym.}
-</wrongoption>{Graf  <math>\displaystyle \mathcal{K}_{5} </math>  jest grafem planarnym.}
+<wrongoption>Graf  <math>\displaystyle \mathcal{K}_{5} </math>  jest grafem planarnym.}
-</wrongoption>{Każdy graf dwudzielny jest grafem planarnym.}
+<wrongoption>Każdy graf dwudzielny jest grafem planarnym.}
 </quiz>
 <quiz>Graf o  <math>\displaystyle 100 </math>  wierzchołkach:}
-</wrongoption>{jeśli ma  <math>\displaystyle 99 </math>  krawędzi, to jest drzewem.}
+<wrongoption>jeśli ma  <math>\displaystyle 99 </math>  krawędzi, to jest drzewem.}
-</wrongoption>{jeśli ma  <math>\displaystyle 100 </math>  krawędzi, to jest drzewem.}
+<wrongoption>jeśli ma  <math>\displaystyle 100 </math>  krawędzi, to jest drzewem.}
-</wrongoption>{jeśli ma  <math>\displaystyle 4850 </math>  krawędzi, to jest spójny.}
+<wrongoption>jeśli ma  <math>\displaystyle 4850 </math>  krawędzi, to jest spójny.}
-</rightoption>{jeśli ma  <math>\displaystyle 4851 </math>  krawędzi, to jest spójny.}
+<rightoption>jeśli ma  <math>\displaystyle 4851 </math>  krawędzi, to jest spójny.}
 </quiz>
 <quiz>Na to by graf  <math>\displaystyle \mathbf{T} </math>  był drzewem potrzeba i wystarcza, by:}
-</wrongoption>{ <math>\displaystyle \mathbf{T} </math>  nie zawierał cykli}
+<wrongoption> <math>\displaystyle \mathbf{T} </math>  nie zawierał cykli}
-</rightoption>{ <math>\displaystyle \mathbf{T} </math>  był spójny i miał  <math>\displaystyle \left\vert V \right\vert-1 </math>  krawędzi}
+<rightoption> <math>\displaystyle \mathbf{T} </math>  był spójny i miał  <math>\displaystyle \left\vert V \right\vert-1 </math>  krawędzi}
-</rightoption>{dowolne dwa wierzchołki grafu  <math>\displaystyle \mathbf{T} </math>  były połączone dokładnie jedną drogą}
+<rightoption>dowolne dwa wierzchołki grafu  <math>\displaystyle \mathbf{T} </math>  były połączone dokładnie jedną drogą}
-</wrongoption>{dowolne dwa wierzchołki grafu  <math>\displaystyle \mathbf{T} </math>  leżały na dokładnie jednym cyklu}
+<wrongoption>dowolne dwa wierzchołki grafu  <math>\displaystyle \mathbf{T} </math>  leżały na dokładnie jednym cyklu}
 </quiz>
+\etest
 131313131313131313131313131313
 {article}
-{../makraT}
+\input{../makraT}
+\newpage
+\parindent 0mm
+\beginLarge
-mm
 {| border=1
 |+ <span style="font-variant:small-caps">Uzupelnij tytul</span>
@@ Linia 758: / Linia 856: @@
 |}
-mm
+  \endLarge
+\parindent 10mm
+\btest
 <quiz>Pełny graf dwudzielny  <math>\displaystyle \mathcal{K}_{3,3} </math> :}
-</wrongoption>{jest eulerowski}
+<wrongoption>jest eulerowski}
-</rightoption>{jest hamiltonowski}
+<rightoption>jest hamiltonowski}
-</wrongoption>{jest planarny}
+<wrongoption>jest planarny}
-</wrongoption>{nie jest ani eulerowski ani planarny}
+<wrongoption>nie jest ani eulerowski ani planarny}
 </quiz>
 <quiz>Pełny graf <math>\displaystyle 100</math>-elementowy:}
-</rightoption> jest grafem Hamiltonowskim
+\ok jest grafem Hamiltonowskim
-</wrongoption> jest grafem Eulerowskim
+\odp jest grafem Eulerowskim
-</wrongoption> jest spójny
+\odp jest spójny
-</wrongoption> jest dwudzielny
+\odp jest dwudzielny
-</rightoption> jest stukolorowalny
+\ok jest stukolorowalny
 </quiz>
 <quiz>Graf, w którym cykl Hamiltona jest zarazem cyklem Eulera}
-</wrongoption>{sam jest cyklem o parzystej liczbie krawędzi}
+<wrongoption>sam jest cyklem o parzystej liczbie krawędzi}
-</rightoption>{jest cyklem}
+<rightoption>jest cyklem}
-</rightoption>{ma wierzchołki wyłącznie o stopniu  <math>\displaystyle 2 </math> }
+<rightoption>ma wierzchołki wyłącznie o stopniu  <math>\displaystyle 2 </math> }
-</wrongoption>{jest sumą dwu grafów o tych samych wierzchołkach ale rozłącznych zbiorach krawędzi,
+<wrongoption>jest sumą dwu grafów o tych samych wierzchołkach ale rozłącznych zbiorach krawędzi,
 przy czym każdy z nich jest cyklem}
 </quiz>
 <quiz>Jeśli graf  <math>\displaystyle \mathbf{G} </math>  jest eulerowski, to:}
-</wrongoption>{graf  <math>\displaystyle \mathbf{G} </math>  jest hamiltonowski}
+<wrongoption>graf  <math>\displaystyle \mathbf{G} </math>  jest hamiltonowski}
-</rightoption>{każdy wierzchołek w grafie  <math>\displaystyle \mathbf{G} </math>  ma parzysty stopień}
+<rightoption>każdy wierzchołek w grafie  <math>\displaystyle \mathbf{G} </math>  ma parzysty stopień}
-</rightoption>{graf  <math>\displaystyle \mathbf{G} </math>  jest sumą grafów o tych samych wierzchołkach
+<rightoption>graf  <math>\displaystyle \mathbf{G} </math>  jest sumą grafów o tych samych wierzchołkach
 ale rozłącznych zbiorach krawędzi, przy czym każdy z nich jest cyklem}
-</wrongoption>{jeśli dodatkowo  <math>\displaystyle \mathbf{G} </math>  jest hamiltonowski,
+<wrongoption>jeśli dodatkowo  <math>\displaystyle \mathbf{G} </math>  jest hamiltonowski,
 to po usunięciu cyklu Hamiltona graf  <math>\displaystyle \mathbf{G} </math>  dalej jest eulerowski}
 </quiz>
 <quiz>Graf o  <math>\displaystyle 101 </math>  wierzchołkach:}
-</wrongoption>{w którym wszystkie wierzchołki są stopnia  <math>\displaystyle 50 </math> , jest hamiltonowski}
+<wrongoption>w którym wszystkie wierzchołki są stopnia  <math>\displaystyle 50 </math> , jest hamiltonowski}
-</rightoption>{w którym wszystkie wierzchołki są stopnia  <math>\displaystyle 51 </math> , jest hamiltonowski}
+<rightoption>w którym wszystkie wierzchołki są stopnia  <math>\displaystyle 51 </math> , jest hamiltonowski}
-</wrongoption>{w którym dowolne dwa niesąsiednie wierzchołki  <math>\displaystyle v </math>  i  <math>\displaystyle w </math>
+<wrongoption>w którym dowolne dwa niesąsiednie wierzchołki  <math>\displaystyle v </math>  i  <math>\displaystyle w </math>
 spełniają  <math>\displaystyle \deg{v}+\deg{w}\geq 100 </math>  jest hamiltonowski}
-</wrongoption>{w którym dowolne dwa sąsiednie wierzchołki  <math>\displaystyle v </math>  i  <math>\displaystyle w </math>
+<wrongoption>w którym dowolne dwa sąsiednie wierzchołki  <math>\displaystyle v </math>  i  <math>\displaystyle w </math>
 spełniają  <math>\displaystyle \deg{v}+\deg{w}\geq 100 </math>  jest hamiltonowski}
 </quiz>
@@ Linia 804: / Linia 905: @@
 by w grafie dwudzielnym  <math>\displaystyle \mathbf{G}=\left( V_1\cup V_2, E \right) </math>
 istniało pełne skojarzenie  <math>\displaystyle V_1 </math>  z  <math>\displaystyle V_2 </math> ?}
-</rightoption>{graf  <math>\displaystyle \mathbf{G} </math>  jest hamiltonowski}
+<rightoption>graf  <math>\displaystyle \mathbf{G} </math>  jest hamiltonowski}
-</wrongoption>{graf  <math>\displaystyle \mathbf{G} </math>  jest eulerowski}
+<wrongoption>graf  <math>\displaystyle \mathbf{G} </math>  jest eulerowski}
-</wrongoption>{w grafie  <math>\displaystyle \mathbf{G} </math>  każdy wierzchołek z  <math>\displaystyle V_1 </math>
+<wrongoption>w grafie  <math>\displaystyle \mathbf{G} </math>  każdy wierzchołek z  <math>\displaystyle V_1 </math>
 ma co najmniej dwu sąsiadów}
-</rightoption>{dowolny zbiór niezależny w  ma co najwyżej  <math>\displaystyle \left\vert V_2 \right\vert </math>  wierzchołków}
+<rightoption>dowolny zbiór niezależny w  ma co najwyżej  <math>\displaystyle \left\vert V_2 \right\vert </math>  wierzchołków}
 </quiz>
 <quiz>Grafem  <math>\displaystyle 100 </math> -spójnym jest:}
-</rightoption>{graf w którym pomiędzy dowolnymi wierzchołkami istnieje  <math>\displaystyle 100 </math>
+<rightoption>graf w którym pomiędzy dowolnymi wierzchołkami istnieje  <math>\displaystyle 100 </math>
 dróg wierzchołkowo rozłącznych}
-</wrongoption>{graf, którego każdy zbiór rozdzielający ma co najmniej  <math>\displaystyle 99 </math>  wierzchołków}
+<wrongoption>graf, którego każdy zbiór rozdzielający ma co najmniej  <math>\displaystyle 99 </math>  wierzchołków}
-</rightoption>{klika  <math>\displaystyle \mathcal{K}_{101} </math> }
+<rightoption>klika  <math>\displaystyle \mathcal{K}_{101} </math> }
-</wrongoption>{pełny graf dwudzielny  <math>\displaystyle \mathcal{K}_{100,100} </math> }
+<wrongoption>pełny graf dwudzielny  <math>\displaystyle \mathcal{K}_{100,100} </math> }
 </quiz>
 <quiz>W  <math>\displaystyle 2 </math> -spójnym krawędziowo grafie o  <math>\displaystyle 20 </math>  wierzchołkach
 i minimalnej liczbie krawędzi:}
-</wrongoption>{jest dokładnie  <math>\displaystyle 38 </math>  krawędzi}
+<wrongoption>jest dokładnie  <math>\displaystyle 38 </math>  krawędzi}
-</rightoption>{jest dokładnie  <math>\displaystyle 20 </math>  krawędzi}
+<rightoption>jest dokładnie  <math>\displaystyle 20 </math>  krawędzi}
-</rightoption>{dowolny wierzchołek ma stopień co najmniej  <math>\displaystyle 2 </math> }
+<rightoption>dowolny wierzchołek ma stopień co najmniej  <math>\displaystyle 2 </math> }
-</wrongoption>{istnieje wierzchołek o stopniu co najmniej  <math>\displaystyle 3 </math> }
+<wrongoption>istnieje wierzchołek o stopniu co najmniej  <math>\displaystyle 3 </math> }
 </quiz>
+\etest
 141414141414141414141414141414141414141414
 {article}
-{../makraT}
+\input{../makraT}
+\newpage
+\parindent 0mm
+\beginLarge
-mm
 {| border=1
 |+ <span style="font-variant:small-caps">Uzupelnij tytul</span>
@@ Linia 843: / Linia 949: @@
 |}
-mm
+  \endLarge
+\parindent 10mm
+\btest
 <quiz>Który z grafów przedstawionych na Rysunku [[##test petersen4|Uzupelnic test petersen4|]] jest planarny?
- [!ht]
+\beginfigure [!ht]
+\begincenter
-{test_petersen4}
+\includegraphics{test_petersen4}
-{ '''[Rysunek z pliku:''' <tt>testpetersen4.eps</tt>''']'''}
+\caption{ '''[Rysunek z pliku:''' <tt>test\_petersen4.eps</tt>''']'''}
+\endcenter
+\endfigure
 }
-</wrongoption>{graf przedstawiony na rysunku [[##test petersen4|Uzupelnic test petersen4|]].a.}
+<wrongoption>graf przedstawiony na rysunku [[##test petersen4|Uzupelnic test petersen4|]].a.}
-</wrongoption>{graf przedstawiony na rysunku [[##test petersen4|Uzupelnic test petersen4|]].b.}
+<wrongoption>graf przedstawiony na rysunku [[##test petersen4|Uzupelnic test petersen4|]].b.}
-</wrongoption>{graf przedstawiony na rysunku [[##test petersen4|Uzupelnic test petersen4|]].c.}
+<wrongoption>graf przedstawiony na rysunku [[##test petersen4|Uzupelnic test petersen4|]].c.}
-</rightoption>{graf przedstawiony na rysunku [[##test petersen4|Uzupelnic test petersen4|]].d.}
+<rightoption>graf przedstawiony na rysunku [[##test petersen4|Uzupelnic test petersen4|]].d.}
 </quiz>
 <quiz>Który z grafów przedstawionych na Rysunku [[##test klika5|Uzupelnic test klika5|]] jest homeomorficzny z kliką  <math>\displaystyle \mathcal{K}_{5} </math> ?
- [!ht]
+\beginfigure [!ht]
+\begincenter
-{test_klika5}
+\includegraphics{test_klika5}
-{ '''[Rysunek z pliku:''' <tt>testklika5.eps</tt>''']'''}
+\caption{ '''[Rysunek z pliku:''' <tt>test\_klika5.eps</tt>''']'''}
+\endcenter
+\endfigure
 }
-</wrongoption>{graf przedstawiony na rysunku [[##test klika5|Uzupelnic test klika5|]].a.}
+<wrongoption>graf przedstawiony na rysunku [[##test klika5|Uzupelnic test klika5|]].a.}
-</wrongoption>{graf przedstawiony na rysunku [[##test klika5|Uzupelnic test klika5|]].b.}
+<wrongoption>graf przedstawiony na rysunku [[##test klika5|Uzupelnic test klika5|]].b.}
-</rightoption>{graf przedstawiony na rysunku [[##test klika5|Uzupelnic test klika5|]].c.}
+<rightoption>graf przedstawiony na rysunku [[##test klika5|Uzupelnic test klika5|]].c.}
-</wrongoption>{graf przedstawiony na rysunku [[##test klika5|Uzupelnic test klika5|]].d.}
+<wrongoption>graf przedstawiony na rysunku [[##test klika5|Uzupelnic test klika5|]].d.}
 </quiz>
 <quiz>Spójny graf planarny o  <math>\displaystyle 20 </math>  wierzchołkach, z których każdy jest stopnia  <math>\displaystyle 3 </math>  ma:}
-</wrongoption>{ <math>\displaystyle 11 </math>  ścian}
+<wrongoption> <math>\displaystyle 11 </math>  ścian}
-</rightoption>{ <math>\displaystyle 12 </math>  ścian}
+<rightoption> <math>\displaystyle 12 </math>  ścian}
-</wrongoption>{ <math>\displaystyle 22 </math>  ścian}
+<wrongoption> <math>\displaystyle 22 </math>  ścian}
-</wrongoption>{ <math>\displaystyle 24 </math>  ścian}
+<wrongoption> <math>\displaystyle 24 </math>  ścian}
 </quiz>
 <quiz>Ile spójnych składowych ma graf planarny o  <math>\displaystyle 121 </math>  wierzchołkach,
   <math>\displaystyle 53 </math>  krawędziach, oraz  <math>\displaystyle 30 </math>  ścianach?}
-</rightoption>{ <math>\displaystyle 98 </math> }
+<rightoption> <math>\displaystyle 98 </math> }
-</wrongoption>{ <math>\displaystyle 99 </math> }
+<wrongoption> <math>\displaystyle 99 </math> }
-</wrongoption>{ <math>\displaystyle 100 </math> }
+<wrongoption> <math>\displaystyle 100 </math> }
-</wrongoption>{ <math>\displaystyle 143 </math> }
+<wrongoption> <math>\displaystyle 143 </math> }
 </quiz>
@@ Linia 894: / Linia 1005: @@
 Podzbiór  <math>\displaystyle C </math>  zbioru krawędzi grafu  <math>\displaystyle \mathbf{G} </math>  jest cyklem w grafie  <math>\displaystyle \mathbf{G} </math>
 wtedy i tylko wtedy, gdy zbiór krawędzi dualnych do krawędzi zbioru  <math>\displaystyle C </math> }
-</wrongoption>{posiada parzystą liczbę elementów}
+<wrongoption>posiada parzystą liczbę elementów}
-</wrongoption>{posiada nieparzystą liczbę elementów}
+<wrongoption>posiada nieparzystą liczbę elementów}
-</wrongoption>{jest cyklem grafu  <math>\displaystyle \mathbf{G}^* </math> }
+<wrongoption>jest cyklem grafu  <math>\displaystyle \mathbf{G}^* </math> }
-</rightoption>{jest rozcięciem grafu  <math>\displaystyle \mathbf{G}^* </math> }
+<rightoption>jest rozcięciem grafu  <math>\displaystyle \mathbf{G}^* </math> }
 </quiz>
 <quiz>Spójny graf prosty, który nie jest pełny,
   i w którym wszystkie wierzchołki  mają stopień nie większy niż  <math>\displaystyle k </math> jest:}
-</wrongoption>{ <math>\displaystyle \left( k-1 \right) </math> -kolorowalny}
+<wrongoption> <math>\displaystyle \left( k-1 \right) </math> -kolorowalny}
-</rightoption>{ <math>\displaystyle k </math> -kolorowalny}
+<rightoption> <math>\displaystyle k </math> -kolorowalny}
-</rightoption>{ <math>\displaystyle \left( k+1 \right) </math> -kolorowalny}
+<rightoption> <math>\displaystyle \left( k+1 \right) </math> -kolorowalny}
-</rightoption>{ <math>\displaystyle 2k </math> -kolorowalny}
+<rightoption> <math>\displaystyle 2k </math> -kolorowalny}
 </quiz>
 <quiz>Iloma kolorami można pokolorować polityczną mapę Europy?}
-</wrongoption>{ <math>\displaystyle 3 </math> }
+<wrongoption> <math>\displaystyle 3 </math> }
-</rightoption>{ <math>\displaystyle 4 </math> }
+<rightoption> <math>\displaystyle 4 </math> }
-</rightoption>{ <math>\displaystyle 5 </math> }
+<rightoption> <math>\displaystyle 5 </math> }
-</rightoption>{ <math>\displaystyle 6 </math> }
+<rightoption> <math>\displaystyle 6 </math> }
 </quiz>
 <quiz>W grafie prostym zachodzi:}
-</rightoption>{ <math>\displaystyle \chi\!\left( \mathbf{G} \right)\leq\chi_s\!\left( \mathbf{G} \right)+1 </math> }
+<rightoption> <math>\displaystyle \chi\!\left( \mathbf{G} \right)\leq\chi_s\!\left( \mathbf{G} \right)+1 </math> }
-</wrongoption>{ <math>\displaystyle \chi\!\left( \mathbf{G} \right)\leq\chi_s\!\left( \mathbf{G} \right) </math> }
+<wrongoption> <math>\displaystyle \chi\!\left( \mathbf{G} \right)\leq\chi_s\!\left( \mathbf{G} \right) </math> }
-</wrongoption>{ <math>\displaystyle \chi\!\left( \mathbf{G} \right)\geq\chi_s\!\left( \mathbf{G} \right)+1 </math> }
+<wrongoption> <math>\displaystyle \chi\!\left( \mathbf{G} \right)\geq\chi_s\!\left( \mathbf{G} \right)+1 </math> }
-</wrongoption>{ <math>\displaystyle \chi\!\left( \mathbf{G} \right)=\chi_s\!\left( \mathbf{G} \right) </math> }
+<wrongoption> <math>\displaystyle \chi\!\left( \mathbf{G} \right)=\chi_s\!\left( \mathbf{G} \right) </math> }
 </quiz>
 <quiz>Pełny graf dwudzielny <math>\displaystyle K_{50,50}</math>:}
-</rightoption> jest grafem Hamiltonowskim
+\ok jest grafem Hamiltonowskim
-</rightoption> jest grafem Eulerowskim
+\ok jest grafem Eulerowskim
-</wrongoption> jest lasem
+\odp jest lasem
-</rightoption> jest dwukolorowalny
+\ok jest dwukolorowalny
-</rightoption> jest 49-kolorowalny
+\ok jest 49-kolorowalny
 </quiz>
+\etest
 151515151515151515151515151515151515
 {article}
-{../makraT}
+\input{../makraT}
+\newpage
+\parindent 0mm
+\beginLarge
-mm
 {| border=1
 |+ <span style="font-variant:small-caps">Uzupelnij tytul</span>
@@ Linia 946: / Linia 1062: @@
 |}
-mm
+  \endLarge
+\parindent 10mm
+\btest
 <quiz>Niech  <math>\displaystyle m_{ij} </math>  oznacza liczbę skierowanych marszrut,
@@ Linia 953: / Linia 1072: @@
 a  <math>\displaystyle M </math>  niech będzie macierzą  <math>\displaystyle \langle m_{ij}\rangle  </math> .
 Wtedy:}
-</rightoption>{ <math>\displaystyle M={\sf A}\left( \mathbf{G} \right)^1+{\sf A}\left( \mathbf{G} \right)^2+\ldots+{\sf A}\left( \mathbf{G} \right)^{\left( n-1 \right)} </math> }
+<rightoption> <math>\displaystyle M={\sf A}\left( \mathbf{G} \right)^1+{\sf A}\left( \mathbf{G} \right)^2+\ldots+{\sf A}\left( \mathbf{G} \right)^{\left( n-1 \right)} </math> }
-</wrongoption>{ <math>\displaystyle M={\sf A}\left( \mathbf{G} \right)^{\left( n-1 \right)} </math> }
+<wrongoption> <math>\displaystyle M={\sf A}\left( \mathbf{G} \right)^{\left( n-1 \right)} </math> }
-</wrongoption>{ <math>\displaystyle M=n\cdot{\sf A}\left( \mathbf{G} \right) </math> }
+<wrongoption> <math>\displaystyle M=n\cdot{\sf A}\left( \mathbf{G} \right) </math> }
-</rightoption>{ <math>\displaystyle m_{ij}>0 </math>  wtedy i tylko wtedy, gdy  <math>\displaystyle \left( v_i,v_j \right)\in{\sf E}\!\left({\sf TC}\left( \mathbf{G} \right)\right) </math> }
+<rightoption> <math>\displaystyle m_{ij}>0 </math>  wtedy i tylko wtedy, gdy  <math>\displaystyle \left( v_i,v_j \right)\in{\sf E}\!\left({\sf TC}\left( \mathbf{G} \right)\right) </math> }
 </quiz>
@@ Linia 964: / Linia 1083: @@
 zorientowanej macierzy incydencji  <math>\displaystyle {\sf C}\left( \mathbf{G} \right) </math>
 oraz  macierzy stopni  <math>\displaystyle {\sf D}\left( \mathbf{G} \right) </math> :}
-</wrongoption>{ <math>\displaystyle {\sf B}\left( \mathbf{G} \right)\cdot {\sf B}\left( \mathbf{G} \right)^T= {\sf A}\left( \mathbf{G} \right)- {\sf D}\left( \mathbf{G} \right) </math> }
+<wrongoption> <math>\displaystyle {\sf B}\left( \mathbf{G} \right)\cdot {\sf B}\left( \mathbf{G} \right)^T= {\sf A}\left( \mathbf{G} \right)- {\sf D}\left( \mathbf{G} \right) </math> }
-</rightoption>{ <math>\displaystyle {\sf B}\left( \mathbf{G} \right)\cdot {\sf B}\left( \mathbf{G} \right)^T= {\sf D}\left( \mathbf{G} \right)+ {\sf A}\left( \mathbf{G} \right) </math> }
+<rightoption> <math>\displaystyle {\sf B}\left( \mathbf{G} \right)\cdot {\sf B}\left( \mathbf{G} \right)^T= {\sf D}\left( \mathbf{G} \right)+ {\sf A}\left( \mathbf{G} \right) </math> }
-</wrongoption>{ <math>\displaystyle {\sf B}\left( \mathbf{G} \right) \cdot{\sf A}\left( \mathbf{G} \right) = {\sf C}\left( \mathbf{G} \right) </math> }
+<wrongoption> <math>\displaystyle {\sf B}\left( \mathbf{G} \right) \cdot{\sf A}\left( \mathbf{G} \right) = {\sf C}\left( \mathbf{G} \right) </math> }
-</wrongoption>{ <math>\displaystyle {\sf C}\left( \mathbf{G} \right)\cdot {\sf C}\left( \mathbf{G} \right)^T= {\sf A}\left( \mathbf{G} \right)- {\sf D}\left( \mathbf{G} \right) </math> }
+<wrongoption> <math>\displaystyle {\sf C}\left( \mathbf{G} \right)\cdot {\sf C}\left( \mathbf{G} \right)^T= {\sf A}\left( \mathbf{G} \right)- {\sf D}\left( \mathbf{G} \right) </math> }
 </quiz>
@@ Linia 977: / Linia 1096: @@
   <math>\displaystyle e_0, e_2, e_3, e_6, e_9, e_{12}, e_{13}, e_{14}, e_{15} </math> .
- [!ht]
+\beginfigure [!ht]
+\begincenter
-{test_alg}
+\includegraphics{test_alg}
-{Graf  <math>\displaystyle \mathbf{G} </math> . '''[Rysunek z pliku:''' <tt>testalg.eps</tt>''']'''}
+\caption{Graf  <math>\displaystyle \mathbf{G} </math> . '''[Rysunek z pliku:''' <tt>test\_alg.eps</tt>''']'''}
+\endcenter
+\endfigure
 Wtedy:}
-</rightoption>{macierz  <math>\displaystyle M </math>  jest nieosobliwa}
+<rightoption>macierz  <math>\displaystyle M </math>  jest nieosobliwa}
-</wrongoption>{macierz  <math>\displaystyle M </math>  jest osobliwa}
+<wrongoption>macierz  <math>\displaystyle M </math>  jest osobliwa}
-</wrongoption>{suma elementów w każdej kolumnie macierzy  <math>\displaystyle M </math>  wynosi  <math>\displaystyle 0 </math> }
+<wrongoption>suma elementów w każdej kolumnie macierzy  <math>\displaystyle M </math>  wynosi  <math>\displaystyle 0 </math> }
-</wrongoption>{macierz  <math>\displaystyle M </math>  jest antysymetryczna}
+<wrongoption>macierz  <math>\displaystyle M </math>  jest antysymetryczna}
 </quiz>
 <quiz>Na to by permanent grafu  <math>\displaystyle \mathbf{G} </math>  był niezerowy, wystarcza by:}
-</rightoption>{graf  <math>\displaystyle \mathbf{G} </math>  posiadał cykl Hamiltona}
+<rightoption>graf  <math>\displaystyle \mathbf{G} </math>  posiadał cykl Hamiltona}
-</wrongoption>{graf  <math>\displaystyle \mathbf{G} </math>  posiadał cykl Eulera}
+<wrongoption>graf  <math>\displaystyle \mathbf{G} </math>  posiadał cykl Eulera}
-</wrongoption>{graf  <math>\displaystyle \mathbf{G} </math>  był spójny}
+<wrongoption>graf  <math>\displaystyle \mathbf{G} </math>  był spójny}
-</rightoption>{graf  <math>\displaystyle \mathbf{G} </math>  był grafem dwudzielnym posiadającym skojarzenie doskonałe}
+<rightoption>graf  <math>\displaystyle \mathbf{G} </math>  był grafem dwudzielnym posiadającym skojarzenie doskonałe}
 </quiz>
 <quiz>Zaznacz zdania prawdziwe o wartościach własnych grafów:}
-</wrongoption>{Co najmniej jedna z wartości własnych jest liczbą zespoloną.}
+<wrongoption>Co najmniej jedna z wartości własnych jest liczbą zespoloną.}
-</wrongoption>{Jeśli wszystkie wartości własne są wymierne, to graf jest eulerowski.}
+<wrongoption>Jeśli wszystkie wartości własne są wymierne, to graf jest eulerowski.}
-</rightoption>{Wszystkie wartości własne grafu hamiltonowskiego są rzeczywiste.}
+<rightoption>Wszystkie wartości własne grafu hamiltonowskiego są rzeczywiste.}
-</rightoption>{Wszystkie wartości własne dowolnego grafu są rzeczywiste.}
+<rightoption>Wszystkie wartości własne dowolnego grafu są rzeczywiste.}
 </quiz>
 <quiz>Zaznacz prawdziwe związki wartości własnych z maksymalnym stopniem wierzchołka
 w grafie prostym:}
-</wrongoption>{ <math>\displaystyle \lambda_{max}\!\left( \mathbf{G} \right)=\Delta\left( \mathbf{G} \right) </math> }
+<wrongoption> <math>\displaystyle \lambda_{max}\!\left( \mathbf{G} \right)=\Delta\left( \mathbf{G} \right) </math> }
-</rightoption>{ <math>\displaystyle \left\vert \lambda_{max}\!\left( \mathbf{G} \right) \right\vert\leq\Delta\left( \mathbf{G} \right) </math> }
+<rightoption> <math>\displaystyle \left\vert \lambda_{max}\!\left( \mathbf{G} \right) \right\vert\leq\Delta\left( \mathbf{G} \right) </math> }
-</rightoption>{ <math>\displaystyle \lambda_{max}\!\left( \mathbf{G} \right)=\Delta\left( \mathbf{G} \right) </math>
+<rightoption> <math>\displaystyle \lambda_{max}\!\left( \mathbf{G} \right)=\Delta\left( \mathbf{G} \right) </math>
 wtedy i tylko wtedy, gdy któraś spójna składowa grafu  <math>\displaystyle \mathbf{G} </math>
 jest grafem regularnym stopnia  <math>\displaystyle \Delta\left( \mathbf{G} \right) </math> }
-</rightoption>{ <math>\displaystyle -\Delta\left( \mathbf{G} \right) </math>
+<rightoption> <math>\displaystyle -\Delta\left( \mathbf{G} \right) </math>
 jest wartością własną macierzy  <math>\displaystyle {\sf A}\left( \mathbf{G} \right) </math>
 wtedy i tylko wtedy, gdy  <math>\displaystyle \mathbf{G} </math>  jest regularnym grafem dwudzielnym
@@ Linia 1019: / Linia 1140: @@
 oraz wartościach własnych  <math>\displaystyle \lambda_{min}\!\left( \mathbf{G} \right)\approx-2,73205 </math>  i  <math>\displaystyle \lambda_{max}\!\left( \mathbf{G} \right)=4 </math>
 moc niezależnego podzbioru jest ograniczona z góry przez:}
-</wrongoption>{ <math>\displaystyle 2 </math> }
+<wrongoption> <math>\displaystyle 2 </math> }
-</wrongoption>{ <math>\displaystyle 3 </math> }
+<wrongoption> <math>\displaystyle 3 </math> }
-</rightoption>{ <math>\displaystyle 4 </math> }
+<rightoption> <math>\displaystyle 4 </math> }
-</rightoption>{ <math>\displaystyle 10 </math> }
+<rightoption> <math>\displaystyle 10 </math> }
 </quiz>
 <quiz>Zaznacz zdania prawdziwe wiążące liczbę chromatyczną  <math>\displaystyle \chi\!\left( \mathbf{G} \right) </math>
 z wartościami własnymi grafu regularnego  <math>\displaystyle \mathbf{G} </math> :}
-</rightoption>{ <math>\displaystyle \chi\!\left( \mathbf{G} \right)\geq 1-\frac{\lambda_{max}\!\left( \mathbf{G} \right)}{\lambda_{min}\!\left( \mathbf{G} \right)} </math> }
+<rightoption> <math>\displaystyle \chi\!\left( \mathbf{G} \right)\geq 1-\frac{\lambda_{max}\!\left( \mathbf{G} \right)}{\lambda_{min}\!\left( \mathbf{G} \right)} </math> }
-</wrongoption>{ <math>\displaystyle \chi\!\left( \mathbf{G} \right)= 1-\frac{\lambda_{max}\!\left( \mathbf{G} \right)}{\lambda_{min}\!\left( \mathbf{G} \right)} </math> }
+<wrongoption> <math>\displaystyle \chi\!\left( \mathbf{G} \right)= 1-\frac{\lambda_{max}\!\left( \mathbf{G} \right)}{\lambda_{min}\!\left( \mathbf{G} \right)} </math> }
-</rightoption>{ <math>\displaystyle \chi\!\left( \mathbf{G} \right)\leq\lambda_{max}\!\left( \mathbf{G} \right)+1 </math> }
+<rightoption> <math>\displaystyle \chi\!\left( \mathbf{G} \right)\leq\lambda_{max}\!\left( \mathbf{G} \right)+1 </math> }
-</wrongoption>{ <math>\displaystyle \chi\!\left( \mathbf{G} \right)\geq\lambda_{max}\!\left( \mathbf{G} \right) </math> }
+<wrongoption> <math>\displaystyle \chi\!\left( \mathbf{G} \right)\geq\lambda_{max}\!\left( \mathbf{G} \right) </math> }
 </quiz>
+\etest