Test GR4: Różnice pomiędzy wersjami

Wersja z 14:13, 18 wrz 2006

Zależność $(\binom{n}{0}) - (\binom{n}{1}) + \dots + (- 1)^{n} (\binom{n}{n}) = 0$ zachodzi dla:} </rightoption> wszystkich liczb naturalnych $n$ </wrongoption> tylko skończenie wielu liczb naturalnych $n$ </wrongoption> żadnej liczby naturalnej $n$ </rightoption> wszystkich, poza skończenie wieloma liczbami naturalnymi $n$

Suma elementów $n$ -tego wiersza Trójkąta Pascala bez obu wartości brzegowych to:}

</wrongoption> $2^{n}$ . </rightoption> $2^{n} - 2$ . </rightoption> $\sum_{i = 1}^{n} (\binom{n}{i}) - 1$ . </wrongoption> $(\binom{2 n}{n})$ .

Współczynnik przy wyrazie $x^{n}$ w rozwinięciu dwumianu $(x + 2)^{2 n}$ to:} </wrongoption> $(\binom{2 n}{n})$ . </wrongoption> $2^{n} (\binom{n}{2})$ . </rightoption> $(\binom{2 n}{n}) 2^{n}$ . </wrongoption> $(\binom{2 n}{n}) 2^{2 n}$ .

$(\binom{- 1}{k})$ dla $k ⩾ 0$ jest równe:} </wrongoption> $0$ . </wrongoption> $1$ . </wrongoption> $(- 1)^{k}$ . </rightoption> $(- 1)^{k + 1}$

Suma $\sum_{i = 0}^{n} 2^{i} (\binom{n}{i})$ wynosi} </wrongoption> $2^{n}$ . </rightoption> $3^{n}$ . </wrongoption> $(n + 2)^{n}$ . </wrongoption> $(\binom{2 n}{n})$ .

Liczba nieporządków na zbiorze $3$ -elementowym to:} </wrongoption> $1$ . </rightoption> $2$ . </wrongoption> $3$ . </wrongoption> $6$ .

$(\binom{n}{a, b, 0, \dots, 0})$ gdzie $a + b = n$ to:} </rightoption> $(\binom{n}{a})$ . </rightoption> $(\binom{n}{b})$ . </wrongoption> $(\binom{n}{a + b})$ . </wrongoption> $(\binom{n + a + b}{a + b})$ .

Na ile sposobów z grupy $5 n$ osób, złożonej z $3 n$ mężczyzn i $2 n$ kobiet, można wybrać $n$ -kobiet i $n$ -mężczyzn, i dodatkowo z niewybranych mężczyzn wyznaczyć przywódcę?} </wrongoption> $((\binom{5 n}{3 n}) (\binom{3 n}{n}) + (\binom{5 n}{2 n}) (\binom{2 n}{n})) \cdot 2 n$ . </rightoption> $(\binom{3 n}{n}) (\binom{2 n}{n}) \cdot 2 n$ . </wrongoption> $((\binom{3 n}{n}) + (\binom{2 n}{n})) \cdot 2 n$ . </wrongoption> $(\binom{3 n}{n}) (\binom{2 n}{n}) \cdot 3 n$ .

Suma $(\binom{0}{7}) + (\binom{1}{7}) + (\binom{2}{7}) + (\binom{3}{7}) + (\binom{4}{7}) + (\binom{5}{7}) + (\binom{6}{7}) + (\binom{7}{7})$ to:} </wrongoption> $0$ . </wrongoption> $(\binom{8}{7})$ . </wrongoption> $(\binom{7}{8})$ . </rightoption> $(\binom{8}{8})$ .

Współczynnik przy wyrazie $x^{m} y^{n}$ w rozwinięciu dwumianu $(x + y)^{m + n}$ to:} </rightoption> $(\binom{m + n}{m})$ . </rightoption> $(\binom{m + n}{n})$ . </wrongoption> $(\binom{m}{n})$ . </wrongoption> $\sum_{i = 0}^{m} (\binom{m + n}{i})$ .

66666666666666666666666666666

{article} {../makraT}

0mm

Uzupelnij tytul
Permutacje i podziały

10mm

Niech $n_{π}, n_{σ}, n_{ρ}$ będą kolejno liczbami permutacji w $S_{7}$ tego samego typu co, odpowiednio, $π = (14) (26) (357)$ , $σ = (1357) (246)$ , $ρ = (12) (34) (56) (7)$ . Wtedy:} </rightoption> $n_{π} ⩽ n_{τ} ⩽ n_{ρ}$ </rightoption> $n_{τ} ⩽ n_{π} ⩽ n_{ρ}$ </wrongoption> $n_{ρ} ⩽ n_{π} ⩽ n_{τ}$ </wrongoption> $n_{π} ⩽ n_{ρ} ⩽ n_{τ}$

Dla sprzężonych permutacji $π, σ \in S_{13}$ zachodzi:} </rightoption> $π$ i $σ$ mają tyle samo cykli $4$ -elementowych </wrongoption> elementy $1$ i $2$ albo są w tym samym cyklu w obu permutacjach,

   albo nie są w tym samym cyklu w obu permutacjach

</rightoption> $π$ i $σ$ mają ten sam typ </rightoption> $π$ i $σ$ mają ten sam znak

Dla $n ⩾ 2$ ,

   podziałowa liczba Stirlinga   ${\begin{array}{c} n \\ 2 \end{array}}$  wynosi:}

</wrongoption> $\sum_{k = 1}^{n - 1} (\binom{n}{k}) k! = \sum_{k = 1}^{n - 1} \frac{n!}{k!}$ </wrongoption> $n! \sum_{k = 1}^{n - 1} \frac{1}{k (n - k)}$ </wrongoption> $n! \sum_{k = 1}^{n - 1} \frac{1}{k (n - k)}$ </rightoption> $\frac{n!}{2} \sum_{k = 1}^{n - 1} \frac{1}{k (n - k)}$

Średnia liczba cykli permutacji $n$ -elementowej (czyli stosunek sumarycznej liczby cykli we wszystkich permutacjach $n$ -elementowych do liczby cykli $n$ -elementowych) to:} </wrongoption> $2 n$ </wrongoption> $⌊ \frac{n}{\lg n} ⌋ + 1$ </rightoption> $\sum_{k = 1}^{n} \frac{1}{k}$ </wrongoption> $\frac{n}{2}$

Podziałowa liczba Stirlinga ${\begin{array}{c} 7 \\ 4 \end{array}}$ wynosi} </wrongoption> $90$ </wrongoption> $140$ </wrongoption> $301$ </rightoption> $350$

Jednomian $x^{n}$ jest równy:} </rightoption> $\sum_{i} {\begin{array}{c} n \\ i \end{array}} x^{\underline{i}}$ </wrongoption> $B_{n} x^{\underline{n}}$ , gdzie $B_{n}$ jest $n$ -tą liczbą Bella </wrongoption> $\sum_{i} [\begin{array}{c} n \\ i \end{array}] x^{\overline{i}}$ </rightoption> $\sum_{i} {\begin{array}{c} n \\ i \end{array}} (- 1)^{n - i} x^{\overline{i}}$

Na ile sposobów można rozłożyć $a$ rozróżnialnych obiektów do dokładnie $b$ rozróżnialnych szuflad, tak by każda szufladka była niepusta?} </wrongoption> $b^{a}$ </wrongoption> ${\begin{array}{c} a \\ b \end{array}}$ </rightoption> $b! {\begin{array}{c} a \\ b \end{array}}$ </wrongoption> $(\binom{a - 1}{b - 1})$

Na ile sposobów można rozłożyć $a$ nierozróżnialnych obiektów do co najwyżej $b$ rozróżnialnych szuflad?} </wrongoption> $(\binom{a - 1}{b - 1})$ </rightoption> $(\binom{b + a - 1}{b - 1})$ </wrongoption> ${\begin{array}{c} a \\ b \end{array}}$ </wrongoption> $\sum_{i = 1}^{b} {\begin{array}{c} a \\ i \end{array}}$

Gdy $P (n, k)$ jest liczbą rozkładów liczby $n$ na sumy dokładnie $k$ nieujemnych całkowitych składników, to $\lim_{n \to \infty} \frac{P (n, k)}{n^{k}}$ wynosi:} </rightoption> $0$ </wrongoption> $\frac{1}{k! (k - 1)!}$ </wrongoption> $\frac{1}{k}$ </wrongoption> $1$

Na ile sposobów można podzielić zbiór $a$ elementowy na $b + c$ bloków, przy czym $b$ bloków jest wyróżnionych?} </rightoption> ${\begin{array}{c} a \\ b + c \end{array}} (\binom{b + c}{b})$ </rightoption> $\sum_{k} (\binom{a}{k}) {\begin{array}{c} k \\ b \end{array}} {\begin{array}{c} a - k \\ c \end{array}}$ </wrongoption> ${\begin{array}{c} a \\ b \end{array}} {\begin{array}{c} a - b \\ c \end{array}}$ </wrongoption> ${\begin{array}{c} a \\ b + c \end{array}} b!$

777777777777777777777777777777777777777777777777777777777

{article} {../makraT}

0mm

Uzupelnij tytul
Funkcje tworzące

10mm

Na ile sposobów można rozmienić $25$ centów za pomocą monet $1$ , $5$ , $10$ oraz $25$ centowych?}

</wrongoption>{  $6$  }
</wrongoption>{  $12$  }
</rightoption>{  $13$  }
</wrongoption>{  $49$  }

Funkcja tworząca postaci $G (x) = g_{0} + g_{1} x + g_{2} x^{2} + g_{3} x^{3} + \dots$ ma odwrotną względem mnożenia (splotu), tzn. istnieje funkcja tworząca $U (x)$ taka, że $U (x) G (x) = 1$ }

</wrongoption>{jeśli   $g_{0} \neq 1$  }
</rightoption>{jeśli   $g_{0} \neq 0$  }
</rightoption>{jeśli wszystkie   $g_{i} \neq 0$  }
</rightoption>{wtedy i tylko wtedy, gdy   $g_{0} \neq 0$  }

Funkcja $G (x)$ spełniająca

 $G (x) = (\sum_{n = 0}^{\infty} x^{n}) \cdot (1 + x G (x))$

jest funkcją tworzącą:} </wrongoption>{ciągu $1, 1, 2, 4, 8, 16, 32, \dots, 2^{n - 1}, \dots$ } </rightoption>{ciągu geometrycznego $g_{n} = 2^{n}$ } </wrongoption>{nie ma takiego ciągu} </wrongoption>{nie istnieje taka funkcja tworząca}

Funkcja $G (x)$ spełniająca

 $G (x) = G^{'} (x)$   oraz   $G (0) = 1$

jest funkcją tworzącą ciągu:} </wrongoption>{ $g_{n} = \frac{1}{n}$ } </rightoption>{ $g_{n} = \frac{1}{n!}$ } </wrongoption>{ $g_{n} = 1$ } </wrongoption>{ $g_{0} = 1$ oraz $g_{n} = 0$ dla $n > 1$ }

Niech $G (x) = {(1 + x)}^{y}$ , gdzie $y$ jest liczba rzeczywistą. Jeśli $G (x) = \sum_{n = 0}^{\infty} g_{n} x^{n}$ , to:} </wrongoption>{ $g_{n} = \frac{{(y + n)}^{\underline{n}}}{n}$ } </wrongoption>{ $g_{n} = \frac{y^{n}}{n!}$ } </wrongoption>{ $g_{n} = (\binom{y + n}{n}) = \frac{{(y + n)}^{\underline{n}}}{n!}$ } </rightoption>{ $g_{n} = (\binom{y}{n}) = \frac{y^{\underline{n}}}{n!}$ }

Suma $\sum_{k = 0}^{n} (3 k^{2} - 3 k + 1)$ wynosi:} </wrongoption>{ $2 n^{3} + 3 n + n$ ,} </rightoption>{ $n^{3}$ ,} </wrongoption>{ $(2 n^{3} + 3 n + n) / 6$ ,} </wrongoption>{ $3 n^{3} - 3 n^{2} + n$ }

Niech $a_{0} = 2$ , $a_{1} = 3$ , $a_{2} = 5$ , oraz $a_{n + 3} = 7 a_{n + 2} - 16 a_{n + 1} + 12 a_{n}$ . Wtedy:} </wrongoption>{ $a_{n} = (1 - n) 2^{n} + 3^{n}$ } </rightoption>{ $a_{n} = \frac{1}{\sqrt{5}} ({(\frac{1 + \sqrt{5}}{2})}^{n + 3} - {(\frac{1 - \sqrt{5}}{2})}^{n + 3})$ } </wrongoption>{ $a_{n} = \frac{1}{\sqrt{5}} ({(\frac{1 + \sqrt{5}}{2})}^{n} - {(\frac{1 - \sqrt{5}}{2})}^{n})$ } </wrongoption>{żadna z pozostałych odpowiedzi nie jest prawidłowa}

8888888888888888888888888888888888888888888888

{article} {../makraT}

0mm

Uzupelnij tytul
Zliczanie obiektów

10mm

Liczby Catalana $c_{n}$ spełniają zależność rekurencyjną:} </wrongoption>{ $c_{n} = \sum_{k = 1}^{n - 1} c_{k}$ } </wrongoption>{ $c_{n} = \sum_{k = 1}^{n} c_{k}$ } </wrongoption>{ $c_{n} = \sum_{k = 1}^{n - 1} c_{k} c_{n - k}$ } </rightoption>{ $c_{n} = \sum_{k = 1}^{n} c_{k - 1} c_{n - k}$ }

$n$ -ta liczba Catalana to:} </wrongoption>{ $(\binom{2 n}{n})$ } </rightoption>{ $\frac{1}{n + 1} (\binom{2 n}{n})$ } </wrongoption>{ $(\binom{1 / 2}{n}) {(- 4)}^{n}$ } </rightoption>{ $2 (\binom{1 / 2}{n + 1}) {(- 4)}^{n}$ }

Niech $t_{10}$ będzie liczbą drzew o wysokości $10$ . Wtedy:} </rightoption>{ $t_{10} \leq 2^{1023}$ } </rightoption>{ $t_{10} \geq 2^{512}$ } </wrongoption>{ $t_{10} \leq 2^{10}$ } </wrongoption>{ $t_{10} \geq 2^{9}$ }

Liczba podziałów liczby $16$ na sumy złożone jedynie ze składników $1, 2, 4, 8, 16$ wynosi:} </wrongoption>{ $25$ } </wrongoption>{ $26$ } </rightoption>{ $35$ } </wrongoption>{ $165$ }

Funkcja tworząca podziału liczby na sumy jest przedstawialna jako:} </rightoption>{ $\prod_{k = 1}^{\infty} \frac{1}{1 - x^{k}}$ } </wrongoption>{ $\sum_{k = 1}^{\infty} \frac{1}{1 - x^{k}}$ } </wrongoption>{ $\sum_{n = 0}^{\infty} \prod_{k = 1}^{\infty} \frac{1}{1 - x^{n k}}$ } </rightoption>{ $\prod_{k = 1}^{\infty} \sum_{n = 0}^{\infty} x^{n k}$ }

Funkcja tworząca

 $s_{n} (x) = [\begin{array}{c} n \\ 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} n \\ 1 \end{array}] x + [\begin{array}{c} n \\ 2 \end{array}] x^{2} + [\begin{array}{c} n \\ 3 \end{array}] x^{3} + \dots,$

dla cyklowych liczb Stirlinga $[\begin{array}{c} n \\ m \end{array}]$ , ma postać zwartą: } </rightoption>{ $s_{n} (x) = x^{\overline{n}}$ } </rightoption>{ $s_{n} (x) = \prod_{k = 0}^{n - 1} (x + k)$ } </wrongoption>{ $s_{n} (x) = x^{\underline{n}}$ } </wrongoption>{ $s_{n} (x) = 1 / \prod_{k = 0}^{n - 1} (1 - k x)$ }

Podziałowe liczby Stirlinga spełniają zależność rekurencyjną:} </wrongoption>{ ${\begin{array}{c} n \\ k \end{array}} = (n - 1) {\begin{array}{c} n - 1 \\ k \end{array}} + {\begin{array}{c} n - 1 \\ k - 1 \end{array}}$ , dla $0 > k > n$ } </wrongoption>{ ${\begin{array}{c} n + k \\ k \end{array}} = {\begin{array}{c} n + k - 1 \\ k \end{array}} + k {\begin{array}{c} n + k - 1 \\ k - 1 \end{array}}$ , dla $n > 1, k > 0$ } </rightoption>{ ${\begin{array}{c} n + k \\ k \end{array}} = k {\begin{array}{c} n + k - 1 \\ k \end{array}} + {\begin{array}{c} n + k - 1 \\ k - 1 \end{array}}$ , dla $n > 1, k > 0$ } </wrongoption>{żadna z pozostałych odpowiedzi nie jest prawidłowa}

Niech $a_{0} = 1$ , $a_{1} = 0$ oraz $a_{n} = \frac{a_{n - 2}}{n}$ . Funkcja tworząca $A (x) = \sum_{n = 0}^{\infty} a_{n} x^{n}$ ma postać zwartą:} </wrongoption>{ $A (x) = \sin x$ } </wrongoption>{ $A (x) = e^{x^{2}}$ } </rightoption>{ $A (x) = e^{x^{2} / 2}$ } </wrongoption>{żadna z pozostałych odpowiedzi nie jest prawidłowa}

999999999999999999999999999999999999999

{article} {../makraT}

0mm

Uzupelnij tytul
Asymptotyka

10mm

Funkcja $n^{2} \lg n + \frac{n^{2} \sqrt{n}}{\lg n}$ jest:} </wrongoption> $Θ (n^{2} \lg n)$ </wrongoption> $O (n^{2} \lg n)$ </wrongoption> $Θ n^{2} \sqrt{n}$ </rightoption> $O (\frac{n^{2} \sqrt{n}}{\lg n})$

Funkcja $\frac{n^{9}}{\lg^{10} n}$ jest:} </wrongoption> $O (n^{\frac{9}{10}})$ </wrongoption> $O (n)$ </rightoption> $O (n^{9})$ </rightoption> $Ω (\lg^{10} n)$

Dla $f (n) = 2^{\lg n + 1}$ oraz $g (n) = \lg 2 n - 1$ zachodzi:} </wrongoption> $f (x) = ω (g (x))$ </rightoption> $f (x) = Ω (g (x))$ </rightoption> $f (x) = Θ (g (x))$ </rightoption> $f (x) = O (g (x))$ </wrongoption> $f (x) = o (g (x))$

Dowolny wielomian $k$ -tego stopnia jest:} </rightoption> $Ω (n^{k})$ </rightoption> $Θ (n^{k})$ </rightoption> $O (n^{k})$ </rightoption> $o (n^{k + ε})$ dla dowolnego $ε > 0$

Dla $f (n) = \frac{\lg n}{n}$ oraz $g (n) = \frac{1}{\sqrt{n}}$ zachodzi:} </wrongoption> $f (x) = ω (g (x))$ </wrongoption> $f (x) = Ω (g (x))$ </wrongoption> $f (x) = Θ (g (x))$ </rightoption> $f (x) = O (g (x))$ </rightoption> $f (x) = o (g (x))$

Dla $f (x) = x^{2}$ oraz $g (x) = x^{2} + \sin x$ zachodzi:} </rightoption> $f (x) = Ω (g (x))$ </rightoption> $f (x) = Θ (g (x))$ </rightoption> $f (x) = O (g (x))$ </wrongoption> żadne z pozostałych

Dla $T (n) = 9 T (\frac{n}{3}) + \frac{n^{2}}{\lg n}$ :} </wrongoption> możemy skorzystać z pierwszego punktu Tw. o rekurencji uniwersalnej i $T (n) = Θ (n^{2})$ </wrongoption> możemy skorzystać z drugiego punktu Tw. o rekurencji uniwersalnej i $T (n) = Θ (n^{2} \lg n)$ </wrongoption> możemy skorzystać z trzeciego punktu Tw. o rekurencji uniwersalnej i $T (n) = Θ (\frac{n^{2}}{\lg n})$ </rightoption> żadne z pozostałych

Dla $T (n) = 25 T (\frac{n}{4}) + \frac{n^{2}}{\lg n}$ } </rightoption> możemy skorzystać z pierwszego punktu Tw. o rekurencji uniwersalnej i $T (n) = Θ (n^{\lg_{4} 25})$ </wrongoption> możemy skorzystać z drugiego punktu Tw. o rekurencji uniwersalnej i $T (n) = Θ (n^{2})$ </wrongoption> możemy skorzystać z trzeciego punktu Tw. o rekurencji uniwersalnej i $T (n) = Θ (\frac{n^{2}}{\lg n})$ </wrongoption> żadne z pozostałych

Funkcja spełniająca zależność $T (n) = T (\frac{n}{2}) + 1$ jest:} </rightoption> $Θ (\lg n)$ </rightoption> $Θ (n)$ </rightoption> $O (n)$ </wrongoption> żadne z pozostałych

101010101010101010101010101010101010

{article} {../makraT}

0mm

Uzupelnij tytul
Teoria liczb I

10mm

Liczb naturalnych $n > 1$ w rozkładzie których występują wszystkie liczby pierwsze niewiększe od $n$ jest:} </wrongoption> nieskończenie wiele </rightoption> co najmniej jedna </rightoption> skończenie wiele </wrongoption> nie ma takich liczb

Liczb pierwszych postaci $91 n + 7$ , dla $n \in ℕ$ jest:} </wrongoption> nie ma takich liczb </rightoption> dokładnie jedna </rightoption> skończenie wiele </wrongoption> nieskończenie wiele

Jeśli w ciągu postaci ${a n + b}_{n \in ℕ}$ , gdzie $a, b \in ℕ$ , są przynajmniej dwie liczby pierwsze, to} </rightoption> jest ich nieskończenie wiele </wrongoption> wszystkie liczby tego ciągu są pierwsze </wrongoption> może ich być tylko skończenie wiele </rightoption> $a$ i $b$ są względnie pierwsze

Jeśli $p$ jest dowolną liczbą pierwszą, to sito Eratostenesa zastosowane do liczby $p^{2} + 2$ jako ostatnią skreśli:} </wrongoption> $p$ </rightoption> $p^{2}$ </wrongoption> $p^{2} + 1$ </wrongoption> $p^{2} + 2$

Jeśli $a | b c$ oraz NWD $(a, b) = d$ , to} </rightoption> $\frac{a}{d} | c$ </rightoption> $a | c d$ </rightoption> $\frac{a}{d} ⊥ b$ </rightoption> $\frac{a}{d} ⊥ \frac{b}{d}$

Liczb pierwszych postaci $n^{2} - 1$ , gdzie $n \in ℕ$ , jest:} </wrongoption> $0$ </rightoption> $1$ </rightoption> skończenie wiele </wrongoption> nieskończenie wiele

Jeśli $a$ i $b$ są liczbami złożonymi to} </wrongoption> NWD $(a, b) > 1$ </rightoption> Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \frac{a}{ } NWD $(a, b) ⊥ \frac{b}{}$ NWD Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle (a,b)}} </wrongoption> jedna z liczb Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \frac{a}{ } NWD Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle (a,b)}} , Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \frac{b}{ } NWD Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle (a,b)}} jest pierwsza </wrongoption> jeśli $a ⊥ b$ , to przynajmniej jedna z liczb $a - b$ , $a + b$ jest parzysta

Jeśli $a | c$ i $b | c$ , to} </wrongoption> NWD $(a, b) > 1$ </wrongoption> NWD $(a, b) < c$ </rightoption> jeśli NWD $(a, b) > 1$ , to NWW $(a, b) < c$ </rightoption> NWW $(a, b) ⩽ c$

Rosnący ciąg arytmetyczny rozpoczynający się od $1$ :} </rightoption> zawsze zawiera nieskończenie wiele liczb pierwszych </wrongoption> może zawierać tylko skończenie wiele liczb pierwszych </wrongoption> zawsze zawiera tylko skończenie wiele liczb pierwszych </wrongoption> może nie zawierać żadnej liczby pierwszej

11111111111111111111111111111111

{article} {../makraT}

0mm

Uzupelnij tytul
Teoria liczb II

10mm

Jeśli $d ⊥ n$ oraz $a c d \equiv_{c n} b c d$ , to} </rightoption> $a \equiv_{n} b$ </rightoption> $a d \equiv_{n} b d$ </rightoption> $a c d \equiv_{n} b c d$ </wrongoption> $a c \equiv_{n d} b c$

Równanie $7 x \equiv_{91} 4$ } </wrongoption> nie ma rozwiązania </wrongoption> ma skończenie wiele rozwiązań </wrongoption> zbiór wszystkich jego rozwiązań jest postaci ${13 n + c : n \in N}$ dla pewnego $c \in ℕ$ </rightoption> zbiór wszystkich rozwiązań jest postaci ${91 n + c : n \in ℕ}$ dla pewnego $c \in ℕ$

Układ równań

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\aligned”): {\displaystyle \displaystyle \aligned x&\equiv_9&8,\\ x&\equiv_{223}&222. \endaligned}

} </rightoption> ma całkowite rozwiązanie mniejsze od 2006 </wrongoption> $2006$ jest jego jedynym rozwiązaniem </wrongoption> wszystkie jego rozwiązania są postaci $2006 \cdot n$ , gdzie $n \in ℤ$ </rightoption> wszystkie jego rozwiązania są postaci $2007 n + 2006$

Dla $a < b$ warunek $φ (a) ⩽ φ (b)$ zachodzi jeśli} </wrongoption> $a ⩽ b$ </rightoption> $a | b$ </wrongoption> $a ⊥ b$ </rightoption> $a ⩽ b$ i $b$ jest pierwsza

$1 6^{49}$ { mod} $25$ wynosi:} </wrongoption> $1$ </wrongoption> $7$ </wrongoption> $14$ </rightoption> $21$

$1 4^{111}$ { mod} $15$ wynosi:} </wrongoption> $1$ </wrongoption> $3$ </wrongoption> $12$ </rightoption> $14$

Wiedząc, że $2006 = 2 \cdot 17 \cdot 59$ oblicz $μ (2006)$ : } </rightoption> $- 1$ </wrongoption> $0$ </wrongoption> $1$ </wrongoption> $3$

$(n - 1)!$ modulo $n$ to:} </rightoption> $0$ , jeśli $n$ jest złożona a $- 1$ , jeśli $n$ jest pierwsza </rightoption> $0$ , jeśli $n$ jest złożona a $n - 1$ , jeśli $n$ jest pierwsza </wrongoption> $0$ , jeśli $n$ jest złożona a $1$ , jeśli $n$ jest pierwsza </wrongoption> zawsze wynosi $1$

12121212121212121212121212121212

{article} {../makraT}

0mm

Uzupelnij tytul
Grafy I

10mm

Różnych grafów skierowanych bez cykli jednoelementowych w zbiorze $n$ -elementowym jest:} </wrongoption> $2^{n^{2}}$ </rightoption> $2^{n^{2} - n}$ </wrongoption> $2^{2^{n}}$ </wrongoption> $2^{2^{n} - n}$ </wrongoption> $2^{(\binom{n}{2})}$

Różnych grafów nieskierowanych bez cykli jednoelementowych w zbiorze $n$ -elementowym jest:} </wrongoption> $2^{n^{2}}$ </wrongoption> $2^{n^{2} - n}$ </wrongoption> $2^{2^{n}}$ </wrongoption> $2^{2^{n} - n}$ </rightoption> $2^{(\binom{n}{2})}$

Zaznacz zdania prawdziwe:} </wrongoption> W każdym grafie prostym $G = (V; E)$ relacja $E$ musi być zwrotna. </rightoption> W grafie nieskierowanym $G = (V, E)$ relacja $E$ jest symetryczna. </wrongoption> Graf nieskierowany to rodzina wszystkich dwuelementowych podzbiorów zbioru wierzchołków. </rightoption> W grafie pełnym każde dwa różne wierzchołki połączone są krawędzią.

Zaznacz zdania prawdziwe dla grafów nieskierowanych:} </rightoption> podgraf indukowany grafu pełnego jest grafem pełnym </rightoption> każdy graf jest podgrafem jakiegoś grafu pełnego </wrongoption> każdy graf jest podgrafem indukowanym jakiegoś grafu pełnego </wrongoption> graf pełny ma zawsze parzystą liczbę krawędzi </rightoption> w grafie pełnym wszystkie wierzchołki mają ten sam stopień

Jaka jest najmniejsza liczba krawędzi w grafie nieskierowanym o 100 wierzchołkach i trzech składowych spójnych:}

</wrongoption>  $99$ 
</rightoption>  $97$ 
</wrongoption>  $98$ 
</wrongoption>  $100$ 
</wrongoption>  $\frac{100 \cdot 99}{3}$

Ile jest krawędzi w pełnym grafie dwudzielnym $K_{1000, 1000}$ :}

</rightoption>  $1000 \cdot 1000$ 
</wrongoption>  $1000!$ 
</wrongoption>  $(\binom{1000}{2})$ 
</wrongoption>  $(\binom{1000}{50})$ 
</wrongoption>  $(\binom{2000}{1000})$

W pełnym grafie $100$ -elementowym:} </wrongoption> każde drzewo rozpinające ma $100$ krawędzi </wrongoption> dokładnie jedno drzewo rozpinające ma $100$ krawędzi </rightoption> każde drzewo rozpinające ma $99$ krawędzi </wrongoption> dokładnie jedno drzewo rozpinające ma $99$ krawędzi </wrongoption> nie ma drzew rozpinających

W pełnym grafie dwudzielnym $K_{50, 50}$ :} </wrongoption> każde drzewo rozpinające ma $50$ krawędzi </wrongoption> każde drzewo rozpinające ma $100$ krawędzi </rightoption> każde drzewo rozpinające ma $99$ krawędzi </wrongoption> dokładnie jedno drzewo rozpinające ma $99$ krawędzi </wrongoption> nie ma drzew rozpinających

W $100$ elementowym grafie o trzech składowych spójnych:} </wrongoption> jakiś las rozpinający ma $100$ krawędzi </wrongoption> jakiś las rozpinający ma $99$ krawędzi </wrongoption> jakiś las rozpinający ma $98$ krawędzi </rightoption> jakiś las rozpinający ma $97$ krawędzi </wrongoption> może nie być lasu rozpinającego

Pełny graf $100$ -elementowy:} </rightoption> jest grafem Hamiltonowskim </wrongoption> jest grafem Eulerowskim </wrongoption> jest spójny </wrongoption> jest dwudzielny </rightoption> jest stukolorowalny

Pełny graf dwudzielny $K_{25, 25}$ :} </rightoption> jest grafem Hamiltonowskim </wrongoption> jest grafem Eulerowskim </rightoption> zawiera cykl $4$ wierzchołkach jako podgraf indukowany </wrongoption> zawiera cykl $6$ wierzchołkach jako podgraf indukowany </rightoption> jest trójkolorowalny

Graf o $2005$ wierzchołkach, z których każdy ma stopień $101$ :} </wrongoption>{ma $202505$ krawędzi} </wrongoption>{ma $2106$ krawędzi} </wrongoption>{ma $405010$ krawędzi} </rightoption>{nie istnieje}

Jeśli $𝐆_{1} = (V, E_{1})$ i $𝐆_{2} = (V, E_{2})$ są grafami niespójnymi o tym samym zbiorze wierzchołków $V$ , to:} </rightoption>{graf $𝐆_{1} \cup 𝐆_{1}$ może być spójny} </wrongoption>{graf $𝐆_{1} \cup 𝐆_{1}$ jest spójny} </rightoption>{graf $𝐆_{1} \cap 𝐆_{1}$ może nie być spójny} </rightoption>{graf $𝐆_{1} \cap 𝐆_{1}$ nie jest spójny}

Graf $𝐏_{4}$ to graf, który składa się jedynie ze ścieżki odwiedzającej $4$ wierzchołki, czyli Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle {\sf V}\!\left(\mathbf{P}_4\right)=\left\lbrace a,b,c,d \right\rbrace } oraz Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle {\sf E}\!\left(\mathbf{P}_4\right)=\left\lbrace \left\lbrace a,b \right\rbrace,\left\lbrace b,c \right\rbrace,\left\lbrace c,d \right\rbrace \right\rbrace } . W grafie spójnym, w którym nie ma podgrafu indukowanego izomorficznego do $𝐏_{4}$ :} </rightoption>{dowolne dwa punkty leżą w odległości co najwyżej trzy} </rightoption>{dowolne dwa punkty leżą w odległości co najwyżej dwa} </wrongoption>{dowolne dwa punkty leżą w odległości co najwyżej jeden} </wrongoption>{każde trzy wierzchołki tworzą klikę $𝒦_{3}$ }

Zaznacz zdania prawdziwe:} </rightoption>{Każdy graf pusty jest grafem dwudzielnym.} </wrongoption>{Każdy graf pełny jest grafem dwudzielnym.} </wrongoption>{Graf $𝒦_{3}$ jest grafem dwudzielnym.} </rightoption>{Graf $𝒦_{2}$ jest grafem dwudzielnym.}

Zaznacz zdania prawdziwe:} </rightoption>{Każdy graf dwudzielny, który jest zarazem grafem pełnym jest planarny.} </rightoption>{Graf $𝒦_{4}$ jest grafem planarnym.} </wrongoption>{Graf $𝒦_{5}$ jest grafem planarnym.} </wrongoption>{Każdy graf dwudzielny jest grafem planarnym.}

Graf o $100$ wierzchołkach:} </wrongoption>{jeśli ma $99$ krawędzi, to jest drzewem.} </wrongoption>{jeśli ma $100$ krawędzi, to jest drzewem.} </wrongoption>{jeśli ma $4850$ krawędzi, to jest spójny.} </rightoption>{jeśli ma $4851$ krawędzi, to jest spójny.}

Na to by graf $𝐓$ był drzewem potrzeba i wystarcza, by:} </wrongoption>{ $𝐓$ nie zawierał cykli} </rightoption>{ $𝐓$ był spójny i miał $| V | - 1$ krawędzi} </rightoption>{dowolne dwa wierzchołki grafu $𝐓$ były połączone dokładnie jedną drogą} </wrongoption>{dowolne dwa wierzchołki grafu $𝐓$ leżały na dokładnie jednym cyklu}

131313131313131313131313131313

{article} {../makraT}

0mm

Uzupelnij tytul
Grafy II

10mm

Pełny graf dwudzielny $𝒦_{3, 3}$ :} </wrongoption>{jest eulerowski} </rightoption>{jest hamiltonowski} </wrongoption>{jest planarny} </wrongoption>{nie jest ani eulerowski ani planarny}

Pełny graf $100$ -elementowy:} </rightoption> jest grafem Hamiltonowskim </wrongoption> jest grafem Eulerowskim </wrongoption> jest spójny </wrongoption> jest dwudzielny </rightoption> jest stukolorowalny

Graf, w którym cykl Hamiltona jest zarazem cyklem Eulera} </wrongoption>{sam jest cyklem o parzystej liczbie krawędzi} </rightoption>{jest cyklem} </rightoption>{ma wierzchołki wyłącznie o stopniu $2$ } </wrongoption>{jest sumą dwu grafów o tych samych wierzchołkach ale rozłącznych zbiorach krawędzi, przy czym każdy z nich jest cyklem}

Jeśli graf $𝐆$ jest eulerowski, to:} </wrongoption>{graf $𝐆$ jest hamiltonowski} </rightoption>{każdy wierzchołek w grafie $𝐆$ ma parzysty stopień} </rightoption>{graf $𝐆$ jest sumą grafów o tych samych wierzchołkach ale rozłącznych zbiorach krawędzi, przy czym każdy z nich jest cyklem} </wrongoption>{jeśli dodatkowo $𝐆$ jest hamiltonowski, to po usunięciu cyklu Hamiltona graf $𝐆$ dalej jest eulerowski}

Graf o $101$ wierzchołkach:} </wrongoption>{w którym wszystkie wierzchołki są stopnia $50$ , jest hamiltonowski} </rightoption>{w którym wszystkie wierzchołki są stopnia $51$ , jest hamiltonowski} </wrongoption>{w którym dowolne dwa niesąsiednie wierzchołki $v$ i $w$ spełniają $\deg v + \deg w \geq 100$ jest hamiltonowski} </wrongoption>{w którym dowolne dwa sąsiednie wierzchołki $v$ i $w$ spełniają $\deg v + \deg w \geq 100$ jest hamiltonowski}

Który z warunków wystarcza na to, by w grafie dwudzielnym $𝐆 = (V_{1} \cup V_{2}, E)$ istniało pełne skojarzenie $V_{1}$ z $V_{2}$ ?} </rightoption>{graf $𝐆$ jest hamiltonowski} </wrongoption>{graf $𝐆$ jest eulerowski} </wrongoption>{w grafie $𝐆$ każdy wierzchołek z $V_{1}$ ma co najmniej dwu sąsiadów} </rightoption>{dowolny zbiór niezależny w ma co najwyżej $| V_{2} |$ wierzchołków}

Grafem $100$ -spójnym jest:} </rightoption>{graf w którym pomiędzy dowolnymi wierzchołkami istnieje $100$ dróg wierzchołkowo rozłącznych} </wrongoption>{graf, którego każdy zbiór rozdzielający ma co najmniej $99$ wierzchołków} </rightoption>{klika $𝒦_{101}$ } </wrongoption>{pełny graf dwudzielny $𝒦_{100, 100}$ }

W $2$ -spójnym krawędziowo grafie o $20$ wierzchołkach i minimalnej liczbie krawędzi:} </wrongoption>{jest dokładnie $38$ krawędzi} </rightoption>{jest dokładnie $20$ krawędzi} </rightoption>{dowolny wierzchołek ma stopień co najmniej $2$ } </wrongoption>{istnieje wierzchołek o stopniu co najmniej $3$ }

141414141414141414141414141414141414141414

{article} {../makraT}

0mm

Uzupelnij tytul
Grafy III

10mm

Który z grafów przedstawionych na Rysunku Uzupelnic test petersen4| jest planarny?

[!ht]

{test_petersen4} { [Rysunek z pliku: testpetersen4.eps]}

}

</wrongoption>{graf przedstawiony na rysunku Uzupelnic test petersen4|.a.} </wrongoption>{graf przedstawiony na rysunku Uzupelnic test petersen4|.b.} </wrongoption>{graf przedstawiony na rysunku Uzupelnic test petersen4|.c.} </rightoption>{graf przedstawiony na rysunku Uzupelnic test petersen4|.d.}

Który z grafów przedstawionych na Rysunku Uzupelnic test klika5| jest homeomorficzny z kliką $𝒦_{5}$ ?

[!ht]

{test_klika5} { [Rysunek z pliku: testklika5.eps]}

}

</wrongoption>{graf przedstawiony na rysunku Uzupelnic test klika5|.a.} </wrongoption>{graf przedstawiony na rysunku Uzupelnic test klika5|.b.} </rightoption>{graf przedstawiony na rysunku Uzupelnic test klika5|.c.} </wrongoption>{graf przedstawiony na rysunku Uzupelnic test klika5|.d.}

Spójny graf planarny o $20$ wierzchołkach, z których każdy jest stopnia $3$ ma:} </wrongoption>{ $11$ ścian} </rightoption>{ $12$ ścian} </wrongoption>{ $22$ ścian} </wrongoption>{ $24$ ścian}

Ile spójnych składowych ma graf planarny o $121$ wierzchołkach,

 $53$   krawędziach, oraz   $30$   ścianach?}

</rightoption>{ $98$ } </wrongoption>{ $99$ } </wrongoption>{ $100$ } </wrongoption>{ $143$ }

Niech $𝐆^{*}$ będzie grafem geometrycznie dualnym do grafu płaskiego $𝐆$ . Podzbiór $C$ zbioru krawędzi grafu $𝐆$ jest cyklem w grafie $𝐆$ wtedy i tylko wtedy, gdy zbiór krawędzi dualnych do krawędzi zbioru $C$ } </wrongoption>{posiada parzystą liczbę elementów} </wrongoption>{posiada nieparzystą liczbę elementów} </wrongoption>{jest cyklem grafu $𝐆^{*}$ } </rightoption>{jest rozcięciem grafu $𝐆^{*}$ }

Spójny graf prosty, który nie jest pełny,

i w którym wszystkie wierzchołki  mają stopień nie większy niż   $k$  jest:}

</wrongoption>{ $(k - 1)$ -kolorowalny} </rightoption>{ $k$ -kolorowalny} </rightoption>{ $(k + 1)$ -kolorowalny} </rightoption>{ $2 k$ -kolorowalny}

Iloma kolorami można pokolorować polityczną mapę Europy?} </wrongoption>{ $3$ } </rightoption>{ $4$ } </rightoption>{ $5$ } </rightoption>{ $6$ }

W grafie prostym zachodzi:} </rightoption>{ $χ (𝐆) \leq χ_{s} (𝐆) + 1$ } </wrongoption>{ $χ (𝐆) \leq χ_{s} (𝐆)$ } </wrongoption>{ $χ (𝐆) \geq χ_{s} (𝐆) + 1$ } </wrongoption>{ $χ (𝐆) = χ_{s} (𝐆)$ }

Pełny graf dwudzielny $K_{50, 50}$ :} </rightoption> jest grafem Hamiltonowskim </rightoption> jest grafem Eulerowskim </wrongoption> jest lasem </rightoption> jest dwukolorowalny </rightoption> jest 49-kolorowalny

151515151515151515151515151515151515

{article} {../makraT}

0mm

Uzupelnij tytul
Metody algebraiczne w teorii grafów

10mm

Niech $m_{i j}$ oznacza liczbę skierowanych marszrut, nie dłuższych niż $n - 1$ , z wierzchołka $v_{i}$ do $v_{j}$ w grafie skierowanym $𝐆 = ({v_{1}, \dots, v_{n}}, E)$ , a $M$ niech będzie macierzą $⟨ m_{i j} ⟩$ . Wtedy:} </rightoption>{ Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle M={\sf A}\left( \mathbf{G} \right)^1+{\sf A}\left( \mathbf{G} \right)^2+\ldots+{\sf A}\left( \mathbf{G} \right)^{\left( n-1 \right)} } } </wrongoption>{ Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle M={\sf A}\left( \mathbf{G} \right)^{\left( n-1 \right)} } } </wrongoption>{ Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle M=n\cdot{\sf A}\left( \mathbf{G} \right) } } </rightoption>{ $m_{i j} > 0$ wtedy i tylko wtedy, gdy Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \left( v_i,v_j \right)\in{\sf E}\!\left({\sf TC}\left( \mathbf{G} \right)\right) } }

Zaznacz prawdziwe zależności dla grafu prostego $𝐆$ o macierzy sąsiedztwa Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle {\sf A}\left( \mathbf{G} \right) } , macierzy incydencji Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle {\sf B}\left( \mathbf{G} \right) } , zorientowanej macierzy incydencji Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle {\sf C}\left( \mathbf{G} \right) } oraz macierzy stopni Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle {\sf D}\left( \mathbf{G} \right) } :} </wrongoption>{ Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle {\sf B}\left( \mathbf{G} \right)\cdot {\sf B}\left( \mathbf{G} \right)^T= {\sf A}\left( \mathbf{G} \right)- {\sf D}\left( \mathbf{G} \right) } } </rightoption>{ Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle {\sf B}\left( \mathbf{G} \right)\cdot {\sf B}\left( \mathbf{G} \right)^T= {\sf D}\left( \mathbf{G} \right)+ {\sf A}\left( \mathbf{G} \right) } } </wrongoption>{ Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle {\sf B}\left( \mathbf{G} \right) \cdot{\sf A}\left( \mathbf{G} \right) = {\sf C}\left( \mathbf{G} \right) } } </wrongoption>{ Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle {\sf C}\left( \mathbf{G} \right)\cdot {\sf C}\left( \mathbf{G} \right)^T= {\sf A}\left( \mathbf{G} \right)- {\sf D}\left( \mathbf{G} \right) } }

Niech $𝐆$ będzie grafem o $10$ wierzchołkach przedstawionym na Rysunku Uzupelnic test alg|, a macierz $M$ , o rozmiarach $9 \times 9$ , będzie minorem (podmacierzą) zorientowanej macierzy incydencji Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle {\sf C}\left( \mathbf{G} \right) } , w którym kolumny odpowiadają krawędziom

 $e_{0}, e_{2}, e_{3}, e_{6}, e_{9}, e_{12}, e_{13}, e_{14}, e_{15}$  .

[!ht]

{test_alg} {Graf $𝐆$ . [Rysunek z pliku: testalg.eps]}

Wtedy:} </rightoption>{macierz $M$ jest nieosobliwa} </wrongoption>{macierz $M$ jest osobliwa} </wrongoption>{suma elementów w każdej kolumnie macierzy $M$ wynosi $0$ } </wrongoption>{macierz $M$ jest antysymetryczna}

Na to by permanent grafu $𝐆$ był niezerowy, wystarcza by:} </rightoption>{graf $𝐆$ posiadał cykl Hamiltona} </wrongoption>{graf $𝐆$ posiadał cykl Eulera} </wrongoption>{graf $𝐆$ był spójny} </rightoption>{graf $𝐆$ był grafem dwudzielnym posiadającym skojarzenie doskonałe}

Zaznacz zdania prawdziwe o wartościach własnych grafów:} </wrongoption>{Co najmniej jedna z wartości własnych jest liczbą zespoloną.} </wrongoption>{Jeśli wszystkie wartości własne są wymierne, to graf jest eulerowski.} </rightoption>{Wszystkie wartości własne grafu hamiltonowskiego są rzeczywiste.} </rightoption>{Wszystkie wartości własne dowolnego grafu są rzeczywiste.}

Zaznacz prawdziwe związki wartości własnych z maksymalnym stopniem wierzchołka w grafie prostym:} </wrongoption>{ $λ_{m a x} (𝐆) = Δ (𝐆)$ } </rightoption>{ $| λ_{m a x} (𝐆) | \leq Δ (𝐆)$ } </rightoption>{ $λ_{m a x} (𝐆) = Δ (𝐆)$ wtedy i tylko wtedy, gdy któraś spójna składowa grafu $𝐆$ jest grafem regularnym stopnia $Δ (𝐆)$ } </rightoption>{ $- Δ (𝐆)$ jest wartością własną macierzy Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle {\sf A}\left( \mathbf{G} \right) } wtedy i tylko wtedy, gdy $𝐆$ jest regularnym grafem dwudzielnym stopnia $Δ (𝐆)$ }

W grafie regularnym $𝐆$ o $10$ wierzchołkach stopnia $4$ oraz wartościach własnych $λ_{m i n} (𝐆) \approx - 2, 73205$ i $λ_{m a x} (𝐆) = 4$ moc niezależnego podzbioru jest ograniczona z góry przez:} </wrongoption>{ $2$ } </wrongoption>{ $3$ } </rightoption>{ $4$ } </rightoption>{ $10$ }

Zaznacz zdania prawdziwe wiążące liczbę chromatyczną $χ (𝐆)$ z wartościami własnymi grafu regularnego $𝐆$ :} </rightoption>{ $χ (𝐆) \geq 1 - \frac{λ_{m a x} (𝐆)}{λ_{m i n} (𝐆)}$ } </wrongoption>{ $χ (𝐆) = 1 - \frac{λ_{m a x} (𝐆)}{λ_{m i n} (𝐆)}$ } </rightoption>{ $χ (𝐆) \leq λ_{m a x} (𝐆) + 1$ } </wrongoption>{ $χ (𝐆) \geq λ_{m a x} (𝐆)$ }

@@ Linia 1: / Linia 1: @@
-{thm}{Twierdzenie}
-{obs}[thm]{Obserwacja}
-{con}[thm]{Wniosek}
-{exrr}{Zadanie}
-{
-mm
-'''#1'''
-mm }{{ <math>\displaystyle \square </math> }
-}
-{article}
-{../makraT}
-mm
-{| border=1
-|+ <span style="font-variant:small-caps">Uzupelnij tytul</span>
-|-
-| '''Współczynniki dwumianowe'''
-|-
-|
-|}
-mm
 <quiz>Zależność <math>\displaystyle {n\choose0}-{n\choose1}+\ldots+(-1)^n{n\choose n}=0</math>
 zachodzi dla:}

Test GR4: Różnice pomiędzy wersjami

Wersja z 14:13, 18 wrz 2006

Menu nawigacyjne

Działania na stronie

Opcje strony

Narzędzia osobiste

Nawigacja

Szukaj

Narzędzia