Test GR4: Różnice pomiędzy wersjami

Wersja z 14:13, 18 wrz 2006

{thm}{Twierdzenie} {obs}[thm]{Obserwacja} {con}[thm]{Wniosek} {exrr}{Zadanie}

{

0mm

#1

10mm }{{  $◻$  }

}

{article} {../makraT}

0mm

Uzupelnij tytul
Współczynniki dwumianowe

10mm

Zależność $(\binom{n}{0}) - (\binom{n}{1}) + \dots + (- 1)^{n} (\binom{n}{n}) = 0$ zachodzi dla:} </rightoption> wszystkich liczb naturalnych $n$ </wrongoption> tylko skończenie wielu liczb naturalnych $n$ </wrongoption> żadnej liczby naturalnej $n$ </rightoption> wszystkich, poza skończenie wieloma liczbami naturalnymi $n$

Suma elementów $n$ -tego wiersza Trójkąta Pascala bez obu wartości brzegowych to:}

</wrongoption> $2^{n}$ . </rightoption> $2^{n} - 2$ . </rightoption> $\sum_{i = 1}^{n} (\binom{n}{i}) - 1$ . </wrongoption> $(\binom{2 n}{n})$ .

Współczynnik przy wyrazie $x^{n}$ w rozwinięciu dwumianu $(x + 2)^{2 n}$ to:} </wrongoption> $(\binom{2 n}{n})$ . </wrongoption> $2^{n} (\binom{n}{2})$ . </rightoption> $(\binom{2 n}{n}) 2^{n}$ . </wrongoption> $(\binom{2 n}{n}) 2^{2 n}$ .

$(\binom{- 1}{k})$ dla $k ⩾ 0$ jest równe:} </wrongoption> $0$ . </wrongoption> $1$ . </wrongoption> $(- 1)^{k}$ . </rightoption> $(- 1)^{k + 1}$

Suma $\sum_{i = 0}^{n} 2^{i} (\binom{n}{i})$ wynosi} </wrongoption> $2^{n}$ . </rightoption> $3^{n}$ . </wrongoption> $(n + 2)^{n}$ . </wrongoption> $(\binom{2 n}{n})$ .

Liczba nieporządków na zbiorze $3$ -elementowym to:} </wrongoption> $1$ . </rightoption> $2$ . </wrongoption> $3$ . </wrongoption> $6$ .

$(\binom{n}{a, b, 0, \dots, 0})$ gdzie $a + b = n$ to:} </rightoption> $(\binom{n}{a})$ . </rightoption> $(\binom{n}{b})$ . </wrongoption> $(\binom{n}{a + b})$ . </wrongoption> $(\binom{n + a + b}{a + b})$ .

Na ile sposobów z grupy $5 n$ osób, złożonej z $3 n$ mężczyzn i $2 n$ kobiet, można wybrać $n$ -kobiet i $n$ -mężczyzn, i dodatkowo z niewybranych mężczyzn wyznaczyć przywódcę?} </wrongoption> $((\binom{5 n}{3 n}) (\binom{3 n}{n}) + (\binom{5 n}{2 n}) (\binom{2 n}{n})) \cdot 2 n$ . </rightoption> $(\binom{3 n}{n}) (\binom{2 n}{n}) \cdot 2 n$ . </wrongoption> $((\binom{3 n}{n}) + (\binom{2 n}{n})) \cdot 2 n$ . </wrongoption> $(\binom{3 n}{n}) (\binom{2 n}{n}) \cdot 3 n$ .

Suma $(\binom{0}{7}) + (\binom{1}{7}) + (\binom{2}{7}) + (\binom{3}{7}) + (\binom{4}{7}) + (\binom{5}{7}) + (\binom{6}{7}) + (\binom{7}{7})$ to:} </wrongoption> $0$ . </wrongoption> $(\binom{8}{7})$ . </wrongoption> $(\binom{7}{8})$ . </rightoption> $(\binom{8}{8})$ .

Współczynnik przy wyrazie $x^{m} y^{n}$ w rozwinięciu dwumianu $(x + y)^{m + n}$ to:} </rightoption> $(\binom{m + n}{m})$ . </rightoption> $(\binom{m + n}{n})$ . </wrongoption> $(\binom{m}{n})$ . </wrongoption> $\sum_{i = 0}^{m} (\binom{m + n}{i})$ .

66666666666666666666666666666

{article} {../makraT}

0mm

Uzupelnij tytul
Permutacje i podziały

10mm

Niech $n_{π}, n_{σ}, n_{ρ}$ będą kolejno liczbami permutacji w $S_{7}$ tego samego typu co, odpowiednio, $π = (14) (26) (357)$ , $σ = (1357) (246)$ , $ρ = (12) (34) (56) (7)$ . Wtedy:} </rightoption> $n_{π} ⩽ n_{τ} ⩽ n_{ρ}$ </rightoption> $n_{τ} ⩽ n_{π} ⩽ n_{ρ}$ </wrongoption> $n_{ρ} ⩽ n_{π} ⩽ n_{τ}$ </wrongoption> $n_{π} ⩽ n_{ρ} ⩽ n_{τ}$

Dla sprzężonych permutacji $π, σ \in S_{13}$ zachodzi:} </rightoption> $π$ i $σ$ mają tyle samo cykli $4$ -elementowych </wrongoption> elementy $1$ i $2$ albo są w tym samym cyklu w obu permutacjach,

   albo nie są w tym samym cyklu w obu permutacjach

</rightoption> $π$ i $σ$ mają ten sam typ </rightoption> $π$ i $σ$ mają ten sam znak

Dla $n ⩾ 2$ ,

   podziałowa liczba Stirlinga   ${\begin{array}{c} n \\ 2 \end{array}}$  wynosi:}

</wrongoption> $\sum_{k = 1}^{n - 1} (\binom{n}{k}) k! = \sum_{k = 1}^{n - 1} \frac{n!}{k!}$ </wrongoption> $n! \sum_{k = 1}^{n - 1} \frac{1}{k (n - k)}$ </wrongoption> $n! \sum_{k = 1}^{n - 1} \frac{1}{k (n - k)}$ </rightoption> $\frac{n!}{2} \sum_{k = 1}^{n - 1} \frac{1}{k (n - k)}$

Średnia liczba cykli permutacji $n$ -elementowej (czyli stosunek sumarycznej liczby cykli we wszystkich permutacjach $n$ -elementowych do liczby cykli $n$ -elementowych) to:} </wrongoption> $2 n$ </wrongoption> $⌊ \frac{n}{\lg n} ⌋ + 1$ </rightoption> $\sum_{k = 1}^{n} \frac{1}{k}$ </wrongoption> $\frac{n}{2}$

Podziałowa liczba Stirlinga ${\begin{array}{c} 7 \\ 4 \end{array}}$ wynosi} </wrongoption> $90$ </wrongoption> $140$ </wrongoption> $301$ </rightoption> $350$

Jednomian $x^{n}$ jest równy:} </rightoption> $\sum_{i} {\begin{array}{c} n \\ i \end{array}} x^{\underline{i}}$ </wrongoption> $B_{n} x^{\underline{n}}$ , gdzie $B_{n}$ jest $n$ -tą liczbą Bella </wrongoption> $\sum_{i} [\begin{array}{c} n \\ i \end{array}] x^{\overline{i}}$ </rightoption> $\sum_{i} {\begin{array}{c} n \\ i \end{array}} (- 1)^{n - i} x^{\overline{i}}$

Na ile sposobów można rozłożyć $a$ rozróżnialnych obiektów do dokładnie $b$ rozróżnialnych szuflad, tak by każda szufladka była niepusta?} </wrongoption> $b^{a}$ </wrongoption> ${\begin{array}{c} a \\ b \end{array}}$ </rightoption> $b! {\begin{array}{c} a \\ b \end{array}}$ </wrongoption> $(\binom{a - 1}{b - 1})$

Na ile sposobów można rozłożyć $a$ nierozróżnialnych obiektów do co najwyżej $b$ rozróżnialnych szuflad?} </wrongoption> $(\binom{a - 1}{b - 1})$ </rightoption> $(\binom{b + a - 1}{b - 1})$ </wrongoption> ${\begin{array}{c} a \\ b \end{array}}$ </wrongoption> $\sum_{i = 1}^{b} {\begin{array}{c} a \\ i \end{array}}$

Gdy $P (n, k)$ jest liczbą rozkładów liczby $n$ na sumy dokładnie $k$ nieujemnych całkowitych składników, to $\lim_{n \to \infty} \frac{P (n, k)}{n^{k}}$ wynosi:} </rightoption> $0$ </wrongoption> $\frac{1}{k! (k - 1)!}$ </wrongoption> $\frac{1}{k}$ </wrongoption> $1$

Na ile sposobów można podzielić zbiór $a$ elementowy na $b + c$ bloków, przy czym $b$ bloków jest wyróżnionych?} </rightoption> ${\begin{array}{c} a \\ b + c \end{array}} (\binom{b + c}{b})$ </rightoption> $\sum_{k} (\binom{a}{k}) {\begin{array}{c} k \\ b \end{array}} {\begin{array}{c} a - k \\ c \end{array}}$ </wrongoption> ${\begin{array}{c} a \\ b \end{array}} {\begin{array}{c} a - b \\ c \end{array}}$ </wrongoption> ${\begin{array}{c} a \\ b + c \end{array}} b!$

777777777777777777777777777777777777777777777777777777777

{article} {../makraT}

0mm

Uzupelnij tytul
Funkcje tworzące

10mm

Na ile sposobów można rozmienić $25$ centów za pomocą monet $1$ , $5$ , $10$ oraz $25$ centowych?}

</wrongoption>{  $6$  }
</wrongoption>{  $12$  }
</rightoption>{  $13$  }
</wrongoption>{  $49$  }

Funkcja tworząca postaci $G (x) = g_{0} + g_{1} x + g_{2} x^{2} + g_{3} x^{3} + \dots$ ma odwrotną względem mnożenia (splotu), tzn. istnieje funkcja tworząca $U (x)$ taka, że $U (x) G (x) = 1$ }

</wrongoption>{jeśli   $g_{0} \neq 1$  }
</rightoption>{jeśli   $g_{0} \neq 0$  }
</rightoption>{jeśli wszystkie   $g_{i} \neq 0$  }
</rightoption>{wtedy i tylko wtedy, gdy   $g_{0} \neq 0$  }

Funkcja $G (x)$ spełniająca

 $G (x) = (\sum_{n = 0}^{\infty} x^{n}) \cdot (1 + x G (x))$

jest funkcją tworzącą:} </wrongoption>{ciągu $1, 1, 2, 4, 8, 16, 32, \dots, 2^{n - 1}, \dots$ } </rightoption>{ciągu geometrycznego $g_{n} = 2^{n}$ } </wrongoption>{nie ma takiego ciągu} </wrongoption>{nie istnieje taka funkcja tworząca}

Funkcja $G (x)$ spełniająca

 $G (x) = G^{'} (x)$   oraz   $G (0) = 1$

jest funkcją tworzącą ciągu:} </wrongoption>{ $g_{n} = \frac{1}{n}$ } </rightoption>{ $g_{n} = \frac{1}{n!}$ } </wrongoption>{ $g_{n} = 1$ } </wrongoption>{ $g_{0} = 1$ oraz $g_{n} = 0$ dla $n > 1$ }

Niech $G (x) = {(1 + x)}^{y}$ , gdzie $y$ jest liczba rzeczywistą. Jeśli $G (x) = \sum_{n = 0}^{\infty} g_{n} x^{n}$ , to:} </wrongoption>{ $g_{n} = \frac{{(y + n)}^{\underline{n}}}{n}$ } </wrongoption>{ $g_{n} = \frac{y^{n}}{n!}$ } </wrongoption>{ $g_{n} = (\binom{y + n}{n}) = \frac{{(y + n)}^{\underline{n}}}{n!}$ } </rightoption>{ $g_{n} = (\binom{y}{n}) = \frac{y^{\underline{n}}}{n!}$ }

Suma $\sum_{k = 0}^{n} (3 k^{2} - 3 k + 1)$ wynosi:} </wrongoption>{ $2 n^{3} + 3 n + n$ ,} </rightoption>{ $n^{3}$ ,} </wrongoption>{ $(2 n^{3} + 3 n + n) / 6$ ,} </wrongoption>{ $3 n^{3} - 3 n^{2} + n$ }

Niech $a_{0} = 2$ , $a_{1} = 3$ , $a_{2} = 5$ , oraz $a_{n + 3} = 7 a_{n + 2} - 16 a_{n + 1} + 12 a_{n}$ . Wtedy:} </wrongoption>{ $a_{n} = (1 - n) 2^{n} + 3^{n}$ } </rightoption>{ $a_{n} = \frac{1}{\sqrt{5}} ({(\frac{1 + \sqrt{5}}{2})}^{n + 3} - {(\frac{1 - \sqrt{5}}{2})}^{n + 3})$ } </wrongoption>{ $a_{n} = \frac{1}{\sqrt{5}} ({(\frac{1 + \sqrt{5}}{2})}^{n} - {(\frac{1 - \sqrt{5}}{2})}^{n})$ } </wrongoption>{żadna z pozostałych odpowiedzi nie jest prawidłowa}

8888888888888888888888888888888888888888888888

{article} {../makraT}

0mm

Uzupelnij tytul
Zliczanie obiektów

10mm

Liczby Catalana $c_{n}$ spełniają zależność rekurencyjną:} </wrongoption>{ $c_{n} = \sum_{k = 1}^{n - 1} c_{k}$ } </wrongoption>{ $c_{n} = \sum_{k = 1}^{n} c_{k}$ } </wrongoption>{ $c_{n} = \sum_{k = 1}^{n - 1} c_{k} c_{n - k}$ } </rightoption>{ $c_{n} = \sum_{k = 1}^{n} c_{k - 1} c_{n - k}$ }

$n$ -ta liczba Catalana to:} </wrongoption>{ $(\binom{2 n}{n})$ } </rightoption>{ $\frac{1}{n + 1} (\binom{2 n}{n})$ } </wrongoption>{ $(\binom{1 / 2}{n}) {(- 4)}^{n}$ } </rightoption>{ $2 (\binom{1 / 2}{n + 1}) {(- 4)}^{n}$ }

Niech $t_{10}$ będzie liczbą drzew o wysokości $10$ . Wtedy:} </rightoption>{ $t_{10} \leq 2^{1023}$ } </rightoption>{ $t_{10} \geq 2^{512}$ } </wrongoption>{ $t_{10} \leq 2^{10}$ } </wrongoption>{ $t_{10} \geq 2^{9}$ }

Liczba podziałów liczby $16$ na sumy złożone jedynie ze składników $1, 2, 4, 8, 16$ wynosi:} </wrongoption>{ $25$ } </wrongoption>{ $26$ } </rightoption>{ $35$ } </wrongoption>{ $165$ }

Funkcja tworząca podziału liczby na sumy jest przedstawialna jako:} </rightoption>{ $\prod_{k = 1}^{\infty} \frac{1}{1 - x^{k}}$ } </wrongoption>{ $\sum_{k = 1}^{\infty} \frac{1}{1 - x^{k}}$ } </wrongoption>{ $\sum_{n = 0}^{\infty} \prod_{k = 1}^{\infty} \frac{1}{1 - x^{n k}}$ } </rightoption>{ $\prod_{k = 1}^{\infty} \sum_{n = 0}^{\infty} x^{n k}$ }

Funkcja tworząca

 $s_{n} (x) = [\begin{array}{c} n \\ 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} n \\ 1 \end{array}] x + [\begin{array}{c} n \\ 2 \end{array}] x^{2} + [\begin{array}{c} n \\ 3 \end{array}] x^{3} + \dots,$

dla cyklowych liczb Stirlinga $[\begin{array}{c} n \\ m \end{array}]$ , ma postać zwartą: } </rightoption>{ $s_{n} (x) = x^{\overline{n}}$ } </rightoption>{ $s_{n} (x) = \prod_{k = 0}^{n - 1} (x + k)$ } </wrongoption>{ $s_{n} (x) = x^{\underline{n}}$ } </wrongoption>{ $s_{n} (x) = 1 / \prod_{k = 0}^{n - 1} (1 - k x)$ }

Podziałowe liczby Stirlinga spełniają zależność rekurencyjną:} </wrongoption>{ ${\begin{array}{c} n \\ k \end{array}} = (n - 1) {\begin{array}{c} n - 1 \\ k \end{array}} + {\begin{array}{c} n - 1 \\ k - 1 \end{array}}$ , dla $0 > k > n$ } </wrongoption>{ ${\begin{array}{c} n + k \\ k \end{array}} = {\begin{array}{c} n + k - 1 \\ k \end{array}} + k {\begin{array}{c} n + k - 1 \\ k - 1 \end{array}}$ , dla $n > 1, k > 0$ } </rightoption>{ ${\begin{array}{c} n + k \\ k \end{array}} = k {\begin{array}{c} n + k - 1 \\ k \end{array}} + {\begin{array}{c} n + k - 1 \\ k - 1 \end{array}}$ , dla $n > 1, k > 0$ } </wrongoption>{żadna z pozostałych odpowiedzi nie jest prawidłowa}

Niech $a_{0} = 1$ , $a_{1} = 0$ oraz $a_{n} = \frac{a_{n - 2}}{n}$ . Funkcja tworząca $A (x) = \sum_{n = 0}^{\infty} a_{n} x^{n}$ ma postać zwartą:} </wrongoption>{ $A (x) = \sin x$ } </wrongoption>{ $A (x) = e^{x^{2}}$ } </rightoption>{ $A (x) = e^{x^{2} / 2}$ } </wrongoption>{żadna z pozostałych odpowiedzi nie jest prawidłowa}

999999999999999999999999999999999999999

{article} {../makraT}

0mm

Uzupelnij tytul
Asymptotyka

10mm

Funkcja $n^{2} \lg n + \frac{n^{2} \sqrt{n}}{\lg n}$ jest:} </wrongoption> $Θ (n^{2} \lg n)$ </wrongoption> $O (n^{2} \lg n)$ </wrongoption> $Θ n^{2} \sqrt{n}$ </rightoption> $O (\frac{n^{2} \sqrt{n}}{\lg n})$

Funkcja $\frac{n^{9}}{\lg^{10} n}$ jest:} </wrongoption> $O (n^{\frac{9}{10}})$ </wrongoption> $O (n)$ </rightoption> $O (n^{9})$ </rightoption> $Ω (\lg^{10} n)$

Dla $f (n) = 2^{\lg n + 1}$ oraz $g (n) = \lg 2 n - 1$ zachodzi:} </wrongoption> $f (x) = ω (g (x))$ </rightoption> $f (x) = Ω (g (x))$ </rightoption> $f (x) = Θ (g (x))$ </rightoption> $f (x) = O (g (x))$ </wrongoption> $f (x) = o (g (x))$

Dowolny wielomian $k$ -tego stopnia jest:} </rightoption> $Ω (n^{k})$ </rightoption> $Θ (n^{k})$ </rightoption> $O (n^{k})$ </rightoption> $o (n^{k + ε})$ dla dowolnego $ε > 0$

Dla $f (n) = \frac{\lg n}{n}$ oraz $g (n) = \frac{1}{\sqrt{n}}$ zachodzi:} </wrongoption> $f (x) = ω (g (x))$ </wrongoption> $f (x) = Ω (g (x))$ </wrongoption> $f (x) = Θ (g (x))$ </rightoption> $f (x) = O (g (x))$ </rightoption> $f (x) = o (g (x))$

Dla $f (x) = x^{2}$ oraz $g (x) = x^{2} + \sin x$ zachodzi:} </rightoption> $f (x) = Ω (g (x))$ </rightoption> $f (x) = Θ (g (x))$ </rightoption> $f (x) = O (g (x))$ </wrongoption> żadne z pozostałych

Dla $T (n) = 9 T (\frac{n}{3}) + \frac{n^{2}}{\lg n}$ :} </wrongoption> możemy skorzystać z pierwszego punktu Tw. o rekurencji uniwersalnej i $T (n) = Θ (n^{2})$ </wrongoption> możemy skorzystać z drugiego punktu Tw. o rekurencji uniwersalnej i $T (n) = Θ (n^{2} \lg n)$ </wrongoption> możemy skorzystać z trzeciego punktu Tw. o rekurencji uniwersalnej i $T (n) = Θ (\frac{n^{2}}{\lg n})$ </rightoption> żadne z pozostałych

Dla $T (n) = 25 T (\frac{n}{4}) + \frac{n^{2}}{\lg n}$ } </rightoption> możemy skorzystać z pierwszego punktu Tw. o rekurencji uniwersalnej i $T (n) = Θ (n^{\lg_{4} 25})$ </wrongoption> możemy skorzystać z drugiego punktu Tw. o rekurencji uniwersalnej i $T (n) = Θ (n^{2})$ </wrongoption> możemy skorzystać z trzeciego punktu Tw. o rekurencji uniwersalnej i $T (n) = Θ (\frac{n^{2}}{\lg n})$ </wrongoption> żadne z pozostałych

Funkcja spełniająca zależność $T (n) = T (\frac{n}{2}) + 1$ jest:} </rightoption> $Θ (\lg n)$ </rightoption> $Θ (n)$ </rightoption> $O (n)$ </wrongoption> żadne z pozostałych

101010101010101010101010101010101010

{article} {../makraT}

0mm

Uzupelnij tytul
Teoria liczb I

10mm

Liczb naturalnych $n > 1$ w rozkładzie których występują wszystkie liczby pierwsze niewiększe od $n$ jest:} </wrongoption> nieskończenie wiele </rightoption> co najmniej jedna </rightoption> skończenie wiele </wrongoption> nie ma takich liczb

Liczb pierwszych postaci $91 n + 7$ , dla $n \in ℕ$ jest:} </wrongoption> nie ma takich liczb </rightoption> dokładnie jedna </rightoption> skończenie wiele </wrongoption> nieskończenie wiele

Jeśli w ciągu postaci ${a n + b}_{n \in ℕ}$ , gdzie $a, b \in ℕ$ , są przynajmniej dwie liczby pierwsze, to} </rightoption> jest ich nieskończenie wiele </wrongoption> wszystkie liczby tego ciągu są pierwsze </wrongoption> może ich być tylko skończenie wiele </rightoption> $a$ i $b$ są względnie pierwsze

Jeśli $p$ jest dowolną liczbą pierwszą, to sito Eratostenesa zastosowane do liczby $p^{2} + 2$ jako ostatnią skreśli:} </wrongoption> $p$ </rightoption> $p^{2}$ </wrongoption> $p^{2} + 1$ </wrongoption> $p^{2} + 2$

Jeśli $a | b c$ oraz NWD $(a, b) = d$ , to} </rightoption> $\frac{a}{d} | c$ </rightoption> $a | c d$ </rightoption> $\frac{a}{d} ⊥ b$ </rightoption> $\frac{a}{d} ⊥ \frac{b}{d}$

Liczb pierwszych postaci $n^{2} - 1$ , gdzie $n \in ℕ$ , jest:} </wrongoption> $0$ </rightoption> $1$ </rightoption> skończenie wiele </wrongoption> nieskończenie wiele

Jeśli $a$ i $b$ są liczbami złożonymi to} </wrongoption> NWD $(a, b) > 1$ </rightoption> Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \frac{a}{ } NWD $(a, b) ⊥ \frac{b}{}$ NWD Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle (a,b)}} </wrongoption> jedna z liczb Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \frac{a}{ } NWD Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle (a,b)}} , Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \frac{b}{ } NWD Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle (a,b)}} jest pierwsza </wrongoption> jeśli $a ⊥ b$ , to przynajmniej jedna z liczb $a - b$ , $a + b$ jest parzysta

Jeśli $a | c$ i $b | c$ , to} </wrongoption> NWD $(a, b) > 1$ </wrongoption> NWD $(a, b) < c$ </rightoption> jeśli NWD $(a, b) > 1$ , to NWW $(a, b) < c$ </rightoption> NWW $(a, b) ⩽ c$

Rosnący ciąg arytmetyczny rozpoczynający się od $1$ :} </rightoption> zawsze zawiera nieskończenie wiele liczb pierwszych </wrongoption> może zawierać tylko skończenie wiele liczb pierwszych </wrongoption> zawsze zawiera tylko skończenie wiele liczb pierwszych </wrongoption> może nie zawierać żadnej liczby pierwszej

11111111111111111111111111111111

{article} {../makraT}

0mm

Uzupelnij tytul
Teoria liczb II

10mm

Jeśli $d ⊥ n$ oraz $a c d \equiv_{c n} b c d$ , to} </rightoption> $a \equiv_{n} b$ </rightoption> $a d \equiv_{n} b d$ </rightoption> $a c d \equiv_{n} b c d$ </wrongoption> $a c \equiv_{n d} b c$

Równanie $7 x \equiv_{91} 4$ } </wrongoption> nie ma rozwiązania </wrongoption> ma skończenie wiele rozwiązań </wrongoption> zbiór wszystkich jego rozwiązań jest postaci ${13 n + c : n \in N}$ dla pewnego $c \in ℕ$ </rightoption> zbiór wszystkich rozwiązań jest postaci ${91 n + c : n \in ℕ}$ dla pewnego $c \in ℕ$

Układ równań

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\aligned”): {\displaystyle \displaystyle \aligned x&\equiv_9&8,\\ x&\equiv_{223}&222. \endaligned}

} </rightoption> ma całkowite rozwiązanie mniejsze od 2006 </wrongoption> $2006$ jest jego jedynym rozwiązaniem </wrongoption> wszystkie jego rozwiązania są postaci $2006 \cdot n$ , gdzie $n \in ℤ$ </rightoption> wszystkie jego rozwiązania są postaci $2007 n + 2006$

Dla $a < b$ warunek $φ (a) ⩽ φ (b)$ zachodzi jeśli} </wrongoption> $a ⩽ b$ </rightoption> $a | b$ </wrongoption> $a ⊥ b$ </rightoption> $a ⩽ b$ i $b$ jest pierwsza

$1 6^{49}$ { mod} $25$ wynosi:} </wrongoption> $1$ </wrongoption> $7$ </wrongoption> $14$ </rightoption> $21$

$1 4^{111}$ { mod} $15$ wynosi:} </wrongoption> $1$ </wrongoption> $3$ </wrongoption> $12$ </rightoption> $14$

Wiedząc, że $2006 = 2 \cdot 17 \cdot 59$ oblicz $μ (2006)$ : } </rightoption> $- 1$ </wrongoption> $0$ </wrongoption> $1$ </wrongoption> $3$

$(n - 1)!$ modulo $n$ to:} </rightoption> $0$ , jeśli $n$ jest złożona a $- 1$ , jeśli $n$ jest pierwsza </rightoption> $0$ , jeśli $n$ jest złożona a $n - 1$ , jeśli $n$ jest pierwsza </wrongoption> $0$ , jeśli $n$ jest złożona a $1$ , jeśli $n$ jest pierwsza </wrongoption> zawsze wynosi $1$

12121212121212121212121212121212

{article} {../makraT}

0mm

Uzupelnij tytul
Grafy I

10mm

Różnych grafów skierowanych bez cykli jednoelementowych w zbiorze $n$ -elementowym jest:} </wrongoption> $2^{n^{2}}$ </rightoption> $2^{n^{2} - n}$ </wrongoption> $2^{2^{n}}$ </wrongoption> $2^{2^{n} - n}$ </wrongoption> $2^{(\binom{n}{2})}$

Różnych grafów nieskierowanych bez cykli jednoelementowych w zbiorze $n$ -elementowym jest:} </wrongoption> $2^{n^{2}}$ </wrongoption> $2^{n^{2} - n}$ </wrongoption> $2^{2^{n}}$ </wrongoption> $2^{2^{n} - n}$ </rightoption> $2^{(\binom{n}{2})}$

Zaznacz zdania prawdziwe:} </wrongoption> W każdym grafie prostym $G = (V; E)$ relacja $E$ musi być zwrotna. </rightoption> W grafie nieskierowanym $G = (V, E)$ relacja $E$ jest symetryczna. </wrongoption> Graf nieskierowany to rodzina wszystkich dwuelementowych podzbiorów zbioru wierzchołków. </rightoption> W grafie pełnym każde dwa różne wierzchołki połączone są krawędzią.

Zaznacz zdania prawdziwe dla grafów nieskierowanych:} </rightoption> podgraf indukowany grafu pełnego jest grafem pełnym </rightoption> każdy graf jest podgrafem jakiegoś grafu pełnego </wrongoption> każdy graf jest podgrafem indukowanym jakiegoś grafu pełnego </wrongoption> graf pełny ma zawsze parzystą liczbę krawędzi </rightoption> w grafie pełnym wszystkie wierzchołki mają ten sam stopień

Jaka jest najmniejsza liczba krawędzi w grafie nieskierowanym o 100 wierzchołkach i trzech składowych spójnych:}

</wrongoption>  $99$ 
</rightoption>  $97$ 
</wrongoption>  $98$ 
</wrongoption>  $100$ 
</wrongoption>  $\frac{100 \cdot 99}{3}$

Ile jest krawędzi w pełnym grafie dwudzielnym $K_{1000, 1000}$ :}

</rightoption>  $1000 \cdot 1000$ 
</wrongoption>  $1000!$ 
</wrongoption>  $(\binom{1000}{2})$ 
</wrongoption>  $(\binom{1000}{50})$ 
</wrongoption>  $(\binom{2000}{1000})$

W pełnym grafie $100$ -elementowym:} </wrongoption> każde drzewo rozpinające ma $100$ krawędzi </wrongoption> dokładnie jedno drzewo rozpinające ma $100$ krawędzi </rightoption> każde drzewo rozpinające ma $99$ krawędzi </wrongoption> dokładnie jedno drzewo rozpinające ma $99$ krawędzi </wrongoption> nie ma drzew rozpinających

W pełnym grafie dwudzielnym $K_{50, 50}$ :} </wrongoption> każde drzewo rozpinające ma $50$ krawędzi </wrongoption> każde drzewo rozpinające ma $100$ krawędzi </rightoption> każde drzewo rozpinające ma $99$ krawędzi </wrongoption> dokładnie jedno drzewo rozpinające ma $99$ krawędzi </wrongoption> nie ma drzew rozpinających

W $100$ elementowym grafie o trzech składowych spójnych:} </wrongoption> jakiś las rozpinający ma $100$ krawędzi </wrongoption> jakiś las rozpinający ma $99$ krawędzi </wrongoption> jakiś las rozpinający ma $98$ krawędzi </rightoption> jakiś las rozpinający ma $97$ krawędzi </wrongoption> może nie być lasu rozpinającego

Pełny graf $100$ -elementowy:} </rightoption> jest grafem Hamiltonowskim </wrongoption> jest grafem Eulerowskim </wrongoption> jest spójny </wrongoption> jest dwudzielny </rightoption> jest stukolorowalny

Pełny graf dwudzielny $K_{25, 25}$ :} </rightoption> jest grafem Hamiltonowskim </wrongoption> jest grafem Eulerowskim </rightoption> zawiera cykl $4$ wierzchołkach jako podgraf indukowany </wrongoption> zawiera cykl $6$ wierzchołkach jako podgraf indukowany </rightoption> jest trójkolorowalny

Graf o $2005$ wierzchołkach, z których każdy ma stopień $101$ :} </wrongoption>{ma $202505$ krawędzi} </wrongoption>{ma $2106$ krawędzi} </wrongoption>{ma $405010$ krawędzi} </rightoption>{nie istnieje}

Jeśli $𝐆_{1} = (V, E_{1})$ i $𝐆_{2} = (V, E_{2})$ są grafami niespójnymi o tym samym zbiorze wierzchołków $V$ , to:} </rightoption>{graf $𝐆_{1} \cup 𝐆_{1}$ może być spójny} </wrongoption>{graf $𝐆_{1} \cup 𝐆_{1}$ jest spójny} </rightoption>{graf $𝐆_{1} \cap 𝐆_{1}$ może nie być spójny} </rightoption>{graf $𝐆_{1} \cap 𝐆_{1}$ nie jest spójny}

Graf $𝐏_{4}$ to graf, który składa się jedynie ze ścieżki odwiedzającej $4$ wierzchołki, czyli Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle {\sf V}\!\left(\mathbf{P}_4\right)=\left\lbrace a,b,c,d \right\rbrace } oraz Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle {\sf E}\!\left(\mathbf{P}_4\right)=\left\lbrace \left\lbrace a,b \right\rbrace,\left\lbrace b,c \right\rbrace,\left\lbrace c,d \right\rbrace \right\rbrace } . W grafie spójnym, w którym nie ma podgrafu indukowanego izomorficznego do $𝐏_{4}$ :} </rightoption>{dowolne dwa punkty leżą w odległości co najwyżej trzy} </rightoption>{dowolne dwa punkty leżą w odległości co najwyżej dwa} </wrongoption>{dowolne dwa punkty leżą w odległości co najwyżej jeden} </wrongoption>{każde trzy wierzchołki tworzą klikę $𝒦_{3}$ }

Zaznacz zdania prawdziwe:} </rightoption>{Każdy graf pusty jest grafem dwudzielnym.} </wrongoption>{Każdy graf pełny jest grafem dwudzielnym.} </wrongoption>{Graf $𝒦_{3}$ jest grafem dwudzielnym.} </rightoption>{Graf $𝒦_{2}$ jest grafem dwudzielnym.}

Zaznacz zdania prawdziwe:} </rightoption>{Każdy graf dwudzielny, który jest zarazem grafem pełnym jest planarny.} </rightoption>{Graf $𝒦_{4}$ jest grafem planarnym.} </wrongoption>{Graf $𝒦_{5}$ jest grafem planarnym.} </wrongoption>{Każdy graf dwudzielny jest grafem planarnym.}

Graf o $100$ wierzchołkach:} </wrongoption>{jeśli ma $99$ krawędzi, to jest drzewem.} </wrongoption>{jeśli ma $100$ krawędzi, to jest drzewem.} </wrongoption>{jeśli ma $4850$ krawędzi, to jest spójny.} </rightoption>{jeśli ma $4851$ krawędzi, to jest spójny.}

Na to by graf $𝐓$ był drzewem potrzeba i wystarcza, by:} </wrongoption>{ $𝐓$ nie zawierał cykli} </rightoption>{ $𝐓$ był spójny i miał $| V | - 1$ krawędzi} </rightoption>{dowolne dwa wierzchołki grafu $𝐓$ były połączone dokładnie jedną drogą} </wrongoption>{dowolne dwa wierzchołki grafu $𝐓$ leżały na dokładnie jednym cyklu}

131313131313131313131313131313

{article} {../makraT}

0mm

Uzupelnij tytul
Grafy II

10mm

Pełny graf dwudzielny $𝒦_{3, 3}$ :} </wrongoption>{jest eulerowski} </rightoption>{jest hamiltonowski} </wrongoption>{jest planarny} </wrongoption>{nie jest ani eulerowski ani planarny}

Pełny graf $100$ -elementowy:} </rightoption> jest grafem Hamiltonowskim </wrongoption> jest grafem Eulerowskim </wrongoption> jest spójny </wrongoption> jest dwudzielny </rightoption> jest stukolorowalny

Graf, w którym cykl Hamiltona jest zarazem cyklem Eulera} </wrongoption>{sam jest cyklem o parzystej liczbie krawędzi} </rightoption>{jest cyklem} </rightoption>{ma wierzchołki wyłącznie o stopniu $2$ } </wrongoption>{jest sumą dwu grafów o tych samych wierzchołkach ale rozłącznych zbiorach krawędzi, przy czym każdy z nich jest cyklem}

Jeśli graf $𝐆$ jest eulerowski, to:} </wrongoption>{graf $𝐆$ jest hamiltonowski} </rightoption>{każdy wierzchołek w grafie $𝐆$ ma parzysty stopień} </rightoption>{graf $𝐆$ jest sumą grafów o tych samych wierzchołkach ale rozłącznych zbiorach krawędzi, przy czym każdy z nich jest cyklem} </wrongoption>{jeśli dodatkowo $𝐆$ jest hamiltonowski, to po usunięciu cyklu Hamiltona graf $𝐆$ dalej jest eulerowski}

Graf o $101$ wierzchołkach:} </wrongoption>{w którym wszystkie wierzchołki są stopnia $50$ , jest hamiltonowski} </rightoption>{w którym wszystkie wierzchołki są stopnia $51$ , jest hamiltonowski} </wrongoption>{w którym dowolne dwa niesąsiednie wierzchołki $v$ i $w$ spełniają $\deg v + \deg w \geq 100$ jest hamiltonowski} </wrongoption>{w którym dowolne dwa sąsiednie wierzchołki $v$ i $w$ spełniają $\deg v + \deg w \geq 100$ jest hamiltonowski}

Który z warunków wystarcza na to, by w grafie dwudzielnym $𝐆 = (V_{1} \cup V_{2}, E)$ istniało pełne skojarzenie $V_{1}$ z $V_{2}$ ?} </rightoption>{graf $𝐆$ jest hamiltonowski} </wrongoption>{graf $𝐆$ jest eulerowski} </wrongoption>{w grafie $𝐆$ każdy wierzchołek z $V_{1}$ ma co najmniej dwu sąsiadów} </rightoption>{dowolny zbiór niezależny w ma co najwyżej $| V_{2} |$ wierzchołków}

Grafem $100$ -spójnym jest:} </rightoption>{graf w którym pomiędzy dowolnymi wierzchołkami istnieje $100$ dróg wierzchołkowo rozłącznych} </wrongoption>{graf, którego każdy zbiór rozdzielający ma co najmniej $99$ wierzchołków} </rightoption>{klika $𝒦_{101}$ } </wrongoption>{pełny graf dwudzielny $𝒦_{100, 100}$ }

W $2$ -spójnym krawędziowo grafie o $20$ wierzchołkach i minimalnej liczbie krawędzi:} </wrongoption>{jest dokładnie $38$ krawędzi} </rightoption>{jest dokładnie $20$ krawędzi} </rightoption>{dowolny wierzchołek ma stopień co najmniej $2$ } </wrongoption>{istnieje wierzchołek o stopniu co najmniej $3$ }

141414141414141414141414141414141414141414

{article} {../makraT}

0mm

Uzupelnij tytul
Grafy III

10mm

Który z grafów przedstawionych na Rysunku Uzupelnic test petersen4| jest planarny?

[!ht]

{test_petersen4} { [Rysunek z pliku: testpetersen4.eps]}

}

</wrongoption>{graf przedstawiony na rysunku Uzupelnic test petersen4|.a.} </wrongoption>{graf przedstawiony na rysunku Uzupelnic test petersen4|.b.} </wrongoption>{graf przedstawiony na rysunku Uzupelnic test petersen4|.c.} </rightoption>{graf przedstawiony na rysunku Uzupelnic test petersen4|.d.}

Który z grafów przedstawionych na Rysunku Uzupelnic test klika5| jest homeomorficzny z kliką $𝒦_{5}$ ?

[!ht]

{test_klika5} { [Rysunek z pliku: testklika5.eps]}

}

</wrongoption>{graf przedstawiony na rysunku Uzupelnic test klika5|.a.} </wrongoption>{graf przedstawiony na rysunku Uzupelnic test klika5|.b.} </rightoption>{graf przedstawiony na rysunku Uzupelnic test klika5|.c.} </wrongoption>{graf przedstawiony na rysunku Uzupelnic test klika5|.d.}

Spójny graf planarny o $20$ wierzchołkach, z których każdy jest stopnia $3$ ma:} </wrongoption>{ $11$ ścian} </rightoption>{ $12$ ścian} </wrongoption>{ $22$ ścian} </wrongoption>{ $24$ ścian}

Ile spójnych składowych ma graf planarny o $121$ wierzchołkach,

 $53$   krawędziach, oraz   $30$   ścianach?}

</rightoption>{ $98$ } </wrongoption>{ $99$ } </wrongoption>{ $100$ } </wrongoption>{ $143$ }

Niech $𝐆^{*}$ będzie grafem geometrycznie dualnym do grafu płaskiego $𝐆$ . Podzbiór $C$ zbioru krawędzi grafu $𝐆$ jest cyklem w grafie $𝐆$ wtedy i tylko wtedy, gdy zbiór krawędzi dualnych do krawędzi zbioru $C$ } </wrongoption>{posiada parzystą liczbę elementów} </wrongoption>{posiada nieparzystą liczbę elementów} </wrongoption>{jest cyklem grafu $𝐆^{*}$ } </rightoption>{jest rozcięciem grafu $𝐆^{*}$ }

Spójny graf prosty, który nie jest pełny,

i w którym wszystkie wierzchołki  mają stopień nie większy niż   $k$  jest:}

</wrongoption>{ $(k - 1)$ -kolorowalny} </rightoption>{ $k$ -kolorowalny} </rightoption>{ $(k + 1)$ -kolorowalny} </rightoption>{ $2 k$ -kolorowalny}

Iloma kolorami można pokolorować polityczną mapę Europy?} </wrongoption>{ $3$ } </rightoption>{ $4$ } </rightoption>{ $5$ } </rightoption>{ $6$ }

W grafie prostym zachodzi:} </rightoption>{ $χ (𝐆) \leq χ_{s} (𝐆) + 1$ } </wrongoption>{ $χ (𝐆) \leq χ_{s} (𝐆)$ } </wrongoption>{ $χ (𝐆) \geq χ_{s} (𝐆) + 1$ } </wrongoption>{ $χ (𝐆) = χ_{s} (𝐆)$ }

Pełny graf dwudzielny $K_{50, 50}$ :} </rightoption> jest grafem Hamiltonowskim </rightoption> jest grafem Eulerowskim </wrongoption> jest lasem </rightoption> jest dwukolorowalny </rightoption> jest 49-kolorowalny

151515151515151515151515151515151515

{article} {../makraT}

0mm

Uzupelnij tytul
Metody algebraiczne w teorii grafów

10mm

Niech $m_{i j}$ oznacza liczbę skierowanych marszrut, nie dłuższych niż $n - 1$ , z wierzchołka $v_{i}$ do $v_{j}$ w grafie skierowanym $𝐆 = ({v_{1}, \dots, v_{n}}, E)$ , a $M$ niech będzie macierzą $⟨ m_{i j} ⟩$ . Wtedy:} </rightoption>{ Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle M={\sf A}\left( \mathbf{G} \right)^1+{\sf A}\left( \mathbf{G} \right)^2+\ldots+{\sf A}\left( \mathbf{G} \right)^{\left( n-1 \right)} } } </wrongoption>{ Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle M={\sf A}\left( \mathbf{G} \right)^{\left( n-1 \right)} } } </wrongoption>{ Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle M=n\cdot{\sf A}\left( \mathbf{G} \right) } } </rightoption>{ $m_{i j} > 0$ wtedy i tylko wtedy, gdy Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \left( v_i,v_j \right)\in{\sf E}\!\left({\sf TC}\left( \mathbf{G} \right)\right) } }

Zaznacz prawdziwe zależności dla grafu prostego $𝐆$ o macierzy sąsiedztwa Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle {\sf A}\left( \mathbf{G} \right) } , macierzy incydencji Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle {\sf B}\left( \mathbf{G} \right) } , zorientowanej macierzy incydencji Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle {\sf C}\left( \mathbf{G} \right) } oraz macierzy stopni Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle {\sf D}\left( \mathbf{G} \right) } :} </wrongoption>{ Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle {\sf B}\left( \mathbf{G} \right)\cdot {\sf B}\left( \mathbf{G} \right)^T= {\sf A}\left( \mathbf{G} \right)- {\sf D}\left( \mathbf{G} \right) } } </rightoption>{ Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle {\sf B}\left( \mathbf{G} \right)\cdot {\sf B}\left( \mathbf{G} \right)^T= {\sf D}\left( \mathbf{G} \right)+ {\sf A}\left( \mathbf{G} \right) } } </wrongoption>{ Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle {\sf B}\left( \mathbf{G} \right) \cdot{\sf A}\left( \mathbf{G} \right) = {\sf C}\left( \mathbf{G} \right) } } </wrongoption>{ Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle {\sf C}\left( \mathbf{G} \right)\cdot {\sf C}\left( \mathbf{G} \right)^T= {\sf A}\left( \mathbf{G} \right)- {\sf D}\left( \mathbf{G} \right) } }

Niech $𝐆$ będzie grafem o $10$ wierzchołkach przedstawionym na Rysunku Uzupelnic test alg|, a macierz $M$ , o rozmiarach $9 \times 9$ , będzie minorem (podmacierzą) zorientowanej macierzy incydencji Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle {\sf C}\left( \mathbf{G} \right) } , w którym kolumny odpowiadają krawędziom

 $e_{0}, e_{2}, e_{3}, e_{6}, e_{9}, e_{12}, e_{13}, e_{14}, e_{15}$  .

[!ht]

{test_alg} {Graf $𝐆$ . [Rysunek z pliku: testalg.eps]}

Wtedy:} </rightoption>{macierz $M$ jest nieosobliwa} </wrongoption>{macierz $M$ jest osobliwa} </wrongoption>{suma elementów w każdej kolumnie macierzy $M$ wynosi $0$ } </wrongoption>{macierz $M$ jest antysymetryczna}

Na to by permanent grafu $𝐆$ był niezerowy, wystarcza by:} </rightoption>{graf $𝐆$ posiadał cykl Hamiltona} </wrongoption>{graf $𝐆$ posiadał cykl Eulera} </wrongoption>{graf $𝐆$ był spójny} </rightoption>{graf $𝐆$ był grafem dwudzielnym posiadającym skojarzenie doskonałe}

Zaznacz zdania prawdziwe o wartościach własnych grafów:} </wrongoption>{Co najmniej jedna z wartości własnych jest liczbą zespoloną.} </wrongoption>{Jeśli wszystkie wartości własne są wymierne, to graf jest eulerowski.} </rightoption>{Wszystkie wartości własne grafu hamiltonowskiego są rzeczywiste.} </rightoption>{Wszystkie wartości własne dowolnego grafu są rzeczywiste.}

Zaznacz prawdziwe związki wartości własnych z maksymalnym stopniem wierzchołka w grafie prostym:} </wrongoption>{ $λ_{m a x} (𝐆) = Δ (𝐆)$ } </rightoption>{ $| λ_{m a x} (𝐆) | \leq Δ (𝐆)$ } </rightoption>{ $λ_{m a x} (𝐆) = Δ (𝐆)$ wtedy i tylko wtedy, gdy któraś spójna składowa grafu $𝐆$ jest grafem regularnym stopnia $Δ (𝐆)$ } </rightoption>{ $- Δ (𝐆)$ jest wartością własną macierzy Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle {\sf A}\left( \mathbf{G} \right) } wtedy i tylko wtedy, gdy $𝐆$ jest regularnym grafem dwudzielnym stopnia $Δ (𝐆)$ }

W grafie regularnym $𝐆$ o $10$ wierzchołkach stopnia $4$ oraz wartościach własnych $λ_{m i n} (𝐆) \approx - 2, 73205$ i $λ_{m a x} (𝐆) = 4$ moc niezależnego podzbioru jest ograniczona z góry przez:} </wrongoption>{ $2$ } </wrongoption>{ $3$ } </rightoption>{ $4$ } </rightoption>{ $10$ }

Zaznacz zdania prawdziwe wiążące liczbę chromatyczną $χ (𝐆)$ z wartościami własnymi grafu regularnego $𝐆$ :} </rightoption>{ $χ (𝐆) \geq 1 - \frac{λ_{m a x} (𝐆)}{λ_{m i n} (𝐆)}$ } </wrongoption>{ $χ (𝐆) = 1 - \frac{λ_{m a x} (𝐆)}{λ_{m i n} (𝐆)}$ } </rightoption>{ $χ (𝐆) \leq λ_{m a x} (𝐆) + 1$ } </wrongoption>{ $χ (𝐆) \geq λ_{m a x} (𝐆)$ }

Test GR4: Różnice pomiędzy wersjami

Wersja z 14:13, 18 wrz 2006

Menu nawigacyjne

Działania na stronie

Opcje strony

Narzędzia osobiste

Nawigacja

Szukaj

Narzędzia

@@ Linia 1: / Linia 1: @@
-<quiz>Czarta funkcja różnicowa <math>\displaystyle \Delta^4(4^x)</math> to:
-<rightoption>  <math>\displaystyle 3^4\cdot4^x</math></rightoption>
+{thm}{Twierdzenie}
-<wrongoption> <math>\displaystyle 4^4\cdot4^x</math></wrongoption>
+{obs}[thm]{Obserwacja}
-<wrongoption> <math>\displaystyle 5^4\cdot4^x</math></wrongoption>
+{con}[thm]{Wniosek}
-<wrongoption> <math>\displaystyle \frac{4^x}{5^4}</math></wrongoption>
+{exrr}{Zadanie}
+{
+mm
+'''#1'''
+mm }{{ <math>\displaystyle \square </math> }
+}
+{article}
+{../makraT}
+mm
+{| border=1
+|+ <span style="font-variant:small-caps">Uzupelnij tytul</span>
+|-
+| '''Współczynniki dwumianowe'''
+|-
+|
+|}
+mm
+<quiz>Zależność <math>\displaystyle {n\choose0}-{n\choose1}+\ldots+(-1)^n{n\choose n}=0</math>
+zachodzi dla:}
+</rightoption>  wszystkich liczb naturalnych <math>\displaystyle n</math>
+</wrongoption> tylko skończenie wielu liczb naturalnych <math>\displaystyle n</math>
+</wrongoption> żadnej liczby naturalnej <math>\displaystyle n</math>
+</rightoption>  wszystkich, poza skończenie wieloma liczbami naturalnymi <math>\displaystyle n</math>
 </quiz>
-<quiz>Wskaż błędne przejścia (o ile istnieją) w poniższym wyprowadzeniu
+<quiz>Suma elementów <math>\displaystyle n</math>-tego wiersza Trójkąta Pascala
+bez obu wartości brzegowych to:}
-<center><math>\displaystyle \aligned \sum_{i=0}^ni^4&=\sum_{i=0}^n(i^{\underline{1}}+7i^{\underline{2}}+6i^{\underline{3}}+i^{\underline{4}})\\
+</wrongoption> <math>\displaystyle 2^n</math>.
-&=\sum_0^n(x^{\underline{1}}+7x^{\underline{2}}+6x^{\underline{3}}+x^{\underline{4}})\delta x\\
+</rightoption>  <math>\displaystyle 2^{n}-2</math>.
-&=\sum_0^nx^{\underline{1}}\delta x+7\sum_0^nx^{\underline{2}}\delta x+6\sum_0^nx^{\underline{3}}\delta x+\sum_0^nx^{\underline{4}}\delta x\\
+</rightoption>  <math>\displaystyle \sum_{i=1}^n{n\choose i}-1</math>.
-&=\frac{1}{2}n^{\underline{2}}+\frac{7}{3}n^{\underline{3}}+\frac{6}{4}n^{\underline{4}}+\frac{1}{5}n^{\underline{5}}
+</wrongoption> <math>\displaystyle {2n\choose n}</math>.
-\endaligned</math></center>
+</quiz>
+<quiz>Współczynnik przy wyrazie <math>\displaystyle x^n</math> w rozwinięciu dwumianu <math>\displaystyle (x+2)^{2n}</math> to:}
+</wrongoption> <math>\displaystyle {2n\choose n}</math>.
+</wrongoption> <math>\displaystyle 2^n{n\choose2}</math>.
+</rightoption>  <math>\displaystyle {2n\choose n}2^n</math>.
+</wrongoption> <math>\displaystyle {2n\choose n}2^{2n}</math>.
+</quiz>
-<wrongoption> pierwsza równość</wrongoption>
+<quiz><math>\displaystyle {-1\choose k}</math> dla <math>\displaystyle k\geqslant0</math> jest równe:}
-<rightoption>  druga równość</rightoption>
+</wrongoption> <math>\displaystyle 0</math>.
-<wrongoption> trzecia równość</wrongoption>
+</wrongoption> <math>\displaystyle 1</math>.
-<wrongoption> czwarta równość</wrongoption>
+</wrongoption> <math>\displaystyle (-1)^k</math>.
-<wrongoption> wszystkie są poprawne</wrongoption>
+</rightoption>  <math>\displaystyle (-1)^{k+1}</math>
 </quiz>
-<quiz>Jeśli <math>\displaystyle f(n)</math> jest <math>\displaystyle n</math>-tą liczbą Fibonacciego, to dla <math>\displaystyle n>1</math>
+<quiz>Suma <math>\displaystyle \sum_{i=0}^n2^i{n\choose i}</math> wynosi}
-wartość funkcji <math>\displaystyle (\Delta f)(n)</math> wynosi:
+</wrongoption> <math>\displaystyle 2^n</math>.
-<rightoption>  <math>\displaystyle f(n-1)</math></rightoption>
+</rightoption>  <math>\displaystyle 3^n</math>.
-<wrongoption> <math>\displaystyle f(n)</math></wrongoption>
+</wrongoption> <math>\displaystyle (n+2)^n</math>.
-<wrongoption> <math>\displaystyle f(n+1)</math></wrongoption>
+</wrongoption> <math>\displaystyle {2n\choose n}</math>.
-<wrongoption> <math>\displaystyle \sum_{i=0}^n f(i)</math></wrongoption>
 </quiz>
-<quiz>Zaznacz zdania prawdziwe:
+<quiz>Liczba nieporządków na zbiorze <math>\displaystyle 3</math>-elementowym to:}
-<rightoption>  <math>\displaystyle \Delta x^{\underline{m}}=mx^{\underline{m-1}}</math>, dla dowolnego <math>\displaystyle m\in\mathbb{Z}</math></rightoption>
+</wrongoption> <math>\displaystyle 1</math>.
-<wrongoption> <math>\displaystyle x^{\underline{m+n}}=x^{\underline{m}}x^{\underline{n}}</math>, dla dowolnego <math>\displaystyle m,n\in\mathbb{Z}</math></wrongoption>
+</rightoption>  <math>\displaystyle 2</math>.
-<rightoption>  <math>\displaystyle \sum_a^ag(x)\delta x=0</math>, dla dowolnego <math>\displaystyle a\in\mathbb{N}</math></rightoption>
+</wrongoption> <math>\displaystyle 3</math>.
-<wrongoption> <math>\displaystyle \Delta(f(x)g(x))=g(x)\Delta f(x)+f(x)\Delta g(x)</math></wrongoption>
+</wrongoption> <math>\displaystyle 6</math>.
 </quiz>
-<quiz>Suma nieoznaczona <math>\displaystyle \sum 10^x\delta x</math> to:
+<quiz><math>\displaystyle {n\choose a,b,0,\ldots,0}</math> gdzie <math>\displaystyle a+b=n</math> to:}
-<wrongoption> <math>\displaystyle 9\cdot 10^x+C</math></wrongoption>
+</rightoption>  <math>\displaystyle {n\choose a}</math>.
-<rightoption>  <math>\displaystyle \frac{10^x}{9}+C</math></rightoption>
+</rightoption>  <math>\displaystyle {n\choose b}</math>.
-<wrongoption> <math>\displaystyle \frac{9^x}{10}+C</math></wrongoption>
+</wrongoption> <math>\displaystyle {n\choose a+b}</math>.
-<wrongoption> <math>\displaystyle 10\cdot9^x+C</math></wrongoption>
+</wrongoption> <math>\displaystyle {n+a+b\choose a+b}</math>.
 </quiz>
-<quiz>Równość <math>\displaystyle \sum f(x)\delta x=H_x+C</math> zachodzi dla:
+<quiz>Na ile sposobów z grupy <math>\displaystyle 5n</math> osób,
-<rightoption>  <math>\displaystyle f(x)=\frac{1}{x+1}</math></rightoption>
+złożonej z <math>\displaystyle 3n</math> mężczyzn i <math>\displaystyle 2n</math> kobiet,
-<wrongoption> <math>\displaystyle f(x)=\frac{1}{x+1}+c</math>, przy dowolnym <math>\displaystyle c\in\mathbb{Z}</math></wrongoption>
+można wybrać <math>\displaystyle n</math>-kobiet i <math>\displaystyle n</math>-mężczyzn,
-<rightoption>  <math>\displaystyle f(x)=\frac{1}{x+1}+\sin{x\pi}</math></rightoption>
+i dodatkowo z niewybranych mężczyzn wyznaczyć przywódcę?}
-<wrongoption> <math>\displaystyle f(x)=H_{x+1}</math></wrongoption>
+</wrongoption> <math>\displaystyle \left( {5n\choose 3n}{3n\choose n}+{5n\choose 2n}{2n\choose n} \right)\cdot 2n</math>.
+</rightoption>  <math>\displaystyle {3n\choose n}{2n\choose n}\cdot 2n</math>.
+</wrongoption> <math>\displaystyle \left( {3n\choose n}+{2n\choose n} \right)\cdot 2n</math>.
+</wrongoption> <math>\displaystyle {3n\choose n}{2n\choose n}\cdot 3n</math>.
 </quiz>
-<quiz>Dla dowolnego  wielomianu <math>\displaystyle p(x)</math> o stopniu <math>\displaystyle n</math>:
+<quiz>Suma <math>\displaystyle {0\choose7}+{1\choose7}+{2\choose7}+{3\choose7}+{4\choose7}+{5\choose7}+{6\choose7}+{7\choose7}</math> to:}
-<wrongoption> <math>\displaystyle \Delta^n p(x)=0</math></wrongoption>
+</wrongoption> <math>\displaystyle 0</math>.
-<wrongoption> <math>\displaystyle \Delta^{n-1} p(x)=c</math>, dla pewnego <math>\displaystyle c\in\mathbb{R}</math></wrongoption>
+</wrongoption> <math>\displaystyle {8\choose7}</math>.
-<rightoption>  <math>\displaystyle \Delta^{n+1} p(x)=0</math></rightoption>
+</wrongoption> <math>\displaystyle {7\choose8}</math>.
-<rightoption>  <math>\displaystyle \Delta^{2n} p^2(x)=c</math>, dla pewnego <math>\displaystyle c\in\mathbb{R}</math></rightoption>
+</rightoption>  <math>\displaystyle {8\choose8}</math>.
 </quiz>
-<quiz>Wielomian <math>\displaystyle x^5</math> można przedstawić jako następującą sumę dolnych silni:
+<quiz>Współczynnik przy wyrazie <math>\displaystyle x^my^n</math> w rozwinięciu dwumianu <math>\displaystyle (x+y)^{m+n}</math> to:}
-<rightoption>  <math>\displaystyle x^{\underline{1}}+15x^{\underline{2}}+25x^{\underline{3}}+10x^{\underline{4}}+x^{\underline{5}}</math></rightoption>
+</rightoption>  <math>\displaystyle {m+n\choose m}</math>.
-<wrongoption> <math>\displaystyle x^{\underline{1}}+2x^{\underline{2}}+7x^{\underline{3}}+6x^{\underline{4}}+x^{\underline{5}}</math></wrongoption>
+</rightoption>  <math>\displaystyle {m+n\choose n}</math>.
-<wrongoption> <math>\displaystyle x^{\underline{1}}+11x^{\underline{2}}+21x^{\underline{3}}+11x^{\underline{4}}+x^{\underline{5}}</math></wrongoption>
+</wrongoption> <math>\displaystyle {m\choose n}</math>.
-<wrongoption> <math>\displaystyle x^{\underline{1}}+7x^{\underline{2}}+15x^{\underline{3}}+10x^{\underline{4}}+x^{\underline{5}}</math></wrongoption>
+</wrongoption> <math>\displaystyle \sum_{i=0}^m{m+n\choose i}</math>.
 </quiz>
+66666666666666666666666666666
+{article}
+{../makraT}
+mm
+{| border=1
+|+ <span style="font-variant:small-caps">Uzupelnij tytul</span>
+|-
+| '''Permutacje i podziały'''
+|-
+|
+|}
+mm
+<quiz>Niech <math>\displaystyle n_{\pi},n_{\sigma},n_{\rho}</math> będą kolejno liczbami permutacji w <math>\displaystyle S_7</math>
+tego samego typu co, odpowiednio,
+<math>\displaystyle \pi=(14)(26)(357)</math>, <math>\displaystyle \sigma=(1357)(246)</math>, <math>\displaystyle \rho=(12)(34)(56)(7)</math>. Wtedy:}
+</rightoption>  <math>\displaystyle n_{\pi}\leqslant n_{\tau}\leqslant n_{\rho}</math>
+</rightoption>  <math>\displaystyle n_{\tau}\leqslant n_{\pi}\leqslant n_{\rho}</math>
+</wrongoption> <math>\displaystyle n_{\rho}\leqslant n_{\pi}\leqslant n_{\tau}</math>
+</wrongoption> <math>\displaystyle n_{\pi}\leqslant n_{\rho}\leqslant n_{\tau}</math>
+</quiz>
+<quiz>Dla sprzężonych permutacji <math>\displaystyle \pi,\sigma\in S_{13}</math> zachodzi:}
+</rightoption>  <math>\displaystyle \pi</math> i <math>\displaystyle \sigma</math> mają tyle samo cykli <math>\displaystyle 4</math>-elementowych
+</wrongoption> elementy <math>\displaystyle 1</math> i <math>\displaystyle 2</math> albo są w tym samym cyklu w obu permutacjach,
+    albo nie są w tym samym cyklu w obu permutacjach
+</rightoption>  <math>\displaystyle \pi</math> i <math>\displaystyle \sigma</math> mają ten sam typ
+</rightoption>  <math>\displaystyle \pi</math> i <math>\displaystyle \sigma</math> mają ten sam znak
+</quiz>
+<quiz>Dla <math>\displaystyle n\geqslant 2</math>,
+    podziałowa liczba Stirlinga  <math>\displaystyle \left\{\begin{array} {c}n\\ 2\end{array} \right\}</math> wynosi:}
+</wrongoption> <math>\displaystyle \sum_{k=1}^{n-1}{n\choose k}k!=\sum_{k=1}^{n-1}\frac{n!}{k!}</math>
+</wrongoption> <math>\displaystyle n!\sum_{k=1}^{n-1}\frac{1}{k(n-k)}</math>
+</wrongoption> <math>\displaystyle n!\sum_{k=1}^{n-1}\frac{1}{k(n-k)}</math>
+</rightoption>  <math>\displaystyle \frac{n!}{2}\sum_{k=1}^{n-1}\frac{1}{k(n-k)}</math>
+</quiz>
+<quiz>Średnia liczba cykli permutacji <math>\displaystyle n</math>-elementowej
+(czyli stosunek sumarycznej liczby cykli we wszystkich permutacjach <math>\displaystyle n</math>-elementowych
+do liczby cykli <math>\displaystyle n</math>-elementowych) to:}
+</wrongoption> <math>\displaystyle 2n</math>
+</wrongoption> <math>\displaystyle \left\lfloor \frac{n}{\lg{n}} \right\rfloor+1</math>
+</rightoption>  <math>\displaystyle \sum_{k=1}^n \frac{1}{k}</math>
+</wrongoption> <math>\displaystyle \frac{n}{2}</math>
+</quiz>
--------------------------------------------------------------------
+<quiz>Podziałowa liczba Stirlinga<math>\displaystyle \left\{\begin{array} {c}7\\ 4\end{array} \right\}</math> wynosi}
-<quiz>Niech <math>\displaystyle X</math> będzie dowolnym zbiorem skończonym. Wtedy:
+</wrongoption> <math>\displaystyle 90</math>
-<rightoption>  liczba injekcji, liczba surjekcji i liczba bijekcji z <math>\displaystyle X</math> w <math>\displaystyle X</math> jest taka sama</rightoption>
+</wrongoption> <math>\displaystyle 140</math>
-<wrongoption> injekcji i bijekcji z <math>\displaystyle X</math> w <math>\displaystyle X</math> jest tyle samo, natomiast surjekcji może być mniej</wrongoption>
+</wrongoption> <math>\displaystyle 301</math>
-<wrongoption> injekcji i surjekcji z <math>\displaystyle X</math> w <math>\displaystyle X</math> jest tyle samo, natomiast bijekcji może być mniej</wrongoption>
+</rightoption>  <math>\displaystyle 350</math>
-<rightoption>liczba injekcji jest niewiększa od liczby surjekcji, która jest niewiększa od liczby bijekcji (wszystkie funkcje z <math>\displaystyle X</math> w <math>\displaystyle X</math>)</rightoption>
+</quiz>
+<quiz>Jednomian <math>\displaystyle x^n</math> jest równy:}
+</rightoption>  <math>\displaystyle \sum_i\left\{\begin{array} {c}n\\ i\end{array} \right\}x^{\underline{i}}</math>
+</wrongoption> <math>\displaystyle B_nx^{\underline{n}}</math>, gdzie <math>\displaystyle B_n</math> jest <math>\displaystyle n</math>-tą liczbą Bella
+</wrongoption> <math>\displaystyle \sum_i\left[\begin{array} {c}n\\ i\end{array} \right]x^{\overline{i}}</math>
+</rightoption>  <math>\displaystyle \sum_i\left\{\begin{array} {c}n\\ i\end{array} \right\}(-1)^{n-i}x^{\overline{i}}</math>
+</quiz>
+<quiz>Na ile sposobów można rozłożyć <math>\displaystyle a</math> rozróżnialnych obiektów
+do dokładnie <math>\displaystyle b</math> rozróżnialnych szuflad, tak by każda szufladka była niepusta?}
+</wrongoption> <math>\displaystyle b^a</math>
+</wrongoption> <math>\displaystyle \left\{\begin{array} {c}a\\ b\end{array} \right\}</math>
+</rightoption>  <math>\displaystyle b!\left\{\begin{array} {c}a\\ b\end{array} \right\}</math>
+</wrongoption> <math>\displaystyle {a-1\choose b-1}</math>
+</quiz>
+<quiz>Na ile sposobów można rozłożyć <math>\displaystyle a</math> nierozróżnialnych obiektów
+do co najwyżej <math>\displaystyle b</math> rozróżnialnych szuflad?}
+</wrongoption> <math>\displaystyle {a-1\choose b-1}</math>
+</rightoption>  <math>\displaystyle {b+a-1\choose b-1}</math>
+</wrongoption> <math>\displaystyle \left\{\begin{array} {c}a\\ b\end{array} \right\}</math>
+</wrongoption> <math>\displaystyle \sum_{i=1}^b\left\{\begin{array} {c}a\\ i\end{array} \right\}</math>
+</quiz>
+<quiz>Gdy <math>\displaystyle P(n,k)</math> jest liczbą rozkładów liczby <math>\displaystyle n</math>
+na sumy dokładnie <math>\displaystyle k</math> nieujemnych całkowitych składników,
+to <math>\displaystyle \lim_{n\rightarrow\infty}\frac{P(n,k)}{n^k}</math> wynosi:}
+</rightoption>  <math>\displaystyle 0</math>
+</wrongoption> <math>\displaystyle \frac{1}{k!(k-1)!}</math>
+</wrongoption> <math>\displaystyle \frac{1}{k}</math>
+</wrongoption> <math>\displaystyle 1</math>
+</quiz>
+<quiz>Na ile sposobów można podzielić zbiór <math>\displaystyle a</math> elementowy na <math>\displaystyle b+c</math> bloków,
+przy czym <math>\displaystyle b</math> bloków jest wyróżnionych?}
+</rightoption>  <math>\displaystyle \left\{\begin{array} {c}a\\ b+c\end{array} \right\}{b+c\choose b}</math>
+</rightoption>  <math>\displaystyle \sum_k{a\choose k}\left\{\begin{array} {c}k\\ b\end{array} \right\}\left\{\begin{array} {c}a-k\\ c\end{array} \right\}</math>
+</wrongoption> <math>\displaystyle \left\{\begin{array} {c}a\\ b\end{array} \right\}\left\{\begin{array} {c}a-b\\ c\end{array} \right\}</math>
+</wrongoption> <math>\displaystyle \left\{\begin{array} {c}a\\ b+c\end{array} \right\}b!</math>
 </quiz>
-<quiz>Niech <math>\displaystyle A</math> będzie zbiorem dodatnich liczb nieparzystych. Wtedy:
+-------------------------------------------------
-<rightoption>  <math>\displaystyle A</math> jest przeliczalny</rightoption>
-<rightoption>  istnieje injekcja z <math>\displaystyle A</math> w <math>\displaystyle \mathbb{N}</math></rightoption>
+777777777777777777777777777777777777777777777777777777777
-<rightoption>  istnieje surjekcja z <math>\displaystyle A</math> w <math>\displaystyle \mathbb{N}</math></rightoption>
-<rightoption>  istnieje bijekcja z <math>\displaystyle A</math> w pewien właściwy podzbiór <math>\displaystyle A</math></rightoption>
+{article}
+{../makraT}
+mm
+{| border=1
+|+ <span style="font-variant:small-caps">Uzupelnij tytul</span>
+|-
+| '''Funkcje tworzące'''
+|-
+|
+|}
+mm
+<quiz>Na ile sposobów można rozmienić  <math>\displaystyle 25 </math>  centów za pomocą monet  <math>\displaystyle 1 </math> ,  <math>\displaystyle 5 </math> ,  <math>\displaystyle 10 </math>
+oraz  <math>\displaystyle 25 </math>  centowych?}
+ </wrongoption>{ <math>\displaystyle 6 </math> }
+ </wrongoption>{ <math>\displaystyle 12 </math> }
+ </rightoption>{ <math>\displaystyle 13 </math> }
+ </wrongoption>{ <math>\displaystyle 49 </math> }
+</quiz>
+<quiz>Funkcja tworząca postaci  <math>\displaystyle G\!\left( x \right)=g_0+g_1x+g_2x^2+g_3x^3+\ldots </math>
+ma odwrotną względem mnożenia (splotu),
+tzn. istnieje funkcja tworząca  <math>\displaystyle U\!\left( x \right) </math>  taka,
+że  <math>\displaystyle U\!\left( x \right)G\!\left( x \right)=1 </math>  }
+ </wrongoption>{jeśli  <math>\displaystyle g_0\neq 1 </math> }
+ </rightoption>{jeśli  <math>\displaystyle g_0\neq 0 </math> }
+ </rightoption>{jeśli wszystkie  <math>\displaystyle g_i\neq0 </math> }
+ </rightoption>{wtedy i tylko wtedy, gdy  <math>\displaystyle g_0\neq0 </math> }
+</quiz>
+<quiz>Funkcja  <math>\displaystyle G\!\left( x \right) </math>  spełniająca
+ <math>\displaystyle G\!\left( x \right)=\left( \sum_{n=0}^{\infty}x^n \right)\cdot\left( 1+xG\!\left( x \right) \right) </math>
+jest funkcją tworzącą:}
+</wrongoption>{ciągu  <math>\displaystyle 1,1,2,4,8,16,32,\ldots, 2^{n-1},\dots </math> }
+</rightoption>{ciągu geometrycznego  <math>\displaystyle g_n=2^n </math> }
+</wrongoption>{nie ma takiego ciągu}
+</wrongoption>{nie istnieje taka funkcja tworząca}
+</quiz>
+<quiz>Funkcja  <math>\displaystyle G\!\left( x \right) </math>  spełniająca
+ <math>\displaystyle G\!\left( x \right)=G'\!\left( x \right) </math>  oraz  <math>\displaystyle G\!\left( 0 \right)=1 </math>
+jest funkcją tworzącą ciągu:}
+</wrongoption>{ <math>\displaystyle g_n=\frac{1}{n} </math> }
+</rightoption>{ <math>\displaystyle g_n=\frac{1}{n!} </math> }
+</wrongoption>{ <math>\displaystyle g_n=1 </math> }
+</wrongoption>{ <math>\displaystyle g_0=1 </math>  oraz  <math>\displaystyle g_n=0 </math>  dla  <math>\displaystyle n>1 </math> }
+</quiz>
+<quiz>Niech  <math>\displaystyle G\!\left( x \right)=\left( 1+x \right)^y </math> , gdzie  <math>\displaystyle y </math>  jest liczba rzeczywistą.
+Jeśli  <math>\displaystyle G\!\left( x \right)=\sum_{n=0}^{\infty}g_n x^n </math> , to:}
+</wrongoption>{ <math>\displaystyle g_n=\frac{\left( y+n \right)^{\underline{n}}}{n} </math> }
+</wrongoption>{ <math>\displaystyle g_n=\frac{y^n}{n!} </math> }
+</wrongoption>{ <math>\displaystyle g_n={ y+n \choose n }=\frac{\left( y+n \right)^{\underline{n}}}{n!} </math> }
+</rightoption>{ <math>\displaystyle g_n={ y \choose n }=\frac{y^{\underline{n}}}{n!} </math> }
+</quiz>
+<quiz>Suma  <math>\displaystyle \sum_{k=0}^{n}\left( 3k^2-3k+1 \right) </math>  wynosi:}
+</wrongoption>{ <math>\displaystyle 2n^3+3n+n </math> ,}
+</rightoption>{ <math>\displaystyle n^3 </math> ,}
+</wrongoption>{ <math>\displaystyle \left( 2n^3+3n+n \right)/{6} </math> ,}
+</wrongoption>{ <math>\displaystyle 3n^3-3n^2+n </math> }
+</quiz>
+<quiz>Niech  <math>\displaystyle a_0=2 </math> ,  <math>\displaystyle a_1=3 </math> ,  <math>\displaystyle a_2=5 </math> , oraz  <math>\displaystyle a_{n+3}=7a_{n+2}-16a_{n+1}+12a_n </math> .
+Wtedy:}
+</wrongoption>{ <math>\displaystyle a_n=\left( 1-n \right)2^n+3^n </math> }
+</rightoption>{ <math>\displaystyle a_n=\frac{1}{\sqrt{5}}\left( \left( \frac{1+\sqrt{5}}{2} \right)^{n+3}-\left( \frac{1-\sqrt{5}}{2} \right)^{n+3} \right) </math> }
+</wrongoption>{ <math>\displaystyle a_n=\frac{1}{\sqrt{5}}\left( \left( \frac{1+\sqrt{5}}{2} \right)^{n}-\left( \frac{1-\sqrt{5}}{2} \right)^{n} \right) </math> }
+</wrongoption>{żadna z pozostałych odpowiedzi nie jest prawidłowa}
+</quiz>
+--------------------------------
+8888888888888888888888888888888888888888888888
+{article}
+{../makraT}
+mm
+{| border=1
+|+ <span style="font-variant:small-caps">Uzupelnij tytul</span>
+|-
+| '''Zliczanie obiektów'''
+|-
+|
+|}
+mm
+<quiz>Liczby Catalana  <math>\displaystyle c_n </math>  spełniają zależność rekurencyjną:}
+</wrongoption>{ <math>\displaystyle c_n =\sum_{k=1}^{n-1} c_{k} </math> }
+</wrongoption>{ <math>\displaystyle c_n =\sum_{k=1}^{n} c_{k} </math> }
+</wrongoption>{ <math>\displaystyle c_n =\sum_{k=1}^{n-1} c_{k} c_{n-k} </math> }
+</rightoption>{ <math>\displaystyle c_n =\sum_{k=1}^{n} c_{k-1} c_{n-k} </math> }
+</quiz>
+<quiz> <math>\displaystyle n </math> -ta liczba Catalana to:}
+</wrongoption>{ <math>\displaystyle {2n \choose n} </math> }
+</rightoption>{ <math>\displaystyle \frac{1}{n+1}{2n \choose n} </math> }
+</wrongoption>{ <math>\displaystyle {1/2 \choose n}\left( -4 \right)^n </math> }
+</rightoption>{ <math>\displaystyle 2{1/2 \choose n+1}\left( -4 \right)^n </math> }
+</quiz>
+<quiz>Niech  <math>\displaystyle t_{10} </math>  będzie liczbą drzew  o wysokości  <math>\displaystyle 10 </math> . Wtedy:}
+</rightoption>{ <math>\displaystyle t_{10}\leq 2^{1023} </math> }
+</rightoption>{ <math>\displaystyle t_{10}\geq 2^{512} </math> }
+</wrongoption>{ <math>\displaystyle t_{10}\leq 2^{10} </math> }
+</wrongoption>{ <math>\displaystyle t_{10}\geq 2^{9} </math> }
+</quiz>
+<quiz>Liczba podziałów liczby  <math>\displaystyle 16 </math>  na sumy złożone jedynie ze składników  <math>\displaystyle 1,2,4,8,16 </math>
+wynosi:}
+</wrongoption>{ <math>\displaystyle 25 </math> }
+</wrongoption>{ <math>\displaystyle 26 </math> }
+</rightoption>{ <math>\displaystyle 35 </math> }
+</wrongoption>{ <math>\displaystyle 165 </math> }
+</quiz>
+<quiz>Funkcja tworząca podziału liczby na sumy jest przedstawialna jako:}
+</rightoption>{ <math>\displaystyle \prod_{k=1}^{\infty}\frac{1}{1-x^k} </math> }
+</wrongoption>{ <math>\displaystyle \sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{1-x^k} </math> }
+</wrongoption>{ <math>\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty}\prod_{k=1}^{\infty}\frac{1}{1-x^{nk}} </math> }
+</rightoption>{ <math>\displaystyle \prod_{k=1}^{\infty}\sum_{n=0}^{\infty}x^{nk} </math> }
+</quiz>
+<quiz>Funkcja  tworząca
+  <math>\displaystyle s_n\!\left( x \right)=\left[\begin{array} {c}n\\ 0\end{array} \right]+\left[\begin{array} {c}n\\ 1\end{array} \right]x+\left[\begin{array} {c}n\\ 2\end{array} \right]x^2+\left[\begin{array} {c}n\\ 3\end{array} \right]x^3+\ldots,
+ </math>
+dla cyklowych liczb Stirlinga  <math>\displaystyle \left[\begin{array} {c}n\\ m\end{array} \right] </math> , ma postać zwartą:
+}
+</rightoption>{ <math>\displaystyle s_n\!\left( x \right)=x^{\overline{n}} </math> }
+</rightoption>{ <math>\displaystyle s_n\!\left( x \right)=\prod_{k=0}^{n-1}\left( x+k \right) </math> }
+</wrongoption>{ <math>\displaystyle s_n\!\left( x \right)=x^{\underline{n}} </math> }
+</wrongoption>{ <math>\displaystyle s_n\!\left( x \right)=1/\prod_{k=0}^{n-1}\left( 1-kx \right) </math> }
+</quiz>
+<quiz>Podziałowe liczby Stirlinga spełniają zależność rekurencyjną:}
+</wrongoption>{ <math>\displaystyle \left\{\begin{array} {c}n\\ k\end{array} \right\}=\left( n-1 \right)\left\{\begin{array} {c}n-1\\ k\end{array} \right\}+\left\{\begin{array} {c}n-1\\ k-1\end{array} \right\} </math> , dla  <math>\displaystyle 0>k>n </math> }
+</wrongoption>{ <math>\displaystyle \left\{\begin{array} {c}n+k\\ k\end{array} \right\}=\left\{\begin{array} {c}n+k-1\\ k\end{array} \right\}+k\left\{\begin{array} {c}n+k-1\\ k-1\end{array} \right\} </math> , dla  <math>\displaystyle n>1,\ k>0 </math> }
+</rightoption>{ <math>\displaystyle \left\{\begin{array} {c}n+k\\ k\end{array} \right\}=k\left\{\begin{array} {c}n+k-1\\ k\end{array} \right\}+\left\{\begin{array} {c}n+k-1\\ k-1\end{array} \right\} </math> , dla  <math>\displaystyle n>1,\ k>0 </math> }
+</wrongoption>{żadna z pozostałych odpowiedzi nie jest prawidłowa}
+</quiz>
+<quiz> Niech  <math>\displaystyle a_0=1 </math> ,  <math>\displaystyle a_1=0 </math>  oraz  <math>\displaystyle a_n=\frac{a_{n-2}}{n} </math> .
+Funkcja  tworząca  <math>\displaystyle A\!\left( x \right)=\sum_{n=0}^{\infty}a_n x^n </math>  ma postać zwartą:}
+</wrongoption>{ <math>\displaystyle A\!\left( x \right)=\sin x </math> }
+</wrongoption>{ <math>\displaystyle A\!\left( x \right)=e^{x^2} </math> }
+</rightoption>{ <math>\displaystyle A\!\left( x \right)=e^{x^2/2} </math> }
+</wrongoption>{żadna z pozostałych odpowiedzi nie jest prawidłowa}
+</quiz>
+999999999999999999999999999999999999999
+{article}
+{../makraT}
+mm
+{| border=1
+|+ <span style="font-variant:small-caps">Uzupelnij tytul</span>
+|-
+| '''Asymptotyka'''
+|-
+|
+|}
+mm
+<quiz>Funkcja <math>\displaystyle n^2\lg{n}+\frac{n^2\sqrt{n}}{\lg{n}}</math> jest:}
+</wrongoption> <math>\displaystyle \Theta(n^2\lg{n})</math>
+</wrongoption> <math>\displaystyle O(n^2\lg{n})</math>
+</wrongoption> <math>\displaystyle \Theta{n^2\sqrt{n}}</math>
+</rightoption>  <math>\displaystyle O(\frac{n^2\sqrt{n}}{\lg{n}})</math>
+</quiz>
+<quiz>Funkcja <math>\displaystyle \frac{n^9}{\lg^{10}n}</math> jest:}
+</wrongoption> <math>\displaystyle O(n^{\frac{9}{10}})</math>
+</wrongoption> <math>\displaystyle O(n)</math>
+</rightoption>  <math>\displaystyle O(n^9)</math>
+</rightoption>  <math>\displaystyle \Omega(\lg^{10}n)</math>
+</quiz>
+<quiz>Dla <math>\displaystyle f(n)=2^{\lg{n}+1}</math> oraz <math>\displaystyle g(n)=\lg{2n}-1</math> zachodzi:}
+</wrongoption> <math>\displaystyle f(x)=\omega(g(x))</math>
+</rightoption>  <math>\displaystyle f(x)=\Omega(g(x))</math>
+</rightoption>  <math>\displaystyle f(x)=\Theta(g(x))</math>
+</rightoption>  <math>\displaystyle f(x)=O(g(x))</math>
+</wrongoption> <math>\displaystyle f(x)=o(g(x))</math>
+</quiz>
+<quiz>Dowolny wielomian <math>\displaystyle k</math>-tego stopnia jest:}
+</rightoption>  <math>\displaystyle \Omega(n^k)</math>
+</rightoption>  <math>\displaystyle \Theta(n^k)</math>
+</rightoption>  <math>\displaystyle O(n^k)</math>
+</rightoption>  <math>\displaystyle o(n^{k+\varepsilon})</math> dla dowolnego <math>\displaystyle \varepsilon>0</math>
 </quiz>
-<quiz>Maksymalna liczba punktów które można wybrać w trójkącie równobocznym o boku <math>\displaystyle 1</math>
+<quiz>Dla <math>\displaystyle f(n)=\frac{\lg n}{n}</math> oraz <math>\displaystyle g(n)=\frac{1}{\sqrt{n}}</math> zachodzi:}
-(wraz z obrzeżami) tak, by dowolne dwa były odległe o co najmniej <math>\displaystyle \frac{1}{2}</math> to:
+</wrongoption> <math>\displaystyle f(x)=\omega(g(x))</math>
-<wrongoption> <math>\displaystyle 3</math></wrongoption>
+</wrongoption> <math>\displaystyle f(x)=\Omega(g(x))</math>
-<wrongoption> <math>\displaystyle 4</math></wrongoption>
+</wrongoption> <math>\displaystyle f(x)=\Theta(g(x))</math>
-<wrongoption> <math>\displaystyle 5</math></wrongoption>
+</rightoption>  <math>\displaystyle f(x)=O(g(x))</math>
-<rightoption>  <math>\displaystyle 6</math></rightoption>
+</rightoption>  <math>\displaystyle f(x)=o(g(x))</math>
 </quiz>
-<quiz>Dla skończonych zbiorów <math>\displaystyle A,B,C,D</math> takich,
+<quiz>Dla <math>\displaystyle f(x)=x^2</math> oraz <math>\displaystyle g(x)=x^2+\sin x</math> zachodzi:}
-że <math>\displaystyle A\cap B=\emptyset</math> i <math>\displaystyle C\cap D=\emptyset</math>, moc zbioru <math>\displaystyle A\cup B\cup C\cup D</math> wynosi:
+</rightoption>  <math>\displaystyle f(x)=\Omega(g(x))</math>
-<rightoption><math>\displaystyle \left\vert A \right\vert+\left\vert B \right\vert+\left\vert C \right\vert+\left\vert D \right\vert-\left\vert A\cap C \right\vert-\left\vert A\cap D \right\vert-\left\vert B\cap C \right\vert-\left\vert B\cap D \right\vert</math></rightoption>
+</rightoption>  <math>\displaystyle f(x)=\Theta(g(x))</math>
-<rightoption><math>\displaystyle \displaystyle{\left\vert A \right\vert+\left\vert B \right\vert+\left\vert C \right\vert+\left\vert D \right\vert-\sum_{I,J\in\left\lbrace A,B,C,D \right\rbrace, I\neq J}\left\vert I\cap J \right\vert+\sum_{I,J,K\in\left\lbrace A,B,C,D \right\rbrace, I\neq J\neq K \neq I}\left\vert I\cap J\cap K \right\vert}</math></rightoption>
+</rightoption>  <math>\displaystyle f(x)=O(g(x))</math>
-<wrongoption> <math>\displaystyle \left\vert A\cup B \right\vert+\left\vert C\cup D \right\vert</math></wrongoption>
+</wrongoption> żadne z pozostałych
-<wrongoption> <math>\displaystyle \left\vert A\cup C \right\vert+\left\vert B\cup D \right\vert</math></wrongoption>
 </quiz>
-<quiz>Gdy <math>\displaystyle X</math> jest zbiorem skończonym,
+<quiz>Dla <math>\displaystyle T(n)=9T(\frac{n}{3})+\frac{n^2}{\lg n}</math>:}
-to par <math>\displaystyle (A,B)</math> takich, że <math>\displaystyle A\subseteq B\subseteq X</math> jest:
+</wrongoption> możemy skorzystać z pierwszego punktu Tw. o rekurencji uniwersalnej i <math>\displaystyle T(n)=\Theta(n^2)</math>
-<wrongoption> <math>\displaystyle 2^{\left\vert X \right\vert}+2^{\left\vert X \right\vert}</math></wrongoption>
+</wrongoption> możemy skorzystać z drugiego punktu Tw. o rekurencji uniwersalnej i <math>\displaystyle T(n)=\Theta(n^2\lg n)</math>
-<wrongoption> <math>\displaystyle 2^{\left\vert X \right\vert}\cdot 2^{\left\vert X \right\vert}</math></wrongoption>
+</wrongoption> możemy skorzystać z trzeciego punktu Tw. o rekurencji uniwersalnej i <math>\displaystyle T(n)=\Theta(\frac{n^2}{\lg n})</math>
-<wrongoption> <math>\displaystyle 2^{\left\vert X \right\vert^2}</math></wrongoption>
+</rightoption>  żadne z pozostałych
-<rightoption>  <math>\displaystyle 3^{\left\vert X \right\vert}</math></rightoption>
 </quiz>
-<quiz>Bartek, Paweł i Piotrek wybrali się na wesele znajomych.
+<quiz>Dla <math>\displaystyle T(n)=25T(\frac{n}{4})+\frac{n^2}{\lg n}</math>}
-W pewnym momencie na parkiecie tańczyło <math>\displaystyle 7</math> samotnych dziewcząt.
+</rightoption>  możemy skorzystać z pierwszego punktu Tw. o rekurencji uniwersalnej i <math>\displaystyle T(n)=\Theta(n^{\lg_4{25}})</math>
-Cała trójka postanowiła spróbować szczęścia.
+</wrongoption> możemy skorzystać z drugiego punktu Tw. o rekurencji uniwersalnej i <math>\displaystyle T(n)=\Theta(n^2)</math>
-Najpierw jednak ustalili, że każdy poprosi do tańca inną panią.
+</wrongoption> możemy skorzystać z trzeciego punktu Tw. o rekurencji uniwersalnej i <math>\displaystyle T(n)=\Theta(\frac{n^2}{\lg n})</math>
-Na ile sposobów mogli oni dokonać wyboru?
+</wrongoption> żadne z pozostałych
-<wrongoption> <math>\displaystyle 7^3</math></wrongoption>
-<wrongoption> <math>\displaystyle 3^7</math></wrongoption>
-<wrongoption> <math>\displaystyle 7!\cdot 3!</math></wrongoption>
-<rightoption>  <math>\displaystyle \frac{7!}{4!}</math></rightoption>
 </quiz>
-<quiz>Dowolna permutacja zbioru skończonego:
+<quiz>Funkcja spełniająca zależność <math>\displaystyle T(n)=T(\frac{n}{2})+1</math> jest:}
-<rightoption>  jest odwracalna</rightoption>
+</rightoption>  <math>\displaystyle \Theta(\lg n)</math>
-<rightoption>  jest rozkładalna na cykle</rightoption>
+</rightoption>  <math>\displaystyle \Theta(n)</math>
-<rightoption>  jest rozkładalna na rozłączne cykle</rightoption>
+</rightoption>  <math>\displaystyle O(n)</math>
-<rightoption>  jest jednoznacznie rozkładalna (z dokładnością do porządku cykli) na rozłączne cykle</rightoption>
+</wrongoption> żadne z pozostałych
 </quiz>
-<quiz>W dowolnym dwu-kolorowaniu (białym i czarnym kolorem) punktów płaszczyzny <math>\displaystyle \mathbb{R}^2</math>:
+101010101010101010101010101010101010
-<wrongoption> dla nieskończenie wielu <math>\displaystyle r>0</math> istnieją dwa czarne punkty oddalone o <math>\displaystyle r</math></wrongoption>
-<wrongoption> dla dowolnego <math>\displaystyle r>0</math> istnieją dwa czarne punkty oddalone o <math>\displaystyle r</math></wrongoption>
+{article}
-<rightoption>  dla nieskończenie wielu <math>\displaystyle r>0</math> istnieją dwa jednobarwne punkty oddalone o <math>\displaystyle r</math></rightoption>
+{../makraT}
-<rightoption>  dla dowolnego <math>\displaystyle r>0</math> istnieją dwa jednobarwne punkty oddalone o <math>\displaystyle r</math></rightoption>
+mm
+{| border=1
+|+ <span style="font-variant:small-caps">Uzupelnij tytul</span>
+|-
+| '''Teoria liczb I'''
+|-
+|
+|}
+mm
+<quiz>Liczb naturalnych <math>\displaystyle n>1</math> w rozkładzie których
+występują wszystkie liczby pierwsze niewiększe od <math>\displaystyle n</math> jest:}
+</wrongoption> nieskończenie wiele
+</rightoption>  co najmniej jedna
+</rightoption>  skończenie wiele
+</wrongoption> nie ma takich liczb
+</quiz>
+<quiz>Liczb pierwszych postaci <math>\displaystyle 91n+7</math>, dla <math>\displaystyle n\in\mathbb{N}</math> jest:}
+</wrongoption> nie ma takich liczb
+</rightoption>  dokładnie jedna
+</rightoption>  skończenie wiele
+</wrongoption> nieskończenie wiele
+</quiz>
+<quiz>Jeśli w ciągu postaci <math>\displaystyle \left\lbrace an+b \right\rbrace_{n\in\mathbb{N}}</math>, gdzie <math>\displaystyle a,b\in\mathbb{N}</math>,
+są przynajmniej dwie liczby pierwsze, to}
+</rightoption>  jest ich nieskończenie wiele
+</wrongoption> wszystkie liczby tego ciągu są pierwsze
+</wrongoption> może ich być tylko skończenie wiele
+</rightoption>  <math>\displaystyle a</math> i <math>\displaystyle b</math> są względnie pierwsze
+</quiz>
+<quiz>Jeśli <math>\displaystyle p</math> jest dowolną liczbą pierwszą, to sito Eratostenesa
+zastosowane do liczby <math>\displaystyle p^2+2</math> jako ostatnią skreśli:}
+</wrongoption> <math>\displaystyle p</math>
+</rightoption>  <math>\displaystyle p^2</math>
+</wrongoption> <math>\displaystyle p^2+1</math>
+</wrongoption> <math>\displaystyle p^2+2</math>
 </quiz>
-<quiz>Masz zestaw składający się z trzech typów klocków:
+<quiz>Jeśli <math>\displaystyle a|bc</math> oraz   NWD <math>\displaystyle  (a,b)=d</math>, to}
-<math>\displaystyle 6</math> dużych, <math>\displaystyle 7</math> średnich i <math>\displaystyle 3</math> małych.
+</rightoption>  <math>\displaystyle \frac{a}{d}|c</math>
-Piramidę złożoną z <math>\displaystyle 3</math> klocków (na dole największy, później średni i na górze mały)
+</rightoption>  <math>\displaystyle a|cd</math>
-można zbudować na:
+</rightoption>  <math>\displaystyle \frac{a}{d}\perp b</math>
-<rightoption>  <math>\displaystyle 6\cdot7\cdot3</math> sposobów</rightoption>
+</rightoption>  <math>\displaystyle \frac{a}{d}\perp\frac{b}{d}</math>
-<wrongoption> <math>\displaystyle \frac{6\cdot7\cdot3}{2}</math> sposobów</wrongoption>
-<wrongoption> <math>\displaystyle \frac{6\cdot 7\cdot 3}{3!}</math> sposobów</wrongoption>
-<wrongoption> <math>\displaystyle 6!7!3!</math> sposobów</wrongoption>
 </quiz>
-<quiz>Ile liczb rzeczywistych wystarcza by mieć pewność,
+<quiz>Liczb pierwszych postaci <math>\displaystyle n^2-1</math>, gdzie <math>\displaystyle n\in\mathbb{N}</math>, jest:}
-że wśród nich co najmniej dwie
+</wrongoption> <math>\displaystyle 0</math>
-mają rozwinięcia dziesiętne pokrywające się w nieskończonej liczbie miejsc po przecinku
+</rightoption>  <math>\displaystyle 1</math>
-(jeśli liczba ma skończone rozwinięcie, to uzupełniamy je zerami).
+</rightoption>  skończenie wiele
-<wrongoption> <math>\displaystyle 2</math></wrongoption>
+</wrongoption> nieskończenie wiele
-<wrongoption> <math>\displaystyle 10</math></wrongoption>
+</quiz>
-<rightoption>  <math>\displaystyle 11</math></rightoption>
-<rightoption>  nieskończenie wiele</rightoption>
+<quiz>Jeśli <math>\displaystyle a</math> i <math>\displaystyle b</math> są liczbami złożonymi to}
+</wrongoption>   NWD <math>\displaystyle  (a,b)>1</math>
+</rightoption>  <math>\displaystyle \frac{a}{ </math>  NWD <math>\displaystyle  (a,b)}\perp\frac{b}{ </math>  NWD <math>\displaystyle  (a,b)}</math>
+</wrongoption> jedna z liczb <math>\displaystyle \frac{a}{ </math>  NWD <math>\displaystyle  (a,b)}</math>, <math>\displaystyle \frac{b}{ </math>  NWD <math>\displaystyle  (a,b)}</math> jest pierwsza
+</wrongoption> jeśli <math>\displaystyle a\perp b</math>, to przynajmniej jedna z liczb <math>\displaystyle a-b</math>, <math>\displaystyle a+b</math> jest parzysta
+</quiz>
+<quiz>Jeśli <math>\displaystyle a|c</math> i <math>\displaystyle b|c</math>, to}
+</wrongoption>   NWD <math>\displaystyle  (a,b)>1</math>
+</wrongoption>   NWD <math>\displaystyle  (a,b)<c</math>
+</rightoption>  jeśli   NWD <math>\displaystyle  (a,b)>1</math>, to   NWW <math>\displaystyle  (a,b)<c</math>
+</rightoption>    NWW <math>\displaystyle  (a,b)\leqslant c</math>
+</quiz>
+<quiz>Rosnący ciąg arytmetyczny rozpoczynający się od <math>\displaystyle 1</math>:}
+</rightoption>  zawsze zawiera nieskończenie wiele liczb pierwszych
+</wrongoption> może zawierać tylko skończenie wiele liczb pierwszych
+</wrongoption> zawsze zawiera tylko skończenie wiele liczb pierwszych
+</wrongoption> może nie zawierać żadnej liczby pierwszej
 </quiz>
+11111111111111111111111111111111
+{article}
+{../makraT}
+mm
+{| border=1
+|+ <span style="font-variant:small-caps">Uzupelnij tytul</span>
+|-
+| '''Teoria liczb II'''
+|-
+|
+|}
+mm
+<quiz>Jeśli <math>\displaystyle d\perp n</math> oraz  <math>\displaystyle acd\equiv_{cn}bcd</math>, to}
+</rightoption>  <math>\displaystyle a\equiv_nb</math>
+</rightoption>  <math>\displaystyle ad\equiv_nbd</math>
+</rightoption>  <math>\displaystyle acd\equiv_nbcd</math>
+</wrongoption> <math>\displaystyle ac\equiv_{nd}bc</math>
+</quiz>
+<quiz>Równanie <math>\displaystyle 7x\equiv_{91}4</math>}
+</wrongoption> nie ma rozwiązania
+</wrongoption> ma skończenie wiele rozwiązań
+</wrongoption> zbiór wszystkich jego rozwiązań jest postaci <math>\displaystyle \left\lbrace 13n+c:n\in\ N \right\rbrace</math> dla pewnego <math>\displaystyle c\in\mathbb{N}</math>
+</rightoption>  zbiór wszystkich rozwiązań jest postaci <math>\displaystyle \left\lbrace 91n+c:n\in\mathbb{N} \right\rbrace</math> dla pewnego <math>\displaystyle c\in\mathbb{N}</math>
+</quiz>
+<quiz>Układ równań
+<center><math>\displaystyle \aligned x&\equiv_9&8,\\
+x&\equiv_{223}&222.
+\endaligned</math></center>
+}
+</rightoption>  ma całkowite rozwiązanie mniejsze od 2006
+</wrongoption> <math>\displaystyle 2006</math> jest jego jedynym rozwiązaniem
+</wrongoption> wszystkie jego rozwiązania są postaci <math>\displaystyle 2006\cdot n</math>, gdzie <math>\displaystyle n\in\mathbb{Z}</math>
+</rightoption>  wszystkie jego rozwiązania są postaci <math>\displaystyle 2007n+2006</math>
+</quiz>
+<quiz>Dla <math>\displaystyle a<b</math> warunek <math>\displaystyle \varphi(a)\leqslant\varphi(b)</math> zachodzi jeśli}
+</wrongoption> <math>\displaystyle a\leqslant b</math>
+</rightoption>  <math>\displaystyle a|b</math>
+</wrongoption> <math>\displaystyle a\perp b</math>
+</rightoption>  <math>\displaystyle a\leqslant b</math> i <math>\displaystyle b</math> jest pierwsza
+</quiz>
+<quiz><math>\displaystyle 16^{49}  </math>  { mod}  <math>\displaystyle   25</math> wynosi:}
+</wrongoption> <math>\displaystyle 1</math>
+</wrongoption> <math>\displaystyle 7</math>
+</wrongoption> <math>\displaystyle 14</math>
+</rightoption>  <math>\displaystyle 21</math>
+</quiz>
+<quiz><math>\displaystyle 14^{111}  </math>  { mod}  <math>\displaystyle   15</math> wynosi:}
+</wrongoption> <math>\displaystyle 1</math>
+</wrongoption> <math>\displaystyle 3</math>
+</wrongoption> <math>\displaystyle 12</math>
+</rightoption>  <math>\displaystyle 14</math>
+</quiz>
+<quiz>Wiedząc, że <math>\displaystyle 2006=2\cdot17\cdot59</math> oblicz <math>\displaystyle \mu(2006)</math>: }
+</rightoption>  <math>\displaystyle -1</math>
+</wrongoption> <math>\displaystyle 0</math>
+</wrongoption> <math>\displaystyle 1</math>
+</wrongoption> <math>\displaystyle 3</math>
+</quiz>
+<quiz><math>\displaystyle (n-1)!</math> modulo <math>\displaystyle n</math> to:}
+</rightoption>  <math>\displaystyle 0</math>, jeśli <math>\displaystyle n</math> jest złożona a <math>\displaystyle -1</math>, jeśli <math>\displaystyle n</math> jest pierwsza
+</rightoption>  <math>\displaystyle 0</math>, jeśli <math>\displaystyle n</math> jest złożona a <math>\displaystyle n-1</math>, jeśli <math>\displaystyle n</math> jest pierwsza
+</wrongoption> <math>\displaystyle 0</math>, jeśli <math>\displaystyle n</math> jest złożona a <math>\displaystyle 1</math>, jeśli <math>\displaystyle n</math> jest pierwsza
+</wrongoption> zawsze wynosi <math>\displaystyle 1</math>
+</quiz>
---------------------------------------------------------------
+12121212121212121212121212121212
-<quiz>
-Niech  <math>\displaystyle S_0=\left\lbrace 0 \right\rbrace
-</math>  oraz  <math>\displaystyle S_{i+1}=S_i \cup \left\lbrace \left\vert S_i \right\vert \right\rbrace </math> .
-Suma  <math>\displaystyle \bigcup_{i=0}^{\infty}S_i </math>  jest:
-<wrongoption reply="Źle">zbiorem jednoelementowym  <math>\displaystyle \left\lbrace 0 \right\rbrace </math></wrongoption>
-<wrongoption reply="Źle">zbiorem skończonym</wrongoption>
-<rightoption reply="Dobrze">zbiorem wszystkich liczb naturalnych</rightoption>
-<rightoption reply="Dobrze">zbiorem nieskończonym</rightoption>
-</quiz>
-<quiz>
+{article}
-Niech  <math>\displaystyle S_0=\left\lbrace 10 \right\rbrace </math>  oraz  <math>\displaystyle S_{i+1}=S_i \cup \left\lbrace \left\vert S_i \right\vert \right\rbrace </math> .
+{../makraT}
-Suma  <math>\displaystyle \bigcup_{i=0}^{\infty}S_i </math>  jest:
-<wrongoption reply="Źle">zbiorem jednoelementowym  <math>\displaystyle \left\lbrace 10 \right\rbrace </math></wrongoption>
-<wrongoption reply="Źle">zbiorem skończonym  <math>\displaystyle \left\lbrace 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10 \right\rbrace </math></wrongoption>
-<wrongoption reply="Źle">zbiorem wszystkich liczb naturalnych</wrongoption>
-<rightoption reply="Dobrze">zbiorem wszystkich liczb naturalnych poza liczbą  <math>\displaystyle 0 </math></rightoption>
-</quiz>
+mm
+{| border=1
+|+ <span style="font-variant:small-caps">Uzupelnij tytul</span>
+|-
+| '''Grafy I'''
+|-
+|
-<quiz>
+|}
-Niech  <math>\displaystyle a_0=1 </math>  oraz  <math>\displaystyle a_n=a_0+a_1+\ldots+a_{n-1} </math> . Ciąg  <math>\displaystyle a_n </math>  jest:
-<wrongoption reply="Źle">ciągiem arytmetycznym</wrongoption>
-<rightoption reply="Dobrze">ciągiem geometrycznym</rightoption>
-<rightoption reply="Dobrze">ciągiem o wyrazach  <math>\displaystyle a_n=2^{n-1} </math></rightoption>
-<wrongoption reply="Źle">ciągiem Fibonacci'ego</wrongoption>
-</quiz>
+mm
-<quiz>
+<quiz>Różnych grafów skierowanych bez cykli jednoelementowych w zbiorze <math>\displaystyle n</math>-elementowym jest:}
-Przy modyfikacji problemu przenoszenia Wież Hanoi i dopuszczeniu
+</wrongoption>  <math>\displaystyle 2^{n^2}</math>
-czterech wież zamiast trzech,
+</rightoption>   <math>\displaystyle 2^{n^2-n}</math>
-liczba  <math>\displaystyle H_n </math>  ruchów potrzebnych do przeniesienia  <math>\displaystyle n </math>
+</wrongoption>   <math>\displaystyle 2^{2^n}</math>
-krążków wyraża się zależnością:
+</wrongoption>   <math>\displaystyle 2^{2^n-n}</math>
-<wrongoption reply="Źle"><math>\displaystyle H_n=2H_{n-1}+1 </math></wrongoption>
+</wrongoption>    <math>\displaystyle 2^{n \choose 2}</math>
-<rightoption reply="Dobrze"><math>\displaystyle H_n=2H_{n-2}+3 </math></rightoption>
-<wrongoption reply="Źle"><math>\displaystyle H_n=2H_{n-1}+3 </math></wrongoption>
-<wrongoption reply="Źle"><math>\displaystyle H_n=2H_{n-2}+1 </math></wrongoption>
 </quiz>
+<quiz>Różnych grafów nieskierowanych bez cykli jednoelementowych  w zbiorze <math>\displaystyle n</math>-elementowym jest:}
+</wrongoption>  <math>\displaystyle 2^{n^2}</math>
+</wrongoption>   <math>\displaystyle 2^{n^2-n}</math>
+</wrongoption>   <math>\displaystyle 2^{2^n}</math>
+</wrongoption>   <math>\displaystyle 2^{2^n-n}</math>
+</rightoption>    <math>\displaystyle 2^{n \choose 2}</math>
+</quiz>
-<quiz>
+<quiz>Zaznacz zdania prawdziwe:}
-Które z równości są prawdziwe dla liczb Fibonacci'ego:
+</wrongoption>    W każdym grafie prostym <math>\displaystyle G= \left( V;E \right)</math> relacja <math>\displaystyle E</math> musi być zwrotna.
-<rightoption reply="Dobrze"><math>\displaystyle f_{n+2}=f_{n+1}+f_n </math></rightoption>
+</rightoption>     W grafie nieskierowanym  <math>\displaystyle G= \left( V,E \right)</math> relacja <math>\displaystyle E</math> jest symetryczna.
-<wrongoption reply="Źle"><math>\displaystyle f_{n+2}=f_n+f_{n-1} </math></wrongoption>
+</wrongoption>    Graf nieskierowany to rodzina wszystkich dwuelementowych podzbiorów zbioru wierzchołków.
-<rightoption reply="Dobrze"><math>\displaystyle f_{n+2}=f_n+f_{n-1}+\ldots+f_1+f_0-1 </math></rightoption>
+</rightoption>     W grafie pełnym każde dwa różne wierzchołki połączone są krawędzią.
-<rightoption reply="Dobrze"><math>\displaystyle f_n=\frac{1}{\sqrt{5}}
-\left[\left( \frac{1+\sqrt{5}}{2} \right)^n-\left( \frac{1-\sqrt{5}}{2} \right)^n\right] </math> .</rightoption>
 </quiz>
+<quiz>Zaznacz zdania prawdziwe dla grafów nieskierowanych:}
+</rightoption> podgraf indukowany grafu pełnego jest grafem pełnym
+</rightoption> każdy graf jest podgrafem jakiegoś grafu pełnego
+</wrongoption> każdy graf jest podgrafem indukowanym jakiegoś grafu pełnego
+</wrongoption> graf pełny ma zawsze parzystą liczbę krawędzi
+</rightoption> w grafie pełnym wszystkie wierzchołki mają ten sam stopień
+</quiz>
-<quiz>
+<quiz>Jaka jest najmniejsza liczba krawędzi w grafie
-Niech  <math>\displaystyle a_0=2 </math> , zaś  <math>\displaystyle a_1=1 </math> , oraz ponadto  <math>\displaystyle a_n=a_{n-1}+2a_{n-2} </math> .
+nieskierowanym o 100 wierzchołkach i trzech składowych spójnych:}
-Postać zwarta ciągu  <math>\displaystyle a_n </math> , to:
+  </wrongoption> <math>\displaystyle 99</math>
-<wrongoption reply="Źle"><math>\displaystyle a_n=\left( -2 \right)^n+3^n </math></wrongoption>
+  </rightoption> <math>\displaystyle 97</math>
-<rightoption reply="Dobrze"><math>\displaystyle a_n=\left( -1 \right)^n+2^n </math></rightoption>
+ </wrongoption> <math>\displaystyle 98</math>
-<wrongoption reply="Źle"><math>\displaystyle a_n=-2^n+3 </math></wrongoption>
+ </wrongoption> <math>\displaystyle 100</math>
-<wrongoption reply="Źle"><math>\displaystyle a_n=2\left( \frac{1}{2} \right)^n </math></wrongoption>
+ </wrongoption> <math>\displaystyle \frac{100 \cdot 99}{3}</math>
 </quiz>
+<quiz>Ile jest krawędzi w pełnym grafie dwudzielnym <math>\displaystyle K_{1000,1000}</math>:}
+ </rightoption> <math>\displaystyle 1000 \cdot 1000</math>
+ </wrongoption> <math>\displaystyle 1000!</math>
+ </wrongoption> <math>\displaystyle 1000 \choose 2</math>
+ </wrongoption> <math>\displaystyle 1000 \choose 50</math>
+ </wrongoption> <math>\displaystyle 2000 \choose 1000</math>
+</quiz>
-<quiz>
+<quiz>W pełnym grafie <math>\displaystyle 100</math>-elementowym:}
-Drzewo binarne o wysokości  <math>\displaystyle 4 </math>  ma szerokość:
+</wrongoption> każde drzewo rozpinające ma <math>\displaystyle 100</math> krawędzi
-<wrongoption reply="Źle">co najwyżej  <math>\displaystyle 16 </math></wrongoption>
+</wrongoption> dokładnie jedno drzewo rozpinające ma <math>\displaystyle 100</math> krawędzi
-<rightoption reply="Dobrze">co najwyżej  <math>\displaystyle 8 </math></rightoption>
+</rightoption>  każde drzewo rozpinające ma <math>\displaystyle 99</math> krawędzi
-<rightoption reply="Dobrze">co najmniej  <math>\displaystyle 4 </math></rightoption>
+</wrongoption> dokładnie jedno drzewo rozpinające ma <math>\displaystyle 99</math> krawędzi
-<wrongoption reply="Źle">co najmniej  <math>\displaystyle 5 </math></wrongoption>
+</wrongoption> nie ma drzew rozpinających
 </quiz>
+<quiz>W pełnym grafie dwudzielnym <math>\displaystyle K_{50,50}</math>:}
+</wrongoption> każde drzewo rozpinające ma <math>\displaystyle 50</math> krawędzi
+</wrongoption> każde drzewo rozpinające ma <math>\displaystyle 100</math> krawędzi
+</rightoption>  każde drzewo rozpinające ma <math>\displaystyle 99</math> krawędzi
+</wrongoption> dokładnie jedno drzewo rozpinające ma <math>\displaystyle 99</math> krawędzi
+</wrongoption> nie ma drzew rozpinających
+</quiz>
-<quiz>
+<quiz>W <math>\displaystyle 100</math> elementowym grafie o trzech składowych spójnych:}
-Każde zdanie logiczne zbudowane wyłącznie z jednej zmiennej  <math>\displaystyle a </math> ,
+</wrongoption> jakiś las rozpinający ma <math>\displaystyle 100</math> krawędzi
-implikacji  <math>\displaystyle \Rightarrow </math>  oraz poprawnego nawiasowania jest:
+</wrongoption> jakiś las rozpinający ma <math>\displaystyle 99</math> krawędzi
-<wrongoption reply="Źle">równoważne zdaniu  <math>\displaystyle a </math></wrongoption>
+</wrongoption> jakiś las rozpinający ma <math>\displaystyle 98</math> krawędzi
-<rightoption reply="Dobrze">równoważne zdaniu  <math>\displaystyle a </math>  lub jest tautologią</rightoption>
+</rightoption>  jakiś las rozpinający ma <math>\displaystyle 97</math> krawędzi
-<wrongoption reply="Źle">tautologią</wrongoption>
+</wrongoption> może nie być lasu rozpinającego
-<wrongoption reply="Źle">równoważne zdaniu  <math>\displaystyle \neg a </math>  lub zdaniu  <math>\displaystyle a </math></wrongoption>
+</quiz>
-</quiz>
+<quiz>Pełny graf <math>\displaystyle 100</math>-elementowy:}
+</rightoption> jest grafem Hamiltonowskim
+</wrongoption> jest grafem Eulerowskim
+</wrongoption> jest spójny
+</wrongoption> jest dwudzielny
+</rightoption> jest stukolorowalny
+</quiz>
+<quiz>Pełny graf dwudzielny <math>\displaystyle K_{25,25}</math>:}
+</rightoption> jest grafem Hamiltonowskim
+</wrongoption> jest grafem Eulerowskim
+</rightoption> zawiera cykl <math>\displaystyle 4</math> wierzchołkach jako podgraf indukowany
+</wrongoption> zawiera cykl <math>\displaystyle 6</math> wierzchołkach jako podgraf indukowany
+</rightoption> jest trójkolorowalny
+</quiz>
+<quiz>Graf o  <math>\displaystyle 2005 </math>  wierzchołkach, z których każdy ma stopień  <math>\displaystyle 101 </math> :}
+</wrongoption>{ma  <math>\displaystyle 202505 </math>  krawędzi}
+</wrongoption>{ma  <math>\displaystyle 2106 </math>  krawędzi}
+</wrongoption>{ma  <math>\displaystyle 405010 </math>   krawędzi}
+</rightoption>{nie istnieje}
+</quiz>
+<quiz>Jeśli  <math>\displaystyle \mathbf{G}_1=\left( V,E_1 \right) </math>  i  <math>\displaystyle \mathbf{G}_2=\left( V,E_2 \right) </math>
+są grafami niespójnymi o tym samym zbiorze wierzchołków  <math>\displaystyle V </math> , to:}
+</rightoption>{graf  <math>\displaystyle \mathbf{G}_1\cup\mathbf{G}_1 </math>  może być spójny}
+</wrongoption>{graf  <math>\displaystyle \mathbf{G}_1\cup\mathbf{G}_1 </math>  jest spójny}
+</rightoption>{graf  <math>\displaystyle \mathbf{G}_1\cap\mathbf{G}_1 </math>  może nie być spójny}
+</rightoption>{graf  <math>\displaystyle \mathbf{G}_1\cap\mathbf{G}_1 </math>  nie jest spójny}
+</quiz>
+<quiz>Graf  <math>\displaystyle \mathbf{P}_4 </math>  to graf, który składa się jedynie ze ścieżki
+odwiedzającej  <math>\displaystyle 4 </math>  wierzchołki,
+czyli  <math>\displaystyle {\sf V}\!\left(\mathbf{P}_4\right)=\left\lbrace a,b,c,d \right\rbrace </math>
+oraz  <math>\displaystyle {\sf E}\!\left(\mathbf{P}_4\right)=\left\lbrace \left\lbrace a,b \right\rbrace,\left\lbrace b,c \right\rbrace,\left\lbrace c,d \right\rbrace \right\rbrace </math> .
+W grafie spójnym, w którym nie ma
+podgrafu indukowanego izomorficznego do  <math>\displaystyle \mathbf{P}_4 </math> :}
+</rightoption>{dowolne dwa punkty leżą w odległości co najwyżej trzy}
+</rightoption>{dowolne dwa punkty leżą w odległości co najwyżej dwa}
+</wrongoption>{dowolne dwa punkty leżą w odległości co najwyżej jeden}
+</wrongoption>{każde trzy wierzchołki tworzą klikę  <math>\displaystyle \mathcal{K}_{3} </math> }
+</quiz>
+<quiz>Zaznacz zdania prawdziwe:}
+</rightoption>{Każdy graf pusty jest grafem dwudzielnym.}
+</wrongoption>{Każdy graf pełny jest grafem dwudzielnym.}
+</wrongoption>{Graf  <math>\displaystyle \mathcal{K}_{3} </math>  jest grafem dwudzielnym.}
+</rightoption>{Graf  <math>\displaystyle \mathcal{K}_{2} </math>  jest grafem dwudzielnym.}
+</quiz>
+<quiz>Zaznacz zdania prawdziwe:}
+</rightoption>{Każdy graf dwudzielny, który jest zarazem grafem pełnym jest planarny.}
+</rightoption>{Graf  <math>\displaystyle \mathcal{K}_{4} </math>  jest grafem planarnym.}
+</wrongoption>{Graf  <math>\displaystyle \mathcal{K}_{5} </math>  jest grafem planarnym.}
+</wrongoption>{Każdy graf dwudzielny jest grafem planarnym.}
+</quiz>
+<quiz>Graf o  <math>\displaystyle 100 </math>  wierzchołkach:}
+</wrongoption>{jeśli ma  <math>\displaystyle 99 </math>  krawędzi, to jest drzewem.}
+</wrongoption>{jeśli ma  <math>\displaystyle 100 </math>  krawędzi, to jest drzewem.}
+</wrongoption>{jeśli ma  <math>\displaystyle 4850 </math>  krawędzi, to jest spójny.}
+</rightoption>{jeśli ma  <math>\displaystyle 4851 </math>  krawędzi, to jest spójny.}
+</quiz>
+<quiz>Na to by graf  <math>\displaystyle \mathbf{T} </math>  był drzewem potrzeba i wystarcza, by:}
+</wrongoption>{ <math>\displaystyle \mathbf{T} </math>  nie zawierał cykli}
+</rightoption>{ <math>\displaystyle \mathbf{T} </math>  był spójny i miał  <math>\displaystyle \left\vert V \right\vert-1 </math>  krawędzi}
+</rightoption>{dowolne dwa wierzchołki grafu  <math>\displaystyle \mathbf{T} </math>  były połączone dokładnie jedną drogą}
+</wrongoption>{dowolne dwa wierzchołki grafu  <math>\displaystyle \mathbf{T} </math>  leżały na dokładnie jednym cyklu}
+</quiz>
+131313131313131313131313131313
+{article}
+{../makraT}
+mm
+{| border=1
+|+ <span style="font-variant:small-caps">Uzupelnij tytul</span>
+|-
+| '''Grafy II'''
+|-
+|
+|}
+mm
+<quiz>Pełny graf dwudzielny  <math>\displaystyle \mathcal{K}_{3,3} </math> :}
+</wrongoption>{jest eulerowski}
+</rightoption>{jest hamiltonowski}
+</wrongoption>{jest planarny}
+</wrongoption>{nie jest ani eulerowski ani planarny}
+</quiz>
+<quiz>Pełny graf <math>\displaystyle 100</math>-elementowy:}
+</rightoption> jest grafem Hamiltonowskim
+</wrongoption> jest grafem Eulerowskim
+</wrongoption> jest spójny
+</wrongoption> jest dwudzielny
+</rightoption> jest stukolorowalny
+</quiz>
+<quiz>Graf, w którym cykl Hamiltona jest zarazem cyklem Eulera}
+</wrongoption>{sam jest cyklem o parzystej liczbie krawędzi}
+</rightoption>{jest cyklem}
+</rightoption>{ma wierzchołki wyłącznie o stopniu  <math>\displaystyle 2 </math> }
+</wrongoption>{jest sumą dwu grafów o tych samych wierzchołkach ale rozłącznych zbiorach krawędzi,
+przy czym każdy z nich jest cyklem}
+</quiz>
+<quiz>Jeśli graf  <math>\displaystyle \mathbf{G} </math>  jest eulerowski, to:}
+</wrongoption>{graf  <math>\displaystyle \mathbf{G} </math>  jest hamiltonowski}
+</rightoption>{każdy wierzchołek w grafie  <math>\displaystyle \mathbf{G} </math>  ma parzysty stopień}
+</rightoption>{graf  <math>\displaystyle \mathbf{G} </math>  jest sumą grafów o tych samych wierzchołkach
+ale rozłącznych zbiorach krawędzi, przy czym każdy z nich jest cyklem}
+</wrongoption>{jeśli dodatkowo  <math>\displaystyle \mathbf{G} </math>  jest hamiltonowski,
+to po usunięciu cyklu Hamiltona graf  <math>\displaystyle \mathbf{G} </math>  dalej jest eulerowski}
+</quiz>
----------------------------------------------------------------
+<quiz>Graf o  <math>\displaystyle 101 </math>  wierzchołkach:}
-\newtheorem{thm}{Twierdzenie}
+</wrongoption>{w którym wszystkie wierzchołki są stopnia  <math>\displaystyle 50 </math> , jest hamiltonowski}
-\newtheorem{obs}[thm]{Obserwacja}
+</rightoption>{w którym wszystkie wierzchołki są stopnia  <math>\displaystyle 51 </math> , jest hamiltonowski}
-\newtheorem{con}[thm]{Wniosek}
+</wrongoption>{w którym dowolne dwa niesąsiednie wierzchołki  <math>\displaystyle v </math>  i  <math>\displaystyle w </math>
-\newtheorem{exrr}{Zadanie}
+spełniają  <math>\displaystyle \deg{v}+\deg{w}\geq 100 </math>  jest hamiltonowski}
+</wrongoption>{w którym dowolne dwa sąsiednie wierzchołki  <math>\displaystyle v </math>  i  <math>\displaystyle w </math>
+spełniają  <math>\displaystyle \deg{v}+\deg{w}\geq 100 </math>  jest hamiltonowski}
+</quiz>
-{
+<quiz>Który z warunków wystarcza na to,
+by w grafie dwudzielnym  <math>\displaystyle \mathbf{G}=\left( V_1\cup V_2, E \right) </math>
+istniało pełne skojarzenie  <math>\displaystyle V_1 </math>  z  <math>\displaystyle V_2 </math> ?}
+</rightoption>{graf  <math>\displaystyle \mathbf{G} </math>  jest hamiltonowski}
+</wrongoption>{graf  <math>\displaystyle \mathbf{G} </math>  jest eulerowski}
+</wrongoption>{w grafie  <math>\displaystyle \mathbf{G} </math>  każdy wierzchołek z  <math>\displaystyle V_1 </math>
+ma co najmniej dwu sąsiadów}
+</rightoption>{dowolny zbiór niezależny w  ma co najwyżej  <math>\displaystyle \left\vert V_2 \right\vert </math>  wierzchołków}
+</quiz>
-\parindent 0mm
+<quiz>Grafem  <math>\displaystyle 100 </math> -spójnym jest:}
+</rightoption>{graf w którym pomiędzy dowolnymi wierzchołkami istnieje  <math>\displaystyle 100 </math>
+dróg wierzchołkowo rozłącznych}
+</wrongoption>{graf, którego każdy zbiór rozdzielający ma co najmniej  <math>\displaystyle 99 </math>  wierzchołków}
+</rightoption>{klika  <math>\displaystyle \mathcal{K}_{101} </math> }
+</wrongoption>{pełny graf dwudzielny  <math>\displaystyle \mathcal{K}_{100,100} </math> }
+</quiz>
-'''#1'''
+<quiz>W  <math>\displaystyle 2 </math> -spójnym krawędziowo grafie o  <math>\displaystyle 20 </math>  wierzchołkach
-\parindent 10mm }{\hfill{ <math>\displaystyle \square </math> }
+i minimalnej liczbie krawędzi:}
+</wrongoption>{jest dokładnie  <math>\displaystyle 38 </math>  krawędzi}
+</rightoption>{jest dokładnie  <math>\displaystyle 20 </math>  krawędzi}
+</rightoption>{dowolny wierzchołek ma stopień co najmniej  <math>\displaystyle 2 </math> }
+</wrongoption>{istnieje wierzchołek o stopniu co najmniej  <math>\displaystyle 3 </math> }
+</quiz>
-}
+141414141414141414141414141414141414141414
 {article}
-\input{../makraT}
+{../makraT}
-\newpage
-\parindent 0mm
-\beginLarge
+mm
 {| border=1
 |+ <span style="font-variant:small-caps">Uzupelnij tytul</span>
 |-
-| '''Indukcja'''
+| '''Grafy III'''
 |-
 |
@@ Linia 300: / Linia 874: @@
 |}
-  \endLarge
+mm
-\parindent 10mm
+<quiz>Który z grafów przedstawionych na Rysunku [[##test petersen4|Uzupelnic test petersen4|]] jest planarny?
-; Zaznacz zdania prawdziwe dotyczące podłogi i sufitu:
+ [!ht]
-:
-:;  <math>\displaystyle n\geq 2^{\left\lceil \log_2 n \right\rceil} </math> ,
+{test_petersen4}
-::
+{ '''[Rysunek z pliku:''' <tt>testpetersen4.eps</tt>''']'''}
-:;  <math>\displaystyle n\leq 2^{\left\lceil \log_2 n \right\rceil} </math> ,
+}
-::
+</wrongoption>{graf przedstawiony na rysunku [[##test petersen4|Uzupelnic test petersen4|]].a.}
+</wrongoption>{graf przedstawiony na rysunku [[##test petersen4|Uzupelnic test petersen4|]].b.}
+</wrongoption>{graf przedstawiony na rysunku [[##test petersen4|Uzupelnic test petersen4|]].c.}
+</rightoption>{graf przedstawiony na rysunku [[##test petersen4|Uzupelnic test petersen4|]].d.}
+</quiz>
+<quiz>Który z grafów przedstawionych na Rysunku [[##test klika5|Uzupelnic test klika5|]] jest homeomorficzny z kliką  <math>\displaystyle \mathcal{K}_{5} </math> ?
+ [!ht]
-:;  <math>\displaystyle \left\lceil \log_2 \left\lceil n/2 \right\rceil \right\rceil=\left\lceil \log_2 \left( n/2 \right) \right\rceil </math> ,
+{test_klika5}
-::
+{ '''[Rysunek z pliku:''' <tt>testklika5.eps</tt>''']'''}
-:;  <math>\displaystyle \left\lfloor \log_2 \left\lceil n/2 \right\rceil \right\rfloor=\left\lfloor \log_2 \left( n/2 \right) \right\rfloor </math> .
+}
-::
+</wrongoption>{graf przedstawiony na rysunku [[##test klika5|Uzupelnic test klika5|]].a.}
-; Dowolny niepusty podzbiór  <math>\displaystyle S\subseteq \mathbb{N} </math>  zbioru liczb naturalnych
+</wrongoption>{graf przedstawiony na rysunku [[##test klika5|Uzupelnic test klika5|]].b.}
-:
+</rightoption>{graf przedstawiony na rysunku [[##test klika5|Uzupelnic test klika5|]].c.}
+</wrongoption>{graf przedstawiony na rysunku [[##test klika5|Uzupelnic test klika5|]].d.}
-:; ma w sobie liczbę największą
+</quiz>
-::
+<quiz>Spójny graf planarny o  <math>\displaystyle 20 </math>  wierzchołkach, z których każdy jest stopnia  <math>\displaystyle 3 </math>  ma:}
-:; ma w sobie liczbę najmniejszą
+</wrongoption>{ <math>\displaystyle 11 </math>  ścian}
-::
+</rightoption>{ <math>\displaystyle 12 </math>  ścian}
+</wrongoption>{ <math>\displaystyle 22 </math>  ścian}
-:; ma w sobie liczbę największą oraz liczbę najmniejszą
+</wrongoption>{ <math>\displaystyle 24 </math>  ścian}
-::
+</quiz>
-:; ma w sobie liczbę najmniejszą ale nigdy nie ma największej
-::
-; Zbiór  <math>\displaystyle S\subseteq\mathbb{N} </math>  jest taki, że jeśli  <math>\displaystyle s\in S </math>  to  <math>\displaystyle s+1\in S </math> .
-Jeśli  <math>\displaystyle 9\in S </math> , to:
-:
-:;  <math>\displaystyle S=\mathbb{N} </math>
+<quiz>Ile spójnych składowych ma graf planarny o  <math>\displaystyle 121 </math>  wierzchołkach,
-::
+  <math>\displaystyle 53 </math>  krawędziach, oraz  <math>\displaystyle 30 </math>  ścianach?}
+</rightoption>{ <math>\displaystyle 98 </math> }
+</wrongoption>{ <math>\displaystyle 99 </math> }
+</wrongoption>{ <math>\displaystyle 100 </math> }
+</wrongoption>{ <math>\displaystyle 143 </math> }
+</quiz>
-:;  <math>\displaystyle S=\mathbb{N}-\left\lbrace 0,1,2,3,4,5,6,7,8 \right\rbrace </math>
+<quiz>Niech  <math>\displaystyle \mathbf{G}^* </math>  będzie grafem geometrycznie dualnym do
-::
+grafu płaskiego  <math>\displaystyle \mathbf{G} </math> .
+Podzbiór  <math>\displaystyle C </math>  zbioru krawędzi grafu  <math>\displaystyle \mathbf{G} </math>  jest cyklem w grafie  <math>\displaystyle \mathbf{G} </math>
+wtedy i tylko wtedy, gdy zbiór krawędzi dualnych do krawędzi zbioru  <math>\displaystyle C </math> }
+</wrongoption>{posiada parzystą liczbę elementów}
+</wrongoption>{posiada nieparzystą liczbę elementów}
+</wrongoption>{jest cyklem grafu  <math>\displaystyle \mathbf{G}^* </math> }
+</rightoption>{jest rozcięciem grafu  <math>\displaystyle \mathbf{G}^* </math> }
+</quiz>
-:;  <math>\displaystyle S\subseteq\mathbb{N}-\left\lbrace 0,1,2,3,4,5,6,7,8 \right\rbrace </math>
+<quiz>Spójny graf prosty, który nie jest pełny,
-::
+ i w którym wszystkie wierzchołki  mają stopień nie większy niż  <math>\displaystyle k </math> jest:}
+</wrongoption>{ <math>\displaystyle \left( k-1 \right) </math> -kolorowalny}
+</rightoption>{ <math>\displaystyle k </math> -kolorowalny}
+</rightoption>{ <math>\displaystyle \left( k+1 \right) </math> -kolorowalny}
+</rightoption>{ <math>\displaystyle 2k </math> -kolorowalny}
+</quiz>
-:;  <math>\displaystyle S\supseteq\mathbb{N}-\left\lbrace 0,1,2,3,4,5,6,7,8 \right\rbrace </math>
+<quiz>Iloma kolorami można pokolorować polityczną mapę Europy?}
-::
+</wrongoption>{ <math>\displaystyle 3 </math> }
+</rightoption>{ <math>\displaystyle 4 </math> }
-; Zbiór  <math>\displaystyle S\subseteq\mathbb{N} </math>  jest taki, że jeśli  <math>\displaystyle a,b\in S </math> ,
+</rightoption>{ <math>\displaystyle 5 </math> }
-to  <math>\displaystyle a+b\in S </math>  oraz  <math>\displaystyle a+b+1\not\in S </math> .
+</rightoption>{ <math>\displaystyle 6 </math> }
-Jeśli  <math>\displaystyle 0,2 \in S </math> , to:
+</quiz>
-:
-:;  <math>\displaystyle S=\mathbb{N} </math>
+<quiz>W grafie prostym zachodzi:}
-::
+</rightoption>{ <math>\displaystyle \chi\!\left( \mathbf{G} \right)\leq\chi_s\!\left( \mathbf{G} \right)+1 </math> }
+</wrongoption>{ <math>\displaystyle \chi\!\left( \mathbf{G} \right)\leq\chi_s\!\left( \mathbf{G} \right) </math> }
+</wrongoption>{ <math>\displaystyle \chi\!\left( \mathbf{G} \right)\geq\chi_s\!\left( \mathbf{G} \right)+1 </math> }
+</wrongoption>{ <math>\displaystyle \chi\!\left( \mathbf{G} \right)=\chi_s\!\left( \mathbf{G} \right) </math> }
+</quiz>
-:; zbiór  <math>\displaystyle S </math>  zawiera wszystkie liczby naturalne, które są parzyste
+<quiz>Pełny graf dwudzielny <math>\displaystyle K_{50,50}</math>:}
-::
+</rightoption> jest grafem Hamiltonowskim
+</rightoption> jest grafem Eulerowskim
+</wrongoption> jest lasem
+</rightoption> jest dwukolorowalny
+</rightoption> jest 49-kolorowalny
+</quiz>
-:; zbiór  <math>\displaystyle S </math>  jest zawarty w zbiorze liczb naturalnych, które są parzyste
+151515151515151515151515151515151515
-::
-:; zbiór  <math>\displaystyle S </math>  jest zbiorem wszystkich liczb naturalnych, które są parzyste
+{article}
-::
+{../makraT}
-; Ostatnią cyfrą liczby  <math>\displaystyle 3^{3^n} </math>  jest:
-:
-:; zawsze  <math>\displaystyle 3 </math>
+mm
-::
+{| border=1
+|+ <span style="font-variant:small-caps">Uzupelnij tytul</span>
+|-
+| '''Metody algebraiczne w teorii grafów'''
+|-
+|
-:; zawsze  <math>\displaystyle 3 </math>  lub  <math>\displaystyle 7 </math>
+|}
-::
-:; zawsze  <math>\displaystyle 7 </math>
+mm
-::
-:; jakakolwiek z cyfr  <math>\displaystyle 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 </math>
+<quiz>Niech  <math>\displaystyle m_{ij} </math>  oznacza liczbę skierowanych marszrut,
-::
+nie dłuższych niż  <math>\displaystyle n-1 </math> , z wierzchołka  <math>\displaystyle v_i </math>  do  <math>\displaystyle v_j </math>
+w grafie skierowanym  <math>\displaystyle \mathbf{G}=\left( \left\lbrace v_1,\ldots,v_n \right\rbrace,E \right) </math> ,
-;  Jeśli  <math>\displaystyle Z \subseteq \mathbb{N} </math>  jest jakimś zbiorem liczb naturalnych,
+a  <math>\displaystyle M </math>  niech będzie macierzą  <math>\displaystyle \langle m_{ij}\rangle  </math> .
-który wraz z każdym początkowym fragmentem zbioru  <math>\displaystyle \mathbb{N} </math>
+Wtedy:}
-postaci  <math>\displaystyle \left\lbrace 0,\ldots,k-1 \right\rbrace </math>  zawiera również kolejną liczbę  <math>\displaystyle k </math> , to wtedy
+</rightoption>{ <math>\displaystyle M={\sf A}\left( \mathbf{G} \right)^1+{\sf A}\left( \mathbf{G} \right)^2+\ldots+{\sf A}\left( \mathbf{G} \right)^{\left( n-1 \right)} </math> }
-:
+</wrongoption>{ <math>\displaystyle M={\sf A}\left( \mathbf{G} \right)^{\left( n-1 \right)} </math> }
+</wrongoption>{ <math>\displaystyle M=n\cdot{\sf A}\left( \mathbf{G} \right) </math> }
+</rightoption>{ <math>\displaystyle m_{ij}>0 </math>  wtedy i tylko wtedy, gdy  <math>\displaystyle \left( v_i,v_j \right)\in{\sf E}\!\left({\sf TC}\left( \mathbf{G} \right)\right) </math> }
+</quiz>
-:; zbiór  <math>\displaystyle Z </math>  zawiera wszystkie liczby naturalne poza skończonym podzbiorem
+<quiz>Zaznacz prawdziwe zależności dla grafu prostego  <math>\displaystyle \mathbf{G} </math>
-::
+o macierzy sąsiedztwa  <math>\displaystyle {\sf A}\left( \mathbf{G} \right) </math> ,
+macierzy incydencji  <math>\displaystyle {\sf B}\left( \mathbf{G} \right) </math> ,
+zorientowanej macierzy incydencji  <math>\displaystyle {\sf C}\left( \mathbf{G} \right) </math>
+oraz  macierzy stopni  <math>\displaystyle {\sf D}\left( \mathbf{G} \right) </math> :}
+</wrongoption>{ <math>\displaystyle {\sf B}\left( \mathbf{G} \right)\cdot {\sf B}\left( \mathbf{G} \right)^T= {\sf A}\left( \mathbf{G} \right)- {\sf D}\left( \mathbf{G} \right) </math> }
+</rightoption>{ <math>\displaystyle {\sf B}\left( \mathbf{G} \right)\cdot {\sf B}\left( \mathbf{G} \right)^T= {\sf D}\left( \mathbf{G} \right)+ {\sf A}\left( \mathbf{G} \right) </math> }
+</wrongoption>{ <math>\displaystyle {\sf B}\left( \mathbf{G} \right) \cdot{\sf A}\left( \mathbf{G} \right) = {\sf C}\left( \mathbf{G} \right) </math> }
+</wrongoption>{ <math>\displaystyle {\sf C}\left( \mathbf{G} \right)\cdot {\sf C}\left( \mathbf{G} \right)^T= {\sf A}\left( \mathbf{G} \right)- {\sf D}\left( \mathbf{G} \right) </math> }
+</quiz>
-:; zbiór  <math>\displaystyle Z </math>  zawiera wszystkie liczby naturalne
+<quiz>Niech  <math>\displaystyle \mathbf{G} </math>  będzie grafem o  <math>\displaystyle 10 </math>  wierzchołkach
-::
+przedstawionym na Rysunku [[##test alg|Uzupelnic test alg|]],
+a macierz  <math>\displaystyle M </math> , o rozmiarach  <math>\displaystyle 9\times9 </math> ,
+będzie minorem (podmacierzą) zorientowanej macierzy incydencji  <math>\displaystyle {\sf C}\left( \mathbf{G} \right) </math> ,
+w którym kolumny odpowiadają krawędziom
+ <math>\displaystyle e_0, e_2, e_3, e_6, e_9, e_{12}, e_{13}, e_{14}, e_{15} </math> .
-:; zbiór  <math>\displaystyle Z </math>  zawiera nieskończenie wiele liczb naturalnych
+ [!ht]
-::
+{test_alg}
+{Graf  <math>\displaystyle \mathbf{G} </math> . '''[Rysunek z pliku:''' <tt>testalg.eps</tt>''']'''}
+Wtedy:}
+</rightoption>{macierz  <math>\displaystyle M </math>  jest nieosobliwa}
+</wrongoption>{macierz  <math>\displaystyle M </math>  jest osobliwa}
+</wrongoption>{suma elementów w każdej kolumnie macierzy  <math>\displaystyle M </math>  wynosi  <math>\displaystyle 0 </math> }
+</wrongoption>{macierz  <math>\displaystyle M </math>  jest antysymetryczna}
+</quiz>
-:; zbiór  <math>\displaystyle Z </math>  jest pusty
+<quiz>Na to by permanent grafu  <math>\displaystyle \mathbf{G} </math>  był niezerowy, wystarcza by:}
-::
+</rightoption>{graf  <math>\displaystyle \mathbf{G} </math>  posiadał cykl Hamiltona}
+</wrongoption>{graf  <math>\displaystyle \mathbf{G} </math>  posiadał cykl Eulera}
-; Grupa uczniów stojących przed klasą skłóciła się do tego stopnia,
+</wrongoption>{graf  <math>\displaystyle \mathbf{G} </math>  był spójny}
-że nikt z nikim się nie lubił.
+</rightoption>{graf  <math>\displaystyle \mathbf{G} </math>  był grafem dwudzielnym posiadającym skojarzenie doskonałe}
-Jeden z nich, aby naprawić relacje, wymyślił,
+</quiz>
-że jeżeli wszyscy znajdujący się wewnątrz klasy będą pogodzeni,
-to nie powinno być problemu,
-aby któryś stojący na zewnątrz klasy wszedł do środka i pogodził się ze wszystkimi,
-będącymi w klasie.
-Drugi z nich zauważył jednak,
-że nic z tego nie wyjdzie, bo w środku nikogo nie ma.
-Czy klasa jest w stanie się pogodzić?
-:
-:; klasa na pewno się nie pogodzi
+<quiz>Zaznacz zdania prawdziwe o wartościach własnych grafów:}
-::
+</wrongoption>{Co najmniej jedna z wartości własnych jest liczbą zespoloną.}
+</wrongoption>{Jeśli wszystkie wartości własne są wymierne, to graf jest eulerowski.}
+</rightoption>{Wszystkie wartości własne grafu hamiltonowskiego są rzeczywiste.}
+</rightoption>{Wszystkie wartości własne dowolnego grafu są rzeczywiste.}
+</quiz>
-:; klasa się pogodzi, jeżeli każdy pójdzie za radą pierwszego ucznia
+<quiz>Zaznacz prawdziwe związki wartości własnych z maksymalnym stopniem wierzchołka
-::
+w grafie prostym:}
+</wrongoption>{ <math>\displaystyle \lambda_{max}\!\left( \mathbf{G} \right)=\Delta\left( \mathbf{G} \right) </math> }
+</rightoption>{ <math>\displaystyle \left\vert \lambda_{max}\!\left( \mathbf{G} \right) \right\vert\leq\Delta\left( \mathbf{G} \right) </math> }
+</rightoption>{ <math>\displaystyle \lambda_{max}\!\left( \mathbf{G} \right)=\Delta\left( \mathbf{G} \right) </math>
+wtedy i tylko wtedy, gdy któraś spójna składowa grafu  <math>\displaystyle \mathbf{G} </math>
+jest grafem regularnym stopnia  <math>\displaystyle \Delta\left( \mathbf{G} \right) </math> }
+</rightoption>{ <math>\displaystyle -\Delta\left( \mathbf{G} \right) </math>
+jest wartością własną macierzy  <math>\displaystyle {\sf A}\left( \mathbf{G} \right) </math>
+wtedy i tylko wtedy, gdy  <math>\displaystyle \mathbf{G} </math>  jest regularnym grafem dwudzielnym
+stopnia  <math>\displaystyle \Delta\left( \mathbf{G} \right) </math> }
+</quiz>
-:; jeżeli w klasie byłaby już jedna osoba, to reszta klasy miałaby szansę się pogodzić
+<quiz>W grafie regularnym  <math>\displaystyle \mathbf{G} </math>  o  <math>\displaystyle 10 </math>  wierzchołkach stopnia  <math>\displaystyle 4 </math>
-::
+oraz wartościach własnych  <math>\displaystyle \lambda_{min}\!\left( \mathbf{G} \right)\approx-2,73205 </math>  i  <math>\displaystyle \lambda_{max}\!\left( \mathbf{G} \right)=4 </math>
+moc niezależnego podzbioru jest ograniczona z góry przez:}
+</wrongoption>{ <math>\displaystyle 2 </math> }
+</wrongoption>{ <math>\displaystyle 3 </math> }
+</rightoption>{ <math>\displaystyle 4 </math> }
+</rightoption>{ <math>\displaystyle 10 </math> }
+</quiz>
-:; jeżeli w klasie byłyby już co najmniej dwie osoby,
+<quiz>Zaznacz zdania prawdziwe wiążące liczbę chromatyczną  <math>\displaystyle \chi\!\left( \mathbf{G} \right) </math>
-przy czym osoby w klasie byłyby ze sobą pogodzone,
+z wartościami własnymi grafu regularnego  <math>\displaystyle \mathbf{G} </math> :}
-to reszta klasy miałaby szansę się pogodzić
+</rightoption>{ <math>\displaystyle \chi\!\left( \mathbf{G} \right)\geq 1-\frac{\lambda_{max}\!\left( \mathbf{G} \right)}{\lambda_{min}\!\left( \mathbf{G} \right)} </math> }
-::
+</wrongoption>{ <math>\displaystyle \chi\!\left( \mathbf{G} \right)= 1-\frac{\lambda_{max}\!\left( \mathbf{G} \right)}{\lambda_{min}\!\left( \mathbf{G} \right)} </math> }
+</rightoption>{ <math>\displaystyle \chi\!\left( \mathbf{G} \right)\leq\lambda_{max}\!\left( \mathbf{G} \right)+1 </math> }
-; Jeśli  <math>\displaystyle S\subseteq\mathbb{N} </math> , to:
+</wrongoption>{ <math>\displaystyle \chi\!\left( \mathbf{G} \right)\geq\lambda_{max}\!\left( \mathbf{G} \right) </math> }
-:
+</quiz>
-:; zbiór  <math>\displaystyle S </math>  ma element największy
-::
-:; zbiór  <math>\displaystyle S </math>  ma element najmniejszy
-::
-:; zbiór  <math>\displaystyle S </math>  ma element największy, o ile  <math>\displaystyle S </math>  jest niepusty
-::
-:; zbiór  <math>\displaystyle S </math>  ma element najmniejszy, o ile  <math>\displaystyle S </math>  jest niepusty
-::