Test GR4

{thm}{Twierdzenie} {obs}[thm]{Obserwacja} {con}[thm]{Wniosek} {exrr}{Zadanie}

{

0mm

#1

10mm }{{ $◻$ }

}

{article} {../makraT}

0mm

Uzupelnij tytul

Sumy skończone i rachunek różnicowy

10mm

Czarta funkcja różnicowa ${\mathrm{\Delta }}^4(4^x)$ to:} <rightoption> $3^4\cdot 4^x$ <wrongoption> $4^4\cdot 4^x$ <wrongoption> $5^4\cdot 4^x$ <wrongoption> $\frac{4^x}{5^4}$

Wskaż błędne przejścia (o ile istnieją) w poniższym wyprowadzeniu

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\aligned”): {\displaystyle \displaystyle \aligned \sum_{i=0}^ni^4&=\sum_{i=0}^n(i^{\underline{1}}+7i^{\underline{2}}+6i^{\underline{3}}+i^{\underline{4}})\\ &=\sum_0^n(x^{\underline{1}}+7x^{\underline{2}}+6x^{\underline{3}}+x^{\underline{4}})\delta x\\ &=\sum_0^nx^{\underline{1}}\delta x+7\sum_0^nx^{\underline{2}}\delta x+6\sum_0^nx^{\underline{3}}\delta x+\sum_0^nx^{\underline{4}}\delta x\\ &=\frac{1}{2}n^{\underline{2}}+\frac{7}{3}n^{\underline{3}}+\frac{6}{4}n^{\underline{4}}+\frac{1}{5}n^{\underline{5}} \endaligned}

} <wrongoption> pierwsza równość <rightoption> druga równość <wrongoption> trzecia równość <wrongoption> czwarta równość <wrongoption> wszystkie są poprawne

Jeśli $f(n)$ jest $n$-tą liczbą Fibonacciego, to dla $n>1$ wartość funkcji $(\mathrm{\Delta }f)(n)$ wynosi:} <rightoption> $f(n-1)$ <wrongoption> $f(n)$ <wrongoption> $f(n+1)$ <wrongoption> $\sum _{i=0}^{n}f(i)$

Zaznacz zdania prawdziwe:} <rightoption> $\mathrm{\Delta }{x}^{\underset{\_}{m}}=m{x}^{\underset{\_}{m-1}}$, dla dowolnego $m\in \mathbb{\mathbb{Z}}$ <wrongoption> $x^{\underset{\_}{m+n}}=x^{\underset{\_}{m}}{x}^{\underset{\_}{n}}$, dla dowolnego $m,n\in \mathbb{\mathbb{Z}}$ <rightoption> $\sum _a^{a}g(x)\delta x=0$, dla dowolnego $a\in \mathbb{\mathbb{N}}$ <wrongoption> $\mathrm{\Delta }(f(x)g(x))=g(x)\mathrm{\Delta }f(x)+f(x)\mathrm{\Delta }g(x)$

Suma nieoznaczona $\sum 10^x\delta x$ to:} <wrongoption> $9\cdot 10^x+C$ <rightoption> $\frac{10^x}{9}+C$ <wrongoption> $\frac{9^x}{10}+C$ <wrongoption> $10\cdot 9^x+C$

Równość $\sum f(x)\delta x=H_x+C$ zachodzi dla} <rightoption> $f(x)=\frac{1}{x+1}$ <wrongoption> $f(x)=\frac{1}{x+1}+c$, przy dowolnym $c\in \mathbb{\mathbb{Z}}$ <rightoption> $f(x)=\frac{1}{x+1}+\sin x\pi$ <wrongoption> $f(x)=H_{x+1}$

Dla dowolnego wielomianu $p(x)$ o stopniu $n$:} <wrongoption> ${\mathrm{\Delta }}^{n}p(x)=0$ <wrongoption> ${\mathrm{\Delta }}^{n-1}p(x)=c$, dla pewnego $c\in \mathbb{ℝ}$ <rightoption> ${\mathrm{\Delta }}^{n+1}p(x)=0$ <rightoption> ${\mathrm{\Delta }}^{2n}{p}^2(x)=c$, dla pewnego $c\in \mathbb{ℝ}$

Wielomian $x^5$ można przedstawić jako następującą sumę dolnych silni:} <rightoption> $x^{\underset{\_}{1}}+15x^{\underset{\_}{2}}+25x^{\underset{\_}{3}}+10x^{\underset{\_}{4}}+x^{\underset{\_}{5}}$ <wrongoption> $x^{\underset{\_}{1}}+2x^{\underset{\_}{2}}+7x^{\underset{\_}{3}}+6x^{\underset{\_}{4}}+x^{\underset{\_}{5}}$ <wrongoption> $x^{\underset{\_}{1}}+11x^{\underset{\_}{2}}+21x^{\underset{\_}{3}}+11x^{\underset{\_}{4}}+x^{\underset{\_}{5}}$ <wrongoption> $x^{\underset{\_}{1}}+7x^{\underset{\_}{2}}+15x^{\underset{\_}{3}}+10x^{\underset{\_}{4}}+x^{\underset{\_}{5}}$

---

Niech $X$ będzie dowolnym zbiorem skończonym. Wtedy:

liczba injekcji, liczba surjekcji i liczba bijekcji z $X$ w $X$ jest taka sama Dobrze

injekcji i bijekcji z $X$ w $X$ jest tyle samo, natomiast surjekcji może być mniej Źle

injekcji i surjekcji z $X$ w $X$ jest tyle samo, natomiast bijekcji może być mniej Źle

liczba injekcji jest niewiększa od liczby surjekcji, która jest niewiększa od liczby bijekcji (wszystkie funkcje z $X$ w $X$) Dobrze

Niech $A$ będzie zbiorem dodatnich liczb nieparzystych. Wtedy:

$A$ jest przeliczalny Dobrze

istnieje injekcja z $A$ w $\mathbb{\mathbb{N}}$ Dobrze

istnieje surjekcja z $A$ w $\mathbb{\mathbb{N}}$ Dobrze

istnieje bijekcja z $A$ w pewien właściwy podzbiór $A$ Dobrze

Maksymalna liczba punktów które można wybrać w trójkącie równobocznym o boku $1$ (wraz z obrzeżami) tak, by dowolne dwa były odległe o co najmniej $\frac{1}{2}$ to:

$3$ Źle

$4$ Źle

$5$ Źle

$6$ Dobrze

Dla skończonych zbiorów $A,B,C,D$ takich, że $A\cap B=\mathrm{\varnothing }$ i $C\cap D=\mathrm{\varnothing }$, moc zbioru $A\cup B\cup C\cup D$ wynosi:

$\left|A\right|+\left|B\right|+\left|C\right|+\left|D\right|-|A\cap C|-|A\cap D|-|B\cap C|-|B\cap D|$ Dobrze

$\left|A\right|+\left|B\right|+\left|C\right|+\left|D\right|-\sum _{I,J\in \{A,B,C,D\},I\ne J}|I\cap J|+\sum _{I,J,K\in \{A,B,C,D\},I\ne J\ne K\ne I}|I\cap J\cap K|$ Dobrze

$|A\cup B|+|C\cup D|$ Źle

$|A\cup C|+|B\cup D|$ Źle

Gdy $X$ jest zbiorem skończonym, to par $(A,B)$ takich, że $A\subseteq B\subseteq X$ jest:

$2^{\left|X\right|}+2^{\left|X\right|}$ Źle

$2^{\left|X\right|}\cdot 2^{\left|X\right|}$ Źle

$2^{{\left|X\right|}^2}$ Źle

$3^{\left|X\right|}$ Dobrze

Bartek, Paweł i Piotrek wybrali się na wesele znajomych. W pewnym momencie na parkiecie tańczyło $7$ samotnych dziewcząt. Cała trójka postanowiła spróbować szczęścia. Najpierw jednak ustalili, że każdy poprosi do tańca inną panią. Na ile sposobów mogli oni dokonać wyboru?

$7^3$ Źle

$3^7$ Źle

$7!\cdot 3!$ Źle

$\frac{7!}{4!}$ Dobrze

Dowolna permutacja zbioru skończonego:

jest odwracalna Dobrze

jest rozkładalna na cykle Dobrze

jest rozkładalna na rozłączne cykle Dobrze

jest jednoznacznie rozkładalna (z dokładnością do porządku cykli) na rozłączne cykle Dobrze

W dowolnym dwu-kolorowaniu (białym i czarnym kolorem) punktów płaszczyzny ${\mathbb{ℝ}}^2$:

dla nieskończenie wielu $r>0$ istnieją dwa czarne punkty oddalone o $r$ Źle

dla dowolnego $r>0$ istnieją dwa czarne punkty oddalone o $r$ Źle

dla nieskończenie wielu $r>0$ istnieją dwa jednobarwne punkty oddalone o $r$ Dobrze

dla dowolnego $r>0$ istnieją dwa jednobarwne punkty oddalone o $r$ Dobrze

Masz zestaw składający się z trzech typów klocków: $6$ dużych, $7$ średnich i $3$ małych. Piramidę złożoną z $3$ klocków (na dole największy, później średni i na górze mały) można zbudować na:

$6\cdot 7\cdot 3$ sposobów Dobrze

$\frac{6\cdot 7\cdot 3}{2}$ sposobów Źle

$\frac{6\cdot 7\cdot 3}{3!}$ sposobów Źle

$6!7!3!$ sposobów Źle

Ile liczb rzeczywistych wystarcza by mieć pewność, że wśród nich co najmniej dwie mają rozwinięcia dziesiętne pokrywające się w nieskończonej liczbie miejsc po przecinku (jeśli liczba ma skończone rozwinięcie, to uzupełniamy je zerami).

$2$ Źle

$10$ Źle

$11$ Dobrze

nieskończenie wiele Dobrze

---

Niech $S_0=\left\{0\right\}$ oraz $S_{i+1}=S_i\cup \left\{\left|S_i\right|\right\}$ . Suma $\bigcup _{i=0}^{\mathrm{\infty }}{S}_i$ jest:

zbiorem jednoelementowym $\left\{0\right\}$ Źle

zbiorem skończonym Źle

zbiorem wszystkich liczb naturalnych Dobrze

zbiorem nieskończonym Dobrze

Niech $S_0=\left\{10\right\}$ oraz $S_{i+1}=S_i\cup \left\{\left|S_i\right|\right\}$ . Suma $\bigcup _{i=0}^{\mathrm{\infty }}{S}_i$ jest:

zbiorem jednoelementowym $\left\{10\right\}$ Źle

zbiorem skończonym $\{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10\}$ Źle

zbiorem wszystkich liczb naturalnych Źle

zbiorem wszystkich liczb naturalnych poza liczbą $0$ Dobrze

Niech $a_0=1$ oraz $a_n=a_0+a_1+\dots +a_{n-1}$ . Ciąg $a_n$ jest:

ciągiem arytmetycznym Źle

ciągiem geometrycznym Dobrze

ciągiem o wyrazach $a_n=2^{n-1}$ Dobrze

ciągiem Fibonacci'ego Źle

Przy modyfikacji problemu przenoszenia Wież Hanoi i dopuszczeniu czterech wież zamiast trzech, liczba $H_n$ ruchów potrzebnych do przeniesienia $n$ krążków wyraża się zależnością:

$H_n=2H_{n-1}+1$ Źle

$H_n=2H_{n-2}+3$ Dobrze

$H_n=2H_{n-1}+3$ Źle

$H_n=2H_{n-2}+1$ Źle

Które z równości są prawdziwe dla liczb Fibonacci'ego:

$f_{n+2}=f_{n+1}+f_n$ Dobrze

$f_{n+2}=f_n+f_{n-1}$ Źle

$f_{n+2}=f_n+f_{n-1}+\dots +f_1+f_0-1$ Dobrze

$f_n=\frac{1}{\sqrt{5}}[{\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)}^n-{\left(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)}^n]$ . Dobrze

Niech $a_0=2$ , zaś $a_1=1$ , oraz ponadto $a_n=a_{n-1}+2a_{n-2}$ . Postać zwarta ciągu $a_n$ , to:

$a_n={(-2)}^n+3^n$ Źle

$a_n={(-1)}^n+2^n$ Dobrze

$a_n=-2^n+3$ Źle

$a_n=2{\left(\frac{1}{2}\right)}^n$ Źle

Drzewo binarne o wysokości $4$ ma szerokość:

co najwyżej $16$ Źle

co najwyżej $8$ Dobrze

co najmniej $4$ Dobrze

co najmniej $5$ Źle

Każde zdanie logiczne zbudowane wyłącznie z jednej zmiennej $a$ , implikacji $\Rightarrow$ oraz poprawnego nawiasowania jest:

równoważne zdaniu $a$ Źle

równoważne zdaniu $a$ lub jest tautologią Dobrze

tautologią Źle

równoważne zdaniu $\mathrm{\neg }a$ lub zdaniu $a$ Źle

---

\newtheorem{thm}{Twierdzenie} \newtheorem{obs}[thm]{Obserwacja} \newtheorem{con}[thm]{Wniosek} \newtheorem{exrr}{Zadanie}

{

\parindent 0mm

#1 \parindent 10mm }{\hfill{ $◻$ }

}

{article} \input{../makraT}

\newpage

\parindent 0mm \beginLarge

Uzupelnij tytul

Indukcja

\endLarge 

\parindent 10mm

Zaznacz zdania prawdziwe dotyczące podłogi i sufitu

$n\ge 2^{\lceil {\log }_{2}n\rceil }$ ,

$n\le 2^{\lceil {\log }_{2}n\rceil }$ ,

$\lceil {\log }_2\lceil n/2\rceil \rceil =\lceil {\log }_2(n/2)\rceil$ ,

$\lfloor {\log }_2\lceil n/2\rceil \rfloor =\lfloor {\log }_2(n/2)\rfloor$ .

Dowolny niepusty podzbiór $S\subseteq \mathbb{\mathbb{N}}$ zbioru liczb naturalnych

ma w sobie liczbę największą

ma w sobie liczbę najmniejszą

ma w sobie liczbę największą oraz liczbę najmniejszą

ma w sobie liczbę najmniejszą ale nigdy nie ma największej

Zbiór $S\subseteq \mathbb{\mathbb{N}}$ jest taki, że jeśli $s\in S$ to $s+1\in S$ .

Jeśli $9\in S$ , to:

$S=\mathbb{\mathbb{N}}$

$S=\mathbb{\mathbb{N}}-\{0,1,2,3,4,5,6,7,8\}$

$S\subseteq \mathbb{\mathbb{N}}-\{0,1,2,3,4,5,6,7,8\}$

$S\supseteq \mathbb{\mathbb{N}}-\{0,1,2,3,4,5,6,7,8\}$

Zbiór $S\subseteq \mathbb{\mathbb{N}}$ jest taki, że jeśli $a,b\in S$ ,

to $a+b\in S$ oraz $a+b+1\in ̸S$ . Jeśli $0,2\in S$ , to:

$S=\mathbb{\mathbb{N}}$

zbiór $S$ zawiera wszystkie liczby naturalne, które są parzyste

zbiór $S$ jest zawarty w zbiorze liczb naturalnych, które są parzyste

zbiór $S$ jest zbiorem wszystkich liczb naturalnych, które są parzyste

Ostatnią cyfrą liczby $3^{3^n}$ jest

zawsze $3$

zawsze $3$ lub $7$

zawsze $7$

jakakolwiek z cyfr $0,1,2,3,4,5,6,7,8,9$

Jeśli $Z\subseteq \mathbb{\mathbb{N}}$ jest jakimś zbiorem liczb naturalnych,

który wraz z każdym początkowym fragmentem zbioru $\mathbb{\mathbb{N}}$ postaci $\{0,\dots ,k-1\}$ zawiera również kolejną liczbę $k$ , to wtedy

zbiór $Z$ zawiera wszystkie liczby naturalne poza skończonym podzbiorem

zbiór $Z$ zawiera wszystkie liczby naturalne

zbiór $Z$ zawiera nieskończenie wiele liczb naturalnych

zbiór $Z$ jest pusty

Grupa uczniów stojących przed klasą skłóciła się do tego stopnia,

że nikt z nikim się nie lubił. Jeden z nich, aby naprawić relacje, wymyślił, że jeżeli wszyscy znajdujący się wewnątrz klasy będą pogodzeni, to nie powinno być problemu, aby któryś stojący na zewnątrz klasy wszedł do środka i pogodził się ze wszystkimi, będącymi w klasie. Drugi z nich zauważył jednak, że nic z tego nie wyjdzie, bo w środku nikogo nie ma. Czy klasa jest w stanie się pogodzić?

klasa na pewno się nie pogodzi

klasa się pogodzi, jeżeli każdy pójdzie za radą pierwszego ucznia

jeżeli w klasie byłaby już jedna osoba, to reszta klasy miałaby szansę się pogodzić

jeżeli w klasie byłyby już co najmniej dwie osoby,

przy czym osoby w klasie byłyby ze sobą pogodzone, to reszta klasy miałaby szansę się pogodzić

Jeśli $S\subseteq \mathbb{\mathbb{N}}$ , to

zbiór $S$ ma element największy

zbiór $S$ ma element najmniejszy

zbiór $S$ ma element największy, o ile $S$ jest niepusty

zbiór $S$ ma element najmniejszy, o ile $S$ jest niepusty