Test GR4: Różnice pomiędzy wersjami

Wersja z 11:28, 18 wrz 2006

{Niech $S_{0} = {0}$ oraz $S_{i + 1} = S_{i} \cup {| S_{i} |}$ . Suma $⋃_{i = 0}^{\infty} S_{i}$ jest}

{zbiorem jednoelementowym   ${0}$  }
{zbiorem skończonym}
{zbiorem wszystkich liczb naturalnych}
{zbiorem nieskończonym}

{Niech $S_{0} = {10}$ oraz $S_{i + 1} = S_{i} \cup {| S_{i} |}$ . Suma $⋃_{i = 0}^{\infty} S_{i}$ jest}

{zbiorem jednoelementowym   ${10}$  }
{zbiorem skończonym   ${0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}$  }
{zbiorem wszystkich liczb naturalnych}
{zbiorem wszystkich liczb naturalnych poza liczbą   $0$  }

{Niech $a_{0} = 1$ oraz $a_{n} = a_{0} + a_{1} + \dots + a_{n - 1}$ . Ciąg $a_{n}$ jest }

{ciągiem arytmetycznym}
{ciągiem geometrycznym}
{ciągiem o wyrazach   $a_{n} = 2^{n - 1}$  }
{ciągiem Fibonacci'ego}

{Przy modyfikacji problemu przenoszenia Wież Hanoi i dopuszczeniu czterech wież zamiast trzech, liczba $H_{n}$ ruchów potrzebnych do przeniesienia $n$ krążków wyraża się zależnością:}

{  $H_{n} = 2 H_{n - 1} + 1$  }
{  $H_{n} = 2 H_{n - 2} + 3$  }
{  $H_{n} = 2 H_{n - 1} + 3$  }
{  $H_{n} = 2 H_{n - 2} + 1$  }

{Które z równości są prawdziwe dla liczb Fibonacci'ego:}

{  $f_{n + 2} = f_{n + 1} + f_{n}$  }
{  $f_{n + 2} = f_{n} + f_{n - 1}$  }
{  $f_{n + 2} = f_{n} + f_{n - 1} + \dots + f_{1} + f_{0} - 1$  }
{  $f_{n} = \frac{1}{\sqrt{5}} [{(\frac{1 + \sqrt{5}}{2})}^{n} - {(\frac{1 - \sqrt{5}}{2})}^{n}]$  .}

{Niech $a_{0} = 2$ , zaś $a_{1} = 1$ , oraz ponadto $a_{n} = a_{n - 1} + 2 a_{n - 2}$ . Postać zwarta ciągu $a_{n}$ , to}

{  $a_{n} = {(- 2)}^{n} + 3^{n}$  }
{  $a_{n} = {(- 1)}^{n} + 2^{n}$  }
{  $a_{n} = - 2^{n} + 3$  }
{  $a_{n} = 2 {(\frac{1}{2})}^{n}$  }

{Drzewo binarne o wysokości $4$ ma szerokość:}

{co najwyżej   $16$  }
{co najwyżej   $8$  }
{co najmniej   $4$  }
{co najmniej   $5$  }

{Każde zdanie logiczne zbudowane wyłącznie z jednej zmiennej $a$ , implikacji $\Rightarrow$ oraz poprawnego nawiasowania jest:}

{równoważne zdaniu   $a$  }
{równoważne zdaniu   $a$   lub jest tautologią}
{tautologią}
{równoważne zdaniu   $\neg a$   lub zdaniu   $a$  }

\newtheorem{thm}{Twierdzenie} \newtheorem{obs}[thm]{Obserwacja} \newtheorem{con}[thm]{Wniosek} \newtheorem{exrr}{Zadanie}

{

\parindent 0mm

#1 \parindent 10mm }{\hfill{ $◻$ }

}

{article} \input{../makraT}

\newpage

\parindent 0mm \beginLarge

Uzupelnij tytul
Indukcja

\endLarge

\parindent 10mm

Zaznacz zdania prawdziwe dotyczące podłogi i sufitu

$n \geq 2^{⌈ \log_{2} n ⌉}$ ,

$n \leq 2^{⌈ \log_{2} n ⌉}$ ,

$⌈ \log_{2} ⌈ n / 2 ⌉ ⌉ = ⌈ \log_{2} (n / 2) ⌉$ ,

$⌊ \log_{2} ⌈ n / 2 ⌉ ⌋ = ⌊ \log_{2} (n / 2) ⌋$ .

Dowolny niepusty podzbiór $S \subseteq ℕ$ zbioru liczb naturalnych

ma w sobie liczbę największą

ma w sobie liczbę najmniejszą

ma w sobie liczbę największą oraz liczbę najmniejszą

ma w sobie liczbę najmniejszą ale nigdy nie ma największej

Zbiór $S \subseteq ℕ$ jest taki, że jeśli $s \in S$ to $s + 1 \in S$ .

Jeśli $9 \in S$ , to:

$S = ℕ$

$S = ℕ - {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}$

$S \subseteq ℕ - {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}$

$S \supseteq ℕ - {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}$

Zbiór $S \subseteq ℕ$ jest taki, że jeśli $a, b \in S$ ,

to $a + b \in S$ oraz $a + b + 1 \in̸ S$ . Jeśli $0, 2 \in S$ , to:

$S = ℕ$

zbiór $S$ zawiera wszystkie liczby naturalne, które są parzyste

zbiór $S$ jest zawarty w zbiorze liczb naturalnych, które są parzyste

zbiór $S$ jest zbiorem wszystkich liczb naturalnych, które są parzyste

Ostatnią cyfrą liczby $3^{3^{n}}$ jest

zawsze $3$

zawsze $3$ lub $7$

zawsze $7$

jakakolwiek z cyfr $0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9$

Jeśli $Z \subseteq ℕ$ jest jakimś zbiorem liczb naturalnych,

który wraz z każdym początkowym fragmentem zbioru $ℕ$ postaci ${0, \dots, k - 1}$ zawiera również kolejną liczbę $k$ , to wtedy

zbiór $Z$ zawiera wszystkie liczby naturalne poza skończonym podzbiorem

zbiór $Z$ zawiera wszystkie liczby naturalne

zbiór $Z$ zawiera nieskończenie wiele liczb naturalnych

zbiór $Z$ jest pusty

Grupa uczniów stojących przed klasą skłóciła się do tego stopnia,

że nikt z nikim się nie lubił. Jeden z nich, aby naprawić relacje, wymyślił, że jeżeli wszyscy znajdujący się wewnątrz klasy będą pogodzeni, to nie powinno być problemu, aby któryś stojący na zewnątrz klasy wszedł do środka i pogodził się ze wszystkimi, będącymi w klasie. Drugi z nich zauważył jednak, że nic z tego nie wyjdzie, bo w środku nikogo nie ma. Czy klasa jest w stanie się pogodzić?

klasa na pewno się nie pogodzi

klasa się pogodzi, jeżeli każdy pójdzie za radą pierwszego ucznia

jeżeli w klasie byłaby już jedna osoba, to reszta klasy miałaby szansę się pogodzić

jeżeli w klasie byłyby już co najmniej dwie osoby,

przy czym osoby w klasie byłyby ze sobą pogodzone, to reszta klasy miałaby szansę się pogodzić

Jeśli $S \subseteq ℕ$ , to

zbiór $S$ ma element największy

zbiór $S$ ma element najmniejszy

zbiór $S$ ma element największy, o ile $S$ jest niepusty

zbiór $S$ ma element najmniejszy, o ile $S$ jest niepusty

@@ Linia 1: / Linia 1: @@
+{Niech  <math>\displaystyle S_0=\left\lbrace 0 \right\rbrace </math>  oraz  <math>\displaystyle S_{i+1}=S_i \cup \left\lbrace \left\vert S_i \right\vert \right\rbrace </math> .
+Suma  <math>\displaystyle \bigcup_{i=0}^{\infty}S_i </math>  jest}
+ {zbiorem jednoelementowym  <math>\displaystyle \left\lbrace 0 \right\rbrace </math> }
+ {zbiorem skończonym}
+ {zbiorem wszystkich liczb naturalnych}
+ {zbiorem nieskończonym}
+{Niech  <math>\displaystyle S_0=\left\lbrace 10 \right\rbrace </math>  oraz  <math>\displaystyle S_{i+1}=S_i \cup \left\lbrace \left\vert S_i \right\vert \right\rbrace </math> .
+Suma  <math>\displaystyle \bigcup_{i=0}^{\infty}S_i </math>  jest}
+ {zbiorem jednoelementowym  <math>\displaystyle \left\lbrace 10 \right\rbrace </math> }
+ {zbiorem skończonym  <math>\displaystyle \left\lbrace 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10 \right\rbrace </math> }
+ {zbiorem wszystkich liczb naturalnych}
+ {zbiorem wszystkich liczb naturalnych poza liczbą  <math>\displaystyle 0 </math> }
+{Niech  <math>\displaystyle a_0=1 </math>  oraz  <math>\displaystyle a_n=a_0+a_1+\ldots+a_{n-1} </math> . Ciąg  <math>\displaystyle a_n </math>  jest }
+ {ciągiem arytmetycznym}
+ {ciągiem geometrycznym}
+ {ciągiem o wyrazach  <math>\displaystyle a_n=2^{n-1} </math> }
+ {ciągiem Fibonacci'ego}
+{Przy modyfikacji problemu przenoszenia Wież Hanoi i dopuszczeniu
+czterech wież zamiast trzech,
+liczba  <math>\displaystyle H_n </math>  ruchów potrzebnych do przeniesienia  <math>\displaystyle n </math>
+krążków wyraża się zależnością:}
+ { <math>\displaystyle H_n=2H_{n-1}+1 </math> }
+ { <math>\displaystyle H_n=2H_{n-2}+3 </math> }
+ { <math>\displaystyle H_n=2H_{n-1}+3 </math> }
+ { <math>\displaystyle H_n=2H_{n-2}+1 </math> }
+{Które z równości są prawdziwe dla liczb Fibonacci'ego:}
+ { <math>\displaystyle f_{n+2}=f_{n+1}+f_n </math> }
+ { <math>\displaystyle f_{n+2}=f_n+f_{n-1} </math> }
+ { <math>\displaystyle f_{n+2}=f_n+f_{n-1}+\ldots+f_1+f_0-1 </math> }
+ { <math>\displaystyle f_n=\frac{1}{\sqrt{5}}
+\left[\left( \frac{1+\sqrt{5}}{2} \right)^n-\left( \frac{1-\sqrt{5}}{2} \right)^n\right] </math> .}
+{Niech  <math>\displaystyle a_0=2 </math> , zaś  <math>\displaystyle a_1=1 </math> , oraz ponadto  <math>\displaystyle a_n=a_{n-1}+2a_{n-2} </math> .
+Postać zwarta ciągu  <math>\displaystyle a_n </math> , to}
+ { <math>\displaystyle a_n=\left( -2 \right)^n+3^n </math> }
+ { <math>\displaystyle a_n=\left( -1 \right)^n+2^n </math> }
+ { <math>\displaystyle a_n=-2^n+3 </math> }
+ { <math>\displaystyle a_n=2\left( \frac{1}{2} \right)^n </math> }
+{Drzewo binarne o wysokości  <math>\displaystyle 4 </math>  ma szerokość:}
+ {co najwyżej  <math>\displaystyle 16 </math> }
+ {co najwyżej  <math>\displaystyle 8 </math> }
+ {co najmniej  <math>\displaystyle 4 </math> }
+ {co najmniej  <math>\displaystyle 5 </math> }
+{Każde zdanie logiczne zbudowane wyłącznie z jednej zmiennej  <math>\displaystyle a </math> ,
+implikacji  <math>\displaystyle \Rightarrow </math>  oraz poprawnego nawiasowania jest:}
+ {równoważne zdaniu  <math>\displaystyle a </math> }
+ {równoważne zdaniu  <math>\displaystyle a </math>  lub jest tautologią}
+ {tautologią}
+ {równoważne zdaniu  <math>\displaystyle \neg a </math>  lub zdaniu  <math>\displaystyle a </math> }
+---------------------------------------------------------------
 \newtheorem{thm}{Twierdzenie}
 \newtheorem{obs}[thm]{Obserwacja}

Test GR4: Różnice pomiędzy wersjami

Wersja z 11:28, 18 wrz 2006

Menu nawigacyjne

Działania na stronie

Opcje strony

Narzędzia osobiste

Nawigacja

Szukaj

Narzędzia