|
|
| Linia 1: |
Linia 1: |
| <center> | | <img src="http://osilek.mimuw.edu.pl/images/b/b1/Wykres.jpg" alt="nazwa alternatywna"> |
| <div class="thumb" id="01"><div style="width:375px;">
| |
| <flash>file=AM2.M02.W.R09.swf|width=375|height=375</flash>
| |
| <div.thumbcaption>prostopadłościan</div>
| |
| </div></div>
| |
| </center>
| |
| | |
| ==Granica i ciągłość funkcji==
| |
| | |
| W tym wykładzie omawiamy pojęcie granicy i ciągłości funkcji
| |
| prowadzącej z <math>\mathbb{R} </math> w <math>\mathbb{R} </math>.
| |
| Definiujemy granice właściwe, niewłaściwe i jednostronne oraz
| |
| pojęcie ciągłości funkcji w punkcie.
| |
| Podajemy twierdzenia dotyczące granic funkcji.
| |
| Następnie charakteryzujemy zbiory zwarte w <math>\mathbb{R} </math> i dowodzimy, że
| |
| funkcja ciągła na zbiorze zwartym osiąga swoje kresy.
| |
| Na zakończenie wykładu omawiamy
| |
| tak zwaną własność Darboux.
| |
| | |
| ==Granica funkcji==
| |
| | |
| W tym wykładzie będziemy rozważać funkcje
| |
| prowadzące z <math>\mathbb{R} </math> w <math>\mathbb{R} </math>.
| |
| Zdefiniujemy pojęcie granicy funkcji w punkcie.
| |
| Ponieważ o granicy funkcji w punkcie można mówić tylko w punktach
| |
| skupienia dziedziny (punkt ten nie musi należeć do dziedziny),
| |
| wykażemy teraz twierdzenie, które podaje warunek równoważny [[Analiza matematyczna 1/Wykład 3: Odległość i ciągi#definicja_3_11|definicji 3.11.]]
| |
| Przypomnijmy, że w <math>\mathbb{R} </math> z metryką euklidesową, kula <math>K(x_0,r)</math> jest przedziałem
| |
| <math>\displaystyle (x_0-r,x_0+r).</math>
| |
| | |
| {{twierdzenie|8.1.||
| |
| | |
| Niech
| |
| <math>A\subseteq \mathbb{R},x_0\in \mathbb{R}.</math><br>
| |
| Punkt <math>x_0</math> jest
| |
| punktem skupienia zbioru <math>A</math>
| |
| wtedy i tylko wtedy, gdy
| |
| istnieje ciąg
| |
| <math>\displaystyle\{x_n\}\subseteq A\setminus\{x_0\}</math>
| |
| taki, że
| |
| | |
| <center><math>\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} x_n
| |
| \ =\
| |
| x_0.
| |
| </math></center>
| |
| | |
| }}
| |
| | |
| {{dowod|8.1. [nadobowiązkowy]||
| |
| "<math>\displaystyle\Longrightarrow</math>"<br> | |
| Niech <math>x_0</math> będzie punktem skupienia zbioru <math>A</math>.
| |
| Dla dowolnego <math>n\in\mathbb{N}</math> rozważmy kulę
| |
| <math>\displaystyle \bigg(x_0-\frac{1}{n},x_0+\frac{1}{n}\bigg).</math>
| |
| Z definicji punktu skupienia
| |
| wiemy, że istnieje punkt
| |
| <math>\displaystyle x_n\in A\cap \bigg(x_0-\frac{1}{n},x_0+\frac{1}{n}\bigg)\setminus\{x_0\}</math>
| |
| dla <math>n\in\mathbb{N}.</math>
| |
| W ten sposób zdefiniowaliśmy ciąg
| |
| <math>\displaystyle\{x_n\}\subseteq A.</math>
| |
| Zauważmy, że
| |
| <math>\displaystyle\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} x_n=x_0.</math><br>
| |
| <br>
| |
| "<math>\displaystyle\Longleftarrow</math>"<br> | |
| Przypuśćmy, że
| |
| <math>\displaystyle\{x_n\}\subseteq A\setminus\{x_0\}</math>
| |
| jest ciągiem takim, że
| |
| <math>\displaystyle\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} x_n=x_0.</math>
| |
| Należy pokazać, że
| |
| <math>x_0</math> jest punktem skupienia zbioru <math>A.</math>
| |
| W tym celu weźmy dowolną kulę
| |
| <math>\displaystyle (x_0-r,x_0+r)\subseteq A.</math> Z definicji granicy ciągu wiemy,
| |
| że w tej kuli leżą wszystkie wyrazy ciągu począwszy od pewnego
| |
| miejsca, czyli
| |
| | |
| <center><math>\exists N\in\mathbb{N}\ \forall n\ge N:\
| |
| x_n\in (x_0-r,x_0+r).
| |
| </math></center>
| |
| | |
| To oznacza, że w dowolnej kuli o środku w <math>x_0</math>
| |
| są wyrazy ciągu <math>\displaystyle\{x_n\}</math> (czyli elementy zbioru
| |
| <math>A\setminus\{x_0\}</math>), czyli <math>x_0</math> jest punktem skupienia zbioru
| |
| <math>A.</math>
| |
| }}
| |
| | |
| <math>\bigstar</math> '''dość tych bzdur.......no a teraz odwolanie do [[#01|prostopadłościanu]] :)'''
| |
