Zaawansowane algorytmy i struktury danych/Wykład 4

Abstrakt

Naturalna metoda dodawania dwóch wielomianów wymaga czasu $\mathrm{\Theta }(n)$, natomiast prosty algorytm mnożenia dwóch wielomianów stopnia $n$ wymaga czasu $\mathrm{\Theta }(n^2)$. W wykładzie tym pokażemy, jak z wykorzystaniem szybkiej transformaty Fouriera (STF), wykonać wszystkie podstawowe operacje na wielomianach w czasie większym niż $\mathrm{\Theta }(n)$ o czynnik polilogarytmiczny. Pokażemy jak dla wielomianów stopnia $n$:

• mnożyć je w czasie $O(n\log n)$,
• obliczać wielomian interpolacyjny w czasie $O(n{\log }^{2}n)$,
• obliczać wartość wielomianu w $n$ punktach w czasie $O(n{\log }^{2}n)$,
• dzielić wielomiany w czasie $O(n{\log }^{3}n)$.

Mnożenie wielomianów w punktach

Niech $A(x)=\sum _{i=0}^{n-1}{a}_i{x}^i$ i $B(x)=\sum _{i=0}^{n-1}{b}_i{x}^i$ będzą wielomianami stopnia $n$ nad ciałem $F$. Wielomiany te możemy jednoznaczne reprezentować poprzez ich wartości w $n$ punktach. Następujące twierdzenie zostało sformułowane w ramach wykładu z Metod Numerycznych.

Twierdzenie [Twierdzenie o interpolacji wielomianów]

Dla dowolnego zbioru $n$ par $X=\{(x_0,y_0),(x_1,y_1),\dots ,(x_{n-1},y_{n-1})\}$ takiego, że wszystkie wartości $x_i$ są parami różne, istnieje jedyny wielomian $C(x)$ stopnia $n$ taki, że $C(x_i)=y_i$ dla $i=0,1,\dots ,n-1.$

Niech $X$ będzie ustalonym zbiorem parami różnych punktów $x_0,\dots ,x_{2n-1}\in F$. Dla tego zbioru punktów możemy wyznaczyć zbiory wartości wielomianów:

$X_A=\{(x_0,A(x_0)),(x_1,A(x_1),\dots ,(x_{2n-1},A(x_{2n-1}))\}$

$X_B=\{(x_0,B(x_0)),(x_1,B(x_1),\dots ,(x_{2n-1},B(x_{2n-1}))\}$

Niech $C$ będzie wynikiem mnożenia wielomianów $A$ i $B$, mamy wtedy

$C(x_i)=A(x_i)\cdot B(x_i)$.

Ponieważ stopień wielomianu $C$ jest nie większy niż $2n$ to z Twierdzenia o interpolacji zbiór wartości

$X_{A\times B}=\{(x_0,A(x_0)B(x_0)),(x_1,A(x_1)B(x_1),\dots ,(2x_{n-1},A(x_{2n-1})B(x_{2n-1}))\}$,

jednoznacznie wyznacza wielomian $A\times B$. Mając zbiory $X_A$ i $X_B$ możemy wyznaczyć zbiór $X_C$ w czasie $O(n)$. Procedura ta jest przedstawiona na następującym rysunku:

<flash>file=Zasd_fft1.swf|width=460|height=350</flash>

Jednak aby ostatecznie otrzymać szybszy algorytm niż algorytm naiwny musimy pokazać jak rozwiązać problem obliczania wartości wielomianu w $n$ punktach w czasie szybszym niż $\mathrm{\Theta }(n^2)$. Podobnie musimy umieć obliczać wielomian interpolacyjny dla danego zbioru punktów.

Szybka transformata Fouriera (STF)

The table's caption

cell codes go here
cells in the next row go here	more cells in the same row here

Problem obliczania wartości wielomianu w $n$ punktach i problem jego interpolacji rozwiążemy wykorzystując szybką transformatę Fouriera. W poprzednim rozdziale nie zakładaliśmy nic na temat zbioru punktów $X$. Głównym pomysłem w konstrukcji algorytmu STF będzie właśnie wybór odpowiedniego zbioru punktów X tak, aby jak największa ilość wykonywanych obliczeń powtarzała się.

Założymy chcemy obliczyć wartości wielomianu $A(x)=\sum _{i=0}^{n-1}{a}_i{x}^i$ oraz $n$ jest parzyste. Jeżeli $n$ jest nieparzyste to dodajemy na początek $A(x)$ jednomian $0x^{n+1}$ co nie zmienia nam wyniku działania algorytmu. Punkty $X_n=\{x_0,x_1,\dots ,x_{n-1}\}$ zdefiniujemy w następujący sposób:

$x_i=e^{\frac{2\pi i}{n}}$.

Dla wielomianu $A(x)$ definiujemy dwa nowe wielomiany $A^{[0]}(x)$ i $A^{[1]}(x)$ poprzez wybranie do nich współczynników $A(x)$ o numerach odpowiednio parzystych i nieparzystych:

$A^{[0]}(x)=a_0+a_{2}x+a_4{x}^2+\dots +a_{n-2}{x}^{\frac{n}{2}-1}$,

$A^{[1]}(x)=a_1+a_{3}x+a_5{x}^2+\dots +a_{n-1}{x}^{\frac{n}{2}-1}$.

Wielomiany $A^{[0]}(x)$ oraz $A^{[1]}(x)$ są stopnia co najwyżej $\frac{n}{2}$. Co więcej zachodzi:

$A(x)=A^{[0]}(x^2)+x{A}^{[1]}(x^2)$ || (1) .

Widzimy teraz, że problem ewaluacji wielomianu $A(x)$ w punktach ${\omega }_n^0,{\omega }_n^1,\dots ,{\omega }_n^{n-1}$ sprowadza się do:

• ewaluacji wielomianów $A^{[0]}(x)$ i $A^{[1]}(x)$

w punktach

$X^{\prime }=\{x_0^2,x_1^2,\dots ,x_{n-1}^2\}$.

• a następnie obliczenie wartości $A(x)$wyniku zgodnie ze wzorem (1).

Zauważmy, że z definicji punktów $x_i$ mamy:

$x_i^2={\left(e^{\frac{2\pi i}{n}}\right)}^2=e^{\frac{2\pi i}{n/2}}$.

Możemy teraz zauważyć, że zachodzi $x_i^2=x_{i+\frac{n}{2}}^2$, a więc $X^{\prime }=X_{\frac{n}{2}}$. Udało nam się więc zredukować problem rozmiaru $n$ - obliczenia wartości wielomianu $A(x)$ stopnia $n$ w $n$do punktach, do dwóch problemów rozmiaru $\frac{n}{2}$ - obliczenia wartości wielomianów $A^{[0]}(x)$ i $A^{[1]}(x)$ stopnia $\frac{n}{2}$ w $\frac{n}{2}$ punktach. Możemy teraz zastosować tą technikę rekurencyjne otrzymując następujący algorytm.

Równanie rekurencyjne na czas działania procedury STF wygląda następująco:

$T(n)=2T(\frac{n}{2})+\mathrm{\Theta }(n)=\mathrm{\Theta }(n\log n)$.

Odwrotna transformata Fouriera

Aby zakończyć konstrukcję algorytmu dla szybkiego mnożenia wielomianów pozostaje nam pokazanie jak wykonać obliczyć wielomian interpolujący dla zbioru punktów $X_n$. Obliczenie wykonane w czasie szybkiej transformaty Fouriera możemy przedstawić w postaci macierzowej jako mnożenie macierzy przez wektor $(A(x_0),A(x_1),\dots ,A(x_{n-1}){)}^T=V_n(a_0,a_1,\dots ,a_{n-1}{)}^T$, gdzie $V(x_0,\dots ,x_{n-1})$ jest macierzą Vandermonde'a zawierającą potęgi $x_i$

$\left(\begin{array}{c}A(x_0)\\ A(x_1)\\ A(x_2)\\ ⋮\\ A(x_{n-1})\end{array}\right)=\left[\begin{array}{cccccc}{x}_0^0& x_0^1& x_0^2& x_0^3& \cdots & x_0^{n-1}\\ x_1^0& x_1^1& x_1^2& x_1^3& \cdots & x_1^{n-1}\\ x_2^0& x_2^1& x_2^2& x_2^3& \cdots & x_2^{n-1}\\ ⋮& ⋮& ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ x_{n-1}^0& x_{n-1}^1& x_{n-1}^2& x_{n-1}^3& \cdots & x_{n-1}^{n-1}\\ \end{array}\right]\left(\begin{array}{c}{a}_0\\ a_1\\ a_2\\ ⋮\\ a_{n-1}\end{array}\right)$

Element macierzy $V(x_0,\dots ,x_{n-1})$ dany jest jako

$V(x_0,\dots ,x_{n-1}{)}_{i,j}=x_i^j$.

W celu wykonania operacji odwrotnej do SFT, czyli obliczenia wielomianu interpolacyjnego, musimy wykonać mnożenie $V(x_0,\dots ,x_{n-1}{)}^{-1}(A(x_0),A(x_1),\dots ,A(x_{n-1}){)}^T$.

Korzystając z definicji zbioru $X_n$ otrzymujemy

$V(x_0,\dots ,x_{n-1}{)}_{i,j}={\left(e^{\frac{2\pi i}{n}}\right)}^j=e^{\frac{2\pi ij}{n}}.$

Lemat

cos tam costam

Dowód

aaaa