Zaawansowane algorytmy i struktury danych/Wykład 4

Template:twierdzenie

Abstrakt

Naturalna metoda dodawania dwóch wielomianów wymaga czasu $\mathrm{\Theta }(n)$, natomiast prosty algorytm mnożenia dwóch wielomianów stopnia $n$ wymaga czasu $\mathrm{\Theta }(n^2)$. W wykładzie tym pokażemy, jak z wykorzystaniem szybkiej transformaty Fouriera (STF), wykonać wszystkie podstawowe operacje na wielomianach w czasie większym niż $\mathrm{\Theta }(n)$ o czynnik polilogarytmiczny. Pokażemy jak dla wielomianów stopnia $n$:

• mnożyć je w czasie $O(n\log n)$,
• obliczać wielomian interpolacyjny w czasie $O(n{\log }^{2}n)$,
• obliczać wartość wielomianu w $n$ punktach w czasie $O(n{\log }^{2}n)$,
• dzielić wielomiany w czasie $O(n{\log }^{3}n)$.

Szybkie Mnożenie wielomianów

Niech $A(x)=\sum _{i=0}^{n-1}{a}_i{x}^i$ i $B(x)=\sum _{i=0}^{n-1}{b}_i{x}^i$ będzą wielomianami stopnia $n$ nad ciałem $F$. Wielomiany te możemy jednoznaczne reprezentować poprzez ich wartości w $n$ punktach. Następujące twierdzenie zostało sformułowane w ramach wykładu z Metod Numerycznych.

Twierdzenie [Twierdzenie o interpolacji wielomianów]

Dla dowolnego zbioru $n$ par

$X=\{(x_0,y_0),(x_1,y_1),\dots ,(x_{n-1},y_{n-1})\}$ takiego, że wszystkie wartości $x_i$ są parami różne, istnieje jedyny wielomian $C(x)$ stopnia $n$ taki, że $C(x_i)=y_i$ dla $i=0,1,\dots ,n-1.$

<flash>Zasd_fft1.swf</flash>