Ćwiczenia do Modułu 1

Ta strona zawiera podstawowe zadania na tablice.

Ogladaj wskazówki i rozwiązania __SHOWALL__
Ukryj wskazówki i rozwiązania __HIDEALL__

Zadanie 1 (Flaga polska)

Tablica A typu array[1..N] of integer (N > 0) wypełniona zerami i jedynkami reprezentuje ciąg N urn w których znajdują się żetony białe (0) i czerwone (1). Podaj algorytm działania automatu przestawiającego żetony w urnach tak, by najpierw były żetony czerwone, potem białe. Robot może wykonywać dwa rodzaje operacji:

• Kol(i) - podaje kolor żetonu w i-tej urnie (1 ≤ i ≤ n)
• Z(i,j) - zamienia żetony z i-tej i j-tej urny (1 ≤ i,j ≤ n)

Uwagi:

1. Operacja Kol jest bardzo kosztowna, więc zależy nam na tym by kolor każdego żetonu był sprawdzany co najwyżej raz.
2. Robot potrafi zapamiętać tylko kilka wartości z przedziału 0..N+1.
3. Nie można założyć, że występuje choć jeden żeton w każdym z kolorów.

Wskazówka 1

Należy przesuwać się indeksem c od początku tablicy zaś indeksem b od końca. Intencją jest utrzymywanie następującego niezmmiennika: wszystkie elementy tablicy o indeksach mniejszych od c są czerwone, zaś wiekszych od b są białe. Indeksy c i b będą się do siebie zbliżać i ostatecznie gdy c będzie równe b to tablica będzie uporządkowana.

Rozwiązanie 1

program FlagaPolska1(N,A);
const bialy = 0;
      czerwony = 1;
var b,c : integer;
begin
  c:=1; b:=n;
  while c < b do 
    if Kol(c)=czerwony then c:=c+1
    else begin
      Z(c,b);
      b:=b-1;
    end;
end.

Koszt czasowy: liniowy względem N

Koszt pamięciowy: stały

Wskazówka 2

Rozwiązanie 1 optymalizuje liczbę sprawdzeń kolorów, ale może niepotrzebnie zamieniać białe z białymi. Można tego uniknąć wprowadzając dodatkową pętlę po białych od końca tablicy.

Rozwiązanie 2

program FlagaPolska2(N,A);
const bialy = 0;
      czerwony = 1;
var b,c : integer;
begin
  c:=1; b:=n;
  while c < b do 
    if Kol(c)=czerwony then c:=c+1
    else begin
      while Kol(b)=biały and (c<b) do b:=b-1;	//pętla po bialych od konca tablicy
      if c<b then begin
        Z(c,b);
        b:=b-1;
      end;
    end;
end.

W rozwiązaniu 2 są dwie zagnieżdżone pętle while. Trzeba zwrócić uwagę, że gdyby nie warunek c<b to w przypadku tablicy zawierającej same białe żetony doszłoby do wyjścia poza zakres (odwołanie do Kol(0)).

Koszt czasowy: liniowy względem N

Koszt pamięciowy: stały

Wskazówka 3

W Rozwiązaniu 2 można uniknąć zagnieżdżonych while'i, trzeba jednak uważać aby nie sprawdzać kilka razy koloru tego samego żetonu.

Rozwiązanie 3

program FlagaPolska3(N,A);
const bialy = 0;
      czerwony = 1;
var b,c,kb,kc : integer;
begin
  c:=1; kc:=Kol(c);
  b:=n; kc:=Kol(b);
  while c < b do 
    if kc=czerwony then begin 
      c:=c+1;
      kc:=Kol(c);
    end
    else 
      if kb=biały then begin
        b:=b-1;
        kb:=Kol(b);
      end 
      else begin
        Z(c,b);
        c:=c+1; 
        b:=b-1;
        if c < b then begin
          kc:=Kol(c);
          kb:=Kol(b);
        end;; 
      end;
end.

W rozwiązaniu 3 każdy żeton jest sprawdzany co najwyżej raz, a każda zamiana ustawia na dobrych miejscach 2 żetony (inaczej mówiąc tych żetonów nie trzeba już będzie przestawiać). A więc wszystkich zamian jest co najwyżej N div 2. Alternatywne rozwiązanie, unikające zagnieżdżonych pętli jest poniżej.

Koszt czasowy: liniowy względem N

Koszt pamięciowy: stały

Wskazówka 4

Alternatywne rozwiązanie, unikające zagnieżdżonych pętli jest poniżej. Tu oba indeksy b i c przesuwają się od początku tablicy a niezmiennikiem jest to, że wszystkie elementy tablicy o indeksach mniejszych od c są czerwone, zaś te o indeksach wiekszych równych od c i miejszych od b są białe.

Rozwiązanie 4

program FlagaPolska4(N,A);
const bialy = 0;
      czerwony = 1;
var b,c : integer;
begin
  c:=1; b:=1;
  while c <= N do 
    if Kol(b)=biały then b:=b+1
    else begin
       Z(c,b);
       b:=b+1;
       c:=c+1;
    end;
end.

Koszt czasowy: liniowy względem N

Koszt pamięciowy: stały

Pytanko 1

Dla jakich danych algorytm przedstawiony w Rozwiązaniu 4 dokona N-1 zamian?

Pytanko 2

Jak trzeba by zmienić powyższe rozwiązania, gdyby zamiana Z(i,j) była dozwolona tylko dla i <> j ?

Zadanie 2 (Flaga trójkolorowa)

Dana jest tablica A typu array[1..N] of integer (N > 0). Należy tak poprzestawiać w niej elementy, żeby najpierw były elementy ujemne, potem równe zero, a na końcu dodatnie.

Wskazówka 1

Rozwiązanie dla flagi trójkolorowej jest uogólnieniem rozwiązania dla flagi dwukolorowej. Rozwiązanie 1 poniżej jest kombinacją rozwiązań 3 i 4 z zadania 1; zaś Rozwiązanie 2 poniżej jest bezpośrednim uogólnieniem rozwiązania 4 z zadania 1. Jeśli chodzi o liczbę zamian to lepsze wydaje się Rozwiązanie 1, gdyż od razu na dobre miejsca trafiają elementy ujemne i dodatnie.

Rozwiązanie 1

program FlagaTrojkolorow(N,A);
var m,r,w,pom : integer;
begin
  m:=1; r:=1; w:=N;
  while r <= w do 
    if A[r]=0 then r:=r+1	  //przedluzam segment liczb dodatnich	
    else 
      if A[r]<0 then begin //zamieniam wartosci w A[r] i A[m]
        pom:=A[r]; A[r]:=A[m]; A[m]:=pom;    //po zamianie A[r]=0, A[m] < 0 wiec
        m:=m+1;			      //zwiekszam oba indeksy r i m
        r:=r+1;
      end
      else begin
        pom:=A[r]; A[r]:=A[w]; A[w]:=pom;   //zamieniam wartosci w A[r] i A[w]
        w:=w-1;			     //po zamianie A[w]>0, 
      end;			     //ale o A[r] nic nie wiem
end.

Koszt czasowy: liniowy względem N

Koszt pamięciowy: stały

Rozwiązanie 2

program FlagaTrojkolorowa(N,A);
var m,r,w,pom : integer;
begin
  m:=1; r:=1; w:=1;
  while w <= N do 
    if A[w]>0 then w:=w+1			//przedluzam segment liczb dodatnich
    else 
      if A[w]=0 then begin
        pom:=A[r]; A[r]:=A[w]; A[w]:=pom;	//zamieniam wartosci w A[r] i A[w], po zamianie A[r]=0, A[w] >0 
        w:=w+1;					//wiec zwiekszam oba indeksy r i w
        r:=r+1;					
      end
      else begin				//zamieniam cyklicznie A[m], A[r] i A[w]
        pom:=A[m]; A[m]:=A[w]; A[w]:=A[r]; A[r]:=pom; 
        m:=m+1;
        r:=r+1;
        w:=w+1; 
      end;
end.

Koszt czasowy: liniowy względem N

Koszt pamięciowy: stały

Zadanie 3 (Najdłuższe plateau)

Napisz program znajdujący w zadanej tablicy A typu array[1..N] of integer, N > 1, długość najdłuższego stałego segmentu (spójnego fragmentu tablicy).

Rozwiązanie 1

program NajdluzszePlateau1(N,A);
var p,w,k,maks: integer;
begin
  p:=1; w:=A[p]; maks:=1; 
  while p < N do begin
    k:=p+1; koniec:=false;
    while (k <= N) and (not koniec) do
      if A[k]=w then k:=k+1
      else koniec:=true;
    maks:=max(maks, k-p);
    p:=k;
    if p <= N then w:=A[p];
  end;
 end.

Rozwiązanie 2

program NajdluzszePlateau2(N,A);
var w,k,dl,maks: integer;
begin
  w:=A[1]; dl:=1; k:=2; maks:=1; 
  while k <= N do begin
    if A[k]=w then dl:=dl+1
    else begin
      maks:=max(maks, dl);
      dl:=1;
    end;
    k:=k+1;
  end;
  maks:=max(maks, dl);
end.

Zadanie 4 (Segment o maksymalnej sumie)

Napisz program znajdujący w zadanej tablicy A typu array[1..N] of integer, N > 1, maksymalną sumę segmentu (spójnego fragmentu tablicy). Przyjmujemy, że segment pusty ma sumę 0.

Wskazówka 1

Najprostsze rozwiązanie ma złożoność kwadratową.

Rozwiązanie 1

program SegmentOMaksymalnejSumie1(N,A);
var p,k,suma, maks: integer;
begin
  maks:=0;
  for p:=1 to N do begin
    suma:=0;
    for k:=p to N do begin
      suma:=suma+A[k]; 
      maks:=max(maks,suma);
    end;
  end;
end.

Wskazówka 2

Optymalne rozwiązanie ma liniową złożoność.

Rozwiązanie 2

program  SegmentOMaksymalnejSumie2(N,A);
var i,biez,maks: integer;
begin
  maks:=0;
  biez:=0;
  for i:=1 to N do begin
    biez:=max(0,biez+A[i]);
    maks:=max(maks, biez);
  end;
end.

Zadanie 5 (Część wspólna zbiorów)

Dane są dwie tablice A i B typu array[1..N] of integer, N > 1. Obie są posortowane rosnąco. Należy traktując A i B jako reprezentacje dwu zbiorów wypisać (operacją write) cześć wspólną tych zbiorów.

Rozwiązanie 1

program CescWspolna(N,A,B);
var ia,ib: integer;
begin
  ia:=1; ib:=1;
  while (ia <= N) and (ib <= N) do 
    if A[ia] < B[ib] then ia:=ia+1
    else 
      if A[ia] > B[ib] then ib:=ib+1;
      else begin
         write(A{ia], ' ');
         ia:=ia+1;
         ib:=ib+1;
      end;
end.

Zadanie 6 (Suma zbiorów)

Dane są dwie tablice A i B typu array[1..N] of integer, N > 1. Obie są posortowane rosnąco. Należy traktując A i B jako reprezentacje dwu zbiorów wypisać (operacją write) sumę tych zbiorów.

Rozwiązanie 1

program Suma(N,A,B);
var ia,ib: integer;
begin
  ia:=1; ib:=1; 
  while (ia <= N) and (ib <= N) do 
    if A[ia] < B[ib] then begin
      write(A{ia], ' ');
      ia:=ia+1;
    end
    else 
      if A[ia] > B[ib] then begin
        write(B{ib], ' ');
        ib:=ib+1;
      end 
      else begin
        write(A{ia], ' ');
        ia:=ia+1;
        ib:=ib+1;
      end;
  while ia <= N do write(A{ia], ' ');
  while ib <= N do write(B{ib], ' ');
end.

Rozwiązanie 2

program Suma(N,A,B);
var ia,ib: integer;
function mniejsze(ia, ib: integer):boolean;
begin
  mniejsze:=false;
  if (ib > N) and (ia <= N) then  mniejsze:=true
  else if (ib <= N) and (ia <= N) then  
    if A[ia] < B[ib] then mniejsze:=true
end;    
begin
  ia:=1; 
  ib:=1; 
  while (ia <= N) or (ib <= N) do 
    if mniejsze(ia,ib) then begin
      write(A{ia], ' ');
      ia:=ia+1;
    end
    else 
      if mniejsze(ib,ia) then begin
        write(B{ib], ' ');
        ib:=ib+1;
      end 
      else begin
         write(A{ia], ' ');
         ia:=ia+1;
         ib:=ib+1;
      end;
end.

Zadanie 7 (Podciąg)

Dane są dwie tablice A typu array[1..N] of integer i B typu array[1..M] of integer, N, M > 1. Napisz program sprawdzający, czy A jest podciągiem B (tzn. czy istnieje funkcja f, rosnąca, z 1..N w 1..M, t. ze A[i]=B[f(i)]).

Rozwiązanie 1

program Podciag(N,A,M,B);
var ia,ib: integer;
    istnieje: boolean;
begin
  if N > M then istnieje:=false
  else begin
    ia:=1;ib:=1;
    while (ia <= N) and (ib <= M) do
      if A[ia] <> B[ib] then ib:=ib+1;
      else begin
        ia:=ia+1;
        ib:=ib+1;
      end;
    istnieje:=(ia>N);
  end;
end.

Zadanie 8 (Odwracanie tablicy)

Dana tablica A typu array[0..N-1] of integer, N > 1. Napisz program odwracający kolejność elementów w A.

Rozwiązanie 1

program Odwracanie(N,A);
var p,k,pom: integer;
begin
  p:=0; k:=N-1;
  while p < k do begin
    pom:=A[p];
    A[p]:=A[k];
    A[k]:=pom;
    p:=p+1;
    k:=k-1;
  end;
end.

Można też odwracać jedynie część tablicy. Zapiszmy to w formie procedury

procedure Odwroc(var A: array[0..N-1] of integer, p,k:integer);
var pom: integer;
begin
  while p < k do begin
    pom:=A[p];
    A[p]:=A[k];
    A[k]:=pom;
    p:=p+1;
    k:=k-1;
  end;
end. 

Zadanie 9 (Przesunięcie cykliczne)

Dana tablica A typu array[0..N-1] of integer, N > 1, i liczba naturalna k > 1. Napisz program realizujący przesunięcie cykliczne w prawo o k pól, czyli przesuwający zawartość pola A[i] na A[(i+k) mod N] dla każdego i < N.

Wskazówka 1

Najprościej rozwiązać to zadanie używając dodatkowej pamięci rozmiaru N.

Rozwiązanie 1

program Przesun1(N,A,k);
var i: integer;
  P: array[0..N-1] of integer;
begin
  for i:=0 to' N-1 do P[(i+k) mod N]:=A[i];
  for i:=0 to' N-1 do A[i]:=P[i];
end.

Wskazówka 2

Można też skorzystać z rozkladu permutacji na cykle. Długość każdego takiego cyklu wynosi nww(N,k) a na dodatek pierwsze nwd(N,k) elementów tablicy należy do różnych cykli. Dodatkowym kosztem jest oczywiście obliczenie nww i nwd.

Rozwiązanie 2

program Przesun2(N,A,k);
var w,d: integer;
begin
  w:=nww(N,k);
  d:=nwd(N,k);
  for i:=0 to d-1 do begin
    akt:=A[i]; 
    nast:=(i+k) mod N;
    for j:=1 to w do begin
      pom:=A[nast];
      A[nast]:=akt;
      akt:=pom;
      nast:=(nast+k) mod N;
    end;
  end;
end.

Wskazówka 3

Można też zauważyć, że przesunięcie cykliczne o k w prawo można zrealizować poprzez trzy odwrócenia pewnych segmentów tablicy.

Rozwiązanie 3

program Przesun3(N,A,k);
begin
  Odwroc(A,0,N-k-1);
  Odwroc(A,N-k,N-1);
  Odwroc(A,0,N-1);
end.

Procedura Odwroc pochodzi z zadania 8.

Zadanie 10 (Następna permutacja)

Tablica A typu array[1..N] of integer zawiera pewną permutację liczb 1.. N. Napisz program wpisujący do A następną leksykograficznie permutację. Zakładamy, że permutacja w A nie jest ostatnia leksykograficznie.

Rozwiązanie 1

program Nastepna_permutacja(N,A);
var i,k,pom: integer;
begin
  i:=N-1;
  while i >= 1 do if A[i] > A[i+1] then i:=i-1;
  if i >= 1 then begin
    k:=N;
    while k >= i do if A[k] < A[i] then k:=k-1;
    pom:=A[i];
    A[i]:=A[k];
    A[k]:=pom;
    Odwroc(A,i,N);
  end;
end.

Najpierw szukamy od tyłu pierwszego elementu, takiego że A[i] < A[i+1] (tu korzystamy z zalożenia że to nie ostatnia permutacja), potem szukamy na prawo od i najmniejszego większego od niego elementu k (uwaga: dużo wygodniej to robic od prawej strony!), potem zamieniamy te elementy i odwracamy kolejność elementów na prawo od i.

Zadanie 11 (Segment o zadanej sumie)

Tablica A typu array[1..N] of integer zawiera tylko liczby dodatnie. Napisz program który dla danego W typu integer sprawdza czy w A istnieje segment o sumie W (czyli czy istnieją p, k takie, że W$=A[p]+...+A[k-1]$).

Rozwiązanie 1

program Segment_o_danej_sumie(N,A,W);
var p,k,suma: integer;
    istnieje: boolean;
begin
  if W < 0 then istnieje:=false 
  else begin
    p:=1; k:=1;
    suma:=A[1];
    while (suma <> W) and (k <= N) do
      if suma < W then begin
        k:=k+1;
        suma:=suma+A[k];
      end
      else begin
        p:=p+1;
        suma:= suma-A[p];
      end;
      istnieje:=(suma=W);
  end;
end.

Zadanie 12 (Głosowanie większościowe)

Dana jest tablica A typu array[1..N] of integer, N > 1. Należy sprawdzić czy jest w niej element wystepujący więcej niż N/2 razy i jeśli tak wskazać go.

Wskazówka 1

Najprościej jest dla każdego elementu policzyć liczbę wystąpień w tablicy. Jest to oczywiście rozwiązanie o kwadratowym koszcie czasowym.

Rozwiązanie 1

program Glosowanie1(N,A);
var i,j,ile,zwyciezca: integer;
begin
  i:=1;
  zwyciezca:=0;
  while (i <= (N div 2) + 1) and (zwyciezca=0)do begin
    ile:=0;
    for j:=1 to N do if A[i]=A[j] then ile:=ile+1;
    if (ile > (N+1) div 2) then zwyciezca:=A[i];
  end;
end.

Wskazówka 2

To zadanie ma też (piękne) rozwiązanie liniowe. Składa się ono z dwu faz. W pierwszej wyznaczamy takie a, że jeśli jest zwycięzca, to jest nim a, w drugiej (banalnej) sprawdzamy czy a wygrał.

Rozwiązanie 2

program Glosowanie2(N,A);
var ile,i,a,kand,zwyciezca: integer;
begin
  kand:=1; 
  a:=A[1];
  ile := 1;
  i := 1;
  while i < N do begin
    i:= i+1;
    if A[i]=a then ile:=ile+1
    else
      if ile > 0 then ile:=ile-1
      else begin
        a:=T[i];
        ile:=1;
      end;
  end;
  ile:=0;
  for i:=1 to do 
    if A[i]=a then ile:=ile+1; 
  if (ile > (N+1)div 2) then 
    zwyciezca:=a 
  else 
    zwyciezca:=0;
end.

Zadanie 13 (Arytmetyka liczb wielocyfrowych)

Liczby wielocyfrowe będą reprezentowane w tablicach typu liczba=array[0..N-1] of integer w taki sposób, że najmniej znacząca cyfra jest pod indeksem 0. Rozpatrujemy liczby przy podstawie b ≥ 1. Napisz procedury obliczające:

• sumę liczb A i B do C. Jeśli wynik nie zmieści się w C to wartość C nie ma znaczenia. Zmienna przepełnienie wskazuje czy do niego doszło czy nie.
• różnicę A i B do C. Jeśli wynik miałby byc liczbą ujemną to wartość C nie ma znaczenia. Zmienna ujemny wskazuje jaki jest znak wyniku.
• iloczyn A i B do C (C powinno być tablicą dwa razy dłuższą niż A i B, żeby móc pomieścić wynik).

Rozwiązanie 1

const N=100; 
  b=10; 
type liczba = array[0..N-1] of integer;
  dwa_liczba = array[0..2N-1] of integer;

procedure Suma(A,B:liczba, var C:liczba, var:przepelnienie:boolean);
var p: integer;
begin
  p:=0;
  for i:=0 to N-1 do begin
    C[i]:=A[i]+B[i];
    if C[i] >= b then begin
      C[i]:=C[i]-b;
      p:=1;
    end
    else p:=0;
  end;
  przepelnienie:=(p=1);
end;

procedure Roznica(A,B:liczba, var C:liczba, var:ujemny:boolean);
var p: integer;
begin
  p:=0;
  for i:=0 to N-1 do begin
    C[i]:=(A[i]-p)-B[i];
    if C[i] < 0 then begin
      C[i]:=C[i]+b;
      p:=1;
    end
    else p:=0;
  end;
  ujemny:=(p=1);
end;

procedure Iloczyn(A,B:liczba, var C:dwa_liczba);
var p,i,j: integer;
begin
  p:=0;
  for i:=0 to 2*N-1 do C[i]:=0;
  for i:=0 to N-1 do begin
    for j:=1 to N-1 do begin
      w:=A[i]*B[j]+p+C[i+j];
      C[i+j]:=w mod b;
      p:=w div b;
    end;
    C[i+n]:=p;
    p:=0;
  end;
end;