PKow

Wyznaczanie wektorów i wartości własnych

Przykład Moj przykład

Tekst

Algorytm Nie robiący nic

---

 Leż

Ćwiczenie: Ciag dalszy

Spróbuj obniżyć koszt wyznaczania $\exp (x)$ dla dużych $x$!

Wskazówka

Rzecz w tym, że dla dużych $x$, trzeba wziąć bardzo dużo wyrazów w szeregu Taylora. Czy można tak wykombinować, by w rezultacie wziąć ich mniej?

Rozwiązanie

Bez zmieniejszenia ogólności, załóżmy, że $x\ge 0$.

Jeśli $x=k+t$, gdzie $t\in [0,1)$, a $k$ jest całkowite, to oczywiście

$e^x=e^{k+t}=e^k{e}^t=e^k\exp (t).$

Tak więc zadanie redukuje się do wyznaczenia $\exp (t)$ dla małego $t$ oraz do co najwyżej $k$ dodatkowych mnożeń potrzebnych do wyznaczenia całkowitej potęgi $e^k$ (ile mnożeń naprawdę wystarczy?). Pamiętaj, przyjęliśmy, że znamy reprezentację numeryczną liczby $e$.

 [Wersja B]
function [y, N] = expb(x, epsilon)
k = floor(x); t = x - k; 
[y, N] = expa(t, epsilon); 
for i = 1:k
 	y *= e;
end
N += (k+2);
end

Wersja B, w której sprytnie redukujemy zadanie do wyznaczania $e^t$ dla $t\in [0,1]$ jest istotnie tańsza.