TTS Moduł 6

W Wykładzie opiszemy elementy mikrofalowe i optyczne, z którymi mamy do czynienie przy projektowaniu i tworzeniu mikrofalowych i optofalowych torów transmisyjnych i pomiarowych. Ich znajomość jest potrzebna przy projektowaniu rozmaitych urządzeń, takich jak nadajniki i odbiorniki w łączach do transmisji danych. Wykład jest opisem działania elementów, bez głębszego wnikania w matematyczny formalizm tego opisu; wiedza tego wykładu ma charakter encyklopedyczny i powinna być łatwo przyswajalna.

---

Kolejne tematy pokazują Czytelnikowi wielką rozmaitość i pomysłowość rozwiązań bardzo zróżnicowanych zadań. Omówione zostaną w kolejności grupy elementów realizujących nastepujące funkcje: połączenie składników torów transmisyjnych podział i sumowanie mocy zmiana amplitudy i fazy sygnałów (tłumiki, regulatory fazy) filtrowanie sygnału Opisane elementy odgrywają wielką rolę w technice transmisji sygnałów dzięki licznym i bardzo rozmaitym zastosowaniom.

---

Funkcje pełnione przez elementy aktywne wzmacnianie sygnałów, wytwarzanie sygnału (generacja), przetwarzanie sygnału (modulacja, mieszanie, detekcja). W strukturach i układach elementów aktywnych spotkamy diody i tranzystory mikrofalowe, umożliwiające realizację opisywanych zadań. Elementy, które opiszemy w tym wykładzie realizują proste i oczywiste funkcje: transmisja mocy z punktu do punktu, podział i sumowanie mocy mikrofalowych, zmiana amplitudy i fazy sygnału, elementy układów: rezystory, kondensatory, filtrowanie sygnałów mikrofalowych i optycznych. Są to elementy pasywne, najczęściej nie wykorzystują układów pólprzewodnikowych, choć ma to miejsce coraz częściej.

---

Większość kabli współosiowych konstruowana jest w taki sposób, aby ich impedancja charakterystyczna wynosiła $Z_0=50\mathrm{\Omega }$. Wyjątkiem są kable telekomunikacyjne, które – ze względu na minimalizację strat – mają impedancję charakterystyczną $Z_0=75\mathrm{\Omega }$. Łączenie ze sobą rozmaitych przyrządów wymaga użycia kabli wyposażonych w jednakowe złącza. Przyrządy wyposażone są zwykle w gniazda wejściowe lub wyjściowe uznanych standardów, umożliwiających wyprowadzenie, albo doprowadzenie sygnałów. Najpopularniejszym jest złącze $N$. Jego prostota, uniwersalność i niezawodność spowodowały, że z biegiem lat złącze $N$ zostało uznane za najlepsze i jest powszechnie stosowane przez konstruktorów mikrofalowej aparatury pomiarowej. Średnica przewodu zewnętrznego linii powietrznej wynosi dla tego standardu 7 mm i dlatego jest rekomendowane do 18 GHz (pamiętamy, że w linii współosiowej można wzbudzić inne poza TEM mody, jeśli częstotliwość sygnału odpowiednio wzrośnie). Wygląd wtyków N i wymiary złącza pokazano na rysunku a). Aby powiększyć częstotliwościowy zakres pracy linii współosiowych opracowano w latach 60-tych złącze SMA, istotnie zminiaturyzowane w stosunku do złącza $N$. Opracowano je dla linii współosiowej o średnicy przewodu zewnętrznego 4,13 mm całkowicie wypełnionej teflonem. Złącza te mogą pracować do 25 GHz. Strukturę złącza SMA pokazano na rysunku b). Połączenie dwóch odcinków linii współosiowej złączem wprowadza niewielkie zaburzenie w propagacji fali. W miarę wzrostu częstotliwości zaburzenie to powoduje istotne odbicia. Odbicia te mogą utrudniać pomiary i być przyczyną błędów. Aby zmniejszyć nieciągłości wprowadzone przez złącze i zminimalizować odbicia opracowano specjalne konstrukcje precyzyjnych złączy APC-7 i APC-3,5 (Amphenol Precision Connector). Są to złącza z rodzaju ”sexless”, umożliwiające połączenie każdego z każdym. Złącze APC-7 opracowano dla średnicy przewodu powietrznego, zewnętrznego 7 mm; zalecane jest do 18 GHz. Złącze APC-3,5 opracowano dla średnicy przewodu powietrznego zewnętrznego 3,5 mm; zalecane jest do 40 GHz. Osobnym problemem jest technika łączenia falowodów. Konstruowane złącza falowodowe to połączenia precyzyjnie wykonanych kołnierzy, w które zaopatrzone są falowody. Kołnierze te skręcane są specjalnie skonstruowanymi śrubami. Przewidziane są także elementy centrujące. Przykład konstrukcji złącza falowodowego pokazano na rysunku c).

---

Połączenie dwóch różnych prowadnic strukturą, która nie wprowadza istotnych odbić jest problemem trudnym, rozwiązywanym w rozmaity sposób. Przykładem jest przejście z linii współosiowej do falowodu prostokątnego, pokazane na rysunku a). Przewód wewnętrzny linii współosiowej jest zakończony antenką pobudzającą falowód. Walec dielektryczny otaczający antenkę ma dobrane wymiary i przenikalność elektryczną dielektryka, aby uzyskać dobre dopasowanie w możliwie szerokim zakresie częstotliwości. Przejście z linii współosiowej na linię mikropaskową pokazano na rysunku b). Przewód wewnętrzny linii współosiowej przylutowany jest do paska linii mikropaskowej, o zmniejszonej szerokości. Mimo prostoty konstrukcji przejście zachowuje się bardzo dobrze w szerokim zakresie częstotliwości.

---

W wielu przypadkach należy połączyć ze sobą światłowody spawając je ze sobą albo bez spawania rdzeni i płaszczy. Stosujemy wtedy precyzyjne złącza mechaniczne, pokazane na rysunku obok. Istnieją także złącza mechaniczne, w których światłowody nie stykają się ze sobą. Przykłady takich złącz pokazano na kolejnym rysunki. Złącza mechaniczne zawsze wprowadzają niewielkie straty mocy optycznej, można je oszacować straty w zależności od rodzaju niedoskonałości połączenia.

---

Teoria obwodów o stałych skupionych opisuje zachowanie elementów i układów elektronicznych budując dla nich obwody zastępcze złożone z elementów $R$, $L$ i $C$. Teoria obwodów o stałych rozłożonych dodaje do arsenału elementów odcinek linii wraz ze zwarciem i rozwarciem. Z drugiej strony chcemy budować obwody pełniące określone funkcje, takie jak obwody dopasowujące, filtry, itp., z elementów, które zachowują się jak $R$, $L$ i $C$. Rezystor $R$ jest elementem, przez który pod napięciem $U$ płynie prąd $I$ w fazie z $U$. Stosunek $U/I$ określony jest prawem Ohma i jego wartość $R$ jest niezależna od $f$. Powstaje pytanie, jak zrealizować rezystor? Na rysunku a) pokazano rezystor utworzony przez nałożenie warstwy rezystywnej na walec ceramiczny. Tak powstały element zachowuje się jak rezystor w szerokim pasmie częstotliwości. Jednakże w ze wzrostem częstotliwości impedancja takiego elementu zmienia się i poprawne opisanie wartości tej impedancji wymaga użycie obwodu zastępczego z dodatkowymi elementami $L$ i $C$. Rezystor pokazany na rysunku b) powstał po nałożeniu warstwy rezystywnej na powierzchnię dysku ceramicznego. Tak skonstruowany rezystor łatwo wmontować do linii współosiowej między przewodem wewnętrznym i zewnętrznym. Na rysunku c) pokazano konstrukcję rezystora planarnego, utworzonego przez nałożenie/napylenie warstwy rezystywnej na dielektryk. Element taki można wmontować w strukturę linii mikropaskowej.

---

Indukcyjność jest elementem, przez który płynie prąd $I$ opóźniony o $90^{\circ }$ w stosunku do napięcia $U$, którego reaktancja jest proporcjonalna do częstotliwości $f$. Elementarną indukcyjność $L$ tworzy odcinek przewodu metalowego, pokazany na rysunku a). Wartość $L$ obliczamy z podanej zależności. Przewody miedziane, lub złote łączące elementy układów mogą być traktowane jako zwarcie tylko dla małych częstotliwości. Indukcyjność prostego przewodu jest niewielka. Strukturę cewki utworzonej przez wiele zwojów, często nawiniętych na rdzeniu z materiału ferrytowego pokazano na rysunku b). Obwód zastępczy takiego elementu jest złożony. Występujące pojemności międzyzwojowe reprezentowane są przez pojemność $C$. Obwód ten ma swoją częstotliwość rezonansową, powyżej której jego impedancja ma charakter pojemnościowy. W wielu przypadkach pojawia się konieczność zastosowania indukcyjności skupionej w układach planarnych. Indukcyjność zrealizowana w strukturze linii mikropaskowej pokazana jest na rysunku c).

---

Kondensator jest elementem, dla którego prąd $I$ wyprzedza napięcie $U$ o $90^{\circ }$, a jego reaktancja, ujemna co do znaku, jest odwrotnie proporcjonalna do częstotliwości. Najprostszym kondensatorem jest kondensator warstwowy, utworzony przez umieszczenie dielektryka o grubości $h$ między płaskimi elektrodami metalowymi o powierzchni $S$ – rysunek a). Pojemność takiej struktury liczy się z dobrze znanego wzoru (4-2): Konstrukcje z rysunku b) to struktura międzypalczasta. Struktury takie pozwalają na realizację niewielkich pojemności. Dobór odpowiedniej pojemności realizuje się zmieniając liczbę „palców”, ich długość i odstęp między nimi.

---

Tłumik jest zwykle dwuwrotnikiem odwracalnym, obustronnie dobrze dopasowanym. Oznacza to, że reflektancje $S_{11}$ i $S_{22}$ w ich macierzy rozproszenia są równe zero $|S_{11}|\cong |S_{22}|=0$ ; . Wartość tłumienia $A_t$ tłumika związana jest z wartością modułu transmitancji $|S_{12}|$ zależnością $A_t=-20log|S_{12}|$ ; Tłumiki regulowane umożliwiają zmianę $|S_{12}|$ płynną lub skokową, na drodze mechanicznej lub elektrycznej. Towarzyszące temu ewentualne zmiany ${\varphi }_{12}$ nie są istotne. Budowane są także tłumiki o stałym tłumieniu. Obustronne dobre dopasowanie oznacza zwykle $WFS<1,5$. Tłumik współosiowy stałe mają często strukturę pokazaną na rysunku a). Dwa rezystory cylindryczne o wartości $R_S$ włączone są szeregowo, a rezystor dyskowy o wartości $R_R$ włączony jest równolegle. Obwód zastępczy takiego tłumika pokazano na rysunku b). Opisana konstrukcja zapewnia dobre dopasowanie i szerokopasmową pracę. We współczesnych Monolitycznych Mikrofalowych Układach Scalonych (MMIC) tłumiki wykonywane są w postaci warstw rezystywnych o mikrometrowych rozmiarach. Przykład konstrukcji pokazuje rysunek c). Obwód zastępczy prostokątnej warstwy może być przedstawiony w postaci obwodu $T$. Tłumienie można dobierać zmieniając rozmiary i grubość warstwy tłumiącej.

---

Dzielniki mocy, sprzęgacze kierunkowe, sprzęgacze hybrydowe są biernymi, najczęściej bezstratnymi trój- lub czterowrotnikami, które w określony, znany sposób dzielą moce fal. Rozgałęzienie typu $T$ o konstrukcji pokazanej na rysunku a) jest trójwrotnikiem, powstałym po naturalnym połączeniu linii współosiowej z drugą linią. Złącze takie jest bezstratne, symetryczne w stosunku do linii dołączonej i niedopasowane. Moc doprowadzona do wrót „1” dzieli się równo miedzy wrotami „2” i „3”, jednakże część mocy zostaje odbita. Rozgałęzienie falowodowe typu H pokazane na rysunku b) jest naturalnym połączeniem dwóch falowodów. Rozgałęzienie to jest bezstratne i symetryczne względem wrót „1”. Cechą charakterystyczną rozgałęzienia H jest podział mocy doprowadzonej do wrót „1”. W ramionach „2” i „3” pobudzone zostają dwie fale o równych mocach i jednakowych fazach w płaszczyznach równo odległych od płaszczyzny symetrii. Podobnie można utworzyć rozgałęzienie falowodowe typu $E$ pokazane. Opisywane rozgałęzienia są bezstratne i fizycznie symetryczne względem wrót „1”.

---

Sprzęgacz falowodowy - magiczne $T$ jest czterowrotnikiem, połączeniem falowodowego rozgałęzienia $E$ i $H$ – rysunek a). Dodatkowo magiczne $T$ zostało we wrotach $H$ i $E$ dopasowane przez dodanie prostych elementów (kołek, przesłona), których działanie nie jest w tym miejscu istotne. Jego właściwości są mastępujące: wrót $H$ i $E$ są dopasowane, przy doprowadzeniu sygnału do wrót $H,1(\sum )$ sygnał dzieli się po połowie między wrota „2” i „3” z zachowaniem równości faz – patrz rozgałęzienie $H$, przy doprowadzeniu sygnału do wrót $E$ moc sygnału dzieli się także po połowie między wrota „2” i „3”, jednakże sygnały są mają przeciwne fazy, wreszcie wrota $H$ i $E$ są od siebie izolowane. Te właściwości rozgałęzienia uzasadniają jego nazwę „Magiczne T”. Element ten wykorzystywano w radarach pierwszych generacji w strukturach mieszaczy. Dzielnik Wilkinsona jest trójwrotnikiem służącym do dzielenia mocy na równe części, choć w specjalnych konstrukcjach podział mocy może być dokonany w innych proporcjach. Dzielnik jest elementem pasywnym, odwracalnym, ale nie bezstratnym – rysunek b). Właściwości dzielnika Wilkinsona są mastępujące: wszystkie wrota dzielnika są dopasowane. moc doprowadzona do wrót „1” dzieli się równo i po połowie między wrota „2” i „3”, wrota 2 i 3 są izolowane, a moc doprowadzona do wrót „2” w połowie wypłynie wrotami „1”, a w połowie zostanie wydzielona w rezystorze $2Z_0$. Dzielnik Wilkinsona wykonywany jest najczęściej z użyciem linii mikropaskowej. Na rysunku c) pokazano wyniki symulacji komputerowe, z której wynika, że w swej najprostszej postaci dzielnik pracuje dobrze w wązkim pasmie częstotliwości.

---

Sprzęgacze 2x2 są ważnymi biernymi elementami optycznymi układów o złożonych funkcjach. Sprzęgacze 2x2 opisuje się macierzą $[C]$. Amplitudy $a$ i $b$ związane są natężeniami pola elektrycznego modu podstawowego rozchodzącego się w światłowodach doprowadzających sygnał optyczny do struktury, w zapisie maierzowym $[b]=[C][a]$. Moce są proporcjonalne do kwadratów modułów. Gdy sprzęgacz jest bezstratny, to parametry $C$ są ze sobą związane.

---

Sprzęgacze planarne o strukturze pokazanej na rysunku a) mają dwie blisko siebie położone światłowody, wzajemnie się pobudzające. Sprzężenie zależy od długości $L$, na której światłowody przebiegają zbliżone do siebie. Przy pewnej długości $L$ moc przechodzi całkowicie z toru górnego do dolnego. Efekt ten już opisano i wykorzystano w przełącznikach. Przy pewnej długości $L$ moc dzieli się po równo, otrzymujemy wtedy sprzęgacz 3 dB. Sprzęgacze w zależności od technologii i użytych typów światłowodów wnoszą straty mocy optycznej do toru, wynoszą one od 0,3 dB do 3 dB.

---

Sprzęgacz kierunkowy jest czterowrotnikiem, w którym części mocy fal w torze głównym, biegnących w przeciwnych kierunkach, wyprowadzane są oddzielnymi wrotami (dlatego nazywany kierunkowym). Sprzęgacz kierunkowy tworzą 2 prowadnice falowe z odpowiednim mechanizmem pobudzania – patrz rysunek. Fala płynie w torze głównym od wrót „1” do „2”, część mocy przepływa do wrót „3”, natomiast wrota „4” są izolowane. Gdy fala płynie w torze głównym od wrót „2” do „1”, to część mocy przepływa do wrót „4”, natomiast wrota „3” są izolowane. Sprzęgacz kierunkowy jest czterowrotnikiem odwracalnym, gdy w fala płynie w torze pomocniczym od wrót „3” do „4”, to część mocy przepływa do wrót „1” w torze głównym, a wrota „2” pozostają izolowane, itd. Kolejne wyrazy macierzy rozproszenia są opatrzone własnymi nazwami. Zanotujmy najpierw, że sprzęgacz kierunkowy winien być dobrze dopasowany we wszystkich wrotach. Sprzężenie sprzęgacza C (coupling) definiowane jest następująco: Izolacja sprzęgacza I (isolation) opisuje transmisję sygnału między wrotami, które powinny być izolowane. W praktyce jednakże izolacja nie jest pełna. Kierunkowość sprzęgacz $D_{dB}$ (directivity) jest bardzo ważnym parametrem, gdyż pokazuje jaka jest różnica między mocami sygnałów we wrotach sprzężonych i izolowanych: Wytwórcy sprzęgaczy kierunkowych podają wartości parametrów w decybelach, a nie jako moduły odpowiednich współczynników macierzy rozproszenia.

---

Na rysunku a) pokazano strukturę wielootworowego falowodowego sprzęgacza kierunkowego. Na pewnym odcinku o długości $(5-10)\lambda$ dwa falowody zbliżone są do siebie, tak, że dzieli je tylko cienka ścianka metalowa (dla falowodu dolnego, głównego, jest to „sufit”, dla falowodu górnego, sprzężonego, jest to „podłoga”). W ściance tej wykonuje się szereg otworów, aby przez otwory te wnikało pole elektryczne z falowodu głównego do falowodu pomocniczego i pobudzało w nim fale rozchodzące się w obie strony. Przyjmijmy, że w torze głównym propagowana jest fala od wrót „1” do wrót „2”. Każdy otwór jest źródłem dwóch fal w torze sprzężonym. Odległości między otworami d równe są $\lambda /4$. W rezultacie fale rozchodzące się w stronę wrót „4” wygaszają się wzajemnie jako skutek interferencji, gdyż posiadają przeciwne fazy. Natomiast fale rozchodzące się w stronę wrót „3” sumują się. Gdy w torze głównym fala propagowana jest od wrót „2” do „1” mechanizm wzbudzania par fal w falowodzie sprzężonym przez każdy otwór jest taki sam. Jednakże teraz różnice faz powodują, że fale rozchodzące się w stronę wrót „3” wzajemnie się znoszą, a fale biegnące w stronę wrót „4” sumują się. Sprzęgacz jest odwracalny, więc role falowodu głównego i sprzężonego można odwrócić. Między parą przewodów linii paskowej TEM występuje naturalne sprzężenie pól EM. Propagacja fali w jednej z linii powoduje wzbudzenie fali w drugiej. Wzbudzenie jest tym silniejsze, im bliżej są linie i im dłuższy jest odcinek zbliżenia. Analiza warunków wzbudzenia sprzęgacza wykazuje możliwość wzbudzenia modu parzystego i modu nieparzystego, co pokazano na rysunkach b) i c). Właściwe dobranie warunków propagacji obu modów pozwala uzyskać dobrą kierunkowość sprzęgacza w wybranym pasmie częstotliwości.

---

Kierunkowe sprzęgacze zbliżeniowe można także realizować na linii mikropaskowej. Sprzęgacz jednosekcyjny pokazano na rysunku a). Gdy moc biegnie w torze głównym od wrót „1” do wrót „2”, to fala wzbudzona w linii sprzężonej wypływa wrotami „4”, a wrota „3” są izolowane. W sprzęgaczu jednosekcyjnym użyteczne pasmo pracy wynosi zwykle $f_{max}/f_{min}\cong 2$, a kierunkowość nie jest duża. W sprzęgaczu trzysekcyjnym pasmo pracy jest istotnie większe, $f_{max}/f_{min}\cong 4$ i także kierunkowości większe. Przykłady ilustrujące wpływ liczby sekcji na parametry możne obejrzeć w załączeniu. Sprzęgacze pierścieniowe konstruowane są na bazie symetrycznej linii paskowej lub linii mikropaskowej. Struktura linii sprzęgacza pierścieniowego pokazana jest na rysunku c). Sygnał doprowadzony do wrót „1($\mathrm{\Delta }$)” dzielony jest po połowie i skierowany w obie strony pierścienia, zgodnie i przeciwnie do kierunku wskazówek zegara. Fale dopływające do wrót „3” pokonują różne drogi i będąc w fazach przeciwnych nie pobudzają prowadnicy wrót „3”. Tak więc wrota „1” i „3” są izolowane. Natomiast zostają pobudzone prowadnice wrót „2” i „4”, gdyż obie fale są w tych wrotach w fazach zgodnych. Sygnał dopływający do wrót „3($\sum$)” także wzbudza dwie fale płynące w przeciwnych kierunkach. Moc tego sygnału wypływa wrotami „2” i „4”, gdyż tam fale mają identyczne fazym natomiast wrota „1” są izolowane.

---

Przy konstrukcji mieszaczy mikrofalowych odkryto zalety sprzęgaczy kwadraturowych. Sprzęgacze kwadraturowe są czterowrotnikami posiadającymi następujące cechy: jedna para wrót pozostaje izolowana, moc wejściowa dzielona jest na połowy,. we wrotach wyjściowych sygnały są przesunięte w fazie o $\pi /2$, Dwa typy sprzęgaczy kwadraturowych są powszechnie stosowane: Sprzęgacz $3dB/90^{\circ }$ Lange’go jest realizowany na linii mikropaskowej i pokazany na rysunku a). Sprzęgacz gałęziowy zrealizowany na linii mikropaskowej pokazano na rysunku b).

---

Wykład poświęcony jest prawie w całości rezonatorom mikrofalowym, elementom o bardzo różnych konstrukcjach i rozmiarach, zwykle wykorzystującym odcinki prowadnic falowych. Jednakże opis zjawiska rezonansu wygodnie jest wprowadzić przez analizę idealnego obwodu rezonansowego o stałych skupionych, pokazanego na rysunku a). Obwód ten nazywany jest szeregowym obwodem rezonansowym. Składa się on z: idealnego źródła napięciowego $U_G$ o rezystancji wewnętrznej $R_G$, szeregowego obwodu rezonansowego $L,C,R$. Przyjmijmy dalej, że źródło napięciowe zmienia swoją częstotliwość $f=\omega /2\pi$, nie zmieniając przy tym wartości amplitudy $|U_G|$. Obliczamy następnie zależność amplitudy prądu $|I|$ płynącego w obwodzie od częstotliwości $f$ otrzymując wykres pokazany na rysunku b). O otrzymanej charakterystyce mówimy, że ma charakter rezonansowy. Maksymalną wartość prądu $|I|$ otrzymujemy dla pulsacji $\omega ={\omega }_0$, zwaną pulsacją rezonansową. Jej wartość zależy od iloczynu $LC$. Dla częstotliwości rezonansowej amplituda prądu w obwodzie osiąga wartość wielokrotnie większą, niż w jej sąsiedztwie. W rezonansie impedancja Z jest czysto rzeczywista $Z=R$, a jej moduł osiąga wartość minimalną. Jednocześnie prąd płynący w obwodzie ma wartość maksymalną. Dla pulsacji rezonansowej ($\omega ={\omega }_0$ i $f=f_0$) obie energie: pola magnetycznego i pola elektrycznego są sobie równe. Charakterystycznym parametrem krzywej rezonansowej z rysunku b) jest jej szerokość $\mathrm{\Delta }f$. Parametr ten związany jest z dobrocią obwodu rezonansowego. Dobroć całkowita $Q_L$ może być zdefiniowana w oparciu o kształt krzywej rezonansowej, bądź w oparciu o parametry obwodowe. Definiowane są także: dobroć własna $Q_0$ i dobroć zewnętrzna $Q_Z$. Związek między trzema zdefiniowanymi dobrociami jest oczywisty: Impedancja szeregowego obwodu rezonansowego może być wyrażona uniwersalną zależnością słuszną dla każdego przypadku.

---

Obwodem dualnym do szeregowego jest równoległy obwód rezonansowy, składający się z idealnego źródła napięciowego $U_G$, $R_G$ i równoległego obwodu rezonansowego $L,C,R$. Odnotowujemy, że dla pulsacji rezonansowej $\omega ={\omega }_0$ admitancja jest rzeczywista $Y=G$, a jej moduł osiąga wartość minimalną. Dla częstotliwości rezonansowej napięcie $|U|$ na obwodzie osiąga wartość maksymalną. Energie zgromadzone w obwodzie: średnia energia pola magnetycznego $W_H$ i średnia energia pola elektrycznego WE są sobie równe dla pulsacji rezonansowej ${\omega }_0$, a ich suma osiąga wtedy wartość maksymalną. Także w tym przypadku charakterystycznym parametrem jest szerokość krzywej rezonansowej jako miara dobroci całkowitej $Q_L$ obwodu. Pozostałe dobrocie własna $Q_0$ i zewnętrzna $Q_Z$ zapisują się podobnymi zależnościami.

---

Rezonatorem lub wnęką rezonansową nazywamy obszar dielektryka otoczonego ściankami metalowymi, lub - w ogólnym przypadku innym dielektrykiem, w którym można wzbudzić pole elektromagnetyczne. W rezonatorze pobudzonym gromadzi się energia pola magnetycznego $W_H$ i elektrycznego $W_E$. Pulsację, dla której $W_H=W_E$ nazywamy rezonansową. Jak w przypadku obwodu o stałych skupionych całkowita energia $W_H+W_E$ zmagazynowana w rezonatorze osiąga dla pulsacji rezonansowej wartość lokalnie maksymalną. Dla rezonatora o określonych wymiarach można określić nieskończenie wiele częstotliwości rezonansowych. Każdej z nich odpowiada inny rozkład/mod pola EM w obszarze rezonatora. Najmniejszą częstotliwość rezonansową nazywamy rezonansem podstawowym. Wyższe częstotliwości rezonansowe nie są na ogół wielokrotnościami podstawowej. Rozważymy teraz sytuację, gdy w rezonatorze wzbudzono pole EM doprowadzając z zewnątrz sygnał o częstotliwości rezonansowej ${\omega }_0$ i zgromadzono energię $W_0$. Następnie rezonator "odcięto" od źródła przerywając wzbudzenie. Straty w ściankach metalowych i dielektryku powodują wykładniczy zanik energii. Szybkość zaniku energii w rezonatorze jest miarą jego dobroci własnej $Q_0$. Gdy rezonator nie został "odcięty" od źródła energia zanika szybciej, gdyż część z niej wypływa na zewnątrz. Szybkość zaniku energii w tym przypadku jest miarą jego dobroci całkowitej $Q_L$. Należy pamiętać, że dla każdego modu wartości dobroci rezonatora są inne.

---

Rezonator mikrofalowy, aby pełnił swoją funkcję, jest zwykle jako sprzężony z prowadnicą falową. W najprostszym przypadku stanowi zakończenie prowadnicy falowej i tworzy w ten sposób jednowrotnik. Rezonator taki nazywamy sprzężonym odbiciowo lub krótko odbiciowym. Aby dobrać odpowiednią formę opisu takiego przypadku przeprowadzimy doświadczenie: Na końcu falowodu prostokątnego umieszczono rezonator prostopadłościenny z otworem sprzęgającym – rysunek a). W szerokim pasmie częstotliwości powyżej częstotliwości granicznej mierzymy współczynnik odbicia tak skonstruowanego jednowrotnika. Wynik pomiaru pokazano na rysunku b). Istnienie „dolinek” na charakterystyce mocy odbitej na rys.6.4b oznacza, że rezonator został pobudzony w pasmach częstotliwości wokół $f_{01},f_{02},...$

---

Przy zmianie częstotliwości w szerokich granicach kolejne obwody przechodzą przez rezonans. Poza rezonansem każdy z obwodów zachowuje się jak zwarcie, jeśli tylko jego dobroć jest odpowiednio duża. Tak więc, ograniczając rozważania do stosunkowo wąskiego pasma częstotliwości wokół jednej z częstotliwości rezonansowych, można uprościć obwód zastępczy pozostawiając jeden obwód rezonansowy. Przekładnia n idealnego transformatora jest oczywiście funkcją częstotliwości. W wąskim pasmie częstotliwości, dla jednego określonego rodzaju pola, wartość $n$ można jednak uznać za stałą. Na rysunku b) pokazano rozkład modułu napięcia $|U(l)|$ wzdłuż prowadnicy falowej, gdy rezonator jest odstrojony od rezonansu. Położenia minimum tego napięcia wyznaczają tzw. płaszczyzny zwarcia przy odstrojeniu. Jedną z nich może być płaszczyzna odniesienia $T$ dla równoległego obwodu rezonansowego, gdyż obwód taki daleko od rezonansu staje się zwarciem. Innego rodzaju płaszczyzny odniesienia wyznaczają maksima rozkładu $|U(l)|$. Są to tzw. płaszczyzny rozwarcia przy odstrojeniu. Ponieważ szeregowy obwód rezonansowy zachowuje się daleko od rezonansu jak rozwarcie, to w tej płaszczyźnie odniesienia może on być obwodem zastępczym rezonatora. Oba rodzaje obwodów zastępczych rezonatora: równoległy i szeregowy przedstawiono odpowiednio na rysunkach c) i d). W obwodach tych nie ma już idealnego transformatora reprezentującego układ sprzężenia rezonatora z prowadnicą, gdyż wszystkie elementy obwodu przetransformowano na stronę prowadnicy falowej. Wybór jednego z obwodów zastępczych jest kwestią wygody.

---

Współczynnik odbicia $\mathrm{\Gamma }(f)$ rezonatora sprzężonego odbiciowo tworzy na wykresie Smitha charakterystyczny okrąg. Dokładniej mówiąc wykresem funkcji $\mathrm{\Gamma }(f)$ na płaszczyźnie zespolonej jest okrąg „zaczepiony” w punkcie Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle –1\,} , o średnicy $D$. Okrąg taki pokazano na rysunku.Zauważmy, że okrąg admitancji pokrywa się z okręgiem stałej konduktancji $-1/\beta$. Obraz okręgu reflektancji na wykresie Smith’a dużo mówi i parametrach rezonatora, współczynniku sprzężenia, płaszczyźnie odniesienia, innych rezonansach, itp.. Zgodnie z opisanym modelem okrąg współczynnika $\mathrm{\Gamma }(f)$ rezonatora, mierzonego w płaszczyźnie zwarcia przy odstrojeniu, winien być zaczepiony w punkcie Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle –1\,} i styczny do okręgu $|\mathrm{\Gamma }|=1$. Występujące często straty w obwodzie sprzężenia powodują przesunięcie okręgu $\mathrm{\Gamma }(\alpha )$ do wnętrza okręgu $|\mathrm{\Gamma }|=1$.

---

Rezonator mikrofalowy może być sprzężony z dwiema takimi samymi, lub różnymi prowadnicami. Rezonator staje się wtedy dwuwrotnikiem i mówimy, że jest włączony transmisyjnie. Na rysunku a) pokazano strukturę przewodu linii mikropaskowej, którą użyto do wykonania rezonatora. Linia mikropaskowa tworząca pierścień jest rezonatorem. Po obu stronach pierścienia umieszczono linie mikropaskowe rozwarte. Pole elektryczne w sąsiedztwie rozwarcia może pobudzić rezonator i wtedy na wyjściu drugiej linii pojawi się sygnał. Aby dobrać odpowiednią formę opisu takiego przypadku przeprowadzimy doświadczenie. W szerokim pasmie częstotliwości mierzymy odpowiednie stosunki mocy, aby wyznaczyć moduły reflektancji i trasmitancji tak skonstruowanego dwuwrotnika. Wynik pomiaru pokazano na rysunku b). Rozwiążemy teraz kolejny problem znalezienia odpowiedniej formy opisu obwodowego takiego rezultatu pomiaru. Ten sposób włączenia rezonatora charakteryzuje się tym, że przesyłanie mocy miedzy wrotami odbywa się jedynie w przypadku pobudzenia rezonatora, to znaczy w sąsiedztwie częstotliwości rezonansowej. Istnienie na charakterystykach „górek” transmisji i „dolin” mocy odbitej oznacza, że rezonator został pobudzony.

---

Do opisania zachowania rezonatora możemy użyć dwa typy obwodów zastępczych: z obwodami RLC szeregowymi i równoległymi. Przyjmując, że dla każdego modu wprowadzimy jeden obwód RLC, to pełny obwód zastępczy staje się złożony (zapraszamy do komentarza). Ograniczymy rozważania do pasma częstotliwości wokół wybranej częstotliwości rezonansowej. Obwód zastępczy upraszcza się wtedy do postaci pokazanej na rysunku a) i b). Rezonator włączony transmisyjnie sprzężony jest z dwiema prowadnicami falowymi, dlatego należy zdefiniować dwa współczynniki sprzężenia, zwykle różnej wartości. Dobrocie definiujemy tradycyjnie.

---

Filtry pasywne (istnieją też aktywne) są dwuwrotnikami zawierającymi elementy skupione (indukcyjności, pojemności) oraz odcinki prowadnic falowych o dobranej topologii, aby: przepuszczać możliwie bez tłumienia sygnały w wybranym pasmie częstotliwości, tłumić silnie sygnały poza wybranym pasmem częstotliwości. W zależności od pełnionej funkcji filtry dzielimy na: dolnoprzepustowe, górnoprzepustowe, środkowo-przepustowe, środkowo-zaporowe. Pokazane na rysunkach charakterystyki podstawowych rodzajów filtrów wyjaśniają ich nazwy.

---

Podstawowa teoria filtrów opisuje filtry dolnoprzepustowe. Popularnym jest filtr o charakterystyce maksymalnie płaskiej - Butterworth’a. Ważnym parametrem filtru jest „stromość” jego charakterystyki w obszarze przejścia z pasma o małym tłumieniu do pasma o tłumieniu dużym. Zgodnie z teorią „stromość” charakterystyki rośnie z liczbą elementów. Teoria filtru o charakterystyce zafalowanej, z jednakowymi maksymalnymi odchyleniami oparta została o teorię wielomianów Czebyszewa. Charakterystykę taką pokazano na rysunku. Filtry tego rodzaju nazywane są filtrami o charakterystyce Czebyszewa. Wielomian $T_N$ charakterystyczny jest tym, że dla zakresu pulsacji $\omega /{\omega }_C\le 1$ jego wartość mieści się w granicach $-1<T_N(\omega /{\omega }_C)<1$, natomiast poza tym zakresem, dla $\omega /{\omega }_C>1$ wartość $T_N(\omega /{\omega }_C)$ rośnie monotonicznie. W zakresie pulsacji $\omega /{\omega }_C\le 1$ wartość funkcji $T_N(\omega /{\omega }_C)$ „faluje”, a wartość zafalowań może być kontrolowana.

---

Podstawową strukturę filtru prototypu dolnoprzepustowego pokazano na rysunku a). Wartości $L_1,C_1,...,L_n,C_n$ zależą od liczby par elementów i są znormalizowane dla $\omega =1$ i $R_G=R_L=1$. Rzeczywiste wartości $L$ i $C$ otrzymuje się po właściwym przeskalowaniu. Znając elementy dolnoprzepustowego filtru prototypu można obliczyć elementy każdego innego filtru jeżeli tylko znamy jego pasmo pracy. Na rysunku b) pokazano zasadę wymienności elementów filtru. Odpowiednia zamiana elementów $L$ i $C$ czyni z filtru dolnoprzepustowego filtr górnoprzepustowy. Zastąpienie elementów $L$ i $C$ w filtrze D-P przez obwody rezonansu szeregowego i równoległego prowadzi do charakterystyk filtrów pasmowo-przepustowego i środkowo-zaporowego. Wartości elementów obwodów rezonansowych otrzymuje się ze wzorów i po przeskalowaniu. Dla przykładu na rysunku c) pokazano strukturę filtr pasmowo-przepustowego, (albo środkowoprzepustowego), powstałego z przetransformowania dolnoprzepustowego. Wiemy, że charakterystyki obwodów rezonansowych, a najogólniej rezonatorów są selektywne, szybko zmieniają się wokół częstotliwości rezonansowej. Filtry są także strukturami rezonansowymi, ale bardziej złożonymi. Kształt ich charakterystyk można w pewnym stopniu komponować, dopasowywać do potrzeb.

---

Rezonator półfalowy jest odcinkiem linii współosiowej zwartej na obu końcach. Rezonator taki może być częściowo, lub całkowicie wypełniony dielektrykiem. Warunek rezonansu dla takiego rezonatora zapisuje się prostym wzorem. Najmniejszą, podstawową częstotliwość rezonansową otrzymujemy dla $n=1$. Kolejne częstotliwości rezonansowe są wielokrotnościami podstawowej: Na rysunku a) pokazano strukturę i wymiary rezonatora półfalowego. Na rysunku b) pokazano rozkład pola elektrycznego wzdłuż osi rezonatora. Pole elektryczne zanika w miejscu umieszczenia zwarcia. Warunek rezonansu oznacza, że wzdłuż osi rezonatora odkłada się całkowita (n) ilość "połówek" fali. Na rysunku c) pokazano rozkład pola elektrycznego dla kolejnych rezonansów, $n=2$ i $n=3$.

---

Rezonator ćwierćfalowy jest odcinkiem linii współosiowej zwartym na jednym końcu, a na drugim rozwartym – rysunek a). Koniec rozwarty przechodzi zwykle w cylindryczny falowód podkrytyczny, aby promieniowanie fali elektromagnetycznej nie powiększało strat rezonatora. Dla takiej struktury warunek rezonansu zapisze się prostą zależnościa. Dla n=1 częstotliwość rezonansowa jest najmniejsza. Kolejne częstotliwości rezonansowe obliczyć można ze wzoru. Na rysunku b) pokazano rozkład natężenia pola elektrycznego dla modu podstawowego. Kolejne mody dla $n=3$ i $n=5$ pokazano na rysunku c). Wzdłuż osi rezonatora dokłada się całkowita, nieparzysta ilość $(n)$ „ćwiartek” fali. Struktury rezonatorów półfalowego i ćwierćfalowego są zamknięte i Czytelnik zastanawia się jak pobudzić taki odcinek linii współosiowej. Pobudzanie rezonatora współosiowego należy skonstruować w taki sposób, aby wzbudzić żądany mod bez wzbudzenie modów niepożądanych. Realizuje się to bądź sondą/antenką umieszczoną w maksimum pola elektrycznego, bądź pętlą umieszczoną w maksimum pola magnetycznego.

---

Rezonatory można także wykonywać w oparciu o linię mikropaskową. Ze względu na użyty dielektryk linia mikropaskowa ma stosunkowo duże straty. Także w przypadku rezonatorów straty na promieniowanie zaczynają odgrywać istotną rolę. Dlatego nie należy oczekiwać dużych dobroci tak realizowanych rezonatorów (zwykle $Q_0<1000$). Jednakże w wielu przypadkach użycie tego typu prowadnicy jest konieczne. Najprostszą strukturę tworzy odcinek linii mikropaskowej o długości $l$, rozwarty na obu końcach, który jest rezonatorem półfalowym. Na rysunku a) pokazano najprostszy przypadek rezonatora półfalowego, sprzężonego z dwiema prowadnicami falowymi. Na rysunku b) rezonator półfalowy może być pobudzony przez sygnał z linii mikropaskowej, którą oddziela od rezonatora wąska szczelina. W obu ostatnich przypadkach rezonator sprzężony jest odbiciowo. Rezonator pierścieniowy utworzony jest przez zamknięty odcinek linii mikropaskowej, jak pokazano na rysunku c). Fale propagowane są w obie strony, dlatego czasami struktura taka nazywana jest rezonatorem z falą bieżącą. W omawianym przypadku rezonator włączony jest transmisyjnie, gdyż jego struktura wraz z dwoma prowadnicami tworzy symetryczny dwuwrotnik. Rezonator pierścieniowy można także budować wykorzystując inne typy prowadnic falowych: np. falowód prostokątny.

---

Miniaturyzacja układów mikrofalowych wykonywanych w technologiach planarnych uniemożliwia wykorzystanie rezonatorów falowodowych o dużych dobrociach. Ponieważ rezonatory wykonane na bazie linii mikropaskowej nie osiągają dużych dobroci, to poszukiwano innych rozwiązań. Takim rozwiązaniem stał się rezonator dielektryczny, który jest dyskiem wykonanym z dielektryka o dużej przenikalności elektrycznej $ϵr=30...100$. Struktura jest całkowicie otwarta i nie ma żadnej ścianki metalowej. Rezonator dielektryczny jest strukturą wielomodową. Podstawowym modem rezonansowym jest $T{E}_{01\delta }$. Rozkład pola EM dla tego modu pokazano na rysunku c). Duża rozmaitość wyższych modów utrudnia ich kontrolę. Dobrocie własne $Q_0$ rezonatorów są stosunkowo duże, w granicach $3000...8000$. Rezonator dielektryczny dobrze sprzęga się z linią mikropaskową. Pole magnetyczne otaczające pasek wnika do obszaru rezonatora i wzbudza pole elektryczne. Oczywiście wzbudzenie jest możliwe tylko wokół częstotliwości rezonansowej. Wielką zaletą rezonatorów dielektrycznych jest możliwość stabilizacji termicznej ich częstotliwości rezonansowej. Częstotliwość rezonansowa rezonatora, w ogólnym przypadku, jest funkcją jego rozmiarów i przenikalności elektrycznej  dielektryka, z którego jest zrobiony. Zwykle z temperaturą rosną liniowo rozmiary rezonatora, a jego częstotliwość rezonansowa maleje, gdyż . Wzrost przenikalności względnej r powoduje także malenie częstotliwości, gdyż . Jednakże znane są materiały dielektryczne, wśród których wartość pochodnej można dobierać dodatnią „+” lub ujemną „-”. W rezultacie zmiany przenikalności r mogą kompensować zmiany wymiarów rezonatora i częstotliwość rezonansowa rezonatora dielektrycznego może być niezależna od temperatury.

---

---

---

---

---

---

---

---