Analiza matematyczna 1/Wykład 2: Funkcje elementarne

Funkcje elementarne

Przypominamy własności funkcji znanych ze szkoły (funkcja liniowa, homograficzna, wielomianowa, wykładnicza, funkcje trygonometryczne). Definiujemy funkcje hiperboliczne. Rozważamy podstawowe własności funkcji odwrotnych.

Funkcje różnowartościowe. Funkcje monotoniczne

Z wykładu z teorii mnogości wiemy, że funkcja różnowartościowa jest bijekcją na swój zbiór wartości. Wiemy także, że relacja odwrotna do bijekcji $f:X\mapsto f(X)$ jest funkcją i to funkcją różnowartościową określoną na $f(X)$ o wartościach w zbiorze $X$.

Definicja 2.1.

Niech $A\subset X$ i niech $f:X\mapsto Y$. Zacieśnieniem (inaczej: zawężeniem lub restrykcją) funkcji $f$ do zbioru $A$ nazywamy funkcję $f_{|A}:A\mapsto Y$ równą funkcji $f$ na zbiorze $A$, tzn. $\mathrm{\forall }x\in A:f_{|A}(x)=f(x)$.

Definicja 2.2.

Niech $f:X\mapsto Y$ będzie funkcją. Mówimy, że funkcja $g:Y\mapsto X$ jest funkcją odwrotną do funkcji $f$, jeśli dla dowolnego elementu $x\in X$ zachodzi równość $g(f(x))=x$ i dla dowolnego elementu $y\in Y$ zachodzi równość $f(g(y))=y$.

Funkcję odwrotną do funkcji $f:X\mapsto Y$ będziemy oznaczać często symbolem $f^{-1}:Y\mapsto X$, o ile nie prowadzi to do nieporozumienia. Należy odróżniać pojęcie funkcji odwrotnej od odwrotności funkcji, gdzie przez odwrotność funkcji $f:X\mapsto \mathbb{ℝ}$ rozumiemy funkcję $\frac{1}{f}:X\ni x\mapsto \frac{1}{f(x)}\in \mathbb{ℝ}$.

Uwaga 2.3.

Niech $f,g:\mathbb{ℝ}\mapsto \mathbb{ℝ}$ będą funkcjami jednej zmiennej. Jeśli $g$ jest funkcją odwrotną do $f$, to w prostokątnym układzie współrzędnych $XOY$ wykres funkcji $g$ jest obrazem wykresu funkcji $f$ w symetrii osiowej względem prostej $y=x$.

Definicja 2.4.

Mówimy, że funkcja $f:\mathbb{ℝ}\mapsto \mathbb{ℝ}$ jest rosnąca (odpowiednio: ściśle rosnąca) w przedziale $(a,b)$, jeśli

$\mathrm{\forall }x,y\in (a,b):x<y⟹f(x)\le f(y)$

(odpowiednio: $\mathrm{\forall }x,y\in (a,b):x<y⟹f(x)<f(y).$)

Definicja 2.5.

Mówimy, że funkcja $f:\mathbb{ℝ}\mapsto \mathbb{ℝ}$ jest malejąca (odpowiednio: ściśle malejąca) w przedziale $(a,b)$, jeśli

$\mathrm{\forall }x,y\in (a,b):x<y⟹f(x)\ge f(y)$

(odpowiednio: $\mathrm{\forall }x,y\in (a,b):x<y⟹f(x)>f(y).$)

Definicja 2.6.

Mówimy, że funkcja jest monotoniczna w przedziale, jeśli w tym przedziale jest rosnąca albo malejąca.

Przykład 2.7.

Funkcja $x\mapsto \mathrm{t}\mathrm{g}x$ rośnie w każdym z przedziałów postaci $(-\frac{\pi }{2}+k\pi ,\frac{\pi }{2}+k\pi )$ nie jest jednak rosnąca w sumie przedziałów $(-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2})\cup (\frac{\pi }{2},\frac{3\pi }{2})$. Weźmy bowiem np. argumenty $x=\frac{\pi }{4}$, $y=\frac{3\pi }{4}$. Wówczas $x<y$, ale $\mathrm{t}\mathrm{g}x=1>-1=\mathrm{t}\mathrm{g}y$.

Uwaga 2.8.

Jeśli $g:(c,d)\mapsto (a,b)$ jest funkcją odwrotną do funkcji $f:(a,b)\mapsto (c,d)$, to

• jeśli $f$ jest rosnąca, to $g$ jest także rosnąca;
  
• jeśli $f$ jest malejąca, to $g$ jest również malejąca.
  

Krótko: funkcja odwrotna do funkcji rosnącej jest rosnąca, a odwrotna do malejącej - malejąca.

Przegląd funkcji jednej zmiennej rzeczywistej

Definicja 2.9.

Niech $a,b$ będą dowolnymi liczbami rzeczywistymi. Funkcję $x\mapsto ax+b$ nazywamy funkcją afiniczną.

Rysunek am1w02.0010

Uwaga 2.10.

• Wykresem funkcji afinicznej jest prosta.
  
• Funkcja $f(x)=ax+b$ jest ściśle rosnąca, gdy $a>0$ i ściśle malejąca, gdy $a<0$. Jest bijekcją zbioru $\mathbb{ℝ}$ na zbiór $\mathbb{ℝ}$, gdy $a\ne 0$.
  
• Funkcja odwrotna do funkcji afinicznej jest funkcją afiniczną.
  
• Złożenie funkcji afinicznych jest funkcją afiniczną.

Definicja 2.11.

Niech $a,b,c,d$ będą dowolnymi liczbami rzeczywistymi takimi,że $ad-bc\ne 0$. Funkcję $x\mapsto \frac{ax+b}{cx+d}$ nazywamy funkcją homograficzną lub - krótko - homografią.

Rysunek am1w02.0030

Uwaga 2.12.

• Funkcja afiniczna jest szczególnym przypadkiem funkcji homograficznej.
  
• Wykresem funkcji homograficznej $f$ jest prosta (jeśli $f$ jest afiniczna) lub hiperbola (jeśli $f$ nie jest afiniczna).
• Funkcja odwrotna do homografii jest homografią.
  
• Złożenie homografii jest homografią.

Definicja 2.13.

Niech $a$ będzie stałą, niech $n=0,1,2,3,...$ będzie liczbą

całkowitą nieujemną, a $x$ - zmienną. Wyrażenie algebraiczne $a{x}^n$ nazywamy jednomianem zmiennej $x$. Jeśli $a\ne 0$,to liczbę $n$ nazywamy stopniem jednomianu $a{x}^n$. Sumę $w(x)=0_0+a_{1}x+a_2{x}^2+...+a_n{x}_n$ skończonej liczby jednomianów zmiennej $x$ nazywamy wielomianem zmiennej $x$. Największy ze stopni tych jednomianów, nazywamy stopniem wielomianu.

<flash>file=Am1w02.0050.swf|width=375|height=375</flash> <div.thumbcaption>Am1w02.0050

<flash>file=Am1w02.0070.swf|width=375|height=375</flash> <div.thumbcaption>Am1w02.0070

Animacja am1w02.0060

Definicja 2.14.

Funkcję $x\mapsto w(x)=a_0+a_{1}x+a_2{x}^2+...+a_n{x}_n$ nazywamy funkcją wielomianową lub - krótko - wielomianem.

Uwaga 2.15.

• Suma oraz iloczyn wielomianów jest wielomianem.
  
• Złożenie funkcji wielomianowych jest funkcją wielomianową.
  

Wykażmy użyteczne oszacowanie z dołu wielomianu $x\mapsto (1+x{)}^n$ za pomocą funkcji afinicznej $x\mapsto 1+nx$.

Jakob Bernoulli (1654-1705)
Zobacz biografię

Uwaga 2.16. [nierówność Bernoullego]

Dla dowolnej liczby całkowitej nieujemnej $n=0,1,2,3,...$ i dowolnej liczby rzeczywistej $x\ge -1$ zachodzi nierówność

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle (1+x)^n\ \geq\1+nx, }

przy czym dla $n>1$ równość w powyższej nierówności zachodzi wyłącznie dla $x=0$.

Dowód

Zauważmy, że nierówność zachodzi dla $n=0$ i $n=1$. Wykażemy, że dla dowolnej liczby naturalnej $k\ge 1$prawdziwa jest implikacja

$[\mathrm{\forall }x>-1:(1+x{)}^k\ge 1+kx]⟹[\mathrm{\forall }x>-1:(1+x{)}^{k+1}\ge 1+(k+1)x].$

Mamy bowiem:

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\aligned”): {\displaystyle \displaystyle \aligned (1+x)^{k+1}&=(1+x)(1+x)^k\\ &\geq (1+x)(1+kx)=1+(1+k)x+kx^2 \\ &\geq 1+(1+k)x.\endaligned }

Na mocy zasady indukcji matematycznej nierówność zachodzi więc dla każdej liczby całkowitej nieujemnej $n=0,1,2,3,...$. Zauważmy, że składnik $x\mapsto k{x}^2$ dla $k\ge 1$ zeruje się wyłącznie w punkcie $x=0$, stąd nierówność Bernoullego jest ostra poza tym punktem, a jedynie dla $x=0$ zachodzi równość w tej nierówności.

<flash>file=Am1w02.0080.swf|width=375|height=375</flash>

<div.thumbcaption>Am1w02.0080

Definicja 2.17.

Niech $n\in \{2,3,4,...\}$ będzie liczbą naturalną większą od jedności. Liczbę nieujemną $y$ nazywamy pierwiastkiem arytmetycznym stopnia $n$ z liczby nieujemnej $x$, jeśli $x^n=y.$ Pierwiastek stopnia $n$ z liczby $x\ge 0$ oznaczamy symbolem Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\root”): {\displaystyle \displaystyle \root{n}\of{x}} .

Uwaga 2.18.

• Funkcja $x\mapsto x^n$ jest różnowartościowa wtedy i tylko wtedy, gdy $n$ jest liczbą nieparzystą.
  
• Jeśli $n>0$ jest parzystą liczbą naturalną, to zacieśnienie funkcji $f(x)=x^n$ do przedziału $[0,\mathrm{\infty })$ jest funkcją różnowartościową. Funkcją odwrotną do niej jest funkcja pierwiastek stopnia Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\root”): {\displaystyle \displaystyle n g(x)=\root{n}\of{x}} określona na przedziale $[0,\mathrm{\infty })$ o wartościach w $[0,\mathrm{\infty })$.
  
• Jeśli $n>0$ jest nieparzystą liczbą naturalną, to funkcja $f(x)=x^n$ jest różnowartościowa na przedziale $(-\mathrm{\infty },+\mathrm{\infty })$. Funkcją odwrotną do niej jest funkcja

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle g(x) \ =\ \left\{ \aligned \root{n}\of{x}, \text{ dla } x\geq 0\\ -\root{n}\of{-x}, \text{ dla } x< 0 \endaligned \right . }

Uwaga 2.19.

Jeśli $n$ jest liczbą naturalną nieparzystą,często używa się symbolu pierwiastka arytmetycznego do oznaczenia funkcji odwrotnej do funkcji $f(x)=x^n$ i oznacza się ją krótko Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\root”): {\displaystyle \displaystyle g(x)=\root{n}\of{x}} , przy czym sens tego symbolu dla liczb rzeczywistych ujemnych określa się jak powyżej.

Funkcja wykładnicza i logarytmiczna

<flash>file=Am1w02.0100.swf|width=375|height=375</flash>

<div.thumbcaption>Am1w02.0100

Definicja 2.20

Niech $a>0$ będzie dowolną dodatnią liczbą rzeczywistą. Funkcję $x\mapsto a^x$ określoną na zbiorze liczb rzeczywistych nazywamy funkcją wykładniczą o podstawie $a$.

Uwaga 2.21.

• Jeśli $a>0,a\ne 1$, funkcja wykładnicza $x\mapsto a^x$ jest bijekcją zbioru $\mathbb{ℝ}$ na przedział $(0,\mathrm{\infty })$. Nie zeruje się w żadnym punkcie swojej dziedziny.

Rysunek am1w02.0090

• Jeśli $a>1$, funkcja $x\mapsto a^x$ jest ściśle rosnąca, jeśli zaś $0<a<1$, jest ściśle malejąca.

• Jeśli $a=1$, funkcja $x\mapsto a^x$ jest stała.

Definicja 2.22.

Niech $a\in (0,1)\cup (1,\mathrm{\infty })$ będzie dowolną liczbą rzeczywistą dodatnią, różną od jedności. Funkcję odwrotną do funkcji $x\mapsto a^x$ nazywamy funkcją logarytmiczną o podstawie $a$ i oznaczamy $x\mapsto {\log }_{a}x$.

Na ogół pomija się indeks $a$ w oznaczeniu logarytmu liczby $x$ i pisze się krótko $\log x$. Zwróćmy jednak uwagę na fakt, że w zależności od dziedziny nauki, czy techniki, symbol ten może oznaczać logarytmy o różnych podstawach. I tak informatycy na ogół posługują się tym symbolem mając na myśli logarytm o podstawie 2, tzn. $\log x={\log }_{2}x$. Z kolei w naukach technicznych symbol $\log x={\log }_{10}x$ oznacza przeważnie logarytm dziesiętny. Natomiast matematycy posługują się najczęściej logarytmem o podstawie $e=2,71828182846...$ (do definicji i własności tej ważnej stałej powrócimy w następnych modułach). Stąd często w pracach matematycznych symbol $\log x={\log }_{e}x$ oznacza właśnie logarytm o podstawie $e$. My jednak, aby uniknąć nieporozumień, logarytm o podstawie $e$ będziemy oznaczać osobnym symbolem $\ln x$.

Definicja 2.23.

Symbolem $\exp x$ będziemy oznaczać potęgę $e^x$.

<flash>file=Am1w02.0120.swf|width=375|height=375</flash>

<div.thumbcaption>Am1w02.0120

Definicja 2.24.

Logarytmem naturalnym z liczby dodatniej $x$ nazywamy liczbę $\ln x={\log }_{e}x$.

Uwaga 2.25.

• Jeśli $a>0,a\ne 1$, funkcja logarytmiczna $x\mapsto {\log }_{a}x$ jest bijekcją przedziału $(0,\mathrm{\infty })$ na zbiór $\mathbb{ℝ}$.

Rysunek am1w02.0110

• Jeśli $a>1$, funkcja $x\mapsto {\log }_{a}x$ jest ściśle rosnąca, jeśli zaś $0<a<1$, jest ściśle malejąca.

• Jedynym miejscem zerowym funkcji logarytmicznej $x\mapsto {\log }_{a}x$ jest punkt $x=1$.

• Jeśli $a>1$, to logarytm ${\log }_{a}x$ jest dodatni w przedziale $(1,\mathrm{\infty })$ i jest ujemny w przedziale $(0,1)$. Jeśli zaś $0<a<1$, to logarytm ${\log }_{a}x$ jest ujemny w przedziale $(1,\mathrm{\infty })$ i jest dodatni w przedziale $(0,1)$.

Przypomnijmy jeszcze parę tożsamości, z których często będziemy korzystać.

Uwaga 2.26.

• Dla $a>0$, $x,y\in \mathbb{ℝ}$ zachodzą równości

$(a^x{)}^y=a^{xy}$ oraz $a^x{a}^y=a^{x+y}.$

• Dla dodatnich liczb $a,b,c$, $a\ne 1$, $c\ne 1$ prawdziwy jest wzór na zmianę podstawy logarytmu

${\log }_{a}b=\frac{{\log }_{c}b}{{\log }_{c}a},$

w szczególności, gdy $c=e$, mamy równość

${\log }_{a}b=\frac{\ln b}{\ln a}.$

• Dla dowolnej liczby $b\in \mathbb{ℝ}$ i dodatnich $a>0$, $c>0$ zachodzi równość

$a^b=c^{b{\log }_{c}a},$

która w szczególnym przypadku, gdy $c=e$, ma postać

$a^b=\exp (b\ln a).$

Funkcje trygonometryczne i funkcje cyklometryczne

Przypomnijmy kilka własności funkcji trygonometrycznych sinus, cosinus, tangens i cotangens. Żadna z nich nie jest różnowartościowa w swojej dziedzinie.

<flash>file=Am1w02.0140.swf|width=375|height=375</flash> <div.thumbcaption>Am1w02.0140

<flash>file=Am1w02.0150.swf|width=375|height=375</flash> <div.thumbcaption>Am1w02.0150

Uwaga 2.27.

• Funkcja $f(x)=\sin x$ zacieśniona do przedziału $[-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}]$ jest różnowartościowa, ściśle rosnąca.
  
• Funkcja $f(x)=\cos x$ zacieśniona do przedziału $[0,\pi ]$ jest różnowartościowa, ściśle malejąca.
  

• Funkcja $f(x)=\mathrm{t}\mathrm{g}x$ zacieśniona do przedziału $(-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2})$ jest różnowartościowa, ściśle rosnąca.
  

• Funkcja $f(x)=\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{g}x$ zacieśniona do przedziału $(0,\pi )$ jest różnowartościowa, ściśle malejąca.

<flash>file=Am1w02.0160.swf|width=375|height=375</flash> <div.thumbcaption>Am1w02.0160

<flash>file=Am1w02.0170.swf|width=375|height=375</flash> <div.thumbcaption>Am1w02.0170

Pamiętamy również, że zachodzi

Twierdzenie 2.28.

Dla dowolnej liczby rzeczywistej $x$ suma kwadratów cosinusa i sinusa jest równa jedności, tzn. $\mathrm{\forall }x\in \mathbb{ℝ}:{\cos }^{2}x+{\sin }^{2}x=1$.

Tożsamość tę nazywamy jedynką trygonometryczną.

Definicja 2.29.

Funkcję określoną na przedziale $[-1,1]$ o wartościach w przedziale $[-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}]$, odwrotną do zacieśnienia funkcji sinus do przedziału $[-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}]$,nazywamy arcusem sinusem i oznaczamy symbolem $x\mapsto \arcsin x$.

<flash>file=Am1w02.0180.swf|width=375|height=375</flash> <div.thumbcaption>Am1w02.0180

<flash>file=Am1w02.0190.swf|width=375|height=375</flash> <div.thumbcaption>Am1w02.0190

Definicja 2.30

Funkcję określoną na przedziale $[-1,1]$ o wartościach w przedziale $[0,\pi ]$, odwrotną do zacieśnienia funkcji cosinus do przedziału $[0,\pi ]$, nazywamy arcusem cosinusem i oznaczamy symbolem $x\mapsto \arccos x$.

Definicja 2.31.

Funkcję określoną na przedziale $(-\mathrm{\infty },\mathrm{\infty })$ o wartościach w przedziale $(-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2})$, odwrotną do zacieśnienia funkcji tangens do przedziału $(-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2})$, nazywamy arcusem tangensem i oznaczamy symbolem $x\mapsto \mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{g}x$.

Definicja 2.32.

Funkcję określoną na przedziale $(-\mathrm{\infty },\mathrm{\infty })$ o wartościach w przedziale $(0,\pi )$, odwrotną do zacieśnienia funkcji cotangens do przedziału $(0,\pi )$, nazywamy arcusem cotangensem i oznaczamy symbolem $x\mapsto \mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{c}\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{g}x$.

<flash>file=Am1w02.0200.swf|width=375|height=375</flash> <div.thumbcaption>Am1w02.0200

<flash>file=Am1w02.0200a.swf|width=375|height=375</flash> <div.thumbcaption>Am1w02.0200a

Funkcje: arcus sinus, arcus cosinus, arcus tangens i arcus cotangens nazywamy funkcjami cyklometrycznymi.

Uwaga 2.33.

Funkcje arcus sinus i arcus tangens są ściśle rosnące. Funkcje arcus cosinus i arcus cotangens -- ściśle malejące.

Ze wzorów redukcyjnych: $\sin (\frac{\pi }{2}-x)=\cos x$ oraz $\mathrm{t}\mathrm{g}(\frac{\pi }{2}-x)=\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{g}x$ wynika, że

Uwaga 2.34.

• Dla dowolnej liczby $-1\le x\le 1$ zachodzi równość $\arccos x=\frac{\pi }{2}+\arcsin (-x).$
  
• Dla dowolnej liczby $-\mathrm{\infty }<x<\mathrm{\infty }$ zachodzi równość $\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{c}\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{g}x=\frac{\pi }{2}+\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{g}(-x).$

Funkcje hiperboliczne i funkcje area

Określimy teraz cztery funkcje, których nazwy są nieprzypadkowo zbieżne z nazwami funkcji trygonometrycznych.

<flash>file=Am1w02.0210.swf|width=375|height=375</flash> <div.thumbcaption>Am1w02.0210

<flash>file=Am1w02.0220.swf|width=375|height=375</flash> <div.thumbcaption>Am1w02.0220

Definicja 2.35.

Niech $x\in (-\mathrm{\infty },+\mathrm{\infty })$.

• Sinusem hiperbolicznym nazywamy funkcję $\sinh :x\mapsto \frac{1}{2}(e^x-e^{-x})$.
  

• Cosinusem hiperbolicznym nazywamy funkcję $\cosh :x\mapsto \frac{1}{2}(e^x+e^{-x})$.
  

• Tangensem hiperbolicznym nazywamy funkcję $\text{<mrow data-mjx-texclass="ORD">tgh</mrow>}:x\mapsto \frac{\sinh x}{\cosh x}$.
  

• Cotangensem hiperbolicznym nazywamy funkcję Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\tgh”): {\displaystyle \displaystyle \textrm{ctgh} :x\mapsto\frac{1}{\tgh x}} .

<flash>file=Am1w02.0230.swf|width=375|height=375</flash> <div.thumbcaption>Am1w02.0230

<flash>file=Am1w02.0240.swf|width=375|height=375</flash> <div.thumbcaption>Am1w02.0240

Wykażmy wpierw tożsamość, którą przez analogię do znanej tożsamości trygonometrycznej, wiążącej wartości funkcji sinus i cosinus, nazwiemy jedynką hiperboliczną.

Twierdzenie 2.36.

Dla dowolnej liczby rzeczywistej różnica kwadratów funkcji hiperbolicznych cosinus i sinus jest równa jedności, tzn. zachodzi równość

$\mathrm{\forall }x\in \mathbb{ℝ}:{\cosh }^{2}x-{\sinh }^{2}x=1.$

Dowód twierdzenia 2.36.

Z definicji funkcji $\sinh$ i $\cosh$ mamy:

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\aligned”): {\displaystyle \displaystyle \aligned 4(\cosh^2 x-\sinh^2 x) \ &=\ (e^x+e^{-x})^2-(e^x-e^{-x})^2 \ \\ &=\ (e^{2x}+2+e^{-2x})-(e^{2x}-2+e^{-2x}) \ =\ 4, \endaligned}

stąd

$\mathrm{\forall }x:{\cosh }^{2}x-{\sinh }^{2}x=1.$

W podobny sposób - wprost z definicji - można wykazać, że zachodzą następujące tożsamości analogiczne do znanych tożsamości trygonometrycznych:

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \sin(x+y) \ =\ \sin x\cos y+\cos x\sin y, \qquad \cos(x+y) \ =\ \cos x \cos y-\sin x\sin y. }

Twierdzenie 2.37.

Niech $x,y$ będą dowolnymi liczbami rzeczywistymi. Wówczas:

• $\sinh (x+y)=\sinh x\cosh y+\cosh x\sinh y,$
  
• $\cosh (x+y)=\cosh x\cosh y+\sinh x\sinh y.$

Tożsamości te wykażemy w ramach ćwiczeń do tego modułu.

Uwaga 2.38.

Dla dowolnej liczby rzeczywistej mamy:

$\begin{array}{lll}\cosh 2x& =& {\cosh }^{2}x+{\sinh }^{2}x=2{\cosh }^{2}x-1=1+2{\sinh }^{2}x,\\ \sinh 2x& =& 2\sinh x\cosh x.\end{array}$

Warto porównać otrzymane wzory z poznanymi w szkole analogicznymi wzorami dla funkcji trygonometrycznych:

$\begin{array}{lll}\cos 2x& =& {\cosh }^{2}x-{\sin }^{2}x=2{\cos }^{2}x-1=1-2{\sin }^{2}x,\\ \sin 2x& =& 2\sin x\cos x.\end{array}$

Podkreślmy kilka własności funkcji hiperbolicznych.

Uwaga 2.39

• Funkcja sinus hiperboliczny jest bijekcją $\mathbb{ℝ}$ na $\mathbb{ℝ}$. Jest nieparzysta, ściśle rosnąca.
  
• Funkcja cosinus hiperboliczny jest określona na $\mathbb{ℝ}$ i przyjmuje wartości w przedziale $[1,\mathrm{\infty })$. Jest funkcją parzystą. Nie jest różnowartościowa. Jej zacieśnienie do przedziału $[0,\mathrm{\infty })$ jest funkcją ściśle rosnącą.
  
• Funkcja tangens hiperboliczny jest bijekcją $\mathbb{ℝ}$ na przedział $(-1,1)$. Jest nieparzysta, ściśle rosnąca.
  
• Funkcja cotangens hiperboliczny jest bijekcją zbioru $(-\mathrm{\infty },0)\cup (0,+\mathrm{\infty })$ na zbiór $(-\mathrm{\infty },-1)\cup (1,+\mathrm{\infty })$. Jest nieparzysta, ściśle malejąca w przedziale $(-\mathrm{\infty },0)$ i w przedziale $(0,\mathrm{\infty })$ .

Określmy funkcje odwrotne do funkcji hiperbolicznych. Nazywamy je funkcjami area.

<flash>file=Am1w02.0280.swf|width=375|height=375</flash> <div.thumbcaption>Am1w02.0280

<flash>file=Am1w02.0290.swf|width=375|height=375</flash> <div.thumbcaption>Am1w02.0290

Definicja 2.40.

• Funkcję odwrotną do funkcji sinus hiperboliczny nazywamy area sinusem hiperbolicznym i oznaczamy $x\mapsto \mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{h}x$.
  

• Funkcję odwrotną do zacieśnienia funkcji cosinus hiperboliczny do przedziału $[0,\mathrm{\infty })$ nazywamy area cosinusem hiperbolicznym
  i oznaczamy $x\mapsto \mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{h}x$.
  

• Funkcję odwrotną do funkcji tangens hiperboliczny nazywamy area tangensem hiperbolicznym i oznaczamy $x\mapsto \mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{t}\mathrm{g}\mathrm{h}x$.
  

• Funkcję odwrotną do funkcji cotangens hiperboliczny nazywamy area cotangensem hiperbolicznym i oznaczamy $x\mapsto \mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{g}\mathrm{h}x$.

<flash>file=Am1w02.0300.swf|width=375|height=375</flash> <div.thumbcaption>Am1w02.0300

<flash>file=Am1w02.0310.swf|width=375|height=375</flash> <div.thumbcaption>Am1w02.0310

Zwróćmy uwagę na tożsamości (kilka podobnych wykażemy w ramach ćwiczeń):

Uwaga 2.41.

Prawdziwe są następujące równości:
a) $\cos (\arcsin x)=\sqrt{1-x^2}$ dla $|x|\le 1,$
b) $\cosh (\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{h}x)=\sqrt{1+x^2}$ dla $-\mathrm{\infty }<x<\mathrm{\infty }.$

Dowód uwagi 2.41.

a) Niech $y=\arcsin x$. Wówczas dla $-1\le x\le 1$ mamy $-\frac{\pi }{2}\le y\le \frac{\pi }{2}$, czyli $0\le \cos y\le 1$. Z jedynki trygonometrycznej wynika,że

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \cos y \ =\ \sqrt{1-\sin^2 y} \ =\ \sqrt{1-x^2}. }

b) Należy powtórzyć powyższe rozumowanie stosując jedynkę hiperboliczną zamiast jedynki trygonometrycznej.

Funkcje area można wyrazić także za pomocą logarytmu naturalnego.

Twierdzenie 2.42

Zachodzą następujące tożsamości:
a) $\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{h}x=\ln (x+\sqrt{x^2+1})$ dla $-\mathrm{\infty }<x<\mathrm{\infty },$
b) $\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{h}x=\ln (x+\sqrt{x^2-1})$ dla $1\le x<\mathrm{\infty },$
c) $\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{t}\mathrm{g}\mathrm{h}x=\ln \sqrt{\frac{1+x}{1-x}}$ dla $-1<x<1,$
d) $\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{g}\mathrm{h}x=\ln \sqrt{\frac{x+1}{x-1}}$ dla $|x|>1.$

Dowód twierdzenia 2.42.

a) Wyznaczamy zmienną $y$ z równania: $x=\sinh y$.Mamy

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle x \ =\ \frac{e^{y}-e^{-y}}{2} \ =\ \frac{e^{2y}-1}{e^{y}}. }

Stąd $e^y=x+\sqrt{x^2+1}$, czyli $\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{h}x=\ln (x+\sqrt{x^2+1})$ dla wszystkich $-\mathrm{\infty }<x<\mathrm{\infty }.$

b) Podobnie jak w punkcie a) wyznaczamy zmienną $y$ z równania $x=\cosh y$ i otrzymujemy $e^y=x+\sqrt{x^2-1}$, czyli $\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{h}x=\ln (x+\sqrt{x^2-1})$, dla $x\ge 1$.

c) Z równania $x=\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{t}\mathrm{g}\mathrm{h}x$ dostajemy $e^{2y}=\frac{1+x}{1-x}$, czyli

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle {\rm artgh\, } x \ =\ \frac{1}{2}\ln\frac{1+x}{1-x} \ =\ \ln\sqrt{\frac{1+x}{1-x}} }

dla $|x|<1$.

d) Pamiętając, że Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\ctgh”): {\displaystyle \displaystyle\ctgh x=\frac{1}{\tgh x}} , podstawiamy w poprzedniej tożsamości $\frac{1}{x}$ w miejsce zmiennej $x$ i otrzymujemy:

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle {\rm arctgh\, } x \ =\ \ln\sqrt{\frac{1+\frac{1}{x}}{1-\frac{1}{x}}}=\ln\sqrt{\frac{x+1}{x-1}} }

dla $|x|>1.$

W ramach ćwiczeń wykażemy zaskakującą - na pierwszy rzut oka - uwagę.

<flash>file=Am1w02.0320.swf|width=375|height=375</flash>

<div.thumbcaption>Am1w02.0320

Uwaga 2.43.

• Dla dowolnej liczby $n=0,1,2,...$ funkcja

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle T_n (x) \ =\ \cos (n\arccos x), \ \ -1\leq x\leq 1, }

jest wielomianem zmiennej $x$.

• Dla dowolnej liczby $n=0,1,2,...$ funkcja

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle U_n (x) \ =\ \cosh (n{\rm arcosh\, } x), \quad x\geq 1, }

jest wielomianem zmiennej $x$.

• Dla dowolnej liczby $n=0,1,2,...$ funkcje $T_n$ oraz $U_n$ są zacieśnieniami -- odpowiednio do przedziałów $[-1,1]$ oraz $[1,+\mathrm{\infty })$ tego samego wielomianu $W_n$ zmiennej $x$, to znaczy dla dowolnej liczby $n=0,1,2,...$ istnieje funkcja wielomianowa

$W_n:x\mapsto W_n(x)$ taka, że zachodzą równości

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\aligned”): {\displaystyle \displaystyle \aligned W_n(x)&=T_n(x) &&\text{ dla } -1\leq x\leq 1\\ W_n(x)&=U_n(x) &&\text{ dla } +1\leq x \leq \infty\endaligned }

Definicja 2.44.

Wielomian $W_n$, o którym mowa w powyższej uwadze, którego zacieśnieniem do przedziału $[-1,1]$ jest funkcja $T_n:x\mapsto \cos (n\arccos x)$, nazywamy wielomianem Czebyszewa stopnia $n$, $n=0,1,2,...$.