PF Moduł 6

---

Wstęp Mechanika oparta na równaniach dynamiki Newtona i transformacji Galileusza uznawana była przez ponad dwa wieki za teorię rządzącą ruchem wszelkich ciał materialnych. Jednak okazuje się, że prawa te mają charakter przybliżony. Doskonale zgadzają się z doświadczeniem, ale tylko dla prędkości znacznie mniejszych od prędkości światła. Poprawna teoria nazywa się mechaniką relatywistyczną. Mechanika newtonowska jest przybliżeniem mechaniki relatywistycznej dla $v<<c$ . Wiele wniosków mechaniki relatywistycznej kłóci się z tak zwanym „zdrowym rozsądkiem” i doświadczeniem naszego życia codziennego. Przyczyna tego jest prosta – w życiu codziennym nie spotykamy się z prędkościami relatywistycznymi, czyli porównywalnymi z prędkością światła. Intuicja człowieka ukształtowana jest przez nasze postrzeganie świata, a ono zdeterminowane jest przez możliwości ludzkich zmysłów. Poznanie fizyki relatywistycznej jest próbą przekroczenia ograniczeń, jakie nakłada na nas postrzeganie świata naszymi niedoskonałymi zmysłami i zobaczenia, jakim jest świat naprawdę

---

Prędkość światła Zgodnie z mechaniką Newtona prędkość kamienia wyrzuconego z poruszającego się pojazdu równa jest sumie prędkości pojazdu i prędkości, z jaką wyrzucony został kamień. Spodziewalibyśmy się, że tak samo będzie z prędkością impulsu świetlnego wysłanego z tego pojazdu. Jednak doświadczenie jest sprzeczne z tym intuicyjnym rozumowaniem! W 1889 roku Michelson i Morley stwierdzili, że prędkość ruchu Ziemi na orbicie okołosłonecznej nie dodaje się do prędkości światła, ani od niej nie odejmuje. Pomiar prędkości światła został wykonany za pomocą interferometru Michelsona. Światło ze źródła zostaje rozszczepione na dwie prostopadłe wzajemnie wiązki przez półprzezroczyste zwierciadło. Oba promienie po odbiciu od zwierciadeł spotykają się na ekranie, gdzie powstaje obraz interferencyjny. Jeśli ustawimy zwierciadła tak, aby nastąpiło wzmocnienie, a następnie obrócimy aparaturę o 900, to powstały nowy obraz interferencyjny powinien wyglądać inaczej, jeśli prędkość światła w kierunku ruchu Ziemi i w kierunku prostopadłym różnią się. Po wielokrotnych próbach Michelson i Morley nie zaobserwowali żadnego efektu.

---

Wniosek: prędkość światła jest stała dla każdego obserwatora!

---

Niezależność prędkości światła od ruchu układu odniesienia ma poważne konsekwencje dla naszego pojmowania czasu. W fizyce klasycznej czas płynie jednakowo w każdym układzie odniesienia i zdarzenia jednoczesne w jednym układzie są też jednoczesne w każdym innym. Wyobraźmy sobie wagon jadący z prędkością v. Pośrodku wagonu stoi podróżny. Załóżmy, że w chwili $t=t_0$ podróżny mija obserwatora stojącego obok torów. W tej samej chwili obserwator widzi dwa pioruny uderzające w końce wagonu. Uderzenia piorunów to dla niego zdarzenia jednoczesne. A co widzi pasażer? Zobaczy on najpierw błysk z prawej strony a później z lewej, bo zanim światło do niego dotrze, pociąg przebędzie pewną drogę w prawo. Pasażer wie, że uderzenia piorunów były równoodległe (stoi pośrodku wagonu), więc skoro najpierw ujrzał błysk z prawej a potem z lewej, wywnioskował, że pioruny uderzyły niejednocześnie. Widzimy, że równoczesność zdarzeń jest pojęciem względnym i wyciągamy wniosek, że czas biegnie różnie w różnych układach odniesienia. Zauważmy, że przyczyną względności równoczesności zdarzeń jest skończona prędkość rozchodzenia się światła. Gdyby błysk świetlny biegł nieskończenie szybko, pasażer oba pioruny zaobserwowałby jednocześnie tak, jak obserwator przy torach.

---

Równoważność układów inercjalnych dotyczy nie tylko praw mechaniki, jak w fizyce klasycznej, ale również elektromagnetyzmu. Nie można doświadczalnie stwierdzić, czy układ inercjalny porusza się, czy jest w spoczynku.

---

Transformacja Lorentza Transformacja to przepis, jak od współrzędnych w jednym układzie odniesienia przejść do współrzędnych w innym układzie. Klasyczna transformacja Galileusza zakłada istnienie absolutnego czasu jednakowego we wszystkich układach inercjalnych Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle (t = t’)} . Jeśli ciało porusza się w układzie $O^{\prime }$ z prędkością $\overrightarrow{u^{\prime }}$ , to zgodnie z tą transformacją jego prędkość w układzie O jest równa $\overrightarrow{u}=\overrightarrow{u^{\prime }}+\overrightarrow{v}$ Jeśli w układzie $O^{\prime }$ będzie wysłany impuls światła z prędkością c, to jego prędkość w układzie $O^{\prime }$ byłaby większa od c, a to jest sprzeczne z doświadczeniem. Stałość prędkości światła w każdym układzie wymaga zmiany transformacji. Nowa transformacja musi zapewnić stałość prędkości światła niezależnie od tego, w którym układzie odniesienia prędkość ta jest rozpatrywana. Powinna też przechodzić w transformację Galileusza dla małych prędkości.

---

Transformacja Galileusza została zastąpiona przez transformację Lorentza. Zauważmy, że współrzędne przestrzenne i czasowe nie są rozdzielone, jak w transformacji Galileusza. Czas jest zależny od współrzędnej przestrzennej. Oznacza to, że nie ma czasu absolutnego jednakowego dla wszystkich układów.

---

Zdefiniujmy wielkość $\gamma$ zwany czynnikiem Lorentza. Czynnik ten jest zawsze większy od jedności, bo jak niebawem się przekonamy $v<c$. Wzory transformacji Lorentza mają prostszą postać.

---

Odwrotną transformację otrzymamy, jeśli zauważymy, że układ O porusza się względem układu $O^{\prime }$ z prędkością $-\overrightarrow{v^{\prime }}$ . Nietrudno zauważyć, że transformacja Lorentza przechodzi w transformację Galileusza, kiedy v dąży do 0, czyli dla prędkości małych w porównaniu z c.

---

Zasada względności i zasada stałości prędkości światła rewolucjonizuje nasze pojmowanie czasu. Zastosujmy te zasady do prostego „zegara świetlnego”. Jest to rurka z dwoma doskonale odbijającymi zwierciadłami na obu końcach. Wewnątrz porusza się impuls świetlny, który odbija się od zwierciadeł i biegnie tam i z powrotem. Tyknięciem zegara, czyli zmierzonym odstępem czasu, będzie czas, w jakim impuls przejdzie od zwierciadła dolnego do górnego. Początkowo (t = 0) dwa takie zegary tykają synchronicznie. Czas między kolejnymi odbiciami wynosi $\tau$, a więc długość zegara równa jest $c\tau$. Zegar B porusza się w prawo z prędkością v. Czy obserwatorowi A będzie wydawało się, że poruszający względem niego zegar B będzie krótszy lub dłuższy? Wyobraźmy sobie, że na końcu zegara B przymocowaliśmy pędzelek, który przy mijaniu zegara A namaluje na nim kreskę. Jeśli by ta kreska wypadła poniżej krawędzi, to obserwator A będzie widział poruszający względem niego zegar B jako skrócony, natomiast obserwator B zobaczy poruszający się zegar A wydłużony. Taka obserwacja jest sprzeczna z zasadą względności – efekty obserwowane w obu układach powinny być takie same. Wnioskujemy stąd, że długości zegarów ( i wszystkich odcinków prostopadłych do prędkości) powinny być równe. Po upływie czasu $\tau$ obserwator A (spoczywający) stwierdzi, że impuls świetlny w zegarze B przebył dłuższą drogę niż $c\tau$, bo musi biec po przekątnej. Ponieważ jednak prędkość światła jest stała, zajęło mu to więcej czasu. Czas między tyknięciami zegara B wynosi $T>\tau$. Stosując twierdzenie Pitagorasa do trójkąta widocznego na rysunku dostaniemy: $(c\tau {)}^2=(vT{)}^2+(c\tau {)}^2$ , stąd

---

---

---

---

---

---

---

---

---

---

---

---

---

---

---

---

---

---

---

---

---

---

---

---

---

---

---

---

---