Analiza matematyczna 1/Wykład 1: Zbiory liczbowe

1. Zbiory liczbowe

Rozpoczynamy od przeglądu najważniejszych pojęć i twierdzeń, które są omawiane w szkole średniej lub w ramach innych przedmiotów objętych programem studiów (logika i teoria mnogości, algebra liniowa z geometrią analityczną, matematyka dyskretna).

1.1. Oznaczenia zbiorów liczbowych

Przypomnijmy powszechnie stosowane oznaczenia zbiorów liczbowych.

Zbiór $\mathbb{\mathbb{N}}=\{1,2,3,\dots \}$ nazywamy zbiorem liczb naturalnych lub zbiorem liczb całkowitych dodatnich.

Zbiór ${\mathbb{\mathbb{N}}}_0=\{0,1,2,3,\dots \}=\mathbb{\mathbb{N}}\cup \{0\}$ nazywamy zbiorem liczb całkowitych nieujemnych. Wielu nazywa ten zbiór także zbiorem liczb naturalnych. Na ogół nie prowadzi to do nieporozumień.

Z kolei zbiór $\mathbb{\mathbb{Z}}=\{\dots ,-3,-2,-1,0,1,2,3,\dots \}$ nazywamy zbiorem liczb całkowitych.

Zbiór $\mathbb{\mathbb{Q}}=\{\frac{p}{q}:p\in \mathbb{\mathbb{Z}},q\in \mathbb{\mathbb{N}}\}$, czyli zbiór ułamków o całkowitym liczniku i naturalnym mianowniku, nazywamy zbiorem liczb wymiernych.

Literą $\mathbb{ℝ}$ będziemy oznaczać zbiór liczb rzeczywistych, a literą $\mathbb{ℂ}$ -- zbiór liczb zespolonych.

1.2. Przedziały. Kresy

Definicja 1.1.

Rozszerzonym zbiorem liczb rzeczywistych $\overline{\mathbb{ℝ}}$ nazywamy zbiór liczb rzeczywistych z dołączonymi elementami plus nieskończoność $+\mathrm{\infty }$ oraz minus nieskończoność $-\mathrm{\infty }$ tak, że w zbiorze liczb rzeczywistych zachowany jest naturalny porządek zadany przez relację nierówności, natomiast element plus nieskończoność następuje po każdej liczbie rzeczywistej, a element minus nieskończoność poprzedza dowolną liczbę rzeczywistą.

Definicja 1.2.

Niech $a$, $b$ będą dowolnymi elementami zbioru $\overline{\mathbb{ℝ}}$. Jeśli $a<b,$ to każdy ze zbiorów:

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\aligned”): {\displaystyle \displaystyle \aligned [a, b] & := & \{x\in \overline{\mathbb{R}} : a\leq x\leq b\}\cr (a, b) & := & \{x\in \overline{\mathbb{R}} : a< x<b \}\cr [a, b) & := & \{x\in \overline{\mathbb{R}} : a \leq x<b \}\cr (a, b] & := & \{x\in \overline{\mathbb{R}} : a< x\leq b \} \endaligned}

nazywamy przedziałem o końcach $a$, $b$, przedziałem - odpowiednio - domkniętym, otwartym, lewostronnie domkniętym, prawostronnie domkniętym.

Niech $A$ będzie dowolnym niepustym podzbiorem zbioru $\overline{\mathbb{ℝ}}$.

Definicja 1.3.

Ograniczeniem górnym zbioru $A$ nazywamy dowolny element zbioru $\overline{\mathbb{ℝ}}$ nie mniejszy od dowolnego elementu zbioru $A$.

Definicja 1.4.

Ograniczeniem dolnym zbioru $A$ nazywamy dowolny element zbioru $\overline{\mathbb{ℝ}}$ nie większy od dowolnego elementu zbioru $A$.

Definicja 1.5.

Najmniejsze ograniczenie górne zbioru $A\subset \overline{\mathbb{ℝ}}$ nazywamy kresem górnym zbioru $A$ (lub: supremum zbioru $A$) i oznaczamy symbolem $\sup A$.

Definicja 1.6.

Największe ograniczenie dolne zbioru $A\subset \overline{\mathbb{ℝ}}$ nazywamy kresem dolnym zbioru $A$ (lub: infimum zbioru $A$) i oznaczamy symbolem $\inf A$.

1.3. Ciąg arytmetyczny. Ciąg geometryczny

Definicja 1.7.

Ciąg o wyrazach $a_n=a_0+nr,$ gdzie $n=0,1,2,3,\dots$ nazywamy ciągiem arytmetycznym o początkowym wyrazie $a_0$ i różnicy $r.$

Definicja 1.8.

Niech $a_0\ne 0$ i $q\ne 0.$ Ciąg o wyrazach $a_n=a_0{q}^n,$ gdzie $n=0,1,2,3,\dots$ nazywamy ciągiem geometrycznym o początkowym wyrazie $a_0$ i ilorazie $q.$

Przypomnijmy, że

Uwaga 1.9.

Jeśli $a_n$ jest ciągiem arytmetycznym o początkowym wyrazie $a_0$ i różnicy $r$, to

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle a_0 +a_1 +a_2 +\ldots+a_n=\frac{n+1}{2}(a_0+a_n ) \ =\ \frac{n+1}{2}(2a_0+nr). }

Uwaga 1.10

Dla dowolnej liczby rzeczywistej $q\ne 1$ i dowolnej liczby naturalnej $n=1,2,3,\dots$ zachodzi równość

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle 1+q+q^2+\ldots +q^n \ =\ \frac{1-q^{n+1}}{1-q}. }

(Jeśli $q=1$, mamy oczywistą równość $1+q+q^2+\dots +q^n=1+1+1+\dots +1=n+1.$)

Wniosek 1.11.

Jeśli $a_n$ jest ciągiem geometrycznym o początkowym wyrazie $a_0$ i ilorazie $q\ne 1$, to

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle a_0 +a_1 +a_2+\ldots +a_n \ =\ a_0 \frac{1-q^{n+1}}{1-q}. }

Przykład 1.12.

Rozważmy zbiór $S:=\{1+q+q^2+\dots +q^n,n=1,2,3,\dots \}$ skończonych sum kolejnych wyrazów ciągu geometrycznego o pierwszym wyrazie $1$ i nieujemnym ilorazie $q$. Zauważmy, że jeśli $0\le q<1$, to

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle 1+q+q^2+\ldots +q^n \ =\ \frac{1}{1-q}-\frac{q^{n+1}}{1-q}< \frac{1}{1-q}, }

gdyż $\frac{q^{n+1}}{1-q}>0$. Stąd zarówno liczba $\frac{1}{1-q}$ jak i każda liczba większa od niej są ograniczeniami górnymi zbioru $S$. Najmniejszym z ograniczeń górnych zbioru $S$ jest liczba $\frac{1}{1-q}$, gdyż wartość ułamka $\frac{q^{n+1}}{1-q}$ może być dowolnie mała i bliska zeru dla dużych liczb naturalnych $n$. Jeśli natomiast iloraz $q\ge 1$, to jedynym ograniczeniem górnym każdej z sum $1+q+q^2+\dots +q^n\ge 1+1+1+\dots +1=n+1$ jest plus nieskończoność. Wówczas też kresem górnym zbioru sum $S$ jest plus nieskończoność.

Do rozważań dotyczących ciągów i nieskończonych sum składników (szeregów) powrócimy w kolejnych modułach.

Odnotujmy jednak jeszcze następującą uwagę.

Uwaga 1.13.

Jeśli $|q|<1$, to suma nieskończenie wielu składników $q^n$, $n=0,1,2,3,\dots ,$ jest równa $\frac{1}{1-q}$, co zapisujemy: $1+q+q^2+\dots +q^n+\dots =\frac{1}{1-q}.$

1.4. Liczby wymierne

Przykład 1.14.

Już w szkole podstawowej dowiedzieliśmy się, że

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle 0,(3) \ =\ 0,33333\ldots \ =\ \frac{1}{3}. }

Zwróćmy uwagę, że okresowe rozwinięcie dziesiętne $0,33333\dots$ wyraża nieskończoną sumę składników

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle 0+\frac{3}{10^1}+\frac{3}{10^2}+\frac{3}{10^3}+\frac{3}{10^4}+\ldots \ =\ \frac{3}{10}\left(1+\frac{1}{10}+\frac{1}{10^2}+\frac{1}{10^3}+\ldots\right) \ =\ \frac{3}{10} \cdot \frac{1}{1-\frac{1}{10}} \ =\ \frac{1}{3}. }

Przykład 1.15.

Przypomnijmy jeszcze szkolny sposób zamiany ułamka okresowego na iloraz dwóch liczb całkowitych. Rozważmy na przykład liczbę

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle a \ =\ 78,(1016)=78,10161016101610161016\ldots , }

która wyraża sumę nieskończonej liczby składników

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle a \ =\ 78+\frac{1016}{10^4}+\frac{1016}{10^8}+\frac{1016}{10^{12}}+\ldots. }

Zauważmy też, że różnica

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\aligned”): {\displaystyle \displaystyle \aligned 10000a -a=781016,&1016101610161016\ldots \\ -78,&1016101610161016\ldots \\=780938,&0000000000000000\ldots \endaligned }

jest liczbą całkowitą. Stąd $a=\frac{780938}{9999}$ jest liczbą wymierną.

Rozumując podobnie jak w powyższym przykładzie można wykazać ogólnie, że

Uwaga 1.16.

Liczba rzeczywista jest liczbą wymierną wtedy i tylko wtedy, gdy ma okresowe rozwinięcie dziesiętne.

Przykład 1.17.

Liczba

$0,12345678910111213141516171819202122\dots ,$

w której rozwinięciu dziesiętnym znajdują się kolejno cyfry wyrażające następujące po sobie liczby naturalne, nie jest wymierna, gdyż nie ma okresowego rozwinięcia dziesiętnego.

1.5. Iloczyn kartezjański. Współrzędne biegunowe

Niech $A$ i $B$ będą dowolnymi niepustymi zbiorami.

Definicja 1.18.

Iloczynem kartezjańskim $A\times B$ zbiorów $A$ i $B$ nazywamy zbiór par uporządkowanych $(a,b)$ takich, że $a\in A$ i $b\in B$, tj. $A\times B:=\{(a,b):a\in A,b\in B\}.$

Przypomnijmy, że dowolny punkt w prostokątnym kartezjańskim układzie współrzędnych można jednoznacznie przedstawić za pomocą pary liczb rzeczywistych $(x,y)$.

rysunek am1w01.0010

Niech $r=\sqrt{x^2+y^2}$ będzie odległością punktu $(x,y)$ od początku układu współrzędnych. Jeśli $r>0$, niech $\phi$ będzie kątem (skierowanym), jaki tworzą dodatnia półoś osi odciętych (tj.dodatnia półoś osi $OX$) z promieniem wodzącym punktu $(x,y)$. Równość $r=0$ jednoznacznie przedstawia początek układu współrzędnych, można przyjąć w tym przypadku, że $\phi$ jest dowolną liczbą.

Zauważmy, że $x=r\cos \phi$ oraz $y=r\sin \phi$.

Definicja 1.19.

Parę liczb $(r,\phi )$, gdzie $r\ge 0$ oraz $0\le \phi <2\pi$, nazywamy współrzędnymi biegunowymi punktu $(x,y)=(r\cos \phi ,r\sin \phi )$.

Uwaga 1.20.

Niech dane będą liczby rzeczywiste $x$ oraz $y$. Układ równań

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\aligned”): {\displaystyle \displaystyle \left\{\aligned x=r\cos\varphi\\y=r\sin\varphi\endaligned\right . }

z niewiadomymi $r$, $\phi$ spełnia dokładnie jeden promień $r=\sqrt{x^2+y^2}$ oraz nieskończona liczba różnych kątów postaci $\phi +2k\pi ,$ gdzie $\phi$ jest kątem między dodatnią półosią odciętych a promieniem wodzącym punktu $(x,y)$, zaś $k$ jest dowolną liczbą całkowitą.

1.6. Liczby zespolone

Definicja 1.21.

W iloczynie kartezjańskim ${\mathbb{ℝ}}^2:=\mathbb{ℝ}\times \mathbb{ℝ}$ definiujemy sumę oraz iloczyn par $z_1=(x_1,y_1)$ oraz $z_2=(x_2,y_2)$ następująco

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\aligned”): {\displaystyle \displaystyle \aligned z_1 + z_2&=(x_1 +x_2 ,\ y_1 + y_2)\\ z_1 z_2&=(x_1 x_2 -y_1 y_2,\ x_1 y_2 + x_2 y_1). \endaligned }

Definicja 1.22.

Zbiór par liczb rzeczywistych z dodawaniem i mnożeniem określonym w powyższej definicji, nazywamy zbiorem liczb zespolonych i oznaczamy literą $\mathbb{ℂ}.$

Uwaga 1.23.

a) Suma i iloczyn liczb zespolonych jest liczbą zespoloną.
b) Dodawanie i mnożenie liczb zespolonych są działaniami łącznymi i przemiennymi, tzn.

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\aligned”): {\displaystyle \displaystyle \aligned z+w &= w+z \\ z w &= w z\\ z+(u+w) &= (z+u)+w \\ z(uw) &= (zu)w \endaligned }

dla dowolnych liczb zespolonych $z,u,w.$
c) Mnożenie liczb zespolonych jest rozdzielne względem dodawania, tzn.

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle z (u+w) \ =\ z u +z w }

dla dowolnych liczb zespolonych $z,u$ oraz $w.$

Definicja 1.24.

Jeśli $z=(x,y)$ jest liczbą zespoloną, to pierwszy element $x$ pary $(x,y)$ nazywamy częścią rzeczywistą liczby $z$ i oznaczamy symbolem $\mathrm{\Re }z$ (lub $\text{<mrow data-mjx-texclass="ORD">Re</mrow>}z$), a drugi element tej pary - częścią urojoną liczby $z$ i oznaczamy $\mathrm{\Im }z$ (lub $\text{<mrow data-mjx-texclass="ORD">Im</mrow>}z$).

Zauważmy, że każdej liczbie zespolonej $z$ odpowiada dokładnie jeden punkt $(\mathrm{\Re }z,\mathrm{\Im }z)$ w prostokątnym układzie współrzędnych. Tradycyjnie mówimy więc o płaszczyźnie zespolonej $\mathbb{ℂ}.$ Oś odciętych na płaszczyźnie $\mathbb{ℂ}$ nazywamy osią rzeczywistą, a oś rzędnych - osią urojoną.
rysunek am1w01.0020

Definicja 1.25.

Jednostką urojoną nazywamy liczbę zespoloną $i=(0,1)$.

Uwaga 1.26.

a) Każdą liczbę zespoloną $z$ można zapisać w postaci sumy $z=\mathrm{\Re }z+\mathrm{\Im }zi.$
b) Kwadrat jednostki urojonej wynosi $-1$, gdyż $i^2=(0,1)(0,1)=(-1,0)=-1+0i=-1$
c) Jeśli $z_1=x_1+y_{1}i$ oraz $z_2=x_2+y_{2}i$, to sumę iiloczyn liczb $z_1,z_2$ możemy wyznaczyć tak, jak zwykliśmy przekształcać wyrażenia algebraiczne, traktując jednostkę urojoną $i$ jak parametr i pamiętać, że $i^2=-1$. Mamy więc

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\aligned”): {\displaystyle \displaystyle \aligned z_1+z_2&=(x_1 + y_1 i)+( x_2+ y_2 i)\\&=(x_1+x_2)+(y_1+y_2)i\\&=(x_1+x_2,\ y_1+y_2) \endaligned }

oraz

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\aligned”): {\displaystyle \displaystyle \aligned z_1 z_2&=(x_1 + y_1 i)( x_2+ y_2 i)\\=&x_1 x_2 +(x_1 y_2 +x_2 y_1)i +y_1 y_2 i^2 \\&=(x_1 x_2 - y_1 y_2)+ (x_1 y_2 +x_2 y_1)i\\&=( x_1 x_2 - y_1 y_2, \ x_1 y_2 +x_2 y_1).\endaligned }

Uwaga 1.27.

Dowolną liczbę zespoloną $z=x+iy$ możemy przedstawić w postaci trygonometrycznej $z=r(\cos \phi ,\sin \phi )=r(\cos \phi +i\sin \phi )$, gdzie $r=\sqrt{x^2+y^2}$, a $\phi$ jest dowolnym kątem takim, że

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\aligned”): {\displaystyle \displaystyle \left\{\aligned x&=r\cos\varphi \\ y&=r\sin\varphi\endaligned\right. }

Wiemy, że kątów takich jest nieskończenie wiele.

Definicja 1.28.

Jeśli $z=x+iy=r(\cos \phi +i\sin \phi )$, to liczbę $r:=\sqrt{x^2+y^2}$ nazywamy modułem liczby zespolonej $z$ i oznaczamy $|z|$, a każdy z kątów $\phi$ takich, że zachodzą równości Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\varphiy”): {\displaystyle \displaystyle x=r\cos\varphiy=r\sin\varphi} nazywamy argumentem liczby $z$ i oznaczamy $\text{<mrow data-mjx-texclass="ORD">arg</mrow>}z$. Najmniejszy nieujemny argument liczby zespolonej $z$ nazywamy argumentem głównym tej liczby i oznaczamy $\text{<mrow data-mjx-texclass="ORD">Arg</mrow>}z$.

Wyrażenie $\cos \phi +i\sin \phi$ będziemy krótko notować w postaci wykładniczej $e^{i\phi }$ lub $\exp (i\phi ),$ pomijając na razie zasadność użycia symbolu funkcji wykładniczej w tej notacji.

Odtąd liczbę zespoloną o module $r$ i argumencie $\phi$ będziemy zapisywać w postaci trygonometrycznej $z=r(\cos \phi +i\sin \phi )$ lub wykładniczej $z=r{e}^{i\phi }.$

Definicja 1.29.

Sprzężeniem liczby zespolonej $z=x+iy$ nazywamy liczbę $\bar{z}=x-iy$.
rysunek am1w01.0030

Uwaga 1.30.

a) Liczba $\overline{z}=x-iy$ jest obrazem liczby $z=x+iy$ w symetrii względem osi rzeczywistej.
b) Dla dowolnej liczby $z$ zachodzi równość: $z\overline{z}=|z{|}^2.$
c) Jeśli $z=r{e}^{i\phi },$ to $\overline{z}=r{e}^{i(-\phi )}.$
d) Jeśli $z_1=r_1{e}^{i{\phi }_1}$ oraz $z_2=r_2{e}^{i{\phi }_2},$ to $z_1{z}_2=r_1{r}_2{e}^{i({\phi }_1+{\phi }_2)},$ to znaczy moduł iloczynu liczb $z_1,z_2$ jest iloczynem modułów $|z_1|=r_1$ i $|z_2|=r_2$ tych liczb, a argument iloczynu liczb zespolonych jest sumą ich argumentów.

Dowód

Uwagi a), b), c) wynikają bezpośrednio z definicji sprzężenia i interpretacji geometrycznej liczb zespolonych. Zauważmy, że

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\aligned”): {\displaystyle \displaystyle \aligned r_1 e^{i\varphi_1} r_2 e^{i\varphi_2}&=r_1(\cos\varphi_1+i\sin\varphi_1) r_2(\cos\varphi_2+i\sin\varphi_2)\\&=r_1 r_2[(\cos\varphi_1\cos\varphi_2-\sin\varphi_1\sin\varphi_2)+i(\sin\varphi_1\cos\varphi_2+\cos\varphi_1\sin\varphi_2)]\\ &= r_1 r_2 (\cos(\varphi_1+\varphi_2)+i\sin(\varphi_1+\varphi_2))\\&=r_1 r_2 e^{i(\varphi_1+\varphi_2)}.\endaligned }

Z punktu d) powyższej uwagi wynika następujące twierdzenie.

Twierdzenie 1.31.[wzór de Moivre'a]

Dla dowolnej liczby zespolonej $z=r(\cos \phi +i\sin \phi )$ i dowolnej liczby naturalnej $n=1,2,3,\dots$ zachodzi równość:

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle z^n \ =\ r^n(\cos n\varphi+i\sin n\varphi), }

którą można również wyrazić w postaci wykładniczej:

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle (re^{i\varphi})^n \ =\ r^n e^{i n \varphi}. }

Zanotujmy jeszcze nastepujący

Wniosek 1.32.

Jeśli $w=r(\cos \phi +i\sin \phi )\ne 0$ jest dowolną liczbą zespoloną różną od zera, zaś $n=1,2,3,\dots$ -- dowolną liczbą naturalną, to równanie $z^n=w$ spełnia dokładnie $n$ liczb zespolonych $z_0,z_1,z_2,\dots ,z_{n-1}$

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle z_k \ =\ \root{k}\of{r}\bigg(\cos\frac{\varphi+2k\pi}{n}+i\sin\frac{\varphi+2k\pi}{n}\bigg), }

gdzie $k\in \{0,1,2,\dots ,n-1\}.$.

Dowód [Szkic]

Korzystając ze wzoru de Moivre'a stwierdzamy, że $z_k^n=w,$ a więc każda z liczb $z_k$ spełnia dane równanie. Zauważmy ponadto, że gdybyśmy nie ograniczyli zakresu parametru $k$ do zbioru liczb całkowitych nieujemnych od $0$ do $n-1$, to i tak nie otrzymalibyśmy więcej pierwiastków danego równania, gdyż $z_k=z_{k+n}$ ze względu na okresowość funkcji sinus i cosinus.
rysunek am1w01.0040

Uwaga 1.33

Każdy z pierwiastków równania $z^n=w$ leży na okręgu o środku w punkcie $0$ i promieniu Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\root”): {\displaystyle \displaystyle \root{n}\of{|w|}.} Argument pierwiastka $z_0$ jest $n$-tą częścią argumentu liczby $w$, a każdy kolejny pierwiastek ma argument o $\frac{2\pi }{n}$ większy od poprzedniego, tzn.

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\aligned”): {\displaystyle \displaystyle \aligned \textrm{Arg} z_0 &=\frac{1}{n}\textrm{Arg} w\\ \textrm{Arg} z_{k+1}&=\textrm{Arg} z_{k}+\frac{2\pi}{n}, \textrm{ dla } k=0,1,2,\ldots , n-2.\endaligned }

animacja am1w01.0050

Definicja 1.34.

Każdy z pierwiastków równania $z^n=w$ nazywamy pierwiastkiem algebraicznym stopnia $n$ z liczby $w.$

Przykład 1.35.

Każda z liczb

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\aligned”): {\displaystyle \displaystyle \aligned z_0 &= e^{i\frac{\pi}{4}}&=&\cos\frac{\pi}{4}+i\sin\frac{\pi}{4}&=&+\frac{\sqrt{2}}{2}+i\frac{\sqrt{2}}{2}\\ z_1 &= e^{i(\frac{\pi}{4}+\frac{\pi}{2})}&=&\cos\frac{3\pi}{4}+i\sin\frac{3\pi}{4}&=&-\frac{\sqrt{2}}{2}+i\frac{\sqrt{2}}{2}\\ z_2 &= e^{i(\frac{\pi}{4}+2\frac{\pi}{2})}&=&\cos\frac{5\pi}{4}+i\sin\frac{5\pi}{4}&=&-\frac{\sqrt{2}}{2}-i\frac{\sqrt{2}}{2}\\ z_3 &= e^{i(\frac{\pi}{4}+3\frac{\pi}{2})}&=&\cos\frac{7\pi}{4}+i\sin\frac{7\pi}{4}&=&+\frac{\sqrt{2}}{2}-i\frac{\sqrt{2}}{2}\endaligned }

jest pierwiastkiem równania $z^4+1=0.$

Przykład 1.36.

Zastosujmy twierdzenie de Moivre'a do wyznaczenia sum

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\aligned”): {\displaystyle \displaystyle \aligned 1+\cos\varphi+\cos 2\varphi+\ldots +\cos n\varphi\\ 0+\sin\varphi+\sin 2\varphi+\ldots +\sin n\varphi.\endaligned }

Niech

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle z \ =\ e^{i\varphi}=\cos\varphi+i\sin\varphi. }

Zauważmy, że - na mocy twierdzenia de Moivre'a - mamy

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \Re z^k \ =\ \cos k \varphi \quad \textrm{oraz}\quad \Im z^k \ =\ \sin k \varphi \quad\textrm{dla dowolnej liczby}\ k=1, 2, 3,\ldots . }

Stąd

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\aligned”): {\displaystyle \displaystyle \aligned &1+\cos\varphi+\cos 2\varphi+\ldots +\cos n\varphi&=&\Re(1+z+z^2+\ldots +z^n)\\ &0+\sin\varphi+\sin 2\varphi+\ldots +\sin n\varphi&=&\Im(1+z+z^2+\ldots +z^n). \endaligned }

Dla $z=e^{i\phi }\ne 0$ mamy

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\aligned”): {\displaystyle \displaystyle \aligned 1+z+z^2+\ldots +z^n&=\frac{z^{n+1}-1}{z-1} =\frac{e^{i(n+1)\varphi}-1}{e^{i\varphi}-1}= \frac{e^{i(n+1)\varphi}-1}{e^{i\varphi}-1}\cdot\frac{e^{-i\varphi}-1}{e^{-i\varphi}-1}\\ &=\frac{e^{in\varphi}-e^{i(n+1)\varphi}-e^{-i\varphi}+1}{2-e^{i\varphi}-e^{-i\varphi}}\\ &=\frac{\cos n\varphi-\cos(n+1)\varphi-\cos\varphi+1}{2(1-\cos{\varphi})}+i\frac{\sin n\varphi-\sin(n+1)\varphi+\sin\varphi+0}{2(1-\cos{\varphi})}\endaligned }

Stąd - korzystając ze znanych wzorów na różnicę sinusów, odpowiednio: cosinusów - dostajemy

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\aligned”): {\displaystyle \displaystyle \aligned 1+\cos\varphi+\cos 2\varphi+\ldots +\cos n\varphi&=\frac{\big(\cos n\varphi-\cos(n+1)\varphi\big)+(-\cos\varphi+1)}{2(1-\cos{\varphi})}\\ &=\frac{-2\sin\frac{2n\varphi+\varphi}{2}\sin\frac{n\varphi-n\varphi-\varphi}{2}+2\sin^2\frac{\varphi}{2}}{4\sin^2\frac{\varphi}{2}} \\ &=\frac{\sin(n+\frac{1}{2})\varphi+\sin\frac{\varphi}{2}}{2\sin\frac{\varphi}{2}}, \textrm{ o ile } \sin\frac{\varphi}{2}\neq 0,\endaligned }

oraz

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\aligned”): {\displaystyle \displaystyle \aligned 0+\sin\varphi+\sin 2\varphi+\ldots +\sin n\varphi&=\frac{\big(\sin n\varphi-\sin(n+1)\varphi\big)+\sin\varphi}{2(1-\cos{\varphi})}\\ &=\frac{2\cos\frac{2n\varphi+\varphi}{2}\sin\frac{n\varphi-n\varphi-\varphi}{2}+2\sin\frac{\varphi}{2}\cos\frac{\varphi}{2}}{4\sin^2\frac{\varphi}{2}} \\ &=\frac{-\cos(n+\frac{1}{2})\varphi+\cos\frac{\varphi}{2}}{2\sin\frac{\varphi}{2}}, \textrm{ o ile } \sin\frac{\varphi}{2}\neq 0.\endaligned }

Ponieważ dla dowolnej liczby rzeczywistej $t$ zachodzi nierówność: $|\cos t|\le 1$, $|\sin t|\le 1$, więc

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\aligned”): {\displaystyle \displaystyle \aligned &\left|\sin\left(n+\frac{1}{2}\right)\varphi+\sin\frac{\varphi}{2}\right|\leq 2\\ &\left|\cos\left(n+\frac{1}{2}\right)\varphi-\sin\frac{\varphi}{2}\right|\leq 2. \endaligned }

Wykazaliśmy w ten sposób

Wniosek 1.37.

Dla dowolnej liczby naturalnej $n$ i dowolnych liczb rzeczywistych $0<\phi <2\pi$ mamy następujące ograniczenie sum

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\aligned”): {\displaystyle \displaystyle \aligned &|1+\cos\varphi+\cos 2\varphi+\ldots +\cos n\varphi|&\leq \frac{1}{|\sin\frac{\varphi}{2}|} \\ &| 0+\sin\varphi+\sin 2\varphi+\ldots +\sin n\varphi|&\leq \frac{1}{|\sin\frac{\varphi}{2}|}.\endaligned }

Zauważmy, że wartość ułamka $\frac{1}{|\sin \frac{\phi }{2}|}$ nie zależy od liczby $n$ składników wchodzących w skład powyższych sum cosinusów i sinusów, co stanowi istotę tego oszacowania. Wykorzystamy tę informację badając zbieżność szeregów w ramach kolejnych modułów.

1.7. Dwumian Newtona

Definicja 1.38.

Niech $n\ge k$ będą dowolnymi nieujemnymi liczbami całkowitymi. Symbolem Newtona $n$ po $k$ nazywamy wyrażenie

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \binom{n}{k} \ =\ \frac{n!}{(n-k)!k!}, }

gdzie symbolem $n!$ oznaczamy silnię liczby $n$ określoną rekurencyjnie: $0!=1$ oraz $n!=(n-1)!n$ dla $n\ge 1$.

Przypomnijmy, że

Uwaga 1.39.

a) Dla $n=0,1,2,\dots$ zachodzą równości: $(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{0})=1$ oraz $(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{1})=n$.
b) Dla $n>k$ zachodzi równość $(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})+(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k+1})=(\genfrac{}{}{0ex}{}{n+1}{k+1})$.

Równość ta pozwala na wyznaczać wartość $(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})$ zgodnie z regułą nazywaną trójkątem Pascala:

{$(\genfrac{}{}{0ex}{}{0}{0})$}

{$(\genfrac{}{}{0ex}{}{1}{0})(\genfrac{}{}{0ex}{}{1}{1})$}

{$(\genfrac{}{}{0ex}{}{2}{0})(\genfrac{}{}{0ex}{}{2}{1})(\genfrac{}{}{0ex}{}{2}{2})$}

{$(\genfrac{}{}{0ex}{}{3}{0})(\genfrac{}{}{0ex}{}{3}{1})(\genfrac{}{}{0ex}{}{3}{2})(\genfrac{}{}{0ex}{}{3}{3})$}

{$(\genfrac{}{}{0ex}{}{4}{0})(\genfrac{}{}{0ex}{}{4}{1})(\genfrac{}{}{0ex}{}{4}{2})(\genfrac{}{}{0ex}{}{4}{3})(\genfrac{}{}{0ex}{}{4}{4})$}

{$(\genfrac{}{}{0ex}{}{5}{0})(\genfrac{}{}{0ex}{}{5}{1})(\genfrac{}{}{0ex}{}{5}{2})(\genfrac{}{}{0ex}{}{5}{3})(\genfrac{}{}{0ex}{}{5}{4})(\genfrac{}{}{0ex}{}{5}{5})$}

{$(\genfrac{}{}{0ex}{}{6}{0})(\genfrac{}{}{0ex}{}{6}{1})(\genfrac{}{}{0ex}{}{6}{2})(\genfrac{}{}{0ex}{}{6}{3})(\genfrac{}{}{0ex}{}{6}{4})(\genfrac{}{}{0ex}{}{6}{5})(\genfrac{}{}{0ex}{}{6}{6})$}

{$(\genfrac{}{}{0ex}{}{7}{0})(\genfrac{}{}{0ex}{}{7}{1})(\genfrac{}{}{0ex}{}{7}{2})(\genfrac{}{}{0ex}{}{7}{3})(\genfrac{}{}{0ex}{}{7}{4})(\genfrac{}{}{0ex}{}{7}{5})(\genfrac{}{}{0ex}{}{7}{6})(\genfrac{}{}{0ex}{}{7}{7})$}

{. . . . . . . . . . . . . }

Mianowicie - zgodnie z równością $(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})+(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k+1})=(\genfrac{}{}{0ex}{}{n+1}{k+1})$ wartość symbolu Newtona $(\genfrac{}{}{0ex}{}{n+1}{k+1})$ jest sumą dwóch symboli $(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})$ oraz $(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k+1})$, które znajdują się bezpośrednio nad symbolem $(\genfrac{}{}{0ex}{}{n+1}{k+1})$ w powyższym trójkącie. Reguła ta staje się bardziej czytelna, jeśli zastąpimy symbole $(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})$ odpowiadającymi im liczbami naturalnymi:

{1}

{1 1}

{1 2 1}

{1 3 3 1}

{1 4 6 4 1}

{1 5 10 10 5 1}

{1 6 15 20 15 6 1}

{1 7 21 35 35 21 7 1}

{. . . . . . . . . . . . . }

Przypomnijmy, że symbole Newtona $(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})$ stanowią współczynniki rozwinięcia wyrażenia $(a+b{)}^n$ zgodnie ze wzorem dwumianowym Newtona.

Twierdzenie 1.40.

Dla dowolnej liczby naturalnej $n=1,2,3,\dots$ i dowolnych liczb $a$ i $b$ zachodzi równość

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\aligned”): {\displaystyle \displaystyle \aligned (a+b)^n&=\sum_{k=0}^n \binom{n}{k}a^{n-k} b^{k}\\ &=\binom{n}{0}a^{n}b^{0}+\binom{n}{1}a^{n-1}b^{1}+\binom{n}{2}a^{n-2}b^{2}+\ldots +\binom{n}{n-1}a^{1}b^{n-1}\binom{n}{n}a^{0}b^{n}.\endaligned }

Zauważmy, że dla $n=2,3$ wzór Newtona ma postać

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\aligned”): {\displaystyle \displaystyle \aligned (a+b)^2&=a^2+2ab+b^2\\ (a-b)^2&=a^2-2ab+b^2\\ (a+b)^3&=a^3+3a^b+3ab^2+b^3\\ (a-b)^3&=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3.\endaligned }

Wzory te pamiętamy ze szkoły pod nazwą wzorów skróconego mnożenia.

Przykład 1.41.

Trójkąt Pascala możemy na przykład wykorzystać do efektywnego wyznaczenia rozwinięcia sumy

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\aligned”): {\displaystyle \displaystyle \aligned(a+b)^7=&\sum_{k=0}^{7}\binom{7}{k}a^{7-k}b^k\\ =& \binom{7}{0}a^{7}b^0+\binom{7}{1}a^{7-1}b^1+\binom{7}{2}a^{7-2}b^2+\ldots +\binom{7}{6}a^{7-6}b^6+\binom{7}{7}a^{7-7}b^7\\=&a^7 +7a^6 b+21 a^5 b^2 +35 a^4 b^3 +35 a^3 b^4 +21a^2 b^5 +7 ab^6+b^7.\endaligned }

1.8. Funkcje różnowartościowe. Równoliczność

Niech $f:X\mapsto Y$ będzie dowolną funkcją określoną na zbiorze $X$ o wartościach w zbiorze $Y.$ Przypomnijmy kilka pojęć z teorii mnogości.

Definicja 1.42.

Funkcję $f:X\mapsto Y$ nazywamy iniekcją zbioru $X$ w zbiór $Y$, jeśli jest różnowartościowa, to znaczy, że dla dowolnych elementów $x,y\in X$ z równości $f(x)=f(y)$ wynika, że $x=y.$

Definicja 1.43.

Funkcję $f:X\mapsto Y$ nazywamy suriekcją zbioru $X$ na zbiór $Y$, jeśli każdy element zbioru $Y$ jest wartością funkcji $f,$ to znaczy, że dla dowolnego elementu $y\in Y$ istnieje element $x\in X$ taki, że $y=f(x).$

Definicja 1.44.

Funkcję $f:X\mapsto Y$ nazywamy bijekcją zbioru $X$ na zbiór $Y$, jeśli jest iniekcją i suriekcją.

Definicja 1.45.

Mówimy, że zbiory $X,Y$ są równoliczne, jeśli istnieje bijekcja zbioru $X$ na zbiór $Y$. Mówimy też wtedy, że zbiory $X$, $Y$ są tej samej mocy, co zapisujemy krótko $\text{card}X=\text{card}Y$ lub $\mathrm{\#}X=\mathrm{\#}Y$. Jeśli zbiór zawiera skończoną liczbę elementów równą $n$ (innymi słowy: jeśli jest równoliczny ze zbiorem $\{1,2,3,\dots ,n\}$), to mówimy, że jest zbiorem mocy $n$, co zapisujemy $\text{card}A=n$ lub $\mathrm{\#}A=n$.

Przykład 1.46.

a) Można wykazać, że zbiór liczb naturalnych jest równoliczny ze zbiorem liczb całkowitych i ze zbiorem liczb wymiernych.
b) Również każdy nieskończony podzbiór zbioru liczb naturalnych (na przykład zbiór liczb parzystych, zbiór liczb nieparzystych, zbiór liczb pierwszych) jest równoliczny z całym zbiorem liczb naturalnych.

Definicja 1.47.

Zbiór $A$ równoliczny ze zbiorem liczb naturalnych nazywamy zbiorem przeliczalnym. Mówimy też, że moc zbioru przeliczalnego $A$ jest równa alef zero, co zapisujemy $cardA={\mathrm{\aleph }}_0$ lub $\mathrm{\#}A={\mathrm{\aleph }}_0$.

Definicja 1.48.

Zbiór nieskończony, który nie jest równoliczny ze zbiorem liczb naturalnych, nazywamy zbiorem nieprzeliczalnym.

Twierdzenie 1.49.

Zbiór liczb rzeczywistych nie jest równoliczny ze zbiorem liczb naturalnych.

Przykład 1.50.

a) Jeśli $a<b$ są dowolnymi elementami zbioru $\overline{\mathbb{ℝ}}$, to każdy z przedziałów $[a,b],(a,b],[a,b),(a,b),$ jest równoliczny ze zbiorem liczb rzeczywistych.
b) Co więcej, można również wykazać, że zbiór punktów płaszczyzny ${\mathbb{ℝ}}^2=\mathbb{ℝ}\times \mathbb{ℝ}$ jest równoliczny ze zbiorem liczb rzeczywistych.

Definicja 1.51.

Zbiór $A$ równoliczny ze zbiorem liczb rzeczywistych nazywamy zbiorem mocy continuum, co zapisujemy $cardA=c$ lub $\mathrm{\#}A=c.$

Przykład 1.52.

Niech

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle a \ =\ (0,a_1\ a_2\ a_3 \ \ldots)_3 \ =\ 0+\frac{a_1}{3}+\frac{a_2}{9}+\frac{a_3}{27}+\ldots, }

gdzie $a_i\in \{0,1,2\}$, będzie ciągiem cyfr rozwinięcia w systemie trójkowym (tj. pozycyjnym systemie o podstawie 3) liczby z przedziału $[0,1]$. Rozważmy kolejno zbiory

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\aligned”): {\displaystyle \displaystyle \aligned C_0 & = & [0,1]\cr C_1 & = & \{a\in C_0 : a_1 \neq 1\}\cr C_2 & = & \{a\in C_1 : a_2 \neq 1\}\cr C_3 & = & \{a\in C_2 : a_3 \neq 1\}\cr \vdots &&\cr C_{n+1} & = & \{a\in C_n : a_{n+1} \neq 1\} \endaligned }

i tak dalej. Zauważmy, że

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle C_1 \ =\ \bigg[\frac{0}{3},\frac{1}{3}\bigg]\cup\bigg[\frac{2}{3},\frac{3}{3}\bigg]\subset C_0 }

to zbiór liczb z przedziału $[0,1]$, które w rozwinięciu trójkowym nie mają cyfry 1 na pierwszym miejscu po przecinku, zaś

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle C_2 \ =\ \bigg[\frac{0}{9},\frac{1}{9}\bigg]\cup\bigg[\frac{2}{9},\frac{3}{9}\bigg] \cup \bigg[\frac{6}{9},\frac{7}{9}\bigg]\cup\bigg[\frac{8}{9},\frac{9}{9}\bigg]\subset C_1 }

to zbiór liczb z przedziału $[0,1]$, które w rozwinięciu trójkowym nie mają cyfry 1 ani na pierwszym, ani na drugim miejscu po przecinku, a ogólnie

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle C_{n} \ =\ \{a\in C_{n-1} : a_{n} \neq 1\} \ \subset\ C_{n-1},\quad n>1, }

to zbiór liczb z przedziału $[0,1]$, które w rozwinięciu trójkowym nie mają cyfry 1 po przecinku na żadnym z miejsc od pierwszego aż do $n$-tego włącznie.

Zauważmy, że liczbę $\frac{1}{3}$ można zapisać w systemie trójkowym jako $(0,10000\dots {)}_3$ bądź też bez użycia cyfry $1$ za pomocą trójkowego ułamka okresowego: $(0,02222\dots {)}_3$. Podobnie $\frac{1}{9}=0,010000\dots =(0,0022222\dots {)}_3$. Stąd liczby $\frac{1}{3}$, $\frac{1}{9}$,... ., należą do zbiorów $C_1,C_2,\dots$, pomimo że ich ich zapis trójkowy zawiera cyfrę 1. Można je bowiem zapisać również nie używając jedynki.

Z definicji zbiorów $C_i$ wynika, że

$\dots \subset C_{n+1}\subset C_n\subset \dots \subset C_2\subset C_1\subset C_0.$

Dowodzi się (zob. twierdzenie Cantora o zstępującym ciągu zbiorów domkniętych w przestrzeni zupełnej), że część wspólna $C_0\cap C_1\cap C_2\cap C_3\cap \dots$ nieskończenie wielu zbiorów $C_n$ jest zbiorem niepustym. Zbiór ten zawiera tylko te liczby z przedziału $[0,1]$, które można zapisać w systemie trójkowym bez użycia cyfry 1.

Definicja 1.53.

Zbiór

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle C \ =\ \left\{a=(0, a_1\ a_2\ a_3 \ \ldots)_{3}=\frac{a_1}{3}+\frac{a_2}{9}+\frac{a_3}{27}+\ldots , a_i\in \{0,2\} \right\} }

tych liczb z przedziału $[0,1]$, które w systemie trójkowym da się zapisać bez użycia cyfry 1, nazywamy trójkowym zbiorem Cantora.

Uwaga 1.54.

Zbiór Cantora jest równoliczny ze zbiorem wszystkich nieskończonych ciągów o wyrazach w zbiorze dwuwartościowym: $\{0,2\}$. Jest więc nieprzeliczalny.