Jk

Reprezentacja

Przykład 2 [Maszyna dodająca dwie liczby w systemie unarnym]

{{{3}}}

Ciało liczb zespolonych

Omówimy teraz inny przykład ciała, a mianowicie ciało liczb zespolonych.

Niech $\mathbb{ℂ}$ będzie zbiorem $\mathbb{ℝ}\times \mathbb{ℝ}$ wyposażonym w dwa następujące działania:

$(a,b)+(c,d)=(a+c,b+d),$

$(a,b)\cdot (c,d)=(ac-bd,ad+bc).$

Sprawdzenie, że tak zdefiniowana struktura jest ciałem jest kwestią bezpośredniego rachunku. Elementem neutralnym ze względu na dodawanie (zerem w $\mathbb{ℂ}$) jest element $(0,0)$, zaś elementem neutralnym ze względu na mnożenie jest element $(1,0)$. Elementem przeciwnym do elementu $(a,b)$ jest element $(-a,-b)$. Elementem odwrotnym do niezerowego elementu $(a,b)$ jest element

$(a,b{)}^{-1}=(\frac{a}{a^2+b^2},-\frac{b}{a^2+b^2}).$

Ciało liczb zespolonych ma charakterystykę 0.

Element $(0,1)$ oznaczamy przez $\mathbf{𝐢}$. Liczbę rzeczywistą $a$ utożsamiamy z liczbą zespoloną $(a,0)$. Dokładniej mówiąc, odwzorowanie

$\mathbb{ℝ}\ni ⟶(a,0)\in \mathbb{ℂ}$

jest injekcją, czyli zbiór liczb rzeczywistych można uważać za podzbiór

$\{(a,0)|a\in \mathbb{ℝ}\}$

zbioru liczb zespolonych. Co więcej, według powyższych formuł definiujących dodawanie i mnożenie w ciele liczb zespolonych, zwykłe dodawanie i mnożenie liczb rzeczywistych jest zawężeniem dodawania i mnożenia (odpowiednio) z ciała liczb zespolonych. Mówimy, że ciało $\mathbb{ℝ}$ jest podciałem ciała $\mathbb{ℂ}$.

Liczba zespolona $\mathbf{𝐢}=(0,1)$ ma tę własność, że ${\mathbf{𝐢}}^2=-1$. W związku z tym, liczbę tę zapisywano jako $\sqrt{-1}$. Oznaczenie to używane było już w XVI wieku, jako formalny symbol, do obliczania pierwiastków wielomianów. Współczesna teoria i symbolika liczb zespolonych pochodzi z XIX wieku.

Liczbę $\mathbf{𝐢}$ nazywamy jednostką urojoną i zgodnie z przyjętymi wyżej definicjami i ustaleniami, każdą liczbę zespoloną $(a,b)$ możemy zapisać jako $a+b\mathbf{𝐢}$. Liczbę rzeczywistą $a$ nazywamy częścią rzeczywistą (z łac. realis) liczby zespolonej $z=a+b\mathbf{𝐢}$ i oznaczamy ją $\mathrm{\Re }z$, zaś liczbę rzeczywistą $b$ nazywamy częścią urojoną ( z łac. imaginalis) liczby zespolonej $z$ i oznaczamy ją przez $\mathrm{\Im }z$.

Liczby zespolone, jako elementy zbioru ${\mathbb{ℝ}}^2$, możemy identyfikować z punktami na płaszczyźnie wyposażonej w prostokątny układ współrzędnych. Dokładniej mówiąc, liczbę zespoloną $z=(a,b)$ przedstawiamy na płaszczyźnie jako punkt o współrzędnych $(a,b)$ lub jako wektor o początku w początku układu współrzędnych (w punkcie o współrzędnych $(0,0)$) i końcu w punkcie o współrzędnych $(a,b)$. Przyjmując tę geometryczną interpretację liczby zespolonej, zbiór wszystkich liczb zespolonych nazywamy płaszczyzną liczb zespolonych. Dodawaniu liczb zespolonych odpowiada dodawanie wektorów zaczepionych w początku układu współrzędnych.

Dla liczby zespolonej wprowadzamy pojęcie modułu i argumentu. Modułem liczby zespolonej $z=a+b\mathbf{𝐢}$ nazywamy liczbę rzeczywistą $|z|$ określoną wzorem

$|z|=\sqrt{a^2+b^2}.$

Biorąc pod uwagę geometryczną interpretację liczb zespolonych, widzimy, że moduł liczby $z=a+b\mathbf{𝐢}$ jest odległością punktu $(a,b)$ od początku układu współrzędnych lub długością wektora reprezentującego tę liczbę zespoloną. Moduł liczby zespolonej jest równy zeru wtedy i tylko wtedy, gdy liczba ta jest równa zeru.

Argumentem różnej od zera liczby zespolonej $z=a+b\mathbf{𝐢}$ nazywamy każdą liczbę rzeczywistą $\phi$ spełniającą układ równań

$\begin{array}{l}\cos \phi =\frac{x}{|z|},\\ \sin \phi =\frac{y}{|z|}.\end{array}$

Umawiamy się, że dla liczby zespolonej $z=0$ argumentem jest każda liczba rzeczywista. Argumentem głównym liczby zespolonej $z\ne 0$ nazywamy ten argument, który leży w przedziale $[0,2\pi )$. Argument główny liczby zespolonej (niezerowej) oznaczmy przez $\arg z$.

Argument główny jest kątem nachylenia wektora $z$ do dodatniej półosi odciętych. Liczbę zespoloną $z=a+b\mathbf{𝐢}$ różną od $0$ możemy teraz zapisać jako

$z=|z|(\cos \arg z+\mathbf{𝐢}\sin \arg z).$

Każdą liczbę zespoloną możemy zapisać jako

$z=|z|(\cos \phi +\mathbf{𝐢}\sin \phi )$

dla pewnego argumentu $\phi$. Zapis ten nazywamy trygonometryczną postacią liczby zespolonej.

Można przeliczyć, stosując znane ze szkoły wzory trgonometryczne, że jeśli $z_1=|z_1|(\cos {\phi }_1+\mathbf{𝐢}\sin {\phi }_1)$ i $z_2=|z_2|(\cos {\phi }_2+\mathbf{𝐢}\sin {\phi }_2)$, to

$z_1{z}_2=|z_1||z_2|(\cos ({\phi }_1+{\phi }_2)+\mathbf{𝐢}\sin ({\phi }_1+{\phi }_2)).$

Jeśli przyjmiemy, że $z^n=z\cdot ...\cdot z$, gdzie $z$ powtarza się $n$ razy, to posługując się ostatnim wzorem na mnożenie liczb zespolonych w postaci trygonometrycznej, dostajemy natychmiast tzw. wzory de Moivre'a na $n$-tą potęgę liczby zespolonej

$[|z|(\cos \phi +\mathbf{𝐢}\sin \phi ){]}^n=|z{|}^n(\cos n\phi +\mathbf{𝐢}\sin n\phi ).$

Dla liczby zespolonej $z=a+b\mathbf{𝐢}$ definiujemy tak zwaną liczbę sprzężoną $\bar{z}$ do liczby $z$. Mianowicie, definiujemy

$\bar{z}=a-b\mathbf{𝐢}.$

Jeśli $z=|z|(\cos \phi +\mathbf{𝐢}\sin \phi )$, to

$\bar{z}=|z|(\cos (-\phi )+\mathbf{𝐢}\sin (-\phi )).$

Wobec tego liczba sprzężona $\bar{z}$ jest obrazem przez odbicie symetryczne względem osi odciętych liczby $z$, gdzie $z$ traktujemy jako punkt płaszczyzny lub wektor.

Na koniec tego wykładu przytoczymy, bez dowodu, bardzo ważną cechę ciała liczb zespolonych, której to cechy nie ma ciało liczb rzeczywistych. Najpierw wprowadźmy następującą definicję

Definicja 3.1 [Algebraicznej domkniętości]

Mówimy, że ciało $\mathbb{𝕂}$ jest algebraicznie domknięte, jeśli każdy wielomian jednej zmiennej o współczynnikach z ciała $\mathbb{𝕂}$ ma w ciele $\mathbb{𝕂}$ miejsce zerowe.

Jak wiadomo, ciało liczb rzeczywistych nie ma takiej własności, bo np. wielomian $x^2+1$ nie ma miejsc zerowych w $\mathbb{ℝ}$.

W przypadku liczb zespolonych zachodzi następujące twierdzenie, nazywane zasadniczym twierdzeniem algebry

Twierdzenie 3.2

Ciało liczb zespolonych jest algebraicznie domknięte.

Z twierdzenia tego wynika, że każdy wielomian o współczynnikach z ciała $\mathbb{ℂ}$ jest rozkładalny na czynniki stopnia 1 o współczynnikach z ciała $\mathbb{𝕂}$.